808.三角形的全等及其应用-奥数精讲与测试8年级

直角三角形全等判定（基础）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL ”）.2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝ ∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 与Rt△CBA中，ED ACAE AB⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C ．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．3、（2016春•深圳校级月考）如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（ ）O B C DAA ．∠A=∠DB ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【答案与解析】解：∵AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D∴∠A=∠D=90°（A 正确）又∵AC=DB ，BC=BC∴△ABC ≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB （B 正确）∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB ≌△DOC(AAS)∴OA=OD （D 正确）C 中OD 、OB 不是对应边，不相等．故选C ．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、已知：如图1，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，C=∠C′=90° 求证：Rt△ABC 和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）将△ABC 和△A′B′C′拼在一起，请你画出两种拼接图形；例如图2：（即使点A 与点A′重合，点C 与点C′重合．）（3）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题．【答案与解析】解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等．（2）如图：图②使点A与点A′重合，点B与点B′重合图③使点A与B′重合，B与点A′重合．（3）在图②中，∵A和A′重合，B和B′重合，连接CC′．∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，∠ACB﹣∠ACC′=∠A′C′B′﹣∠AC′C，即∠BCC′=∠BCC′，∴BC=B′C′．在直角△ABC和直角△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【总结升华】本题考查了直角三角形的全等中HL定理的证明，正确利用等腰三角形的性质是关键．【巩固练习】一、选择题1．（2015春•深圳校级期中）下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等2．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90︒, ∠A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( )A. AC ＝ ''A CB.BC ＝ ''B CC. AC ＝ ''B CD. ∠A ＝ ∠'A5. （2016春•蓝田县期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=40°，则∠2=（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．75°6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10.（2016春•普宁市期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．11．有两个长度相同的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝________．12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．14.（2014秋•黄石港区校级月考）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在∠AOB的两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则得到OP平分∠AOB．请用你所学的知识说明其中的道理．15. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．故选C．2. 【答案】D；【解析】△ABD≌△ACD；△ABF≌△ACF；△ABE≌△ACE；△EBF≌△ECF；△EBD≌△ECD；△FBD≌△FCD.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】注意看清对应顶点，A对应'B，B对应'A.5. 【答案】B；【解析】解：∵∠B=∠D=90°,在Rt△ABC和Rt△ADC中∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．故选B．6. 【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】AC=DE ；【解析】解∵AB ⊥DC ，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，AC DE BE BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ），故答案为：AC=DE ．11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.三、解答题13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等）∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ）∴AB ＝CD ＝20cm .14.【解析】解：在Rt △OPM 和Rt △OPN 中，，所以Rt △OPM ≌Rt △OPN （HL ），所以∠POM=∠PON ，即OP 平分∠AOB ．15.【解析】证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形，在Rt △AEC 与Rt △AFB 中，AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ），∴∠EAC＝∠FAB，∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.。

初二物理：全等三角形经典模型及例题详解全等三角形是初中物理中重要的概念之一，它涉及到三角形的形状和属性。

全等三角形意味着两个三角形在形状和大小上完全相同。

在本文档中，我们将详细讨论全等三角形的经典模型以及解决例题的方法。

1. 全等三角形的定义全等三角形的定义是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等。

当两个三角形的全部对应边长和对应角度分别相等时，我们可以说它们是全等三角形。

2. 全等三角形的经典模型在初二物理中，有一些经典的全等三角形模型，它们是我们解决问题时的基础。

- SSS模型：当两个三角形的三边对应相等时，它们是全等三角形。

我们可以根据给定的三边长，推导出全等三角形的其他属性。

- SAS模型：当两个三角形的一边和两个对应角相等时，它们是全等三角形。

我们可以根据给定的一个边和两个对应角，推导出全等三角形的其他属性。

- ASA模型：当两个三角形的两个对应角和一边相等时，它们是全等三角形。

我们可以根据给定的两个角和一边，推导出全等三角形的其他属性。

3. 全等三角形的例题详解通过解决一些例题，我们可以更好地理解全等三角形的概念和应用。

例题1：已知三角形ABC和三角形DEF，它们满足AB = DE，BC = EF，∠ABC = ∠DEF。

问：是否可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形？解析：根据SSS模型，当两个三角形的三边对应相等时，它们是全等三角形。

根据题目条件，AB = DE，BC = EF，∠ABC =∠DEF，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。

例题2：已知三角形ABC和三角形DEF，它们满足AB = DE，∠ABC = ∠DEF，∠ACB = ∠DFE。

问：是否可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形？解析：根据ASA模型，当两个三角形的两个对应角和一边相等时，它们是全等三角形。

根据题目条件，AB = DE，∠ABC =∠DEF，∠ACB = ∠DFE，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。

