【精品】2020-2021学年高中数学 2.1.1.2 类比推理同步练习含答案

2021-2022年高中数学 2-1-1合情推理同步练习新人教A版选修1-2一、选择题1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( )A．27 B．28C．29 D．30[答案] B[解析] 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111……A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B[解析] 可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.3．(xx·湖北文，10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378 [答案] C[解析] 本题主要考查数形的有关知识．图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ， 以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋na n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C. 4．下面类比推理中恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” [答案] C[解析] 结合实数的运算律知C 是正确的．5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22 C.lr2D ．不可类比 [答案] C6．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形[答案] C[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．7．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.B．△C．▭D．○[答案] A[解析] 图形涉及○、△、▭三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上▭才合适．8．下列推理正确的是( )A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c[答案] D[解析] a·(b＋c)＝ab＋ac，故类比a·(b＋c)＝a·b＋a·c.9．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n个正方形数是( )A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案] C[解析] 第n个正方形数的数目点子可排成每边有n个点子的正方形，故为n2.10．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n边形内角和是(n－3)·180°A．①②B．①③④C．①②④D．②④[答案] C[解析] 由合情推理概念，知①②④符合题意．二、填空题11．对于平面几何中的命题：“夹在两平行线之间的平行线段的长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到的命题是：________________________________________.[答案] 夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等12．(xx·陕西文，11)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)[解析] 本题考查归纳推理．根据已知条件，第四个等式应用13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．13．经计算发现下列正确不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a、b成立的条件不等式：________.[答案] a＋b<210(其中a、b为不相等的正实数，且a＋b＝20)14．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可写出类似的命题：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________[解析] 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与棱AB ，BB 1，BC 所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝2(或：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与平面ABCD ，ABB 1A 1，BCC 1B 1所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1)三、解答题15．已知：1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，…，1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观察下列立方和13,13＋23,13＋23＋33,13＋23＋33＋43＋…，试归纳出上述求和的一般公式．[解析] 解：13＝12×22413＋23＝22×32413＋23＋33＝32×42413＋23＋33＋43＝42×524 (13)＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24因而求和的一般公式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)2416．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ≥1，n ∈N )，试归纳出这个数列的通项公式．[解析] 由a 1＝1，2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0，得a 2＝12.又3a 23－2a 22＋a 3·a 2＝0，∴a 3＝13.又4a 24－3a 23＋a 4·a 3＝0，∴a 4＝14.归纳猜想a n ＝1n.17．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f (n )表示这n 个圆把平面分割成的区域数，试求f (n )．[解析] 因为f (n )表示n 个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n 个圆相交，则增加2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此增加一个圆后，平面被分割成的区域数增加2n 个，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n ，亦即f (n ＋1)－f (n )＝2n . 又f (1)＝2，由递推公式得f (2)－f (1)＝2×1， f (3)－f (2)＝2×2， f (4)－f (3)＝2×3，……f (n )－f (n －1)＝2×(n －1)，将以上(n －1)个等式累加得f (n )＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n 2－n ＋2(n ∈N *)．[点评] 这类问题直接求解较复杂，先转化为推测任何相邻两项的关系，再用数列知识求解．18．若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析] 本例可以从a 1，a 2的个数以及指数上进行推广． 第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2，a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…，a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2；第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n 1＋a n22≥(a 1＋a 22)n；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…，a m 1＋a m 2＋……＋a mn n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m.上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.38259 9573 镳-31284 7A34 稴21908 5594 喔-35303 89E7 觧%_34687 877F 蝿40130 9CC2 鳂27712 6C40 汀31562 7B4A 筊Zb39152 98F0 飰。

