高中必修第一册数学《1.4充分条件与必要条件》获奖说课导学案

1.4 充分条件与必要条件-人教A版高中数学必修第一
册（2019版）教案
一、教学目标
1.了解充分条件和必要条件的基本概念；
2.能够简单判断给定条件的充分条件和必要条件；
3.能够应用所学知识进行简单的证明。

二、教学重难点
1.充分条件和必要条件的区别及应用；
2.证明题型的解题方法。

三、教学过程与方法
1. 导入（5分钟）
引入“上一节课学习了什么”和“本节课要学习什么”。

2. 讲解（40分钟）
1.充分条件和必要条件的概念
1.如果某个条件能够推出另一个条件，那么这个条件就是“充分条件”；
2.如果某个条件是达成另一个条件的必要条件，那么这个条件就是“必要条件”。

2.举例说明
1.p 充分推出 q，写作p → q，即 q 是 p 的必要条件，p 是 q 的充分条件；
2.p 是 q 的必要条件，写作p ← q，即 q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件；
3.p 充分必要推出 q，写作p ↔ q，即 q 是 p 的充分必要条件，p 也是 q 的充分必要条件。

3.应用
1.判断充分条件和必要条件；
2.给出一个条件，求其充分条件和必要条件；
3.进行简单的证明。

3. 拓展（15分钟）
出示以下题目，学生进行讨论，并进行解答。

题目：设实数x满足x2−2x+1=0，则x=？
4. 课堂练习（30分钟）
1.评测练习；
2.提供练习题，让学生独立练习，并进行讲解。

四、教学总结（5分钟）
1.学习充分条件和必要条件的基本概念，能够简单判断给定条件的充分条件和必要条件；
2.掌握证明题型的解题方法，提升解题能力。

1.4 充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件课标要求素养要求1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.通过对必要条件、充分条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.新知探究某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.问题(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？提示(1)一定亮.(2)不一定，还可能是C开关闭合.1.充分条件与必要条件区分概念中充分条件与必要条件的推出符号的箭头方向(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.拓展深化『微判断』1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.(×)提示不是唯一的，使结论成立的条件有多个.2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(√)3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.(√)4.“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件.(√)『微训练』1.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).答案必要2.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件(填“充分”或“必要”).答案充分『微思考』你能将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？(1)平行四边形的对角线相互平分；(2)菱形的对角线互相垂直.提示(1)“平行四边形的对角线相互平分”可表述为“若平面四边形为平行四边形，则它的对角线相互平分”，所以“对角线相互平分”是“平面四边形是平行四边形”的必要条件.(2)“菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.题型一命题真假的判断『例1』判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆.解(1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.(3)真命题.∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.规律方法要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.『训练1』下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平面内，四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________.解析①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.答案①④题型二充分条件、必要条件的判断『例2』给出下列四组命题：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.试分别指出p是q的什么条件.解(1)∵两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要条件但不是充分条件.(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p.∴p是q的充分条件但不是必要条件.(3)∵p⇒q且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.(4)∵p q，且q p，∴p是q的既不是充分条件，也不是必要条件.规律方法一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.『训练2』指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.解 (1)在△ABC 中，由大角对大边知，∠B >∠C ⇒AC >AB ，所以p 是q 的充分条件.(2)由x ＝1⇒(x －1)(x －2)＝0， 故p 是q 的充分条件.故(1)(2)命题中p 是q 的充分条件.题型三 根据必要条件(充分条件)求参数的范围『例3』 (1)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________.(2)已知p ：a ≤x ≤a ＋1，q ：0<x <4，若p 是q 的充分条件但不是必要条件，则a 的取值范围是________.解析 (1)因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.(2)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |0<x <4}. ∵p 是q 的充分条件但不是必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (1){a |－1≤a ≤5} (2){a |0<a <3}规律方法 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.『训练3』 (1)若“x <m ”是“x >2或x <1”的充分条件但不是必要条件，求m 的取值范围.(2)已知p ：x <－3或x >1，q ：x >a ，且q 是p 的充分条件但不是必要条件，求a 的取值范围.解(1)由已知条件知{x|x<m}{x|x>2或x<1}.∴m≤1.∴m的取值范围是{m|m≤1}.(2)由已知条件得{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1}.一、素养落地1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.2.充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)利用集合间的包含关系进行判断.3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.二、素养训练1.若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件解析由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p q，但q⇒p.答案 B2.“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.既是充分条件，也是必要条件解析∵－2<x<1x>1或x<－1，且x>1或x<－1－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不是充分条件，也不是必要条件.答案 C3.下列命题中，p是q的充分条件的是()A.p：ab≠0，q：a≠0B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C.p：x2>1，q：x>1D.p：a>b，q：a>b解析根据充分条件的概念逐一判断.答案 A4.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.无法判断解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.答案 A5.若“x>m”是“x>3或x<1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围.解由已知条件，知{x|x>m}{x|x>3或x<1}.∴m≥3.∴m的取值范围是『3，＋∞).三、审题答题示范(一)利用充分条件(必要条件)求参数范围『典型示例』(12分)已知条件p：x<1－a或x>1＋a①和条件q：x<12或x>1②，求使p 是q 的充分条件但不是必要条件③的最小正整数a ④. 联想解题看到①转化成集合形式. 看到②转化成集合形式.看到③想到需转化为条件p 与条件q 对应集合间的包含关系，然后建立关于a 的不等式组求解.看到④想到求出的是a 的一个范围，然后在此基础上求出最小正整数a . 满分示范解 依题意a ＞0.由条件p ：x <1－a 或x >1＋a ， 可设M ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }，1分由条件q ：x <12或x >1，可设N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >1.2分 要使p 是q 的充分条件但不是必要条件，则M N ，应有⎩⎨⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎨⎧1－a ＜12，1＋a ≥1，解得a ≥12.10分令a ＝1，则M ＝{x |x <0或x >2}N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <12或x >1.即p ⇒q ，反之不成立. ∴a ＝1.12分 满分心得解本题的关键是条件“p 是q 的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解.。