专题强化训练一：全等三角形、角平分线的判定和性质一、单选题1．（2022·湖南·双峰县丰茂学校八年级期中）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到⊥AOB ⊥⊥COD，理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS2．（2022·广东茂名·八年级期末）如图，OD平分AOB∠，DE AO⊥于点E，4DE=，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（）A．6B．5C．4D．33．（2022·湖南常德·八年级期中）如图，在ABC中，⊥C=90°，按以下步骤作图：⊥以点A为圆心、适当长为半径MN的长为半径作圆弧，在⊥BAC内，作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；⊥分别以点M和点N为圆心，大于12两弧交于点P；⊥作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则ABD的面积是（）A．48B．24C．12D．64．（2022·浙江·八年级专题练习）如图所示，⊥EBC⊥⊥DCB，BE的延长线与CD的延长线交于点A，CE与BD相交于点O．则下列结论：⊥⊥OEB⊥⊥ODC；⊥AE＝AD；⊥BD平分⊥ABC，CE平分⊥ACB；⊥OB＝OC，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 相交于点F ，AD BE =，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．ABE BAD △≌△B ．ABE CBE △△≌C ．AEF BDF ≌D ．ADC BEC ≌6．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，O 是⊥ABC 的角平分线的交点，⊥ABC 的面积和周长都为24，则点O 到BC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2022·全国·八年级专题练习）如图，Rt⊥ABC 中，⊥C ＝90°，AD 平分⊥BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，ABC 中，⊥ACB ＝60°，AG 平分⊥BAC 交BC 于点G ，BD 平分⊥ABC 交AC 于点D ，AG 、BD 相交于点F ，BE ⊥AG 交MG 的延长线于点E ，连接CE ，下列结论中正确的有（ ） ⊥若⊥BAD ＝70°，则⊥EBC ＝5°；⊥BF ＝2EF ；⊥BE ＝CE ；⊥AB ＝BG +AD ；⊥BFG AFD S BF S AF=△△．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个9．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，AB CD ，点E 是AD 上的点，连接BE ，CE ，且90BEC ∠=︒，BE 平分ABC ∠．以下结论中：⊥E 是AD 中点，⊥AB CD BC +=，⊥AE CE =，⊥BCE CDE S BC S CD=△△，正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．（2022·全国·八年级单元测试）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF CE 、，下列说法：⊥ABD △和ACD △面积相等；⊥BAD CAD ∠=∠；⊥BDF CDE ≌；⊥BF CE ；⊥CE AE =．其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，P 是⊥AOB 平分线上的点，PD ⊥OB 于点D ，PC ⊥OA 于点C ，则下列结论：⊥PC ＝PD ；⊥OD ＝OC ；⊥POC 与POD 的面积相等；⊥⊥POC ＋⊥OPD ＝90°．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，过点P 作PR AB ⊥于点R ，作PS AC ⊥于点S ，若AQ PQ =，PR PS =，则下面三个结论：⊥AS AR =；⊥QP AR ∥；⊥BRP CSP ≅，正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥⊥13．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BO 、CO 分别平分⊥ABC 、⊥ACB ，OD ⊥BC 于点D ，OD ＝2，⊥ABC 的周长为28，则⊥ABC 的面积为（ ）A ．28B ．14C ．21D ．714．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）如图，在△ABC 中，AD 平分⊥BAC ，AD ⊥BD 于点D ，DE ∥AC 交AB 于点E ，若AB =8，则DE 的长度是（ ）A ．6B ．2C ．3D ．415．（2022·广西钦州·八年级期中）如图，已知矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则DF 的长为（ ）A ．3911B ．4513C ．175D ．5717二、填空题16．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在⊥ABC 中，⊥B ＝110°，延长BC 至点D 使CD ＝AB ，过点C 作CE ⊥AB 且使CE ＝BC ，连接DE 并延长DE 交AC 于点F ，交AB 于点H ．若⊥D ＝20°，则⊥CFE 的度数为______度．17．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，且AD ，BE 交于点F ，若BF AC =，BD =8，3CD =，则线段AF 的长度为______．18．（2022·浙江·八年级单元测试）如图，已知⊥A ＝⊥D ，EF ⊥BC ，请在空格上添加一个适当的条件，使得⊥ABC ⊥⊥DEF ，则添加的这个条件是________（只要填上一个满足的条件即可）．19．（2022·陕西师大附中八年级期中）如图，ABC 的三边AC 、BC 、AB 长分别为4、5、6．其三条角平分线交于点O ，则::ABO BCO CAO S S S =_____．20．（2022·江苏·八年级单元测试）如图, 在 ABC 中, 90,8cm,10cm ACB AC BC ∠===．点 C 在直线 l 上, 动点 P 从 A 点出发 沿 A C → 的路径向终点 C 运动; 动点 Q 从 B 点出发沿 B C A →→ 路径向终点 A 运动．点 P 和 点 Q 分别以每秒 1cm 和 2cm 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 P 和 Q 作 PM ⊥ 直线 l 于 ,M QN ⊥ 直线 l 于 N ．当点 P 运动时间为___________秒时, PMC 与 QNC 全等．21．（2022·安徽宿州·八年级期末）如图，点A ，E ，F ，C 在一条直线上，若将DEC 的边EC 沿AC 方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE CF =，DE AC ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，且AB CD =．则当点E ，F 不重合时，BD 与EF 的关系是______．22．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校八年级阶段练习）如图，AD是⊥ABC中⊥BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．23．（2022·全国·八年级专题练习）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____时，由点D、E、B组成的三角形与⊥BCA全等．三、解答题24．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，Rt⊥ABC中，⊥A＝90°，BD平分⊥ABC交AC于点D，DE⊥BC 于E，点F为AB上一点，且DF＝DC．求证：⊥AFD＝⊥C．25．（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）如图，在⊥ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是⊥CAD 的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．(1)求证：⊥EGB⊥⊥EFC；(2)若AB=3，AC=5，求AF的长．26．（2022·北京·101中学八年级阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，⊥DAE=⊥BAC，连接CE．(1)如图1，当点D在线段CB上，且⊥BAC=90°时，那么⊥DCE= 度；(2)设⊥BAC=α，⊥DCE=β．⊥ 如图2，当点D在线段CB上，⊥BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；⊥ 如图3，当点D在线段CB的延长线上，⊥BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接．．