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2019~2020学年北京海淀区初三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. A.，， B.，， C.，， D.，，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）．3-x -2=0x 23-1-231-23-123122. A. B. C. D.里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也出现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ）．3. A. B. C. D.用配方法解方程，配方正确的是（ ）．+6x +2=0x 2=9(x +3)2=9(x -3)2=6(x +3)2=7(x +3)24. A. B. C. D.如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了，小林的位置也从点运动到了点，则的度数为（ ）．80°A A ′∠OAA ′40°50°70°80°5. A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向上平移个单位D.向下平移个单位将抛物线平移后得到抛物线，则平移方式为（ ）．y =2x 2y =2+1x 211116. A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.无法确定在中，，以点为圆心，以长为半径作圆，点与该圆的位置关系为（ ）．△ABC ∠C =90°B BC A A A A二、填空题（本题共18分，每小题3分）A. B. C. D.π2π3π4π8. A. B. C. D.已知是关于的方程的根，则的值为（）．2x +ax -3a =0x 2a -442459. A.， B.，C. D.，给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．函数，则方程的解是（）．y =x n =n y ′x n -1=y 1x 4=4y 1′x 3=y 2x 3=12y 2′=4x 1=-4x 2=2x 13√=-2x 23√==0x 1x 2=2x 1=-2x 210. A. B. C. D.太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度（单位：米）与时刻（单位：时）的关系满足函数关系（，，是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻是（ ）．120l t l =a +bt +c t 2a b c t 12.751313.3313.511.方程的解为 ．-x =0x 212.请写出一个对称轴为的抛物线的解析式 ．x =313.如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图 （填“甲”、“乙”或“丙”），你的根据是 ．14.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．x -2x -k =0x 2k三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）爱智康15.如图，内接于⊙，，半径的长为，则的长为 ．△ABC O ∠C =45°OB 3AB 16.指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情况．的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的影响．根据北京市年与年涨跌率的统计图中的信息，请判断年月份与年月份，同月份比较涨跌率下降最多的月份是 月；请根据图中提供的信息，预估北京市年第四季度涨跌率变化趋势是 ，你的预估理由是 ．CPI CPI 20152016CPI 201518~201618~CPI 2016CPI 17.解方程：．+4x =6x 218.求抛物线的对称轴和顶点坐标，并画出图象．y =-2x x 219.如图，、是半圆上的两点，为圆心，是直径，，求的度数．A D O BC ∠D =35°∠OAC20.已知：，求证：关于的方程有两个不相等的实数根．+2m -3=0m 2x -2mx -2m =0x 221.如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．求证：．△ABC D AB CD CD C 60°CE AE AE //BC 22.如图，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取）．1AB C C AB AC CB BC BC ?AB =AC 2AB C 21005√ 2.223.如图是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图，、两点的距离为米，求这种装置能够喷灌的草坪面积．1240°2A B 1824.（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，的值为 ．下表是二次函数的部分，的对应值：…………y =a +bx +c x 2x y x -1-120121322523y m 14-1-74-2-74-1142m（2）当时，的取值范围是 ．（3）当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围是 ．x >0y y =a +bx +c x 2y =x +n n 25.（1）求证：．（2）过点作于点，若，，求的长．如图，在中，，以为直径的⊙分别交，于点，，过点作⊙的切线交的延长线于点，连接．△ABC AB =BC AB O AC BC D E A O BC F AE ∠ABC =2∠CAF C CM ⊥AF M CM =4BE =6AE 26.（1）如果函数图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到的函数图象的表达式为．（2）回答下列问题：1将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得到函数的图象．2将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到图象的函数表达式为．小华在研究函数与图象关系时发现：如图所示，当时，，；当时，，；；当时，，．他得出如果将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，就可以得到函数的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：=x y 1=2x y 2x =1=1y 1=2y 2x =2=2y 1=4y 2?x =a =a y 1=2a y 2=x y 12=2x y 2y =3x 3y =x 2y =4x 2y =x 2227.（1）的值为 ．（2）若抛物线与轴正半轴交于点，其对称轴与轴交于点，当是等腰直角三角形时，求的值．（3）点的坐标为，若该抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为．xOy y =+mx +n -1x 2x =2m y A x B △OAB n C (3,0)OC n 28.（1）在菱形中，，为对角线上的一点（不与、重合），将射线绕点顺时针旋转角之后，所得射线与直线交于点．试探究线段与的数量关系．小宇发现点的位置，和的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．ABCD ∠BAD =αE AC A C EB E βAD F EB EF E αβ如图，当时，菱形是正方形．小宇发现，在正方形中，平分，作于，于．由角平分线的性质可知，进而可得≌，并由全等三角形的性质得到与的数量关系为 ．（2）如图，当，时．1依题意补全图形．2请帮小宇继续探究（）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明．（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设，若旋转后所得的线段与的数量关系满足（）中的结论，请直接写出角，，满足的关系： ．1α=β=90°ABCD AC ∠BAD EM ⊥AD M EN ⊥AB N EM =EN △EMF △ENB EB EF 2α=60°β=120°1∠ABE =γEF EB 1αβγ29.（1）如图，若，，则 ， ．（2）在正方形中，点．1如图，若点在直线上，且，求点的坐标．点到的距离定义如下：点为的两边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点到的距离，记为．特别的，当点在的边上时，．在平面直角坐标系中，．P ∠AOB Q ∠AOB P Q P Q P ∠AOB d(P ,∠AOB )P ∠AOB d(P ,∠AOB )=0xOy A (4,0)1M (0,2)N (-1,0)d(M ,∠AOB )=d(N ,∠AOB )=OABC B (4,4)2P y =3x +4d(P ,∠AOB )=22√P2如图，若点在抛物线上，满足的点有__________个，请你画出示意图，并标出点．3P y =-4x 2d(P ,∠AOB )=22√P P2019~2020学年北京海淀区初三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）1.【答案】Ａ2.【答案】Ｃ3.【答案】Ｄ4.【答案】Ｂ5.【答案】Ｃ6.【答案】Ａ7.【答案】Ｂ8.【答案】Ｂ9.【答案】Ｄ10.【答案】Ｃ11.【答案】或0112.【答案】y =(x -3)213.【答案】1．2．乙的圆周角所对的弦是直径90°三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）14.【答案】-115.【答案】32√16.【答案】1．2．3．“上涨”、“下降”、“先减后增”都可年月份与年月份，同月份比较涨跌率下降最多的月份中，月下降幅度最大，而相较于月，月的有所增加，但仍是下降趋势8201518~201618~CPI 836~78~CPI 17.【答案】，．=-2+x 110--√=-2-x 210--√18.【答案】对称轴为，顶点为．x =1(1,-1)19.【答案】的度数为．∠OAC 55°20.【答案】证明见解析．21.【答案】证明见解析．22.【答案】太和门到太和殿的距离为丈．6023.【答案】这种装置能够喷灌的草坪面积为平方米．72π24.【答案】（1）1．2．3．上（2）（3）(1,-2)2y ?-2n >-325.【答案】（1）证明见解析．（2）826.【答案】（1）12（2）y =9x4y =14x 227.【答案】（1）（2）（3）或-431?n <4n =528.【答案】（1）．12成立，证明见解析．（2）（3）或．EB =EF α+β=180°++γ=180α2β2°29.【答案】（1）1．2．1，2（2）11(-2,-2)(0,4)4。
北京海淀初三上期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）．A ．2，1，3B ．2，1，3-C ．2，1-，3D ．2，1-，3-2．下列图形是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）．A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定5．将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）．A ．22y x =+B ．22y x =-C ．()22y x =+D ．()22y x =-6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为（ ）．A ．9πB ．6πC ．3πD ．π7．用配方法解方程243x x +=，下列配方正确的是（ ）．A ．2(2)1x -=B ．2(2)7x -=C ．2(2)7x +=D ．2(2)1x +=8．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项中不正确．．．的是（ ）． A ．0a < B ．0c > C ．012ba<-< D ．0a b c ++<9．如图，ABC △内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若33DBC ∠=︒，则A ∠等于（ ）．A ．33︒B ．57︒C ．67︒D ．66︒10．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：/x 分2.663.23 3.46 /y 米69.1669.6268.46下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）． A ．7分 B ．6.5分C ．6分D ．5.5分二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．方程(1)(2)0x x --=的解为__________．12．请写出一个开口向上且经过(0,1)的抛物线的解析式__________．13．若二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、，则a __________b （填“<”或“=”或“>”）．14．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，100AOC ∠=︒，则ABC ∠=__________︒．15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x 为_______米（2取1.4）．16．如图，O 是边长为1的等边ABC △的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α（0180α︒<<︒），得到AB '、BC '、CA '，连接A B ''、B C ''、AC''、OA '、OB '．（1）A OB ''∠=__________︒．（2）当α=__________︒时，A B C '''△的周长最大．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：232x x =-．(3,)B b18．若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．19．已知点(3,0)在抛物线23(3)y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴．20．如图，AC 是⊙O 的直径，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，25BAC ∠=︒．求P ∠的度数．21．已知1x =是方程2250x ax a -+=的一个根，求代数式23157a a --的值．22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m ，水面宽AB 为1.6m ．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m ，求水面下降的高度．23．已知关于x 的方程23(3)0(0)x a x a a ---=>． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根大于2，求a 的取值范围．24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，那么它的下部应设计为多高（5取2.2）．25．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，2AB =，2AC =，1AD =，求CAD ∠的度数．26．抛物线21y x bx c =++与直线22y x m =-+相交于(2,)A n -、(2,3)B -两点． （1）求这条抛物线的解析式．（2）若41≤≤x -，则21y y -的最小值为________．27．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD AB ⊥于点D ．P 为AB 延长线上一点，2PCD BAC ∠=∠．（1）求证：CP 为⊙O 的切线． （2）1BP =，5CP =． ①求⊙O 的半径；②若M 为AC 上一动点，则OM DM +的最小值为__________．28．探究活动：利用函数(1)(2)y x x =--的图象（如图1）和性质，探究函数(1)(2)y x x =--的图象与性质． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数(1)(2)y x x =--的自变量x 的取值范围是___________；（2）如图2，他列表描点画出了函数(1)(2)y x x =--图象的一部分，请补全函数图象；图1 图2解决问题：设方程1(1)(2)04x x x b ----=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <．若12b <<，则1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为__________（用“<”连接）．29．