加法乘法法则教师版

第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

教师姓名 学生姓名年 级小学五年级上课时间学 科数学课题名称有理数的计算一、有理数运算法则 1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0。

绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）一个数同相0加，仍得这个数。

2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘、除法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同相0乘，都得0。

二、五种运算（加、减、乘、除、乘方） ※※※※常考点※※※※ ①确定结果的符号 例(2)2--=±．②去、添括号③运算律的应用：加法和乘法的交换律 、结合律，加法对乘法的分配律 ④求和技巧（等差数列、等比数列、可裂项数列）1、有理数加减运算 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． 有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②确定是两个加数的绝对值的和或差．有理数的计算有理数加法的运算律：①两个数相加，交换加数的位置，和不变．a b b a +=+（加法交换律）②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．()()a b c a b c ++=++ 有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式． ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算．③多个数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零． ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加． ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． ⑥符号相同的数可以先结合在一起．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．()a b a b -=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算． 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果．注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个数的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式．例如：(3)(0.15)(9)(5)(11)30.159511++-+-+++-=--+-，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和．2、有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0． 有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等． ab ba =（乘法交换律） ②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． ()abc a bc =（乘法结合律）③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． ()a b c ab ac +=+（乘法分配律）有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数．先确定符号，再绝对值相乘． ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0．③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算．3、有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．1a b a b ÷=⋅，（）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0．有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值．4、有理数乘方概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数． 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，na 表示有n 个a 相乘．例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示(33333)-⨯⨯⨯⨯52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： ⑴ 多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”的个数， 例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=．⑵ 有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=．⑶ 有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-．特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n na a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 有理数混合运算的运算顺序：⑴ 先乘方，再乘除，最后加减； ⑵ 同级运算，从左到右进行；⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算．同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的． 以上运算顺序可以简记为：“从小（括号）到大（括号），从高（级）到低（级），从左到右”．※※※※两数比较大小※※※※ 常用方法：① 代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小． ② 数轴法：数轴右边的数比左边的数大．③ 作差法：0a b a b ->⇔>，0a b a b -=⇔=，0a b a b -<⇔<．④ 作商法：若0a >，0b >，1a a b b >⇔>，1a a b b =⇔=，1a a bb <⇔<．⑤ 取倒法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．有理数的计算与大小比较1. 把下列各式写成乘方运算的形式：⑴ 111111444444⨯⨯⨯⨯⨯ ⑵ ()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⑶()()()()n a ba b a b a b a b +++++个 ⑷ ()()66666-⨯⨯-⨯⨯-【分析】 ⑴ 614⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑵ ()5135⨯-；⑶ ()n a b +；⑷ 原式5666666=-⨯⨯⨯⨯=-．注意：底数是分数、负数或代数式时，均用括号括起来．2. 计算：（1）154221134545⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）123456...99100+-++-++-+++-（）（）（）（）；（3）1725105（-）-（-）-（-）-; （4）33(-8)38244⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ 【分析】 （1）154221134545⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 152142134455=+-+（） 365545=- 2=-（2）1(2)3(4)5(6)...99(100)+-++-++-+++-[][][][]1(2)3(4)5(6)7...(98)99(100)=+-++-++-+++-++-149(100)=++-50=-（3）()()()1725105------1725105=-++- 185=- 13=（4）33(-8)38244⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ 33(8)83244⎛⎫=-+++- ⎪⎝⎭1=3. ⑴计算：5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767-+-+++-+-+-+-++⑵出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下：（单位/千米）15+，2-，5+，1-，10+，3-，2-，12+，4+，5-，6+，①将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ② 如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油多少升?【分析】 ⑴原式21(10)0138)4633=-++=-+(-． ⑵①(15)(2)(5)(1)(10)(3)(2)(12)(+4)+(5)+(+6)=39++-+++-+++-+-+++- 所以小李距离出发点为39千米；②不管向哪个方向行驶都要耗油的，所以根据题意有： 共走了+15+2++5+1++10+3+2++12++4+5++6 =65-----（千米）的里程，所以耗油为650.532.5⨯=（升）．4. 计算下列各题：⑴()30.250.57045⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ⑵ ()110.0333323⎛⎫⎛⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑶ 735(1)(36)1246⎡⎤-+---⨯-⎢⎥⎣⎦ ⑷ 111(0.25)(5)( 3.5)()2244-⨯-+⨯-+-⨯⑸ 114()1()16845-⨯⨯-⨯ ⑹ 11171113()71113⨯⨯⨯++ ⑺ 1113.55 2.87()() 6.42333⨯-⨯-+-⨯ ⑻1111136()23469⨯+--- 【分析】 ⑴ 小数结合相乘凑成整数．原式()()()330.250.54700.2527055⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯-=-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()313533530.57052510⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑵ 小数化成分数，互为倒数结合相乘为1．