写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．27．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．(1)连接BI、CE，求证：△ABI⊥⊥AEC；(2)过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．请利用（1）的结论，直接写出图中与正方形ABDE的面积相等的四边形，它是四边形．(3)应用：若MN＝4，NH＝3，正方形ABDE的边长是．28．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，Rt⊥ACB中，⊥ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图⊥所示．(1)求证：FD＝AC．(2)若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图⊥，已知CG＝1，求BC的长．29．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB 于点H．(1)求证：180ADC B ∠+∠=︒；(2)若AD ＝3，AB ＝8，求AH 的长．30．（2022·四川·富顺第二中学校八年级阶段练习）在直线m 上依次取互不重合的三个点D ，A ，E ，在直线m 上方有AB ＝AC ，且满足⊥BDA ＝⊥AEC ＝⊥BAC ＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE ，BD ，CE 之间的数量关系是 ；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．31．（2022·河北·丰宁满族自治县选将营中学八年级期中）在△ABC 中，△ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？写出结论，并写出证明过程.(2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请写出你的结论，并加以证明；(3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请直接写出结论，（不要求写出证明过程）．参考答案：1．A【分析】由AC⊥BD，可得⊥AOB=⊥COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．【详解】解：由AC⊥BD，可得⊥AOB=⊥COD=90°，⊥⊥AOB和⊥COD是直角三角形，AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等，所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的⊥AOB ⊥⊥COD，故选A．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．2．C【分析】根据角平分线的性质及点到直线的距离——垂线段最短即可．【详解】解：根据角平分线的性质定理可知，当DF垂直OB时，DF的值最小，最小值为DF=DE=4，故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离——垂线段最短．3．C【分析】利用基本作图得到AD平分⊥BAC，过D点作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝3，然后利用三角形面积公式求解．【详解】解：由作法得AD平分⊥BAC，过D点作DH⊥AB于H，如图，⊥⊥C＝90°，⊥DC⊥AC，⊥AD平分⊥BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，⊥DH＝DC＝3，⊥⊥ABD的面积12=⨯AB×DH12=⨯8×3＝12．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的作图和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．【分析】根据全等三角形的性质可得⊥EBC ＝⊥DCB ，BE ＝CD ，⊥BEC ＝⊥CDB ，⊥DBC ＝⊥ECB ，易证⊥OEB ⊥⊥ODC（AAS ），根据全等三角形的性质依次进行判断即可．【详解】解：⊥⊥EBC ⊥⊥DCB ，⊥⊥EBC ＝⊥DCB ，BE ＝CD ，⊥BEC ＝⊥CDB ，⊥DBC ＝⊥ECB ，在⊥OEB 和⊥ODC 中，EOB DOC BEC CDB BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥OEB ⊥⊥ODC （AAS ），故⊥选项符合题意；⊥⊥EBC ＝⊥DCB ，⊥AB ＝AC ，⊥BE ＝CD ，⊥AE ＝AD ，故⊥选项符合题意；没有足够的条件证明⊥EBO ＝⊥OBC ，⊥DCO ＝⊥OCB ，故⊥选项不符合题意；⊥⊥ECB ＝⊥DBC ，⊥OB ＝OC ，故⊥选项符合题意，综上，符合题意的选项有⊥⊥⊥，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．B【分析】先利用HL 判断Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD ，则可对A 选项进行判断；由于BA 与BC 不一定相等，所以不能确定⊥ABE 与⊥CBE 全等，则可对B 选项进行判断；由于Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD ，则AE ＝BD ，则可根据AAS 证明⊥AEF ⊥⊥BDF ，⊥AEF ⊥⊥BDF ，从而可对C 、D 选项进行判断．【详解】解：⊥AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，⊥⊥AEB ＝⊥BDA ＝90°，在Rt ⊥ABE 和Rt ⊥BAD 中，AB BA BE AD⎧⎨⎩＝＝， ⊥Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD （HL ），所以A 选项不符合题意；⊥⊥ABE 与⊥CBE 不一定全等，所以B 选项符合题意；⊥Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD ，⊥AE ＝BD ，在⊥AEF 和⊥BDF 中，AFE BFD AEF BDF AE BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ⊥⊥AEF ⊥⊥BDF （AAS ），所以C 选项不符合题意；在⊥ADC 和⊥BEC 中，ACD BCE ADC BED AD BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥AEF ⊥⊥BDF （AAS ），所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．6．B【分析】设点O 到BC 的距离为x ，根据角平分线的性质定理可得点O 到AB ，BC ，AC 的距离相等，都等于x ，再根据111222ABC S AB x BC x AC x =⋅+⋅+⋅△，即可求解． 【详解】解：设点O 到BC 的距离为x ，⊥O 是⊥ABC 的角平分线的交点，⊥点O 到AB ，BC ，AC 的距离相等，都等于x ，⊥⊥ABC 的面积为24，周长为24， ⊥()11111242422222ABC S AB x BC x AC x AB BC AC x =⋅+⋅+⋅=++=⨯=， 解得：x =2．即点O 到BC 的距离为2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键． 7．B【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝CD ，然后利用⊥ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，⊥⊥C ＝90°，AD 平分⊥BAC ，⊥S △ABD ＝12AB •DE ＝12×10•DE ＝15，解得：DE ＝3，⊥CD ＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．8．B【详解】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求⊥ABD ＝⊥DBC ＝25°，⊥BAG ＝⊥CAG ＝35°，由外角的性质和直角三角形的性质可求⊥EBC ＝5°，故⊥正确；同理可求⊥BFE ＝60°，由直角三角形的性质可得BF ＝2EF ，故⊥正确；由“ASA ”可证⊥ABE ⊥⊥AHE ，可得BE ＝EH ，由直角三角形的性质可得EC ≠BE ，故⊥错误；由“SAS ”可证⊥BFN ⊥⊥BFG ，可得⊥BFN ＝⊥BFG ＝60°，由“ASA ”可证⊥AFD ⊥⊥AFN ，可得AD ＝AN ，即AB ＝BG +AD ，故⊥正确；由角平分线的性质可得NQ ＝NP ，由全等三角形的性质可得S △BFN ＝S △BFG ，S △AFD ＝S △AFN ，可得BFG AFD S BF S AF△△，故⊥正确，即可求解．