8.1幂的运算(第5课时-零指数、负指数与科学计数法)教案

初中数学零指数幂与负整指数幂教案一、教学目标1.理解零指数幂和负整数指数幂的概念。

2.掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则。

3.能够运用零指数幂和负整数指数幂解决实际问题。

二、教学内容1.零指数幂的定义及运算法则2.负整数指数幂的定义及运算法则3.零指数幂和负整数指数幂的应用三、教学重点与难点1.教学重点：零指数幂和负整数指数幂的定义及运算法则。

2.教学难点：零指数幂和负整数指数幂的灵活应用。

四、教学过程1.导入利用生活中的实例，如手机电池的容量、电脑内存等，引导学生思考指数的概念。

提问：同学们，你们知道什么是指数吗？指数有什么作用？2.探索新知零指数幂的定义引导学生回顾指数的基本概念，如a^2、a^3等。

提问：当指数为0时，a^0等于多少？学生通过自主探究和小组讨论得出结论：a^0=1（a≠0）。

负整数指数幂的定义引导学生回顾分数指数幂的概念，如a^(1/2)、a^(1/3)等。

提问：当指数为-1时，a^(-1)等于多少？学生通过自主探究和小组讨论得出结论：a^(-1)=1/a（a≠0）。

零指数幂和负整数指数幂的运算法则引导学生利用已知的指数运算法则，如a^m×a^n=a^(m+n)，来探究零指数幂和负整数指数幂的运算法则。

学生通过自主探究和小组讨论得出结论：a^m×a^n=a^(m+n)，a^0=1，a^(-n)=1/a^n（a≠0）。

3.巩固练习学生完成课本上的练习题，教师逐一讲解。

教师提供一些生活中的实际问题，让学生运用零指数幂和负整数指数幂进行解答。

4.应用拓展引导学生思考：如何运用零指数幂和负整数指数幂解决实际问题？学生分组讨论，提出各种应用场景，如计算器编程、物理公式推导等。

教师选取一些具有代表性的问题，让学生现场解答。

学生分享自己的学习心得，反思在学习过程中遇到的问题。

五、课后作业1.完成课本上的练习题。

2.收集生活中的实例，运用零指数幂和负整数指数幂进行解答。

幂的运算教案一、引言幂是数学中常用的运算符号，表示将一个数自乘若干次。

幂的运算在数学中有着广泛的应用，包括代数、几何和概率等领域。

本教案旨在介绍幂的基本概念、性质和计算方法，帮助学生深入理解和掌握幂的运算。

二、幂的定义幂的定义如下：对于任意实数a和非负整数n，a的n次幂记作a^n，表示将a连乘n次。

其中，当n=0时，定义a^0=1；当n=1时，定义a^1=a自身。

三、幂的性质1. 幂乘法性质对于任意实数a和非负整数m、n，有以下性质：a^m * a^n = a^(m+n) （幂相乘，底数相同，指数相加）(a^m)^n = a^(m*n) （幂的幂，底数不变，指数相乘）a^m / a^n = a^(m-n) （幂相除，底数相同，指数相减）2. 幂取反的性质对于任意实数a和非负整数n，有以下性质：(a^n)^(-1) = a^(-n) （幂取反，底数不变，指数变为相反数）3. 幂的零次方和一次方对于任意非零实数a，有以下性质：a^0 = 1 （任何非零数的零次方均为1）a^1 = a （任何数的一次方都为它本身）四、幂的计算方法1. 同底数幂的乘法当两个幂具有相同的底数时，可以通过指数相加的法则进行计算，如下所示：a^m * a^n = a^(m+n)2. 同底数幂的除法当两个幂具有相同的底数时，可以通过指数相减的法则进行计算，如下所示：a^m / a^n = a^(m-n)3. 指数为负数的幂当指数为负数时，可以利用幂取反的性质进行计算，如下所示：(a^n)^(-1) = a^(-n)4. 幂的零次方和一次方的计算任何数的零次方均为1，任何数的一次方都等于它本身，如下所示：a^0 = 1a^1 = a五、应用示例现将上述幂的概念和性质应用于实际问题中，以加深学生对幂运算的理解。

例1：已知a=2，求a^3的值。

解：根据幂的定义，a^3 = 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8。

例2：已知b=5，计算3b^2 / b。

零指数幂与负整指数幂的掌握教案授课目的在初中数学的教学过程中，有许多基础的数学知识点，零指数幂与负整指数幂就是其中之一。

这个知识点在初二年级学生的学习中会进行深入的学习，对于学生的数学水平提升有非常重要的作用。

因此，本教案旨在帮助学生全面、系统地掌握零指数幂与负整指数幂的相关知识和技巧，提高学生的数学思维和解题能力。

二、教学重点和难点教学重点：掌握零指数幂与负整指数幂的定义和性质，能够准确地计算和应用零指数幂与负整指数幂。

教学难点：帮助学生理解和掌握负整指数幂的计算方法，以及应用零指数幂与负整指数幂进行数学问题的解答。

三、教学方法本次教学将采用多种教学方法，如讲解、分组讨论、案例分析、问题探究等，以提高学生的学习兴趣和参与度，增强学生的自主学习和解题能力。

四、教学内容1.零指数幂的概念和性质零的零次方等于1，即0^0=1。

2.负整指数幂的概念和性质对于任何非零实数a，a的负整数次幂等于分数1/a的绝对值的正整数次幂，即a^(-n)=1/(a^n)，其中n是正整数。

3.零指数幂和负整指数幂的计算（1）对于非零实数a，a^(-n)=1/a^n.（2）对于非零实数a和正整数m，a^m/a^n=a^(m-n).（3）对于正整数m，a^m×a^n=a^(m+n).（4）对于非零实数a和正整数n，(1/a)^n=1/a^n.（5）当a>1时，a^m>a^n(a>m,n是正整数)；当0<a<1时，a^m<a^n(a<m,n是正整数)；当a<-1时，a^m>a^n(m>n，m,n是正整数)；当-1<a<0时，a^m<a^n(m>n，m,n是正整数)。

（6）零的负整次幂没有意义。

五、教学过程1.引入问题通过引入问题的方式来激发学生的兴趣，使学生进入教学状态。

例如：小明和小张同时乘以2，然后往右移一位，他们的结果分别是4和20，请问这个结果可以用什么方式表示？老师引导学生思考，得出2^2和2^4的结果分别是4和16，再加上10个单位，就得出了这个问题的答案20。

《零指数幂与负数指数幂》教案零指数幂与负数指数幂教案概述指数是代数学中常见的运算符号，其中以正数为指数的乘方在初中阶段已有教授。

但是，本教案的重点是讲解零指数幂与负数指数幂的概念及其相关运算。

研究目标- 理解零的零次幂为1；- 理解非零实数的负整数次幂的概念；- 掌握零指数幂和负数指数幂的运算规律；- 练运用这些概念解决实际问题。

主体内容零指数幂定义：对于任意非零实数 $a$ 和 $0$，$a^0 = 1$。

例子：- $3^0 = 1$- $0.5^0 = 1$- $(-\frac{1}{2})^0 = 1$注意：- $0^0$ 没有确定值，不同场合的定义不同。

初中阶段我们按照惯例将其定义为 $1$，高中数学中则通常不考虑 $0^0$ 的值。

- 零次幂的性质：$a^0=1$，其中 $a$ 是任意非零实数。

负数指数幂定义：对于任意非零实数 $a$ 和负整数 $n$，$a^{-n} =\frac{1}{a^n}$。

例子：- $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$- $(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$注意：- 当指数为负数时，指数前一定要有底数的倒数，如 $(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2}$。