原式31001133100322⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； ⑶ 原式=()735(36)(36)36(1)(36)21273036121246⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+-⨯---⨯-=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑷ 原式111111()(5)()( 3.5)()2()(5 3.52)0424442=-⨯---⨯-+-⨯=-⨯-++=；⑸ 原式154()16()2845⎡⎤⎡⎤=-⨯⨯⨯-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；⑹ 原式1113713711311=⨯+⨯+⨯=；⑺ 原式1(3.55 2.87 6.42)03=+-⨯=；⑻ 原式181296411=+---=．5.（1）221( 4.5)(0.25) 3.50.252--÷--÷-（2）()211110.51233⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯--⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦（3）()()()() 3331113323326⎛⎫⎛⎫--+---⨯-÷---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()22112 450.85 253⎡⎤⎛⎫+--⨯-÷⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】（1）221( 4.5)(0.25) 3.50.25162--÷--÷-=（2）()213 1110.512332⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯--=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦（3）()()()() 333111332311326⎛⎫⎛⎫--+---⨯-÷---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()2211281 450.85 253170⎡⎤⎛⎫+--⨯-÷=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦6.计算：1111111111111 (1)()(1)()2462468248246 +++⨯+++-+++⨯++【分析】设111246x++=，则原式11111(1)()(1)(1)()(1)886824x x x x x x x x=++-++-=++-+-1111111(1)(1)(1)824882468x x x x x x x x x=+++-++=++=+，∵1112x=，原式518=．7.计算：1111111111()(1)(1)()2320052200422005232004+++⨯+++-+++⨯+++【分析】 设1111232004a ++++=，原式111(1)()(1)200520052005a a a a =-+-+-=8. ⑴写出34-，56-，78-的大小顺序．⑵若a b 、是正数，且满足()()12345111111a b =+-，那么a b 、哪个更大？⑶若2000199920012000A =-，1999199820001999B =-，试比较A 与B 的大小．【分析】 ⑴ 357468->->-． 根据负数比较大小的法则，我们可以先比较34，56， 78的大小．法一：做差法两两比较大小，而后得到答案． 法二：做商法两两比较大小，而后得到答案． 法三：以上两种方法在多者比较大小时比较麻烦，捷径：311()44+-=，511()66+-=，711()88+-=，易得：111468>>， 进而得到答案： 357468->->-．法四：取倒数比较法：41133=，61155=，81177=易得：468357>>，所以：357468<<，进而得到答案．小结：从中可以发现规律：对于真分数m n ，有m m kn n k +<+（,,m n k 为正整数）．⑵212345(111)(111)111111(),a b a b ab =+-=+--即得2111()12345111240a b ab ab -=-+=+> 点评：一般同学们会因数分解12345，取特殊值来判断．⑶ 此题若直接算出A 、B 的值，再比较大小很麻烦．若将A 、B 分别拆项：20001999111111120012000200120002000200120002001A ⎛⎫⎛⎫=-=---=-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，同理可得，1999199812000199919992000B =-=⨯，显然，A B <．9. ⑴已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小．⑵设a ，b ，c 均为正数，若c a b a b b c c a <<+++，比较a ，b ，c 的大小．⑶比较22222001200220002003++，22222002200320012004++和22222003200420022005++的大小．⑷设123,,,a a a …，2000a 都是有理数，令121999()M a a a =++⋯+23(a a ++⋯2000)a +，122000231999()()N a a a a a a =++⋯+++⋯，试比较M 、N 的大小．【分析】 ⑴ 因为3143112481(3)3a ===，4134112327(3)3b ===，612611229(3)3c ===，所以a b c >>．⑵ 因为a ，b ，c 均为正数，c a b a b b c c a <<+++，a b b c c ac a b +++>>，各加1得 a b c a b c a b cc a b ++++++>>，所以111c a b >>，所以c a b <<． ⑶ 22222222222220012002200020032001200241200020032000200320002003++---==+++ 22222222222220022003200120042002200341200120042001200420012004++---==+++显然22222001200420002003+>+，则222222222001200220022003112000200320012004++->-++ 即有2222222220012002200220032000200320012004++<++，同理有2222222220022003200320042001200420022005++<++ 即222222222222200120022002200320032004200020032001200420022005+++<<+++．⑷ 设121999x a a a =++⋯，232000y a a a =++⋯，则220002000[()]M N xy xy x y a a -=----2220002000120002000200012000()()x y a a a a a a a a =-+=-+=①若12000a a 0>，则M >N ； ②若12000a a 0=，则M =N ； ③若12000a a 0<，则M <N ．10. ⑴设503a =，404b =，305c =，比较a ，b ，c 的大小．⑵如果10a -<<，那么，请用“<”将a ，a -，2a ，2a -，1a ，1a -连接起来．⑶已知1,0,1b a ab a b <<<+<-用“＜”连接11,,,a b a a b +． 【分析】 ⑴∵50510103(3)243a ===，40410104(4)256b ===，30310105(5)125c ===，∴c a b <<．⑵可以理论推导，也可以用设数法．2211a a a a aa <<-<<-<-⑶由条件0ab <知a ，b 异号；再由1b a <<知a 是小于1的正数，b 是负数；结合1a b +<-则知道b 小于1-，因此1b 是大于1-的负数．综合以上的分析，我们知道01a <<，1b <-，11a >，11a a b -<+<因此有11b a a b a <+<<．1. (1) 若22(1)(1)0a b -++=，则20042005a b += ．第11页(2) 如果2339.48 1.5610=⨯，则20.3948=（ ）A ．1.56B ．0.156C ．0.0156D ．0.00156【分析】 (1) 由题意得2(1)0a -≥，2(1)0b +≥，22(1)(1)0a b -++=，∴1a =，1b =-， ∴200420050ab +=．(2) B ．2. 计算：⑴ 1137(9)32-+- ⑵ 11.254-+【分析】 ⑴1137(9)32-+-11(37)(9)()()32=-+-+-+-5466=-；⑵ 1151.25()1444-+=-+=．3. ⑴ 231(4)()324+÷⨯÷- ⑵ 71()2(3)93-÷⨯+⑶ 11111()()234560-+-÷- ⑷ 44192()77÷- ⑸ 19(7)128(7)33(7)÷--÷-+÷- ⑹5315()( 1.25)(3) 1.4()24423--÷÷-⨯-÷⨯-【分析】 在进行有理数混合运算时，常常将小数化为假分数方便计算．（1）36-；（2）1-；（3）13-；（4）337-；（5）767；（6）2527-．4. 计算下列各题：（1）21293()12323÷+-⨯+（2）221( 4.5)(0.25) 3.50.252--÷--÷-（3）23220072006(2)100(2)(5)(0.25)4-+÷-÷-+⨯（4）()211110.51233⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦第12页【分析】 （1）21293()1231023÷+-⨯+= （2）221( 4.5)(0.25) 3.50.25162--÷--÷-=（3）2322007200615(2)100(2)(5)(0.25)44-+÷-÷-+⨯=（4）()2131110.512332⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯--=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5. （1）如果10a -<<，那么，请用“<”将a ，a -，2a ，2a -，1a ，1a -连接起来．（2）已知1,0,1b a ab a b <<<+<-用“＜”连接11,,,a b a a b +． 【分析】 （1）可以理论推导，也可以用设数法．2211a a a a aa <<-<<-<-（2）由条件0ab <知a ，b 异号；再由1b a <<知a 是小于1的正数，b 是负数；结合1a b +<- 则知道b 小于1-，因此1b 是大于1-的负数．综合以上的分析，我们知道01a <<，1b <-，11a >，11a a b -<+<因此有11b a a b a <+<<．。

