[精品]2019高考数学一轮复习第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系练习理

故∠D1B1C(或其补角)为所求角,
又B1D1=B1C=D1C, 所以∠D1B1C=60°.
考点突破
考点一 共点、共线、共面问题
典例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的
中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.
证明 (1)如图所示,连接CD1、EF、A1B,
1.如图是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不 共面的是 ( D )
答案 D A、B、C中四个点一定共面,D中四个点不共面.
2.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则 ( B )
A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 答案 B 假设α内存在直线m∥l, ∵l⊄α ,∴l∥α,与题设矛盾,故选B.
答案 ③④
解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,所以①② 错误.点B,B1,N在平面BB1C1C中,B1在直线BN外,点M在此平面外,所以BN 与MB1是异面直线.同理,AM与DD1也是异面直线.
方法技巧
异面直线的判定方法 (1)利用反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交, 由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异 面.此法在异面直线的判定中经常用到. (2)利
3.(2017北京东城一模,4)已知m是直线,α,β是两个互相垂直的平面,则
“m∥α”是“m⊥β”的 ( D ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D 当α⊥β,m∥α时,m∥β或m⊂β或m与β相交,故“m∥α”不是“m

答案 ③④ 解析 如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方 体，显然 BM 与 ED 为异面直线，故命题①不成立；而 CN 与 BE 平行，故命题②不成立．
∵BE∥CN，∴CN 与 BM 所成角为∠MBE. ∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面 CDNM， ∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面 BCN. ∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.
【证明】
(1)如图所示．
因为 EF 是△D1B1C1 的中位线， 所以 EF∥B1D1.在正方体 AC1 中， B1D1∥BD， 所以 EF∥BD.所以 EF， BD 确定一个平面， 即 D， B，F，E 四点共面．
(2)在正方体 AC1 中，设 A1CC1 确定的平面为 α， 又设平面 BDEF 为 β.因为 Q∈ A1C1，所以 Q∈α. 又 Q∈EF，所以 Q∈β.所以 Q 是 α 与 β 的公共点．同理，P 是 α 与 β 的公共点．所以 α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，所以 R∈A1C，R∈α，且 R∈ β. 则 R∈PQ，故 P，Q，R 三点共线．
(6)空间三个平面将空间最多分成七部分． (7)已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 b 与 c 不可能是平行直线．
答案 解析 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√
(6)中可能分成八部分，如图．
2．空间四点中，三点共线是这四点共面的( A．充分不必要条件 C．充要条件
(3)∵EF∥BD 且 EF<BD， ∴DE 与 BF 相交．设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1.又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1. ∴DE，BF，CC1 三线交于点 M. 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略

地地道道的达到 §8.3空间点、直线、平面之间的地点关系考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型展望热度2016 浙江 ,2; 1. 点、线、 理解空间直线、 平面地点关系的定义 , 并认识以下2015 广东 ,8;能够作为推理依照的公义和定理.2014 广东 ,7;面理解 选择题★★☆·公义 1: 假如一条直线上的两点在一个平面内2013 课标全国的地点关系,那么这条直线上全部的点都在此平面内.Ⅱ,4;·公义 2: 过不在同一条直线上的三点 , 有且只有2013 江西 ,8 一个平面 .2017 课标全国·公义 3: 假如两个不重合的平面有一个公共点 ,Ⅱ,10;那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2017 课标全国2. 异面直线 ·公义 4: 平行于同一条直线的两条直线相互平 掌握Ⅲ,16; 选择题 ★★★所成的角行 .2016 课标全国填空题·定理 : 空间中假如一个角的两边与另一个角的 Ⅰ,11; 两边分别平行 , 那么这两个角相等或互补2015 四川 ,14;2015 广东 ,18剖析解读 1. 