【教学课件】《角的比较与补余角》

∴ ∠ＢＯＤ与 ∠ＤＯＣ互余．
∵ ∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝１８０ ∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ＝１８０ °，
∴ ∠ＡＯＣ与∠ＢＯＣ互补， ∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ互补．
例1：如图，如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余， 那么∠2与∠3相等吗？为什么？
1 2
3
答：∠2=∠3
因为∠1与∠2互余，∠1与∠3互余 所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1
∠ ＣＯＤ＋ ∠ ＢＯＣ＝Ｒt ∠，
即 ∠ ＡＯＢ与∠ ＣＯＤ都是∠ ＢＯＣ的余角，
∴ ∠ ＡＯＢ＝ ∠ＣＯＤ （ 同角的余角相等 ）
想一想： ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 若∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？为什么？ 由此你有能得出什么结论？
答：∠2和∠4相等 因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补 所以∠2=180°-∠1，∠4=180°- ∠3
做一做
如图1，∠AOB=∠COD=Rt∠，请找出 另外相等的角，并说明理由。
A
O
图1
4
1
3
2
图2
B
2、图2中的∠1、∠2、
∠3、∠4，哪些是相等
的角，为什么？
填空题：
1、若 1与 2互补，则 1＋ 2＝1__8_0_° 2、30°的余角是_6__0_°___，补角是__1_5_0_°____ 3、若 ＝60°32′，则 的余角是 __2_9__°__2_8，′ 的补角是1_1_9__°__2_8_′_，若一个角的度数是X°，则 它的余角的度数和补角的度数分别是__9_0__－__X__，180－X 4、60°的余角的补角是__1_5_0_°______
合作学习
观察下图，∠ １＋ ∠ ２与∠ AOB相等吗？你是怎么 判断的呢？

7
1
850
8
2
85o
9
角可以看成是由一条射线绕着它
的端点旋转而成的。
角可以可以看成是由一条射线绕着 它的端点旋转而成的。
角可以可以看成是由一条射线绕着 它的端点旋转而成的。
角可以可以看成是由一条射线绕 着它的端点旋转而成的。
角可以可以看成是由一条射线绕 着它的端点旋转而成的。
角可以可以看成是由一条射线绕着 它的端点旋转而成的。
角可以可以看成是由一条射线绕 着它的端点旋转终而边成的。
始边
A
O
B
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成
一条直线时，所成的角叫做平角
O
A（B）
终边继续旋转，当它有和始边重合时， 所成的角叫做周角
小结:
▪ 角的动态定义：角可以看成是由一条 射线绕着它的端点旋转而成的。
角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
（15的整数倍）
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
或∠AOC= 2∠AOB= 2∠BOC（ 角平分线定义 ）
D
C
B (1). 如图 AOB = BOC = COD，
O
A
OB 是 AOC 的平分线，
BOC = 1 / 2 AOC，
BOC = 1 / 2 BOD
BOC = 1 / 2 AOC =
1 / 2 BOD = 1 / 3 AOD

O
BO
B'
课程讲授
1 角的比较
2. 叠合法 A A'
O
BO
B'
课程讲授
1 角的比较
问题2：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系 吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )
B'
B (B' )
B
B
O (O' )
A(A' ) O (O' )
A(A' ) O
A
∠AOB＜∠A'O'B' ∠AOB =∠A'O'B' ∠AOB＞∠A'O'B'
第4章 直线与角
4.5 角的比较与补（余）角
第1课时 角的比较
知识要点
1.角的比较 2.角的平分线与角的运算
新知导入
看一看：观察下图中的图形，数一数其中蕴含角的个数。
课程讲授
1 角的比较
问题1：类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个 角的大小？
A A'
O
BO
B'
课程讲授
1 角的比较
1. 度量法 A A'
课堂小结
角的比较 与运算
角的比较
度量法 叠合法
角的平分线 与角的运算
角的平分线：从一个角的顶点出发， 把这个角分成两个相等的角的射线，叫做 这个角的平分线.
角的运算
75°
15°
课程讲授
2 角的平分线与角的运算
问题3：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经 过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上 任取一点记作点C.类比线段中点的定义，试着归纳角平 分线的定义.