基本运算法则（加减乘除）数学是一门基础学科，而基本运算法则则是数学学习的基石。

在数学运算中，加减乘除是最基本的运算符号，掌握好这些运算法则，对于解决实际问题和进一步学习数学都是至关重要的。

本文将详细介绍加减乘除的运算法则，并给出一些例题进行实践应用。

一、加法运算法则加法是最简单的运算方式，它用于计算两个数的和。

在加法运算中，有以下几个基本法则：1. 交换律：两个数相加，可以按照任意顺序进行加法运算，结果是相同的。

即：a + b = b + a。

2. 结合律：如果有多个数进行加法运算，可以先任选两个数进行加法运算，然后再将结果与剩余的数进行加法运算，结果是相同的。

即：(a + b) + c = a + (b + c)。

3. 零元素：任何数与0相加，结果都等于这个数本身。

即：a + 0 = a。

二、减法运算法则减法是从一个数中去掉另一个数的运算方式。

在减法运算中，有以下几个基本法则：1. 减去一个数等于加上该数的相反数。

即：a - b = a + (-b)。

2. 减法不满足交换律和结合律。

即：a - b ≠ b - a，(a - b) - c ≠ a - (b -c)。

三、乘法运算法则乘法是将两个数相乘得到一个新的数的运算方式。

在乘法运算中，有以下几个基本法则：1. 交换律：两个数相乘，可以按照任意顺序进行乘法运算，结果是相同的。

即：a × b = b × a。

2. 结合律：如果有多个数进行乘法运算，可以先任选两个数进行乘法运算，然后再将结果与剩余的数进行乘法运算，结果是相同的。

即：(a × b) × c = a × (b × c)。

3. 单位元素：任何数与1相乘，结果都等于这个数本身。

即：a × 1 = a。

4. 零元素：任何数与0相乘，结果都等于0。

即：a × 0 = 0。

四、除法运算法则除法是将一个数分为若干等份的运算方式。

加减乘除运算法则1.加法法则：加法是将两个或多个数值相加得到一个运算结果的数学运算。

加法运算遵循以下法则：-交换律：若a、b为任意实数，则a+b=b+a。

这意味着加法可以交换操作数的顺序。

-结合律：若a、b、c为任意实数，则(a+b)+c=a+(b+c)。

这意味着加法可以适用于任意数量的操作数。

2.减法法则：减法是从一个数中减去另一个数得到一个结果的数学运算。

减法运算遵循以下法则：-减法的定义：a-b=a+(-b)。

即减法可以转化为加法运算，通过加上一个负数来实现。

3.乘法法则：乘法是将两个数相乘得到一个运算结果的数学运算。

乘法运算遵循以下法则：-交换律：若a、b为任意实数，则a*b=b*a。

这意味着乘法可以交换操作数的顺序。

-结合律：若a、b、c为任意实数，则(a*b)*c=a*(b*c)。

这意味着乘法可以适用于任意数量的操作数。

-分配律：若a、b、c为任意实数，则a*(b+c)=a*b+a*c。

这意味着乘法可以与加法进行分配运算。

4.除法法则：除法是将一个数分割成若干等分得到一个运算结果的数学运算。

除法运算遵循以下法则：-除法的定义：a/b=c，其中a为被除数，b为除数，c为商。

商乘以除数等于被除数。

-除法的乘法关系：a=b*c，当且仅当a/b=c或a=b/c。

即除法可以通过乘法来定义和计算。

除了以上的基本法则，还有一些其他与加减乘除运算相关的重要概念和法则：-负数和零的运算法则：负数和零与正数的加减乘除运算有一些特殊的规则，如负数与正数相加为负数，负数与负数相乘为正数等。

-运算顺序法则：多个加减乘除运算同时出现时，需要按照一定的顺序进行计算。

一般遵循先乘除后加减的顺序，也可以使用括号来改变运算的顺序。

总之，加减乘除运算法则是数学中最基本和常用的运算法则，它们为我们解决各种数学问题提供了基础和方法。

在进行数学运算时，我们需要牢记这些法则，并在实践中不断巩固和应用它们。

四则运算的法则和规则在数学中，四则运算是最基本、最常见的计算方法，包括加法、减法、乘法和除法。

掌握四则运算的法则和规则对于数学学习和实际应用都非常重要。

本文将详细介绍四则运算的法则和规则，以帮助读者更好地理解和运用这些基本运算。

一、加法的法则和规则加法是指将两个或多个数字相加得到它们的和。

下面是加法的法则和规则：1. 加法的交换律：对于任意两个数a和b，它们的和a + b与b + a相等。

换句话说，加法运算的顺序不影响最终的结果。

2. 加法的结合律：对于任意三个数a、b和c，它们的和(a + b) + c与a + (b + c)相等。

换句话说，加法运算可以按照任意顺序进行，最终结果不变。

3. 加法的零元素：任何数与0相加，结果都等于其自身。

例如，对于任意数a，a + 0 = a。

二、减法的法则和规则减法是指将一个数减去另一个数得到差。

下面是减法的法则和规则：1. 减法的定义：对于任意两个数a和b，a - b等于a加上b的相反数。

即 a - b = a + (-b)。

三、乘法的法则和规则乘法是指将两个或多个数字相乘得到它们的积。

下面是乘法的法则和规则：1. 乘法的交换律：对于任意两个数a和b，它们的积a × b与b × a相等。

换句话说，乘法运算的顺序不影响最终的结果。

2. 乘法的结合律：对于任意三个数a、b和c，它们的积(a × b) × c与a × (b × c)相等。

换句话说，乘法运算可以按照任意顺序进行，最终结果不变。

3. 乘法的零元素：任何数与0相乘，结果都等于0。

例如，对于任意数a，a × 0 = 0。

4. 乘法的单位元素：任何数与1相乘，结果都等于其自身。

例如，对于任意数a，a × 1 = a。

四、除法的法则和规则除法是指将一个数除以另一个数得到商。

下面是除法的法则和规则：1. 除法的定义：对于任意两个数a和b（其中b不等于0），a除以b等于a乘以b的倒数。

《加法结合律和乘法结合律》（教案）四年级上册数学北师大版教案：《加法结合律和乘法结合律》四年级上册数学北师大版作为一名经验丰富的教师，我深知教学内容的重要性，因此，我精心准备了这份教案，希望能帮助学生们更好地理解和掌握加法结合律和乘法结合律。

一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材中关于加法结合律和乘法结合律的章节。

具体内容包括：1. 加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再和第三个数相加，也可以先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。

2. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。

二、教学目标1. 理解加法结合律和乘法结合律的概念。

2. 能够运用加法结合律和乘法结合律进行简便计算。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

三、教学难点与重点本节课的教学难点和重点是理解和掌握加法结合律和乘法结合律的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、PPT2. 学具：练习本、笔五、教学过程1. 实践情景引入：我通过一个简单的实践情景引入本节课的内容。

例如，我可以提出一个问题：“小明有2个苹果，小华给了小明3个苹果，小红又给了小明5个苹果，请问小明一共有多少个苹果？”2. 例题讲解：例1：2 + 3 + 4 = (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9例2：2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 243. 随堂练习：在讲解完例题后，我会给出一些随堂练习题，让学生们运用所学的知识进行计算。

例如：练习1：4 + 5 + 6 = ？练习2：7 × 8 × 9 = ？4. 小组讨论：我会将学生们分成小组，让他们讨论如何运用加法结合律和乘法结合律进行简便计算。

每个小组需要选出一个代表进行汇报。

拓展1：加法结合律和乘法结合律还有哪些应用场景？拓展2：你能找出加法结合律和乘法结合律的逆运算吗？六、板书设计加法结合律：a +b +c = (a + b) + c = a + (b + c)乘法结合律：a ×b ×c = (a × b) × c = a × (b × c)七、作业设计1. 完成练习本上的相关练习题。

加法交换律和乘法交换律1教学目标知识技能：1、理解并掌握加法、乘法交换律，知道减法和除法没有交换律，能根据交换律解决简单的问题。

2、经历视察、猜想、计算、验证、联想、归纳等数学活动过程，能有条理、清楚地阐述自己的观点，发展实践精神和创新能力，掌握科学探究的一般方法。

数学思考与问题解决：通过枚举、视察、比较、推理等活动，培养学生不完全归纳法的演绎推理能力和运用较公道的数学语言进行归纳表达的能力。

情感态度：通过视察、合作、自主探索活动增强学生的简化思想，提高学生的探索兴趣，培养学生团结协作的策略意识。

2学情分析四年级的学生经历了四年的学习经验，他们具有一定的发现问题、提出问题的能力。

同学之间能够较好地合作交流与倾听。

能比较主动地探究新知，运用已有的知识经验学习新知。

学生学习了三位数乘两位数的乘法，初次探索了一些算式的规律，通过计算、比较能够探索出这些规律。

3重点难点重点：经历视察、归纳、猜想、验证的过程，培养学生的视察、概括能力，渗透归纳猜想的数学思想方法。

难点：归纳猜想的数学思想方法渗透。

4教学过程活动1【导入】复习导入激发兴趣投影出示数学书第50页主题图的两组算式：4+6= 3×5=6+4= 5×3=请学生口答算式结果。

我们利用我们学过的知识快速的计算出了结果，那么关于加法和乘法，还有很多有趣的知识等待我们去学习，你们愿意吗？活动2【讲授】探求新知1、视察并猜想。

（1）视察上面的算式，说说你有哪些发现。

学生根据直观视察，不难得出每组算式的得数都相同。

（2）引发思考：为什么每组算式的得数相同。

请同学们以小组为单位展开深入的研究。

教师投影出示探究活动具体要求：①看清每组算式中的运算符号。

②视察每组算式中的两个数，思考：什么变了，什么没变？③小组讨论并思考：为什么结果没变？（3）学生小组学习后，有序汇报。

2、举例验证（一）（1）通过视察上面一组算式，我们感受到如果交换加数和乘数的位置，它们的结果都是一样的。

《有理数的加减乘除及乘方运算(教师版)》(总17页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--有理数的加减乘除及乘方运算学生姓名年级初一学科数学授课教师日期时段核心内容有理数的四则运算以及乘方运算课型一对一/一对N教学目标1、掌握有理数的加法法则，减法法则，乘法法则，除法法则；2、灵活运用加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律；3、正确理解乘方的意义，掌握乘方的符号规律；4、注意混合运算的顺序。

重、难点1、有理数的符号问题；2、有理数的四则运算法则的应用与准确度问题；3、正确理解乘方的底数、指数的概念，并合理运算。

课首沟通1、了解学生最近对所学的内容的掌握程度以及遇到的困难并进行解决。

2、对以前学生计算出现的典型错误再次强调。

3、了解学生的作业的完成情况。

知识导图课首小测1、下列运算中，正确的是（）A.（+6）+（-13）=+7B.（+6）+（-13）=-19C.（+）+（）= （）=2【参考答案】D2、如果两个数的和是负数，那么（）A.这两个数都是负数B.这两个数中，一个为负数，一个为零C.一个数为正数，一个数为负数，并且负数的绝对值大于正数的绝对值D.以上三种情形都有可能存在【参考答案】D3、把-1+（-2）-（+3）去括号后的结果是（）+2+3 +3 +2-3【参考答案】C4、若家用电冰箱冷藏室的温度是2℃，冷冻室的温度是-6℃，则冷藏室与冷冻室的温度相差（）℃℃℃℃【参考答案】C5、如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数（）A、符号相反B、符号相反，绝对值相等C、符号相反，且负数的绝对值较大D、符号相反，且正数的绝对值较大【参考答案】D【解析】两个有理数之积小于零，说明两数一正一负，其和大于零，说明正数的绝对值较大。

6、绝对值不大于4的所有整数的积等于（）A、24B、36C、-36D、0【参考答案】D7、下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）A 、2332和B 、()3333--和C 、()2222--和 D 、323233-⎪⎭⎫ ⎝⎛-和 【参考答案】B8、已知两个数的商是-3，被除数是212，则除数是。

第四单元运算律·第3课时加法交换律和乘法交换律·教案班级：课时：课型：一、学情分析对于加法交换律和乘法交换律的知识，学生在以前的学习过程中都有过浅显的认知基础，只是没有明确的概括。