会用平面的基天性质证明点共线、 线共点、点线共面问题 ; 会用反证法证明相关异面或共面问题.2.会判断和证明两条直线异面 ; 会应用三线平行公义和等角定理及推论解决相关问题, 会求两条异面直线所成的角 ; 认识两条异面直线间的距离 .3. 高考对本节内容的考察常以棱柱、 棱锥为依靠 , 求异面直线所成的角 , 分值约为5分,属中档题 .五年高考考点一点、线、面的地点关系1.(2016 浙江 ,2,5 分 ) 已知相互垂直的平面 α , β 交于直线 l. 若直线 m,n 知足 m ∥ α ,n ⊥ β , 则 ( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n答案C2.(2015 广东 ,8,5 分 ) 若空间中 n 个不一样的点两两距离都相等 , 则正整数 n 的取值 ( )A. 至多等于 3B. 至多等于 4C.等于 5D.大于 5 答案B3.(2015 福建 ,7,5 分 ) 若 l,m 是两条不一样的直线 ,m 垂直于平面α , 则“ l⊥m ”是“ l ∥ α”的 ( )A. 充分而不用要条件B. 必需而不充分条件C. 充分必需条件D. 既不充分也不用要条件 答案B4.(2013 江西 ,8,5 分 ) 如图 , 正方体的底面与正四周体的底面在同一平面 α 上 , 且 AB ∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 订交的平面个数分别记为m,n, 那么 m+n=()呵呵复生复生复生地地道道的达到 A.8 B.9 C.10 D.11答案A教师用书专用 (5 — 8)5.(2014 广东 ,7,5 分 ) 若空间中四条两两不一样的直线l 1,l2,l 3,l 4,知足 l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4, 则以下结论必定正确的是 ( ) A.l 1⊥l B.l ∥l414C.l 1 与 l 4 既不垂直也不平行D.l 1 与 l 4 的地点关系不确立答案 D6.(2013 课标全国Ⅱ ,4,5 分 ) 已知 m,n 为异面直线 ,m ⊥平面 α,n ⊥平面 β . 直线 l 知足 l ⊥m,l ⊥n,l ?α,l ?β , 则 ( ) A. α ∥β 且 l ∥ α B. α ⊥β 且 l ⊥ βC. α 与 β 订交 , 且交线垂直于 lD. α 与 β 订交 , 且交线平行于l答案 D7.(2013 安徽 ,3,5 分 ) 在以下命题中 , 不是公义的是 ()．．A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点 , 有且只有一个平面C. 假如一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上全部的点都在此平面内D. 假如两个不重合的平面有一个公共点 , 那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A8.(2013 浙江 ,10,5 分 ) 在空间中 , 过点 A 作平面 π 的垂线 , 垂足为 B, 记 B=f π (A). 设 α , β 是两个不一样的平面 , 对空间随意一点 P,Q =f β [f α (P)],Q =f α [f β (P)], 恒有 PQ=PQ, 则 ()1212A. 平面 α 与平面 β 垂直B. 平面 α 与平面 β 所成的 ( 锐 ) 二面角为 45°C. 平面 α 与平面 β 平行D. 平面 α 与平面 β 所成的 ( 锐 ) 二面角为 60°答案 A考点二 异面直线所成的角1.(2017 课标全国Ⅱ ,10,5 分 ) 已知直三棱柱 ABC-AB C 中, ∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1, 则异面直线 AB 1 与 BC1 1 11所成角的余弦值为 ()A. B.C. D.答案 C2.(2016 课标全国Ⅰ ,11,5 分) 平面 α 过正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的极点 A, α ∥平面 CB 1 D 1, α ∩平面 ABCD=m,α ∩ 平面 ABB 1A 1=n, 则 m,n 所成角的正弦值为 ( )A. B. C. D.答案A3.(2017 课标全国Ⅲ ,16,5 分 )a,b 为空间中两条相互垂直的直线, 等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与呵呵复生复生复生a,b 都垂直 , 斜边 AB 以直线 AC为旋转轴旋转 , 有以下结论 :①当直线 AB与 a 成 60°角时 ,AB 与 b 成 30°角 ;②当直线 AB与 a 成 60°角时 ,AB 与 b 成 60°角 ;③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45°;④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60°.此中正确的选项是.( 填写全部正确结论的编号 )答案②③4.(2015 四川 ,14,5 分 ) 如图 , 四边形 ABCD和 ADPQ均为正方形 , 它们所在的平面相互垂直,动点 M在线段 PQ 上 ,E,F 分别为 AB,BC 的中点 . 设异面直线 EM与 AF 所成的角为θ , 则 cos θ的最大值为.答案教师用书专用(5)5.