(备战2012中考15分钟精华题)考点7二元一次方程(组)

专题07二元一次方程组【专题目录】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用【题型】一、二元一次方程组的有关概念【题型】二、用代入法解二元一次方程组【题型】三、用加减法解二元一次方程组【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组【题型】五、同解方程组【题型】六、列二元一次方程组【考纲要求】1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。

【考点总结】一、二元一次方程组【注意】1.解二元一次方程组的步骤（1）代入消元法①变：将其一个方程化为y =ax +b 或者为x =ay+b 的形式②代：将y =ax +b 或者为x =ay+b 代入另一个方程③解：解消元后的一元一次方程④求：将求得的未知数值代入y =ax +b 或x =ay+b ，求另一个未知数的值⑤答:写出答案（2）加减消元法①化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,②加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数③解：解消元后的一元一次方程方程组的解.加减法解二元一次方程组的一般步骤:a .方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;b .把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;c.解这个一元一次方程;d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.常见运用题型解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s 甲+s 乙=s 总;追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程利润问题：利润=卖价-进价；利润率=进价利润×100%.数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字④求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值2.解二元一次方程组的方法选择（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法【技巧归纳】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法【类型】一、引入参数法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：＋y6＝0，①x －y ）－4（3y ＋x ）＝85.②【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等2015x ＋2016y ＝2017，①016x ＋2017y ＝2018.②题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等3＋14y ＝40，①＋13y ＝41.②【类型】三、利用换元法解二元一次方程组4y ）＋4（x －y ）＝20，－x －y2＝0.【类型】四、同解交换法解二元一次方程组5．已知关于x ，y －by ＝4，－y ＝5＋by ＝16，－7y ＝1的解相同，求(a －b)2018的值．【类型】五、运用主元法解二元一次方程组6－3y －3z ＝0，－3y －z ＝0(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yzx 2＋y 2－z 2的值．参考答案1．解：由①，得x 5＝－y6.设x 5＝－y6＝k ，则x ＝5k ，y ＝－6k.将x ＝5k ，y ＝－6k 代入方程②，得3(5k ＋6k)－4(－18k ＋5k)＝85.解这个方程得k ＝1.所以x ＝5，y ＝－6.＝5，＝－6.2．解：②－①，得x ＋y ＝1.③由③，得x ＝1－y.④把④代入方程①，得2015(1－y)＋2016y ＝2017.解这个方程，得y ＝2.把y ＝2代入方程③，得x ＝－1.所＝－1，＝2.点拨：观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便．3．解：①＋②，得27x ＋27y ＝81.化简，得x ＋y ＝3.③①－②，得－x ＋y ＝－1.④③＋④，得2y ＝2，解得y ＝1.③－④，得2x ＝4，解得x ＝2.＝2，＝1.点拨：方程组中x 的系数分别为13，14，y 的系数分别为14，13.当两式相加时，x 和y 的系数相等，化简即可得到x ＋y ＝3；当两式相减时，x 和y 的系数互为相反数，化简即可得到－x ＋y ＝－1.由此达到化简方程组的目的．4．解：设x ＋y ＝m ，x －y ＝n ＋4n ＝20，－n2＝0，＝4，＝2.＋y ＝4，－y ＝2，＝3，＝1.＝3，＝1.5．解：依题意有－y ＝5，－7y ＝1，－by ＝4，＋by ＝16.解方程组(1)＝2，＝1，代入(2)＝5，＝6.所以(a －b)2018＝(5－6)2018＝1.6．解：将原方程组变形，得－3z ＝3y ，－z ＝3y.＝－6y ，＝－9y.所以xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2＝（－6y ）·y ＋2y·（－9y ）（－6y ）2＋y 2－（－9y ）2＝－24y 2－44y 2＝611.点拨：本题不能直接求出x ，y ，z 的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数．技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用【类型】一、整体思想1．先阅读，然后解方程组．－y －1＝0，①（x －y ）－y ＝5②时，由①，得x －y ＝1，③然后再将③代入②，得4×1－y ＝5，解得y ＝－1，从而进一步求得x ＝0.＝0，＝－1.这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：0，2y ＝9.2．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，求x ＋y ＋z 的值．【类型】二、化繁为简思想3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：＋18y ＝17，①＋16y ＝15②时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．解：①－②，得2x ＋2y ＝2，所以x ＋y ＝1.③③×16，得16x ＋16y ＝16，④②－④，得x ＝－1，将x ＝－1代入③，得y ＝2.＝－1，＝2.018x＋2017y＝2016，016x＋2015y＝2014.【类型】三、方程思想4．已知(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，求x＋y的值．5．若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，求(n＋1)m＋2018的值．【类型】四、换元思想6＋x－y3＝6，y）－5（x－y）＝2.【类型】五、数形结合思想7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？【类型】六、分类组合思想8－y＝5，＋by＝－1＋y＝9，－4by＝18有公共解，求a，b的值．参考答案1．0，①2y＝9，②由①，得2x－3y＝2，③将③代入②，得1＋2y＝9，解得y＝4.把y＝4代入③，得x＝7.所以原方程组的解为＝7，＝4.2．解：因为x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，所以x＋2y＋3z＋4x＋3y＋2z＝5x＋5y＋5z＝5(x＋y＋z)＝25.所以x＋y＋z＝5.3．018x＋2017y＝2016，①016x＋2015y＝2014，②①－②，得2x＋2y＝2，即x＋y＝1，③③×2015－②，得－x＝1，即x＝－1.将x＝－1代入③，得y＝2.＝－1，＝2.4．解：因为(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，－2y－3＝0，－3y＋1＝0.＝1，＝1.所以x＋y＝2.5．解：因为3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，＋5n＋9＝1，－2n－7＝1.＝1，＝－2.所以(n＋1)m＋2018＝(－1)2019＝－1.6．解：设x＋y＝a，x－y＝b，则原方程组可化为＋b3＝6，－5b＝2.＝8，＝6.所以x＋y＝8，x－y＝6.将它们组成新方程组，[来源:学科网ZXXK]＋y＝8，－y＝6.＝7，1.＝7，＝1.7．解：设每束鲜花的价格为x元，每个礼盒的价格为y＋2y＝143，①＋y＝121，②①＋②，得3x＋3y＝264，所以x＋y＝88.所以5x＋5y＝5(x＋y)＝5×88＝440.答：买5束鲜花和5个礼盒共需440元．点拨：本题运用了数形结合思想，从图中获取信息，找出等量关系是解题的关键．8．解：－y＝5，＋by＝－1＋y＝9，－18有公共解，y＝5，＋y＝9的解也是方＋by＝－1，－4by＝18的解．－y＝5，＋y＝9，＝2，＝3.x＝2，＝3＋by＝－1，－4by＝18，＋3b＝－1，－12b＝18，＝1，＝－1.技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值1．若关于x，y－y＝m，＋my＝n＝2，＝1，则|m－n|的值为()A．1B．3C．5D．22＝2，＝3＝－4，＝2是关于x，y的二元一次方程2ax－by＝2的两组解，求a，b的值．【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值3．已知关于x，y＋2y＝3m，－y＝9m的解也是方程3x＋2y＝17的解，求m的值．【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值4．已知m，n互为相反数，关于x，y＋ny＝60，－y＝8的解也互为相反数，求m，n的值．【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值5．关于x，y＋5y＝－6，－by＝－4－5y＝16，＋ay＝－8有相同的解，求(2a＋b)2018的值．【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值6＋y＝5，－by＝13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a＝72，＝－2；乙看错了方程组中的b＝3，＝－7.(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？(2)求出原方程组的正解．参考答案1．D2．解：＝2，＝3代入原方程，得4a－3b＝2.＝－4，＝2代入原方程，得－8a－2b＝2，即4a＋b＝－1－3b＝2，＋b＝－1，＝－116，＝－34. 3．解：(方法一＋2y＝3m，①－y＝9m.②①－②，得3y＝－6m，即y＝－2m.把y＝－2m代入方程①，得x－4m＝3m.解得x＝7m.把x＝7m，y＝－2m代入3x＋2y＝17，得21m－4m＝17.解得m＝1.(方法二＋2y＝3m，①－y＝9m.②①×3－②，得2x＋7y＝0.2x＋7y＝0与3x＋2y＝17＋7y＝0，＋2y＝17.解这个方程组，得＝7，＝－2.＝7，＝－2代入方程①，得7－4＝3m，解得m＝1.4．