在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造成不应有的丢分.例1 (2003年数学三)已知齐次线性方程组112233112233112233112233()0,()0,()0,()0.n n n n n n nn a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x +++++=⎧⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪⎪+++++=⎪⎩其中10.ni i a =≠∑试讨论12,,,n a a a b 和满足何种关系时,(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.分析 本题思路方法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解.但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度.解 方程组的系数行列式123123123123||n n n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a a b++=++A 231231231231nin i nini ni n i nin i ab a a a aba b a a a b a a b a aba a a b====+++=++++∑∑∑∑23232312311()11n n ni n i n a a a a b a a a b a a b a a a a b=+=+++∑231100()0000n ni i a a a b a b b b==+∑11().nn i i b a b -==+∑(1)当100||.0,ni i b a b =≠+≠≠∑且时,方程组仅有零解A ；(2)当b =0时，原方程组的同解方程组为11220.n n a x a x a x +++=由10ni i a =≠∑可知a i (i =1,2,…,n )不全为零，不妨设10a ≠.因为秩r (A )=1，取23,,,nx x x 为自由未知量，可得方程组基础解系为T121(,,0,,0),a a =- αT231(,0,,,0),a a =- α…，T11(,0,0,,).n n a a -=- α当1100nn i i i i b a a b ===-≠≠∑∑时,由知,系数矩阵可化为123000000n a b a a a b b bb b b +⎛⎫⎪-⎪ ⎪→- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭A →12311100101011ni n i a a a a a =⎛⎫-⎪ ⎪ -⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭∑110010001001000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭由于秩r (A )=n -1，易知Ax =0的基础解系为T(1,1,1,,1).= α 评注1 本题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为121212n nn a a a a a a b b a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭A EB E , 而r (B )=1,可方便地求出B 的特征值为0,0,…,01ni i a =∑，于是b =+A B E 的特征值为1211,,,,,nn n ii b b b b a λλλλ-=====+∑从而根据特征值可求出行列式为 11||||().nn i i b ba b -===+∑ A B +E评注2 当1ni i b α==-∑时，注意到系数矩阵A 的秩为r (A )=n -1,而T (1,1,,1)=≠0 α显然为A X =0的一个解，即可作为基础解系.例2 （2003年数学一）设矩阵1*322010232,101,,223001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PB P A P 2+求B E 的特征值与特征向量,其中A *为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.分析 本题是基础题型，思路非常明确：先求A *及1P -，然后计算B =P -1A *P 及B +2E ，最后求B +2E 的特征值、特征向量，但计算量大，稍有疏忽，将很难得到最终的正确结果.解 由*322522232252,223225--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭可得A A 又由010101001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 可得111100,001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P于是 1*700254,225-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭B P A P 9002274.225⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B E 根据9|(2)|274225λλλλ-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭E B +E 2(9)(3),λλ=-- 可知B +2E 的特征值为1239, 3.λλλ===解 [9E -（B +2E ）] x =0,得基础解系为12111,1,01-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα因此属于129λλ==的所有特征向量为12121111,,01k k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是不全为零的任意常数.解[3E -（B +2E ）] x =0,得基础解系为3301.1λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此属于的所有特征向a =33301,1k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭量为 为非零的任意常数.