【解答】解：⊥⊥⊥ACB ＝60°，⊥BAD ＝70°，⊥⊥ABC ＝50°，⊥AG 平分⊥BAC ，BD 平分⊥ABC ，⊥⊥ABD ＝⊥DBC ＝25°，⊥BAG ＝⊥CAG ＝35°，⊥⊥BFE ＝60°，⊥BE ⊥AG ，⊥⊥FBE ＝30°，⊥⊥EBC ＝5°，故⊥正确；⊥⊥ACB ＝60°，⊥⊥BAD +⊥ABC ＝120°，⊥AG 平分⊥BAC ，BD 平分⊥ABC ，⊥⊥ABD ＝⊥DBC ＝12⊥ABC ，⊥BAG ＝⊥CAG ＝12⊥BAC ，⊥⊥BFE ＝⊥ABD +⊥BAG ＝12（⊥ABC +⊥BAC ）＝60°，⊥BE ⊥AG ，⊥BF＝2EF，故⊥正确；⊥如图，延长BE，AC交于点H，⊥⊥BAE＝⊥CAE，AE＝AE，⊥AEB＝⊥AEH＝90°，⊥⊥ABE⊥⊥AHE（ASA），⊥BE＝EH，⊥BC≠AC，⊥EC≠BE，故⊥错误；⊥如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF，⊥BN＝BG，⊥ABD＝⊥CBD，BF＝BF，⊥⊥BFN⊥⊥BFG（SAS），⊥⊥BFN＝⊥BFG＝60°，⊥⊥AFD＝⊥AFN＝60°，又⊥⊥BAG＝⊥CAG，AF＝AF，⊥⊥AFD⊥⊥AFN（ASA），⊥AD＝AN，⊥AB＝BG+AD，故⊥正确；⊥如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，⊥⊥AFN ＝⊥BFN ＝60°，NP ⊥BF ，NQ ⊥AF ，⊥NP ＝NQ ，⊥S △AFN ＝12×AF ×NQ ，S △BFN ＝12×BF ×NP ， ⊥BFG AFD S BF S AF =△△， ⊥⊥BFN ⊥⊥BFG ，⊥AFD ⊥⊥AFN ，⊥S △BFN ＝S △BFG ，S △AFD ＝S △AFN ， ⊥BFG AFD S BF S AF=△△，故⊥正确， 故选：B ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．B【分析】延长BE 交CD 的延长线于点F ，证明∆ABE ≅∆DFE ，得出AE =DE ，AB =DF ，即可判断⊥和⊥正确；过点E 作EM ⊥BC 于点M ，EN ⊥CD 于点N ，由角平分线的性质定理即可判断⊥⊥．【详解】解：延长BE 交CD 的延长线于点F ，⊥AB ⊥CD ，⊥⊥ABE =⊥F ，⊥BE 平分⊥ABC ，⊥⊥ABE =⊥CBE ，⊥⊥BEC =90°，⊥CE ⊥BF ，⊥⊥BCE =⊥FCE ，BE =EF ，⊥⊥AEB =⊥FED ，⊥∆ABE ≅∆DFE ，⊥AE =DE ，AB =DF ，故⊥正确；⊥CF =CD +DF ，⊥BC =CD +AB ，故⊥正确；⊥⊥EDC ≠⊥ECD ，⊥ED ≠EC ，故⊥错误；过点E 作EM ⊥BC 于点M ，EN ⊥CD 于点N ，⊥CE 平分⊥BCD ，⊥EM =EN ， ⊥1·21·2BCE CDE BC EM SBC S CD CD EN ==，故⊥正确； 故选：B ．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．10．C【分析】由三角形中线性质，把三角形分成面积相等的两个三角形，可判定⊥正确；利用SAS 证△BDF ⊥△CDE ，可判定⊥正确，由△BDF ⊥△CDE 得出⊥F =⊥CED ，由平行线的判定定理可得出BF ∥CE ，可判定⊥正确；因为AD 是ABC 的中线，而△ABC 不一定是等腰三角形，所以AD 就不一定平分⊥BAC ，可判定⊥错误；没有条件能证得⊥CAE =⊥ACE ，所以也就不能得出AE =CE ，可判定⊥错误．【详解】解：⊥AD 是ABC 的中线，⊥S △ABD = S △ACD，故⊥正确；在△BDF 和△CDE 中，BD CD BDF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥△BDF ⊥△CDE (SAS)，故⊥正确；⊥⊥F =⊥CED ，⊥BF ∥CE ，故⊥正确；⊥AD 是ABC 的中线，没有AB =AC 这个条件，所以AD 不一定是角平分式，故⊥错误；没有条件能证得⊥CAE =⊥ACE ，所以也就不能得出AE =CE ，故⊥错误；综上，正确的有⊥⊥⊥，故选：C ．【点睛】本题考查三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，证△BDF ⊥△CDE 是解题的关键． 11．D【分析】根据已知条件，可得⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），根据全等三角形的性质即可判断．【详解】解：⊥P 是⊥AOB 平分线上的点，⊥⊥COP =⊥DOP ，⊥PD ⊥OB 于点D ，PC ⊥OA 于点C ，⊥⊥OCP =⊥ODP =90°，在⊥OCP 和⊥ODP 中，COP DOP OCP ODP OP OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），⊥PC =PD ，OC =OD ，故⊥⊥选项符合题意，⊥⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），⊥⊥POC 与⊥POD 的面积相等，故⊥选项符合题意；⊥⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），⊥⊥OPD =⊥OPC ，⊥⊥POC +⊥OPC =90°，⊥⊥POC +⊥POD =90°，故⊥选项符合题意；综上可知，⊥⊥⊥⊥均符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12．C【分析】根据角平分线的判定，先证AP 是⊥BAC 的平分线，再证Rt ⊥APR ⊥Rt ⊥APS (HL)，可证得AS =AR ，QP AR ∥成立．【详解】解：如图：连接AP ，⊥PR =PS ，⊥AP 是⊥BAC 的平分线，在Rt ⊥APR 与Rt ⊥APS 中，==AP AP PR PS ⎧⎨⎩⊥Rt ⊥APR ⊥Rt ⊥APS (HL)，⊥AS =AR ，故⊥正确；⊥AQ =PQ ，⊥⊥BAP =⊥QAP =⊥QP A ，⊥QP AR ∥，⊥正确；BC 只是过点P ，并没有固定，故⊥BRP ⊥⊥CSP ⊥不成立．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．13．A【分析】连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，则由角平分线的性质定理得：OE =OF =OD =2，再由ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△即可求得结果．【详解】解：连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，如图⊥BO 平分DBA ∠，OE AB ⊥，OD BC ，在BOD 和BOE △中，90OEB ODB OBE OBD BO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()BOD BOE AAS △≌△，⊥OE =OD =2同理：OF =OD =2⊥OE =OF =OD =2⊥ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△111222AB OE BC OD AC OF =++ ()12AB BC AC OD =++ =12822⨯⨯ =28⊥28ABC S =△故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．14．D【分析】分别延长AC 、BD 交于点F ，根据角平分线的性质得到⊥BAD =⊥F AD ，证明△BAD ⊥⊥F AD ，根据全等三角形的性质得到BD =DF ，根据平行线的性质得到BE =ED，EA =ED ，进一步计算即可求解．【详解】解：分别延长AC 、BD 交于点F ，⊥AD 平分⊥BAC ，AD ⊥BD ，⊥⊥BAD =⊥F AD ，⊥ADB =⊥ADF =90°，在△BAD 和△F AD 中，90BAD FAD AD AD ADB ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥F AD （ASA ），⊥⊥ABD =⊥F ，⊥DE ∥AC ，⊥⊥EDB =⊥F ，⊥EDA =⊥F AD ，⊥⊥ABD =⊥EDB ，⊥EDA =⊥EAD ，⊥BE =ED ，EA =ED ，⊥BE =EA =ED ，⊥DE =12AB =12×8=4， 故选：D ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．C【分析】根据折叠的性质与矩形的性质得到DC=DE =4，CP=EP ，90∠=∠=︒E C ，再由三角形全等的判定定理与性质可得OE=OB ，EF=BP ，从而有BF=EP=CP ，设BF=EP=CP=x ，可得用x 表示的AF 、DF 的长，再有勾股定理求得x 的值从而得到DF 的长．【详解】解：由矩形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，90A B C ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质，得：DC=DE =4，CP=EP ，90∠=∠=︒E C ，在OEF OBP △、△中，EOF BOP E BOF OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， OEF OBP ∴△≌△OE OB EF BP ∴==、，⊥BF=EP=CP设BF=EP=CP=x ，则AF=4-x ，BP=EF=3-x ，DF =DE -EF =4-（3-x ）=x +1，在Rt ADF 中，222AF AD DF += ，即22491x x -+=+（）（）， 125x ∴=， 1715DF x ∴=+= 【点睛】本题考查了矩形得性质，折叠的性质，三角形的判定定理与性质，勾股定理等性质，利用三角形全等的判定定理与性质与线段的和差求出BF=EP=CP 是关键．