- 负整数次幂的性质：$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$，其中 $a$ 是任意非零实数，$n$ 是正整数。

零指数幂和负数指数幂的运算规律规律：对于任意非零实数 $a$，$a^{m+n}=a^ma^n$，且$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$。

例子：- $2^3 \times 2^{-2}=2^{3+(-2)}=2^{1}=2$- $\frac{3^2}{3^{-1}} = 3^{2-(-1)}=3^3=27$注意：- 在零指数幂和负数指数幂的规律中，我们要求底数 $a$ 为任意非零实数。

8.4 零次数幂和负整次数幂的教学设计一、教学背景（一）教材分析在学习同底数幂的除法运算性质基础上，探究零指数幂和负指数幂的规定的意义。

目的是对数学的后继学习奠定基础。

（二）学情分析学生已经熟练地掌握的了同底数幂除法的性质，为学习本节内容奠定了基础。

从心理认知规律上看，学生在学习了几种指数幂的运算性质后，学习本节内容，已具备学习本节内容的能力。

二、教学目标1.体会零指数幂和负指数幂的探索过程。

2. 掌握零指数幂的意义和计算结果。

3. 学会负指数幂的正确计算。

三、重点、难点重点：学会利用零指数幂和负指数幂的意义进行简单的计算。

难点：负指数幂的计算。

四、教学方法分析及学习方法指导教法指导：先回顾正整数指数幂的运算性质，再慢慢引入零指数幂和负整数指数幂，从而一步一步指导学生根据已学的同底数幂的除法和除法的意义得出零指数幂和负整数指数幂的计算。

学法指导：教学中利用间接求解法计算更加简单的得到结果。

让学生学会用间接法求值。

五、教学过程（一）回顾导入考察下列算式：32÷32；113÷113；x5÷x5;设计意图：回顾同底数幂的除法性质，为本节课的学习奠定基础。

（二）探究新知一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得32÷32=32-2=30；113÷113=113-3=110； x 5÷x 5=x 5-5=x 0(x≠0);另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1。

由此启发，我们规定：30=1;110=1；x 0=1(x≠0);这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1。

我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：32÷34；113÷117；一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得32÷34=32-4=3-2；113÷117=113-7=11-4；另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为由此启发，可以得到：一般地，我们规定：这就是说，任何不等于零的数的n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。

指数与指数幂的运算教案一、教学目标：知识与技能目标：1. 理解指数与指数幂的概念。

2. 掌握指数幂的运算性质和运算法则。

3. 能够运用指数幂的运算性质解决实际问题。

过程与方法目标：1. 通过观察、分析和归纳，培养学生发现和提出问题的能力。

2. 利用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方等运算法则，提高学生的逻辑思维能力。

情感态度与价值观目标：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。

2. 培养学生勇于探索、合作的科学精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 指数与指数幂的概念。

2. 指数幂的运算性质和运算法则。

难点：1. 理解指数幂的运算性质和运算法则。

2. 运用指数幂的运算性质解决实际问题。

三、教学准备：教师准备：1. 指数与指数幂的相关教学素材。

2. 教学课件或板书设计。

学生准备：1. 预习指数与指数幂的相关知识。

2. 准备好笔记本，用于记录重点知识和练习。

四、教学过程：1. 导入：教师通过引入日常生活中的实际问题，如“银行的复利计算”，引导学生思考指数与指数幂的概念。

2. 新课讲解：教师讲解指数与指数幂的概念，通过示例和图示，帮助学生理解指数幂的运算性质和运算法则。

3. 课堂练习：教师给出一些指数幂的运算题目，要求学生独立完成，并及时给予指导和反馈。

4. 应用拓展：教师提出一些实际问题，引导学生运用指数幂的运算性质解决，培养学生的应用能力。

五、课后作业：教师布置一些有关指数与指数幂的练习题目，要求学生在课后完成，巩固所学知识。

教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题，调整教学方法和策略，以提高教学效果。

六、教学评估1. 课堂提问：教师通过提问了解学生对指数与指数幂概念的理解程度，以及学生对指数幂运算性质和运算法则的掌握情况。

2. 课堂练习：教师观察学生在练习过程中的表现，评估学生对指数幂运算的熟练程度。

3. 课后作业：教师批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题及时给予反馈。

《零指数幂与负数指数幂》教案一、教学目标- 了解和理解零指数幂和负数指数幂的概念- 掌握求零指数幂和负数指数幂的方法- 能够应用零指数幂和负数指数幂解决实际问题二、教学内容1. 零指数幂- 零的正整数次幂是1，即0的n次方等于1，其中n为正整数。

- 引导学生探索0的零次幂，引出在数学上是没有意义的，不予考虑。

2. 负数指数幂- 正数的负整数次幂是这个正数的倒数的正整数次幂。

- 引导学生通过例子掌握负数指数幂的运算规律。

三、教学步骤1. 导入- 引导学生回顾指数幂的定义和运算规律，激发学生对零指数幂和负数指数幂的探索兴趣。

2. 引入零指数幂- 通过示例和问题引导学生思考零指数幂的特殊性，提出0的零次幂没有意义的结论。

3. 引入负数指数幂- 通过具体的例子让学生感受负数指数幂的特点，引导学生掌握正数的负整数次幂的计算方法。

4. 拓展应用- 给出一些实际问题，让学生运用零指数幂和负数指数幂解决问题，提高学生的应用能力。

5. 总结和归纳- 让学生总结零指数幂和负数指数幂的概念和运算规律，并进行概念归纳。

四、教学资源- 教学课件- 课堂练题- 实际应用问题五、教学评估- 课堂练题的解答情况- 学生对实际应用问题的解决能力六、教学反思本节课的教学重点在于引导学生理解零指数幂和负数指数幂的概念和运算规律，并进行实际应用。

