专题09 概率与统计-备战2017高考高三数学理全国各地二模金卷分项 含解析 精品

2017高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.(p)∧qD.p∧(q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()A.1B.2C.3D.47.若数列{a n}是等差数列,则下列结论正确的是()A.若a2+a5>0,则a1+a2>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a3>D.若a1<0,则(a2-a1)( a4-a2)>08.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m值为.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2017年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(图②);(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求ξ的分布列和均值;(3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2图①图②19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥平面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2.(1)求证:AE⊥CF;(2)求二面角A-FC-E的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)满足g'(x)=(a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.(1)已知h(x)=e1-x f(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程;(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;(3)设函数F(x)=O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x ∈R)上总存在一点Q,使得<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·理科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以=2.所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线C2的离心率为6.B解析的展开式中第r+1项为)12-r=(-1)r当6-为正整数时,可知r=0或r=2,故的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是2.7.C解析设等差数列{a n}的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d 的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B错误.若0<a1<a2,则d>0.所以a3>0,a4>0.所以-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>故选项C正确.由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以2R2·R=,解得R=2.所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=所以该几何体的体积V=111.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以所以所以,…,所以所以所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=17.解(1)∵A=,∴B+C=∴sin=3sin C.cos C+sin C=3sin C.cos C=sin C.∴tan C=(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=18.解(1)根据题意,有解得故p=0.15,q=0.10.补全的频率分布直方图如图所示.(2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10=6人.故ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,所以ξ的分布列为所以E(ξ)=0+1+2+3(3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是,则η~B,故随机变量η的均值为E(η)=15=6.19.(1)证明(方法一)由题意知,在△AEF中,AE=,EF=,AF=2∴AE2+EF2=AF2,∴AE⊥EF.在△AEC中,AE=,EC=,AC=2∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC.又EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF.又FC⊂平面ECF,∴AE⊥FC.(方法二)∵四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.由ED⊥平面ABCD,ED∥FB,BD=2,BF=2,DE=,可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2).=(-,-1,),=(,1,2).=(-,-1,)·(,1,2)=-3-1+4=0.∴AE⊥CF.(2)解由(1)中方法二可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2),则=(-,1,2),=(-2,0,0),=(0,2,),=(-,1,-).设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0,得-x1+y1+2z1=0,且-2x1=0.令z1=1,得n1=(0,-2,1).设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2=0,n2=0,得2y2+z2=0,且-x2+y2-z2=0.令y2=-1,得n2=(-,-1,).设二面角A-FC-E的大小为θ,则cos θ=20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.解(1)∵h(x)=(-x3+x2)e1-x,∴h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x.∴h(1)=0,h'(1)=-1.∴曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1.(2)∵g'(x)=(a∈R,x>0),∴g(x)=a ln x+c(c为常数).∴g(e)=a ln e+c=a+c=a.∴c=0.∴g(x)=a ln x.由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.∵当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x,且等号不能同时成立,∴ln x<x,即x-ln x>0.∴aa设t(x)=,x∈[1,e],则t'(x)=∵x∈[1,e],∴x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0.∴t'(x)≥0.∴t(x)在[1,e]上为增函数.∴t(x)max=t(e)=a(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1.∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)).∵t≤-1,∴-t≥1.∴P(t,-t3+t2),Q(-t,a ln(-t)).=-t2-at2(t-1)ln(-t)<0,∴a(1-t)ln(-t)<1.当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R.当t<-1时,a<,令φ(t)=(t<-1),则φ'(t)=∵t<-1,∴t-1<0,t ln(-t)<0.∴φ'(t)>0.∴φ(t)=在(-∞,-1)内为增函数.∵当t→-∞时,φ(t)=0,∴φ(t)>0.∴a≤0.综上,可知a的取值范围是(-∞,0].22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x故原不等式的解集为(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