16．30【分析】证明⊥ABC ⊥⊥DCE ，可得⊥A =⊥D = 20°，然后利用三角形内角和可得⊥DEC =⊥ACB = 50°，进而可以解决问题．【详解】解：⊥CE ⊥AB ，⊥⊥B ＝⊥DCE ，在⊥ABC 与⊥DCE 中，BC CE B DCE BA CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ABC ⊥⊥DCE （SAS ），⊥⊥A ＝⊥D ＝20°，⊥DEC ＝⊥ACB ，⊥⊥B ＝110°，⊥⊥ACB ＝180°﹣⊥B +⊥A ＝50°，⊥⊥DEC ＝⊥ACB ＝50°，⊥CE ⊥AB ，⊥⊥BHF ＝⊥DEC ＝50°，⊥⊥CFE ＝⊥AFH ＝⊥BHF ﹣⊥A ＝50°﹣20°＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到⊥ABC ⊥⊥DCE ．17．5【分析】首先证明⊥BDF ⊥⊥ADC ，再根据全等三角形的性质可得FD =CD ，AD =BD ，根据AD =8，DF =3，即可算出AF 的长．【详解】解：⊥AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，⊥⊥ADC =⊥FDB =90°，⊥AEB =90°，⊥⊥1+⊥C =90°，⊥1+⊥2=90°，⊥⊥2=⊥C ，⊥⊥2=⊥3，⊥⊥3=⊥C ，在⊥ADC 和⊥BDF 中，3C FDB CDA BF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BDF ⊥⊥ADC （AAS ），⊥FD =CD ，AD =BD ，⊥CD =3，BD =8，⊥AD =8，DF =3，⊥AF =8-3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．18．AC ＝DF 或AF ＝CD （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．【详解】解：⊥EF ⊥BC ，⊥⊥EFD ＝⊥ACB ，⊥⊥D ＝⊥A ，⊥当DF ＝AC 时，⊥ABC ⊥⊥DEF （ASA ），⊥可以添加条件：AC ＝DF 或AF ＝CD ．故答案为：AC ＝DF 或AF ＝CD (答案不唯一)．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定定理．19．6：5：4【分析】作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，根据角平分线的性质得到OD =OE =OF，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，⊥三条角平分线交于点O ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，⊥OD =OE =OF ，⊥::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆=AB ：BC ：CA =6：5：4，故答案为：6：5：4．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20．2或6##6或2【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：PMC ∆与QNC ∆全等，PC QC ，8102t t ∴-=-，解得⊥2t =；如图2所示：点P 与点Q 重合， PMC 与QNC ∆全等，8210t t ∴-=-，解得⊥6t =；故答案为⊥2或6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．21．BD与EF互相平分【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证⊥ABF⊥⊥CDE，再求证⊥DEG⊥⊥BFG，即可．【详解】⊥DE⊥AC，BF⊥AC，⊥⊥AFB=⊥CED=90°⊥AE=CF，⊥AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt⊥ABF和Rt⊥CDE中，AF CEAB CD=⎧⎨=⎩，⊥Rt⊥ABF⊥Rt⊥CED（HL），⊥ED=BF．设EF与BD交于点G，由⊥AFB=⊥CED=90°得DE⊥BF，⊥⊥EDG=⊥GBF，⊥⊥EGD=⊥FGB，ED=BF，⊥⊥DEG⊥⊥BFG，⊥EG=FG，DG=BG，⊥BD与EF互相平分．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．22．3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，⊥AD是⊥ABC中⊥BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，⊥DE=DF，⊥S △ABC =12AB ×DE +12AC ×DF =12×4×2+12AC ×2=7，解得AC =3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．23．0，3，9，12【分析】首先分两种情况：当E 在线段AB 上和当E 在BN 上，然后再分成两种情况：AC ＝BE 和AB ＝EB ，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：⊥当E 在线段AB 上，AC ＝BE 时，⊥ACB ⊥⊥BED ，⊥AC ＝6米，⊥BE ＝6米，⊥AE ＝12﹣6＝6米，⊥点E 的运动时间为6÷2＝3（秒）；⊥当E 在BN 上，AC ＝BE 时，⊥ACB ⊥⊥BED ，⊥AC ＝6米，⊥BE ＝6米，⊥AE ＝12+6＝18米，⊥点E 的运动时间为18÷2＝9（秒）；⊥当E 在线段AB 上，AB ＝EB 时，⊥ACB ⊥⊥BDE ，这时E 在A 点未动，因此时间为0秒；⊥当E 在BN 上，AB ＝EB 时，⊥ACB ⊥⊥BDE ，⊥AB ＝12米，⊥BE ＝12米，⊥AE ＝12+12＝24米，⊥点E 的运动时间为24÷2＝12（秒），故答案为：0，3，9，12．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．24．见解析【分析】利用HL 证明Rt ADF ⊥Rt EDC ，即可解决问题．【详解】证明：BD 平分ABC ∠，90A ∠=︒，DE BC ⊥，⊥DA DE =，在Rt ADF 和Rt EDC 中，DF DC DA DE=⎧⎨=⎩， Rt ADF ∴⊥Rt (HL)EDC ，AFD C ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，得到Rt ADF ⊥Rt EDC 是解决问题的关键． 25．(1)见解析(2)AF 的长为1【分析】（1）先证明⊥AGE ⊥⊥AFE ，即有EG =EF ，结合EB =EC ，即可得Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC ；（2）根据Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC ，⊥AGE ⊥⊥AFE ，可得BG =FC ，AG =AF ，根据AC =5，AC =AF +FC ，BG =AB +AG ，可得AF +FC =AF +BG =AF +AB +AG =2AF +AB =5，即可得2AF +3=5，AF 可求．（1）解：⊥EG ⊥AD ，EF ⊥AC ，⊥⊥EGB =90°=⊥EFC ，⊥⊥EGB 和⊥EFC 是直角三角形，⊥AE 平分⊥CAD ，⊥⊥EAG =⊥EAF ，⊥EA =EA ，⊥⊥AGE ⊥⊥AFE ，⊥EG =EF ，⊥EB =EC ，⊥Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC (HL )，得证；（2）解：⊥在（1）中证得：Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC ，⊥AGE ⊥⊥AFE ，⊥BG =FC ，AG =AF ，⊥AC =5，AC =AF +FC ，BG =AB +AG ，⊥AF +FC =AF +BG =AF +AB +AG =2AF +AB =5，⊥AB =3，⊥2AF +3=5，⊥AF =1，即AF 的长为1．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明⊥AGE ⊥⊥AFE 是解答本题的关键． 26．(1)90(2)⊥α+β=180°；证明见解析；⊥α=β．【分析】（1）易证⊥BAD =⊥CAE ，即可证明△BAD ⊥⊥CAE ，可得⊥ACE =⊥B ，即可解题；（2）⊥易证⊥BAD =⊥CAE ，即可证明△BAD ⊥⊥CAE ，可得⊥ACE =⊥B ，根据⊥B +⊥ACB =180°-α即可解题； ⊥易证⊥BAD =⊥CAE ，即可证明△BAD ⊥⊥CAE ，可得⊥ACE =⊥B ，根据⊥ADE +⊥AED +α=180°，⊥CDE +⊥CED +β=180°即可解题．