2019届中考复习数学分类汇编：勾股定理

勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。

具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。

这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。

二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。

几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。

常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。

2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。

代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。

通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。

三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。

例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。

勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。

2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。

而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。

这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。

3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。

勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 6.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 7.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22ac b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题8.记住常见的勾股数可以提高解题速度：（黑色为必背熟悉勾股数） 3 、4 、5 5、12、13 6、8 、10 7、24 、25 8、15、17 9 、12、15 9、40、41 10 、24、26 11、60 、61 12、16、20 12 、35、37 13 、84、85 14 、48 、50 15、20 、25 15、36 、39 16 、30 、34 16 、3 、65 18 、24 、30 18、80 、82 20 、21 、29 20、48 、52 21、28 、35 21 、72、75 24、32 、40 24 、45、51 24 、70 、74 25 、60 、65 27、36 、45 28、45、53 30 、40、50 30、72、78 60、80、100 32 、60 、68 33 、44 、55 33、56 、65 35、84、91 36、48 、60 36、77 、85 39 、52 、65 39、80 、89 40、42 、58 40、75 、85 42 、56 、70 45、60 、75 48、55、73 48、64、80 51 、68、85 54 、72、90 57 、76 、9560、63 、8765、72 、97用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）9、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

勾股定理详解勾股定理定义及公式勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理是余弦定理的一个特例。

勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组程a²+ b²= c²的正整数组(a,b,c)。

(3,4,5)就是勾股数。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a²+b²=c²。

勾股定理逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。

若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。

如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。

如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。

勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。

下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。

【证法1】赵爽“勾股圆方图”第一种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形围在外面形成的。

因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

【证法2】课本的证明做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab，整理得a²+b²=c²【证法3】1876年美国总统Garfield证明以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD ≌RtΔCBE,∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于1/2c².又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c².∴a²+b²=c².【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

勾股定理知识点总结全面首先，我们来介绍一下勾股定理的历史。

勾股定理最早出现在中国古代数学著作《周髀算经》中，书中记载了一些勾股数的性质，这些数满足a²+b²=c²的关系，其中a、b、c为自然数。

后来在希腊的毕达哥拉斯学派中，勾股定理被系统地阐述和证明，毕达哥拉斯学派还以勾股定理为核心建立了一整套几何学体系。

因此，勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理。

勾股定理的发现和应用对于几何学和数学的发展起到了非常重要的推动作用。

接下来，我们来介绍一下勾股定理的内容。

勾股定理表述了在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

具体来说，如果一个三角形中有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形，假设直角边的长度分别为a、b，斜边的长度为c，那么勾股定理的数学表达式就是：a²+b²=c².这个表达式就是勾股定理的核心内容。

勾股定理也可以表述为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理对解决直角三角形中各种问题都有重要的作用，如计算三角形的边长、求三角形的面积等。

接下来，我们来介绍一下勾股定理的证明。

勾股定理有多种不同的证明方法，其中比较常见的有几何证明、代数证明、数学归纳法证明等。

下面我们将分别介绍这些证明方法的基本思路。

首先是几何证明。

几何证明是通过构造几何图形，利用几何性质来证明定理的方法。

勾股定理的几何证明是比较直观和易于理解的，它通常利用平行四边形、相似三角形等性质来证明。

一种常见的几何证明方法是构造一个正方形，然后利用正方形的对角线、内角和边长的关系来证明勾股定理。

这种证明方法思路清晰，易于理解，是学习者比较喜欢的一种证明方法。

其次是代数证明。

代数证明是通过运用代数运算和变换来证明定理的方法。

勾股定理的代数证明是利用平方差公式和因式分解等代数方法来证明的。

通过将直角三角形的三条边长分别用代数表达式表示，然后利用平方差公式将等式展开，通过代数运算和合并同类项，最终可以得到a²+b²=c²的结果。

数学勾股定理公式大全勾股定理公式是什么勾股定理公式是a的平方加上b的平方等于c的平方。

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为C，那么公式就是：a²+b²=c²。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理的逆定理:如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。