评注 本题直接计算，工作量是相当大的.若由定义A α=λα,有*||λ=进而有A A ,αα11*11*1()()(),λ-----==|A |B P PA P P PA =P αααα11(2)()2.λ--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭|A |B +E P P αα若求出A 的特征值λ及对应特征向量α, 则B +2E 的特征值为||2λ+A 及对应特征向量P -1α这样就不必求A *. 且根据222222222,222222222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知A E 的特征值为0,0,6，从而A 的特征值为1,1,7.二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的.例如有关A *的公式结论有：AA *= A *A =|A |E ，由此还可推出一系列相关的公式：*1(1)||||(2),n n -=≥A A **2()||(3),n n -=≥A A A *1*()(2).n k kn -=≥A A(2)若A 可逆，则A *=| A | A -1, (A *)-11.||=A A(3) *,(),()1,()1,(2).0,() 1.n r n r r n n r n =⎧⎪==-≥⎨⎪<-⎩A A A A(4) T **T 1**1()(),()().--==A A A A(5) 若A 可逆，且λ为A 的特征值，则A *有一个特征值为λ|A |.例3 （2000年数学一）设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且ABA -1=BA -1+3E ，其中E 是4阶单位矩阵，求矩阵B .分析 本题相当于解矩阵方程.若先从A *求出A -1及A ，再代入已知关系式求B ，则计算量会相当大.考虑到题设与A *有关，若先用A *A =AA *=|A |E 化简，则方便得多.解 由ABA -1=BA -1+3E 先右乘A ，得 AB =B +3A , 再左乘A *，并利用A *A =|A |E ，得A *AB =A *B +3A *A ,即 |A |B = A *B +3| A |E . 再由|A *|=|A |4-1=|A |3,得 |A |3=8,即 |A |=2. 于是有2B =A *B +6E , (2E -A *)B =6E . 故11100001006(2)610100306--⎛⎫ ⎪ ⎪=-=⎪- ⎪-⎝⎭*B E A60000600.60600301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 评注 题设与A *有关时，一般均可考虑利用AA *=A *A =|A |E 及其相关公式，结论先化简、再计算.例4 （2003年数学四）设矩阵21112111a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可逆，向量11b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是矩阵A *的一个特征向量，λ是a 对应的特征值，其中A *是A 的伴随矩阵，试求,a b λ和的值.分析 题设与A *有关，先用A A *= A * A =|A |E 化简. 解 已知A * α=λα，利用A A *=|A |E ，有 | A |α=λA α， 因为A 可逆，知||0,0,λ≠≠于是有A ||λ=A A ,αα 即21111||121,1111b b a λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ① 解此方程组得a =2, b =1或-2.又211||1214112==A ，由式①可知：当b =1时λ=1; 当b =-2时λ=4. 又如，有关特征值与相似矩阵的重要公式和结论有：（1）设λ1，λ2，…，λn 为n 阶方阵A 的n 个特征值，则f (λ1),…,f (λn )为f (A )的n 个特征值，其中f (A )为A 的多项式.且121122,n nn a a a λλλ+++=+++ 12||.n λλλ= A(2) 若r (A )=1，则A 的特征值为λ1=λ2=…=λn -1=0,λn =a 11+a 22+…+a nn .(3) 若A ~B ，则|A |=| B |，r (A )=r (B )，特征多项式相同：|λE - A |=|λE -B |,λ∀，从而特征值相同，进而有a 11+a 22+…+a nn =b 11+b 22+…+b nn .例5 （2000年数学三）若4阶方阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式|B -1-E |= .分析 利用相似矩阵有相同的特征值的结论及通过特征值求行列式的结论即可. 解 由A ~B ，知B 的特征值是1111,,,2345，于是B -1的特征值是2,3,4,5,从而B -1-E 的特征值是1，2，3，4，故行列式 |B -1-E |=1·2·3·4=24.例6 （2001年数学一、三）设1111400011110000,,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B 则A 与B(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.分析 本题的关键知识点是：两个实对称矩阵若相似，则必合同.又r (A )=1，其特征值为12344,0.λλλλ====显然A 、B 为实对称矩阵，且A ~B ，于是A 与B 也合同.故应选（A ）.评注 当A 、B 为实对称矩阵时，若A ~B ，则A 、B 有相同的特征值⇒x TAx 与x TBx 有相同的正负惯性指数⇒A 与B 合同.但若A 、B 为非对称矩阵，则A 与B 不合同（合同矩阵必为对称矩阵）.例7（2007年数学一至四） 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000010001B ,则A 与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似.解 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1，从而A 与B 不相似. 