2.1.1合情推理1、下面使用类比推理正确的是( )A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()0a b a b c ccc+=+≠”D.“() nn n ab a b =”类推出“()nn n a b a b +=+”2、观察下列各式：22334455134711a b a b a b a b a b ＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则1010a b ＋＝（ ）A. 28B. 76C. 123D. 199 3、已知“整数对”按如下规律排成一列:()()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,,⋯则第60个“整数对”是( ) A.()7,5B.()5,7C.()2,10D.()10,14、设ABC △的三边长分别为,,,a b c ABC △的面积为S ,内切圆半径为r ,则2Sr a b c=++,类比这个结论可知:四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ,内切球半径为R ,四面体S ABC -的体积为V ,则R 等于( ) A.1234VS S S S +++B.12342VS S S S +++C. 12343VS S S S +++D.12344VS S S S +++5、在平面几何中有如下结论:正三角形ABC 的内切圆面积为1S ,外接圆面积为2S ,则1214S S =,推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ,外接球体积为2V ,则12V V =( ) A.164B.127C.19D.186、观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C. D.7、已知数列{}n b 为等比数列, 52b =,则912392b b b b ⋅⋅=,若数列{}n a 为等差数列,52a =,则数列{}n a 的类似结论为( )A. 912392a a a a ⋅⋅=B. 912392a a a a ++++=C. 123929a a a a ⋅⋅=⨯D. 123929a a a a ++++=⨯8、下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形9、观察下列事实1x y +=的不同整数解(),x y 的个数为4,2x y +=的不同整数解(),x y 的个数为8?,3x y +=的不同整数解(),x y 的个数为12,则20x y +=的不同整数解(),x y 的个数为( ) A. 76 B. 80 C. 86 D. 9210、下面由火柴棒拼出的一列图形中,第n 个图形由n 个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是( )A. 30B. 31C. 32D. 3411、如图所示,椭圆中心在坐标原点, F 为左焦点, A 为右顶点, B 为上顶点,当FB AB ⊥时,,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于_____.12、观察下列等式.11122-= 11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++……据此规律,第n 个等式可为__________. 13、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列。

2.1 合情推理与演绎推理1、观察按下列顺序排列的等式:9011⨯+=,91211⨯+=,92321⨯+=,93431⨯+=,…,猜想第()*N n n ∈个等式应为( ) A.()91109n n n ++=+B.()91109n n n -+=-C.()91101n n n +-=-D.()()9111010n n n -+-=-2、如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是( )A.2B.4C.6D.83、下列推理是归纳推理的是( )A.,A B 为定点,动点P 满足2PA PB a AB +=>,则P 点的轨迹为椭圆B.由11a =,31n a n =-,求出123,,S S S 猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C.由圆222x y r +=的面积2πr ,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积πS ab = D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4、如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )A. B. C. D.5、已知扇形的弧长为l ,半径为r ,类比三角形的面积公式:,可推出扇形的面积公式( )A. 22r B. 22l C. 2lr D.不可类比6、下面使用类比推理正确的是( )A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()0a b a b c c c c+=+≠” D.“() n n n ab a b =”类推出“()n n n a b a b +=+”7、在证明()21f x x =+为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提;④函数()21f x x =+满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是( )A.①④B.②④C.①③D.②③8、“π是无限不循环小数,所以π是无理数”,以上推理的大前提是( )A.实数分为有理数和无理数B. π不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D.有理数都是有限循环小数9、对于推理:若a b >,则22a b >;因为23>-,所以()2223>-即49>下列说法正确的是( )A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确10、下列说法正确的是( )A.类比推理是由特殊到一般的推理B.演绎推理是由特殊到一般的推理C.归纳推理是由个别到一般的推理D.合情推理可以作为证明的步骤11、观察下列等式. 11122-=11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……据此规律,第n 个等式可为__________.12、已知222233+=,333388+=,44441515+=,...,若666a b b += (,a b 均为实数),则a =__________,b =__________.13、观察下列等式211=22123-=-2221236-+=2222123410-+-=-……照此规律,第n 个等式可为__________。

课时作业3合情推理(1)知识点一数列中的归纳推理1。

数列２，５,11，２0,ｘ,47中的x等于( )A.28 B．32 C.33D．27答案Ｂ解析由前几个数字可归纳出此列数字为：２，5,１1，20,32,４7,∴答案为B．2．观察下列各等式：错误!+错误!=2,错误!＋错误!未定义书签。