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 ,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点 E 是 CD边的中点 , 点 F,G 分别在线段 AB,BC 上 , 且 AF=2FB,CG=2GB.(1)证明 :PE⊥FG;(2)求二面角 P-AD-C 的正切值 ;(3)求直线 PA 与直线 FG所成角的余弦值 .分析(1) 证明 : 由于 PD=PC,点 E 为 DC中点 ,因此 PE⊥DC.又由于平面PDC⊥平面 ABCD,交线为 DC,因此 PE⊥平面 ABCD.又 FG? 平面 ABCD,因此 PE⊥FG.(2) 由 (1) 可知 ,PE⊥AD.由于四边形ABCD为长方形 , 因此 AD⊥DC.又由于 PE∩DC=E,因此 AD⊥平面 PDC.而 PD? 平面 PDC,因此 AD⊥PD.由二面角的平面角的定义, 可知∠ PDC为二面角P-AD-C 的一个平面角.在 Rt△PDE中 ,PE==,因此 tan ∠PDC==.进而二面角P-AD-C 的正切值为 .(3) 连结 AC.由于 ==,因此 FG∥AC.易求得 AC=3,PA==5.因此直线 PA与直线 FG所成角等于直线 PA与直线 AC所成角 , 即∠ PAC, 在△ PAC中,cos ∠PAC==.因此直线PA与直线 FG所成角的余弦值为.三年模拟呵呵复生复生复生A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点一点、线、面的地点关系1.(2018四川泸州模拟,6) 设 a,b 是空间中不一样的直线, α , β是不一样的平面, 则以下说法正确的选项是()A.a∥b,b ? α , 则 a∥ αB.a ? α ,b ? β, α ∥ β , 则 a∥bC.a? α ,b ? α,a ∥ β ,b ∥ β , 则α ∥ βD. α ∥β ,a ? α, 则 a∥β答案 D1 1 1 1 1 是异面直线的条数为 ()2.(2018 四川泸州模拟 ,4) 在正方体 ABCD-AB CD 中 , 棱所在直线与直线BAA.4B.5C.6D.7答案 C3.(2017 河北邢台二模 ,5) 设 m,n 是两条不一样的直线 , α , β是两个不一样的平面. 给出以下四个命题 :①若 m∥n,m⊥ β , 则 n⊥ β ; ②若 m∥n,m∥ β , 则 n∥ β ;③若 m∥ α ,m∥ β , 则α∥ β ; ④若 n⊥ α,n ⊥ β , 则α ⊥ β.此中真命题的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4答案 A4.(2017 河北邯郸调研,5) 如图 , 在三棱锥 S-ABC中 ,G1,G2分别是△ SAB 和△ SAC的重心 , 则直线 G1G2与 BC的地点关系是()A. 订交B. 平行C. 异面D. 以上都有可能答案 B考点二异面直线所成的角5.(2018 广东东莞模拟 ,6) 在正四棱锥 P-ABCD中 ,PA=2, 直线 PA与平面 ABCD所成角为 60°,E 为 PC的中点 , 则异面直线PA与 BE 所成角为 ()A.90°B.60°C.45°D.30°答案 C6.(2017 广东汕头模拟 ,8) 已知四棱锥 P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等, 点 E 是 PB的中点 , 则异面直线 AE与PD所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案 C7.(2016黑龙江哈尔滨四模,7) 如图 , 四棱锥 P-ABCD中, ∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△ PAD都是等边三角形 , 则异面直线CD与 PB所成角的大小为()A.90°B.75°C.60°D.45°答案 AB 组2016— 2018 年模拟·提高题组呵呵复生复生复生地地道道的达到(满分 :30 分时间:30分钟)一、选择题 ( 每题 5 分, 共 10 分)1.(2017 广东惠州三调 ,11) 如图是一个几何体的平面睁开图, 此中四边形ABCD为正方形 ,E,F 分别为 PA,PD的中点 , 在此几何体中 , 给出下边 4 个结论 :①直线 BE 与直线 CF异面 ;②直线BE与直线AF异面;③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD.此中正确的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案 B2.(2016湖南长沙模拟,8)如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线 AN,CM所成的角的余弦值为()A. B. C. D.答案 A二、填空题 ( 共 5 分)3.(2018安徽皖南八校联考,15) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1, 点 M在线段 BC上 ( 点 M异于点 B,C), 点N为线段CC1的中点 , 若平面AMN 截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形, 则线段BM 长的取值范围为.答案三、解答题 ( 共 15 分)4.(2018上海普陀一模,18)以下图的圆锥的体积为π,底面直径AB=2,点 C 是的中点 , 点 D是母线 PA的中点 .(1)求该圆锥的侧面积 ;(2)求异面直线 PB 与 CD所成角的大小 .分析(1) ∵圆锥的体积为π ,底面直径AB=2,2∴ π×1×PO=π, 解得 PO=,∴P A==2,∴该圆锥的侧面积S=π rl= π ×1×2=2 π .(2)连结 OC.