勾股数有哪些1.能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数。

2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。

3.用含字母的代数式表示n组勾股数：（n为正整数）；（n为正整数）；（m>n,m，n为正整数）。

证明方法勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

主要有以下几种：（1）拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

（2）青朱出入图青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。

刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。

开方除之，即弦也。

”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。

将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。

（3）欧几里得证法在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。

设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。

直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2018•湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（）4 ．（第2题图）PA=3. （2018•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）、底边上的高是，可知是顶角若MN=2，则OM=（）（第4题图）60°==MD=ND=分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）（第5题图）B﹣2，∠BC=BC=2CM==2﹣）﹣EC=2=ME==中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C． 4 D． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．7. （ 2018•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．解答：解：连接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故选B．点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．8.（2018•滨州，第7题3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（），9．（2019年山东泰安，第8题3分）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFD的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．10．（2019年山东泰安，第12题3分）如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．3cm分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm，在Rt△ADE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选A．点评：本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．二.填空题1. （ 2018•福建泉州，第14题4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD 的长为 5 cm．CD=CD=×10=52. （ 2018•广东，第14题4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．解答：解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．3．（2018•新疆，第14题5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．AC==5OA=，∠=，即=，解得．故答案为：．4.（2018•邵阳，第17题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ．∠A=30°，AB=8，则DE 的长度是 2 ．AD=25.（2018·云南昆明，第10题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC=10cm ，点D 为AC 的中点，则BD= cm.第10题图DCBA三.解答题1. （2018•湘潭，第19题）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）≈566（米）2. （2018•益阳，第20题，10分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．（第2题图），解得，AN=，即正方形的边长为．3. （2018•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第3题图）≠且≠，得出△，再分两种情况讨论：①当MN=（x x x+（x+）x）x=2AD=CE=2，在DPA==，≠且≠，此时△•（•BH=BN=（xxMGN=xx x+，（x+）﹣）也成立，+x x x++x=取得最小值为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5. （2018•株洲，第22题，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．，，在CAE==；，BC===，CE=EF==；6. （2018•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．（第6题图）AB=．AC=AB=，××的面积为==PD=PM=DM=AM==．AM=BM=．AC=CM==的长度为（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．（第7题图）DG=×6=3，BH=DH=BE=，DE=BE=2DG=68.（2018•泰州，第25题，12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（第8题图）（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．﹣xb b（（﹣（﹣（FM=b b b﹣有两个交点xx+5（）9. （2018•扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第9题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．DC=AB====．DP=DP== PE=EQ=．QF=EF=EQ+QF=PQ+QB=PB==4EF=．．10．（ 2018•安徽省,第19题10分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF中，根据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．解答：解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半径OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．11. （ 2018•珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE的长；（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．，所以；BC==，即=，﹣；﹣．，即BD××2=，12．（2018•温州，第22题8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣A．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+aB．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2证明：连结过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．ab+abab++ab+b ab=ab+a。

勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。

它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。

本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。

一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。

”这就是我们通常所说的勾股定理。

勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。

二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。

几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。

一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。

代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。

一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。

三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。

1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。

2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。

3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。

四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。

1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。

2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。

对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。

3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。

勾股定理知识点归纳稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊超有趣的勾股定理哟！啥是勾股定理呢？其实呀，就是在一个直角三角形里，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那斜边就是 5 啦，因为 3 的平方加上 4 的平方等于 5 的平方，是不是还挺神奇的？勾股定理用处可大着呢！如果我们知道了两条边的长度，就能算出第三条边的长度。

像盖房子的时候，工人叔叔就能用它来确定角度和长度，保证房子稳稳当当的。

还有哦，勾股定理也能帮我们解决好多数学题。

比如说求三角形的面积，或者判断一个三角形是不是直角三角形。

而且呀，勾股定理还有好多常见的勾股数，像 3、4、5；5、12、13；6、8、10 等等。

记住这些勾股数，做题的时候说不定能省不少时间呢！怎么样，小伙伴们，勾股定理是不是很有意思呀？稿子二嗨嗨，朋友们！今天咱们一起走进勾股定理的奇妙世界！勾股定理就像是数学王国里的一把神奇钥匙，能打开好多难题的大门。

你看哈，直角三角形里，两条直角边分别叫“勾”和“股”，斜边叫“弦”。

勾股定理说的就是勾的平方加上股的平方等于弦的平方。

举个例子，一个直角三角形，勾是 6，股是 8，那弦就是 10 哟，因为 6 的平方 36 加上 8 的平方 64 等于 10 的平方 100。

这定理在生活里也到处能用上。

好比你要在院子里围个直角的篱笆，知道两边长度，就能算出斜边要多长的篱笆材料啦。

做题的时候，要是给了两条边，让求第三条边，那勾股定理就派上大用场啦。

还有那些特殊的直角三角形，比如等腰直角三角形，两条直角边相等，用勾股定理就能很快算出斜边长度。

呀，勾股定理是个超棒的工具，能让我们解决好多难题，是不是很厉害呢？好啦，关于勾股定理就先说到这儿，大家要好好记住哦！。

初中数学：勾股定理全章知识点总结⼤全及重点题型基础知识点1：勾股定理　直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和等于斜边c的平⽅。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直⾓三⾓形三边之间的关系，是直⾓三⾓形的重要性质之⼀，其主要应⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边（2）已知直⾓三⾓形的⼀边与另两边的关系，求直⾓三⾓形的另两边（3）利⽤勾股定理可以证明线段平⽅关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法，它通过“数转化为形”来确定三⾓形的可能形状，在运⽤这⼀定理时应注意：（1）⾸先确定最⼤边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直⾓的直⾓三⾓形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝⾓的钝⾓三⾓形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐⾓三⾓形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直⾓三⾓形的性质定理，⽽其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直⾓三⾓形有关。

4：互逆命题的概念 如果⼀个命题的题设和结论分别是另⼀个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中⼀个叫做原命题，那么另⼀个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明　勾股定理的证明⽅法很多，常见的是拼图的⽅法　⽤拼图的⽅法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，⾯积不会改变②根据同⼀种图形的⾯积不同的表⽰⽅法，列出等式，推导出勾股定理规律⽅法指导1．勾股定理的证明实际采⽤的是图形⾯积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直⾓三⾓形的三边的数量关系，可以⽤于解决求解直⾓三⾓形边边关系的题⽬。

3．勾股定理在应⽤时⼀定要注意弄清谁是斜边谁直⾓边，这是这个知识在应⽤过程中易犯的主要错误。