=2,错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

=２,错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( ）A。

错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

=２B.错误!＋错误!未定义书签。

=2C.错误!＋错误!未定义书签。

=2D．错误!未定义书签。

+错误!＝2答案A解析观察发现：每个等式的右边均为2,左边是两个分数相加,分子之和等于8，分母中被减数与分子相同,减数都是４,因此只有Ａ正确。

知识点二几何中的归纳推理3。

如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{ａn｝的前4项，则这个数列的一个通项公式为（)A.a n＝3n－1B.ａn＝3ｎC.ａn=3n－2nﻩＤ．aｎ＝3n－1+2n－3答案A解析∵a１=1，a2＝3，a３=9,a4＝27，猜想a n=3ｎ－１.4．如图所示,图１是棱长为1的小正方体，图2、图３是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层,第2层，…,第n层,第n层的小正方体的个数记为S n。

解答下列问题：（1)按照要求填表:(2）Ｓ10＝_＿__＿__答案（１）10(2)５５解析S１=1,Ｓ2=3＝1＋2,Ｓ3=６=1+2+3,推测Ｓ4=1+２＋3+4=１0，…Ｓ10=1+2＋3+…＋10=55。

知识点三归纳推理的应用５.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有５条对角线,凸六边形有9条对角线，…,由此猜想凸n边形有几条对角线？解因为凸四边形有２条对角线,凸五边形有５条对角线,比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条,…,于是猜想凸ｎ边形的对角线条数比凸(ｎ－1)边形多（n-２)条对角线,由此凸n边形的对角线条数为2+3＋4＋5+…＋(n-2),由等差数列求和公式可得错误!未定义书签。

2.1.1 合情推理[A 组 学业达标]1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理． 答案：B2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( ) A.r 22B.l 22 C.lr2D ．无法确定解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2. 答案：C3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2019年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支纪年法中的( )A．丁酉年B．庚午年C．乙未年D．丁未年解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2019年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B.答案：B4．n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 019到2 021箭头的方向依次为( )A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2019到2021为→↓，故应选D.答案：D5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想a n＝3n－1.答案：A6．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，……照此规律，第五个等式应为________．解析：等式的左边是2n－1个连续自然数的和，最小的为序号n，右边是(2n－1)2.所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝817．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系：________.解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b78．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝12r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A ­BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A ­BCD ＝________.解析：内切圆半径r ――→类比内切球半径R .△ABC 周长a ＋b ＋c ――→类比棱锥A ­BCD 各面面积和． 答案：V A ­BCD ＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )9．如图所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解析：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1. [B 组 能力提升]1．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则在表中数字2 019出现在( )A．第44行第78列B．第45行第82列C．第44行第77列D．第45行第83列解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 019＜2 025，∴2 019在第45行．又2 025－2 019＝6，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 019在第89－6＝83列．答案：D2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析：记三角形数构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 答案：C3．类比平面内一点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A 2＋B 2＋C 2≠0)的距离公式为d ＝________.解析：类比平面内点到直线的距离公式 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，易知答案应填|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2.答案：|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C24．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC＝AC BC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中，平面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC类比成V A ­CDE V B ­CDE.平面中的线段长类比到空间为面积， 故AC BC类比成S △ACD S △BDC.故有V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACD S △BDC.答案：V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACD S △BDC5．已知椭圆具有以下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋nx ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).。

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合情推理班级：姓名:_____________1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示,，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )A。

白色B.黑色C。

白色可能性大D.黑色可能性大2.已知数列{a n}满足a0=1，a n=a0+a1+a2+…+a n—1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于( )A。

2n B。

n(n+1）C。

2n-1 D.2n-1【解析】选C。

a0=1，a1=a0=1，a2=a0+a1=2a1=2，a3=a0+a1+a2=2a2=4，a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8，…,猜想n≥1时，a n=2n—1.3。

给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x—y；②类比log a（xy)=log a x+log a y，则有sin（α+β)=sinαsinβ；③类比（a+b)2=a2+2ab+b2,则有（a+b）2=a2+2a·b+b2。