又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(A) .评注1)若A 与B 相似, 则| A |=| B |；r (A )= r (B )；tr (A )= tr (B ); A 与B 有相同的特征值. 2)若A 、B 为实对称矩阵, 则 A 与B 合同⇔ r (A )= r (B ), 且A 、B 有相同的正惯性指数.三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查.例如：①行列式|A |=0⇔矩阵A 不可逆⇔秩r (A )<n⇔A 的行（列）向量组线性相关 ⇔Ax =0有非零解⇔λ=0是矩阵A 的特征值②β可由α1，α2,…，αn 惟一线性表示β=x1a1+x2α2+…+x nαn⇔Ax=β有惟一解x=(x1,x2,…,x n)T,A=(α1,α2,…,αn)⇔r(A)=r(A β)=n⇔|A|≠0⇔Ax=0只有零解⇔λ=0不是A的特征值③AB=0⇔A(b1,b2,…, b s)=0, B=( b1, b2,…, b s)⇔Ab j=0, j=1,2,…,s⇔b1,b2,…,b s均为Ax=0的解(⇒r(A)+r(B)≤n)⇔若b j≠0且A为n阶方阵时，b j为对应特征值λj=0的特征向量④AB=C⇔A(b1, b2,…, b r)=(C1, C2,…, C r)⇔Ab j=C j,j=1,2,…,r⇔b j为Ax=C j的解.⇔C1, C2,…, C r可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.[⇒r(C)=r(AB)≤r(A)或r(B)].例8（2003年数学一）设向量组I: α1, α2,…, αr可由向量组II：β1,β2,…,βs线性表示，则(A) 当r<s时，向量组II必线性相关. (B) 当r>s时，向量组II必线性相关.(C) 当r<s时，向量组I必线性相关. (C) 当r>s时，向量组I必线性相关.分析本题可由定理“若α1, α2,…, αs可由β1, β2,…, βt线性表出，且s>t，则α1, α2,…, αs 线性相关”，直接得正确选项(D).若不熟悉上述定理，可由反例通过排除法找到正确选项.也可根据上述结论④用秩来判定：由题设，存在s×r矩阵P，使(α1, α2,…, αr)=( β1, β2,…, βs)P s×r,则r(α1, α2,…, αr)=r{( β1,…, βs)P}≤r(β1,…, βs)≤s.当r>s时，有r(α1, α2,…, αr)≤s<r，此时α1, α2,…, αr必线性相关.例9（2002年数学一、二）已知4阶方阵A=α1, α2, α3, α4), α1, α2, α3, α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.分析本题可将A=(α1, α2, α3, α4),β=α1+α2+α3+α4及x=1234xxxx⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭代入Ax=β，找出具体的方程，再按通常方法求解.也可由β=α1+α2+α3+α4即β可由α1, α2, α3, α4线性表示，相当于已知1111⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭为Ax=β的特解，及α1-2α2+α3+0·α4=0与α2, α3, α4线性无关知1210⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为Ax =0的基础解系.再根据解的结构理论知Ax =β的通解为1111x k ⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭1210⎛⎫⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数. 评注 Ax =β的解与β可由A 的列向量组线性表示之间可相互转换.例10 已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得向量组x , Ax , A 2x 线性无关，且满足A 3x =3Ax -2A 2x .(1) 记P =(x , Ax , A 2x )，求3阶矩阵B ，使A =PBP -1； (2) 计算行列式|A +E |.分析 A =PBP -1⇔AP =PB ⇔P -1AP =B .本题(1) 有多种方法求解：设法求出A 的特征值、特征向量；将B 的每个元素作为未知量直接代入等式求解等等.但根据结论④，由已知一组关系式：Ax =Ax ,A 2x =A 2x ,及A 3x =3Ax -2A 2x 合并起来有(Ax ,A 2x ,A 3x )=( A x ,A 2x ,3 A x -2A 2x ),即 A (x , Ax , A 2x )=(x , A x ,A 2x )000103012⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 也即AP =P 000103012⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，可方便地求得B =000103012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 至于行列式的计算可用特征值(A 、B 有相同特征值)或相似矩阵计算即可(A ~B ⇒A +E ~B +E ).评注 从本题可见，矩阵运算AB =C 与关系式Ab j =C j 之间的转换可化为线性方程组的解、矩阵的相似与对角化，进而还可利用特征值、相似矩阵求行列式等等.四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，下面介绍几个综合性较强的例题.例11 设A 、B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵A =(a ij )3×3满足a ij =A ij (i ,j =1,2,3),A ij 为a ij的代数余子式，矩阵B 满足|E +2B |=|E +3B |=0,计算行列式|A *B -A *+B -E |.分析 由 |A *B -A *+B -E |= |A *(B -E )+(B -E )|= |(A *+E )(B -E )|= |A *+E |·|B -E |， 知，只需计算|A *+E |及|B -E |. 