《2017年高考理科数学全国2卷-含答案》摘要：．．设集合．若则（）． B．．． 3我国古代数学名著《算法统宗》有如下问题“远望巍巍塔七层红光倍加增共灯三八十请问尖头几盏灯，填写下面列表并根据列表判断是否有99%把握认箱产量与养殖方法有关箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量频率分布直方图新养殖法箱产量位数估计值（精确到00）（K≥k） 0050 000 000 k 38 6635 088 9（分）如图四棱锥B侧面等比三角形且垂直底面B是（）证明直线平面B （）棱上且直线B与底面B所成角二面角B余弦值 0（分）设坐标原动椭圆上做x轴垂线垂足满足 () 轨迹方程，由得因xx0是(x)（0,）值由得所以（）设极坐标极坐标由题设知由得极坐标方程因直角坐标方程（）设B极坐标,由题设知 ,是△B面积当取得值所以△B面积值 3 （）（）因所以因+b≤</07年普通高等学校招生全国统考试理科数学(全国卷) 、选择题题共题每题5分共60分每题给出四选项只有项是合题目要（）． B．．．设集合．若则（）． B．．． 3我国古代数学名著《算法统宗》有如下问题“远望巍巍塔七层红光倍加增共灯三八十请问尖头几盏灯？”思是座7层塔共挂了38盏灯且相邻两层下层灯数是上层灯数倍则塔顶层共有灯（）．盏 B．3盏．5盏．9盏如图格纸上正方形边长粗实线画出是某几何体三视图该几何体由平面将圆柱截部分所得则该几何体体积（）． B．．． 5设满足约束条件则值是（）． B．．． 6安排3名志愿者完成项工作每人至少完成项每项工作由人完成则不安排方式共有（）．种 B．8种．种．36种 7甲、乙、丙、丁四位学起向老师询问成语竞赛成绩．老师说你们四人有位优秀位良我现给甲看乙、丙成绩给乙看丙成绩给丁看甲成绩．看甲对说我还是不知道我成绩．根据以上信息则（）．乙可以知道四人成绩 B．丁可以知道四人成绩．乙、丁可以知道对方成绩．乙、丁可以知道己成绩 8执行右面程序框图如输入则输出（）． B．3 ．．5 9若双曲线（）条渐近线被圆所截得弦长则离心率（）． B．．． 0已知直三棱柱则异面直线与所成角余弦值（）． B．．．若是函数极值则极值（） B 已知是边长等边三角形平面B则值是（） B 二、填空题题共题每题5分共0分3批产品二等品率从这批产品每次随机取件有放回地抽取次表示抽到二等品件数则．函数（）值是． 5等差数列前项和则． 6已知是抛物线焦是上延长线交轴．若则．三、答题共70分答应写出说明、答程或演算步骤7~题必做题每试题考生都必须作答、3题选考题考生根据要作答（）必考题共60分7（分）角对边分别 ,已知． () ()若 , 面积, 8（分）淡水养殖场进行某水产品新、旧箱养殖方法产量对比收获各随机抽取了00 箱测量各箱水产品产量（单位kg）其频率分布直方图如下（）设两种养殖方法箱产量相独立记表示事件“旧养殖法箱产量低50kg, 新养殖法箱产量不低50kg”,估计概率；（）填写下面列表并根据列表判断是否有99%把握认箱产量与养殖方法有关箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量频率分布直方图新养殖法箱产量位数估计值（精确到00）（K≥k） 0050 000 000 k 38 6635 088 9（分）如图四棱锥B侧面等比三角形且垂直底面B是（）证明直线平面B （）棱上且直线B与底面B所成角二面角B余弦值 0（分）设坐标原动椭圆上做x轴垂线垂足满足 () 轨迹方程；() 设Q直线x3上且证明且垂直Q直线l左焦（分）已知函数且（）；（）证明存唯极值且（二）选考题共0分请考生、3题任选题作答如多做按所做题计分[选修坐标系与参数方程]（0分）直角坐标系x以坐标原极x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程．（）曲线上动线段上且满足,轨迹直角坐标方程；（）设极坐标B曲线上面积值． 3[选修5不等式选讲]（0分）已知证明（）；（）． 07年普通高等学校招生全国统考试理科数学(Ⅱ)试题答案、选择题 3B B 5 6 7 8B 9 0 B 二、填空题 3 96 5 6 6 三、答题 7 （）由题设及故上式两边平方整理得得（）由故又由余弦定理及得所以b 8 （）记B表示事件“旧养殖法箱产量低”表示事件“新养殖法箱产量不低” 由题知旧养殖法箱产量低频率故估计值06 新养殖法箱产量不低频率故估计值066 因事件概率估计值（）根据箱产量频率分布直方图得列表箱产量箱产量旧养殖法 6 38 新养殖法 3 66 由故有把握认箱产量与养殖方法有关．（3）因新养殖法箱产量频率分布直方图箱产量低直方图面积箱产量低直方图面积故新养殖法箱产量位数估计值． 9 （）取连结．因所以,,由得又所以．四边形平行四边形．又故（）由已知得,以坐标原方向x轴正方向单位长建立如图所示空直角坐标系xz,则则 ,则因B与底面B所成角5°而是底面B法向量所以即（x）²+²z²0 又棱上设由①②得所以从而设是平面B法向量则所以可取（0）是因二面角B余弦值 0 （）设（x,）,（x0,0）,设（x0,0）, 由得因（x0,0）上所以因轨迹方程（）由题知（,0）设Q（3）,(,),则由得又由（）知故 3+30 所以即又存唯直线垂直Q所以且垂直Q直线l左焦（）定义域设则等价因若则当0＜x＜单调递减；当x＞＞0单调递增所以x是极值故综上（）由（）知设当；当所以单调递减单调递增又所以有唯零x0有唯零且当；当当因所以xx0是(x)唯极值由由得因xx0是(x)（0,）值由得所以（）设极坐标极坐标由题设知由得极坐标方程因直角坐标方程（）设B极坐标,由题设知 ,是△B面积当取得值所以△B面积值 3 （）（）因所以因+b≤。

2017年名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e42．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣73．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥04．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2 a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．135．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．1276．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．29．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k= ．15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n+1=x n﹣，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n= ．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3 B．k≥e3 C．k＞e4 D．k≥e4【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．2．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i，又（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，∴b=3，a=﹣4，则a﹣b=﹣7．故选：D．3．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣x，x∈（0，），f′（x）=cosx﹣1＜0，∴f（x）是（0，）上是减函数，∵f（0）=0，∴f（x）＜0，∴命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0，故选：C．4．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．13【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．127【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=5，故v=1，i=4，v=1×2+1=3i=3，v=3×2+1=7i=2，v=7×2+1=15i=1，v=15×2+1=31i=0，v=31×2+1=63i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10cm，∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴=（﹣1，），=（，﹣）则•=﹣=﹣2．故选：B．9．