通过合理运用各种教学资源和参与互动的方式，可以帮助学生更好地掌握相关知识。

在教学反思中，需要对学生的学习情况和课堂效果进行评估，以便进一步改进教学方法和内容。

第2课时零次幂、负整数次幂及科学记数法原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。

出自郑燮的《新竹》1．理解零次幂、负整数次幂的概念及性质；(重点)2．会用科学记数法表示小于1的数．(重点)一、情境导入同底数幂的除法公式为am÷an＝am－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n 时，情况怎样呢？二、合作探究探究点一：零次幂若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )A．x≥6 B．x≤6C．x≠6 D．x＝6解析：∵(x－6)0＝1成立，∴x－6≠0，解得x≠6.故选C.方法总结：本题考查的是零次幂，非0数的零次幂等于1，注意零次幂的底数不能为0.探究点二：负整数次幂【类型一】比较数的大小若a＝(－23)－2，b＝(－1)－1，c＝(－32)0，则a、b、c的大小关系是( )A．a＞b＝c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：∵a＝(－23)－2＝(－32)2＝94，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－32)0＝1，∴a＞c＞b.故选B.方法总结：关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．【类型二】零次幂与负整数次幂中底数的取值范围若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是( ) A．x＞3 B．x≠3且x≠2C．x≠3或x≠2 D．x＜2解析：根据题意，若(x－3)0有意义，则x－3≠0，即x≠3.(3x－6)－2有意义，则3x－6≠0，即x≠2，所以x≠3且x≠2.故选B.方法总结：任意非零数的零次幂为1，底不能为零．【类型三】含负整数次幂、零次幂与绝对值的混合运算计算：－22＋(－12)－2＋(2015－π)0－|2－3|.解析：分别根据有理数的乘方、零次幂、负整数次幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．解：－22＋(－12)－2＋(2015－π)0－|2－3|＝－4＋4＋1－2＋3＝3－1.方法总结熟练掌握有理数的乘方、零次幂、负整数次幂及绝对值的性质是解答此题的关键．探究点三：用科学记数法表示绝对值小于1的数【类型一】用负整数次幂表示绝对值小于1的数2014年6月18日中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为( )A．.06×10－4 B．1.06×10－5C．10.6×10－5 D．106×10－6解析：0.0001061.06×10－4，故选A.方法总结：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数次幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【类型二】将用科学记数法表示的数还原为原数用小数表示下列各数：(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.解析：小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7＝0.0000002；(2)3.14×10－5＝0.0000314；(3)7.08×10－3＝0.00708；(4)2.17×10－10.217.方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．三、板书设计1．零次幂任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a0＝1(a≠0)．2．负整数次幂任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数．即a－p＝1ap(a≠0，p是正整数)．3．用科学记数法表示绝对值小于1的数从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生的学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量【素材积累】不停地工作，即使慢，也一定会获得成功。

零指数幂与负整数指数幂教学设计教学设计：零指数幂与负整数指数幂一、教学目标：1. 了解零指数幂的概念及性质。

2. 学习负整数指数幂的计算方法。

3. 能够灵活运用零指数幂和负整数指数幂进行数学运算和问题解决。

二、教学准备：教师：准备教学课件、教学板书。

学生：准备课本、笔记本、铅笔、计算器。

三、教学过程：步骤一：导入引入指数幂的概念，复习正整数指数幂的运算和性质，并提出相关问题，激发学生的思考与讨论。

步骤二：介绍零指数幂的概念1. 引导学生思考：如果一个数的指数为0，这个数的幂是什么？2. 逐步解释并讨论零指数幂的概念及性质，强调任何非零数的零次幂都等于1。

3. 提供一些例题，引导学生理解和运用零指数幂的计算方法。

步骤三：讲解负整数指数幂的概念1. 引导学生思考：如果一个数的指数为负数，这个数的幂是什么？2. 逐步解释并讨论负整数指数幂的概念及性质，强调任何非零数的负整数次幂都等于该数的倒数的正整数次幂。

3. 提供一些例题，引导学生理解和运用负整数指数幂的计算方法。

步骤四：练习与巩固1. 教师出示一些练习题，供学生在课堂上尝试解答。

2. 学生互相讨论，解答问题并纠正错误。

3. 老师给予答案，供学生核对。

步骤五：拓展应用1. 学生根据学习的零指数幂和负整数指数幂的概念，解决一些实际问题。

2. 学生通过小组讨论，分享并展示解决问题的方法和答案。

3. 教师总结和点评，激发学生对数学运算应用的兴趣和思考能力。

四、课堂总结：教师对学生学习的内容进行回顾和总结，强调零指数幂和负整数指数幂的重要性和应用价值。

五、课后作业：布置一些与零指数幂和负整数指数幂相关的作业，巩固学生的学习成果。

六、课堂反思：教师对本节课的教学效果进行总结和评价，针对存在的问题进行反思和改进。

零指数幂与负整数指数幂优秀教案在数学教学中，指数运算是一个重要的概念。

指数运算的结果包括正整数指数幂、零指数幂和负整数指数幂。

本教案将重点介绍零指数幂和负整数指数幂的特点及运算规律，以便帮助学生更好地理解和应用这些概念。

一、零指数幂的特点和运算规律1. 零的任何正整数指数幂都等于1：0ⁿ=1，其中n为任意正整数。

2. 零的零指数幂是没有定义的：0⁰。

3. 零的负整数指数幂也是没有定义的。

二、负整数指数幂的特点和运算规律1. 任何非零数的负整数指数幂等于该数的倒数的正整数指数幂：a⁻ⁿ=1/aⁿ，其中a为非零数，n为任意正整数。

2. 任何数的负整数指数幂等于倒数的负整数指数幂的倒数：a⁻ⁿ=1/(a⁻ⁿ)，其中a为非零数，n为任意正整数。

3. 非零数的负整数指数幂和零的负整数指数幂都是没有定义的。

三、综合运用1. 零的正整数次幂为1：0ⁿ=1，其中n为正整数。

2. 零的负整数次幂没有定义。

3. 非零数的正整数次幂和负整数次幂之间的运算规律：aⁿ⁺ᵐ=aⁿ⋅aᵐ，aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ，其中a为非零数，n和m为任意整数。

四、教学活动设计为了帮助学生更好地理解和应用零指数幂和负整数指数幂的概念和运算规律，可以设计以下教学活动：1. 活动一：探索零指数幂的特点- 让学生观察并讨论0⁰和0ⁿ（n为正整数）的结果是否有定义，引导学生发现零指数幂的特点。

