四年级奥数整数计算综合

苏教版四年级上册奥数培优第七讲整数四则混合运算（添运算符号和括号）【知识概述】根据题目给定的一些数字和一定的要求，添上各种运算符号或括号，使等式成立，这种练习不仅能加深对四则运算意义的理解，提高计算能力，而且能够培养同学们思维的灵活性和敏捷性。

例1请用下面给出的四个数，按规则算出24。

(1)3 3 5 6 (2)2 2 4 8练习一：请用下面给出的四个数，按规则算出24。

1,3,5,7 2,5,7,9 2,3,5,6例2：用下面每组的四张牌算24点。

(1)2,1,3,8 (2)3,4,5,7(3)Q,7,8,3 (4)K,5,4,3练习二：用下面四组数分别算二十四。

(1)4 4 4 4=24 (2)1 8 8 8=24(3)10 10 4 4=24 (4)5 3 4 6=24例3：根据下列给出的两组数，按规则就能算出“24”吗?(1)4,4,7,7 (2)2,6,2,9练习三：1.在“24”点游戏中，抽出了下面两组牌，你能求出“24”吗?1,4,4,5 6,8,8,92.填入运算符号(含括号)，计算出24。

5 5 5 5=24 2 2 2 8=241 4 6 6=24 4 6 7 8=24例4：在下面五个5之间，添上适当的运算符号“+”、“一”、“×”、“÷”或“( )”，使下面的等式成立。

5 5 5 5 5＝10练习四：填上适当的运算符号或括号，使算式成立。

(1)1 1 1 1 1=12 (2)2 2 2 2 2=12(3)3 3 3 3 3=12 (4)4 4 4 4 4=12(5)5 5 5 5 5=12 (6)6 6 6 6 6=12练习卷1.添上适当的运算符号或括号，使算式成立。

(1)3 3 3 3 3=1 (2)3 3 3 3 3=2(3)3 3 3 3 3=3 (4)3 3 3 3 3=42.在下列四个4中间，添上“+”、“一”、“×”、“÷”或“()”组成3个不同的算式，使得数都是2。

整数计算综合第一讲知识点回顾一、交换律加法交换律；乘法交换律。

二、结合律加法结合律；乘法结合律。

三、分配律乘法分配律；除法分配律。

四、去（添）括号加减法去（添）括号；乘除法去（添）括号。

五、带符号搬家同级运算可以带符号搬家；加减法为第一级运算；乘除法为第二级运算。

四则混合计算规则：1，先算乘除法，后算加减法；2，有括号先算括号里。

部分巧算方法：2，凑整法；3，提公因数法；1，分组法；4，提公除数法；知识点回顾1，计算(1)72×27×88÷(9×11×12);原式=72×27×88÷(9×11×12)=(72÷12)×(27÷9)×(88÷11)=6×3×8=144=72×27×88÷9÷11÷12去括号带符号搬家(2) 31×121-88×125(1000÷121).原式=31×121-88×125÷(1000÷121)=31×121-11×(8×125)÷1000×121=31×121-11×(1000÷1000)×121=31×121-11×121=31×121-88×125÷1000×121=(31-11)×121=20×121=24201，计算2，计算(1) 555×445-556×444;原式=555×445-556×444=555×445-(555×444+444)=555×445-555×444-444=555×(445-444)-444=555×445-(555+1)×444=555-444=111(2) 42×137-80÷15+58×138-70÷15原式=42×137-80÷15+58×138-70÷15=42×137+58×(137+1)-(80+70)÷15=(42+58)×137+58-150÷15=(42×137+58×138)-(80÷15+70÷15)=100×137+58-10=137482，计算20092009×2009-20092008×2008-20092008原式=20092009×2009-20092008×2008-20092008=20092008×2009+2009-20092008×(2008+1)=20092008×2009-20092008×2009+2009=2009=(20092008+1)×2009-20092008×2008－200920083，计算(1) 37×47+36×53原式=37×47+36×53=36×47+36×53+47=36×(47+53)+47=36×100+47=(36+1)×47+36×53=36474，计算(2) 123×76-124×75原式4，计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99原式=(1+4+7+…+97)+(2+5+8+…98)-(3+6+9+…+99)=(98+100-102)×33÷2=96×33÷2=1584=(1+97)×33÷2+(2+98)×33÷2-(3+99)×33÷2=(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+…+(97+98-99)=(0+96)×33÷2=0+3+6+…+96=15485，计算100×99-99×98+98×97-97×96+96×95-95×94+…+4×3－3×2+2×1原式=99×(100-98)+97×(98-96)+95×(96-94)+…+3×(4-2)+2×1=(99+97+95+…+3+1)×2=(1+99)×50÷2×2=5000=99×2+97×2+95×2+…+3×2+1×2分组提公因数6，计算在不大于1000的自然数中，A 为所有个位数字为8的数之和，B 为所有个位数字为3的数之和. A 与B 的差是多少？解：由题意可以知道，A 为数列8,18,28,38,…，998的和，B 为数列3,13,23,33,…，993的和。

小学数学竞赛中的整数运算整数运算是小学数学竞赛中常见的题型，考察学生的计算能力和逻辑思维能力。

本文将从整数的加法、减法、乘法和除法四个方面来介绍小学数学竞赛中的整数运算。

一、整数加法整数加法是小学数学竞赛中最基础也最常见的题型。

在进行整数加法时，首先需要明确整数的正负关系，然后按照相应的规则进行计算。

举个例子：题目：计算 -3 + 5。

解答：首先确定两个整数的正负关系，-3是负数，5是正数。

根据规则，将两个数的绝对值相加，并取相同符号，即 3 + 5 = 8，所以 -3 +5 = 8。

二、整数减法整数减法也是小学数学竞赛中常见的题型。

在进行整数减法时，同样需要明确整数的正负关系，并按照相应的规则进行计算。

举个例子：题目：计算 7 - 9。

解答：首先确定两个整数的正负关系，7是正数，9是正数。

根据规则，将两个数的绝对值相减，并取相同符号，即 9 - 7 = 2，所以 7 - 9 = -2。

三、整数乘法整数乘法是小学数学竞赛中稍微复杂一些的题型。

在进行整数乘法时，需要根据整数的正负关系来判断结果的正负，并按照相应的规则进行计算。

举个例子：题目：计算 -4 × 3。

解答：首先确定两个整数的正负关系，-4是负数，3是正数。

根据规则，将两个数的绝对值相乘，并取负号，即 4 × 3 = 12，所以 -4 × 3 = -12。

四、整数除法整数除法是小学数学竞赛中相对较难的题型。

在进行整数除法时，需要根据整数的正负关系来判断结果的正负，并按照相应的规则进行计算。

举个例子：题目：计算 -10 ÷ 2。

解答：首先确定两个整数的正负关系，-10是负数，2是正数。

根据规则，将两个数的绝对值相除，并取负号，即 10 ÷ 2 = 5，所以 -10 ÷ 2 = -5。

小结：通过对小学数学竞赛中整数运算的介绍，我们了解到整数运算需要明确整数的正负关系，并按照相应的规则进行计算。

第一讲 整数计算综合羊族和狼族发生了一场惊天动地的大混战。

战斗打得天昏地暗，同族内部偶尔也会出现这种自相残杀。

战场上，▲和▼这两种武器被广泛使用，它们的作用却不相同。

战场的某个角落里，有这样一串争斗（顺序从左至右）：这场争斗最后幸存下来的是羊还是狼？故事中的▲和▼是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过，在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样。