∵圆锥中 ,点 C 是的中点 ,O 为底面圆心 ,∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以 O为原点 ,OC 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴成立以下图的空间直角坐标系,呵呵复生复生复生地地道道的达到则 A(0,-1,0),P(0,0,),D,B(0,1,0),C(1,0,0),=(0,1,-),=,设异面直线PB与 CD所成角为θ ,则 cos θ ===, ∴ θ =.∴异面直线PB与 CD所成角为 .C 组2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1点、线、面地点关系的判断方法1.(2018 湖南衡阳模拟 ,6) 如图 , 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则以下直线中与直线EF订交的是 ()A. 直线 CCB.直线 CDC. 直线 HCD. 直线 GH1 1 1 1答案 C2.(2016 四川泸州模拟 ,4) 若 m、 n 为两条不一样的直线 , α、β 为两个不一样的平面, 且 m⊥ α ,n ⊥ β , 则以下命题中的假命题是 ( )A. 若 m∥n, 则α∥ βB. 若α ⊥β , 则 m⊥nC. 若α、β订交 , 则 m、n 订交D. 若 m、 n 订交 , 则α、β订交答案 C3.(2017 湖北武昌调研 ,16) 若四周体 ABCD的三组对棱分别相等 , 即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,则( 写出全部正确结论的编号 ).①四周体 ABCD每组对棱相互垂直 ;②四周体 ABCD每个面的面积相等 ;③从四周体 ABCD每个极点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于 180°;④连结四周体 ABCD每组对棱中点的线段相互垂直均分;⑤从四周体 ABCD每个极点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.答案②④⑤方法 2 异面直线所成角的求法4.(2018 四川泸州模拟 ,7) 在正方体 ABCD-AB C D 中 ,E 为 BC的中点 ,F 为 B C 的中点 , 则异面直线 AF 与 C E 所成1 1 1 1 1 1 1角的正切值为 ( )A. B. C. D.答案 C5.(2017河北唐山 3 月模拟 ,10) 已知 P 是△ ABC 所在平面外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点 , 若 MN=BC=4,PA=4,呵呵复生复生复生2019高考数学一轮复习第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系练习理地地道道的达到则异面直线PA与 MN所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案 A6.(2017广东惠州调研,14)在正四棱锥P-ABCD中 ,PA=2, 直线 PA与平面 ABCD所成的角为60°,E 为 PC的中点 , 则异面直线PA与 BE所成角的大小为.答案45°呵呵复生复生复生11 / 11。

专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（知识点讲解）【知识框架】 【核心素养】1.通过考查空间线面关系，凸显逻辑推理、直观想象的核心素养．2.通过考查空间角的计算，凸显数学运算、直观想象及逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）平面的基本性质(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（二）空间两直线的位置关系1.位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（三）异面直线所成的角1.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.2.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．（四）空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内---有无数个公共点；相交---有且只有一个公共点；平行---没有公共点．后两种情况直线不在平面内，也称直线在平面外.(2)平面与平面的位置关系有两种情况：平行---没有公共点；相交---有一条公共直线．（五）常用结论唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．【常考题型剖析】题型一：平面的基本性质及应用例1.（四川·高考真题（文））1l ， 2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．12l l ⊥， 23l l ⊥13//l l ⇒B ．12l l ⊥， 23//l l ⇒13l l ⊥C ．123////l l l ⇒1l ， 2l ，3l 共面D ．1l ， 2l ，3l 共点 ⇒1l ， 2l ，3l 共面【答案】B【解析】【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．选项A ，可能相交．选项C 中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D ，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.例2.