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高二数学三角函数的单调性与极值高二数学三角函数的单调性与极值三角函数是数学中一个非常重要且常见的概念，在数学课程中，我们常常会遇到讨论三角函数的单调性和极值的问题。
本文将针对高二数学课程中三角函数的单调性与极值进行详细的论述和解析。
一、三角函数的定义与基本性质在开始讨论三角函数的单调性与极值之前，我们首先需要了解三角函数的定义和基本性质。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
1. 正弦函数：由一个单位圆周上的某一点P(x, y)引出的线段OP，其中O为圆心，P在单位圆的半径为1的圆上。
正弦函数的定义为sinθ = y。
2. 余弦函数：同样由单位圆上的某一点引出的线段OP，余弦函数的定义为cosθ = x。
3. 正切函数：正切函数的定义为tanθ = sinθ / cosθ。
二、三角函数单调性的判定方法为了讨论三角函数的单调性，我们需要先了解如何判定函数的单调性。
对于区间[a, b]上的函数f(x)，我们可以通过其导数的正负来判断函数的单调性。
1. 如果函数f'(x) > 0，那么函数f(x)在[a, b]上单调递增。
2. 如果函数f'(x) < 0，那么函数f(x)在[a, b]上单调递减。
3. 如果函数f'(x) = 0，那么函数f(x)在[a, b]上可能存在极值点。
三、正弦函数的单调性与极值正弦函数的图像为周期性的波浪线，在区间[0, 2π]上，正弦函数的单调性和极值如下：1. 单调递增：在区间[0, π/2]和[3π/2, 2π]上，正弦函数单调递增。
2. 单调递减：在区间[π/2, 3π/2]上，正弦函数单调递减。
3. 极值点：在区间[0, π]和[π, 2π]上，正弦函数存在极值点。
极小值点为π/2的整数倍，极大值点为π的整数倍。
四、余弦函数的单调性与极值余弦函数的图像也是周期性的波浪线，在区间[0, 2π]上，余弦函数的单调性和极值如下：1. 单调递增：在区间[3π/2, 2π]和[0, π/2]上，余弦函数单调递增。
三角函数的定义域值域与单调性三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学以及其他许多领域中都有着广泛的应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域以及单调性是我们研究它们的重要方面。
本文将以一种合适的格式来论述三角函数的定义域、值域和单调性。
1. 正弦函数的定义域、值域与单调性三角函数正弦函数的定义域是实数集R，因为它可以接受任何实数作为自变量。
正弦函数的值域是闭区间[-1, 1]，也就是说，对于任意的x，-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
正弦函数在区间[0, π]上是单调递增的，在区间[π, 2π]上是单调递减的。
2. 余弦函数的定义域、值域与单调性余弦函数的定义域也是实数集R。
与正弦函数不同的是，余弦函数的值域也是闭区间[-1, 1]，也就是说，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
余弦函数在区间[0, π/2]上是单调递减的，在区间[π/2, π]上是单调递增的，在区间[π,3π/2]上是单调递减的，在区间[3π/2, 2π]上是单调递增的。
3. 正切函数的定义域、值域与单调性正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外，即x ≠ (2n + 1)π/2，其中n为整数。
正切函数的值域是全体实数，也就是对于任意的y，都存在一个实数x使得tan(x) = y。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，而在其他区间上是周期性的。
总结：正弦函数的定义域是实数集R，值域是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π]上是单调递增的，而在区间[π, 2π]上是单调递减的。
余弦函数的定义域也是实数集R，值域同样是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π/2]上是单调递减的，而在区间[π/2, π]上是单调递增的，以此类推。
正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外。
值域是全体实数。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，其余区间上是周期性的。
通过研究三角函数的定义域、值域以及单调性，我们能够更好地理解三角函数的性质与特点，在解决数学和实际问题中起到重要的作用。
求三角函数的单调性的基本方法：函数的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，sin()y A x k ωϕ=++若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在和两个22,22k x k k z ππππ-≤≤+∈322,22k x k k z ππππ+≤≤+∈区间内分别确定函数的单调增减区间。
1、求函数在区间[-2π，2π]的单调增区间。
)213sin(x y -=π解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（）sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>的形式：321sin()213sin(ππ--=-=x x y ⑵把标准函数转化为最简函数（）的形式：sin y A x =令，原函数变为123z x π=-1sin()sin 23y x z π=--=-⑶讨论最简函数的单调性：sin y z=-从函数的图像可以看出，的单调增区间为sin y z=-sin y z=-，。
所以，3[2,2]22k k ππππ++Z ∈K 32222K z K ππππ+≤≤+Z∈K 即， πππππ23232122+≤-≤+K x K Z ∈K ∴， ππππ3114354+≤≤+K x K Z∈K ⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，ππ31135≤≤x当k=1时，222333x ππ≤≤当k=-1时，ππ3137-≤≤-x ⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：因为，所以该函数的单调增区间为[2,2]x ππ∈-和ππ312-≤≤-x ππ235≤≤x 2、求函数在区间[0，π]的单调增区间。
)26sin(2x y -=π解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（）sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>的形式：sin(2)sin(266y x x ππ=-=--⑵把标准函数转化为最简函数（）的形式：sin y A x =令，原函数变为26z x π=-sin(2)sin 6y x z π=--=-⑶讨论最简函数的单调性：sin y z=-从函数的图像可以看出，的单调增区间为sin y z=-sin y z=-，。