- 给学生一些数学表达式，让他们判断其中哪些是零指数幂，哪些不是，并解释原因。

- 引导学生总结出零指数幂的运算规律。

2. 活动二：探索负整数指数幂的运算规律- 让学生观察并讨论a⁻ⁿ和1/aⁿ（a为非零数，n为正整数）的关系，引导学生发现负整数指数幂的运算规律。

- 引导学生举例验证负整数指数幂的运算规律，并总结出相应的运算规律。

3. 活动三：综合运用零指数幂和负整数指数幂- 给学生一些综合性的数学表达式，让他们运用所学的知识化简、计算或解释结果。

- 设计一些小组合作活动，让学生在合作中探索更多的数学问题，比如让他们找出一组数，使得其中的数的2ⁿ结果为0或负数。

8.1 幂的运算1．了解幂的运算性质，会利用幂的运算性质进行计算．2．通过幂的运算性质的形成和应用，养成观察、归纳、猜想、论证的能力，提高计算和口算的能力．3．了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律，体验和学习研究问题的方法，培养思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯．1．同底数幂的乘法(1)同底数幂的意义“同底数幂”顾名思义，是指底数相同的幂．如32与35，(－5)2与(－5)6，(a＋b)4与(a＋b)3等表示的都是同底数的幂．(2)幂的运算性质1同底数幂相乘，底数不变，指数相加．用字母可以表示为：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．(3)性质的推广运用当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：a m·a n·a p＝a m＋n＋p(m，n，p是正整数)．(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时，应注意以下几点：①幂的底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式；底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个“整体”．②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式，若底数不同，则不能使用；注意：－a n 与(－a)n不是同底数的幂，不能直接用性质．③不要忽视指数是1的因数或因式．【例1－1】(1)计算x3·x2的结果是______；(2)a4·(－a3)·(－a)3＝__________.解析：(1)题中的底数都是x，是两个同底数幂相乘的运算式子，只需运用同底数幂相乘的性质进行运算，即x3·x2＝x3＋2＝x5；(2)应先把底数分别是a，－a的幂化成同底数的幂，才能应用同底数幂的乘法性质，原式＝a4·(－a3)·(－a3)＝a4·a3·a3＝a4＋3＋3＝a10.答案：(1)x5(2)a10正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论．例如同底数幂的乘法，条件是底数相同，且运算是乘法运算，结论是底数不变，指数相加．【例1－2】计算：(1)(x＋y)2·(x＋y)3；(2)(a－2b)2·(2b－a)3.分析：(1)把(x＋y)看作底数，可根据同底数幂的乘法性质来解；(2)题中(a－2b)2可转化为(2b－a)2，或者把(2b－a)3转化为－(a－2b)3，就是两个同底数的幂相乘了．解：(1)原式＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5；(2)方法一：原式＝(2b －a )2·(2b －a )3＝(2b －a )5；方法二：原式＝(a －2b )2·[－(a －2b )3]＝－(a －2b )5.本题应用了整体的数学思想，把(x ＋y )和(a －2b )看作一个整体，(2)题中的两种解法所得的结果实质是相等的，因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数． 2．幂的乘方(1)幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如(a 5)3是指三个a 5相乘，读作“a 的五次幂的三次方”，即有(a 5)3＝a 5·a 5·a 5＝a 5＋5＋5＝a 5×3；(a m )n 表示n 个a m 相乘，读作“a 的m 次幂的n 次方”，即有(a m )n ＝m m m n a a a ⋅⋅⋅L 1442443个＝m m m n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L L 142431424314243144444424444443个个个个＝a mn(m ，n 都是正整数) (2)幂的运算性质2幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母可以表示为：(a m )n ＝a mn(m ，n 都是正整数)．这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘． (3)性质的推广运用幂的乘方性质可推广为： [(a m )n ]p ＝a mnp(m ，n ，p 均为正整数)．(4)注意(a m )n 与am n的区别 (a m )n 表示n 个a m 相乘，而am n 表示m n 个a 相乘，例如：(52)3＝52×3＝56,523＝58.因此，(a m )n ≠am n .【例2】(1)计算(x 3)2的结果是( )．A ．x 5B ．x 6C ．x 8D ．x 9(2)计算3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝__________.解析：(1)根据性质，底数不变，指数相乘，结果应选B ；(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算，再合并同类项得到结果．3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝3a 3×3＋2a 4×2·a ＝3a 9＋2a 8·a ＝3a 9＋2a 9＝5a 9.答案：(1)B (2)5a 9防止“指数相乘”变为“指数相加”，同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”．如(a 4)2＝a 4＋2＝a 6与(a 2)3＝a 23＝a 8都是错误的．3．积的乘方(1)积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如(2ab )3，(ab )n等．(2ab )3＝(2ab )·(2ab )·(2ab )(乘方意义)＝(2×2×2)(a ·a ·a )(b ·b ·b )(乘法交换律、结合律) ＝23a 3b 3.(ab )n ＝n ab ab ab ()()()L 1442443个＝n a a a (⋅⋅⋅)L 14243个n b b b (⋅⋅⋅⋅)L 14243个＝a n b n(n 为正整数)．(2)幂的运算性质3积的乘方等于各因式乘方的积．也就是说，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘．用字母可以表示为：(ab )n ＝a n b n(n 是正整数)． (3)性质的推广运用三个或三个以上的乘方也具有这一性质，如(abc )n ＝a n b n c n(n 是正整数)．【例3】计算：(1)(－2x )3；(2)(－xy )2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34.分析：(1)要注意－2x 含有－2，x 两个因数；(2)－xy 含有三个因数：－1，x ，y ；(3)把xy 2看作x 与y 2的积，把－x 2y 看作－1，x 2，y 的积；(4)－12ab 2c 3含有四个因数－12，a ，b 2，c 3，先运用积的乘方性质计算，再运用幂的乘方性质计算．解：(1)(－2x )3＝(－2)3·x 3＝－8x 3；(2)(－xy )2＝(－1)2·x 2·y 2＝x 2y 2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2＝x 3(y 2)3·(－1)2·(x 2)2y 2＝x 3y 6·x 4y 2＝x 7y 8；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124a 4(b 2)4(c 3)4＝116a 4b 8c 12.(1)在计算时，把x 2与y 2分别看成一个数，便于运用积的乘方的运算性质进行计算，这种把某个式子看成一个数或字母的方法的实质是换元法，它可以把复杂问题简单化，它是数学的常用方法．(2)此类题考查积的乘方运算，计算时应特别注意底数含有的因式，每个因式都分别乘方，不要漏掉，尤其要注意系数及系数的符号，对系数是－1的不可忽略．负数的奇次方是一个负数，负数的偶次方是一个正数．4．同底数幂的除法 (1)幂的运算性质4同底数幂相除，底数不变，指数相减．用字母可以表示为：a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n )．这个性质成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减．和同底数幂的乘法类似，被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同，商也是一个幂，其底数与被除式和除式的底数相同，商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差．因为零不能作除数，所以底数a ≠0.(2)性质的推广运用三个或三个以上的同底数幂连续相除时，该性质仍然成立，例如a m ÷a n ÷a p ＝a m －n －p(a ≠0，m ，n ，p 为正整数，m ＞n ＋p )．【例4】计算：(1)(－a )6÷(－a )3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2；(3)(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2. 分析：利用同底数幂的除法性质进行运算时关键要找准底数和指数．(1)中的底数是－a ，(2)中的底数是(a ＋1)，(3)中的底数可以是－x ，也可以是x .解：(1)(－a )6÷(－a )3＝(－a )6－3＝(－a )3＝－a 3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2＝(a ＋1)4－2＝(a ＋1)2； (3)方法1：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x )7÷(－x )3÷(－x )2＝(－x )7－3－2＝(－x )2＝x 2. 方法2：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x 7)÷(－x 3)÷x 2＝x 7－3－2＝x 2.运用同底数幂除法性质的关键是看底数是否相同，若不相同则不能运用该性质，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；幂的前三个运算性质中字母a ，b 可以表示任何实数，也可以表示单项式和多项式；第四个性质即同底数幂的除法性质中，字母a 只表示不为零的实数，或表示其值不为零的单项式和多项式．注意指数是“1”的情况，如a 5÷a ＝a 5－1，而不是a 5－0.5．零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.用字母可以表示为：a 0＝1(a ≠0)．a 0＝1的前提是a ≠0，如(x －2)0＝1成立的条件是x ≠2.(2)负整数指数幂：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数．用字母可以表示为：a －p＝1ap (a ≠0，p 是正整数)．a －p ＝1ap 的条件是a ≠0，p 为正整数，而0－2等是无意义的．当a ＞0时，a p 的值一定为正；当a ＜0时，a －p 的值视p 的奇偶性而定，如(－2)－3＝－18，(－3)－2＝19.规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂了，于是同底数幂除法的性质推广到整数指数幂，即a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是整数)．如a ÷a 2＝a 1－2＝a －1＝1a；正整数指数幂的某些运算，在负整数指数幂中也能适用．如a －2·a －3＝a－2－3＝a －5等．【例5】计算：(1)1.6×10－4；(2)(－3)－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2；(4)(π－3.14)0；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1.分析：此题是负整数指数幂和零指数幂的计算，可根据a －p＝1ap (p 是正整数，a ≠0)和a 0＝1(a ≠0)计算．其中(1)题应先求出10－4的值，再运用乘法性质求出结果．