解：由题意得x＋y＝0，解方程组＋y＝0，－y＝8＝2，＝－2.代入mx＋ny＝60，得m－n＝30.又m，n互为相反数，所以m＋n＝0.联立解得m＝15，n＝－15.5．解：＋5y＝－6，－5y＝16，＝2，＝－2，＋2b＝－4，2a＋2b＝－8，＝1，＝－3.所以(2a＋b)2018＝(2×1－3)2018＝1.6．解：(1)将x＝72，y＝－2－2＝5，＋2b＝13，＝1，＝3.将x＝3，y＝－7代入方程组，得＝5，＋7b＝13，＝1.所以甲把a错看成了1；乙把b错看成了1.(2)根据(1)得正确的a＝2，b＝3，＋y＝5，－3y＝13，＝2，＝－3.【题型讲解】【题型】一、二元一次方程组的有关概念例1、若21ab=⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax byax by⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x＋2y的算术平方根为（）A．3B．3，－3CD．【答案】C【分析】将21ab=⎧⎨=⎩代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．【详解】解：将21ab=⎧⎨=⎩代入二元一次方程3522ax byax by⎧+=⎪⎨⎪-=⎩中，得到：3522+=⎧⎨-=⎩x y x y ，解这个关于x 和y 的二元一次方程组，两式相加，解75x =得，将75x =回代方程中，解得45y =，∴7415223555+=+⨯==x y ，∴x ＋2y，故选：C ．【题型】二、用代入法解二元一次方程组例2、二元一次方程组224x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是()A ．02x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．31x y =⎧⎨=-⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】B 【详解】224x y x y ①②+=⎧⎨-=⎩，①+②得：3x=6，即x=2，把x=2代入①得：y=0，则方程组的解为2x y =⎧⎨=⎩，故答案选B.【题型】三、用加减法解二元一次方程组例3、由方程组+=43x m y m ⎧⎨-=⎩可得出x 与y 之间的关系是()．A ．x ＋y ＝1B ．x ＋y ＝－1C ．x ＋y ＝7D ．x ＋y ＝－7【答案】C 【详解】原方程可化为43x m y m ＝①＝②+⎧⎨-⎩，①+②得，x+y=7．故选C ．【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组例4、若方程组237351m n m n -=⎧⎨+=⎩的解是21m n =⎧⎨=-⎩，则方程组()()()()2132731521x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A ．11x y =⎧⎨=⎩B ．11x y =⎧⎨=-⎩C ．31x y =⎧⎨=⎩D ．33x y =⎧⎨=-⎩【答案】A 【解析】解：令x +1=m ，y ﹣2=n ，∴方程组2132731521x y x y +--=⎧⎨++-=⎩（）（）（）（）可化为237351m n m n -=⎧⎨+=⎩．∵方程组237351m n m n -=⎧⎨+=⎩的解是21m n =⎧⎨=-⎩，∴x +1=2，y ﹣2=﹣1，解得：11x y =⎧⎨=⎩．故选A ．【题型】五、同解方程组例5、已知关于x ，y 的方程组2342x y ax by -=⎧⎨+=⎩，与3564x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩，有相同的解，则a ，b 的值为（）A ．21a b =-⎧⎨=⎩B ．12a b =⎧⎨=-⎩C ．12a b =⎧⎨=⎩D ．12a b =-⎧⎨=-⎩【答案】B【解析】关于x ,y 的方程组2342x y ax by -=⎧⎨+=⎩与3564x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩,有相同的解,所以234356x y x y -=⎧⎨-=⎩,解得20x y =⎧⎨=⎩,将20x y =⎧⎨=⎩代入24ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩可得2224a b =⎧⎨=-⎩,解得12a b =⎧⎨=-⎩,故选B.【题型】六、列二元一次方程组例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．2392x yx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392x yx y⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392x yx y⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392x yx y⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩【答案】B【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．【详解】解：设有x人，y辆车，依题意得：2392x yx y⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故选B．二元一次方程组（达标训练）一、单选题1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（）A．23120220x yx y+=⎧⎨-=⎩B．23120220x yx y+=⎧⎨+=⎩C．23120220x yy x+=⎧⎨-=⎩D．32120220x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】根据“购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元”建立方程组即可．【详解】解：由题意，可列方程组为23120 220x yx y+=⎧⎨-=⎩，故选：A．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，正确找出等量关系是解题关键．2．（2022·天津河北·一模）方程组282x yx y+=⎧⎨=⎩的解是()A．21xy=⎧⎨=⎩B．42xy=⎧⎨=⎩C．12xy=⎧⎨=⎩D．24xy=⎧⎨=⎩【答案】D【分析】利用消元法，直接将方程y=2x代入方程28x y+=中，即可求解．【详解】利用消元法，直接将方程y=2x代入方程28x y+=，解得x =2，则有y =2x =4，则方程组的解为：24x y =⎧⎨=⎩，故选：D ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握消元法是解答本题关键．3．（2022·天津红桥·三模）方程组21230x y y x +=-⎧⎨+=⎩的解是（）．A ．11x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=-⎩【答案】C【分析】根据加减消元解二元一次方程组即可．【详解】解：21230x y y x +=-⎧⎨+=⎩①②，①×2-②得，x =-2，将x =-2代入①式得，2×(-2)+y =-1，解得y =3，∴方程组的解为23x y =-⎧⎨=⎩．故选：C ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于熟练运用加减消元法解二元一次方程组．4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（）A ．1xy =B ．210x -=C ．1x y -=D ．11x y+=【答案】C【分析】根据二元一次方程的定义可得答案．【详解】解：A ．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；B ．含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；C ．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；D ．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．5．（2022·山东威海·一模）已知关于x，y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是（）A．2-B．2C．3D．3-【答案】B【分析】把11xy=⎧⎨=-⎩代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．【详解】解：把11xy=⎧⎨=-⎩代入方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩得：231a ba b-=⎧⎨+=⎩，解得：4313 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4122()233a b-=-⨯-=，故选：B．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．二、填空题6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．【答案】35【分析】设索长x尺，竿子长y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设索长x尺，竿子长y尺，依题意，得：5152x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：2015 xy=⎧⎨=⎩，∴x+y=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组26221x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y +的值为______．【答案】9【分析】解方程组，求得x 、y 的值，进而求得答案．【详解】解：由方程组26221x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得123x y =⎧⎨=-⎩∴9x y +=故答案为：9．【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．三、解答题8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②时，采用了一种“整体代入”的解法：解：由①得x ﹣y ＝1③将③代入②得：4×1﹣y ＝5，即y ＝﹣1把y ＝﹣1代入③得x ＝0，∴方程组的解为01x y =⎧⎨=-⎩请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程232235297x y x y y -=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩．【答案】74x y =⎧⎨=⎩【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y ＝9，解得y ＝4，再将y ＝4代入①得：x ＝7，得到原方程组的解为：74x y =⎧⎨=⎩．【详解】解：232{235297x y x y y -=-++=①②，将①代入②得：1+2y ＝9，即y ＝4，将y ＝4代入①得：x ＝7，∴原方程组的解为：74x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．