本节课的教学很大程度上是要将学生以前比较零散的感性认识经过整理、明晰后上升为理性认识，因此，学生学起来比较容易。

但是用符号或字母表示运算律，则是学生认识上的一个难点，因为这是学生第一次接触从研究确定的数到用字母表示一般的数，比较抽象，理解起来也比较困难。

二、教学目标1.掌握加法交换律和乘法交换律，会用字母表示加法交换律和乘法交换律。

2.列举生活事例解释加法交换律和乘法交换律，了解加法交换律和乘法交换律的作用。

三、重点难点【教学重点】掌握加法交换律和乘法交换律。

【教学难点】理解加法交换律和乘法交换律在生活中的应用。

四、教学过程设计第一板块【创设情境引入新课】教师出示情境图：师：淘气有一本标价为4元的日记本和一支标价为6元的钢笔，而笑笑有一个标价为6元的蛋糕和一瓶标价为4元的酸奶，请问淘气的日记本和钢笔可以与笑笑的蛋糕和酸奶互换吗？生：可以，因为淘气的日记本和钢笔加起来是10元；笑笑的蛋糕和酸奶加起来也正好是10元。

师：也就是说笑笑和淘气的东西是等价的，因此可以相互交换。

那交换两个数的位置到底会对结果产生什么影响？今天我们一起来学习。

（教师板书课题）设计意图：通过生活情境引入，增强趣味性，吸引学生注意，引发思考。

第二板块【合作交流探索新知】1.认识加法交换律和乘法交换律师：分别观察下面的式子，说说你发现了什么？思考：什么变了？什么没变？生1：在加法中，交换加数的位置，和不变。

生2：在乘法中，交换乘数的位置，积不变。

师：如果换成其他的数，还会有这样的规律吗？学生仿写，全班交流汇报：（教师挑选有代表性的例子进行板书，引导学生用语言归纳总结规律）师小结：两个数相加，交换加数的位置，和不变，这叫作加法交换律；两个数相乘，交换乘数的位置，积不变，这叫作乘法交换律。

加减乘除运算法则1. 加法运算在数学中，加法运算是最基本的数学运算之一。

简而言之，加法就是将两个或多个数相加，得到它们的总和。

例如，2 + 3 = 5，意思是将2和3相加，得到的结果为5。

加法运算具有以下几个特点：•加法是可交换的：a + b = b + a，无论是将a先加上b，还是将b先加上a，最终的结果都是一样的。

•加法是可结合的：(a + b) + c = a + (b + c)，无论是将a和b相加，然后再将结果与c相加，还是将b和c相加，然后再将结果与a相加，最终的结果都是一样的。

•加法具有零元素：对于任意实数a，a + 0 = a。

换句话说，任何数与0相加得到的结果还是该数本身。

2. 减法运算减法是一种与加法相对的运算。

减法用于计算两个数之间的差异。

例如，5 - 2 = 3，意思是将2从5中减去，得到的结果为3。

减法运算具有以下几个特点：•减法不是可交换的：a - b ≠ b - a。

换句话说，将a减去b与将b减去a得到的结果通常是不同的。

•减法不是可结合的：(a - b) - c ≠ a - (b - c)。

换句话说，先将b从a中减去，然后再将c从结果中减去与先将c从b中减去，然后再将结果从a中减去得到的结果通常是不同的。

3. 乘法运算乘法是一种重复加法的运算。

在乘法中，我们将两个或多个数相乘，得到它们的积。

例如，2 * 3 = 6，意思是将2和3相乘，得到的结果为6。

乘法运算具有以下几个特点：•乘法是可交换的：a * b = b * a，无论是将a先乘以b，还是将b先乘以a，最终的结果都是一样的。

•乘法是可结合的：(a * b) * c = a * (b * c)，无论是将a和b相乘，然后再将结果与c相乘，还是将b和c相乘，然后再将结果与a相乘，最终的结果都是一样的。

•乘法具有单位元素：对于任意实数a，a * 1 = a。

换句话说，任何数与1相乘得到的结果还是该数本身。

4. 除法运算除法是一种反向的乘法运算。

有理数的运算法则1. 理解并掌握重要的有理数的运算法则。

2. 认识和掌握列有理数加法法则的几个注意事项。

1、代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。

注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。

2、列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写。

（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号。

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a 。

（4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a3的形式；（5）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a . 3、几个重要的代数式：（1）a 与b 的平方差是：a 2-b 2； a 与b 差的平方是：（a-b ）2。

（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是：10a+b ；则三位整数是：100a+10b+c 。

（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是：5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n 、n+1。

（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是：-a 2-b ，非负数是：b 2，非正数是：-b 2。

有理数 1、有理数： (1)凡能写成ab（a 、b 都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。

正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。

（注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；p 不是有理数）(2)有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。

第15讲加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题．1．阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个．他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?【分析】9+3+2=142．阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法?【分析】3×20=603．老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?【分析】9×10×10=9004．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序．请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?【分析】7×6×5×4×3×2×1=50405．用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?【分析】3×2×1=66．在图15—2中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？【分析】2×2×2×2=167．运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：(1)如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法?(2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?【分析】（1）4×4×4×4=256（2）4×3×2×1=248．冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书．请问：(1)如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法?(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法?【分析】（1）5+6+3=14（2）5×6×3=909．如图15-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?【分析】4×2+3=1110．图15-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条?【分析】56拓展篇1．阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?【分析】4+3+2=92．“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?【分析】5×4×3=603．书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：(1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法?(2)如果从每一层中各取l本，共有多少种不同的取法?(3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?【分析】（1）15+10+5=30（2）15×10×5=750（3）15×10+10×5+15×5=2754．如图15-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?【分析】3×3+2×4=175．如图15-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的三位奇数?【分析】（1）4×3×2=24（2）3×2=66．奥运场馆实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图15-7. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？【分析】2×2×2×2×2=327．如图15-8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?【分析】4×3×2×2×2=968．如图15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：(1)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?【分析】（1）92=512（2）72=1289．甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车．会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?【分析】2×2×3×2×1=2410．如图15-10，4枚相同的棋子放人4×4的方格内，每个方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，一共有多少种不同的放法?【分析】4×3×2×1=2411．图15-11是一个阶梯形方格表，在方格中放入5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子，这样的放法共有多少种?【分析】2×2×2×2×1=1612．如图15-12和图15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：(1)按图15-12所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?(2)按图15-13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?【分析】（1）5种（2）108超越篇1．爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果阿奇想要点1种主食1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：阿奇一共有多少种点菜方法?【分析】2×3×(1+1+2+1+2+1)=482．如图15-14，在一个3×4的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?如果放人4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?【分析】（1）3×3×3×3=81（2）3×3×3×3×4×3×2×1=19443．如图15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?【分析】4×3×2×2×2×2×2×2=7684．用4种不同的颜色给图15-16中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?【分析】4×3×2×1+4×3×2+4×3×2+4×3=845．一只甲虫沿着图15-17中的方格线从A爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格．图中画着黑点的地方不能通过．请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线?【分析】66种6．王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法?【分析】3×3+3×3+3×3=277．如图15-18所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点．试问：这只甲虫有多少种不同的走法?【分析】分类枚举法：从A走3段到B ，从A走4段到B从A走5段到B，从A走6段到B，从A走7段到B，共69种8．如图15-19所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?【分析】188。