例题 1分析：你能根据运算“。

”的定义，反推出小括号中的□。

5是多少吗？练习1、规定运算“⊗”为：a ⊗b=2×a-b.计算：（1）（6⊗5）⊗4；（2）6⊗（5⊗4）.同学们已经学过了四则运算，在这里我们先简单复习一下四则运算的各种运算律，包括交换律、结合律、分配律、去括号和添括号的法则等等。

一、交换律：加法交换律：a+b=b+a；乘法交换律：a×b=b×a.例如：123+234=234+123；123×234=234×123.二、结合律：加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)；乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c).例如：(123+234)+345=123+(234+345)；(10×11)×12=10×(11×12).三、分配律乘法分配率：()();;a b c a c b ca b c a c b c⎧+⨯=⨯+⨯⎪⎨-⨯=⨯-⨯⎪⎩()();.c a b c a c bc a b c a c b⎧⨯+=⨯+⨯⎪⎨⨯-=⨯-⨯⎪⎩例如：(234-123)×5=234×5-123×5；5×(234-123)=5×234-5×123.除法分配率：()(),.a b c a c b c a b c a c b c ⎧+÷=÷+÷⎪⎨-÷=÷-÷⎪⎩例如：(100-40)÷10=100÷10-40÷10；避免错误使用：18÷(3÷6)≠18÷3+18÷6.四、去（添）括号：1、加、减法去（添）括号：括号前面是“+”，去（添）括号后不变号；括号前面是“-”，去（添）括号后要变号。

一、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整 常用的思想方法：1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）二、乘法凑整与运算性质思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。

例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆） 711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)三、乘、除法混合运算的性质1) 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠知识框架整数小数四则运算2) 在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷3) 在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯4) 在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ 5) 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷【例 1】91.588.890.2270.489.6186.791.8++++++【巩固】 2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝【例 2】(123456789.987654321234567891.198765432912345678.876543219)9+++÷例题精讲【巩固】计算：(123456234561345612456123561234612345)111111+++++÷【例 3】知道下题怎样快速的计算吗？⑴786 5⨯⨯⨯⑷75258⨯⑵12425⨯⑶96125⨯⨯⨯⨯．【巩固】564251252009【例 4】下面各题怎样算简便呢？⑴129⨯⨯⑵1299⨯⑶12999【巩固】小朋友，相信你一定能行噢．⑴6297⨯⨯⑷12349998⨯⑶626997⨯⑵123998。

一、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）二、乘法凑整与运算性质思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。

例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆）711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆）理论依据：乘法交换率：a×b=b×a乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)三、乘、除法混合运算的性质1) 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠2) 在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷知识框架整数小数四则运算3) 在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符一起交换位置（即带着符搬家）．例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯4) 在乘、除混合运算中，去掉或添加括的规则去括情形：①括前是“×”时，去括后，括内的乘、除符不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括前是“÷”时，去括后，括内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括情形：加括时，括前是“×”时，原符不变；括前是“÷”时，原符“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ 5) 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷【例 1】91.588.890.2270.489.6186.791.8++++++【巩固】 2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝【例 2】(123456789.987654321234567891.198765432912345678.876543219)9+++÷【巩固】 计算：(123456234561345612456123561234612345)111111+++++÷例题精讲【例 3】知道下题怎样快速的计算吗？⑴786 5 ⨯ ⑵12425⨯ ⑶96125 ⨯ ⑷75258⨯⨯【巩固】 564251252009⨯⨯⨯⨯．【例 4】下面各题怎样算简便呢？⑴129⨯ ⑵1299⨯⑶12999⨯【巩固】 小朋友，相信你一定能行噢．⑴6297⨯ ⑵123998⨯⑶626997⨯⑷12349998⨯【例 5】你能快速的写出结果吗？4511⨯ 5611⨯ 22221⨯ 245611 ⨯【巩固】 请你计算出下式结果，并总结规律．快点算吧！第一组： ⑴37101 ⨯ ⑵85101⨯⑶79101 ⨯ ⑷2310101⨯⑸4910101 ⨯ ⑹69101010101⨯第二组： ⑴1231001 ⨯ ⑵2871001⨯⑶3951001001 ⨯ ⑷456710001⨯⑸3985100010001 ⨯ ⑹438691000010000100001⨯【例 6】试着用一点技巧吧．⑴295295⨯ ⑵705705⨯【巩固】 计算：⑴ 712788⨯；⑵ 17081792⨯；⑶ 11278927⨯；⑷ 8179217⨯．【例 7】聪明的你一定能顺利的通过最后一关吧．⑴13658⨯÷ ⑵4032(89)÷⨯ ⑶125(1610)⨯÷ ⑷2560(104)÷÷⑸246052÷÷ ⑹527155⨯÷ ⑺(5424)(94)⨯÷⨯【巩固】 你会应用计算性质吗？⑴384128⨯÷ ⑵2352(78)÷⨯ ⑶1200(412)⨯÷ ⑷1250(108)÷÷ ⑸2250753÷÷ ⑹636357⨯÷ ⑺(12656)(718)⨯÷⨯【例 8】计算：11353715⨯-⨯【巩固】 计算： 345345788690105606⨯+⨯=【例 9】计算(98065320)(669864)⨯-÷+⨯【巩固】 计算：285243521201440862⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯【例 10】20.357 1.1 1.3 1.7 1.9 3.80.51 6.57.7⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷÷÷÷【巩固】计算：200.920.08200.820.07⨯-⨯【例 11】计算：20.0931.5 2.009317200.9 3.68⨯+⨯+⨯=【巩固】计算：199.919.98199.819.97⨯-⨯【例 12】计算：....103734171926⨯+⨯=【巩固】计算：20.0962200.9 3.97 2.87⨯+⨯-⨯=．Array课堂检测【随练1】(1234.562345.613456.124561.235612.346123.45)3+++++÷【随练2】计算：123456789876543219⨯=【随练3】计算：123452345246938275⨯+⨯．【随练4】计算78.16 1.45 3.1421.841690.7816⨯+⨯+⨯【随练5】计算：7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816=_____。