解：(1)1.6×10－4＝1.6×1104＝1.6×0.000 1＝0.000 16.(2)(－3)－3＝1－33＝－127. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝925. (4)因为π＝3.141 592 6…， 所以π－3.14≠0.故(π－3.14)0＝1.(5)原式＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－231＝1＋9－32＝812.只要底数不为零，而指数是零，不管底数多么复杂，其结果都是1.当一个负整数指数幂的底数是分数时，它等于底数倒数的正整数次幂，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a p .6．用科学记数法表示绝对值较小的数(1)绝对值小于1的数可记成±a ×10－n的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法．(2)把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示分两步：①确定a,1≤a ＜10，它是将原数小数点向右移动后的结果；②确定n ，n 是正整数，它等于原数化为a 后小数点移动的位数．(3)利用科学记数法表示数，不仅简便，而且更便于比较数的大小，如：2.57×10－5显然大于2.57×10－8，前者是后者的103倍．【例6－1】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.000 001 56 m ，用科学记数法表示这个数是( )．A ．0.156×10－5B ．0.156×105C．1.56×10－6 D．1.56×106解析：本题考查科学记数法，将一个数用科学记数法表示为±a×10－n(1≤a＜10)的形式，其中a是正整数数位只有一位的数，所以A、B不正确，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，所以n＝6，即0.000 001 56＝1.56×10－6.故选C．答案：Cn的值也等于将原数写成科学记数法±a×10－n时，小数点移动的位数．如本题中将0.000 001 56写成科学记数法表示时，a为1.56，即将原数的小数点向右移动了6位，所以n的值是6.【例6－2】已知空气的单位体积质量为 1.24×10－3 g/cm3,1.24×10－3用小数表示为( )．A．0.000 124 B．0.012 4C．－0.001 24 D．0.001 24解析：因为a＝1.24，n＝3，因此原数是1前面有3个零(包括小数点前面的一个零)，即1.24×10－3＝0.001 24.答案：D本题可把1.24的小数点向左移动3位得到原数，也可利用负整数指数幂算出10－3的值，再与1.24相乘得到原数．7．幂的混合运算幂的四个运算性质是整式乘(除)法的基础，也是整式乘(除)法的主要依据．进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的四个运算性质，深刻理解每个性质的意义，避免互相混淆．幂的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里面的．因此，运算时，应先细心观察，合理制定运算顺序，先算什么，后算什么，做到心中有数．(1)同底数幂相乘与幂的乘方运算性质混淆，从而导致错误．如：①a3·a2＝a6；②(a3)2＝a5.解题时应首先分清是哪种运算：若是同底数幂相乘，应将指数相加；若是幂的乘方，应将指数相乘．正解：①a3·a2＝a5；②(a3)2＝a6.(2)同底数幂相乘与合并同类项混淆，从而导致错误．如：①a3·a3＝2a3；②a3＋a3＝a6.①是同底数幂相乘，应底数不变，指数相加；②是合并同类项，应系数相加作系数，字母和字母的指数不变．正解：①a3·a3＝a6；②a3＋a3＝2a3.【例7－1】下列运算正确的是( )．A．a4＋a5＝a9B．a3·a3·a3＝3a3C．2a4·3a5＝6a9D．(－a3)4＝a7解析：对于A，两者不是同类项，不能合并；对于B，结果应为a9；对于C，结果是正确的；对于D，(－a3)4＝a3×4＝a12.故选C．答案：C【例7－2】计算：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3.分析：按照运算顺序，先利用积的乘方化简，即(－2x2y)3＝－8(x2)3·y3,8(x2)2·(－x)2·(－y)6＝8x4·x2·y6，再利用幂的乘方及同底数幂的乘法化简乘方后的结果，最后合并同类项．解：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3＝－8(x2)3·y3＋8x4·x2·y6÷y3＝－8x6y3＋8x6y3＝0.8．幂的运算性质的逆用对于幂的运算性质的正向运用大家一般比较熟练，但有时有些问题需要逆用幂的运算性质，可以使问题化难为易、求解更加简单．(1)逆用同底数幂的乘法性质：a m ＋n ＝a m ·a n (m ，n 为正整数)．如25＝23×22＝2×24.当遇到幂的指数是和的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的乘法性质，将幂转化成几个同底数幂的乘法．但是一定要注意，转化后指数的和应等于原指数．(2)逆用幂的乘方性质：a mn ＝(a m )n ＝(a n )m (m ，n 均为正整数)．逆用幂的乘方性质的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如x 6＝(x 2)3＝(x 3)2，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．(3)逆用积的乘方性质： a n b n ＝(ab )n (n 为正整数)．当遇到指数相差不大，且指数比较大时，可以考虑逆用积的乘方性质解题．注意，必须是同指数的幂才能逆用性质，逆用时一定要注意：底数相乘，指数不变．(4)逆用同底数幂的除法性质： a m －n ＝a m ÷a n (a ≠0，m ，n 为整数)．当遇到幂的指数是差的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的除法性质，将幂转化成几个同底数幂的除法．但是一定要注意，转化后指数的差应等于原指数．【例8－1】(1)已知3a ＝2,3b ＝6，则33a －2b的值为__________；(2)若m p ＝15，m 2q ＝7，m r ＝－75，则m 3p ＋4q －2r的值为__________．解析：(1)因为3a ＝2,3b＝6，所以33a －2b ＝33a ÷32b ＝(3a )3÷(3b )2＝23÷62＝29.(2)m 3p ＋4q －2r ＝(m p )3·(m 2q )2÷(m r )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫153×72÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝15.答案：(1)29 (2)15【例8－2】(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×24 024；(2)已知10x ＝2,10y ＝3，求103x ＋2y的值．分析：(1)本题的指数较大，按常规方法计算很难，观察式子特点发现：4 024是2 012的两倍，可逆用幂的乘方性质，把24 024化为(22)2 012，这样再与22 012逆用积的乘方性质，此时发现与⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011底数互为倒数，但指数不相同，因此逆用同底数幂的乘法及逆用积的乘方性质，简化计算；(2)可逆用幂的乘方，把103x ＋2y化为条件中的形式．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×(22)2 012(逆用幂的乘方)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×(2×22)2 012(逆用积的乘方) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 012 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 011×8(逆用同底数幂的乘法) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18×8 2 011×8(逆用积的乘方) ＝8.(2)因为103x ＝(10x )3＝23＝8,102y ＝(10y )2＝32＝9，所以103x ＋2y ＝103x ·102y＝8×9＝72. 9．利用幂的运算性质比较大小 在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能．这时可利用幂的运算性质比较幂的大小．比较幂的大小，一般有以下几种方法：(1)指数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．(2)底数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．(3)作商比较法：当a ＞0，b ＞0时，利用“若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ”比较．有关幂的大小比较的技巧和方法除灵活运用幂的有关性质外，还应注意策略，如利用特殊值法、放缩法等．【例9】(1)已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．a ＜b ＜c D ．b ＞c ＞a(2)350,440,530的大小关系是( )．A ．350＜440＜530B ．530＜350＜440C ．530＜440＜350D ．440＜530＜350(3)已知P ＝999999，Q ＝119990，那么P ，Q 的大小关系是( )．A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．无法比较解析：(1)因为a ＝8131＝(34)31＝3124，b ＝2741＝(33)41＝3123，c ＝961＝(32)61＝3122，又124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122，即a ＞b ＞c .故选A ．(2)因为350＝(35)10＝24310,440＝(44)10＝25610,530＝(53)10＝12510，而125＜243＜256，所以12510＜24310＜25610，即530＜350＜440.故选B ．(3)因为P Q ＝999999×990119＝9×119999×990119＝99×119999×990119＝1，所以P ＝Q .故选B ． 答案：(1)A (2)B (3)B10．幂的运算性质的实际应用利用幂的运算可以解决一些实际问题，所以要熟练掌握好幂的运算性质，能在实际问题中灵活地运用幂的运算性质求解问题．解决此类问题时，必须认真审题，根据题意列出相关的算式，进而利用幂的运算性质进行运算或化简，特别地，当计算的结果是比较大的数时，一般要写成科学记数法的形式．【例10】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103m/s ，则卫星运行3×102s 所走的路程约是多少？分析：要计算卫星运行3×102s 所走的路程，根据路程等于时间乘以速度可解决问题．本题实际是一道同底数幂的乘法运算问题．解：因为7.9×103×3×102＝(7.9×3)×(103×102)＝23.7×105＝2.37×106，所以卫星运行3×102 s 所走的路程约为2.37×106m ． 11．幂的运算中的规律探究题探究发现型题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以总结．它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．规律探索题是指在一定条件下，需要探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目，要解答此类问题，首先要仔细阅读，弄清题意，并从阅读过程中找出其规律，然后进一步利用规律进行计算．【例11】(1)观察下列各式：由22×52＝4×25＝100，(2×5)2＝102＝100，可得22×52＝(2×5)2；由23×53＝8×125＝1 000，(2×5)3＝103＝1 000，可得23×53＝(2×5)3；….请你再写出两个类似的式子，你从中发现了什么规律？(2)x2表示两个x相乘，(x2)3表示3个__________相乘，因此(x2)3＝__________，由此类推得(x m)n＝__________.利用你发现的规律计算：①(x3)15；②(x3)6；③[(2a－b)3]8.解：(1)如：34×54＝(3×5)4,45×55＝(4×5)5，等等．规律：a n·b n＝(ab)n，即两数n次幂的积等于这两个数的积的n次幂．(2)x2x2×3＝x6x mn①(x3)15＝x45；②(x3)6＝x18；③[(2a－b)3]8＝(2a－b)24.。