加法交换律和乘法交换律-北师大版四年级数学上册教案一、教材内容1.1 加法交换律教学目标：让学生知道两个数相加的和不受加数先后顺序而变化，能够灵活运用加法交换律。

在北师大版四年级数学上册中，加法交换律是在第一单元里学习的。

在学习加法交换律前，教师会让学生了解加法算式的组成，如何用竖式计算加法等。

在学习完这些基础部分后，就会学习到加法交换律。

加法交换律是指，在两个数相加的时候，可以改变这两个数的顺序，其和是不变的。

例如：3+4=7，4+3=7，两个数相加的和都是7。

1.2 乘法交换律教学目标：让学生知道两个数相乘的积不受乘数先后顺序而变化，能够准确灵活地应用乘法交换律。

在北师大版四年级数学上册中，乘法交换律是在第二单元里学习的。

在学习乘法交换律前，教师会让学生了解乘法算式的组成，如何用竖式计算乘法等。

在学习完这些基础部分后，就会学习到乘法交换律。

乘法交换律是指，在两个数相乘的时候，可以改变这两个数的顺序，其积是不变的。

例如：2×3=6，3×2=6，两个数相乘的积都是6。

二、教学方法2.1 演绎法在学习加法交换律和乘法交换律的时候，教师可以采用演绎法。

教师可以利用实物、图片等教具将一个问题转化为真实、具体和直观的事物，然后引导学生从中总结出规律，形成概念，从而引导学生理解加法交换律和乘法交换律。

2.2 组合法在学习加法交换律和乘法交换律时，教师还可以采用组合法。

教师可以给学生提供一些具体的例子，让他们自己尝试组合，从而理解交换律。

2.3 比较法在学习加法交换律和乘法交换律的时候，教师可以采用比较法。

教师可以将两个加数或乘数每次交换一下再进行计算，让学生通过比较来发现交换律。

三、教学流程3.1 加法交换律教学流程Step 1：教师出示两个数字卡片，例如4和6，让学生自己计算出它们的和。

Step 2：教师重新组合数字卡片，改变一下数字的位置，让学生再次计算出它们的和。

例如，将6和4的位置交换。

第2课时加法交换律和乘法交换律课时目标导航一、教学内容加法交换律和乘法交换律。

教材第50页二、教学目标1．理解加法交换律和乘法交换律的内容及字母表达式。

2．能运用交换律验算加法和乘法。

3．会用加法交换律和乘法交换律使一些计算简便。

三、重点难点重点：掌握加法交换律和乘法交换律。

难点：理解加法交换律和乘法交换律在数学中的运用。

教学过程一、情境引入师：出示课件请同学们看下面这句话：“小宁在写字。

”“小宁”和“字”的位置可以交换吗？学生：不能。

师：为什么呢？学生：因为交换位置之后就变成“字在写小宁”了。

师：同学们说得真好！那么再看“36”这个数中的“3”和“6”的位置可以交换吗？学生：不可以。

师：为什么呢？学生：因为36和63是两个不同的数字。

师：在数学中也有些情况不可以交换位置，但是有些情况是可以交换位置的。

今天我们就一起来探究一下数学中有关交换的问题。

板书课题：加法交换律和乘法交换律二、学习新课1．加法交换律。

课件出示教材第50页上面左边的式子4＋6＝106＋4＝10师：仔细观察，这两个算式有什么相同点和不同点？小组交流，点名学生汇报学生汇报：相同点是两个加数分别是4和6，和都是10；不同点是两个加数的位置不同。

师：因为4＋6＝10,6＋4＝10，两个式子的和相等，所以我们可以得出4＋6＝6＋4。

师：根据我们对这两个式子的分析，你能照样子再写一组吗？学生独立完成，小组交流师：通过对这类式子的观察和分析，同学们能得出什么规律呢？小组交流，全班讨论师生共同总结：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，这叫作加法交换律。

教师板书师：同学们能利用生活中的事例解释你的发现吗？课件出示教材第50页中间左边的图片师：计算一下题中学校和电影院之间的距离。

学生独立完成，教师指名汇报学生汇报：42＋35＝77米35＋42＝77米师：有的同学用42＋35，有的同学用的是35＋42，结果是一样的，这是什么原因呢？引导学生讨论，小组交流，指名汇报学生汇报：因为求的是同一段距离，加法表示把两部分合起来，交换两个加数的位置不影响计算结果，所以加法中交换加数的位置和不发生变化。