四年级奥数训练第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。

学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。

典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×1252. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。

4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。

游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。

口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。

例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。

如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？9. 规定运算“∇”为：a∇b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8∇10;(2) 10∇8.10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)拓展篇1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121).2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.6. 在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和. A与B的差是多少？7. 求图1-1中所有数的和.8. 已知平方差公式：22()()-=+⨯-，计算：a b a b a b22222222-+-+-++-201918171615219. 计算：951×949－52×48.10. 规定运算“Θ”为：aΘb=a+2b－2, 计算：(1) (8Θ7)Θ6;(2) 8Θ(7Θ6)11. 规定运算“”为：a b=(a+1) ×(b－2). 如果6(5)=91,那么方格内应该填入什么数？12. 规定：符号“∆”为选择两数中较大的数的运算，“∇”为选择两数中较小的数的运算，例如：3∆5=5，3∇5=3请计算：1∆2∆3∇4∆5∆6∇7∆…∇100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－ (4950)4. 已知平方差公式：22()()a b a b a b-=+⨯-, 计算：222222222222+--++--+++--1009998979695949343215. aΘb表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：4Θ3=4+5+6=15, 5Θ4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4Θ15 (2) 在算式（Θ7）Θ11=1056中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算：aΩb=a－b+1, a∀b=a×b+1, 用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=27.现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。

第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。

学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。

典型问题兴趣篇1.计算：(1) 121×32÷8;答案：484解析：原式=121×（32÷8）=121×4=484(2) 4×(250÷8)答案：125解析：原式=(4×250)÷8=1000÷8=125(3) 25×83×32×125答案：8300000解析：原式=（25×4）×（8×125）×83=100×1000×83=83000002.计算：(1) 56×22+56×33+56×44答案：5544解析：原式=56×（22+33+44）=56×99=56×（100-1）=56×100-56×1=5600-56=5544(2) 222×33+889×66.答案：66000解析：原式=111×66+889×66=66×（111+889）=66×1000=660003.计算：(1) 37×47+36×53答案：3647解析：原式=（36+1）×47+36×53=36×47+1×47+36×53=36×（47+53）+47=36×100+47=3600+47=3647(2) 123×76－124×75答案：48解析：原式=（124-1）×76－124×75=124×76-1×76－124×75=124×（76-75）-76=124-76=484.计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.答案：55解析：原式=（100-99）+（98-97）+（96-95）+…+（12-11）+10=1×45+10=555.计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.答案：51解析：原式=（50+49－48－47）+（46+45－44－43）+…+（6+5－4－3）+2+1=4×12+2+1=51 6.计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).答案：101解析：原式=1+3+5+7+…+199+201-2-4-6-8-…-198-200=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+…+（199-198）+（201-200）=1+1×100=1017.计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.答案：2500解析：原式=（1+49）×49÷2×2+50=50×49+50=50×（49+1）=50×50=25008. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。

四年级奥数训练
第1讲整数计算综合
内容概述
熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学
会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。

学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。

典型问题
兴趣篇
1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×125
2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.
3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。

4. 计算：100－99+98－97+96－95+,+12－11+10.
5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+,－4－3+2+1.
6. 计算：(1+3+5+7+,+199+201) －(2+4+6+8+,+198+200).
7. 计算：1+2+3+4+,+48+49+50+49+48+,+4+3+2+1.
8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。

游戏规则是：
对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。

口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得
新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字。

第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。

学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。

典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×1252. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。

4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。

游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。

口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。

例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。

如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？9. 规定运算“∇”为：a∇b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8∇10; (2) 10∇8.10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)拓展篇1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121).2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.6. 在不大于1000的自然数中，A 为所有个位数字为8的数之和，B 为所有个位数字为3的数之和. A 与B 的差是多少？7. 求图1-1中所有数的和.8. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-，计算： 2222222220191817161521-+-+-++-9. 计算：951×949－52×48.10. 规定运算“Θ”为：a Θb=a+2b －2, 计算：(1) (8Θ7) Θ6;(2) 8Θ(7Θ6)11. 规定运算“”为：a b=(a+1) ×(b －2). 如果6 (5)=91, 那么方格内应该填入什么数？12. 规定：符号“∆”为选择两数中较大的数的运算，“∇”为选择两数中较小的数的运算，例如：3∆5=5，3∇5=3请计算：1∆2∆3∇4∆5∆6∇7∆…∇100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－ (4950)4. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-, 计算： 222222222222100999897969594934321+--++--+++--5. a Θb 表示从a 开始依次增加的b 个连续自然数的和，例如：4Θ3=4+5+6=15, 5Θ4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4Θ15 (2) 在算式（Θ7）Θ11=1056中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算：a Ωb=a －b+1, a ∀b=a ×b+1, 用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=27.现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1， 然后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作） ③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。

奥数综合复习题一1.观察下面算式的规律：（整数计算）2000+1994-1988-1982+1976+1970-1964-1958+1952+1946-1940-1934+……，一直这样写下去，那么最后4个分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终结果是多少？-20，-14，+8，+2；20022.在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的。

前20道题中，小明做对了15道；余下的题中，他做对的题仅是做错的一半，最后一共得了50分。

如果满分是100分，那么小明做对了多少道题？（和差倍三）25道3.甲乙丙三人现在年龄和是113岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁。

请问：乙现在多少岁？（年龄问题）32岁4.如图，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数。

请将1至12中的另六个数填入其他区域内，使得每个园中的4个数之和都是28.5.一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数。