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60︒得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60︒得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）点M的横坐标为12，点N与点O重合，则α=________︒．（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为_________．图1 图2 备用图北京海淀初三上期中数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DAAABBCDBC二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号 11 12 1314 15 16 答案11x =，22x =21y x =+ （答案不唯一）<1300.6120，150三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：2320x x -+=，(1)(2)0x x --=．∴10x -=或20x -=． ∴11x =，22x =．18．解：∵抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，∴0∆=， 即940a -=． ∴94a =．19．解：∵点(3,0)在抛物线23(3)y x k x k =-++-上，∴20333(3)k k =-⨯++-， ∴9k =．∴抛物线的解析式为23129y x x =-+-． ∴对称轴为2x =．20．解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA PB =． ∴PAB PBA ∠=∠． ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA PA ⊥． ∴90PAC ∠=︒． ∵25BAC ∠=︒， ∴65PAB ∠=︒．∴180250P PAB ∠=︒-∠=︒．21．解：∵1x =是方程2250x ax a -+=的一个根，∴2150a a -+=， ∴251a a -=-．∴原式23(5)7a a =--10=-．22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA ，OC ，过点O 作ON CD ⊥于N ，交AB 于M ．∴90ONC ∠=︒．∵∥AB CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=︒． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =，∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==． 在Rt OAM △中，∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． 同理可得0.8ON =． ∴0.2MN ON OM =-=． 答：水面下降了0.2米．23．（1）证明：22(3)43()(3)a a a ∆=--⨯⨯-=+． ∵0a >， ∴2(3)0a +>． 即0∆>．∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解方程，得11x =-，23a x = ∵方程有一个根大于2， ∴23a>． ∴6a >．24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有::2AC BC BC =， 即22BC AC =． 设BC 为m x ．依题意，得22(2)x x =-．解得115x =-+，215x =--（不符合题意，舍去）． 51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．25．解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒． 在Rt ACB △中， ∵2AB =，2AC =， ∴2BC =．∴45BAC ∠=︒． ∵1OA OD AD ===， ∴60BAD ∠=︒．∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=︒．当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒． ∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=︒． ∴CAD ∠为15︒或105︒．26．解：（1）∵直线22y x m =-+经过点(2,3)B -， ∴322m -=-⨯+． ∴1m =．∵直线22y x m =-+经过点(2,)A n -， ∴5n =．∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ， ∴542342b c b c =-+⎧⎨-=++⎩，∴解得23b c =-⎧⎨=-⎩．∴2123y x x =--． （2）12-．27．（1）证明：连接OC ．∵2PCD BAC ∠=∠，2POC BAC ∠=∠，∴POC PCD ∠=∠． ∵CD AB ⊥于点D ， ∴90ODC ∠=︒． ∴90POC OCD ∠+∠=︒． ∴90PCD OCD ∠+∠=︒． ∴90OCP ∠=︒． ∴半径OC CP ⊥． ∴CP 为⊙O 的切线． （2）①设⊙O 的半径为r ． 在Rt OCP △中，222OC CP OP +=． ∵1BP =，5CP =， ∴222(5)(1)r r +=+． 解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ②2143． 过点O 作AC 的对称点E ，连结CE 、CO 、CD ， 线段ED 与线段AC 交于M 点，由轴对称可知，CO CE =，OCA ECA ∠=∠，OM DM +的最小值为即为ED ．90ECD ACD ECA ∠=∠+∠=︒，在Rt OCP △中，2OC =，3OP =，5CP =，253OC PC CD OP ⋅==． 在Rt ECD △中，由勾股定理可得， 222225214()233DE CD CE =+=+=． 即OM DM +的最小值为2143．28．解：（1）1x ≤或2x ≥．（2）如图所示：1342x x x x <<<．29．解：（1）60．（2）．连接MQ ，MP ．记MQ ，PQ 分别交x 轴于E ，F ．∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴MAQ △和MNP △均为等边三角形．∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NM ∠=∠=︒．∴AMN QMP ∠=∠．∴MAN △≌MQP △．∴MAN MQP ∠=∠．∵AEM QEF ∠=∠，∴60QFE AMQ ∠=∠=︒．∴60α=︒．（3）31(,)22或31(,)22--． 连结OK ，过M 作ME x ⊥轴于E ，x y F E P Q A O M N由（2）可知，α始终等于60︒，直线PQ 与x 轴交于H ，以AH 为边向下构建等边AHG △，MAH QAG ∠=∠，在MAH △和QAG △中，AM AQMAH QAG AH AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴MAH △≌QAG △（SAS ），∴60AHM AGQ ∠=∠=︒．∵PQ 与⊙O 相切，∴OK PQ ⊥，1OK =．在Rt OKH △中，60OHK ∠=︒， ∴233OH =．设EH x =，则3ME x =，233OE x =-，在Rt OME △中，由勾股定理可知，22223()(3)13x x -+=， 解得36x =． ∴32OE =，12ME =， 即31(,)22M ． 同理31(,)22M --．∴当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为31(,)22或31(,)22--．北京海淀初三上期中数学试卷部分答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【答案】D【解析】一元二次方程2230x x --=的二次项系数是2、一次项系数1-、常数项分别是3-．2．【答案】A【解析】依据中心对称图形的定义可知，只有图形A 是中心对称图形．3．【答案】A【解析】二次函数2(+1)2y x =--的最大值是为2-．4．【答案】A【解析】已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，OP R <，则点P 在⊙O 内．5．【答案】B【解析】将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为22y x =-．6．【答案】B【解析】已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为260π66π360S ⨯==．7．【答案】C【解析】用配方法解方程243x x +=，24434x x ++=+，2(2)7x +=．8．【答案】D【解析】依题可知，0a <，0b >，0c >，012b a<-<，0a b c ++>．9．【答案】B【解析】连结DC ，∵BD 是⊙O 的直径，∴90BCD ∠=︒．∵33DBC ∠=︒，∴9057A BDC DBC ∠=∠=︒-∠=︒．10．【答案】C【解析】依表格可知，二次函数的对称轴接近3，所以摩天轮转一圈最接近的时间为6分钟．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【答案】11x =，22x =【解析】方程(1)(2)0x x --=的解为11x =，22x =．12．【答案】21y x =+（答案不唯一）【解析】开口向上且经过(0,1)的抛物线的解析式21y x =+（答案不唯一），0a >，1c =即可．13．【答案】<【解析】若二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、，开口向上，对称轴为y 轴，点B 离对称轴更远，则a b <．(3,)B b14．【答案】130【解析】∵100AOC ∠=︒，∴AC 所对的圆周角为50︒， ∴130ABC ∠=︒．15．【答案】0.6【解析】依题可知，正方形的对角线即为圆桌的直径4， ∴正方形的边长为22，圆心到正方形的边心距为2， 即220.6x =-≈．16．【答案】120，150【解析】（1）连接OA 、OB 、OC 、OC '． 依题可知，AB AB '=BC BC '==CA CA '==， BAB CBC ACA α'''∠===．∵O 是等边ABC △的中心，∴OA OB OC ==，30OAB OBC OCA ∠=∠=∠=︒， 120AOB BOC AOC ∠=∠=∠=︒，OAB '△≌OBC '△≌OCA '△，∴AOB COA ''∠=∠，∴120A OB AOC ''∠=∠=︒．（2）OAB '△≌OBC '△≌OCA '△，∴OA OB OC '''==，120A OB A OC B OC ''''''∠=∠=∠=︒， ∴A B C '''△为等边三角形．A B C '''△周长最大，OB '要最大，当且仅当O 、A 、B '三点共线时，OB '最大， 180OAB BAB '∠+∠=︒，即150α=︒．OB '最大值为313OA AB OA AB '+=+=+，A B C '''△的周长最大值为33+．。
初三第一学期期中学业水平调研数学2019．11一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图案中，是中心对称图形的是AB C D2.抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标为A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(2,1)3.体育课上，小悦在点O 处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M ，N ，P ，Q 四个点处，则表示他最好成绩的点是A ．M B ．N C ．P D ．Q4．将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为A ．223y x =+B ．223y x =-C ．()223y x =+D ．()223y x =-5．已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m ，若水面高0.2m.则排水管道截面的水面宽度为A.0.6mB.0.8mC.1.2mD.1.6m6．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，25ADB ∠=︒.则AOC ∠的度数为A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒7.下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；图2所示是一个正三角形内接于圆；图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.图1图2图3图4这四个图案中，阴影部分的面积不小于．．．该图案外圈大圆面积一半的是A.图1和图3B.图2和图3C.图2和图4D.图1和图48．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++与x 轴交于A ,B 两点.若顶点C 到x轴的距离为8，则线段AB 的长度为A ．2B ．C，每小题2分点(3,2)P -绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为．10．写出一个对称轴是y 轴的抛物线的解析式：．若50P ∠=︒，则BAC ∠=°.12.若二次函数2(1)3y x =-+的图象上有两点(0,),(5,)A a B b ,则a b .（填“>”，“=”或“<”）13.如图,边长为2的正方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转90°，则点A 运动的路径长为_______.14.在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =10.若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长为________.15.如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B (1,0),C (1,1),D (0,1).若抛物线2()y x h =-与正方形OBCD 的边共有3个公共点，则h 的取值范围是___________.16.如图，在ABC △中，（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ；（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ；（4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P .根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，① 2BC NC =；②2AB AM =；③点O 是ABC △的外心；④点P 是ABC △的内心.所有正确结论的序号是.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为1x =，(2,3)M -是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．18.如图，等腰三角形ABC 中，BA =BC ，∠ABC =α.作AD ⊥BC 于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角α后得到线段BE ，连接CE .求证：BE ⊥CE .9．请完成下面题目的证明．如图，已知AB 与⊙O 相切于点A ，点C ，D 在⊙O 上．求证：∠CAB =∠D ．证明：连接AO 并延长，交⊙O 于点E ．∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠EAB =90°．∴∠EAC +∠CAB =90°．∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ECA =90°（）.（填推理的依据）∴∠E +∠EAC =90°．∴∠E =．∵ AC AC =,∴∠E =∠D （）.（填推理的依据）∴∠CAB =∠D ．20.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心.100m AB =,C 是 AB 上一点，OC AB ⊥，垂足为D ，=10m CD ，求这段弯路的半径．21.已知二次函数21y x mx m =-+-的图象与x 轴只有一个公共点.求该二次函数当03x ≤≤时，y 的最大值为，最小值为.22.如图，已知等边三角形ABC ，O 为△ABC 内一点，连接OA ，OB ，OC ，将△BAO 绕点B 旋转至△BCM .（1）依题意补全图形；（2）若OA= ，OB= ，OC=1，求∠OCM的度数.23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED=EA.（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若23ED=，∠A=30°，求⊙O的半径.24.悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁.其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道.图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引.他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD,两个索塔均与桥面垂直.主桥AC的长为600m，引桥CE的长为124m.缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.图225.探究函数2y x x=-的图象与性质．图1小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是x 与y 的几组对应值．请直接写出：m =，n =；（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2<x 3.请直接写出x 1+x 2+x 3的取值范围.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c=++与直线1y x =+交于A ,B 两点，其中点A 在x 轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2）①若点B 在第一象限，且AB =，求抛物线的解析式；②若AB ≥b 的取值范围.27．如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，4560ACB ︒<∠<︒，将点C 关于直线AB 对称得到点D ，作射线BD与CA的延长线交于点E，在CB的延长线上取点F，使得BF=DE，连接AF.（1）依题意补全图形；（2）求证：AF=AE；（3）作BA的延长线与FD的延长线交于点P，写出一个∠ACB的值，使得AP=AF成立，并证明.备用图28.在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段为(4,0)，在点P1(0,1)-，P2(5,1)，P3(2,2)中，线段OM的直角点是；（2）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1,4)，(1,6)=-+．y x-，直线l的解析式为7①如图2，C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；②如图3，P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点.若⊙O的半径为r，且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围．初三第一学期期中学业水平调研数学答案及评分参考一、选择题题号12345678答案DBCBCCAD二、填空题9．(3,2)-10．2y x =11．2512．<1314.15．01h <<16.①③④注：（1）第10题答案不唯一，符合题意的均给满分；（2）第16题答案不全且不含②的给1分.三、解答题17．解：因为2y x bx c =++的对称轴为1x =，所以12b-=．………………………………………………………………………1分得2b =-．………………………………………………………………………2分又因为()23M -，是抛物线上一点，所以()23222c -=+-⨯+．得3c =-．………………………………………………………………………4分所以抛物线的解析式为223y x x =--．…………………………………………………5分18．证明：∵线段BD 绕点B 顺时针旋转角α得到线段BE ，∴,.BD BE DBE α=∠=……………………………………………………………………………1分∵,ABC α∠=∴.ABC DBE ∠=∠……………………………………………………………………………2分∵,AD BC ⊥∴90.ADB ∠=︒在△ABD 与△CBE 中，,,,AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………………………………………3分∴△ABD ≌△CBE .……………………………………………………………………………4分∴90.ADB CEB ∠=∠=︒∴.BE CE ⊥…………………………………………………………………………………5分19．解：直径所对的圆周角是90︒.………………………………………………………………………2分CAB ∠.………………………………………………………………………3分同弧所对的圆周角相等.………………………………………………………………………5分20．解：设这段弯路的半径为r m,……………………………………………………………1分因为OC ⊥AB 于D ,AB =100（m ）,所以BD =DA =AB =50（m ）.…………………………………………………………………2分所以CD =10（m ）,得10OD r =-（m ）.因为Rt △BOD 中，根据勾股定理有222BO BD DO =+.………………………………………………………………………3分即22250(10)r r =+-.………………………………………………………………………4分解得r =130（m ）.因此这段弯路的半径为130m.…………………………………………………………………5分21.解：（1）由题意二次函数图象与x 轴只有一个公共点.可令210x mx m -+-=,则有0∆=.………………………………………………………………………1分即24(1)0m m --=.得2m =.………………………………………………………………………2分所以该二次函数的解析式为221y x x =-+.……………………………………………3分（2）y 的最大值为4，最小值为0.……………………………………………………………5分22．解：（1）依题意补全图形，如图所示：…………………………………………………………………………………………………2分（2）连接OM ，∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABC =60°.∵△BAO 旋转得到△BCM ，OA OB ,∴MC =OA MB=OB ∠OBM =∠ABC =60°.………………………………………3分∴△OBM 为等边三角形.∴OM=OB …………………………………………………………………4分在△OMC 中，OC=1，.∵2221+=,∴OC 2+MC 2=OM 2.∴∠OCM =90°.…………………………………………………………………………………………………5分23．（1）证明：连接OD .∵ED =EA,∴∠A =∠ADE .…………………………………………………………………………………1分∵OB=OD,∴∠OBD =∠BDO .∵∠ACB =90°,∴∠A +∠ABC =90°.∴∠ADE +∠BDO =90°.…………………………………………………………………2分∴∠ODE=90°.∴DE 是⊙O 的切线.………………………………………………………………………3分（2）解：∵∠ACB =90°,BC 为直径,∴AC 是⊙O 的切线.∵DE 是⊙O 的切线,∴ED=EC .………………………………………………………………………4分∵ED=,∴ED=EC=EA=.∴AC =.………………………………………………………………………5分∵Rt △ABC 中∠A =30°,∴BC=4.∴⊙O 的半径为2.………………………………………………………………………6分24.解：如图所示建立平面直角坐标系.依题意可知3,13,100,600,124,,,MN PQ MP AC CE AB DC BA AC DC AC ======⊥⊥,,MN AC PQ AC ⊥⊥.由抛物线的对称性可知，13002MC AC ==.则可得点坐标：(0,0),(0,3),(100,13)M N Q .…………………………………………………………………………………1分设抛物线的表达式为23y ax =+.…………………………………………………2分因为抛物线经过点Q ，所以将点Q 的坐标带入得2131003a =+.解得11000a =.…………………………………………………………………3分得抛物线的表达式为2131000y x =+.…………………………………………………4分当300x =时，得213003931000y =⨯+=.……………………………………………5分因为DC AC ⊥,所以90DCE ∠=︒.所以531155DE ====⨯=.答：索塔顶端D 与锚点E 的距离为155米.……………………………………………6分25．解：（1）m =1，n =0；……………………………………………………………………………2分（2）如图：…………………………………………………………………………………………………4分（3）12343x x x <++<+……………………………………………………………6分26．解：（1）由题意直线y =x +1与x 轴交于点A 可得点A 坐标为(-1,0)……………………………………………………………1分又因抛物线y =x 2+bx +c 经过点A所以将点A 坐标(-1,0)代入抛物线解析式可得1-b +c =0，即c =b -1.……………………………………………………………2分（2）①设y =x +1与y 轴交于点C ，可得A (-1,0)，C (0,1).可知OA =OC =1.又因∠AOC =90º,所以∠OAC =45º.如图，已知AB ，过B 作BD ⊥x 轴于点D ,易知∠ADB =90º.又因∠BAD =45º，AB ，所以AD =BD =3.所以点B 的坐标为(2,3).……………………………………………………………3分将点B 的坐标(2,3)代入抛物线y =x 2+bx +c 的解析式可得2b +c =-1.并与（1）中得到的c =b -1联立方程组可得：21,1.b c c b +=-⎧⎨=-⎩解得0,1.b c =⎧⎨=-⎩得抛物线的解析式为21y x =-.……………………………………………………………4分②0b ≤或6b ≥.………………………………………………………………………6分27．（1）如图所示……………………………………………………………………………1分（2）证明：∵点C 与点D 关于直线AB 对称，∴DB =BC ，∠ABD =∠ABC .………………………………………………………2分∴DE +BD =BF +BC .∴BE =CF .∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C .∴∠ABD =∠C .∴△ABE ≌△ACF （SAS ）.∴AE =AF .…………………………………………………………………4分（3）∠ACB =54°.…………………………………………………………………5分证明：如图，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =54°.∴∠BAC =180°-∠ABC -∠C =72°.∵点C 与点D 关于直线AB 对称，∴∠DAB =∠BAC =72°，∠ADB =∠C =54°，AD =AB =AC .∴∠DAE =180°-∠DAB -∠BAC =36°，∴∠E =∠ADB -∠DAE =18°.∵由（2）得，△ABF ≌△ADE （或者△ACF ≌△ABE ），∴∠AFB =∠E =18°.∴∠BAF =∠ABC -∠AFB =36°=12∠BAD .∵AB =AD ，∴AF 垂直平分BD .∴FB =FD .∴∠AFD =∠AFB =18°，∴∠P =∠BAF -∠AFD =18°=∠AFD ，∵由（2）得AE =AF ，∴AP =AE .…………………………………………………………………7分28．解：（1）是线段OM 的直角点为P 1,P 3；………………………………………………………2分（2）①当∠BAC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）.∵点A 的坐标为(1,4)，点C 在直线7y x =-+上,∴b=4，7b a =-+，解得a=3.∴点C 的坐标为(3,4).………………………………………………………3分当∠ABC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）.∵点B 的坐标为(1,6)-，点C 在直线7y x =-+上,∴b=6-，7b a =-+，解得a=13.∴点C 的坐标为(13,6)-.………………………………………………………4分当∠ACB =90°时如图，设点C 的坐标为（a ,b ）.取AB 的中点M ，作CM ⊥AB 于点H ，连接CM .∵点C 在直线7y x =-+上，∴得7b a =-+.（*）∵点A ，B 的坐标分别为(1,4)，(1,6)-,∴点M 的坐标为(1,1)-，CM =5，1,1CH a HM b =-=+.∴由勾股定理得方程222(1)(1)5a b -++=.（**）由（*），（**）得43a b =⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=⎩，故C 的坐标为(4,3)或(5,2).综上，点C 的坐标为(3,4)或(13,6)-或(4,3)或(5,2).……………………………5分②直接写出r 的取值范围是：222r <<.………………………………………7分注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.。
2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）3．（2分）体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）A．M B．N C．P D．Q4．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2 5．（2分）已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m，若水面高0.2m．则排水管道截面的水面宽度为（）A．0.6m B．0.8m C．1.2m D．1.6m6．（2分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．55°7．（2分）下列是关于四个图案的描述．图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；图2所示是一个正三角形内接于圆；图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二．这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是（）A．图1和图3B．图2和图3C．图2和图4D．图1和图4 8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+mx+n与x轴交于A，B两点．若顶点C到x轴的距离为8，则线段AB的长度为（）A．2B．C．D．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为．10．（2分）写出一个对称轴是y轴的抛物线的解析式：．11．（2分）如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC＝．12．（2分）若二次函数y＝（x﹣1）2+3的图象上有两点A（0，a），B（5，b），则a b．（填“＞”，“＝”或“＜”）13．（2分）如图，边长为2的正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°，则点A运动的路径长为．14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于．15．（2分）如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B（1，0），C（1，1），D（0，1）．若抛物线y＝（x﹣h）2与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是．16．（2分）如图，在△ABC中，（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②AB＝2AM；③点O是△ABC的外心；④点P是△ABC的内心．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，M（2，﹣3）是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．18．（5分）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE．求证：BE⊥CE．19．（5分）请完成下面题目的证明．如图，已知AB与⊙O相切于点A，点C，D在⊙O上．求证：∠CAB＝∠D．证明：连接AO并延长，交⊙O于点E．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠EAB＝90°．∴∠EAC+∠CAB＝90°．∵AE是⊙O的直径，∴∠ECA＝90°．（填推理的依据）∴∠E+∠EAC＝90°．∴∠E＝．∵，∴∠E＝∠D．（填推理的依据）∴∠CAB＝∠D．20．（5分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB ＝100m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝10m，求这段弯路的半径．21．（5分）已知二次函数y＝x2﹣mx+m﹣1的图象与x轴只有一个公共点．（1）求该二次函数的解析式；（2）当0≤x≤3时，y的最大值为，最小值为．22．（5分）如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO 绕点B旋转至△BCM．