加减乘除运算法则加减乘除是基本的数学运算法则，在日常生活和学习中都是经常用到的。

本文将详细介绍加减乘除的运算法则，并给出一些实用的例子来说明这些法则的应用。

一、加法法则加法是指将两个数或多个数进行求和的运算。

其法则主要包括以下几点：1.加法的交换律：a+b=b+a。

即加法运算中，交换加数的位置，结果不会改变。

例如：3+4=4+3=72.加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

即加法运算中，改变加数的分组方式，结果不会改变。

例如：(2+3)+4=2+(3+4)=93.零元素：a+0=a。

任何数与零相加，结果仍为该数本身。

例如：5+0=5二、减法法则减法是指用一个数减去另一个数的运算。

其法则主要包括以下几点：1.减法的定义：a-b=a+(-b)。

即减法可以转化为加法运算，将被减数与减数的负数相加。

例如：7-3=7+(-3)=42.减法的运算顺序：减法没有交换律，即a-b≠b-a。

减法的结果与被减数和减数的顺序有关。

例如：5-2≠2-三、乘法法则乘法是指将两个数或多个数相乘的运算。

其法则主要包括以下几点：1.乘法的交换律：a*b=b*a。

即乘法运算中，交换乘数的位置，结果不会改变。

例如：3*4=4*3=122.乘法的结合律：(a*b)*c=a*(b*c)。

即乘法运算中，改变乘数的分组方式，结果不会改变。

例如：(2*3)*4=2*(3*4)=243.乘法的零元素：a*0=0*a=0。

任何数与零相乘，结果都为零。

例如：5*0=0。

四、除法法则除法是指将一个数除以另一个数的运算。

其法则主要包括以下几点：1.除法的定义：a÷b=c，其中a为被除数，b为除数，c为商。

除法运算可以转化为乘法运算的逆运算。

例如：10÷2=5可以转化为5*2=10。

2.除法的运算顺序：除法没有交换律，即a÷b≠b÷a。

除法的结果与被除数和除数的顺序有关。

例如：10÷2≠2÷10。

概率加法法则和乘法法则教案引言：在概率论中，加法法则和乘法法则是两个基本的计算规则。

它们在计算事件的概率时起到了重要的作用。

本教案将详细介绍概率加法法则和乘法法则的概念、公式以及应用场景，以帮助学生深入理解并能够运用于实际问题的解决。

一、概率加法法则概率加法法则是计算两个或多个不相容事件的概率的规则。

不相容事件是指不能同时发生的事件，例如掷骰子时出现奇数和出现偶数就是两个不相容事件。

1. 概念：概率加法法则表示两个不相容事件的概率之和等于这两个事件发生的总概率。

2. 公式：设事件A和事件B为不相容事件，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，则有：P(A∪B) = P(A) + P(B)3. 应用场景：概率加法法则常常应用于多个互斥的情况，例如掷骰子出现某个固定的数字或某个固定的点数，抓扑克牌出现红桃牌或黑桃牌等。

二、概率乘法法则概率乘法法则是计算两个或多个独立事件同时发生的概率的规则。

独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生，例如抛硬币出现正面和掷骰子出现1点就是两个独立事件。

1. 概念：概率乘法法则表示两个独立事件的概率乘积等于这两个事件同时发生的概率。

2. 公式：设事件A和事件B为独立事件，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，则有：P(A∩B) = P(A) × P(B)3. 应用场景：概率乘法法则常常应用于多个独立事件的情况，例如从一副扑克牌中抽取两张牌均为红桃牌、同时抛掷两个硬币均出现正面等。

三、案例演示为了更好地理解和应用概率加法法则和乘法法则，下面通过一些具体的案例进行演示。

案例1：掷骰子假设我们有一颗均匀的六面骰子，现在分别定义以下两个事件：A：掷骰子出现偶数B：掷骰子出现点数为4根据案例的定义，我们可以得到以下计算过程：P(A) = 3/6 = 1/2P(B) = 1/6根据概率加法法则，我们可以计算事件A或事件B发生的概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/6 = 2/3这样，我们就计算出了掷骰子出现偶数或点数为4的概率为2/3。

加减乘除算法运算法则算法运算是数学中最基本的运算方法，可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

下面将分别介绍加减乘除运算的算法法则，以便更好地理解和运用这些算法。

一、加法运算法则：1.加法交换律：a+b=b+a。

换句话说，两个数相加的结果与加法运算的顺序无关。

2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

换句话说，多个数相加，可以任意改变加法运算的顺序。

二、减法运算法则：1.减法与加法的关系：a-b=a+(-b)。

减法可以转换为加法运算，即用被减数加上减数的相反数。

2.减法结合律：(a-b)-c=a-(b+c)。

换句话说，多个数相减，可以任意改变减法运算的顺序。

3.减法与乘除的关系：a-b=a+(-b)；a-b=a×(1-b/a)；a-b=a÷(b/a-1)。

其中，如果已知乘法或除法的运算结果，可以根据这些关系推导出减法的结果。

三、乘法运算法则：1.乘法交换律：a×b=b×a。

换句话说，两个数相乘的结果与乘法运算的顺序无关。

2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。

换句话说，多个数相乘，可以任意改变乘法运算的顺序。

3.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。

换句话说，一个数与两个数的和相乘，等于这个数与这两个数分别相乘的和。

四、除法运算法则：1.除法定义：a÷b=c。

换句话说，除法的结果是a被b除的商c。

2.除法与乘法的关系：a÷b=a×(1/b)。

除法可以转换为乘法运算，即用被除数乘上除数的倒数。

3.除法与加减的关系：a÷b=a×(1÷b)；a÷b=a-(a×(1/b))；a÷b=a-(a×(1÷b))。

其中，如果已知乘法或加减的运算结果，可以根据这些关系推导出除法的结果。

加减乘除运算法则定律加减乘除是基本的四则运算，是数学中最基本也是最常用的运算法则。

下面是关于加减乘除的运算法则和定律的详细介绍：1.加法法则：a)交换律：a+b=b+ab)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)c)加法的单位元：a+0=ad)加法的逆元：a+(-a)=02.减法法则：a)减法是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)b)减法没有交换律和结合律3.乘法法则：a)交换律：a*b=b*ab)结合律：(a*b)*c=a*(b*c)c)乘法的单位元：a*1=ad)乘法的零元：a*0=0e)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c4.除法法则：a)除法是乘法的逆运算，即a/b=a*(1/b)b)除法没有交换律和结合律以上是加减乘除的基本法则。

下面是一些相关的衍生定律和性质：1.倍数与因数：a)如果a=b*c，则称b是a的一个因数，并且称c是a的一个倍数。

b)如果a=b*c，则a是b和c的公倍数。

c)如果a是b和c的公倍数，那么a也是它们的最小公倍数。

2.负数与正数乘积的性质：a)正数与正数的乘积是正数，负数与负数的乘积是正数，正数与负数的乘积是负数。

b)如果a是一个正数，那么-a是一个负数，如果a是一个负数，那么-a是一个正数。

c)任何数乘以0的结果都是0。

3.零与乘法的关系：a)如果a*b=0，则a=0或者b=0，或者同时成立。

b)如果a≠0，那么a的倒数是1/a，即a*(1/a)=14.幂运算法则：a)a⁰=1，其中a≠0。

b)a¹=a。

c)aⁿ*aᵐ=aⁿ⁺ᵐd)(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ5.有理数的运算法则：a)有理数可以进行四则运算，并且结果仍然是有理数。

b)分数的加法：a/b+c/d=(a*d+b*c)/(b*d)c)分数的减法：a/b-c/d=(a*d-b*c)/(b*d)d)分数的乘法：a/b*c/d=(a*c)/(b*d)e)分数的除法：(a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)以上是加减乘除运算的基本法则和一些相关的定律。