求原来的三位数。

4956.每天早上7：30王经理都从家出发，由司机开车前往公司，8：00准时到达，然后司机开车原速返回王经理家。

一天早上，王经理想要早锻炼一下，因此中途下车走到公司，结果9：00才到。

而司机8：10就已经回到王经理家中。

请问：车速是王经理步行速度的多少倍？如果第二天，王经理仍然中途下车，但是下车地点比前一天距离公司要近一些，结果8：30就赶到了公司。

司机回到王经理家应该是几点几分？7倍，8：20分7.如图，ABCD是一个长方形，E点在CD延长线上。

已知AB=5，BC=12，且三角形AFE 的面积等于20，那么三角形CFE的面积等于多少？608.体育馆里有足球、篮球和排球3种球。

一个班的50名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个。

请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？6名9.有鸡、鸭、鸽子、麻雀四只小动物。

四年级数学思维训练：整数计算综合（四年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题 （每空xx 分，共xx 分） 【题文】计算：（1）121×32÷8；（2）4×（250÷8）；（3）25×83×32×125．【答案】484；125；8300000；【解析】试题分析：（1）按照从左到右的顺序计算；（2）先算除法，再算乘法；（3）把32=4×8，利用乘法交换律与结合律简算．解：（1）121×32÷8=3872÷8=484；（2）4×（250÷8）=4×31.25=125；（3）25×83×32×125=25×4×（8×125）×83=100×1000×83=8300000．点评：整数混合运算的关键是抓住运算顺序，正确按运算顺序计算，适当利用运算定律简算．．【题文】计算：（1）56×22+56×33+56×44；（2）222×33+889×66．【答案】5544；66000．【解析】试题分析：（1）根据乘法分配律，把这几个乘式的公因数56提出来放在括号外，括号内的数相加是99，再把99看作（100﹣1），再应用乘法分配律解答．（2）把66看作2×33，即可用乘法分配律解答．解：（1）56×22+56×33+56×44=56×（22+33+44）=56×99=56×（100﹣1）=56×100﹣56）=5600﹣56=5544；（2）222×33+889×66=33×（222+889×2）=33×（222+1778）=33×2000=66000．点评：此题是整数的四则混合运算的简便算法，主要是考查乘法分配律的灵活运用．【题文】计算：（1）37×47+36×53；（2）123×76﹣124×75．【答案】3647；48．【解析】试题分析：（1）把37×7看作（36+1）×47，根据乘法分配律，（36+1）×47=36×47+47，原式=36×47+47+36×53，再用乘法分配律，36×47+47+36×53=36×（47+53）+47，即可解答．（2）把123×76看作123×75+123，124×75看作123×75+75，原式═（123×75+123）﹣（123×75+75），去括号解答即可．解：（1）37×7+36×53=（36+1）×47+36×53=36×47+47+36×53=36×（47+53）+47=36×100+47=3600+47=3647；（2）123×76﹣124×75=（123×75+123）﹣（123×75+75）=123×75+123﹣123×75﹣75=123﹣75=48．点评：此题是考查整数的四则混合运算，两个小题看似没有简便算法，只要将原式适当变形，即可用乘法分配律，使计算简便．【题文】计算：100﹣99+98﹣97+96﹣95+…+12﹣11+10．【答案】55【解析】试题分析：通过观察，相邻两个数字相差1，因此原式变为（100﹣99）+（98﹣97）+（96﹣95）+…+（12﹣11）+10，共有（100﹣12）÷2+1=45个1，然后加上10即可．解：100﹣99+98﹣97+96﹣95+…+12﹣11+10=（100﹣99）+（98﹣97）+（96﹣95）+…+（12﹣11）+10=1+1+1+…+1+10=45+10=55点评：此题解答的关键仔细分析数据，根据数字特点进行合理分组，达到简算的目的．【题文】计算：50+49﹣48﹣47+46+45﹣44﹣43+…﹣4﹣3+2+1．【答案】51【解析】试题分析：此题中的隔项相差2，因此把原式变成（50﹣48）+（49﹣47）+…+（6﹣4）+（5﹣3）+2+1，计算即可．解：50+49﹣48﹣47+46+45﹣44﹣43+…﹣4﹣3+2+1=（50﹣48）+（49﹣47）+…+（6﹣4）+（5﹣3）+2+1=2+2+2+…+2+1=2×25+1=51点评：认真观察，根据数字特点进行组合，从而达到巧算的目的．【题文】计算：（1+3+5+7+…+199+201）﹣（2+4+6+8+…+198+200）．【答案】101【解析】试题分析：通过观察，括号内的算式都是公差为2的等差数列，运用等差数列公式解答即可．解：（1+201）×101÷2﹣（2+200）×100÷2=202×101÷2﹣202×50=10201﹣10100=101点评：仔细观察数据，运用等差数列公式进行解答．【题文】计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1．【答案】2500【解析】试题分析：把1+2+3+…+49+50+49+48+…+3+2+1分成两段来计算，即原式=（1+2+3+…+49+50）+（49+48+…+3+2+1），把第二段加上50再减去50，每部分运用高斯求和公式计算即可．解：1+2+3+…+49+50+49+48+…+3+2+1=（1+2+3+…+49+50）+（50+49+48+…+3+2+1﹣50）=（1+50）×50÷2+（1+50）×50÷2﹣50=1275+（1275﹣50）=1275+1225=2500点评：此题主要运用了高斯求和公式进行计算．【题文】下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏．游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换．口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大．例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995．如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？【答案】22478【解析】试题分析：先根据口令，6595在8发出后变为695，7发出后变为9695，8发出后为995，7发出后为9995，6发出后为999，最后一次8发出后为99，把这六个数加起来即可．解：根据游戏规则得：6595”以及口令“8→7→8→7→8→8分别变为：695→9695→995→9995→999→99695+9695+995+9995+999+99=（695+995）+（9695+9995）+1000﹣1+100﹣1=1690+19690+1100﹣2=22478点评：解答本题的根据是根据题意先把这6个数照出来，然后加起来即可．【题文】规定运算“▽”为：a▽b=（a+1）×（b﹣1），请计算：（1）8▽10；（2）10▽8．【答案】81；77.【解析】试题分析：规定运算“▽”为：a▽b=（a+1）×（b﹣1），也就是等于第一个因数与1的和乘第二个因数与1的差的乘积，据此解答即可．解：1）8▽10=（8+1）×（10﹣1）=9×9=81（2）10▽8=（10+1）×（8﹣1）=11×7=77点评：根据新运算的规则，等于第一个因数与1的和乘第二个因数与1的差的乘积．【题文】规定运算“☺”为：a☺b=a×b﹣（a+b），请计算：（1）5☺8；（2）8☺5；（3）（6☺5）4；（4）6☺（5☺4）【答案】27；27；53；49.【解析】试题分析：a☺b=a×b﹣（a+b）表示两数的乘积减去这两个数的和，据此解答即可．解：因为a☺b=a×b﹣（a+b），所以：（1）5☺8=5×8﹣（5+8）=40﹣13=27（2）8☺5=8×5﹣（8+5）=40﹣13=27（3）（6☺5）☺4=（6×5﹣6﹣5）☺4=19☺4=19×4﹣（19+4）=76﹣23=53（4）6☺（5☺4）=6☺（5×4﹣5﹣4）=6☺11=6×11﹣（6+11）=66﹣17=49点评：根据新运算的法则：这种新运算等于两数的乘积减去这两个数的和．【题文】计算：（1）72×27×88÷（9×11×12）；（2）31×121﹣88×125÷（1000÷121）．【答案】144；2420.【解析】试题分析：（1）利用a÷（b×c）=a÷b÷c即可；（2）88×125=8×125×11=11×1000，再利用a÷（b÷c）=a÷b×c即可．解：（1）72×27×88÷（9×11×12）=72×27×88÷（9×11×12）=（72÷12）×（27÷9）×（88÷11）=6×3×8=18×8=144（2）31×121﹣88×125÷（1000÷121）=31×121﹣8×125×11÷1000×121=31×121﹣11×121=121×（31﹣11）=121×20=2420点评：巧妙的利用合适的简便方法使计算简便．