二元一次方程组（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a a 、b 的值分别是（）A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定义可知32a b -=，由最简二次根式3a 4326a b a b +=-+，由此即可求解．【详解】解：∵最简二次根式3∴324326a b a b a b -=⎧⎨+=-+⎩，∴3223a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．2．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知12x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组m −n =8m +n =1的解，则43m n +的立方根为（）A ．±1BC ．±D ．1-【答案】D【分析】将12x y =⎧⎨=⎩代入81mx ny nx my -=⎧⎨+=⎩，得到关于m ，n 的方程组，再用代入消元法求解方程组，得到m ，n 的值，即可求得43m n +的值，再根据立方根的定义即可求解．【详解】解：12x y =⎧⎨=⎩ 是二元一次方程组81mx ny nx my -=⎧⎨+=⎩的解2821m n n m -=⎧∴⎨+=⎩①②由①得82m n =+，将82m n =+代入②，得()2821n n ++=，解得3n =-，将3n =-代入82m n =+，得()823=2m =+⨯-，()43=4233=-1m n ∴+⨯+⨯-，1-Q 的立方根为1-，43m n ∴+的立方根为1-，故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、立方根的求法是解题的关键．3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组233345x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是31x y =⎧⎨=⎩．现给出另一个二元一次方程组2(21)3(31)33(21)4(31)5x y x y +--=⎧⎨+--=⎩，它的解是（）A ．123x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩B ．123x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩C ．123x y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．123x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩【答案】C【分析】先仿照已知方程组的解建立一个新的方程组，再解新的方程组即可．【详解】解：∵233345x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是31x y =⎧⎨=⎩，∴由方程组()()()()22133133214315x y x y ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩可得：213311x y +=⎧⎨-=⎩，解得123x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，利用了类比的方法，熟练掌握方程组的解法是解答本题的关键．4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x 辆车，y 人，根据题意，列方程组是（）A ．2932y x y x =+⎧⎨=-⎩B ．293(2)y x y x =+⎧⎨=-⎩C ．2932y x y x =-⎧⎨=-⎩D ．()2932y x y x =-⎧⎨=-⎩【答案】B【分析】根据等量关系：总人数不变，列方程即可．【详解】依题意得：293(2)y x y x =+⎧⎨=-⎩，故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x ，y 的方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩的解是整数，那么整数m的值为（）A ．4，4-，5-，13B ．4，4-，5-，13-C ．4，4-，5，13D ．4-，5，5-，13【答案】B【分析】先将m 看作已知量，解二元一次方程组，用m 表示出y ，再结合x ，y 为整数，得出y 的整数解，然后把y 的整数解代入①，得出x 的解，再把方程组的整数解代入②，即可得出m 的值．【详解】解：436626x y x my -=⎧⎨+=⎩①②，由23⨯-⨯②①，可得：3429y m =+，∵x ，y 为整数，∴当()29m +为341721341721----，，，，，，，时，y 为整数，∴把()29m +的值代入3429y m =+，可得：1y =-，2y =-，17y =-，34y =-，1y =，2y =，17y =，34y =，∴把y 的整数解代入①，可得：34x =，0x =，454x =-，24x =-，94x =，3x =，574x =，27x =，∴方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩的整数解为02x y =⎧⎨=-⎩，2434x y =-⎧⎨=-⎩，32x y =⎧⎨=⎩，2734x y =⎧⎨=⎩，把方程组的整数解代入②，可得：13m =-，5m =-，4m =，4m =-．故选：B【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m 的代数式表示y ．二、填空题6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x 人，库绢有y 匹，则可列方程组为______．【答案】6677x y x y+=⎧⎨-=⎩【分析】根据“如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹”列出方程组即可．【详解】解：设现在有x 人，有绢y 匹，根据题意得6677x yx y+=⎧⎨-=⎩，故答案为：6677x yx y+=⎧⎨-=⎩．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．三、解答题7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组：(1)1223334m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；(2)6234()5()2x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩；(3)0.10.3 1.3123x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩；(4)23433x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩．【答案】(1)2881718017m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2)71x y =⎧⎨=⎩(3)43x y =⎧⎨=⎩(4)69x y =-⎧⎨=-⎩【分析】（1）先把每个方程去分母变形，再用加减消元法消去n ，解得m 的值，再代入可得n 的值；（2）设x +y =m ，x -y =n ，先解得m 、n 的值，再解x 、y 的方程组求出x 、y 的值；（3）用加减消元法消去x ，解一元一次方程求出y ，再代入可得x 的值；（4）用代入消元法先消去x ，即可解出方程组的解．（1）12233 34m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②①×6得：3m +2n =72③，②×12得：4m -3n =36④，③×3+④×2得：17m =288，∴28817m =，把28817m =代入③得：288327217n ⨯+=，∴18017n =，∴2881718017m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）6234()5()2x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩设x +y =m ，x -y =n ，则原方程组变为：6 23452m nm n ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩①②①×30+②×2得：23m =184，∴m =8，把m =8代入①得：46,3n +=∴n =6，∴8,6x y x y +=⎧⎨-=⎩∴71x y =⎧⎨=⎩（3）0.10.3 1.3123x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②①×30-②×6得：11y =33，∴y =3，把y =3代入①得：0.1x +0.9=1.3，∴x =4，∴43x y =⎧⎨=⎩（4）23433x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩①②由①得：23x y =③，把③代入②得：24333y y ⨯-=，∴y =-9，把y =-9代入③得：2(9)63x =⨯-=-，∴69x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法和加减消元法，把二元转化为一元．8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元．(1)求排球和篮球的单价．(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的23，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？【答案】(1)排球单价为18元，篮球45元；(2)购买120个排球费用最少；(3)211个【分析】（1）设排球x 元，篮球y 元，列出方程组求解即可；（2）设排球m 个，篮球（120-m ）个，记总费用为W 元，得W =()1845120275400m m m +-=-+，再根据函数的增减性解答即可；（3）设购进a 个排球，b 个篮球，c 个足球，列出方程组，再求出符合条件的值．(1)解：设排球x 元，篮球y 元由题意得：5636010212x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1845x y =⎧⎨=⎩答：排球单价为18元，篮球45元(2)设排球m 个，篮球（120-m ）个记总费用为W 元，则W =()1845120275400m m m +-=-+∵排球的数量不少于篮球数量的23，∴()21203m m ≥-∴48m ≥∵1200m -≥，∴120m ≤∴120≥48m≥∵k=-27＜0，∴W随着m的增大而减小.∴当x=120时，W的最小值为2160元∴购买120个排球费用最少；(3)设购进a个排球，b个篮球，c个足球，总量为n，由题意得4 1845609000a ba b c=⎧⎨++=⎩解得3915020b c=-∵39 150020b->∴100013 b<∵b为正整数且为20的倍数∴b可取20、40、60总量61515020n b c b=+=+∴当b最小=20时，n最小=211∴学校至少可以购进211个球类器材【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用，关键是根据题意找出等量关系，列出函数关系式．。