其中结论正确的个数是（)A。

0 B.1 C。

2 D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确;根据三角函数的运算法则知：sin(α+β）≠sinαsinβ,②不正确;根据向量的运算法则知:(a+b）2=a2+2a·b+b2，③正确.4。

1．2 类比推理授课提示：对应学生用书第3页[自主梳理]一、类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断________________________，我们把这种推理过程称为类比推理，类比推理是________之间的推理．利用类比推理得出的结论________．二、合情推理的含义________和________是最常见的合情推理，合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论，如________、________、________等，推测出某些结果的推理方式．三、演绎推理的含义演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的____法则得到新结论的推理过程． 四、类比推理的特点1．类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；2．类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； 3．类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．[双基自测]1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”2．如果对象A 和对象B 都具有相同的属性P 、Q 、R 等，此外已知对象A 还有一个属性S ，而对象B 还有一个未知的属性x ，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立？( )A ．x 就是PB ．x 就是QC ．x 就是RD ．x 就是S3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r22B.l22C.12lr D．不可类比4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．[自主梳理]一、另一类对象也具有类似的其他特征两类事物特征不一定正确二、归纳推理类比推理定义公理定理三、逻辑[双基自测]1．C由类比推理的定义知C正确．2．D各自另外的属性S只能类比x.3．C由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S＝12lr.4.18V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.授课提示：对应学生用书第3页探究一几何中的类比[例1]在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1.在立体几何中，给出类比猜想．[解析]如图，在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝⎝⎛⎭⎫ac2＋⎝⎛⎭⎫bc2＝a2＋b2c2＝c2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝⎝⎛⎭⎫ml2＋⎝⎛⎭⎫nl2＋⎝⎛⎭⎫gl2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何数目、位置关系、几何性质、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形的类比如下：平面图形 空间图形 点 线 线 面 边长 面积 面积 体积 线线角 二面角 三角形四面体1．如图①有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图②有体积关系：V P -A ′B ′C ′V P -ABC＝________.解析：(1)把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V P -A ′B ′C ′V P -ABC ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .故填P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .答案：P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC探究二 等式及其他知识点的类比[例2] 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 10＝1，则有等式________成立．[解析] 等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m ，n ，p ，q ∈N ＋，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q )；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m ，n ，p ，q ∈N ＋，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q )．由此，猜想本题的答案为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和，类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．2．通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1,32－22＝2×2＋1,42－32＝2×3＋1，…，(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，将以上各式分别相加得：(n ＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，类比上述求法，则12＋22＋32＋…＋n 2＝______________.答案：n (n ＋1)(2n ＋1)6类比对象不正确致误[例3] 如图，在四面体S -ABC 中，平面SAB 、平面SAC 、平面 SBC 与底面ABC 所成角分别为α1、α2、α3，三条棱SC 、SB 、SA 与底面ABC 所成角为β1、β2、β3，三个侧面△SAB 、△SAC 、△SBC 的面积分别为S 1、S 2、S 3.类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．[解析] 如图，在△DEF 中，由正弦定理得DE sin F ＝EF sin D ＝DFsin E .如题中图，由于平面SAB 、平面SAC 、平面SBC 与底面所成的二面角分别为α1、α2、α3，类比可得在四面体S -ABC 中，有S △SAB sin α1＝S △SAC sin α2＝S △SBCsin α3，即S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3. [错因与防范] 本题易错误猜想空间图形中三个侧面面积与线面角的正弦的比相等．平面几何中的角是由两条射线组成的，一般在立体几何中，与之相类比的是两个平面组成的角，即二面角．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