【题文】计算：（1）555×445﹣556×444；（2）42×137﹣80÷15+58×138﹣70÷15．【答案】111；13748.【解析】试题分析：（1）利用555=5×111，444=4×111，然后利用乘法分配律即可；（2）58×138=58×137+58，80÷15+70÷15=（80+70）÷15，再利用乘法分配律即可．解：（1）555×445﹣556×444=111×5×445﹣4×111×556=111×2225﹣111×2224=111×（2225﹣2224）=111（2）42×137﹣80÷15+58×138﹣70÷15=42×137﹣（80+70）÷15+58×137+58=137×（42+58）﹣150÷15+58=137×100﹣10+58=13700+48=13748点评：解决本题的关键是注意对原题的恒等变形．【题文】计算：20092009×2009﹣20092008×2008﹣20092008．【答案】2009.【解析】试题分析：每项都有20092008，那么利用20092009×2009=（20092008+1）×2009后，再利用乘法分配律即可．解：20092009×2009﹣20092008×2008﹣20092008=（20092008+1）×2009﹣20092008×2008﹣20092008=20092008×（2009﹣2008﹣1）+2009=2009点评：解答本题的关键是把20092009×2009转化为：（20092008+1）×2009．【题文】计算：1+2﹣3+4+5﹣6+7+8﹣9+…+97+98﹣99．【答案】1584.【解析】试题分析：先进行分组，从前往后分别把三个数分为一组，即（1+2﹣3）+（4+5﹣6）+（7+8﹣9）…+（97+98﹣99）=0+3+6+…+96，变成首项为0，公差是3的前33项和，用等差公式计算即可．解：1+2﹣3+4+5﹣6+7+8﹣9+…+97+98﹣99=（1+2﹣3）+（4+5﹣6）+（7+8﹣9）…+（97+98﹣99）=0+3+6+…+96=（0+96）×33÷2=96×33÷2=1584．点评：合理分组，运用运算技巧或公式，进行简便计算．【题文】计算：100×99﹣99×98+98×97﹣97×96+96×95﹣95×94+…+4×3﹣3×2+2×1．【答案】4182.【解析】试题分析：通过仔细观察，此题可通过数字变形，即原式变为100×（100﹣1）﹣98×（98﹣1）+96×（96﹣1）﹣94×（94﹣1）+...+4×（4﹣1）﹣2×（2﹣1）=（1002﹣100）﹣（982﹣98）+（962﹣96）+...+（42﹣4）﹣（22﹣2），运用平方差公式和加法结合律，进一步变为（1002﹣982+962﹣942+...+42﹣22）﹣（100+98+96+ (2)，运用高斯求和公式，解决问题．解：100×99﹣98×97+96×95﹣94×93+…+4×3﹣2×1=100×（100﹣1）﹣98×（98﹣1）+96×（96﹣1）﹣94×（94﹣1）+…+4×（4﹣1）﹣2×（2﹣1）=（1002﹣100）﹣（982﹣98）+（962﹣96）+…+（42﹣4）﹣（22﹣2）=（1002﹣982+962﹣942+...+42﹣22）﹣（100+98+96+ (2)=（1002﹣982）+（962﹣942）﹣…+（42﹣22）﹣（100+2）×50÷2=198×2+190×2+…+6×2﹣2550=（198+190+182+…+6）×2﹣2550=（198+6）×33÷2×2﹣2550=6732﹣2550=4182点评：通过转化的数学思想，巧妙灵活地运用运算定律，使复杂的问题简单化．【题文】在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和．A 与B的差是多少？【答案】500.【解析】试题分析：分析：从1到10有2，8；，从11到20，即这样每10个数中有一个个位数是3的数，一个个位数是8的数．如1到10里，有3和8；11到20里有13和18，这两个数的差都是5，如8﹣3=5，18﹣13=5．又1000÷10=100，所以A与B的差是5×100=500．解：8﹣3=51000÷10=100，100×5=500．答：A与B的差是500．点评：完成此类题目要注意分析数据，从中找出规律后解答．【题文】求图中所有数的和．【答案】510.【解析】试题分析：每一行把第一个与第九个相加，第二个与第把个相加，第三个与第七个相加，第四个与第六个相加，再加第五个，第一行是4个18与9；第二行4个20与10；第三行4个22与11；第四行4个24与12；第五行4个26与13相加即可．解：18×4+9+20×4+10+22×4+11+24×4+12+26×4+13=72+9+80+10+88+11+96+12+104+13=510．点评：本题考查了数字和问题，关键是得出第一行是4个18与9；第二行4个20与10；第三行4个22与11；第四行4个24与12；第五行4个26与13．【题文】已知平方差公式：a2﹣b2=（a+b）×（a﹣b），计算：202﹣192+182﹣172+162﹣152+…+22﹣12．【答案】210.【解析】试题分析：把算式进行必要的变形，进而利用平方差公式计算得解．解：202﹣192+182﹣172+162﹣152+…+22﹣12=（20+19）（20﹣19）+（18+17）（18﹣17）+（16+15）（16﹣15）+…+（2+1）（2﹣1）=39+35+31+…+3=（39+3）+（35+7）+（31+11）+（27+15）+（23+19）=42+42+42+42+42=210．点评：本题考查了平方差公式的应用．关键是把原式化为（20+19）（20﹣19）+（18+17）（18﹣17）+（16+15）（16﹣15）+…+（2+1）（2﹣1）．【题文】计算：951×949﹣52×48．【答案】900003．【解析】试题分析：先算乘法，再算减法，由此顺序计算即可．解：951×949﹣52×48=902499﹣2496=900003．点评：整数混合运算的关键是抓住运算顺序，正确按运算顺序计算即可．【题文】规定运算“Θ”为：aΘb=a+2b﹣2，计算：（1）（8Θ7）Θ6；（2）8Θ（7Θ6）【答案】30；40.【解析】试题分析：规定运算“Θ”为：aΘb=a+2b﹣2，第一个数加上第二个数的2倍再减去2，按照这个规律即可；有括号先算括号里面的．解：因为aΘb=a+2b﹣2，所以：（1）（8Θ7）Θ6=（8+2×7﹣2）Θ6=20Θ6=20+2×6﹣2=32﹣2=30（2）8Θ（7Θ6）=8Θ（7+2×6﹣2）=8Θ17=8+2×17﹣2=8+34﹣2=40点评：本题考查根据新运算规则计算：正确找准计算规则是关键．【题文】规定运算“○”为：a○b=（a+1）×（b﹣2）．如果6○（□○5）=91，那么方格内应该填入什么数？【答案】4.【解析】试题分析：根据题意a○b=（a+1）×（b﹣2），即为第一个加1与第二个数减去2的差的乘积；设□○5=x，6○（□○5）=91就变为6○x=91，据此解出x，然后代入即可求得□．解：设□○5=x因为：a○b=（a+1）×（b﹣2）所以：6○（□○5）=91即为：6○x=91（6+1）×（x﹣2）=917x﹣14=917x﹣14+14=91+147x=1057x÷7=105÷7x=15所以：□○5=15（□+1）×（5﹣2）=153□+3=153□+3﹣3=15﹣33□=123□÷3=12÷3□=4答：方格内应该填4．点评：本题考查根据新运算规则计算：正确找准计算规则是关键．【题文】规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“▽”为选择两数中较小的数的运算，例如：3△5=5，3▽5=3，请计算：1△2△3▽4△5△6▽7△…▽100．（运算的顺序是从左至右）【答案】99.【解析】试题分析：因为符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“▽”为选择两数中较小的数的运算，而△2△3▽4△5△6▽7△…▽100，两个向上的，一个向下的，3个是一周期，△取大，▽取小，所以正好是取3的倍数，到最后还剩99，据此解答即可．解：因为3△5=5，3▽5=31△2△3▽4△5△6▽7△…▽100两个向上的，一个向下的，3个是一周期，△取大，▽取小，所以正好是取3的倍数，到最后还剩99，所以：1△2△3▽4△5△6▽7△…▽100=2△3▽4△5△6▽7△…▽100=3▽4△5△6▽7△…▽100=3△5△6▽7△…▽100=6▽7△…▽100=6△8…▽100=99▽100=99点评：本题考查根据新运算规则计算：正确找准计算规则是关键．【题文】观察下面算式的规律：2000+1991﹣1988﹣1982+1976+1970﹣1964﹣1958+1952+1946﹣1940﹣1934+…一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？【答案】这四个数为24，18，12，6；24+18﹣12﹣6；24．【解析】试题分析：通过分析可知，每四个数为一循环，每一循环的第一个数相差24，后边的数相差6，所以最后4个自然数分别24，18，12，6，为24+18﹣12﹣6，据解答即可．