一、二元一次方程含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； ②有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”．关于x 、y 的二元一次方程的一般形式：ax by c +=（0a ≠且0b ≠）． 二、二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示．如：方程2x y +=的一组解为11x y =⎧⎨=⎩，表明只有当1x =和1y =同时成立时，才能满足方程．一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了．【例1】 若211350a b x y +-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =______，b =______．【例2】 已知方程()21320m n m x y ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =______，n =______． 【例3】 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）A ．10x y +-=B ．54xy +=-C ．2389x y +=D ．12x y+= 【例4】 在方程325x y -=中，若2y =-，则x =________．【例5】 二元一次方程21x y -=有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）A ．012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．11x y =⎧⎨=⎩C ．10x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =-⎧⎨=-⎩例题解析知识精讲模块一：二元一次方程二元一次方程组的概念及解法【例6】 求二元一次方程25x y +=的所有非负整数解．【例7】 已知23x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程432x y a =+的一组解，求231a a -+的值．一、二元一次方程组由几个一次方程组成并且一共．．含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 特别地，134x y x +=⎧⎨-=⎩和31x y =⎧⎨=-⎩也是二元一次方程组．二、二元一次方程组的解二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解．．．叫做二元一次方程组的解． 注意：（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组2397x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是61x y =⎧⎨=⎩．（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：因为12x y =⎧⎨=⎩能同时满足方程3x y +=、1y x -=，所以12x y =⎧⎨=⎩是方程组31x y y x +=⎧⎨-=⎩的解．【例8】 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ．52313x y y x-=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．20135x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ．57x y =⎧⎨=⎩例题解析知识精讲模块二：二元一次方程组的概念【例9】 下列各组数中，_________是方程32x y -=的解；_________是方程29x y -=的解； ________是方程组3229x y x y -=⎧⎨-=⎩的解．①．11x y =-⎧⎨=-⎩；②．51x y =⎧⎨=⎩；③．32x y =⎧⎨=⎩；④．25x y =⎧⎨=-⎩【例10】 下列方程中，与方程325x y +=所组成的方程组的解是32x y =⎧⎨=-⎩的是（）A ．34x y -=B ．434x y +=C ．1x y +=D ．432x y -=【例11】 请以122x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩为解，构造一个二元一次方程组__________________．【例12】 若x ay b =⎧⎨=⎩是方程31x y +=的一个解，则934_______a b ++=．【例13】 若关于x 、y 的二元一次方程组2x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，则m n -的值是（）A ．1B ．3C ．5D ．2【例14】 已知方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解为8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()223113325130.9x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是_________．一、消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值． 二、代入消元法1、代入消元法的概念将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ），用另一知识精讲模块三：二元一次方程组的解法个未知数（如x ）的代数式表示出来，即将方程写成y ax b =+的形式；②代入消元：将y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x 的值；④回代：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．三、加减消元法1、加减消元法的概念当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．【例15】 把方程513yx y +=+写成用含x 的式子表示y 的形式，下列各式正确的是（ ） A ．352y x =+ B ．3102y x =-C ．31522y x =--D ．31522y x =-+【例16】 若222x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则x 与y 之间的关系式为_________．【例17】 已知代数式133m x y --与52n m n x y +是同类项，那么m 、n 的值分别是（）A ．21m n =⎧⎨=-⎩B ．21m n =-⎧⎨=-⎩C ．21m n =⎧⎨=⎩D ．21m n =-⎧⎨=⎩【例18】 若()2523100x y x y +-+--=，则（ ）A ．32x y =⎧⎨=⎩B ．23x y =⎧⎨=⎩C ．50x y =⎧⎨=⎩D ．05x y =⎧⎨=⎩例题解析【例19】 用代入消元法解下列二元一次方程组：（1）2342x y y +=⎧⎨=⎩（2）50180x y x y =-⎧⎨+=⎩（3）53210x y x y -=-⎧⎨+=⎩（4）34194x y x y +=⎧⎨-=⎩【例20】 解二元一次方程组345527x y x y +=⎧⎨-=⎩①②正确的消元方法是（） A ．53⨯+⨯①②，消去x B ．35⨯-⨯①②，消去x C ．2-⨯①②，消去yD ．2+⨯①②，消去y【例21】 用加减消元法解下列二元一次方程组：（1）37232x y x y +=⎧⎨-=⎩（2）3263524x y x y -=⎧⎨-=⎩（3）3210512x y x y +=⎧⎨+=⎩（4）324432x y y x -=⎧⎨-=-⎩【例22】已知x 、y 满足方程组2100721006x y x y +=⎧⎨+=-⎩，则x y -的值为_________．【例23】在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为（）A.3m >B.3m <C.3m ≥D.3m ≤【例24】解下列二元一次方程组：（1）235455y xx y=⎧⎨+=⎩（2）2333215x yx y-=-⎧⎨+=⎩（3）()()()()31425125y xx y⎧-=-⎪⎨-=+⎪⎩（4）2153224111466x yx y⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩【例25】解二元一次方程组：（1）1243231y xx y++⎧=⎪⎨⎪-=⎩（2）2132245313245yxyx--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩（3）2320.40.7 2.8yxx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【例26】已知关于x、y的方程组227x y kx y k-=-⎧⎨+=⎩，则:________x y=．【习题1】下列各式是二元一次方程的是（）A ．30x y z -+=B ．30xy y x -+=C ．12023x y -=D ．210y x+-=【习题2】若2211a b a b x y -+--=是关于x 、y 的二元一次方程，那么a 、b 的值分别是（）A ．10a b =⎧⎨=⎩B ．01a b =⎧⎨=-⎩C ．21a b =⎧⎨=⎩D ．23a b =⎧⎨=-⎩【习题3】二元一次方程组224x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=-⎩D ．20x y =⎧⎨=⎩【习题4】由4360x y -+=，可以得到用y 表示x 的式子为________________.【习题5】解下列方程：（1）2328y xy x =⎧⎨+=⎩（2）1035x y x y +=⎧⎨-=⎩（3）233511x y x y +=⎧⎨-=⎩（4）1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩（5）372513x y x y -=⎧⎨+=⎩（6）347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩随堂练习【作业1】若24341358m n m n x y --+--=是关于x 、y 的二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为_________． 【作业2】若12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程31ax y -=的解，则a 的值为（ ）A ．5-B ．1-C ．2D ．7【作业3】下列方程组：①220x y x y -=⎧⎨+=⎩；②11x y y z -=⎧⎨-=⎩；③12xy x y =⎧⎨+=⎩；④120x y =⎧⎨-=⎩其中，是二元一次方程组的是_________．【作业4】已知12x y =-⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程组12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩的解，则a b +=______．【作业5】若12x y =⎧⎨=-⎩是关于x 、y 的方程1ax by -=的一组解，且3a b +=-，求52a b -的值．【作业6】解下列二元一次方程组：（1）45805620x y y x -=⎧⎨+=⎩（2）23953x y x y +=-⎧⎨-=⎩（3）()39312x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩（4）1243231y x x y ++⎧=⎪⎨⎪-=⎩（5）734628x y x y +=⎧⎨+=⎩（6）134723m nm n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩课后作业。

