D10[1].2 对坐标的曲线积分
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49 第二节 对坐标的曲线积分
一、填空题
1．xoy 面内，一质点沿曲线从A 点移动到B 点，在移动的过程中，质点受到的力(,)F x y =
(,)(,)P x y i Q x y j + 时，则变力所作的功为W = (,)d +(,)d AB
P x y x Q x y y ⎰，若设d (d ,d )
r x y = 功也可记为向量形式W = d AB F r ⋅⎰ ． 2．若L ：()()
x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，t α=对应L 的始点，t β=对应L 的终点则
(,)d (,)d L P x y x Q x y y β
α+=⎰⎰[][]{}(),()()(),()()P t t t Q t t t ϕψϕϕψψ''+d t ．
3．设弧 AB 是22y x =由(8,4)A 到(2,2)B -的一段弧，则
d d AB y x x y +⎰
=0
280d d x x ⎛+ ⎝⎰⎰（表示为x 的定积分）= 2
243d 2
y y -⎰（表示为y 的定积分）． 4．设L 为抛物线从2y x =从(0,0)到(1,1)，则(,)d (,)d L P x y x Q x y y +⎰=
L ⎰
s ． 提示：(1,2),cos x ταβ===
原积分[](,)cos (,)cos d L
P x y Q x y s αβ=
+⎰ 二、单项选择题
1．设L 为11y x =--由(0,0)O 到(2,0)B 的折线段，则
2222()d ()d L x y x x y y ++-⎰= C ．
A ．53
B ．23
C ．43
D ．1
50 提示:12L L L =+，12:,:01;:2,:12;L y x x L y x x =→=-→
1222222201142d ((2))d [(2)](1)d 3
I x x x x x x x x =++-+---=⎰⎰⎰ 三、计算题
1．计算2
d d (31)d x x y y z y z Γ++--⎰其中Γ为由点(2,3,4)A 到(1,1,1)B 的一段直线． 解：Γ的参数方程：112:1013x t y t t z t =+⎧⎪=+→⎨⎪=+⎩
，2d d (31)d x x y y z y z Γ++--⎰ 0022111(12)2(39121)3d (8306)d t t t t t t t t ⎡⎤=+++⋅++---⋅=++⎣⎦⎰⎰
0321
87115633t t t ⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦. 2．2222()d ()d L x y x x y y -++⎰其中L 为由点(0,0)A 沿抛物线2y x =到(2,4)B 的一段
弧．
解：2:,:02L y x x =→,
2222224240()d ()d ()2d L x y x x y y x x x x x x ⎡⎤-++=-++⋅⎣⎦⎰⎰ 235460
3523x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦1285=. 3．计算2
()d d 2
L x xy x x y ++⎰，其中L 沿222x y R +=顺时针从(0,)R 到(,0)R . 解：令cos ,sin x R y R θθ==，π:0,2
θ→ 22
022π2()d d (sin cos cos )(sin )cos cos d 22L x R xy x x y R R R R θθθθθθθ⎡⎤++=+-+⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ 3
3222π2sin sin (1sin )dsin 2R R R θθθθ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰0
332
33223π2111=sin sin sin sin 322232R R R R R θθθθ⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦．。