负指数幂运算教案教案标题：负指数幂运算教案一、教学目标：1. 理解负指数幂的概念和运算规则；2. 掌握负指数幂的计算方法；3. 能够应用负指数幂运算解决实际问题。

二、教学准备：1. 教师准备：教案、黑板、白板、彩色粉笔、教学PPT等；2. 学生准备：教材、笔记本、铅笔、计算器等。

三、教学过程：步骤一：引入1. 通过简单的问题引发学生对指数幂的思考，例如：2的3次方等于多少？2的4次方等于多少？以此类推；2. 引导学生思考负指数幂的意义和可能的计算结果。

步骤二：概念讲解1. 定义负指数幂，并解释其含义；2. 引导学生理解负指数幂的运算规则，即：a的负n次方等于1除以a的n次方。

步骤三：运算方法讲解1. 通过示例演示负指数幂的运算方法，例如：2的负3次方等于1除以2的3次方，即1/2的3次方；2. 引导学生发现负指数幂的运算结果与正指数幂的倒数之间的关系。

步骤四：练习与巩固1. 提供一些简单的计算题目，让学生尝试计算负指数幂；2. 引导学生发现负指数幂的运算结果是一个分数或小数，强调结果的意义；3. 给予学生足够的练习机会，确保他们能够熟练掌握负指数幂的运算方法。

步骤五：应用拓展1. 提供一些实际问题，引导学生运用负指数幂解决问题，例如：计算细菌的繁殖速度、计算物质的浓度等；2. 鼓励学生思考并讨论负指数幂在实际生活中的应用场景。

四、教学总结：1. 对本节课的内容进行总结，强调负指数幂的概念、运算规则和计算方法；2. 检查学生的学习情况，解答他们可能遇到的问题；3. 鼓励学生在课后进行复习和巩固，提供相关练习题目。

五、板书设计：负指数幂运算的概念和运算规则：a的负n次方 = 1 / a的n次方六、教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解负指数幂的概念和运算规则，并掌握其计算方法。