个性化教学辅导教案1、列竖式计算下面各题，并用加法交换律进行验算.94+55= 36+88= 165+29=验算：验算：验算：2、直接写得数125×8= 4×25= 12×5= 50×70=3、在○里填：＞、＜、＝125×24○125×8×3 27×4×5○27×20 67×8○68×7 4、列竖式计算197+401 898+999123×78 405×42答案：1、149，124，194，验算略；2、1000，100，60，3500；3、＝，＝，＞；4、第1 页共11 页略.一、判断1、乘法是加法的一种简便计算.（）2、23+39+77=（23+77）+39 （）答案：√，√一、填空与连线1、200÷4×5○200÷（4×5） 1200÷4÷6○1200÷242、下面哪些算式分别运用了加法的什么定律？47+32=32+47 运用了定律：（）167+117+83=167+(117+83) 运用了定律：（）59+61+41=(59+41)+61 运用了定律：（）3、连线123－（23＋75） 25×4×1125×（100+4） 4200÷3÷7375×102-375×2 123－23－7525×11×4 （300-75）-（123+77）300-123-75-77 375×100答案：1、＞，＝；2、加法交换律，加法结合律，加法结合律；3、略.三、计算125÷4×8 25×50×4=125×8÷4 =25×4×50=1000÷4 =100×50=250 =50008×5×125×4 45+23+77+55=（8×125）×（4×5） =（45+55）+（23+77）=1000×20 =100+100=20000 =20035+91+265+9 378-24-76=（35+265）+（91+9） =378-（24+76）=300+100 =378-100=400 =278四、应用题1、小明周一到周日分别用了零花17元、16元、13元、18元、19元、24元、21元，聪明的你，请帮小明算一下，他这周共用了多少元的零花钱？17+16+13+18+19+24+21=（17+13)+(16+24)+(19+21)+18=30+40+40+18=128元答：小明这周共用了128元.2、一本相册有32页，每页可以插5张照片.小红家有800张照片，几本相册才够用？ 800÷ 32÷5=25÷5=5本答：5本相册才够用.【学科问题】【学生问题】知识点一、加法结合律1）定义：三个数相加，先把前两个数相加，再和第三个数相加；或者，先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变.用字母表示：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)【例题】25+33+67=（ + ）+（）答案：（33+67）+252）连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和.用字母表示：a—b—c＝a—(b＋c)【例题】17-3-7=（）-（ + ）答案：17-3-7=17-（3+7）3）加法的简便计算在做加法的简便计算时，我们通常利用加法交换律、结合律将数字凑成整十、整百等这些好计算的数，然后再进行计算.(加法交换律和结合律通常一起用)【例题】简便计算.375+219+381+225=（375+225）+（219+381）………运用加法交换律、结合律=600+600=1200【变式】132+55+168=132+168+55=300+55=355【例题】简便计算.1200-37-66=1200-(37+66)=1200-100乘法交换律和乘法结合律.乘法结合律可以改变乘法运算中的顺序.数字如;25和4、50和2、125和8、50和4、500和2等.一、填空与判断1、填空(1)72×4×5＝72×(4×______)(2)(3×8)×125＝(______×______)×3(3)3×4×25＝(______×______)×______(4)125×5×8×20＝(______×______)×(______×______)2、判断(1)125×7×8＝125×8×7( )(2)25×8×4×125＝25×4＋125×8( )(3)25×125×4＝25×4×125( )(4)24×25＝6×(4×25)( )3、改正下面各题中的错误.(1)125×5×80＝125×80×5 改正：＝1000×5＝5000(2)35×4×25×20＝35×(4×25) 改正：＝35×100＝3500答案：1、5，125，8，25，4，3，125，8，5，20；2、√，×，√，√；3、略二、计算下面各题，怎样简便怎样计算.（1）235+19+381 137+186+63+714=235+（19+381） =（137+66）+（186+714）=235+400 =200+900=635 =1100（2）123-47-23 234-（34-18）=123-23-47 =234-34+18=100-47 =200+18=53 =218（3）16×125 25×24=2×8×125 =25×4×6=2×（8×125） =100×6=2×1000 =600=2000（4）25×15×6×2 25×50×4=（25×2）×（15×6） =25×4×50=50×90 =100×50=4500 =5000三、解决问题1、一个长方形果园，长250米，宽80米.(1）这个果园面积是多少？250×80=250×4×20=1000×20=20000（平方米）答：果园面积是20000平方米.（2）如果每平方米种2棵树苗，这个果园一共可以种多少棵树苗？20000×2=40000（棵）答：这个果园一共可以种40000棵树苗.2、果园里摘了2400个苹果，每25个装一袋，每4袋装一筐，一共可以装多少筐？ 2400×25×4=2400×100=240000（筐）答：一共可以装240000筐.3、周末妈妈去超市买生活用品，一条鱼花了17元，一捆白菜花了6元，一斤腊肠花了23元，一盒鸡蛋用了12元，一块瘦肉用了11元，一瓶油用了79元，一袋饼干用了8元.小丽给妈妈算一下，妈妈要给收银员多少钱？17+6+23+12+11+79+8=（17+23）+（11+79）+（12+8）+6=40+90+20+6=156（元）答：妈妈要给收银员156元.1、在简便计算时，可以凑成整十整百的数，我们先用交换律，再用结合律，最后才计算.2、减法没有交换律，遇到含有减法的简便计算时，我们要先观察一下，是否能用减法的性质，再计算.3、看到接近整十整百的数时，我们需要将数字拆开.例如，101拆成（100+1）；98拆成（100-2）.一、选择题.1、125+750+75=（125+75）+750运用了（）A．乘法交换律B．加法交换律和结合律 C．加法分配律2、简便计算125×72，不可以用的简便方法是（）②78+89=89+78③56+83+17=56+（83+17）④66+（28+34）=（66+34）+28⑤a+b+c=a+c+b⑥a+b+c=b+（a+c）答案：2、在横线里填上“＞”“＜”或“=”．40×51 40×51+4056×99 56×100﹣9974×19+74 74×（19+74）600÷25×4 600÷（25×4）答案：=；＞；＜；＞．【拓展提升】——速算和巧算（二）325÷【例1】计算25【思路导航】在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.利用这一性质，可以使这道计算题简便.325÷25()()4⨯=÷325⨯425=1300÷100=13【变式1】计算下面各题.。