若能求出A 或B 的所有特征值，则问题即可解决.解 由a ij =A ij 知，A T =A *，于是 AA T =AA *=|A |E ，从而|A |2=|AA T |=||A |E |=|A |3， 即 |A |2(1-|A |)=0. 于是|A |=0或|A |=1.又A ≠0，不妨设a 11≠0,由 |A |=a 11A 11+a 12A 12+a 13A 13=2221112130a a a ++≠, 知 |A |=1.由 |E +2B |=|E +3B |=0, 知 1211,23λλ=-=-为B 的两个特征值.因为A ~B ，所以1211,23λλ=-=-也为A 的两个特征值. 设3λ为A 、B 的另一特征值，根据1=|A|=123316λλλλ=，得 36λ=.又 |A *B -A *+B -E |=|(A *+E )(B -E )|=|A *+E |·|B -E |=|A T+E |·|B -E |. 因为 |A T +E |=|(A +E )T |=|A +E | =(1λ+1)(2λ+1) (3λ+1) =1277233= ,|B -E |=(1λ-1)(2λ-1) (3λ-1)=34 5=1023⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故 |A *B -A *+B -E |=770 1033=.评注 本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理、特征值的概念及利用特征值求行列式等多个知识点.例12 设A 、B 为m ×n 矩阵，则Ax =0与Bx =0同解的充要条件是(A) A 、B 为等价矩阵. (B) A T x =0与B Tx =0同解. (C) A 、B 的行向量组等价. (D) A 、B 的列向量组等价.分析 可用反例通过排除法得到正确选项. 对于(A)，相当于r (A )=r (B )，显然只是必要而非充分条件；对于(B)，例如A =100 200⎛⎫⎪⎝⎭，B =200 100⎛⎫⎪⎝⎭，显然Ax =0与Bx =0同解，但A Tx =0与B Tx =0并不同解，排除(B)；对于(C)、(D)，考虑A =110 101⎛⎫⎪⎝⎭，B =010 001⎛⎫⎪⎝⎭，显然A 、B 的列向量组等价，但Ax =0与Bx =0不同解，排除(D)，故应选(C).评注 本题综合考查了矩阵等价、向量组等价与齐次方程组同解等多个知识点.对于(C)成立，也可这样证明： 若Ax =0与Bx =0同解，考虑(I) Ax =0， (II)=⎧⎨=⎩0A x B x ， (III)Bx =0.则易知(I)、(II)、(III)同解，从而有r (A )=r ⎛⎫⎪⎝⎭A B =r (B )，由此可推导出A 、B 的行向量组等价. 反过来，若A 、B 的行向量组等价，令A =12m ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ααα， B =12mβββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即列向量组T T T 12,,,m ααα与T T T 12,,,m βββ等价，于是存在矩阵P 、Q ，使(T T T12,,,m ααα)=(T T T 12,,,m βββ)P ， (T T T 12,,,m βββ)=(T T T 12,,,m ααα)Q ，即A =P T B , B =Q TA .从而由Ax =0有Bx =Q T Ax =0；反过来，由Bx =0，有Ax =P T Bx =0，即Ax =0与Bx =0同解.例13 设A 为三阶矩阵，123,,λλλ是A 的三个不同特征值，对应特征向量为123,,ααα，令123=++βααα.(1)证明2β,Aβ,A β线性无关；(2)若3=A βA β，求秩r (A -E )及行列式|A +2E |.分析 证明一组向量线性无关一般用定义法，而求秩r (A -E )及行列式|A +2E |，由于不知道A 的具体形式，无法直接计算，可考虑先求出A 的相似矩阵，再根据相似矩阵有相同的秩及行列式求解即可.解 (1)设123k k k 2++=βA βA β0， ①由题设(1,2,3)i i i ιλ==Aαα，于是123123λλλ=++=++AβAαAαAαααα，22112233λλλ22=++A βααα，代入①整理得222121311122322123333()()(++)k k k k k k k k k λλλλλλ++++++=0ααα.因为123,,ααα是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有2121312122322123330,0,0.k k k k k k k k k λλλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩其系数行列式2112222331101λλλλλλ≠，必有1230k k k ===，故2β,Aβ,A β线性无关.(2)由3=A βA β有=232()()=()2A β,Aβ,A βAβ,A β,A βAβ,A β,Aβ=2000⎛⎫ ⎪()101 ⎪ ⎪010⎝⎭β,A β,A β， 令P =2()β,Aβ,A β，则P 可逆，且P -1AP =000101010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=B . 即A ~B ，于是A -E ~B -E ，A +2E ~B +2E . 从而有r (A -E )=r (B -E )=r 100111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=2, |A +2E |=|B +2E |=200121012=6. 评注 本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相似矩阵的性质等多个重要知识点.例14 设随机变量X 的概率密度为1c o s , 0()22x x f x ⎧≤≤π⎪=⎨⎪0,⎩其他， 对X 独立地重复观察6次，用Y 表示观察值大于π3的次数，又已知A =11142335Y-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭具有重特征值.(1)求A 可对角化的概率；(2)当A 可对角化时，求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角形矩阵.