=125°-90°=35°
∵OB平分∠COD ∴∠BOD=∠BOC =35°
∴∠COD=35°×2=70°
自主探究
2.如图，OC平分∠AOD,∠BOD=2∠AOB.若
∠AOD=114°，求∠BOC的度数？
解：O平 C 分 AOD
AOC 1AOD 57 A 2
BC
BO 2D AOB
A
B C
D O
自主探究 C 角平分线
如右图，如果∠AOB=∠BOC，
B
那么射线OB叫做∠AOC的角平分线。
O
A
从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射
线，叫做这个角的平分线.
D
C
类似地，还有角的 三等分线等……
O
αα α
B A
OB、OC是∠AOD的三等分线。
自主探究
1.如图，OB平分∠COD，∠AOB=90°， ∠AOC=125°，求∠COD的度数。 解： ∠BOC∠=AOC-∠AOB
解： ∠BAD=∠EAC 理由是：
E D
∵∠1=∠2 ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠BAD=∠EAC
1
C
3
2
B
A
知识梳理
1.角的大小比较方法：叠合 度量
2.角的和差关系。
3.角的平分线的性质。
结束语
学习和研究好比爬梯子，要一步一步 地往上爬，企图一脚跨上四五步，平地登天， 那就必须会摔跤了。
———— 华罗庚
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方

三、概念剖析
想一想
（1）已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？
解：因为∠1与∠2和∠3都互为补角， 那么 ∠2＝180º－∠1，∠3＝180º－∠1， 所以∠2＝∠3.
三、概念剖析
（2）已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等 吗？为什么？
∴∠COD=∠AOD=
1 2
∠AOC
∠COE=∠BOE=
1 2
∠BOC
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90° ∴∠DOB的补角：∠AOD、∠COD．
而∠AOB=180°
∠BOE的余角：∠AOD、∠COD；
【当堂检测】
1. 关于下图的说法正确的是（ C ） A. ∠AOC是∠DOC的补角 B. ∠COB是∠AOD的余角 C. ∠AOC是∠BOC的补角 D. ∠DOC是∠AOD的余角
五、课堂总结
1.角的大小比较方法：①度量法；②叠合法。 2.角的平分线：从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射 线,叫这个角的平分线,角平分线必须是一条射线.
3.余角和补角 （1）如果两个角的和等于180°,那么我们就称这两个角互为补角,简称互补. （2）如果两个角的和等于90°,那么我们就称这两个角互为余角,简称互余.
∴∠1=90°﹣50°=40°，
∵∠2的补角是150°，
∴∠2=180°﹣150°=30°，
∴∠1＞∠2.
四、典型例题
例题3：一个角比它的余角大25°，那么这个角的补角的度数是？
【分析】不明确这个角的具体度数，我们可以假定一个值，然后根据补角、余角的 定义表示出它的补角、余角就能快速解题了。
解：设这个角为a， 则x=90°-x+25°， 解得：x=57.5°， 这个角的补角=180°-57.5° =122.5°．

补角和余角
练习
若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则
∠α与∠γ的关系是( C )
A．互余 B．互补 C．相等 D．∠α＝90°＋∠γ
补角和余角
练习
如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1 ＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以 ∠1＝∠2的依据是( C ) A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
补角和余角
二、互角为余角
1、定义： 如果两个角的和等于一个_直__角__，就说 这两个角互为余角，简称互余，其中一 个角是另一个角的余角．
补角和余角
一、互角为补角
2、数学1= _9_0_°_-_∠__2___ ∠2= _9_0_°_-_∠__1___
补角和余角
回顾
上节课学习了哪些知识？ 一、角的大小比较 二、角的和与差 三、角的平分线
补角和余角
一、互角为补角
1、定义： 如果两个角的和等于一个_平__角__，就说 这两个角互为补角，简称互补，其中一 个角是另一个角的补角．
补角和余角
一、互角为补角
2、数学符号语言表达： ∵∠1与∠2互补 ∴ ∠1+ ∠2=180°
补角和余角
课时小结
这节课学习了哪些知识？ 一、互为补角的定义 二、互为余角的定义 三、补角和余角的性质
解：∵∠1与∠2互补，∴∠2 = 180°- _∠__1_. ∵∠3与∠4互补，∴∠4 = 180 ° -_∠__3_ . 又因为∠ 1= ∠ 3,所以∠___2_=_∠__4_.
补角和余角
三、补角和角余角的性质
如图,∠1=∠3,∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,那 么∠2与∠4有什么关系?
解：∵∠1与∠2互补，∴∠2 = 180°- _∠__1_. ∵∠3与∠4互补，∴∠4 = 180 ° -_∠__3_ . 又因为∠ 1= ∠ 3,所以∠___2_=_∠__4_.

16
(2) 如图(2)所示，直线 MN 与 PQ 相交于点 E，∠1与
∠2相等吗？为什么？ 解：(2) 相等.
因为点 M，E，N 在同一条直线上，
所以∠MEN=180°，即∠2+∠PEN= 180°.
因为点 P，E，Q 在同一条直线上， 所以∠PEQ=180°，即∠l +∠PEN= 180°，
所以∠1=∠2.
两个角互余或互补是两个角之间的数量关系,与它们的位置无关，只与角的度数有关.
角是多少度？ 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB
的度数．
一个角的补角与这个角的余角的和比平角少30°，这个角为( )
因为点 M，E，N 在同一条直线上，
解：设这个角的度数是 x. 因为∠AOD +∠BOD=∠AOB = 180°，
(2) 图中互补的角有几对？各是哪些？ 同理∠AOD和∠BOE,
(2) 图中互补的角有几对？各是哪些？
由题意，得( 解：设这个角的度数是 x.
锐角的补角比它的余角大_____.
180°-x)-3(90°-
x)=10°，
如图，OD，OE 分别平分∠AOC，∠BOC，A，O，B 三点在同一条直线上，OF 为 OD 的反向延长线，请分别写出∠AOD 的余角和
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
∠1与∠2,∠3都互为补角,∠2 与∠3 的大小有什么关系？
因为∠AOB=90°，所以∠1 +∠BOC=90°.
(2) 图中互补的角有几对？各是哪些？
15 24 o 如图所示，点 O 为直线 AB 上一点，∠AOC=∠DOE=90°.