（1）依题意补全图形；（2）若OA＝，OB＝，OC＝1，求∠OCM的度数．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED＝EA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若ED＝2，∠A＝30°，求⊙O的半径．24．（6分）悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB＝CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，引桥CE 的长为124m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ 长为13m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离．25．（6分）探究函数y＝x|x﹣2|的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数y＝x|x﹣2|的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是x与y的几组对应值．请直接写出：m＝，n＝；（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x﹣2|＝a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1交于A，B两点，其中点A在x轴上．（1）用含有b的代数式表示c；（2）①若点B在第一象限，且AB＝3，求抛物线的解析式；②若AB≥3，结合函数图象，直接写出b的取值范围．27．（7分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，45°＜∠ACB＜60°，将点C关于直线AB 对称得到点D，作射线BD与CA的延长线交于点E，在CB的延长线上取点F，使得BF ＝DE，连接AF．（1）依题意补全图形；（2）求证：AF＝AE；（3）作BA的延长线与FD的延长线交于点P，写出一个∠ACB的值，使得AP＝AF成立，并证明．28．（7分）在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段AB的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C为线段AB的等腰直角点．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（4，0），在点P1（0，﹣1），P2（5，1），P3（2，2）中，线段OM的直角点是；（2）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（1，4），（1，﹣6），直线l的解析式为y＝﹣x+7．①如图2，C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；②如图3，P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点．若⊙O的半径为r，且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围．2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2，∴其顶点坐标为（1，2）．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．3．（2分）体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）A．M B．N C．P D．Q【分析】比较线段的长短，即可得到OP＞ON＞OQ＞OM，进而得出表示他最好成绩的点．【解答】解：如图所示，OP＞ON＞OQ＞OM，∴表示他最好成绩的点是点P，故选：C．【点评】本题主要参考了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．4．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（0，﹣3），平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后抛物线解析式．【解答】解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为（0，﹣3），由平移不改变二次项系数，故得到的抛物线解析式为：y＝2x2﹣3．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．5．（2分）已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m，若水面高0.2m．则排水管道截面的水面宽度为（）A．0.6m B．0.8m C．1.2m D．1.6m【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，由垂径定理得出AB＝2BC，∠OCB＝90°，OB ＝OD＝1m，CD＝0.2m，求出OC＝OD﹣CD＝0.8m，由勾股定理求出BC，即可得出AB．【解答】解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示：则AB＝2BC，∠OCB＝90°，OB＝OD＝1m，CD＝0.2m，∴OC＝OD﹣CD＝0.8m，∴BC＝＝＝0.6（m），∴AB＝2AC＝1.2m，∴排水管道截面的水面宽度为1.2m，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出BC是解决问题的关键．6．（2分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．55°【分析】根据题意可知＝，即可推出∠AOC＝50°．【解答】解：∵OA⊥BC，∠ADB＝25°，∴＝，∴∠AOC＝2∠ADB＝50°．故选：C．【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于求出＝．7．（2分）下列是关于四个图案的描述．图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；图2所示是一个正三角形内接于圆；图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二．这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是（）A．图1和图3B．图2和图3C．图2和图4D．图1和图4【分析】分别计算出各阴影部分的面积即可得到结论．【解答】解：设外圈大圆的半径为r，则外圈大圆的面积＝πr2，图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称，∴阴影部分的面积＝大圆面积一半；图2所示是一个正三角形的面积＝r2＜πr2；图3所示是一个正方形的面积＝×2r×2r＝2r2＞πr2；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二，∴小圆的面积＝πr2＜r2，故选：A．【点评】本题考查了正多边形与圆，正多边形的面积的计算，正确的计算正多边形的面积是解题的关键．8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+mx+n与x轴交于A，B两点．若顶点C到x轴的距离为8，则线段AB的长度为（）A．2B．C．D．4【分析】设顶点式y＝﹣2（x﹣h）2+8，再解方程﹣2（x﹣h）2+8＝0得A（k﹣2，0），B （k+2，0），然后把B点和A点的横坐标相减得到AB的长．【解答】解：设抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+8，当y＝0时，﹣2（x﹣h）2+8＝0，解得x1＝k﹣2，x2＝k+2，所以A（k﹣2，0），B（k+2，0），所以AB＝k+2﹣（k﹣2）＝4．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为（﹣3，2）．【分析】将点P绕原点旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，∵P点坐标为（3，﹣2），∴点P′的坐标（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．10．（2分）写出一个对称轴是y轴的抛物线的解析式：y＝x2+1．【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．【解答】解：抛物线的解析式为y＝x2+1，故答案为：y＝x2+1【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．11．（2分）如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC＝25°．【分析】连接OB，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠BAC的度数．【解答】解：连接OB，∵P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠P AO﹣∠PBO＝130°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝25°．【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理、等边对等角以及三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．12．（2分）若二次函数y＝（x﹣1）2+3的图象上有两点A（0，a），B（5，b），则a＜b．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B距离对称轴的远近即可判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数数y＝（x﹣1）2+3的对称轴是x＝1，开口向上，∵点A（0，a）距离对称轴较近，B（5，b）距离对称轴较远，∴a＜b．故答案为：＜．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．13．（2分）如图，边长为2的正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°，则点A运动的路径长为．【分析】先利用正方形的性质得到AC＝2，再利用旋转的性质可判断点A运动的路径为以C点为圆心，CA为半径，圆心角为90度所对的弧，然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为边长为2的正方形，∴AC＝2，∵正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°，∴点A运动的路径长＝＝π．故答案为π．【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了正方形的性质．14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于5．【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，点D为AB的中点，∴AB＝2CD＝10，∴CD＝5，∴BC＝CD＝5，在Rt△ABC中，AC＝＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键．15．（2分）如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B（1，0），C（1，1），D（0，1）．若抛物线y＝（x﹣h）2与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是0＜h＜1．【分析】由于函数y＝（x﹣h）2的图象为开口向上，顶点在x轴上的抛物线，因为O、B 点为抛物线与与正方形ABCD有有3个公共点的临界点，代入求出即可得解．【解答】解：∵函数y＝（x﹣h）2的图象为开口向上，顶点在x轴上的抛物线，∴其图象与正方形OBCD的边共有3个公共点为点O和点B，把点O坐标代入y＝（x﹣h）2，得0＝（0﹣h）2∴h＝0；把点B坐标代入y＝（x﹣h）2，得0＝（1﹣h）2∴h＝1．抛物线y＝（x﹣h）2与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是0＜h＜1．故答案为：0＜h＜1．【点评】本题考查二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法．16．（2分）如图，在△ABC中，（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②AB＝2AM；③点O是△ABC的外心；④点P是△ABC的内心．所有正确结论的序号是①③④．【分析】利用垂径定理可对①②进行判断；同时根据三角形外心的定义可对③进行判断；利用圆周角定理可得到CM、AN为角平分线，则利用三角形内心的定义可对④进行判断．【解答】解：作BC的垂直平分线，则ON平分，则＝2；所以①正确；作AB的垂直平分线，则OM平分，则＝2，2AM＞AB，所以②错误；所以③正确；利用M点的中点得到∠ACM＝∠BCM，点N为的中点得到∠BAN＝∠CAN，则P 点为△ABC的内心，所以④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理和圆周角定理．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，M（2，﹣3）是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．【分析】利用待定系数法即可求得抛物线的解析式．【解答】解：因为y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，所以，得b＝﹣2，又因为M（2，﹣3）是抛物线上一点，所以﹣3＝22+（﹣2）×2+c．得c＝﹣3，所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．18．（5分）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE．求证：BE⊥CE．【分析】由旋转的性质和已知条件易证△ABD≌△CBE（SAS）由全等三角形的性质可得∠ADB＝∠CEB＝90°，进而开证明BE⊥CE．【解答】证明：∵线段BD绕点B顺时针旋转角α得到线段BE，∴BD＝BE，∠DBE＝α，∵∠ABC＝α，∴∠ABC＝∠DBE，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．在△ABD与△CBE中，∴△ABD≌△CBE（SAS）∴∠ADB＝∠CEB＝90°．∴BE⊥CE．【点评】本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的各种判定方法是证题的关键．19．（5分）请完成下面题目的证明．如图，已知AB与⊙O相切于点A，点C，D在⊙O上．求证：∠CAB＝∠D．证明：连接AO并延长，交⊙O于点E．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠EAB＝90°．∴∠EAC+∠CAB＝90°．∵AE是⊙O的直径，∴∠ECA＝90°直径所对的圆周角是90°．（填推理的依据）∴∠E+∠EAC＝90°．∴∠E＝∠CAB．∵，∴∠E＝∠D同弧所对的圆周角相等．．（填推理的依据）∴∠CAB＝∠D．【分析】根据圆周角定理和等式的性质填写理由即可．【解答】解：连接AO并延长，交⊙O于点E．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠EAB＝90°．∴∠EAC+∠CAB＝90°．∵AE是⊙O的直径，∴∠ECA＝90°，（直径所对的圆周角是90°）∴∠E+∠EAC＝90°．∴∠E＝∠CAD．∵，∴∠E＝∠D（同弧所对的圆周角相等），∴∠CAB＝∠D．故答案为：直径所对的圆周角是90°．∠CAB，同弧所对的圆周角相等．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识点，熟记知识点是解题的关键．20．（5分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB ＝100m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝10m，求这段弯路的半径．【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝50，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【解答】解：设这段弯路的半径为r m，∵OC⊥AB于D，AB＝100（m），∴BD＝DA＝AB＝50（m）∴CD＝10（m），得OD＝r﹣10（m）．∵Rt△BOD中，根据勾股定理有BO2＝BD2+DO2即r2＝502+（r﹣10）2解得r＝130（m）．答：这段弯路的半径为130 m．【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．21．（5分）已知二次函数y＝x2﹣mx+m﹣1的图象与x轴只有一个公共点．（1）求该二次函数的解析式；（2）当0≤x≤3时，y的最大值为，最小值为．