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分类讨论，第一类，同一班的2名同学在甲车上；第二类，同一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，同一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类，同一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】点、线、面间的距离计算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=2，求得T=4，再根据T==4，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=，故选：D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．【解答】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣=e﹣m﹣1，令t=e﹣m﹣1＞，则lnx2=t，x2=e t，1﹣=t，x1=2﹣2t，∴x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导g′（t）=﹣2te t，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域为（﹣∞，），∴x1x2取值范围为（﹣∞，），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为12 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=﹣1﹣1=﹣2，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1=2r C6r•x3﹣r，令3﹣r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：1214．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k= 8 ．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），∴直线AB 的方程为y=k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组，整理得：k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2=0，则x 1+x 2==2+．x 1x 2=1．∴y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2k=，y 1y 2=k 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）=k 2[x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1]=﹣4，∵•=0，（x 1，y 1﹣2）（x 2，y 2﹣2）=0，即x 1x 2+y 1y 2﹣2（y 1+y 2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．15．已知函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0）有两个零点1，2，数列{x n }满足x n +1=x n ﹣，设a n =ln ，若a 1=，x n ＞2，则数列{a n }的通项公式a n = 2n ﹣2（n ∈N*） ．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f （x ）=a （x ﹣1）（x ﹣2），求出导数，可得x n +1=，求得a n +1=ln =2ln=2a n ，运用等比数列的通项公式即可得到所求．【解答】解：函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0）有两个零点1，2， 可得f （x ）=a （x ﹣1）（x ﹣2）， f′（x ）=a （2x ﹣3），则x n +1=x n ﹣=x n ﹣=，由a 1=，x n ＞2，则a n +1=ln=ln=2ln =2a n ，即有a n =a 1qn ﹣1=•2n ﹣1=2n ﹣2．故答案为：2n ﹣2（n ∈N*）．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是0＜m＜3+4．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为192.2元．因为192.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．cos＜＞=又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（Ⅰ）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，所以f′（x）=﹣在（0，+∞）上有解，即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解，也即x=在（0，+∞）上有解，所以＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=x12﹣2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，因为x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣x3﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣x2﹣+lnx，x∈（0，1），则P′（x）=﹣3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=4，t1t2=7，∴t1＞0，t2＞0，所以+=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．。

2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学( 全国2 卷)一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3 i 1.（）1 iA ． 1 2iB ． 1 2iC ． 2 iD ． 2 i 2.设集合 1,2,4 ，x x 2 4x m 0 ．若I1 ，则（）A ．1,3B ． 1,0C ． 1,3D ． 1,53.我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯” 意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1 盏B ．3 盏C ．5 盏D ．9 盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A ． 90B ． 63C ． 42D ． 362x 3y 3 05.设 x ， y 满足约束条件2x 3y 3 0 ，则 z 2xy 的最小值是（）y 3 0A ． 15B ． 9C ． 1D ． 96.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）开始A ．12 种B ．18 种C ．24 种D ．36 种输入 a7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的 S=0,K=1成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩K ≤6 否C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩是8.执行右面的程序框图，如果输入的a1 ，则输出的 S （）S=S+a?KA ．2B ． 3C ． 4D ． 5222a= aC:a 2b 2a 0b9.若双曲线1（ ， ）的一条渐近线被圆 x2y24 所截xyK=K+ 1得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A ．2B ． 3C ． 22 3输出 SD ．3结束10.已知直三棱柱C1 1C1中，C 120o ，2 ， C CC 11，则异面直线1与C 1 所成角的余弦值为（）A． 3 B．15 C．10D． 32 5 5 311.若x 2 是函数 f (x) ( x2 ax 1)e x 1`的极值点，则 f (x) 的极小值为（）A. 1B. 2e 3C.5e3uuur uuur uuur12.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA (PB PC ) 的最小值是（）A. 2B. 3C.4D. 12 3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。