第13章轴对称知识点

轴对称初步（一）【例1】如图，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长。

【例2】如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。

【例3】在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线交BC于D，DF⊥AC于F，交BC边上的高AE于G。

求证：EG＝EC。

一个图形谈轴对称轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称。

两个图形谈轴对称两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

【例4】⑴下列图形中是轴对称图形的是( )⑵下列图形中对称轴最多的是( ) A ．圆B ．正方形C ．等腰三角形D ．线段【例5】⑴如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1＝50°，∠AEF 等于( ) A ．130° B ．120° C ．115° D ．65°⑵如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC ＋∠BCF ＝150°，∠AFE ＋∠BCD 的大小是( ) A ．150° B ．300° C ．210° D ．330°板块三 角平分线若射线OC 是∠AOB 的角平分线，DE ⊥OB ，DF ⊥OA ，则DE ＝DF 。

角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

如图， DE ⊥OB ，DF ⊥OA ，若DE ＝DF ，则OC 是∠AOB 的角平分线。

轴对称1、图形的轴对称知识点1：轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做轴对称。

折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，这条直线叫做对称轴。

轴对称的识别：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

知识点2：轴对称图形如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图B．费马螺线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线知识点3：对称轴定义：能够使两个图形折叠后完全重合的折痕所在的直线叫做对称轴。

成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，因此，只要找到其任意一对对应点，作出所连线段的垂直平分线就可以得到对称轴。

知识点5：轴对称的性质①关于某条直线对称的两个图形是全等形②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。

知识点6：做轴对称图形的一般步骤①作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；（2）在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。

②作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）（2）作——作各个特殊点关于已知直线的对称点（3）连——按原图对应连接各对称点知识点7：平面直角坐标系中的轴对称点（x，y）关于横轴（x轴）的对称点为（x，-y）点（x，y）关于纵轴（y轴）的对称点为（-x，y）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（-x，-y）点（x，y）关于（a，b）的对称点为（2a-x，2b-y）题型考点：①根据轴对称求坐标或字母的取值的方法两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。

八(上)数学•第13章《轴对称》专题B (二) ——单元核心思想方法一点通 (续)技巧 半角与倍角→截长补短→构等腰〖题型一〗共顶点的半角与倍角→截长朴短→构造旋转型全等1.如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝120°，E 为AB 上一点，∠DCE ＝∠DAE ＝60°. 求证：AD ＋DE ＝BE .2. 如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝120°，E 为AB 上一点，∠DCE ＝60°， ∠DAE ＝120°，求证：DE －AD ＝BE .〖题型二〗不共顶点的半角与倍角→截长补短→构造旋转型全等3. 如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，O 为AB 的中点，E 在BC 的延长线上，F 在AC 上， ∠EOF ＝2∠A ＝60°. 求证：CF －CE ＝21AC .〖题型三〗同一三角形的半角与倍角→构等腰4. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC ＝2∠C ，求证：AB ＋BD ＝CD .A B C D EAB CDE ACEO F A【核心方法】构造等边三角形技巧 技巧(一) 作平行线→构等边5. 如图，△ABC 为等边三角形，点D 在BC 上，点E 在BA 的延长线上，且ED ＝EC . 求证：AE ＝BD .6. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，D 为AC 的中点，E 为BC 上一点，∠DEC ＝120°.求证：BE －AB ＝CE .7. 如图，CA ＝CB ，D 为CB 上一点，∠ADE ＝∠C ＝60°，BE ∥AC . 求证：CD ＝BE .技巧(二) 截长补短→构等边 (一)截长法构造等边三角形8. 如图，在△ABC 中，∠AC B ＝90°，∠BAC ＝60°，E 为AB 上一点，∠DCE ＝∠DAB ＝60°，若AB ＝23，求AE －AD 的值. A B C DE A B D E A B C D E ABCDE(二)补短法构造等边三角形9. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，E 为AB 上一点，∠DCE ＝∠DAC ＝60°，若AB ＝4，求AD ＋AE 的值.【核心方法】构造30°的直角三角形10. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，延长AC 到D ，使CD ＝21AC ，∠CDB ＝45°. 求∠ABC 的度数.11. 如图，在四边形ABCD 中，DA ＝DC ，AB ⊥BC ，∠ADC ＝60°，∠DAB ＝135° ， E 为CD 上一点，∠EBC ＝30°，求证：DE ＝CE .【核心方法】巧构一线三垂直12. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，AC 交y 轴于点E ，BC 交x 轴于点F ，若B (0，2)，C (2，－2)，求点E 、F 的坐标.AB C DE ABC D A B C D EA B CO EF y x13. 如图，A (0，4)，B (－6，0)，D (－4，0)，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，CD 交y 轴于点E . 求点C 和点E 的坐标.14. 如图，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，AD ＝CD ，若B (0，6)，求点D 的坐标.15. 如图，OA ＝OB ，∠BCO ＝135°. 求证：BC ⊥AC .【核心方法】最短路径无刻度直尺画图16. 如图，在平面直角坐标系中，A (－1，5)，B (－1，0)，C (－4，3). (1)若△A 1B 1C 1和△ABC 关于y 轴对称，点A 1、B 1、C 1分别是A 、B 、C 的对称点，请画出△A 1B 1C 1， 并直接写出点C 1的坐标；(2)请仅用无刻度直尺在图中画出△ABC 的高AD ， 并保留作图痕迹；(3)请在x 轴上找一点P ，使得P A ＋PC 1最短， 在图中标出点P ，并保留作图痕迹.17. 如图，在直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，1)，B (4，2)，C (3，5)， 请完成下列画图与解答(保留画图痕迹，不要求写画法和证明). (1)请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)在y 轴上求作一点D ，使四边形ABCD 的周长最小， 则点D 的坐标为_______________；(3)在x 轴上求作一点P ，使得|P A －PB |最小， 并写出点P 坐标________________；(4) 在x 轴上求作一点Q ，使得|AQ －BQ |最大，并写出点Q 坐标________________.E DA B COy xA BCO Dy x A BC O yx。