分析 Y 服从二项分布B (6，p )，其中p =P X π⎧⎫>⎨⎬3⎩⎭，而判定A 可对角化，应先求出A 的特征值，再根据特征值i λ的重数i k 与其线性无关特征向量的个数相等：n -r (i λE -A )=i k ，将可对角化问题转化为特征矩阵i λE -A 的秩：r (i λE -A )=n -i k ，由此确定Y 的取值及其相应概率.解 (1)由于P 11cosd 222x X x ππ3π⎧⎫>==⎨⎬3⎩⎭⎰，于是Y ~B 16,2⎛⎫⎪⎝⎭.111||42335E A Y λλλλ---=---11042332Y λλλλ-=---- 11(2)41331Yλλλ-=---110(2)370331Y λλλ-=---- 2(2)(810).Y λλλ=--++①若=2λ为重根，则22-8×2+10+Y =0，即Y =2. 此时A =111242335-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，|λE -A |=(λ-2)2(λ-6).特征值为123==2=6λλλ，.因为r (2E -A )=r 111222333-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭=1，属于特征值12==2λλ的线性无关特征向量个数为3-r (2E -A )=2，表明A 可对角化. ②若=2λ为非重根，则2-810=0Y λλ++有重根，则有82-4(10+Y )=0，得Y =6.此时 A 2111=642||=(6)(2)335λλλ-⎛⎫⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭，，E A 特征值为123==6=2.λλλ，因为r (6E -A )=r 511622=21331-⎛⎫⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭，表明A 不可对角化. 故A 可对角化的概率为24261115(2)C 1.2265p P Y ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2) 由(1)知，A =111242335-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，1232, 6.λλλ=== 解(2·E -A )x =0得特征向量12111,0.01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα解(6E -A )x =0得特征向量为312.3⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α令 P =123111102013⎛⎫⎪(,,)=-- ⎪ ⎪⎝⎭ααα, 则有1200020.006-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P A P 评注 本题综合性较强，不仅涉及到线性代数的多个知识点，还要求利用概率统计中的相关知识.例15 设A 为三阶实对称矩阵，已知|A |=-12，A 的三个特征值之和为1.又102⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α是齐次线性方程组(A *-4E )x =0的一个解向量，(1)求A ；(2)求(A *+6E )x =0的通解；(3)求正交变换矩阵Q ，化二次型x T Ax 为标准形.分析 (1)设法求出A 的所有特征值、特征向量，即可确定A ；(2)(A *+6E )x =0的基础解系，即为A *的特征值λ=-6所对应的线性无关的特征向量，而A *与A 对应特征值的特征向量相同；(3)先将相同特征值的特征向量正交化，然后再单位化，以此为列所构成的矩阵Q 即为所求正交变换矩阵.解 由α为(A *-4E )x =0的解，知(A *-4E ) α=0，即 A *α=4α,于是AA *α=4A α,即 |A |α=4A α,A α=||4A α=-3α, 可见3λ3=-为A 的特征值，对应特征向量为31==02⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭αα-.设2,λλ1为A 的另两个特征值，由题设 21λλλ13++=，2||12λλλ13==-A . 利用3λ3=-及上两式可解是22λλ1==.设22λλ1==的特征向量为123x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，由A 为实对称矩阵知：X T ·3α=0，即x 1-2x 3=0，解得021,00112⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα.由 12311223(,,)(,,,)λλλ=A αααααα，知1112233123(,,,)(,,)λλλ-=A αααααα1043021=200100026012--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭102=020.202⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 由2,1,2i i i ==A αα，知 **i i =2A A A αα，即 *62i i i ==-|A |A ααα，也即(A *+6E )i α=0，i =1,2, 可见12,αα即为(A *+6E )x =0的基础解系，故(A *+6E )x =0的通解为1122k k +αα，其中12,k k 为任意常数.(3) 由于12,αα已正交，故只需将123,,ααα单位化，有11101,||0⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭αηα222210,||1⎛⎫⎪==⎪⎪⎭αηα333110.||2⎛⎫⎪==⎪⎪-⎭αηα令Q =123,,)(ηηη=01000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ - ⎝，则Q 为正交矩阵，令x =Qy ，则二次型f =x TAx 可化为标准形222123223f y y y =+-.评注 本题综合考查了线性方程组、实对称矩阵特征值与特征向量性质以及化二次型为标准形等多个重要知识点.。