解：根据规律可知，这四个数为24，18，12，6，算式为24+18﹣12﹣6结果为：24+18﹣12﹣6=24答：这四个数为24，18，12，6；24+18﹣12﹣6；24．点评：先找到各数量之间的关系，再根据这个关系求解．【题文】从1，2，…，9，10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？【答案】750.【解析】试题分析：在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，奇数为1，3，5，7，9；偶数为2，4，6，8，10．奇数与偶数各5个，则每个奇数都可与其它5个偶数相乘得到5个不同的积，它们的和为：1×2+1×4+1×6+1×8+1×10=（2+4+6+8+10）×1，同理3与这五个偶数相乘积的和为（2+4+6+8+10）×3，由此可我们根据乘法分配律即求出在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，每次取一个奇数和一个偶数相乘，它们所有积和的大小．解：（1×2+1×4+1×6+1×8+1×10）+（3×2+3×4+…+3×10）+…+（9×2+9×4+…+9×10）=（2+4+6+8+10）×1+（2+4+6+8+10）×3+…+（2+4+6+8+10）×9，=（1+3+5+7+9）×（2+4+6+8+10），=25×30，=750．点评：在列出算式的基础上通过分析找出算式中数据之间的特点及内在联系，然后连续运用乘法分配律是完成本题的关键．【题文】计算：1﹣3+6﹣10+15﹣21+28﹣ (4950)【答案】2500.【解析】试题分析：我们观察这个算式中的每一项，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，….4990=1+2+3…+99，那么原式变为：1﹣（1+2）+（1+2+3）﹣（1+2+3+4）+…+（1+2+3+…+99），计算即可．解：1﹣3+6﹣10+15﹣21+28﹣…+4950=1﹣（1+2）+（1+2+3）﹣（1+2+3+4）+...+（1+2+3+ (99)=1+3+5+…+99=（1+99）×50÷2=2500点评：仔细观察算式，根据数据特点，把数据进行拆分，变成从第二项开始相邻两式部分相同的式子，通过加减相互抵消，变成1+3+5+…+99，运用高斯求和公式计算求得结果．【题文】已知平方差公式：a2﹣b2=（a+b）×（a﹣b），计算：1002+992﹣982﹣972+962+952﹣942﹣932+…+42+32﹣22﹣12．【答案】10100．【解析】试题分析：解答此题先运用平方差公式把相邻两个偶数或两个奇数平方的差转化成因数相乘的形式进行计算即可求解．解：1002+992﹣982﹣972+962+952﹣942﹣932+…+42+32﹣22﹣12=（1002﹣982）+（992﹣972）+（962﹣942）+（952﹣932）+…+（42﹣22）+（32﹣12）=（100﹣98）×（100+98）+（99﹣97）×（99+97）+…+（4﹣2）×（4+2）+（3﹣1）×（3+1）=2×（100+98）+2×（99+97）+…+2×（4+2）+2×（3+1）=2×（100+98+99+97+4+2+3+1）=2×=101×100=10100．点评：解答此题主l解：因为4Θ3=4+5+6=15，5Θ4=5+6+7+8=26，所以：（1）4Θ15=4+5+6+7+ (18)=（4+17）×7+18=21×7+18=147+18=165（2）因为：（□Θ7）Θ11=1056设□Θ7=x，原算式变为：x+（x+1）+…（x+10）=105611x+（1+10）×5=105611x+55=105611x+55﹣55=1056﹣5511x=100111x÷11=1001÷11x=91所以□Θ7=91□+（□+1）+…（□+6）=917□+21=917□+21﹣21=91﹣217□=707□÷7=70÷7□=10答；方框里的数应该是10．点评：本题考查根据新运算规则计算：正确找准计算规则是关键．【题文】定义两种运算：aΩb=a﹣b+1，a∀b=a×b+1，用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=3．【答案】﹣7Ω{﹣[（ 3∀4 ）Ω 5]}=3．【解析】试题分析：根据aΩb=a﹣b+1，a∀b=a×b+1，要多次实验到底用几个Ω，几个∀，或者是单独用其中一个符号，让右边等于3即可．解：因为aΩb=a﹣b+1，a∀b=a×b+13∀4=3×4+1=1313Ω5=13﹣5+1=9﹣7Ω（﹣9）=﹣7+9+1=3所以：﹣7Ω{﹣[（ 3∀4 ）Ω 5]}=3．点评：本题考查根据新运算规则计算：正确找准计算规则是关键．【题文】现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以2．例如从16可以得到8，从27可以得到14．②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8．（不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边．例如从98707可以得到77908，从802可以得到28．（不含数字7和8的自然数不能进行”七上八下”操作）④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成0．例如从111可以得到110，从905可以得到900．（个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作）（1）请写出对4176依次进行③①③②④操作后的结果；（2）从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0？（3）一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是；求有多少个这样的三位数？【答案】（1）4176﹣7416﹣3708﹣7308﹣708﹣700（2）即经过7次可以得到0．（3）234经过①得117，再经过③得711，再经过④得710．【解析】试题分析：（1）（2）根据操作规则进行分析操作即可得出相应结果．（3）第一问可选择一个数根据操作规则进行操作得出结果即可，第二问可按不同的操作顺序分析完成．解：（1）4176依次进行③①③②④操作后的结果：4176﹣7416﹣3708﹣7308﹣708﹣700（2）从655687开始，655687经过“一分为二”的操作，得到327844；再经过“丢三落四”的操作，得到278；再经过“七上八下”的操作，得到728；再经过经过“一分为二”的操作，得到364；再经过“丢三落四”的操作，得到6；最后经过“十全十美”的操作，得到0．共6步完成操作，得到0．655687经过①得327844﹣经过②得278﹣经过①得139﹣经过②得19﹣经过①得10﹣经过①得5﹣经过④得0．即经过7次可以得到0．（3）一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是如：234经过①得117，再经过③得711，再经过④得710．步骤①③④，经过步骤①之后个位含有7，百位含有1的，有10个；分别是214，234，254，274，294，314，334，354，374，394；经过步骤①之后十位含有7，百位为1，有10个；分别是340，342，344，346，348，350，352，354，356，358．重复354；总共有10+10﹣1=19个．步骤①④③，经过步骤①之后十位含有7，百位含有1，有10个；分别是340，342，344，346，348，350，352，354，356，358步骤③①④，③④①，都没有步骤④①③，个位数有10种可能，分别是340，341，342，343，344，345，346，347，348，349步骤④③①，没有．根据上面的分类，除去重复的数据，那么总共有：19+5=24个．故答案为：710．点评：完成本题要注意条件中所给的操作规则，然后按操作规则分析即可．【题文】如图是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？【答案】1155.【解析】试题分析：根9的乘法口诀表，把表中的各个乘积相加即可得出结论．解：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（4+6+8+10+12+14+16+18）+（9+12+15+18+21+24+27）+（16+20+24+28+32+36）+（25+30+35+40+45）+（36+42+48+54）+（49+56+63）+（64+72）+81=[（1+9）×4+5]+[（4+18）×4]+[（9+27）×3+18]+[（16+36）×3]+[（25+45）×2+35]+[（36+54）×2]+168+136+81=45+88+126+156+175+180+168+136+81=1155点评：此题也可以按行累计九九乘法表里共有：1个1，1+2个2，1+2+3个3…以此类推，得1个1，3个2，6个3，10个4，15个5，21个6，28个7，36个8，45个9，由此解答即可．。