通过练习和应用拓展，学生对负指数幂的运用能力也得到了提升。

在教学过程中，可以适当增加一些趣味性的活动，提高学生的参与度和学习兴趣。

8.1.5零指数幂和负整数指数幂课题第2课时零指数幂和负整数指数幂授课人教学目标知识技能理解零指数幂和负整数指数幂的概念，会进行负整数指数幂与正整数指数幂的转化.数学思考通过对零指数幂和负整数指数幂性质的探究，在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和表达能力.问题解决通过对同底数幂相除的进一步探索，引导学生归纳总结零指数幂和负整数指数幂的概念，培养学生的探究推广能力.情感态度经历对同底数幂相除的探究推广，感知对问题的观察思考、探究推广的实用价值，体会合作、探究学习的乐趣.教学重点零指数幂和负整数指数幂的意义及应用.教学难点零指数幂、负整数指数幂成立的条件，负整数指数幂与正整数指数幂的转化授课类型新授课课时教具多媒体及课件（续表）教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾一、复习提问：同底数幂的除法性质是什么？(1)符号语言：a m÷a n＝________(a≠0，m，n是正整数，且m＞n)．(2)文字语言：同底数幂相除，________不变，指数________．计算：(1)(－c)5÷(－c)3；(2)(x＋y)m＋3÷(x＋y)2；(3)x10÷(－x)2÷x3.复习旧知识，为后继学习的知识点作铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题1：一颗人造地球卫星运行的速度是7.9×103m/s，一架喷气式飞机飞行的速度是1.0×103km/h，这架喷气式飞机的速度是这颗人造地球卫星速度的几分之几？问题2：地球的体积大约是9.05×1011千米3，太阳的体积大约为9.05×1017千米3.你能算出地球体积是太阳体积的几分之几吗？教师引导学生列出算式：问题1：1.0×1037.9×103＝1079.问题2：9.05×10119.05×1017＝10111017.通过实际问题，由学生在自己操作中碰到疑问，激发学生继续探究的积极性.活动二：实践探究交流新知【探究1】计算：32÷32；103÷103；a m÷a m(a≠0)．探究：由除法可得：32÷32＝__1__；103÷103＝__1__；a m÷a m＝__1__(a≠0)．利用a m÷a n＝a m－n(a≠0)的方法计算得：32÷32＝32－2＝30；103÷103＝103－3＝100；a m÷a m＝a m－m＝a0(a≠0)．因此得到：a0＝1(a≠0)．这样就出现了零次幂．我们约定：a0＝1(a≠0)．任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.【探究2】(1)怎样计算1011÷1017?一方面，仿照同底数幂的除法性质计算：1011÷1017＝1011－17＝10－6，这里出现了负指数，10－6该等于多少呢？另一方面，1011÷1017＝10111017＝10111011×106＝1106，所以有10－6＝1106.(2)类似地探究：a2÷a5(a≠0)，得到：a－3＝1a3(a≠0)．(3)教师讲述：为使同底数幂的除法性质在m<n时仍能适用，就出现了负整数指数幂．我们约定：a－p＝1a p(a≠0，p是正整数)．任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数．以从特殊到一般的方法，在小组合作、同伴交流讨论中自主构建知识．基于以上交流讨论，使学生感到规定合情合理，有了此规定，也使指数得以扩充.【应用举例】例1[教材P52例5]计算：【应用举例】理解零指数幂和负整数指数幂的概活动三：开放训练体现应用活动三：开放训练体现应用(1)106÷106；(2)⎝⎛⎭⎫17÷⎝⎛⎭⎫17－2；(3)(－2)3÷(－2)5.【变式训练】1．下列计算正确的是()A．(－1)0＝－1B．(－1)－1＝1C．2a－3＝12a3D．(－a3)÷(－a)7＝1a42．下列运算：①2x3－x2＝x；②x3·(x5)2＝x13；③(－x)6÷(－x)3＝x3；④(0.1)－2×10－1＝10.结果正确的是()A．①②B．②④C．②③D．②③④3．若102y＝25，则10－y等于()A.15B.1625C．－15或15D.1254．计算：(－x)5÷(－x)2＝________，x10÷x2÷x3÷x4＝________．5．若(x－2)0有意义，则x________．6．计算：(3－π)0＋(－0.2)－2＝________．7．计算：(1)⎝⎛⎭⎫23＋(－1)3＋⎝⎛⎭⎫13－3÷||－3；(2)(－27)－15×(－9)20÷(－3)－7.8．若(3x＋2y－10)0无意义，且2x＋y＝5，求x，y的值．念，并能进行正确的计算．【变式训练】举一反三，加深理解．【拓展提升】例2已知a≠0，下列等式不正确的是()A．(－7a)0＝1B.⎝⎛⎭⎫a2＋12＝1C.()│a│－1＝1D.⎝⎛⎭⎫1a＝1例3若a＝－0.32，b＝－3－2，c＝⎝⎛⎭⎫－13－2，d＝⎝⎛⎭⎫－13，则()A．a<b<c<d B．b<a<d<cC．a<d<c<b D．c<a<d<b例4已知P＝999999，Q＝119990，那么P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．无法确定例5已知||x＝3，且(x－3)0＝1，则x＝________．综合运用，螺旋式提高．例6 计算：⎝⎛⎭⎫23－2×⎝⎛⎭⎫232×(－1)2015＋90的结果为________．例7 若a 2m ＝25，则a －m ＝________．例8 计算：[(－2)－3－8－1×(－1)－2]×⎝⎛⎭⎫－12－2×(π－2)0.例9 已知(x －1)x ＋2＝1，求整数x.活动 四： 课堂 总结 反思【当堂训练】P 53练习T 1，T 2，T 3.作业布置：P 55习题8.1T 5，T 6，T 8.及时反馈，纠错、评优.【知识网络】提纲挈领，重点突出.活动 四： 课堂 总结 反思【教学反思】 ①[授课流程反思]要重点从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法角度进行讲授，渗透转化、归纳等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力．②[讲授效果反思]真正以学生为主体，教师为主导，构建师生互动、学生小组交流、和谐互动的探究气氛，这样的学习 效果应该是较好的． ③[师生互动反思]__________________________________________ ___________________________________________及时反思，总结提高.④[习题反思]好题题号___________________________________ 错题题号___________________________________整数指数幂 学案学习目标： 1、掌握整数指数幂的运算性质 2．掌握小数的科学记数法； 学习重点难点：1．重点：掌握整数指数幂的运算性质. 2．难点：会用科学记数法表示小于1的数. 自学问题：一、整数指数幂的运算性质1、我们以前学的幂的运算性质有哪些？ （1）___________=⋅n m a a （2）()___________=nm a（3）()___________=m ab （4）___________=÷n m a a (5) ___________=0a ( ) 2、同底数幂除法公式n m n ma a a -=÷中，ｍ、ｎ有什么限制吗？3、计算：5255÷＝；731010÷＝ 。

8.1幂的运算——负指数幂的运算教学目标：1、使学生掌握a －n（a ≠0，n 是正整数）并会运用它进行计算。

2、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。

重点难点：理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。

教学过程：一：合作探究1、计算（1）52÷５2，（2）103÷103，（3）a 5÷a 5(a ≠0).2、做一做，并在小组内交流（1）52÷５5，（2）103÷107，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得52÷５5＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4. 同样我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为52÷５5＝， 103÷107＝.思考：由此同学们你猜想有什么结论存在？5-3＝，10-4＝.那么你认为吗，(a ≠0，n 是正整数) 结论：a －n =n a 1(a ≠0，n是正整数) 这就是说，任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 总结：这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数。

二：做一做（1）106÷106（2）（-2）2÷（-2）5（3）52÷５5想一想：从上题的解题过程中你发现了什么？我们引进了零指数和负整数指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数，那么以前所学的幂的性质是否依然成立呢？三：规律探索1、回忆：我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于或等于10的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.例如，864000可以写成8.64×105.思考：对于一个小于1的正小数，如0.000021能用科学记数法表示这个数吗？如何表示呢？2、探索：10-1=0.1 10-2= 10-3= 10-4= 10-5=归纳：10-n=则上面的0.000021可以表示成 2.1×10-5.3、类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n．是正整数，．．．．．．．．．．．．．．a．∣．＜．10．．，这种记数的方法也做科．．．．．1≤∣学记数法。

零指数幂与负整数指数幂优秀教案一、教学目标1、知识与技能目标理解零指数幂和负整数指数幂的概念。

掌握零指数幂和负整数指数幂的运算性质，并能熟练进行相关计算。

2、过程与方法目标通过观察、类比、归纳等活动，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

经历探索零指数幂和负整数指数幂的运算性质的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法。

3、情感态度与价值观目标激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

让学生在合作交流中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1、教学重点零指数幂和负整数指数幂的概念及运算性质。

2、教学难点对零指数幂和负整数指数幂意义的理解。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾正整数指数幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