（2016·山东·高考真题（文））已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.例3．（2022·上海·模拟预测）如图正方体11ABCD AB C D -中，P Q R S 、、、分别为棱1AB BC BB CD 、、、的中点，连接11A S B D ，.空间任意两点M N 、，若线段MN 上不存在点在线段1,A S B D 1上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为（ ） A ．点P B ．点B C ．点R D ．点Q【答案】D【解析】【分析】利用排除法，如图，连接PS ，则可得11,,,A D P S 四点共面，1DD ∥1BB ，然后进行分析判断即可【详解】如图连接PS ，因为,P S 分别为,AB CD 的中点，所以AP DS =, AP ∥DS ，所以四边形APSD 为平行四边形，所以AD ∥PS ,因为AD ∥11A D ，所以11A D ∥PS ，所以11,,,A D P S 四点共面，所以1A S 与1D P 相交，所以点P 与点1D 不可视，所以排除A ，因为1DD ∥1BB ，所以11,,,,D D B R B 共面，所以由图可知1D B 与1B D 相交，1D R 与1B D 相交，所以点B ，点R 都与点1D 不可视，所以排除BC ，故选：D例4.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12， ∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．【方法技巧】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. 题型二：空间两直线的位置关系例5.（广东·高考真题（文））若空间中四条直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥、23l l 、34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）．A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 、4l 既不平行也不垂直D ．1l 、4l 位置关系不确 【答案】D【解析】【详解】【分析】试题分析：如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取 1AA 为2l ， 1BB 为3l ，取 AD 为1l ， BC 为4l ，14//l l ；取AD 为 1l ，AB 为 4l ，则14l l ⊥；取AD 为 1l ，11A B 为4l ，则 1l 与4l 异面，因此1l 、4l 的位置关系不确定，故选D.例6.（湖北·高考真题（文））12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】【详解】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A ．例7.（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【总结提升】判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．(2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．题型三：异面直线所成的角例8.（2018·全国·高考真题（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===故选C. 例9.（2016·全国·高考真题（文））平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A B C D ．13【答案】A【解析】【详解】试题分析：如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为//α平面11CB D ，所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ，过1D 作11D E B C ∥，连接11,CE B D ，则CE 为'm ，同理11B F 为'n ，而111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，即为60︒，故,m n 所A. 例10. （皖豫名校2021-2022学年高一下学期阶段性测试（期末）数学试题）在正三棱台111ABC A B C -中，E ，F 分别是棱11A B ，11B C 的中点，且11122B C BC BB ==，则异面直线AE 与BF 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】【分析】连接,EF CF ，则可得四边形ACFE 为平行四边形，则可得AE ∥CF ，所以BFC ∠为异面直线AE 与BF 所成的角，然后计算即可【详解】连接,EF CF ，因为E ，F 分别是棱11A B ，11B C 的中点，所以EF ∥ 11A C , 1112EF AC =， 因为正三棱台111ABC A B C -中，11122B C BC BB ==，所以AC ∥11A C ，1112AC AC =， 所以EF ∥AC ，FE AC =，所以四边形ACFE 为平行四边形，所以AE ∥CF ，所以BFC ∠为异面直线AE 与BF 所成的角，设1BC =，则1111111112,1A B AC B C BC BB AB AC AA CC =========，在等腰梯形11BCC B 中，11112cos 12BB C ∠==， 因为11090BB C ︒<∠<︒，所以1160BB C ∠=︒，因为111BB B F ==,所以1BB F 为等边三角形，所以1BF =，同理1CF =,所以BFC △为等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以异面直线AE 与BF 所成的角为60︒，故选：C例11.