巨人学校吴瀚霖四年级新华数邮箱：hlwu.bnu@巨人学校四年级新华数吴瀚霖第1讲整数计算综合——数列计算与定义新运算基本运算定律复习 Contents1基本运算定律应用2 分组运算3一、交换律⏹加法运算：a+b=b+a；乘法运算：a×b=b×a二、结合律⏹加法运算：(a+b)+c=a+(b+c)⏹乘法运算：(a×b)×c=a×(b×c)三、分配律⏹乘法运算:(a+b)×c=a×c+b×c(a-b)×c=a×c-b×c c×(a+b)=c×a+c×b c×(a-b)=c×a-c×b四、去括号，添括号：⏹（1）加、减法去括号：括号前面是“+”，去括号后不变号；括号前面是“-”号，去括号后变号。

⏹（2）乘、除法去括号：括号前面是“×”，去括号后不变号；括号前面是“÷”号，去括号后变号。

五、带着符号搬家⏹同级运算时可以带着符号搬家，改变运算顺序。

⏹注：加、减法同为一级运算，乘、除法同为二级运算。

例题1：计算（1）121×32÷8（2）4×(250÷8)（3）25×83×32×125 练习1：计算（1）1234×16÷8（2）8×(125÷20)（3）2×1273×125×4例题2：(1)56×22+56×33+56×44 (2)222×33+889×66练习2：(1)83×17+83×27+83×56 (2)12×38+24×81例题3：(此题有典型例题示范)计算：(1) 37×47+36×53(2) 123×76-124×75 练习3：计算：(1) 25×54+24×46(2) 68×13-69×12分组运算有等差数列得到的“分组配对”的思想。

一、常用巧算方法1、同级运算利用拆添括号或带符号搬家．拆添括号：括号前为加、乘，不变号；括号前为减、除，括号内变号（一定都是同级运算）．带符号搬家：带着数前的符号搬家，但不能“跨越”括号．2、多级运算利用分配律或提取公因数．注意：()a b c a c b c±÷=÷±÷，但()a b c a b a c÷±≠÷±÷．3、等差数列务必熟记所有公式（以递增等差数列为例）：求末项：()11na a n d=+-；求首项：()11na a n d=+-；求公差：()()11nd a a n=-÷-；求项数：()11nn a a d=-÷+；求和：()12nS a a n=+⨯÷，并且当n为奇数时，S=中间项×项数．4、其它公式（1）平方差公式：()()22a b a b a b-=+-；（2）平方和公式：()()222121216n n n n+++=++÷；（3）立方和公式：()23331212n n+++=+++．第1讲整数计算综合知识点二、 定义新运算最重要的一点是按定义计算，解题过程中常需要结合巧算方法．常考题型为求值与倒推（即解方程），还可能要证明新运算满足某些性质（如交换律、结合律、分配律等）．【例1】 观察下面算式的规律：200019941988198219761970196419581952194619401934+--++--++--+……依此类推，一直这样写下去，（1）那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？ （2）算式最终的结果为多少？【例2】 从1，2，……，9，10中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积．把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？超越篇题目【例3】计算：136101521284950-+-+-+-+……．【例4】已知平方差公式：()()22a b a b a b-=+⨯-，计算：222222222222100999897969594934321+--++--+++--……．【例5】a bΘ表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：4345615Θ=++=，54567826Θ=+++=，请计算：（1）415Θ；（2）在算式()7111056ΘΘ=中，方框里的数应该是多少？【例6】定义两种新运算：1a b a bΩ=-+，1a b a b∀=⨯+．用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：73452=．【例7】现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以2．例如从16可以得到8，从27可以得到14．②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉．例如从5304可以得到50，从408可以得到8．（不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边．例如从98707可以得到77908，从802可以得到28．（不含数字7和8的自然数不能进行“七上八下”操作）④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成0．例如从111可以得到110，从905可以得到900．（个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作）（1）请写出对4176依次进行③、①、③、②、④操作后的结果；（2）从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0？（3）一个三位数除了“丢三落四”外，其它三个操作各进行一次之后得到的结果是8，求有多少个这样的三位数．【例8】下表是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？【习题1】（拓展篇第7题）在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数的和，B为所有个位数字为3的数之和．A与B的差是多少？补充题目【习题2】定义运算※为：()a b a b ⨯-+（1）求5※7，7※5（2）求()1234※※，()1234※※（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？【习题3】将1~2013的奇数排成一列，然后按每组1、2、3、4、5、……的个数规律分组如下（每个括号为一组）：（1）（3，5）（7，9，11）（13，15，17，19）（21，23，25，27）……，则第20个括号内的各数之和是多少？最后一个括号呢？（最后一组可能个数不足）【习题4】规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数．若()()535396A B B A +⨯+=△△，且A 、B 均为大于0的自然数，那么A B ⨯可能是多少？。