（1）解：⊥⊥BAD +⊥DAC =⊥BAC =90°，⊥DAC +⊥CAE =⊥DAE =90°，⊥⊥BAD =⊥CAE ，在⊥BAD 和⊥CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥CAE （SAS ），⊥⊥ACE =⊥B ，⊥⊥B +⊥ACB =90°，⊥⊥DCE =⊥ACE +⊥ACB =90°；故答案为： 90；（2）解：⊥⊥⊥BAD +⊥DAC =⊥BAC =α，⊥DAC +⊥CAE =⊥DAE =α，⊥⊥BAD =⊥CAE ，在⊥BAD 和⊥CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥CAE （SAS ），⊥⊥ACE =⊥B ，⊥⊥B +⊥ACB =180°-α，⊥⊥DCE =⊥ACE +⊥ACB =180°-α=β，⊥α+β=180°；⊥作出图形，⊥⊥BAD +⊥BAE =⊥BAC =α，⊥BAE +⊥CAE =⊥DAE =α，⊥⊥BAD =⊥CAE ，在⊥BAD 和⊥CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥CAE （SAS ），⊥⊥AEC =⊥ADB ，⊥⊥ADE +⊥AED +α=180°，⊥CDE +⊥CED +β=180°，⊥CED =⊥AEC +⊥AED ，⊥α=β．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，三角形内角和定理，本题中求证⊥BAD ⊥⊥CAE 是解题的关键．27．(1)证明见解析(2)AMNI(3)2【分析】（1）由正方形的性质得出AB =AE ，AC =AI ，⊥BAE =⊥CAI =90°，得出⊥EAC =⊥BAI ，即可得出△ABI ⊥△AEC (SAS)；（2）证BM ⊥AI ，得出2SABI AMNI S =四边形，同理：2AEC ABDE S S =正方形，由△ABI ⊥△AEC ，即可得出四边形AMNI 与正方形ABDE 的面积相等；（3）由题意可求出矩形AMNI 的面积，从而得出正方形ABDE 的面积，进而可求出正方形ABDE 的边长． （1）证明：⊥四边形ABDE 、四边形ACHI 是正方形，⊥AB ＝AE ，AC ＝AI ，⊥BAE ＝⊥CAI ＝90°，⊥⊥EAC ＝⊥BAI ， 在△ABI 和△AEC 中AB AE BAI EAC AI AC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝⊥△ABI ⊥△AEC (SAS)；（2）证明：⊥BM ⊥AC ，AI ⊥AC ，⊥BM ⊥AI ，⊥2ABI AMNI S S =四边形，同理：2AEC ABDE S S =正方形．又⊥△ABI ⊥△AEC ， ⊥四边形AMNI 与正方形ABDE 的面积相等．故答案为：AMNI ；（3）解：由题意可知四边形AMNI 为矩形，⊥AI =IH =MN =4，⊥IN =IH -NH =1，⊥4AMNI S IN AI =⋅=四边形，⊥4ABDE AMNI S S ==正方形四边形，⊥正方形ABDE 的边长为2．故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．28．(1)证明见解析，(2)BC =4．【分析】（1）证明⊥ADF ⊥⊥ACE 即可；（2）易证⊥FDG ⊥⊥BCG ，则可得出CD 的长度，由（1）可得⊥ADF ⊥⊥ACE ，点E 为BC 中点则点D 为AC 中点，求出AC 即可得到BC 的长度．（1）⊥AF ⊥AE ，⊥⊥EAF =90°，即⊥F AD +⊥CAE =90°，⊥⊥ACB ＝90°，⊥⊥AEC +⊥CAE =90°，⊥⊥AEC =⊥F AD ，⊥FD ⊥AC ，⊥⊥F AD =90°，在⊥ADF 和⊥ACE 中，⊥AEC =⊥F AD ，⊥F AD =⊥ACB ，AF ＝AE ，⊥⊥ADF ⊥⊥ACE ，⊥FD ＝AC ．（2）由（1）可知，FD =AC ，⊥AC =BC ，⊥FD =BC ，在⊥FDG 和⊥BCG 中，⊥FGD =⊥BGC ，⊥FDG =⊥GCB ，FD =BC ，⊥⊥FDG ⊥⊥BCG ，⊥CG =DG ，则CD =2CG =2，⊥⊥ADF ⊥⊥ACE ，⊥AD =CE ，⊥AC =BC ，点E 为BC 中点，⊥点D 为AC 中点，则AC =2CD =4，⊥BC =AC =4．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握全等三角形对应边和对应角相等以及用AAS 和ASA 判定三角形全等是解题的关键．29．(1)证明见解析(2)5.5【分析】（1）过点C 作CM AE ⊥于点M ，先根据角平分线的性质可得CM CH =，再根据HL 定理证出Rt Rt DMC BHC ≅，根据全等三角形的性质可得CDM B ∠=∠，由此即可得证；（2）过点C 作CM AE ⊥于点M ，先根据全等三角形的性质可得DM BH =，设AH x =，则8DM x =-，11AM x =-，再根据HL 定理证出Rt Rt ACM ACH ≅，根据全等三角形的性质可得AM AH =，据此建立方程，解方程即可得．（1）证明：如图，过点C 作CM AE ⊥于点M ，⊥AC 平分EAB ∠，,CH AB CM AE ⊥⊥，⊥,90CM CH CMD CHB =∠=∠=︒，在Rt DMC 与Rt BHC △中，CD CB CM CH =⎧⎨=⎩， ⊥()Rt Rt HL DMC BHC ≅，CDM B ∴∠=∠，180ADC CDM ∠+∠=︒，180ADC B ∴∠+∠=︒．（2）解：如图，过点C 作CM AE ⊥于点M ，由（1）已证：Rt Rt DMC BHC ≅，DM BH ∴=，设AH x =，则8DM BH AB AH x ==-=-，3AD =，3811AM AD DM x x ∴=+=+-=-，在Rt ACM 和Rt ACH 中，AC AC CM CH =⎧⎨=⎩， ()Rt Rt HL ACM ACH ∴≅，AM AH ∴=，11x x ∴-=，x ，解得 5.5即AH的长为5.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．30．(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝90°得到⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝90°，进而得到⊥DBA＝⊥EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA⊥⊥EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝α得到⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝180°﹣α，进而得到⊥DBA＝⊥EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA⊥⊥EAC，最后得到DE＝BD+CE．（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，⊥⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝90°，⊥⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝90°，⊥⊥DBA＝⊥EAC，⊥AB＝AC，⊥⊥DBA⊥⊥EAC（AAS），⊥AD＝CE，BD＝AE，⊥DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，⊥⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝α，⊥⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝180°﹣α，⊥⊥DBA＝⊥EAC，⊥AB＝AC，⊥⊥DBA⊥⊥EAC（AAS），⊥BD＝AE，AD＝CE，⊥DE＝AD+AE＝BD+CE；【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．31．(1)DE=AD+BE，理由见解析(2)（1）中结论不成立，结论为DE=AD-BE，理由见解析(3)（1）中结论不成立，结论为DE=BE-AD．【分析】（1）根据AD⊥MN，BE⊥MN，⊥ACB=90°，得出⊥CAD=⊥BCE，再根据AAS即可判定△ADC⊥⊥CEB；根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到⊥ADC=⊥CEB=⊥ACB=90°，进而得出⊥CAD=⊥BCE，再根据AAS即可判定△ADC⊥⊥CEB，进而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE-CD=AD-BE；（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE=BE-AD．（1）解：DE=AD+BE，理由如下：证明：⊥AD⊥MN，BE⊥MN，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°=⊥CEB，⊥⊥CAD+⊥ACD=90°，⊥BCE+⊥ACD=90°，⊥⊥CAD=⊥BCE，⊥在△ADC和△CEB中，CAD BCEADC CEBAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ADC⊥⊥CEB（AAS），⊥CE=AD，CD=BE，⊥DE=CE+CD=AD+BE；（2）解：（1）中结论不成立，结论应为DE=AD-BE，理由如下；证明：⊥AD⊥MN，BE⊥MN，⊥⊥ADC=⊥CEB=⊥ACB=90°，同理可得⊥CAD=⊥BCE，⊥在△ADC和△CEB中，CAD BCEADC CEBAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ADC⊥⊥CEB（AAS）；⊥CE=AD，CD=BE，⊥DE=CE-CD=AD-BE；（3）解：（1）中结论不成立，结论应为DE=BE-AD．。