（内蒙古赤峰市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（理）试题）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AD DC ==，1AA =1BC 与1DB 所成角的正弦值为（ ）A ．15BCD【答案】B【解析】【分析】作图，构造三角形，将1BC 与1DB 的夹角转变为三角形内角，运用余弦定理求解.【详解】依题意作上图，延长1111,,,A A B B C C D D 至2222,,,A B C D ，使得22221AA BB CC DD A A ==== ，连接212,BD C D ，1212,//B B DD B B DD = ，∴四边形12B BD D 是平行四边形，12//B D BD ，异面直线1B D 与1BC 的夹角就是1BC 与2BD 的夹角12C BD ∠，2BD =，14BC ，12C D =，由余弦定理得22212121212cos 2BC BD C D C BD BC BD +-∠==， 120C BD π<∠< ，∴12sin C BD ∠=； 故选：B.例12.（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥面11ACC A ，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A ．225B ．53C ．55D ．35 【答案】C【解析】【分析】连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ，易得1//ED AB ，即直线1BC 与直线1AB 夹角为BDE ∠或补角，进而求其余弦值.【详解】连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ， 由111ABC A B C -为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：D 是1CB 的中点，所以1//ED AB ，故直线1BC 与直线1AB 夹角，即为ED 与1BC 的夹角BDE ∠或补角，若1BC =，则1CE =，BD CD == BC ⊥面11ACC A ，EC ⊂面11ACC A ，则CB CE ⊥，而1EC CC ⊥，又1BC CC C =，1,BC CC ⊂面11BCC B ，故EC ⊥面11BCC B ，又CD ⊂面11BCC B ，所以CE CD ⊥.所以32ED =，BE在△BDE中222592cos 2BD ED BE BDE BD ED +-+-∠==⋅. 故选：C例13.（2021·天津西青·高一期末）已知1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 分别是1BD ，AB 的中点，异面直线EF 与BD 所成的角为_______【答案】60︒##π3【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出异面直线所成的角.【详解】取点D 为原点，边DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(0D ，0，0)，(2B ，2，0)，(1E ，1，1)，(2F ，1，0)，∴(1,0,1),(2,2,0)EF BD =-=--，∴2EF BD ⋅=-，||2||22EF BD ==， ∴1cos ,2||||2EF BD EF BD EF BD ⋅<>==-， EF ∴与BD 所成的角为60︒．故答案为：60︒．例14.（2022·福建漳州·高二期末）在如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AD AB ===，点P 在侧面11BCC B 内（含边界）运动，若点P 到直线AD 与直线1BB 的距离相等，则直线AD 与直线BP 所成角的正弦值的最大值为________．【解析】【分析】设1PM BB ⊥于M ，PQ AD ⊥于Q ，PN BC ⊥于N ，根据题意可得PN =B 为坐标原点，在平面11BCC B 上建立平面直角坐标系，分析点P 的轨迹方程，结合直线AD 与直线BP 所成角为PBC ∠，根据双曲线的性质求解最大值即可【详解】由题意，设1PM BB ⊥于M ，PQ AD ⊥于Q ，PN BC ⊥于N ，如图连接.由题意，PM PQ =，且PN NQ ⊥.故2222PM PQ PN NQ ==+，即PN以B 为坐标原点，在平面11BCC B 上建立如图平面直角坐标系，由21PN PM =-可得P 的轨迹方程为21y x =-，即双曲线221x y -=在正方形11BCC B 中的部分，由双曲线221x y -=的一条渐近线为y x =，即对角线1BC ，故当P 在1CC 上时，PBC ∠取得最大值，此时sin PBC ∠最大，213PC BC =-=，227PB PC BC =+=，321sin 77PC PBC PB ∠===.又//AD BC ，故AD 与直线BP 所成角为PBC ∠，即直线AD 与直线BP 所成角的正弦值的最大值为217【规律方法】1. 平移法：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．2．坐标法求异面直线所成的角当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． ]2,0(。