互补：两角之和为平角
性质：同（等）角的补 （余）相等.
2.如图，∠1=∠3，那么（ C ）.
A.∠1=∠2 C.∠AOC=∠BOD
B. ∠2=∠3
D. ∠1= 1 BOD
2
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分 ∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD等于( B )
A．30° B．35° C．20° D．40°
4. 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个 角的度数.
试一试
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
思考：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的 大小有什么关系？
1
2
3
∠2=180°－∠1
∠3=180°－∠1
结论： 同角(等角)的补角相等 类似可得：同角(等角)的余角相等
填一填
∠α 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(x<90)
典例精析
例1 根据下图，回答下列问题： (1)试比较∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC 的大小，并找出其中的锐角、直角、钝角、平角； (2)在图中找出角的三个等量关系．
[解析] ∠AOB是平角，∠AOC是钝角， ∠AOD是直角，∠AOE是锐角，于是 就可找到这几个角的大小关系．
解：(1)由图可知，∠AOB是平角，∠AOC是 钝角，∠AOD是直角，∠AOE是锐角，
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°), 余角是(90°－x°) .
根据题意，得 180°－x°= 4 (90°－x°)
解得 x=60 答：这个角的度数是60 °.
课堂小结

C.72°
D.124°
与角平分线有关的计算
1.如图，ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线.
(1)如果∠AOC＝28°，∠BOC＝42°，那么∠MON是多少
度？
(2)如果∠AOB的大小保持与上图相同，而射线OC在∠AOB
的内部绕点O转动，那么射线OM、ON的位置是否发生变化？
(3)∠MON的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数，
新知导入
激趣导入同学们，这Βιβλιοθήκη 幅图漂亮吗？你们想不想知道它们是怎么画
出来的？其实，它们都是用没有刻度的直尺和圆规画出来的.
知识讲解
作一个角等于已知角
1.如图，已知∠ABC，画∠DEF＝∠ABC.(写出作法，并保
留作图痕迹)
作法:在∠ABC上以点B为圆心，以任意长为半径画弧，分
别交BA、BC于点M、N；作射线EG，并以点E为圆心，BN的长
(2)略.
素养小测
1.下列作图语句中正确的是( C )
A.作线段AB，使a＝AB
B.延长线段AB到C，使AC＝BC
C.作∠AOB，使∠AOB＝∠α
D.以5 cm为半径作弧
2.如图，已知∠AOB，求作∠MPQ＝2∠AOB.
解:
角互余；
④一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
余角、补角的认识
1.如图，AOB是一条直线，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，
图中互余的角有
4 对，互补的角有 7 对.
余角、补角的运算
2.一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是
(
B )
A.60°
B.45°

们的和，即：∠COA=∠COD+∠AOB
O
B (D)
A
4
角的倍数关系又怎么表示？
如果∠a是∠b的2倍，那么就记作∠a=2∠b
同时∠b就是∠a的




，记作∠b= ∠a
如果∠a是∠b的3倍，那么就记作∠a=4∠b


同时∠b就是∠a的 ，记作∠b= ∠a
根据图形填空。
AOB + ∠_______
2
两个角的差怎么计算？
C
A
O
B
O
D
2
两个角的差怎么计算？
C
当其中一个角∠AOB在另一个角∠COD
A
的内部时，它们的另两条边构成的角就是它
们的差，即：∠COA=∠COD-∠AOBOB (D)源自3两个角的和怎么计算？
C
A
O
B
O
D
3
两个角的和怎么计算？
C
当其中一个角∠AOB在另一个角∠COD
的外部时，它们的另两条边构成的角就是它
所以这个角是45°
“ THANKS
合作方：飞卢数学
”
第4章 直线与角
4.4 角的比较与补(余)角
1
怎么比较两个角的大小？
【1】叠合法
把两个角的顶点重合，一边也重合，另一边放在一侧来比较
1
怎么比较两个角的大小？
1
【2】度量法
2
用量角器量出两个角的度数，然后进行比较
∠1=27°，∠2=49°，所以∠1＜∠2
注意：角的大小只跟角两边张开的程度有关，与其他因素无关
可以一个角在地球上， 一个角在火星上。
6
互余和互补是什么意思？