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝m2﹣4（m﹣1）＝0，然后解方程求出m得到该二次函数的解析式；（2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2，当0≤x≤3时，利用二次函数的性质得到x＝1，y 有最小值0；x＝3，y有最大值，把x＝3代入解析式可得到y的最大值．【解答】解：（1）由题意二次函数图象与x轴只有一个公共点．则方程x2﹣mx+m﹣1＝0有两个相等的实数解，所以△＝m2﹣4（m﹣1）＝0．解得m＝2；所以该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1，（2）因为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，当0≤x≤3时，x＝1，y有最小值0；x＝3，y有最大值4，所以y的最大值为4，最小值为0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．22．（5分）如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO 绕点B旋转至△BCM．（1）依题意补全图形；（2）若OA＝，OB＝，OC＝1，求∠OCM的度数．【分析】（1）根据题目的条件要求直接补全图形即可；（2）连接OM，易证△OBM为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理即可证明△OMC 是直角三角形，进而可求出∠OCM的度数．【解答】解：（1）依题意补全图形，如图所示：（2）连接OM，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°．∵△BAO旋转得到△BCM，OA＝，OB＝，∴MC＝OA＝，MB＝OB＝，∠OBM＝∠ABC＝60°，∴△OBM为等边三角形，∴OM＝OB＝，在△OMC中，OC＝1，MC＝，OM＝．∵，∴OC2+MC2＝OM2．∴∠OCM＝90°．【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED＝EA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若ED＝2，∠A＝30°，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到ED＝EC，求得ED＝EC＝EA＝．根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD．∵ED＝EA，∴∠A＝∠ADE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°．∴∠ADE+∠BDO＝90°，∴∠ODE＝90，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，BC为直径，∴AC是⊙O的切线．∵DE是⊙O的切线，∴ED＝EC，∵ED＝，∴ED＝EC＝EA＝．∴AC＝，∵Rt△ABC中∠A＝30°，∴BC＝4．∴⊙O的半径为2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（6分）悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB＝CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，引桥CE 的长为124m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ 长为13m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离．【分析】建立平面直角坐标系并求得函数的解析式，令y＝300求得DC的长，然后利用勾股定理求得DE的长即可．【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系．依题意可知MN＝3，PQ＝13，MP＝100，AC＝600，CE＝124，AB＝DC，BA⊥AC，DC ⊥AC，MN⊥AC，PQ⊥AC．由抛物线的对称性可知，．则可得点坐标：M（0，0），N（0，3），Q（100，13）．设抛物线的表达式为y＝ax2+3，因为抛物线经过点Q，所以将点Q的坐标带入得13＝1002a+3．解得，得抛物线的表达式为，当x＝300时，得，因为DC⊥AC，所以∠DCE＝90°．所以．答：索塔顶端D与锚点E的距离为155米．【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系并求得函数的解析式，难度中等．25．（6分）探究函数y＝x|x﹣2|的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数y＝x|x﹣2|的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是x与y的几组对应值．请直接写出：m＝1，n＝0；（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x﹣2|＝a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围．【分析】（1）把x＝1和x＝2代入y＝x|x﹣2|，即可求出m、n的值；（2）画出该函数的图象即可；（3）根据画出函数y＝x|x﹣2|的图象，即可求出y＝x|x﹣2|的图象．【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x|x﹣2|，得m＝1×1＝1．把x＝2代入y＝x|x﹣2|，得n＝2×0＝0．故答案为m＝1，n＝0；（2）如图：（3）由图形可知，x 1+x2+x3的取值范围是．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1交于A，B两点，其中点A在x轴上．（1）用含有b的代数式表示c；（2）①若点B在第一象限，且AB＝3，求抛物线的解析式；②若AB≥3，结合函数图象，直接写出b的取值范围．【分析】（1）由题意直线y＝x+1与x轴交于点A，可得点A坐标为（﹣1，0），将点A 坐标（﹣1，0）代入抛物线解析式，即可求解；（2）①设y＝x+1与y轴交于点C，可得：A（﹣1，0），C（0，1），∠OAC＝45°，∠ADB＝90°，则点B的坐标为（2，3），即可求解；②（Ⅰ）当点B在点A右侧时，如上图所示，AB＝3，则b＝0，AB＞3时，抛物线对称轴从x＝0随AB的增加向右侧移动，抛物线的对称轴x＝﹣＞0，则b＜0，故b≤0；（Ⅱ）当点B在点A的左侧，同理可得：b≥6，即可求解．【解答】解：（1）由题意直线y＝x+1与x轴交于点A可得点A坐标为（﹣1，0），抛物线y＝x2+bx+c经过点A所以将点A坐标（﹣1，0）代入抛物线解析式可得1﹣b+c＝0，即c＝b﹣1．（2）①设y＝x+1与y轴交于点C，可得：A（﹣1，0），C（0，1）．可知OA＝OC＝1．又因∠AOC＝90°，所以∠OAC＝45°．如图，已知AB＝3，过B作BD⊥x轴于点D，则∠ADB＝90°．又因∠BAD＝45°，AB＝3，所以AD＝BD＝3．所以点B的坐标为（2，3）．将点B的坐标（2，3）代入抛物线y＝x2+bx+c的解析式可得2b+c＝﹣1．并与（1）中得到的c＝b﹣1联立方程组可得：解得得抛物线的解析式为y＝x2﹣1；②（Ⅰ）当点B在点A右侧时，如上图所示，AB＝3，则b＝0，AB＞3时，抛物线对称轴从x＝0随AB的增加向右侧移动，抛物线的对称轴x＝﹣＞0，则b＜0，故b≤0；（Ⅱ）当点B在点A的左侧，当AB＝3时，同理可得：抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5，故：b＝6，故AB≥3时，b≥6；综上，b≤0或b≥6．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形的性质等，。
OB AC D北京海淀初三上期中数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）1．下列图形是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．2．将抛物线2y x=向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为（）．A．21y x=+B．21y x=-C．2(1)y x=+D．2(1)y x=-3．袋子中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状，大小，质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（）．A．这个球一定是黑球B．这个球一定是白球C．“摸出黑球”的可能性大D．“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大4．用配方的方法解方程2230x x--=时，配方后得到的方程为（）．A．2(1)4x-=B．2(1)4x-=-C．2(1)4x+=D．2(1)4x+=-5．如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则AB的长为（）．A．π5B．2π5C．3π5D．4π56．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，59ABD∠=︒，则C∠等于（）．A．29︒B．31︒C．59︒D．62︒7．已知二次函数24y x x m=-+（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程240x x m-+=的两个实数根是（）．A．11x=，21x=-B．11x=-，22x=C．11x=-，20x=D．11x=，23x=EODCBA8．已知：如图，C 是半圆O 的直径AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过C 作AB 的垂线交半圆于点D 以点D ，C ，O 为顶点作矩形DCOE ，若10AB =，设AC x =，矩形DCOE 的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．A ．105xyOB ．510xyOC ．510yOxD ．510xyO二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，连接AB ，60APB ∠=︒，5AB =，则PA 的长是 __________．APBO10．若关于x 为一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为__________．11．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象经过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若142x -<<-，202x <<，则1y __________2y （用“<”，“=”或“>”号连接）．12．如图，正方形ABCD 中，点G 为对角线AC 上一点，AG AB =，15CAE ∠=︒，AE AC =，连接GE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转得到线段AF ，使DF GE =，则CAF ∠的度数为__________．GEDCBAAC BDOE三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14～18题各5分，共29分）13．解方程：2310+-=．x x14．如图DAB EAC=．∠=∠，AB AD=，AC AE=．求证：BC DEADB CE 15．已知二次函数的图象经过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求次二次函数的解析式．16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，130ABC ∠=︒，求OAC ∠的度数．OAD BC17．若1x =是关于x 一元二次方程22420x mx m -+=的根，求代数式22(1)3m -+的值．18．列方程解应用题：某工厂废气排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）19．下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有__________天；（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20．已知关于x的方程2(3)30(0)+--=≠．ax a x a（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．21．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD AB ⊥于点E ，点G 在直径DF 的延长线上，30D G ∠=∠=︒．（1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若6CD =，求GF 的长．GFEDOCAB22．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：1x ，2x ，3x ，称为数列1x ，2x ，3x ，计算1x ，122x x +，1233x x x ++，将这三个数的最小值称为数列1x ，2x ，3x 的价值．例如，对于数列2，1-，3，因为22=，2(1)122+-=，2(1)3433+-+=，所以数列2，1-，3的价值为12．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相对应的价值．如：数列1-，2，3的价值为12；数列3，1-，2的价值为1…．经过研究，小丁发现，对于“2，1-，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12．根据以上材料，回答下列问题： （1）数列4-，3-，2的价值为__________；（2）将4-，3-，2这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为__________，取得价值最小值的数列为__________（写出一个即可）．（3）将2，9-，a （1a >）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的价值的最小值为1，则a 的值为__________．五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)(0)y x m x m m =--->与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B的左侧）与y 轴交于点C ． （1）求点A 的坐标．（2）当15ABC S =△时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C 的直线:(0)l y kx b k =+<与抛物线的另一个交点为D ，该抛物线在直线l 上方的部分与线段CD 组成一个新函数的图像，请结合图象回答：若新函数的最小值大于8-，求k 的取值范围．Oyx-1-2-3-4-5-8-9-10-7-6-5-4-3-2-11234561098765432124．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AC ，继续旋转(0120)αα︒<<︒得到线段AD ，连接CD ． （1）连接BD ，①如图1，若80α=︒，则BDC ∠的度数为__________；②在第二次旋转过程中，请探究BDC ∠的大小是否改变，若不变，求出BDC ∠的度数；若改变，请说明理由；（2）如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得B ACD ∠=∠，连接CE ，BE ，若90CED ∠=︒，求α的值．图1DCBAEABCD图225．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b 在第一象限，以P 为圆心的圆经过原点，与y 轴的另一个交点为A ．点Q 是线段OA 上的点（不与O ，A 重合）过点Q 作PQ 的垂线交⊙P 于点(,)B m n ，其中0m ≥．（1）若5b =，则点A 坐标是__________；（2）在（1）的条件下，若8OQ =，求线段BQ 的长；（3）若点P 在函数2(0)y x x =>的图象上，且BQP △是等腰三角形， ①直接写出实数a 的取值范围：____________________． ②在12，64，10这三个数中，线段PQ 的长度可以为__________，并求出此时点B 的坐标．备用图Py xOA北京海淀初三上期末数学试卷答案一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACADBDA二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）题号 91011 12答案5 4 >30︒或60︒三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14 -18题各5分，共29分）13．（本小题满分5分）解：∵1a =，3b =，1c =- ∴2341(1)130∆=-⨯⨯-=>． ∴2431322b b ac x a -±--±==．