提出问题：当指数为 0 或负数时，幂的运算该如何进行呢？从而引出本节课的主题——零指数幂与负整数指数幂。

2、讲授新课（1）零指数幂计算：＼（5^2÷5^2\），根据同底数幂的除法法则，可得：＼（5^2÷5^2 ＝ 5^｛2 2} ＝ 5^0\），而\（5^2÷5^2 ＝ 1\），所以\（5^0 ＝ 1\）。

再计算：＼（a^m÷a^m\）（＼（a≠0\），＼（m\）为正整数），可得：＼（a^m÷a^m ＝ a^｛m m} ＝ a^0\），因为\（a^m÷a^m ＝ 1\），所以\（a^0 ＝ 1\）（＼（a≠0\））。

归纳总结零指数幂的概念：任何非零数的零次幂都等于 1，即\（a^0 ＝ 1\）（＼（a≠0\））。

（2）负整数指数幂计算：＼（5^2÷5^5\），根据同底数幂的除法法则，可得：＼（5^2÷5^5 ＝ 5^｛2 5} ＝ 5^｛－3}＼），而\（5^2÷5^5 ＝＼frac{1}｛5^3}＼），所以\（5^｛－3} ＝＼frac{1}｛5^3}＼）。

8.1幂的运算（第5课时零指数负指数与科学计数法）教案教学设计8.1 幂的运算（第5课时）零指数幂、负整指数数幂与科学记数法一、教学背景（一）教材分析在学习同底数幂的除法运算性质基础上，探究零指数幂和负指数幂的规定的意义．教材的关键是让学生把握几两种指数幂的定义，能进行指数运算，目的是对数学的后继学习，以及学习物理和化学的奠定基础．（二）学情分析学生已经熟练地掌握的了同底数幂除法的性质和正指数幂的科学记数法，为学习本节内容奠定了基础．从心理认知规律上看，学生在学习了几种指数幂的运算性质后，学习本节内容，已具备学习本节内容的能力．二、教学目标：1 经历探索零指数幂和负指数幂的意义过程，进一步体会零指数幂和负指数幂的存在的条件，发展推理能力和有条理的表达能力.2 学会利用零指数幂和负指数幂的意义进行简单的计算．3 学会利用负指数幂表示绝对值小于1的数．4 学会用科学记数法表示数进行运算，提高运算的准确性．三、重点、难点：重点：学会利用零指数幂和负指数幂的意义进行简单的计算，并会利用负指数幂表示绝对值较小的数．难点：深刻理解零指数幂和负指数幂的意义．四、教学方法分析及学习方法指导教法指导：回顾导入新课时，将正整数指数幂的运算性质的复习插在零指数幂概念形成和它的合理性验证等过程中，明确本节课的主题．将学生的注意力吸引到如何建立零指数幂概念上来．零指数幂和负整数指数幂是通过规定来明确其意义的，在教学中，让学生了解做出这样规定的原因及其合理性．学法指导：教学中要分解成一个个小问题，让学生通过解决小问题来认识道理．五、教学过程：（一）回顾导入：考察下列算式：设计意图：回顾同底数幂的除法性质，为本节课的学习奠定基础．（二）探究新知：一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.由此启发，我们规定：这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为由此启发，可以得到：一般地，我们规定：这就是说，任何不等于零的数的（n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.设计意图：引导学生主动反思问题,掌握解决问题的方法,让学生认识到零指数幂和负整数指数幂是通过规定来明确其意义的，使学生明白做出这样规定的原因及其合理性（三）合作学习:例5 计算思考：用小数表示下列各数：想一想：现在，我们已经引进了零指数幂和负整指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，在§8.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列式子是否成立.设计意图：引导学生观察,计算过程中应注意什么？既调动学生的积极性,又对零指数幂和负整数指数幂的意义进行加深理解.（四）探究新知:做一做：⑴用分数表示⑵把0.1、0.01、0.001表示成分数你能看出上面的关系吗？由上面的探究可得：一个绝对值很小的数可以写成只有1个一位整数与10的负整数指数幂的积的形式.以前用科学记数法表示一个绝对值很大的数,现在还可以用科学记数法表示一个绝对值很小的数.一般地，一个绝对值很大或很小的数都可以利用科学记数法写成±a×10n的形式,其中1≤a＜10，n是整数．例6 用科学记数法表示下列各数：（1）0.00076 （2）-0.00000159 （3）0.0000283归纳：用科学记数法表示一个绝对值较小的数时，数n就等于这个数的第一个不为零的有效数字前面零的个数（包括小数点前面的零）（五）自主学习:1 用科学记数法表示下列各数:2 用科学记数法填空：（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝________秒；（2）1毫克＝_________千克；（3）1微米＝_________米；（4）1纳米＝_________微米；（5）1平方厘米＝_________平方米；（6）1毫升＝_________立方米.设计意图：通过学生自主学习，对新知进行练习巩固．（六）课堂小结：说能出你这节课的心得和体会,让大家与你分享吗？（七）布置作业:1 课本P 53页练习2、32 课本P54页练习1、23 课本p55习题8.1第8、9题板书设计：8.1零指数幂、负整指数数幂与科学记数法零指数幂：负整指数数幂：科学记数法：例5……………………..例6……………………..1 计算预设反思：。

《零次幂和负整数指数幂》教案教学目标1、通过探索掌握零次幂和负整数指数幂的意义.2、会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算.3、会用科学计数法表示绝对值较少的数.4、让学生感受从特殊到一般是数学研究的一个重要方法.教学重点零次幂和负整数指数幂的公式推导和应用，科学计数法表示绝对值绝对值较少的数. 教学难点零次幂和负整数指数幂的理解.教学过程一、创设情境，导入新课.1、同底数的幂相除的法则是什么？用式子怎样表示？用语言怎样叙述？ ()0,m n m n a a a a m n -÷=≠、是正整数，且m>n2、这这个公式中，要求m >n ，如果m =n ，m <n ，就会出现零次幂和负指数幂，如：333300)a a a a a -÷==≠（，232310)a a a a a --÷==≠（，010)a a a -≠、（有没有意义？这节课我们来学习这个问题.二、合作交流，探究新知.1、零指数幂的意义(1)从特殊出发：填空：223________3= 335________5= 4410________10= 思考：22223333÷、这两个式子的意义是否一样，结果应有什么关系？因此：222023=3333÷=，同样：444041*********=÷= 由此你发现了什么规律？一个非零的数的零次幂等于1.(2)推广到一般：一方面：0(0)m m m m a a aa a -÷==≠，另一方面：11111m m m m a a a a ⋅===⋅ 启发我们规定：01(0)aa =≠试试看：填空： 02=3⎛⎫⎽⎽⎽⎽ ⎪⎝⎭， 02=_______, 010_____,= 0=__(x 0)x ≠， ()03______,π-= ()021_____x +=. 2、负整数指数幂的意义.(1)从特殊出发：填空：355______5= 353______3= 4710______10= (2)思考：2333与2333÷的意义相同吗？因此他们的结果应该有什么关系呢？(-113=3)同样：，-2-323115=10=510， (3)推广到一般： ?n a -=()00110,n n n n n a a a a a a n a --==÷=÷=≠是正整数 (4)再回到特殊：当n =1是，-1a =？()-1a =1三、小结.这节课你学到了什么？。