中考重点二元一次方程组的解法一、二元一次方程组的概念和表示方式二元一次方程组由两个含有两个未知数的线性方程组成，表示形式如下：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂为已知系数，x、y为未知数。

二、消元法解二元一次方程组消元法是解二元一次方程组最常用的方法，下面以例题来说明：例：求解方程组2x + 3y = 83x - 4y = 7步骤一：消去x的系数，将方程组变形为：2(3x - 4y) = 2(7)3(2x + 3y) = 3(8)化简后得：6x - 8y = 146x + 9y = 24步骤二：两个方程相减消去x的变量，得到y的值：(6x - 8y) - (6x + 9y) = 14 - 24-17y = -10y = (-10)/(-17) = 10/17步骤三：将y的值代入到任意一个方程中，求出x的值：3x - 4y = 73x - 4(10/17) = 73x - (40/17) = 73x = 7 + (40/17)3x = (49/17) + (40/17) = 89/17x = (89/17) * (1/3) = 89/51所以，方程组的解为：x = 89/51，y = 10/17。

三、代入法解二元一次方程组代入法是另一种解二元一次方程组的常用方法，下面以例题来说明：例：求解方程组3x + 4y = 102x - y = 5步骤一：将第二个方程表示为y的式子：步骤二：将y的值代入到第一个方程中，得到x的值：3x + 4(2x - 5) = 103x + 8x - 20 = 1011x - 20 = 1011x = 30x = 30/11步骤三：将x的值代入到任意一个方程中，求出y的值：2x - y = 52(30/11) - y = 560/11 - y = 5y = 60/11 - 5y = (60/11) - (55/11) = 5/11所以，方程组的解为：x = 30/11，y = 5/11。

二元一次方程组一、考点讲解：1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 4．二元一次方程组的解法．（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．（2）加减消无法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 5、方程关于解的个数1.一元一次方程ax b =的解由a b 、的值决定:⑴若0a ≠,则方程ax b =有唯一解b x a =;⑵若0a b ==,方程变形为00x ⋅=,则方程ax b =有无数多个解; ⑶若0,0a b =≠,方程变为0x b ⋅=,则方程无解.2.关于x y 、的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的讨论可以按以下规律进行:⑴若1122a b a b ≠,则方程组有唯一解;⑵若111222a b c a b c ==,则方程组有无数多个解;⑶若111222a b c a b c ≠=,则方程组无解.经典实例例1、解下列方程组:⑴41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩ ⑵()()41312223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩ ⑶2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩⑴()()9185232032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ ⑵7231x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩⑶199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩ ⑷323231112x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ ⑸23427x y y z z x x y z +++⎧==⎪⎨⎪++=⎩例3.如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a c 与的关系是( ) A.49a c += B. 29a c += C. 49a c -= D. 29a c -=例4.关于x y 、的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解,则k 的值是 . 例5. 若已知方程()()()221153ax a x a y a -+++-=+,则当a = 时,方程为一元一次方程; 当a =时,方程为二元一次方程.例6. 已知方程组 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩;乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩,若按正确的a b 、计算,求原方程组的解.例7. 若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222222522310x y z x y z +---的值.例8. 求二元一次方程3220x y +=的:⑴所有正整数解;⑵一组分数解;⑶一组负数解.例9.已知关于x y 、的方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解,即x y 、都是整数,m 是正整数,求m 的值.强化训练 一、选择题：1. 若92x y =⎧⎨=⎩是方程组473x y a b x y a b -=+⎧⎨-=-⎩解, 则a b 、的值是( )a 515 42x y x by +=⎧⎨-=-⎩① ②A.81214ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ B.317ab=⎧⎨=-⎩ C.47232ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ D.519ab=⎧⎨=-⎩2. 如果方程组()43713x ykx k y+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y、的值相等,则k的值是( )A.1B.0C.2D. 2-3.如果()25x y+-与3210y x-+互为相反数，那么x= ，y= .4. 若23xy=-⎧⎨=⎩是方程33x y m-=和5x y n+=的公共解,则23m n-= .5. 已知231xy=-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解,则()()a b a b+-的值是 .三、解下列方程组:⑴()1232111xyx y+⎧=⎪⎨⎪+-=⎩⑵361463102463361102x yx y+=-⎧⎨+=⎩四、已知关于x y、的方程组2647x ayx y-=⎧⎨+=⎩有整数解,即x y、都是整数,a是正整数,求a的值.五、35303580x y zx y z++=⎧⎨--=⎩（0z≠），则:x z=，:y z=；六、已知关于x y、的方程组()312y kx by k x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩分别求出k,b为何值时, 方程组的解为:⑴唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解? 总结：一、已知方程123+=+myx12-=+myx当m为何值时，yx>。