§2任意角2.1角的概念推广2.2象限角及其表示课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)下列说法不正确的是()A.终边在x轴非负半轴上的角是零角B.钝角一定大于第一象限的角C.第二象限的角不一定大于第一象限的角错,终边在x轴非负半轴上的角为k·360°,k∈Z,显然不只是零角;B错,390°是第一象限的角,大于任一钝角;C对,第二象限角中的-210°小于第一象限角中的30°;D错,285°为第四象限角,但不是负角.可以是()2.(多选)已知角α是第四象限角,则角-α2A.第一象限角B.第二象限角D.第四象限角α是第四象限角,所以k×360°-90°<α<k×360°(k∈Z),<k×180°(k∈Z),所以k×180°-45°<α2所以-k×180°<-α<-k×180°+45°(k∈Z),2是第一或第三象限角.所以角-α23.已知角α,β的终边相同,则角(α-β)的终边在()A.x轴的非负半轴上B.y轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上α,β的终边相同,得α=k·360°+β,k∈Z.α-β=k·360°,k∈Z,得α-β的终边在x轴的非负半轴上,故选A.4.终边在第二象限的角的集合可以表示为()A.{α|90°<α<180°}B.{α|90°+k·180°<α<180°+k·180°,k∈Z}C.{α|-270°+k·180°<α<-180°+k·180°,k∈Z}D.{α|-270°+k·360°<α<-180°+k·360°,k∈Z}{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z},而选项,故选项D正确.5.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是()° B.143° C.379° D.-143°37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°,k∈Z,当k=-1时,37°-180°=-143°,故选D.6.已知集合A={x|x=k×180°+(-1)k×90°,k∈Z},B={x|x=k×360°+90°,k∈Z},则A,B的关系为()A.B⫋AB.A⫋BD.A⊆BA中,当k为奇数时,x=k×180°-90°,终边落在y轴的非负半轴上;当k为偶数时,x=k×180°+90°,终边落在y轴的非负半轴上.集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上.故A=B.°角的终边相同的最小正角是,绝对值最小的角是.2016°终边相同的角为2016°+k·360°(k∈Z).当k=-5时,216°为最小正角;当k=-6时,-144°为绝对值最小的角.°-144°α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z9.在一昼夜中,钟表的时针和分针有几次重合?几次形成直角?时针、分针和秒针何时重合?请写出理由.0.5°,分针每分钟走6°,秒针每分钟走360°,本题为追及问题.(1)一昼夜有24×60=1440(分钟),时针和分针每重合一次间隔的时间为3606-0.5分钟,所以一昼夜时针和分针重合14403606-0.5=22(次).(2)假设时针不动,分针转一圈与时针两次形成直角,但一昼夜时针转了两圈,则少了4次垂直,于是一共有24×2-4=44(次)时针与分针垂直.(3)秒针与分针每重合一次间隔时间为360360-6分,而由于360360-6与3606-0.5的最小公倍数为720分钟,即12个小时,所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻三针重合.能力提升练1.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则A,B,C关系正确的是()A.B=A∩CB.B∪C=CD.A=B=CB⊂A∩C,故A错误;B⊂C,所以B∪C=C,故B正确;A与C互不包含,故C错误;由以上分析可知D错误.2.(多选)在-180°~360°范围内,与2 000°角终边相同的角为()A.-160°B.200°° D.160°°=200°+5×360°,2000°=-160°+6×360°,所以在-180°~360°范围内与2000°角终边相同的角有-160°,200°两个.°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是.-885°÷360°=-3……195°,且0°≤α<360°,所以k=-3,α=195°,故=195°+(-3)·360°.°+(-3)·360°β的终边关于y轴对称,若α=30°,则β=.°与150°的终边关于y轴对称,故β的终边与150°角的终边相同.故°+k·360°,k∈Z.°+k·360°,k∈Z2α的终边在x轴的上方,那么α是第象限角.k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),α在第一象限;当k=2n+1(n ∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),α在第三象限.故α在第一或第三象限.6.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.因为α,β都是锐角,所以0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①因为α-β=670°+k·360°,k∈Z,α,β都是锐角,所以-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.素养培优练如图,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AOx=45°,点P从点A处出发,以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2秒钟到达第三象限,经过14秒钟又回到出发点A,求θ,并判断θ所在的象限.,14秒钟后,点P在角14θ+45°的终边上,所以45°+k·360°=14θ+45°,k∈Z.又180°<2θ+45°<270°,即67.5°<θ<112.5°,所以67.5°<k·180°7<112.5°.又k∈Z,所以k=3或4,所以所求的θ的值为540°7或720°7.因为0°<540°7<90°,90°<720°7<180°,所以θ在第一象限或第二象限.。