一、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整 常用的思想方法：1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）二、乘法凑整与运算性质思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。

例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆） 711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)三、乘、除法混合运算的性质1) 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠知识框架整数小数四则运算2) 在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷3) 在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯4) 在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ 5) 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷【例 1】91.588.890.2270.489.6186.791.8++++++【考点】分组凑整【难度】☆☆【题型】计算【解析】 原式91.5=+ (88.890.2+)+(270.489.6+)+(186.791.8+)91.5179360278.5=+++=(91.5278.5+)179360909++=【答案】909【巩固】 2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝【考点】分组凑整【难度】☆☆【题型】计算【解析】 （2006+994）+（200.6+99.4）+（20.06+9.94）+（2.006+0.994）=3000+300+30+3=3333。

奥数：四年级奥数计算综合整数小数四则运算（C级）.教师版奥数：四年级奥数计算综合整数小数四则运算（c级）.教师版数学奥林匹克精品店整数小数四则运算知识框架一、加减法中的速算与巧算快速计算和熟练计算的核心思想和本质：总结常见的思维方法：1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数用相同的尾数进行减法。

“补语”是两个数的加法。

如果他们被精确地四舍五入到一整十，一整百或者一整千？？，其中一个被称为另一个的“补充”2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3.数值原理方法。

先把它们加在一起，再加上十、十、一千？？将数字相加，然后将其与其他数字相加。

4.“基准数”法：当数个数与一个整数的数接近时，选择该整数作为“基准数”（注意加数越多减数，加数越少）二、乘法凑整与运算性质思想核心：首先将几个可以四舍五入的乘法器组合成一个整十、整百和整千，最后将它们与前面的数字相乘，以简化操作。

例如：4？25? 100，8? 125? 1000，5? 20? 一百12345679?9?111111111（去8数，重点记忆）7?11?13?1001（三个常用质数的乘积，重点记忆）理论基础：乘法汇率：a×b=b×a乘法约束率：（a）×b）×c=a×（b×c）乘法分配率：（a+b）×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c)×(b÷c)=(a÷c)×(b×c)三、乘法和除法混合运算的性质1)商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：A.B（a？n）？（b？n）？（上午）？（b？m）M0，n？0奥数精品2）在连续除法中，除数的位置可以互换，商保持不变。

那就是：a？BCA.CB3)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．例如：a？BCA.CBBCA.4)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则移除支架的情况：① 删除括号时，括号中的乘除符号保持不变a?(b?c)?a?b?c a?(b?c)?a?b?c② 当“÷”在括号前时，在去掉括号后，“×”变为“÷”，而“÷”变为“×”a?(b?c)?a?b?c a?(b?c)?a?b?c添加括号：添加括号时，括号前加“×”，原符号不变；当“÷”在括号前时，原始符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即A.BCA.（b？c） A.BCA.（b？c）a？BCA.（b？c） A.BCA.（b？c）5)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即(a?b)?(c?d)?(a?c)?(b?d)?(a?d)?(b?c)示例的详细解释【例1】计算：12345678987654321?9?[测试点]乘法取整乘法9,99,999[难度]☆☆☆ [分析]原始公式？？111111111?? 九?999999999?111111111? 111111111000000000? 111111111? 壹拾壹万壹仟壹佰壹仟壹佰壹拾亿捌亿捌仟捌佰捌拾捌万捌仟捌佰捌拾玖元2【题型】计算[答：]1111111088888889【巩固】算式12345678987654321?63值的各位数字之和为。

1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变.2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个 数相加，再与第一个数相加，它们的和不变.3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即a b b a ⨯=⨯,其中a ，b 为任意数.4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即()()a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯ .解题时需要注意的几点：1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。

2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。

【例1】★19199199919999199999++++【小试牛刀】898998999899998999998+++++=典型例题知识梳理+-+-++-+【例2】★10099989796321+--++--++---++【小试牛刀】989796959493929190894321⨯【例3】★1111111111⨯【小试牛刀】2222222222+++【例4】★1234314243212413++++【小试牛刀】5678967895789568956795678++++++【例5】★339340341342343344345+++++÷【小试牛刀】(445443440439433434)6÷-÷【例6】★★3496535277228÷+÷【小试牛刀】计算：2772283496535⨯+⨯-⨯【例7】★★482594115932359⨯+⨯【小试牛刀】9999222233333334⨯-⨯【例8】★★200920102010201020092009⨯÷÷【小试牛刀】9898989899999999101010111111111++⨯++-+++⨯+【例9】★★★(11637)(163756)(1163756)(1637)【小试牛刀】计算++⨯++-+++⨯+(31735)(173549)(3173549)(1735)【例10】★★你有好办法迅速算出下题吗？⨯+⨯+⨯534671548254⨯+⨯【小试牛刀】计算：75451725【例11】★★★东东参加智力竞猜，有道计算题他暂时算不出来，于是选择了求助场外朋÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷等于多少？如果你是东东友．这道题是：1(23)(34)(45)(56)(67)(78)的朋友，你能帮东东解出来吗？⨯÷+⨯÷【例12】★★计算：7652132776532727⨯+÷-⨯+÷【小试牛刀】计算：91791175174517【例13】★★★（小学数学夏令营计算竞赛试题）⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯(235711131719)(38516577)⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯【小试牛刀】计算：(11109321)(22242527)【例14】★★★20082006200720052007200620082005⨯+⨯-⨯-⨯【小试牛刀】计算2000 × 1999－1999 × 1998 ＋ 1998 × 1997－1997 × 1996＋1996 × 1995－1995 × 19941.计算(45455353)4949+÷2.（北大少年数学邀请赛试题）(123456234561345612456123561234612345)7+++++÷3.计算：(1234234134124123)5+++÷4.98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-……-4-3+2+15.111÷21+100÷28-62÷76.计算：765×213÷27+765×327÷277.1991×199219921992-1992×1991199119918.计算：343535353434⨯-⨯9.计算： 345345788690105606⨯+⨯=10.计算：123452345246938275⨯+⨯．11.计算：91791175174517⨯+÷-⨯+÷12.(42557764254225425)1258⨯-+⨯÷÷课后作业。