第7章 分式与分式方程一、选择题1.（2010湖北孝感，6，3分）化简x y x yy x x⎛⎫--÷⎪⎝⎭的结果是（ ） A.1yB. x y y +C. x y y -D. y【答案】B2. （2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1mm m+÷⋅--的结果是（ ） A ．221m m --- B ．221m m -+- C ．221m m --D ．21m -【答案】B3. （2011四川南充市，8，3分） 当8、分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B4. （2011浙江丽水，7，3分）计算1a -1 – aa -1的结果为（ ） A. 1+aa －1B. －a a -1C. －1D.1－a【答案】C5. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则ba ab-的值是 A.21 B.－21C.2D.－2 【答案】D6. （ 2011重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( ) A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 【答案】B.7. （2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于A. 336D. 3【答案】A8. （2011山东临沂，5，3分）化简（x －x 1-x 2）÷（1－x 1）的结果是（ ） A ．x1B ．x －1C ．x 1-xD ．1-x x【答案】B9. （2011广东湛江11,3分）化简22a b a b a b---的结果是 A a b + B a b - C 22a b - D 1【答案】A10．（2011浙江金华，7，3分）计算1a -1 – aa -1的结果为（ ） A.1+a a －1 B. －aa -1C. －1D.1－a 【答案】C 二、填空题1. （2011浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式x-31有意义． 【答案】3x ≠2. （2011福建福州，14，4分）化简1(1)(1)1m m -++的结果是 【答案】m3. （2011山东泰安，22 ，3分）化简：（2x x+2-x x-2）÷x x 2-4的结果为 。

2019年中考专题复习第二章方程与不等式第七讲二元一次方程(组)【基础知识回顾】一、等式的概念及性质：1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式2、等式的性质：①、性质1：等式两边都加（减）所得结果仍是等式，即：若a=b,那么a±c=②、性质2：等式两边都乘以或除以（除数不为0）所得结果仍是等式即：若a=b,那么a c=，若a=b（c≠o）那么ac =【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值】二、方程的有关概念：1、含有未知数的叫做方程2、使方程左右两边相等的的值，叫做方程的组3、叫做解方程4、一个方程两边都是关于未知数的，这样的方程叫做整式方程三、一元一次方程：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成的形式。