人教版八年级数学上名师点拨精练第12章 全等三角形12.2 三角形全等的判定1学习目标1. 经历实验探究的过程，直观发现三边相等的两个三角形全等。

会用直规作图法作“一条线段等于已知线段，一个角等于已知角”，提高动手操作能力。

知道这样作图的理由。

2. 能利用“SSS ”进行有关的计算或证明。

发展逻辑推理能力、计算能力和空间观念。

老师告诉你用全等三角形探索线段的位置关系的方法线段的位置关系有平行和垂直，一般先应用全等三角形证明出相等的两个角，然后利用三角形内角和等于180°、等角的余角相等、邻补角的定义等，转化为具有特殊位置关系的两个角的关系，从而判断出两条直线的位置关系，最后确定两条线段的位置关系。

一、知识点拨知识点1 全等三角形的判定1：边边边（SSS ）文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形： C'B'A'C B A符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，()'''''''''=⎧⎪=∴∆≅∆⎨⎪=⎩AB A B AC A C ABC A B C SSS BC B C证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论. 注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.【新知导学】例1-1 .如图，已知AD=BC ，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC ≌△BAD ；【对应导练】1 .如图，AC ＝FD ，BC ＝ED ，要利用“SSS ”来判定△ABC 和△FED 全等时，下面的4个条件中：①AE ＝FB ；②AB ＝FE ；③AE ＝BE ；④BF ＝BE ，可利用的是（ ）A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．①或④2.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求．3.如图，AB AC =，DB DC =，EB EC =．（1）图中有几对全等三角形？请一一写出来．（2）过点D 作DH BE ⊥，DG CE ⊥，垂足分别为H ，G ．求证：DG DH =． 知识点2 用尺规作一个角等于已知角已知：∠AOB ．求作： ∠A ′O ′B ′=∠AOB ．作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C 、D ；（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D ′；（4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB ．【新知导学】例2-1 .用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （用字母写出）．【对应导练】1 . 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC BOC ∠=∠的依据是（ ）A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等∠=∠的依据是（）2.如图，用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的平行线，能得出12A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS3 .如图，已知∆ABC中∠C=45°,AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．知识点3 运用边边边定理证明和计算运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

