对坐标的曲面积分的计算方法(一)

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利用柱面坐标或球面坐标计算第一类曲面积分的教与学

作者：应志领

来源：《科教导刊》2014年第22期

摘 要 本文比较了第一类曲面积分在直角坐标与柱面坐标或球面坐标下的计算方法，给出利用柱面坐标或球面坐标计算第一类曲面积分的公式，并说明在教学过程中，如何让学生易于理解柱面坐标或球面坐标下的面积元素。

关键词 第一类曲面积分 柱面坐标 球面坐标

中图分类号：G642 文献标识码：A

Teaching and Learning on Use of Cylindrical Coordinates or Spherical

Coordinates to Calculate First Class Surface Integral

YING Zhiling

（School of Science， Nanjing University of Posts and Telecommunications， Nanjing，

Jiangsu 210023）

Abstract This paper compares the first class surface integral calculation method in cylindrical

coordinates or Cartesian coordinates and spherical coordinates， given the use of cylindrical

coordinates or spherical coordinates to calculate surface integral equations of the first kind， and

described in the teaching process， how to make students easily understood area element cylindrical

２０１６年１１月　西部皮革　文化与探索　

谈谈曲面积分的计算方法　

张晓春　

（江西工程学院，江西新余３３８０２９）　

摘要：这里介绍将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法，第二型曲面积分属于向量函数的积分，在流体力学和电磁　学等领域有极为广泛的运用。所以，正确选择计算第二型曲面积分的方法对解决问题有着很大的帮助。　关键词：曲面积分；二重积分；计算；转换　中图分类号：０ｌ７２．２　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７１—１６０２（２０１６）２２—０１８９—０１　

１第二型曲面积分定义　设∑为光滑的有向曲面，函数Ｒ（　，Ｙ，ｚ）在∑上有界，把　∑任意分割成ｎ块小曲面ＩｔＳ　（ｉ＝１，２，…，ｎ）（ａｓ　同时表示第ｉ小　块曲面的面积），ａｓ　在ｘｏｙ坐标面上的投影为（ａｓ　）　Ｖ（　，叼　，　）　ＡＳ　，若当各小块曲面的直径的最大值Ａ一０时，　（　，＇７　，　

）（ａｓ　）　，存在。则称此极限值为Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）在有向曲面∑上对坐　标ｘ，ｙ的曲面积分（或第二型曲面积分）．记作　尺（ｘ，ｙ，　）＆ｄｒ。　２将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法　①第二型曲面积分７』　尸（　，　，　）　＋　（　，　，　）如　＋Ｒ（ｘ，　，　

ｚ）ｄｘｄｙ可化为三个第二型曲面积分来计算：，　＝ＪＪ　Ｐ（　，），，　）ｄｙ出，　

１２　）ｄｚｄｘ，１３＝ｆｆ　Ｒ（　，　）ｄｘｄｙ。　这就必须把曲面分别投影到ｙＯｚ、ｚＯｘ、ｘＯｙ面上，再分别按照　前侧为正后侧为负、右侧为正左侧为负、上侧为正下侧为负的规则　再次分解。这样一来就需要六个式子来计算一个第二型曲面积分，　运算量相当大且容易出错。　例：计算下列闭曲面上的曲面积分（积分沿区域１－１之边界曲面　的外侧）：　。ｄｙｄｚ＋（　＋ｙ３）ｄｚｄｘ＋（　一ｙ３）ｄｘｄｙ，其中　ｎ＝｛（　，ｙ，　）ｌ　＋Ｙ　≤１，　≥０，Ｙ≥０，０≤　≤１｝；　解：在曲面ｄ　上　＝０，Ｙ＝０，　＝０及　＝１部分的Ｓ上　ｘｚｄｙｄｚ：０，所以　￣ａｘｚｄｙｄｚ＝ｆｒｏ，ｚ　ｄｙｄｚ：ｌ　ｚ出Ｉ　ｄ’：　．　

２００８年２月　

第ｌ４卷第１期　安庆师范学院学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｑｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｆｅｂ　２００８　

ＶＯＩ．１４　ＮＯ．１　

一种有效计算第二型曲面积分的方法　

陈定元　，王业庆　

（１｜安庆师范学　数学与计算科学学院，安徽安庆２４６１３３；　

２．怀宁中学，安徽安庆２４６０００）　

摘要：第二型曲面积分的计算是高等数学中的一个难点　利用二重积分和高斯公式计算第二型曲面积分不是很　方便，借助第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系，得出了一种有效计算第二型曲面积分的方法：向量形式计算法，该　

方法避免了传统计算方法对曲面侧面的判定和高斯公式条件的限定，物理意义明确，计算过程简单。　关键词：第二型曲面积分；高斯公式；向量形式　

中图分类号：０１５１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—４２６０（２００８）０１—００８３—０３　

０　引言　

第二型曲面积分的计算是高等数学中的一个难点。在传统的教科书上关于第二型曲面积分的计算　

主要通过将其转化为二重积分或利用高斯公式计算，第一种方法运算量较大；第二种方法必须要满足高　

斯公式成立的条件，学生在使用这两种方法时经常出现错误。　

定义设∑为光滑的有向曲面，函数Ｒ（ｚ，Ｙ，ｚ）在∑上有界，把∑任意分割成　块小曲面ＡＳ　（ｉ一　

１，２，…，７２）（ＡＳ　同时表示第ｉ小块曲面的面积），ＡＳ　在ｘｏｙ坐标面上的投影为（ＡＳ。）　，Ｖ（￡，　，　）∈　

ＡＳ　，若当各小块曲面的直径的最大值　一０时，ｌｉｍ∑Ｒ（￡，　，　）（ＡＳ　）　存在，则称此极限值为　

Ｒ（ｚ，ｙ，ｚ）在有向曲面∑上对坐标Ｘ，Ｙ的曲面积分（或第二型曲面积分），记作ｌＩ　Ｒ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｘｄｙ　

第二型曲面积分的组合形式为：ｌＩ　Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＋Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚｄｘ＋Ｒ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｘｄｙ。若　

ｕ（ｚ，ｙ，ｚ）一Ｐ（ｚ，ｙ，ｚ）ｉ＋Ｑ（ｚ，ｙ，ｚ）ｊ＋Ｒ（ｚ，ｙ，ｚ）　表示稳定流动的不可压缩的流体的速度场，∑表示　

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第二型曲面积分的计算方法

作者：周三章 赵大方

来源：《科教导刊》2014年第24期

摘 要 本文从化归的角度，介绍利用高斯公式和合一投影法简化第二型曲面积分的计算，并结合实例予以说明。

关键词 第二型曲面积分 高斯公式 合一投影法

中图分类号：O172.2 文献标识码：A

Methods of Computing the Second Surface Integral

ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2]

（[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University，

Huangshi， Hubei 435002；

[2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei

435002）

Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by

utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical

example.

Key words the second surface integral； Gauss formula； projection

高等数学的学习中，第二型曲面积分的计算是一个难点。 计算第二型曲面积分方法比较多，计算的难易程度也不同。 如果运用化归的思想，通常可以达到事半功倍的效果。 化归的思想具体表现在运用合一投影法，高斯公式简化求解过程。 本文以几例具体来说明以上两种计算方法。