∴13132x -+=，23132x --=．14．（本小题满分5分）证明：∵DAB EAC ∠=∠，∴DAB BAE EAC BAE ∠+∠=∠+∠． ∴DAE BAC ∠=∠． 在BAC △和DAE △中， AB ADBAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BAC △≌DAE △(SAS)． ∴BC DE =． 15．（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为()225y a x =-+(0)a ≠． ∵二次函数的图象经过点(0,1)． ∴()21025a =-+． ∴1a =-．∴二次函数的解析式为241y x x =-++． 16．（本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴180ADC ABC ∠+∠=︒． ∵130ABC ∠=︒，∴18050ADC ABC ∠=︒-∠=︒． ∴2100AOC ADC ∠=∠=︒． ∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠．∴1(180)402OAC AOC ∠=︒-∠=︒．17．（本小题满分5分）解：依题意，得21420m m -+=． ∴2241m m -=-．∴2222(1)+32(21)3245154m m m m m -=-++=-+=-+=． 18．（本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ． 由题意，得()24501288x -=． 解方程得：115x =，295x =． 经检验，915x =>不合题意，舍去；15x =符合题意． 答：每期减少的百分率为20%．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（本小题满分5分）解：（1）3．（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等．由图可知，其中有9天空气质量优良． 所以，P （到达当天空气质量优良）93155==． 20．（本小题满分5分）解：（1）∵0a ≠， ∴原方程为一元二次方程．∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯-()23a =+． ∵()230a +≥．∴此方程总有两个实数根． （2）解原方程，得11x =-，23x a=． ∵此方程有两个负整数根，且a 为整数， ∴1a =-或3a =-． ∵12x x ≠， ∴3a ≠-． ∴1a =-．21．（本小题满分5分）（1）证明：连接OC ．∵OC OD =，30D ∠=︒， ∴ 30OCD D ∠=∠=︒． ∵30G ∠=︒，∴180120DCG D G ∠=︒-∠-∠=︒． ∴90GCO DCG OCD ∠=∠-∠=︒． ∴OC CG ⊥．又∵OC 是⊙O 的半径． ∴CG 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD AB ⊥，∴132CE CD ==．∵在Rt OCE △中，90CEO ∠=︒， 30OCE ∠=︒， ∴12OE OC =，222OC OE CE =+．设OE x =，则2OC x =． ∴222(2)3x x =+． 解得3x =（舍负值）． ∴23OC =． ∴23OF =．在OCG △中，∵90OCG ∠=︒，30G ∠=︒， ∴243OG OC ==． ∴23GF GO OF =-=．22．（本小题满分5分）答：（1）53．（2）12，3-，2，4-或2，3-，4-．（写出一个即可）（3）11或4．（每个答案各1分）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，即2(1)0x m x m ---=． 解得11x =-，2x m =．又∵点A 在点B 左侧，且0m >，∴点A 的坐标为(1,0)-．（2）由（1）可知点B 的坐标为(,0)m ．∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,)m -． ∵0m >，∴1AB m =+，OC m =． ∵15ABC S =△，∴1(1)152m m +=． ∴6m =-或5m =． ∵0m >， ∴5m =．∴抛物线的表达式为245y x x =--． （3）由（2）可知点C 的坐标为(0,5)-． ∵直线l ：y kx b =+(0)k <经过点C ， ∴5b =-．∴直线l 的解析式为5y kx =-(0)k <． ∵2245(2)9y x x x =--=--，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为9-，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8-． 令8y =-，即2458x x --=-．解得11x =（不合题意，舍去），23x =． ∴抛物线经过点(3,8)-．当直线5y kx =-(0)k <经过点(3,8)-时，可求得1k =-． 由图象可知，当10k -<<时新函数的最小值大于8-． 24．（本小题满分7分）解：（1）①30︒．②不改变，BDC ∠的度数为30︒． 方法一：由题意知，AB AC AD ==．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．∴1302BDC BAC ∠=∠=︒．方法二：由题意知，AB AC AD ==， ∵AC AD =，CAD α∠=，∴18019022ADC C αα︒-∠=∠==︒-． ∵AB AD =，60BAD α∠=︒+， ∴180(60)120160222ADB B ααα︒-︒+︒-∠=∠===︒-．∴11(90)(60)3022BDC ADC ADB αα∠=∠-∠=︒--︒-=︒．xy 123456–1–2–3–4–5–612345678910–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10OABCD（2）过点A 作AM CD ⊥于点M ，连接EM ． ∴90AMC ∠=︒． 在AEB △与AMC △中， AEB AMC B ACDAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEB AMC ≅△△．∴AE AM =，BAE CAM ∠=∠．∴60EAM EAC CAM EAC BAE BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒． ∴AEM △等边三角形． ∴EM AM AE ==． ∵AC AD =，AM CD ⊥ ， ∴CM DM =． 又∵90DEC ∠=︒， ∴EM CM DM ==． ∴AM CM DM ==．∴点A 、C 、D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上． ∴90CAD α=∠=︒． 25．（本小题满分8分） 解：（1）(0,10)．（2）连接BP 、OP ，作PH OA ⊥于点H ． ∵5b =，OH OA ⊥，∴152OH AH OA ===．∵8OQ =，∴3QH OQ OH =-=．在Rt QHP △中，22229PQ QH PH PH =+=+． 在Rt PHO △中，2222225PO OH PH PH BP =+=+=．在Rt BQP △中，22222(25)(9)16BQ BP PQ PH PH =-=+-+=． ∴4BQ =． （3）①1a ≥． ②10．∵BQP △是等腰直角三角形，10PQ =， ∴半径25BP =． 又∵2(,)P a a ，∴2242(25)OP a a =+=． 即42200a a +-=．解得2a =±． ∵0a >， ∴2a =．∴(2,4)P ．MDCABEHQ Py xO A BM y B如图，作BM y ⊥轴于点M ，则QBM △≌PQH △． ∴2MQ PH ==，226MB QH PQ PH ==-=．∴1(6,66)B +．若点Q 在OH 上，由对称性可得2(6,26)B -．综上，当10PQ =时，B 点坐标为(6,66)+或(6,26)-．北京海淀初三上期中数学试卷部分解析一、选择题1．【答案】B【解析】只有选项B 是中心对称图形，绕着中心点旋转180︒能与自身重合，选项A 、C 是轴对称图形． 故选：B ．2． 【答案】A【解析】将抛物线2y x =向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为21y x =+． 故选：A ．3． 【答案】C【解析】一共6个球，其中4个黑球，2个白球，随机从袋子中摸出1个球，摸出黑球的概率为23，摸出白球的概率为13．“摸出黑球”的可能性大．故选：C ．4． 【答案】A【解析】配方的方法解方程2230x x --=，配方后得到的方程为22131x x -+=+，2(1)4x -=． 故选：A ．5． 【答案】D【解析】∵⊙O 为正五边形ABCDE 的外接圆，⊙O 的半径为2，∴360725AOB ︒∠==︒， ∴AB 的长为72π24π1805⨯⨯=． 故选：D ．6． 【答案】B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ∠=︒． 又∵59ABD ∠=︒，∴9031C A ABD ∠=∠=︒-∠=︒． 故选：B ．7． 【答案】D【解析】二次函数24y x x m =-+可知，抛物线对称轴为2x =， 它的的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，故另一个交点为(3,0)， ∴关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两个实数根是11x =，23x =． 故选：D ．8． 【答案】A【解析】连结OD ．依题可知，152OA OD AB ===，设AC x =，则5OC x =-， 在Rt DCO △中，由勾股定理可知， 222225(5)10CD OD OC x x x =-=--=-+， 2510DCOE y S OC CD x x x ==⋅=-⋅-+矩形，由特值法也可知，当5x =时，不存在矩形DCOE ，排除选项B 和选项D ， 由解析式可知，图象并非轴对称的二次函数，故排除选项C ． 故选：A ．二、填空题9．【答案】5【解析】由切线长定理可知PA PB =，又∵60APB ∠=︒，∴ABP △为等边三角形，5PA AB ==． 故答案为：5．10． 【答案】4【解析】关于x 为一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根2440k ∆=-=，解得4k =． 故答案为：4．11． 【答案】>【解析】函数2y x =的图象经过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若142x -<<-，202x <<，则12y y >． 故答案为：>．12． 【答案】30︒或60︒【解析】如图1，依题可知，ADF △≌AGE △(SSS)，15CAE DAF ∠=∠=︒，30CAF DAC DAF ∠=∠-∠=︒．如图2，60CAF DAC FAD ∠=∠+∠=︒． 故答案为：30︒或60︒．AC BDOE。
2019年海淀区初三第一学期期中学业水平调研数 学2019．11一、选择题 （本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是A B C D 2. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标为A ．(1,2)-B ． (1,2)C ．(1,2)-D ．(2,1)3. 体育课上，小悦在点O 处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M ，N ，P ，Q 四个点处， 则表示他最好成绩的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q4． 将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为A ．223y x =+B ．223y x =-C ．()223y x =+D ． ()223y x =-5． 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1 m ，若水面高0.2 m. 则排水管道截面的水面宽度为 A.0.6 m B.0.8 m C.1.2 m D.1.6 m6． 如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，25ADB ∠=︒. 则AOC ∠的度数为A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒7. 下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称； 图2所示是一个正三角形内接于圆； 图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.图1 图2图3 图4这四个图案中，阴影部分的面积不小于．．．该图案外圈大圆面积一半的是 A. 图1和图3B. 图2和图3C. 图2和图4D. 图1和图48． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++与x 轴交于A , B 两点. 若顶点C 到x轴的距离为8，则线段AB 的长度为 A ．2 B ． C D ．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点(3,2)P -绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 ． 10．写出一个对称轴是y 轴的抛物线的解析式： ． 11. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径. 若50P ∠=︒，则BAC ∠= °.12. 若二次函数2(1)3y x =-+的图象上有两点(0,),(5,)A a B b , 则a b .（填“>”，“=”或“<”）13. 如图, 边长为2的正方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转90°，则点A 运动的路径长为_______.14. 在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =10. 若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长为________ .15. 如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B (1,0),C (1,1),D (0,1). 若抛物线2()y x h =-与正方形OBCD 的边 共有3个公共点，则h 的取值范围是___________.16. 如图，在ABC △中，（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ； （2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ； （4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P . 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①2BC NC =；②2AB AM =；③点O 是ABC △的外心 ； ④点P 是ABC △的内心. 所有正确结论的序号是 .三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为1x =，(2,3)M -是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．18. 如图，等腰三角形ABC 中，BA =BC ，∠ABC =α. 作AD ⊥BC 于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角α后得到线段BE ，连接CE . 求证：BE ⊥CE .1920. 如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心. 100m AB =, C 是AB 上一点，OC AB ⊥，垂足为D ，=10m CD ，求这段弯路的半径．21. 已知二次函数21y x mx m =-+-的图象与x 轴只有一个公共点.（1）求该二次函数的解析式；（2）当03x ≤≤时，y 的最大值为 ，最小值为 .C A22.如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.（1）依题意补全图形；（2）若OA=√2，OB=√3，OC=1，求∠OCM的度数.23．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED=EA.（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若23ED ，∠A=30°，求⊙O的半径.24.悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁. 其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道. 图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引. 他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD, 两个索塔均与桥面垂直. 