下⾯是为⼤家带来的⼋年级奥数全等三⾓形试题及答案，欢迎⼤家阅读。

1．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（）A. 62°B. 31°C. 28°D. 25° 2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是 ( )A. 6B. 9C. 12D. 15 3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A. 30°B. 40°C. 20°D. 35° 4．如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（ ）A. 4B. 5C. 6D. ⽆法确定 5．如图，在和中，，若添加条件后使得≌，则在下列条件中，不能添加的是（）．A. ，B. ，C. ，D. ， 6．如图，某同学把⼀块三⾓形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配⼀块完全⼀样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去 7．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN = 74°，∠DBC = 41°，则∠ADC的度数为（）．A. 49°B. 47°C. 45°D. 43° 8．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75° 9．如图，AD是△ABC中∠BAC的⾓平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是 ． 10．如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD=___________cm. 11．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的⾼，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的⾯积等于_____． 12．如图，△ABC≌△DEF，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F＝____度. 13．如图，△ABC中，BA=BC，∠ABC=40°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，E在BC边上，F在AC边上，将∠A沿直线EF翻折，使点A与点O恰好重合，则∠OEF的度数是_____． 14．如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE．若∠A=40°，则∠FDE=__________°． 15．如图，点C、D在BE上，BC=DE，∠1=∠2，要使得△ABD≌△AEC，还需要添加⼀个边或⾓的条件，你添加的条件是__________． 16．如图，直线l上有三个正⽅形a，b，c，若a，c的边长分别为5和12，则b的⾯积为_________________. 17．如图，在 ABC中，∠ABC=45°，AD,BE是 ABC的⾼，AD,BE相交于点F.求证：BF=AC． 18．⑴已知：如图1，等腰直⾓三⾓形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的外⾓平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD=AB+AC ⑵对于任意三⾓形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外⾓平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明． 图1 图2 19．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉⼝附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这⾥安装⼀盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌⼀样远，并且到两条路的距离也⼀样远，请你⽤尺规作出灯柱的位置点P。

【导语】经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三⾓形叫做全等三⾓形，⽽该两个三⾓形的三条边及三个⾓都对应相等。

全等三⾓形指两个全等的三⾓形，它们的三条边及三个⾓都对应相等。

全等三⾓形是⼏何中全等之⼀。

根据全等转换，两个全等三⾓形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。

正常来说，验证两个全等三⾓形⼀般⽤边边边（SSS）、边⾓边（SAS）、⾓边⾓（ASA）、⾓⾓边（AAS）、和直⾓三⾓形的斜边，直⾓边（HL）来判定。

下⾯是为⼤家带来的⼋年级奥数全等三⾓形测试题及答案，欢迎⼤家阅读。

⼀、选择题：1.△ABD≌△CDB，下⾯四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的⾯积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC2.△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，若△DEF的周长为偶数，则EF的取值为（）A．3 B．4 C．5 D．3或4或53.亮亮书上的三⾓形被墨迹污染了⼀部分，很快他就根据所学知识画出⼀个与书上完全⼀样的三⾓形，那么这两个三⾓形完全⼀样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4.已知△ABC的三个元素,则甲、⼄、丙三个三⾓形中,和△ABC全等的图形是（）A．甲和⼄ B．⼄和丙 C．只有⼄ D．只有丙5.△ABD≌△CDB，下⾯四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的⾯积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC6.在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选⼀个，错误的选法是（）A．∠B=∠B′ B．∠C=∠C′ C．BC=B′C′ D．AC=A′C′7.在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三⾓形有⼀个⾓是100°，那么△ABC中与这个⾓对应的⾓是（）A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D8.如图，ΔABC≌ΔADE，AB=AD， AC=AE，∠B=28o，∠E=95o，∠EAB=20o，则∠BAD为（）A．77o B．57o C．55o D．75o9.如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE10.如图所⽰，已知AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）A．∠A与∠D互为余⾓ B．∠A=∠2 C．△ABC≌△CED D．∠1=∠211.如图，已知AB=AD，那么添加下列⼀个条件后，仍⽆法判定△ABC≌△ADC的是（ ）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°12.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表⽰某⼈从A地到B地的不同⾏进路线（箭头表⽰⾏进的⽅向），则路程最长的⾏进路线图是（）⼆、填空题：13.如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=________14.如图，△DAF≌△DBE，如果DF=7 cm，AD=15 cm，则AE= cm．15.如图，点F、C在线段BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充⼀个条件，依据是．16.通过学习我们已经知道三⾓形的三条内⾓平分线是交于⼀点的．如图，P是△ABC的内⾓平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的⾯积为 ．17.如图所⽰，某同学把⼀块三⾓形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配⼀块完全⼀样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．18.．如图，O是△ABC内⼀点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC= ．三、解答题：19.如图，点B、F、C、E在⼀条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．20.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD，AD=BC．21.如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB∥DE．22.如图，在△ABC中，D是AB上⼀点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．23.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证：OE=BE；②若△ABC 的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外⾓∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式. 24.问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．⼩王同学探究此问题的⽅法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成⽴，并说明理由；实际应⽤：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中⼼（O处）北偏西30°的A处，舰艇⼄在指挥中⼼南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中⼼的距离相等，接到⾏动指令后，舰艇甲向正东⽅向以60海⾥/⼩时的速度前进，舰艇⼄沿北偏东50°的⽅向以80海⾥/⼩时的速度前进.1.5⼩时后，指挥中⼼观测到甲、⼄两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹⾓为70°，试求此时两舰艇之间的距离．参考答案1.答案为：C2.答案为：B3.答案为：D4.答案为：B5.答案为：C6.答案为：C7.答案为：A8.答案为：A9.答案为：D10.答案为：D.11.答案为：C.12.解：A．延长AC、BE交于S，∵∠CAB=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平⾏四边形，∴SE=CD，DE=CS，即⾛的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平⾏四边形，∴FK=GH，FG=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，13.答案为：2014.答案为：8;15.答案为：AC=DF，SAS．16.答案为：5;17.答案为：③．18.答案为：125°．19.证明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC=DF．20.解：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB=CD，AD=BC．21.证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B=∠DEF，∴AB∥DE．22.解：AB∥CF．证明如下：∵∠AED与∠CEF是对顶⾓，∴∠AED=∠CEF，在△ADE和△CFE中，∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE．∴∠A=∠FCE．∴AB∥CF．23.（1）∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EDB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE（2）△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16(3)延长BA，证明P点在∠BAC外⾓的⾓平分线上（11分），从⽽得到2∠PAC+∠BAC=180°24.解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成⽴．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF= ∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应⽤：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF= ∠AOB，⼜∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成⽴，即EF=1.5×（60+80）=210海⾥．答：此时两舰艇之间的距离是210海⾥．。

第十二章 全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定01 思维导图02 知识速记五、全等三角形的证明思路SAS HLSSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS→ → → →→ → → → → → 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、 角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。