2、解一元一次方程的一般步骤：1。

2。

3。

4。

5。

【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。

】四、二元一次方程组及解法：1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a.b.c是常数，a≠0,b≠0)；2、由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组；3、二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解；4、解二元一次方程组的基本思路是： ；5、二元一次方程组的解法：① 消元法 ② 消元法【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解2、二元一次方程组的解应写成五、列方程（组）解应用题：一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量2、设：直接或间接设未知数3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组）4、解：解这个方程（组），求出未知数的值5、验：检验方程（组）的解是否符合题意6：答：写出答案（包括单位名称）【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是： 2、几个常用的等量关系：①路程=× ②工作效率=】【重点考点例析】考点一：二元一次方程组的解法 例1（2018•嘉兴）用消元法解方程组35432x y x y --⎧⎨⎩＝，①＝．②时，两位同学的解法如下：解法一：由①-②，得3x=3．解法二：由②得，3x+（x-3y ）=2，③把①代入③，得3x+5=2．（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．x=a y=b 的形式【思路分析】（1）观察两个解题过程即可求解；（2）根据加减消元法解方程即可求解．【解答】解：（1）解法一中的解题过程有错误，由①-②，得3x=3“×”，应为由①-②，得-3x=3；（2）由①-②，得-3x=3，解得x=-1，把x=-1代入①，得-1-3y=5，解得y=-2．故原方程组的解是12xy-⎩-⎧⎨＝＝．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．考点二：一（二）元一次方程的应用例2 （2018•齐齐哈尔）某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【思路分析】设安排女生x人，安排男生y人，由“累计56个小时的工作时间”列出方程求得正整数解．【解答】解：设安排女生x人，安排男生y人，依题意得：4x+5y=56，则5654yx-=．当y=4时，x=9．当y=8时，x=4．即安排女生9人，安排男生4人；安排女生4人，安排男生8人．共有2种方案．故选：B．【点评】考查了二元一次方程的应用．注意：根据未知数的实际意义求其整数解．考点三：二元一次方程组的应用例3 （2018•常德）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？【思路分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120-a）千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意得：8181700 10201700300x yx y+++⎧⎨⎩＝＝，解得：19010xy⎧⎨⎩＝＝．答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120-a）千克，根据题意得：w=10a+20（120-a）=-10a+2400．∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，∴a≤3（120-a），解得：a≤90．∵k=-10＜0，∴w随a值的增大而减小，∴当a=90时，w取最小值，最小值-10×90+2400=1500．∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．【聚焦山东中考】1．（2018•泰安）夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（）A．530020015030x yx y+⎨⎩+⎧＝＝B．530015020030x yx y+⎨⎩+⎧＝＝C．302001505300x yx y⎨⎩++⎧＝＝D．301502005300x yx y⎨⎩++⎧＝＝2．（2018•东营）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（）A．19 B．18C．16 D．153．（2018•枣庄）若二元一次方程组3354x yx y+-⎧⎨⎩＝＝的解为x ay b⎧⎨⎩＝＝，则a-b=．4．（2018•青岛）5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x 吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为．5．（2018•滨州）若关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny⎩+⎨-⎧＝＝的解是12xy⎧⎨⎩＝＝，则关于a、b的二元一次方程组()()()3526()a b m a ba b n a b+--+⎧+⎪⎩-⎪⎨＝＝的解是．6．（2018•烟台）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？7．（2018•聊城）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方．（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？【备考真题过关】一、选择题A ．14x y ⎧⎨⎩＝＝B ．20x y ⎧⎨⎩＝＝ C ．02x y ⎧⎨⎩＝＝D ．11x y ⎧⎨⎩＝＝2．（2018•北京）方程组33814x y x y ⎨⎩--⎧＝＝ 的解为（ ） A ．12x y ⎩-⎧⎨＝＝B ．12x y -⎧⎨⎩＝＝ C ．21x y ⎩-⎧⎨＝＝D ．21x y -⎧⎨⎩＝＝ 3．（2018•乐山）方程组 432x y x y ==+- 的解是（ ） A ．32x y -⎩-⎧⎨＝＝B ．64x y ⎧⎨⎩＝＝ C ．23x y ⎧⎨⎩＝＝D ．32x y ⎧⎨⎩＝＝4．（2018•杭州）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得-2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则（ ）A ．x-y=20B ．x+y=20C ．5x-2y=60D ．5x+2y=60 5．（2018•深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个．下列方程正确的是（ ）A ．7086480x y x y ⎨⎩++⎧＝＝ B ．7068480x y x y ⎨⎩++⎧＝＝ C ．4806870x y x y ++⎧⎨⎩＝＝ D ．4808670x y x y ++⎧⎨⎩＝＝ 6．（2018•黑龙江）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ）A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种元一次方程组111222a x b y c a x b y c ++⎧⎨⎩＝＝的解可以利用2×2阶行列式表示为：x yD x D D y D ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝；其中问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +-⎧⎨⎩＝＝时，下面说法错误的是（ ）A ．21732D ==--B ．D x =-14C ．D y =27D ．方程组的解为23x y -⎧⎨⎩＝＝ 二、填空题 8．（2018•淮安）若关于x 、y 的二元一次方程3x-ay=1有一个解是32x y ⎧⎨⎩＝＝ ，则a=． 9．（2018•无锡）方程组225x y x y -+⎧⎨⎩＝＝ 的解是． 10．（2018•包头）若a-3b=2，3a-b=6，则b-a 的值为．11．（2018•江西）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x 两、y 两，依题意，可列出方程组为．12．（2018•遵义）现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则一牛一羊值金两．13．（2018•齐齐哈尔）爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车，假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的倍．14．（2018•重庆）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A 粗粮，1千克B 粗粮，1千克C 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮，2千克B 粗粮，2千克C 粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A ，B ，C 三种粗粮的成本价之和．已知A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是．（100%-=⨯商品的售价商品的成本价商品的利润率商品的成本价）已知在另一次游戏中，50局比赛后，小光总得分为-6分，则小王总得分为分．三、解答题16．（2018•宿迁）解方程组：20 346x yx y++⎧⎨⎩＝＝．17．（2018•扬州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a+b．例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求2⊗（-5）的值；（2）若x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1，求x+y的值．18．（2018•黄冈）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A 型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．19．（2018•白银）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．20．（2018•永州）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．21.（2018•咸宁）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）30 42租金/（元/辆）300 400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为辆；（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．2019年中考专题复习第二章方程与不等式第七讲二元一次方程(组)参考答案【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值，本题属于基础题型．4.【思路分析】设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据两厂5月份的用水量及6月份的用水量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意得：200115%110%17 ()()4x yx y+-+⎩-⎧⎨＝＝．故答案为：200115%110%17 ()()4 x yx y+-+⎩-⎧⎨＝＝．【点评】本题考查了二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5.【思路分析】利用关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny⎩+⎨-⎧＝＝的解是12xy⎧⎨⎩＝＝可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好．【解答】解：方法一：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny⎩+⎨-⎧＝＝的解是12xy⎧⎨⎩＝＝，∴将解12xy⎧⎨⎩＝＝代入方程组3526x myx ny⎩+⎨-⎧＝＝，可得m=-1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组()()()3526()a b m a ba b n a b+--+⎧+⎪⎩-⎪⎨＝＝可整理为：42546a ba⎩+⎧⎨＝＝解得：3212 ab⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝方法二：关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny⎩+⎨-⎧＝＝的解是12xy⎧⎨⎩＝＝，由关于a、b的二元一次方程组()()()3526()a b m a ba b n a b+--+⎧+⎪⎩-⎪⎨＝＝可知12a ba b+-⎧⎨⎩＝＝解得：3212ab⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，故答案为：3212 ab⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝.【点评】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．6.【思路分析】（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据“两种款型的单车共100辆，总价值36800元”列方程组求解可得；（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a 的不等式，解之求得a的范围，进一步求解可得．【解答】解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得：100 40032036800x yx y⎨⎩++⎧＝＝，解得：6040xy⎧⎨⎩＝＝，答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，解得：a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，则城区10万人口平均每100人至少享有A型车31000003100000⨯=辆、至少享有B型车1002000100000⨯=2辆．7．（2018•聊城）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方．（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？2.【思路分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：33814x yx y⎧⎨⎩--＝①＝②，①×3-②得：5y=-5，即y=-1，将y=-1代入①得：x=2，则方程组的解为21xy-⎧⎨⎩＝＝；故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.【思路分析】先把原方程组化为23142x yx y⎧⎪+⎪⎨⎩＝＝，进而利用代入消元法得到方程组的解为32xy⎧⎨⎩＝＝．【解答】解：由题可得，23142x yx y⎧⎪+⎪⎨⎩＝＝，消去x，可得12432y y-=（），解得y=2，把y=2代入2x=3y，可得x=3，∴方程组的解为32xy⎧⎨⎩＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．4.【思路分析】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题得-2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分”列出方程．【解答】解：设圆圆答对了x道题，答错了y道题，依题意得：5x-2y+（20-x-y）×0=60．故选：C．【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量=20，避免误选B．5.【思路分析】根据题意可得等量关系：①大房间数+小房间数=70；②大房间住的学生数+小房间住的学生数=480，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设大房间有x个，小房间有y个，由题意得：70 86480x yx y⎨⎩++⎧＝＝，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元二一方程组，关键是正确理解题二、填空题8.【思路分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把32xy⎧⎨⎩＝＝代入方程得：9-2a=1，解得：a=4，故答案为：4．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9.【思路分析】利用加减消元法求解可得．【解答】解：225x yx y⎧⎩-⎨+＝①＝②，②-①，得：3y=3，解得：y=1，将y=1代入①，得：x-1=2，解得：x=3，所以方程组的解为31xy⎧⎨⎩＝＝，故答案为：31xy⎧⎨⎩＝＝．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．10.【思路分析】将两方程相加可得4a-4b=8，再两边都除以2得出a-b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．【解答】解：由题意知3236a ba b--⎧⎨⎩＝①＝②，①+②，得：4a-4b=8，则a-b=2，∴b-a=-2，故答案为：-2．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．11.【思路分析】设每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据题意得：5210 258x yx y+⎨⎩+⎧＝＝．故答案为：5210 258x yx y+⎨⎩+⎧＝＝．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12.【思路分析】设一牛值金x两，一羊值金y两，根据“牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，两方程相加除以7，即可求出一牛一羊的价值．【解答】解：设一牛值金x两，一羊值金y两，根据题意得：528256x yx y+⎩+⎧⎨＝①＝②，（①+②）÷7，得：x+y=2．故答案为：二．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13.【思路分析】设103路公交车行驶速度为x米/分钟，爸爸行走速度为y米/分钟，两辆103路公交车间的间距为s米，根据“每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，消去s即可得出x=6y，此题得解．【解答】解：设103路公交车行驶速度为x米/分钟，爸爸行走速度为y米/分钟，两辆103路公交车间的间距为s米，根据题意得：7755x y sx y s⎩-+⎧⎨＝＝，解得：x=6y．故答案为：6．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14.【思路分析】先求出1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价=58.5÷（1+30%）-6×3=27元，得出乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）=72元．再设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，根据甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，列出方程45×30%x+60×20%y=24%（45x+60y），求出89xy=．【解答】解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价=58.5÷（1+30%）-6×3=27（元），∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，∴乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）=72（元）．甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1+30%）=45，乙种粗粮每袋成本价为6+2×27=60．设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，由题意，得45×30%x+60×20%y=24%（45x+60y），45×0.06x=60×0.04y，89xy=．故答案为：89．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．15.【思路分析】观察二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小光拿-1分，第五局小光拿0分，进而可得出五十局中可预知的小光胜9局、平8局、负8局，设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25-x-y）局，根据50局比赛后小光总得分为-6分，即可得出关于x、y 的二元一次方程，由x、y、（25-x-y）均非负，可得出x=0、y=25，再由胜一局得3分、负一局得-1分、平不得分，可求出小王的总得分．【解答】解：由二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小光拿-1分，第五局小光拿0分．∵50÷6=8（组）……2（局），∴（3-1+0）×8+3=19（分）．设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25-x-y）局，根据题意得：19+3x-y=-6，∴y=3x+25．∵x、y、（25-x-y）均非负，∴x=0，y=25，∴小王的总得分=（-1+3+0）×8-1+25×3=90（分）．故答案为：90．【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．三、解答题16.【思路分析】直接利用加减消元法解方程得出答案．【解答】解：20346x yx y++⎧⎨⎩＝①＝②，①×2-②得：-x=-6，解得：x=6，故6+2y=0，解得：y=-3，故方程组的解为：63xy-⎧⎨⎩＝＝．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解方程组的方法是解题关键．17.【思路分析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，即可得到2⊗（-5）的值；（2）依据x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1，可得方程组2241x yy x-+⎩-⎧⎨＝＝，即可得到x+y的值．【解答】解：（1）∵a⊗b=2a+b，∴2⊗（-5）=2×2+（-5）=4-5=-1；（2）∵x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1，∴2241x yy x-+⎩-⎧⎨＝＝，解得7949xy⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，∴741993x y+=-=．【点评】本题主要考查解二元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据题意列出方程组是解题的关键．18.【思路分析】订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克．根据B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元列出方程组，求解即可．【思路解答】解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意，得220 28242560y xx y-⎩+⎧⎨＝＝，解得4060xy⎧⎨⎩＝＝．答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组再求解．19.【思路分析】设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据题意得：911616y xy x-+⎧⎨⎩＝＝，解得：970xy⎧⎨⎩＝＝．答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．20.【思路分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y 人，根据“男生人数+女生人数=55、男生人数=1.5×女生人数+5”列出方程组并解答．【解答】解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y 人，依题意得：551.55x yx y⎨++⎧⎩＝＝，解得3520xy⎧⎨⎩＝＝，答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．【点评】考查了二元一次方程组的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．21.【思路分析】（1）设出老师有x名，学生有y名，得出二元一次方程组，解出即可；（2）根据汽车总数不能小于30050427=（取整为8）辆，即可求出；（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8-x）辆，由题意得出400x+300（8-x）≤3100，得出x取值范围，分析得出即可．【解答】解：（1）设老师有x名，学生有y名．依题意，列方程组为1712 184x yx y⎩-+⎧⎨＝＝，。