⼈教版⼋年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题第⼗三章《轴对称》⼀、知识点归纳（⼀）轴对称和轴对称图形1、有⼀个图形沿着某⼀条直线折叠，如果它能够与另⼀个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意⼀对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应⾓相等。

5．画⼀图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（⼆）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是⼀个具有特殊形状的图形，把⼀个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成⼀个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）所以线段的垂直平分线能够看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）⽤坐标表⽰轴对称2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹⾓平分线对称点P（x，y）关于第⼀、三象限坐标轴夹⾓平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第⼆、四象限坐标轴夹⾓平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平⾏于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三⾓形1、等腰三⾓形性质：性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等（简写成“等边对等⾓”）性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线、底边上的⾼相互重合。

第13章轴对称一、选择题1．下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是()．2．下列语句中正确的个数是()．①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．A．1 B．2 C．3 D．43．已知A、B两点的坐标分别是(－2,3)和(2,3)，则下面四个结论中正确的有()．①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B不轴对称；④A、B之间的距离为4.A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E.当∠B＝30°时，图中一定不相等的线段有()．A．AC＝AE＝BE B．AD＝BDC．CD＝DE D．AC＝BD5．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是()．6．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是()．A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把正确答案填在题中横线上)7．点E(a，－5)与点F(－2，b)关于y轴对称，则a＝__________，b＝__________.8．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ 的度数是__________．三、解答题9.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．10. 如图，已知AE=BE，DE是AB的垂直平分线，BF=12，CF=3，求AC．参考答案1．A 点拨：数字图案一般是沿中间竖直线或水平线折叠，看是否是轴对称图形，只有A 选项是轴对称图形．2．B 点拨：①③正确，②④不正确，其中④对应点还可能在对称轴上．3．B 点拨：①③不正确，②④正确．4．D 点拨：DE 垂直平分AB ，∠B ＝30°，所以AD 平分∠CAB ，由角平分线性质和线段垂直平分线性质可知A 、B 、C 都正确，且AC ≠AD ＝BD ，故D 错误．5．C 点拨：经过三次轴对称折叠，再剪切，得到的图案是C 图(也可将各选项图案按原步骤折叠复原)．6．B 点拨：本题中的台球经过多次反射，每一次的反射就是一次轴对称变换，直到最后落入球袋，可用轴对称作图(如图)，该球最后将落入2号袋．7．2 －5 点拨：点E 、F 关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．8．40° 点拨：因为MP 、NQ 分别垂直平分AB 和AC ，所以PA ＝PB ，QA ＝QC ，∠PAB ＝∠B ，∠QAC ＝∠C ，∠PAB ＋∠QAC ＝∠C ＋∠B ＝180°－110°＝70°，所以∠PAQ 的度数是40°9.分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC 及∠ACB 的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD 的度数即可进行解答．解答：解：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB702401802180=-=∠-=A ，∵MN 的垂直平分AB ，∴DA=DB ， ∴∠A=∠ABD=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．故答案为：30°． 点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．10. 考点：线段垂直平分线的性质．分析：利用垂直平分线的性质得出AF=BF ，从而求出AC 的长．解答：解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AF=BF∴AC=AF+CF=BF+CF=12+3=15．。