§1．4 充分条件与必要条件（预习教材P 17~ P 22,回答下列问题）（1）根据以上充分必要条件的定义,请给出是的什么条件？p q ①若 ,但,则p q ⇒q p ≠> ②若,但,则q p ⇒p q ≠> ③若,且,则p q ⇒q p ⇒ ④若,且,则p q ≠>q p ≠>（2）在下列电路图中,闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：如图(1)所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件； 如图(2)所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；第一章 集合与常用逻辑用语- -2如图(3)所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的条件；如图(4)所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件．（3）钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点三】充分条件、必要条件、充要条件的判断方法1．定义法：分别判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假．2．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．3．集合法：利用集合间的包含关系进行判断．4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论,应根据条件画出相应的推式图,根据图中推式的传递性进行判断．5．特殊值法：对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况,用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件),但是这种方法不适用于证明题．自我检测2：如图1,有一个圆,在其内又含有一个圆,请回答A B p ：红点在内,q ：红点一定在内”中,则p 是q 的什么条件？B A3题型三　条件和结论的传递性【例3】　已知,都是的必要条件,是的充分条件,是的充分条件,则p q r s r q s （1）是的什么条件？s q （2）是的什么条件？r q （3）是的什么条件？pq【例4-2】已知,,若p 是q 的充分不必要条2:2320p x x --≥:2q x a x a ≤-≥或件．求实数a 的取值范围．．题型五　充要条件的证明【例5】求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．第一章 集合与常用逻辑用语5．若是的必要而不充分条件,是的充要条件,是的充分而不必要条件,A B C B D C 那么是的________．D A5【参考参考答案】温习：（1）√（2）×（3）√【自我检测1】（1）①p 是q 的充分不必要条件②p 是q 的必要不充分条件③p 是q 的充要条件④p 是q 的既不充分也不必要条件（2）充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要（3）B【自我检测2】充分不必要【例3】　已知,都是的必要条件,是的充分条件,是的充分条件,则p q r s r q s （1）是的什么条件？充要条件s q （2）是的什么条件？充要条件r q （3）是的什么条件？必要不充分条件p q第一章 集合与常用逻辑用语- -6【例4-2】已知,,若p 是q 的充分不必要条2:2320p x x --≥:2q x a x a ≤-≥或件．求实数a 的取值范围．1．指出下列各题中p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．75．若是的必要而不充分条件,是的充要条件,是的充分而不必要条件,A B C B D C 那么是的________．D A。