二元一次方程组知识点汇总及练习(超详细)二元一次方程组知识点梳理及经典练知识点1：二元一次方程组的定义1.二元一次方程1）定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

2）三个条件：①方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。

②含有未知数的项的次数都是1.③二元一次方程的左右两边都必须是等式。

3）含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数均为1.即若ax+by=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1，n=1.2.二元一次方程组1）定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。

2）三个条件：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1.③方程组中每个方程均为整式方程。

3.二元一次方程组的解1）定义：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

2）常考题型：①根据定义判断。

②已知方程组的解，求方程组待定系数（将解代入方程）。

③列方程组求相关字母的值。

知识点2：解二元一次方程组1.代入消元法1）定义：通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。

2）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。

②把①中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数。

③解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值。

④把所求得的一个未知数的值代入①中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。

例：解方程组：2x-7y=83x-8y-10=02.加减消元法1）定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

2）加减消元法解方程步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题8：二元一次方程组一、选择题1. （2012某某某某3分）已知关于x ，y 的方程组x y=4a x y=3a -⎧⎨-⎩+3，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论： ①x=5y=1⎧⎨-⎩是方程组的解；②当a=﹣2时，x ，y 的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是【 】A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】C 。

【考点】二元一次方程组的解，解一元一次不等式组。

【分析】解方程组得出x 、y 的表达式，根据a 的取值X 围确定x 、y 的取值X 围，逐一判断：解方程组x y=4a x y=3a -⎧⎨-⎩+3，得x=12a y=1a +⎧⎨-⎩。

∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4。

①x=5y=1⎧⎨-⎩不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x ，y 的值互为相反数，结论正确；③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a 两边相等，结论正确；④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1﹣a≥1，已知0≤y≤4，故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确。

，故选C 。

2. （2012某某某某4分）二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝32x －y ＝6的解是【 】A ．⎩⎨⎧x ＝6y ＝－3 B ．⎩⎨⎧x ＝0y ＝3 C ．⎩⎨⎧x ＝2y ＝1 D ．⎩⎨⎧x ＝3y ＝0【答案】D 。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】3x 3x y 33x=9x=3y 0y 02x y 6=+=⎧⎧−−−−→−−−−−→−−−−→=⇒⎨⎨=-=⎩⎩ ①+②得两边除以得代入①得①②。

故选D 。

3. （2012某某某某4分）二元一次方程组x y 22x y 1+=⎧⎨-=⎩的解是【 】 A ．x 0y 2=⎧⎨=⎩ B ．x 1y 1=⎧⎨=⎩ C ．x 1y 1=-⎧⎨=-⎩ D ．x 2y 0=⎧⎨=⎩【答案】B 。

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。

如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elim ination by substitution)，简称代入法。

加减消元法例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2∴x=7 y=-2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。

二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。