主桥AC的长为600 m，引桥CE的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN长为3 m，桥面上与点M相距100 m处的吊杆PQ长为13 m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.ADQNBM PC EAB CO图1EDA25. 探究函数2y x x =-的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x 与y 的几组对应值．请直接写出：m = ，n =； （2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为 坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出 该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为x 1, x 2, x 3，且x 1< x 2<x 3. 请直接写出x 1+ x 2+x 3的取值范围. 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c=++与直线1y x =+交于A , B 两点，其中点A 在x 轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2）① 若点B 在第一象限，且AB =的解析式；② 若AB ≥b 的 取值范围.27．如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，4560ACB ︒<∠<︒，将点C 关于直线AB 对称得到点D ，作射线BD 与CA 的延长线交于点E ，在CB 的延长线上取点F ，使得BF =DE ，连接AF . （1）依题意补全图形； （2）求证：AF =AE ；（3）作BA 的延长线与FD 的延长线交于点P ，写出一个∠ACB 的值，使得AP =AF 成立，并证明.备用图CBA CBA28. 在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段AB的直角点. 特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C为线段AB的等腰直角点．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(4,0)，在点P1(0,1)-，P2(5,1)，P3(2,2)中，线段OM的直角点是；（2）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1,4)，(1,6)-，直线l的解析式为7y x=-+．①如图2，C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；②如图3，P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点. 若⊙O的半径为r，且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围．图 1图 2图 32019年海淀区初三第一学期期中学业水平调研数 学答案及评分参考一、选择题二、填空题9． (3,2)- 10．2y x = 11．2512．<1314. 15．01h <<16. ①③④注：（1）第10题答案不唯一，符合题意的均给满分；（2）第16题答案不全且不含②的给1分.三、解答题17．解：因为2y x bx c =++的对称轴为1x =，所以12b-=．………………………………………………………………………1分得2b =-．………………………………………………………………………2分又因为()23M -，是抛物线上一点， 所以()23222c -=+-⨯+．得3c =-．………………………………………………………………………4分所以抛物线的解析式为223y x x =--． …………………………………………………5分18．证明：∵线段BD 绕点B 顺时针旋转角α得到线段BE ， ∴,.BD BE DBE α=∠=……………………………………………………………………………1分∵,ABC α∠= ∴.ABC DBE ∠=∠ ……………………………………………………………………………2分∵,AD BC ⊥ ∴90.ADB ∠=︒ 在△ABD 与△CBE 中，,,,AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………………………………………3分∴△ABD ≌△CBE . ……………………………………………………………………………4分∴90.ADB CEB ∠=∠=︒∴.BE CE ⊥…………………………………………………………………………………5分19．解：直径所对的圆周角是90︒. ………………………………………………………………………2分 CAB ∠. ………………………………………………………………………3分同弧所对的圆周角相等. ………………………………………………………………………5分20．解：设这段弯路的半径为r m, ……………………………………………………………1分因为OC ⊥AB 于D , AB =100 （m ）,所以BD =DA =12AB =50（m ）. …………………………………………………………………2分 所以CD =10（m ）,得10OD r =-（m ）.因为Rt △BOD 中，根据勾股定理有 222BO BD DO =+.………………………………………………………………………3分 即22250(10)r r =+-.………………………………………………………………………4分解得r =130（m ）.因此这段弯路的半径为130 m. …………………………………………………………………5分 21.解：（1）由题意二次函数图象与x 轴只有一个公共点. 可令210x mx m -+-=, 则有0∆=. ………………………………………………………………………1分即 24(1)0m m --=. 得 2m =.………………………………………………………………………2分所以该二次函数的解析式为221y x x =-+ . ……………………………………………3分（2）y 的最大值为4，最小值为0.……………………………………………………………5分22．解：（1）依题意补全图形，如图所示：…………………………………………………………………………………………………2分（2）连接OM，∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°.∵△BAO旋转得到△BCM，OAOB∴MC=OAMB=OB∠OBM=∠ABC=60° .………………………………………3分∴△OBM为等边三角形.∴OM= OB…………………………………………………………………4分在△OMC中，OC=1，∵22 21+=,∴OC 2 +MC 2 =OM 2.∴∠OCM=90°.…………………………………………………………………………………………………5分23．（1）证明：连接OD.∵ED=EA,∴∠A=∠ADE. …………………………………………………………………………………1分∵OB=OD,∴∠OBD=∠BDO.∵∠ACB=90°,∴∠A +∠ABC =90°.∴∠ADE +∠BDO =90°. …………………………………………………………………2分∴∠ODE=90°.∴DE是⊙O的切线. ………………………………………………………………………3分（2）解：∵∠ACB =90°, BC为直径,∴AC是⊙O的切线.∵DE是⊙O的切线,∴ED=EC. ………………………………………………………………………4分∵ED=∴ED=EC=EA=∴AC=………………………………………………………………………5分∵Rt△ABC中∠A=30°,∴BC=4.∴⊙O的半径为2. ………………………………………………………………………6分24. 解：如图所示建立平面直角坐标系.依题意可知3,13,100,600,124,,,MN PQ MP AC CE AB DC BA AC DC AC ======⊥⊥, ,MN AC PQ AC ⊥⊥.由抛物线的对称性可知，13002MC AC ==.则可得点坐标：(0,0),(0,3),(100,13)M N Q . …………………………………………………………………………………1分设抛物线的表达式为23y ax =+.…………………………………………………2分因为抛物线经过点Q ，所以将点Q 的坐标带入得2131003a =+.解得11000a =. …………………………………………………………………3分得抛物线的表达式为2131000y x =+. …………………………………………………4分 当300x =时，得213003931000y =⨯+=.……………………………………………5分因为DC AC ⊥, 所以90DCE ∠=︒.所以531155DE ==⨯=.答：索塔顶端D 与锚点E 的距离为155米. ……………………………………………6分 25．解：（1）m =1，n =0； ……………………………………………………………………………2分（2）如图：…………………………………………………………………………………………………4分 （3）12343x x x <++<……………………………………………………………6分26．解：（1）由题意直线y =x +1与x 轴交于点A可得点A 坐标为(-1,0) ……………………………………………………………1分 又因抛物线y =x 2+bx +c 经过点A所以将点A 坐标(-1,0)代入抛物线解析式可得1-b +c =0，即c =b -1. ……………………………………………………………2分 （2）①设y =x +1与y 轴交于点C ，可得 A (-1,0)，C (0,1).可知OA =OC =1. 又因∠AOC =90º,所以∠OAC =45º. 如图，已知ABB 作BD ⊥x 轴于点D , 易知∠ADB =90º.又因∠BAD =45º，AB，所以AD =BD =3.所以点B 的坐标为(2,3) . ……………………………………………………………3分 将点B 的坐标(2,3)代入抛物线y =x 2+bx +c 的解析式可得2b +c =-1.并与（1）中得到的c =b -1联立方程组可得：21,1.b c c b +=-⎧⎨=-⎩解得0,1.b c =⎧⎨=-⎩得抛物线的解析式为21y x =-. ……………………………………………………………4分② 0b ≤或6b ≥. ………………………………………………………………………6分27．（1）如图所示……………………………………………………………………………1分（2）证明：∵ 点C 与点D 关于直线AB 对称， ∴ DB =BC ，∠ABD =∠ABC .………………………………………………………2分∴DE+BD=BF+BC.∴BE=CF.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.∴∠ABD=∠C.∴△ABE ≌△ACF（SAS）.∴AE=AF. …………………………………………………………………4分（3）∠ACB=54°. …………………………………………………………………5分证明：如图，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=54°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°.∵点C与点D关于直线AB对称，∴∠DAB=∠BAC=72°，∠ADB=∠C=54°，AD=AB=AC.∴∠DAE=180°-∠DAB-∠BAC=36°，∴∠E=∠ADB-∠DAE=18°.∵由（2）得，△ABF ≌△ADE（或者△ACF ≌△ABE），∴∠AFB=∠E=18°.∴∠BAF=∠ABC-∠AFB=36°=12∠BAD.∵AB=AD，∴AF垂直平分BD.∴FB=FD.∴∠AFD=∠AFB=18°，∴∠P=∠BAF-∠AFD=18°=∠AFD，P∵ 由（2）得AE =AF ， ∴ AP =AE .…………………………………………………………………7分28．解：（1）是线段OM 的直角点为 P 1, P 3 ；………………………………………………………2分（2）① 当∠BAC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）.∵点A 的坐标为(1,4)，点C 在直线7y x =-+上, ∴ b=4，7b a =-+，解得a=3. ∴点C 的坐标为(3,4).………………………………………………………3分当∠ABC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）. ∵点B 的坐标为(1,6)-，点C 在直线7y x =-+上, ∴ b=6-，7b a =-+，解得a=13. ∴点C 的坐标为(13,6)-.当∠ACB =90°时如图，设点C 的坐标为（a , b ）. 取AB 的中点M ，作CM ⊥AB 于点H ，连接CM . ∵ 点C 在直线7y x =-+上， ∴ 得7b a =-+. （*）∵点A ，B 的坐标分别为(1,4)，(1,6)-,∴ 点M 的坐标为(1,1)-，CM =5，1,1CH a HM b =-=+.∴ 由勾股定理得方程 222(1)(1)5a b -++= . （**由（*），（**）得43a b =⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=⎩，故C 的坐标为(4,3)或综上，点C 的坐标为(3,4)或(13,6)-或(4,3)或(5,2). ……………………………5分② 直接写出r 2r <<. ………………………………………7分()。
北京市北京市海淀区2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷一、单选题1. 下列图案中，是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. 抛物线的顶点坐标为（）A . （-1，2）B . （1，2）C . （1，-2）D . （2，1）3. 体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）A . MB . NC . PD . Q4. 将抛物线向下平移3个单位，得到的抛物线为（）A .B .C .D .5. 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1 m，若水面高0.2 m. 则排水管道截面的水面宽度为（）A . 0.6 mB . 0.8 mC . 1.2 mD . 1.6 m6. 如图，在⊙O中，， . 则的度数为（）A .B .C .D .7. 下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；图2所示是一个正三角形内接于圆；图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是（）A . 图1和图3B . 图2和图3C . 图2和图4D . 图1和图48. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A, B两点. 若顶点C到x轴的距离为8，则线段AB的长度为（）A . 2B .C .D . 4二、填空题9. 在平面直角坐标系中，点绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为________．10. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式________．11. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC=________．12. 若二次函数的图象上有两点 , 则 ________ .（填“>”，“=”或“<”）13. 如图,边长为2的正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°，则点A运动的路径长为________.14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于________．15. 如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1), D(0,1). 若抛物线与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是________.16. 如图，在中，⑴作AB和BC的垂直平分线交于点O；⑵以点O为圆心，OA长为半径作圆；⑶⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；⑷连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点P是的内心.所有正确结论的序号是________.三、解答题17. 已知抛物线的对称轴为，是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．18. 如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α.作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段B E，连接CE. 求证：BE⊥CE.19. 请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.20. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心. , C是上一点，，垂足为，，求这段弯路的半径．