1.4充分条件与必要条件(导学案)【学习目标】1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点)2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点)【自主学习】知识点一 命题1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句.2、命题的真假：判断为真的语句是 ；判断为假的语句是 .注意：反问句、疑问句、祈使句都不是命题.3、命题的形式：可写成“若p ，则q ”“如果p ，那么q ”等形式.其中p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.问题1：下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）3≥3．（2）3能被2整除吗？（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（4）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.（5）若0342=+-x x ，则x=1.知识点二 充分条件与必要条件知识点三 判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．注意：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p ，则q ”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p ，则q ”的形式．(2)不能将“若p ，则q ”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q ”为真命题时，才有“p ⇒q ”．(3)对p ⇒q 的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q ．①“若p ，则q ”为真命题； ②p 是q 的充分条件； ③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p ⇒q ”这一逻辑关系的表达．知识点四 充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}知识点五充要条件1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为条件．2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为条件．【经典例题】考点一充分条件、必要条件的判断角度1 定义法例1“a>0且b>0”是“ab>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【跟踪训练】1、“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2、俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分又不必要条件D．无法判断角度2 集合法x ”成立的（）条件例2 “ 0< x <2”成立是“2A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【跟踪训练】设集合A={x|0≤x<3}，集合B={x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件角度3 递推法例3 已知q是r的必要不充分条件，s是r的充分且必要条件，那么s是q成立的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【跟踪训练】设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【方法总结】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法：(1) 定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假．(2) 集合法：利用集合的包含关系判断．(3) 等价法：利用p⇔q 与q⇔p 的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇔p2⇔…⇔pn ，可得p1⇔pn ；充要条件也有传递性． 考点二 充分、必要条件的选择例4（多选）（2023高一限时训练）“−12<x <2”的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．1x >-B ．0<x <1C ．−12<x <12D ．x <2【跟踪训练】1、使不等式1x >成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．23x <<B ．0x >C ．25x -<<D ．1x >2、（2023黑龙江大庆外国语学校高一考试）“x −1>0”成立的一个必要不充分条件的是（ ）A ．x >1B ．x >2C ．3x <D ．x >0考点三 根据充分条件求参数取值范围例5 （2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合P ={x|a −1≤x ≤6a −14}，Q ={x|−2≤x ≤5}．(1) 若a =3，求(∁R P )∩Q ；(2) 若“x ∈P ”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【跟踪训练】已知集合A ={x |3−a ≤x ≤3+a }，B ={x |x ≤0或x ≥4}．(1)当a=1时，求A∩B；(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【方法总结】应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．考点四充要条件的证明例6求证：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根的充要条件是a+b+c=0(a≠0)【方法总结】1．根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q ”；(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．2．在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．。

《充分条件与必要条件》导学案一、学习目标1、理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。

2、能够准确判断条件与结论之间的关系，区分充分条件、必要条件和充要条件。

3、能够运用充分条件、必要条件和充要条件解决相关的数学问题和实际问题。

二、重点难点1、重点（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念。

（2）判断条件与结论之间的关系。

2、难点（1）理解充分条件、必要条件、充要条件的本质。

（2）在复杂情境中准确判断条件与结论的关系。

三、知识梳理1、充分条件如果命题“若 p，则q”为真命题，即由 p 可以推出 q，那么我们就说p 是 q 的充分条件。

也就是说，有了条件 p，结论 q 一定成立。

例如：如果一个数是偶数，那么这个数能被 2 整除。

“一个数是偶数”就是“这个数能被 2 整除”的充分条件。

2、必要条件如果命题“若 q，则p”为真命题，即由 q 可以推出 p，那么我们就说p 是 q 的必要条件。

也就是说，没有条件 p，结论 q 就一定不成立。

例如：如果一个数能被 2 整除，那么这个数是偶数。

“一个数是偶数”就是“这个数能被 2 整除”的必要条件。

3、充要条件如果既有 p 推出 q，又有 q 推出 p，即“若 p，则q”和“若 q，则p”均为真命题，那么我们就说 p 是 q 的充要条件，也说 p 与 q 等价。