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y ＝sin x 都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝12sin x 的最大值为1.( )(2)∃x 0∈[0，2π]，满足cos x 0＝ 2.( )(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π]答案：C函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1，3B ．－1，1C ．0，3D ．0，1 答案：A函数y ＝sin x (π3≤x ≤2π3)的值域为________．答案：[32，1]函数y ＝－cos x 的单调递减区间是____________； 单调递增区间是____________． 答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z )正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .【解】 (1)令z ＝2x ＋π3，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．所以当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以原函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的单调递减区间，即求sin z 的单调递增区间．所以－π2＋2k π≤z ≤π2＋2k π，k ∈Z .即－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z .所以－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数． 2．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间．解：设x ＋π4＝u ，y ＝|sin u |的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝|sin u |递增．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小． (1)sin1017π与sin 1117π； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8与cos 6π7；(3)sin 194°与cos 160°.【解】 (1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，所以sin 1017π＞sin 1117π. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以cos7π8＜cos 6π7. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＜cos 6π7.(3)由于sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°， 又0°＜14°＜70°＜90°，而y ＝sin x 在[]0°，90°上单调递增， 所以sin 14°＜sin 70°，－sin 14°＞－sin 70°， 即sin 194°＞cos 160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小．1．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 760°<sin 470°. 答案：＞2．比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝⎛⎭⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π＜sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°) ＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°) ＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°＜150°＜170°＜180°， 且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，所以cos 150°＞cos 170°，即cos 870°＞sin 980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值． (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【解】 (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(变条件)在本例(1)中，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π12，则函数y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最大、最小值分别是多少？解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，所以0≤2x ＋π3≤π2，所以0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝3.所以函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12) B ．[－12，32]C ．[32，1] D ．[12，1]解析：选B.由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos(x ＋π6)≤32，故选B.2．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．解：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－(sin x －2)2＋5.所以当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ； y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π2，k ∈Z .1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒正且是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D.作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增但其值为负，所以只有D 符合，故选D.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )3．sin 21π5________sin 425π(填“>”或“<”)．解析：sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，。
三角函数的单调性与极值三角函数是数学中常见且重要的函数之一，它涵盖了正弦函数、余弦函数和正切函数等多种函数。
在学习三角函数时，我们需要研究它们的单调性和极值，这对我们理解和应用三角函数有着重要的意义。
本文将探讨三角函数的单调性和极值，并分别对正弦函数、余弦函数和正切函数进行讨论。
一、正弦函数的单调性与极值正弦函数是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
我们可以通过观察正弦函数的图像来研究其单调性和极值。
正弦函数的图像在每个周期内呈现周期性变化，从图像上观察，我们可以得出以下结论：1. 正弦函数在定义域内是振荡函数，没有整体的单调性；2. 在每个周期内，正弦函数先增后减，在0到π的区间上，正弦函数单调递增；3. 在π到2π的区间上，正弦函数单调递减；4. 正弦函数在特定角度处达到极值，即在0、π、2π等处取得最大值1和最小值-1。
综上所述，正弦函数的单调性为在每个周期内先递增后递减，且在特定角度处取得极值。
二、余弦函数的单调性与极值余弦函数也是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
我们同样可以通过观察余弦函数的图像来研究其单调性和极值。
余弦函数的图像同样呈现周期性变化，在观察图像的基础上，我们可以得出以下结论：1. 余弦函数在定义域内是振荡函数，没有整体的单调性；2. 在每个周期内，余弦函数先减后增，在0到π的区间上，余弦函数单调递减；3. 在π到2π的区间上，余弦函数单调递增；4. 余弦函数在特定角度处达到极值，即在0、π、2π等处取得最大值1和最小值-1。
综上所述，余弦函数的单调性为在每个周期内先递减后递增，且在特定角度处取得极值。
三、正切函数的单调性与极值正切函数是一个奇函数，它的定义域为实数集，值域为整个实数集。
我们同样可以通过观察正切函数的图像来研究其单调性和极值。
正切函数的图像呈现周期性变化，从图像上我们可以得出以下结论：1. 正切函数在定义域内是振荡函数，没有整体的单调性；2. 在每个周期内，正切函数存在无穷多个间断点，因此无法具体判断其单调性；3. 正切函数在特定角度处取得极值。