21. 已知二次函数的图象与轴只有一个公共点.（1）求该二次函数的解析式；（2）当时，y的最大值为，最小值为.22. 如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.（1）依题意补全图形；（2）若OA= ，OB= ，OC=1，求∠OCM的度数.23. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，∠A=30°，求⊙O的半径.24. 悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁. 其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道. 图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引. 他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD, 两个索塔均与桥面垂直. 主桥AC的长为600 m，引桥CE的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN长为3 m ，桥面上与点M相距100 m处的吊杆PQ长为13 m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.图225. 探究函数的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1） 下表是x 与y 的几组对应值．x…023…y…0mn 3…请直接写出：m=，n=；（2） 如图，小娜在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程 有三个不同的解，记为x , x , x ，且x < x <x . 请直接写出x + x +x 的取值范围.26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与直线 交于A, B 两点，其中点A 在x轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2） ①若点B 在第一象限，且，求抛物线的解析式；② 若 ，结合函数图象，直接写出b 的取值范围.27. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，，将点C 关于直线AB对称得到点D ，作射线BD 与CA 的延长线交于点E ，在CB 的延长线上取点F ，使得BF=DE ，连接AF.备用图123123123（1） 依题意补全图形；（2） 求证：AF=AE ；（3） 作BA 的延长线与FD 的延长线交于点P ，写出一个∠ACB 的值，使得AP=AF 成立，并证明.28. 在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点. 特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．（1） 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为，在点P ，P，P 中，线段OM 的直角点是；（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B的坐标分别为， ，直线l的解析式为 ．①如图2，C 是直线l 上的一个动点，若C 是线段AB 的直角点，求点C的坐标；②如图3，P 是直线l 上的一个动点，将所有线段AP 的等腰直角点称为直线l 关于点A 的伴随点.若⊙O 的半径为r ，且⊙O 上恰有两个点为直线l 关于点A 的伴随点，直接写出r 的取值范围．参考答案1.2.3.1234.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.。
初三第一学期期中学业水平调研数 学2019．11一、选择题 （本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是A B C D 2. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标为A ．(1,2)-B ． (1,2)C ．(1,2)-D ．(2,1)3. 体育课上，小悦在点O 处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M ，N ，P ，Q 四个点处， 则表示他最好成绩的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q4． 将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为A ．223y x =+B ．223y x =-C ．()223y x =+D ． ()223y x =-5． 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1 m ，若水面高0.2 m. 则排水管道截面的水面宽度为 A.0.6 m B.0.8 m C.1.2 m D.1.6 m6． 如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，25ADB ∠=︒. 则AOC ∠的度数为A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒7. 下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称； 图2所示是一个正三角形内接于圆； 图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.图1 图2 图3 图4这四个图案中，阴影部分的面积不小于．．．该图案外圈大圆面积一半的是 A. 图1和图3B. 图2和图3C. 图2和图4D. 图1和图48． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++与x 轴交于A , B 两点. 若顶点C 到x轴的距离为8，则线段AB 的长度为 A ．2 B ． C D ．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点(3,2)P -绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 ． 10．写出一个对称轴是y 轴的抛物线的解析式： ． 11. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径. 若50P ∠=︒，则BAC ∠= °.。
2019-2019学年北京市海淀区普通中学九年级（上）期中数学复习试卷（因式分解）一、选择题1．分解因式：16﹣x2=（）A．（4﹣x）（4+x）B．（x﹣4）（x+4）C．（8+x）（8﹣x）D．（4﹣x）22．下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b=2（a﹣b）B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）3．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2 4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=05．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌D．美我宜昌二、填空题6．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式．7．分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=．8．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是（写出一个即可）．9．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=．10．已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2019|a﹣b|=．三、解答题11．分解因式：（1）3x2﹣27；（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．12．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab=c+2bc，判断△ABC的形状．13．有足够多的长方形和正方形的卡片如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．14．设a=m+1，b=m+2，c=m+3，求代数式a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2的值．15．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．2019-2019学年北京市海淀区普通中学九年级（上）期中数学复习试卷（因式分解）参考答案与试题解析一、选择题1．分解因式：16﹣x2=（）A．（4﹣x）（4+x）B．（x﹣4）（x+4）C．（8+x）（8﹣x）D．（4﹣x）2【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．2．下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b=2（a﹣b）B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法；因式分解-十字相乘法等．【分析】根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解．【解答】解：A、2a﹣2b=2（a﹣b），正确；B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），正确；C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；D、﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2），正确；故选C．【点评】本题主要考查了因式分解，关键是对于完全平方公式和平方差公式的理解．3．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0【考点】完全平方公式．【分析】首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，则可得（x+z﹣2y）2=0，则问题得解．【解答】解：∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，∴（x+z）2﹣4y（x+z）+4y2=0，∴（x+z﹣2y）2=0，∴z+x﹣2y=0．故选：D．【点评】此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=（x+z﹣2y）2．5．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌D．美我宜昌【考点】因式分解的应用．【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二、填空题6．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式am+bm+cm=m（a+b+c）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可．【解答】解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用矩形面积求出是解题关键．7．分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=（x+4）（x﹣4）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果．【解答】解：原式=x2+2x﹣8x﹣16+6x=x2﹣16=（x+4）（x﹣4），故答案为：（x+4）（x﹣4）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握整式的化简、平方差公式是解题的关键．8．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是﹣1（写出一个即可）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】令k=﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．【解答】解：令k=﹣1，整式为x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故答案为：﹣1．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=3（a+b）（a﹣b）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案为：3（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10．已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2019|a﹣b|=1．【考点】因式分解的应用；零指数幂．【分析】由于a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2﹣b2=﹣，则有（a+b）（a﹣b）=，分解因式可得a=b，依此可得2019|a﹣b|=20190，再根据零指数幂的计算法则计算即可求解．【解答】解：∵a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2﹣b2=﹣，（a+b）（a﹣b）=，[ab（a+b）+1]（a﹣b）=0，∴a﹣b=0，即a=b，∴2019|a﹣b|=20190=1．故答案为：1．【点评】考查了因式分解的应用，零指数幂，本题关键是得到a=b．三、解答题11．分解因式：（1）3x2﹣27；（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】利用提公因式法、公式法进行因式分解即可．【解答】解：（1）3x2﹣27=3（x2﹣9）=3（x﹣3）（x+3）；（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2=[2+3（x﹣y）]2=（2+3x﹣3y）2；（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy=8x2﹣16y2﹣7x2﹣xy+xy=x2﹣16y2=（x+4y）（x﹣4y）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、公式法因式分解是解题的关键．12．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab=c+2bc，判断△ABC的形状．【考点】因式分解的应用．【分析】通过对a+2ab=c+2bc的变形得到2b（a﹣c）=0，由此求得a=c，易判断△ABC的形状．【解答】解：∵a+2ab=c+2bc，∴2b（a﹣c）=0，∵b≠0，∴a﹣c=0，∴a=c，∴△ABC是等腰三角形．【点评】该题主要考查了因式分解及其应用问题；解题的关键是牢固掌握掌握分组分解法或提公因式法，灵活选用有关方法来变形、化简、求值或证明．13．有足够多的长方形和正方形的卡片如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．【考点】多项式乘多项式．【分析】先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为a+2b，宽为a+b，从而求出长方形的面积．【解答】解：如图：或a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．14．设a=m+1，b=m+2，c=m+3，求代数式a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2的值．【考点】因式分解的应用．【分析】首先把代数式a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2利用完全平方公式因式分解，再代入求得数值即可．【解答】解：a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2=（a+b）2﹣2c（a+b）+c2=（a+b﹣c）2当a=m+1，b=m+2，c=m+3时，原式=[m+1+m+2﹣（m+3）]2=m2．【点评】此题考查代数式求值，注意利用完全平方公式因式分解，简化计算的方法与步骤．15．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．【考点】因式分解的应用．【分析】先利用因式分解得到原式=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，再把当y=kx 代入得到原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．【解答】解：能；（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．。