例如：一个三角形是等边三角形当且仅当它的三个内角相等。

“一个三角形是等边三角形”与“它的三个内角相等”互为充要条件。

四、例题讲解例 1：判断下列命题中，p 是 q 的什么条件？（1）p：x ＝ 1，q：x² 1 ＝ 0（2）p：两直线平行，q：内错角相等解：（1）当 x ＝ 1 时，x² 1 ＝ 1² 1 ＝ 0，所以由 p 可以推出 q，p是 q 的充分条件。

当 x² 1 ＝ 0 时，x ＝ ±1，不一定是 x ＝ 1，所以由 q 不能推出 p，p 不是 q 的必要条件。

第一章 集合与常用逻辑用语充分条件与必要条件1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；2.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；2.掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；一、充分与必要条件的基本概念1．充分条件与必要条件的概念一般地,用p 、q 分别表示两个命题,如果命题p 成立,可以推出命题q 也成立,即 ,那么p 叫做q 的 条件, p 叫做q 的 条件.2．一般地，如果既有，又有，就记作： , 这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的 条件，简称 条件。

其中叫做等价符号。

探究一、充分条件与必要条件的含义1.思考:下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题哪些是假命题p q ⇒q p ⇒⇔p q p q q p ⇔⇒⇒表示且（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430,1;x x x -+==则（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则aP 足以导致q,也就是说条件p 充分了；q 是p 成立所必须具备的前提.（2） p q p q p q p q q p ≠>如果“若，则”为假命题，那么由推不出，记作。

此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件。

3.思考：下列“若P ，则q ”形式的命题中，p 是q 的什么条件（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430,1;x x x -+==则（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则a 21 1;2;(3),41,1;(5),;(6),p q p q x x a b ac bc x y xy ====例：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？（）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形（）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似若四边形为菱形则这个四边形的对角线互相垂直；（）若则若则若为无理数，则为无理数。

《1.4.1充分条件与必要条件》导学案姓名小组第组【学习目标】1.理解充分条件的概念，判定定理与充分条件的关系。

2.理解必要条件的概念，性质定理与必要条件的关系。

3.结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件的方法。

4.培养学生的辩证思维能力。

【自主学习】知识点一命题1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句。

2、命题的真假：判断为真的语句是；判断为假的语句是。

注意：反问句、疑问句、祈使句都不是命题。

3、命题的形式：可写成“”“如果p，那么q”等形式。

其中p称为命题的，q称为命题的。

问题1：下列哪些是真命题？哪些是假命题？（1）3≥3。

（2）3能被2整除吗？（3）同位角相等，两直线平行。

（4）相等的角是对顶角。

（5）若｜a|>|b|，则a>b。

（6）三角形任意两边之和大于第三边。

（7）今天天气真好啊！知识点二充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p q p q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件问题2：下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方。

知识点三判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件。

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件。

注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题。

若不是，则首先将命题改写成的形式。

（2）对p⇒q的理解：当成立时，一定成立，即由p通过推理可以得到q。

①为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“p⇒q”这一逻辑关系的表达。

知识点四充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆B是的充分条件；是的必要条件B⊆A是的充分条件；是的必要条件课堂总结【课后练习】一、选择题1.下列语句是命题的是（）A.今天天气真好啊！B.你怎么又没交作业？C.x>2D.方程x2+2x+3=0无实根2.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件3.下列说法正确的是（）A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“当a>4时，方程x2-4x+a=0有实根”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.“x=2时，x2-3x+2=0”是真命题二、填空题4.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⟂BD”的条件。

第一章集合与常用逻辑用语《1.4充分条件与必要条件》教案【教材分析】本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，看条件能否推出结论，从而判断命题的真假；然后从命题出发结合实例引出充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证.【教学目标与核心素养】课程目标1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．数学学科素养1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

【教学重难点】重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、问题导入：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x＞a2+b2，则x＞2ab,（2）若ab＝0，则a＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．提问：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？结论：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本17-22页，思考并完成以下问题1.什么是充分条件？2.什么是必要条件？3.什么是充要条件？5.什么是充分不必要条件？6.什么是必要不充分条件？7.什么是既不充分也不必要条件？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。