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9线面积分一、曲线积分、曲面积分的计算公式1. 对弧长的曲线积分«Skip Record If...»的计算公式:«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»为一段光滑的平面曲线，其参数方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»为定义在曲线«Skip Record If...»上的一连续函数.为熟练掌握计算公式，关键是把握以下两点：1)积分变量«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上，故«Skip Record If...»满足曲线«Skip Record If...»的方程；2)«Skip Record If...»是曲线«Skip Record If...»的弧长的微分，故«Skip Record If...».所以有如下的计算公式:«Skip Record If...».对«Skip Record If...»是空间曲线段的情况，有类似的公式.设«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则对弧长的曲线积分«Skip Record If...».弧微元«Skip Record If...»2. 对坐标的曲线积分«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的平面曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...».物理意义：变力«Skip Record If...»沿曲线«Skip Record If...»所做的功«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为熟练掌握该积分的计算公式，关键是把握以下两点：1) 积分变量（«Skip Record If...»）在«Skip Record If...»上，故满足曲线方程«Skip Record If...»；2) «Skip Record If...».对坐标的曲线积分的计算公式为«Skip Record If...».«Skip Record If...»分别对应于«Skip Record If...»点的参数«Skip Record If...»的值，可能«Skip Record If...»也可能«Skip Record If...»«Skip Record If...».类似地，对于空间曲线«Skip Record If...»，也有类似的计算公式.设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的空间曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».●两类曲线积分之间的关系。
一 基本要求1. 理解两类线面积分的概念，掌握两类线面积分的性质。
2. 掌握两类线积分以及两类面积分之间的联系和区别，会计算两类线面积分。
3. 熟练掌握格林（Green）公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件。
4. 熟练掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，会计算空间曲线积分5. 会用两类线面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积，弧长，质量，重心，转动惯量，功等）。
6. 了解散度，旋度以及场论的概念及其计算方法.二 学习指导【11-1】第一型曲线积分的要点是什么？ 答 第一型曲线积分是关于曲线弧长的积分（22)()(dy dx ds +=），计算时应根据不同的曲线方程变换相应的，转换成定积分. ds 【11-2】关于第一型曲线积分的对称性.1.设L 为光滑曲线，且关于轴对称，为曲线y 1L L 位于轴右侧的弧段， 在y (,)f x y L 上的连续，则10(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩∫∫为的奇函数为的偶函数2. 设L 为光滑曲线，L 的方程关于y x ,具有轮换性，为(,)f x y L 上的连续函数，则(,)(,)LLf x y ds f y x ds =∫∫，3. 设为光滑的空间曲线，ΓΓ的方程关于z y x ,,具有轮换性，为上的连续函数，则（f Γ∫∫∫ΓΓΓ==ds z f ds y f ds x f )()()(222)()()(dz dy dx ds ++=）4.当被积函数1),(=y x f 时，（弧长计算公式）∫=LLds ds y x f ),(∫……………………………………………………………………………… 【11-3】第二型曲线积分的主要计算方法.(1) 将曲线方程（直角坐标，参数方程，极坐标方程）代入后化定积分计算. (2) 用格林（Green）公式化二重积分计算. (3) 用平面曲线积分与路径无关的条件计算.………………………………………………………………………………………… 【11-4】第一型曲面积分的要点是什么？计算应注意什么？答 第一型曲面积分是关于曲面面积的积分。
求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法.例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。
本题以下采用多种方法进行计算。
解1:A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx x x x dy --= ⎰+Lxdy ydx dx x x x x x x ⎰--+-=2022]2)1(2[ dx xx x x dx xx x x x x x ⎰⎰--+----=2220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解2:在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy yy ⎰-=1221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析:解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的,在方法类型上与解1相同。
线⾯积分第⼗⼀章线⾯积分内容概要与重点难点提⽰本章涉及的内容较多（共有七节），⾸先分别介绍了第⼀、第⼆类曲线积分的概念、性质和计算⽅法，格林公式揭⽰了平⾯区域内的⼆重积分与其正向边界曲线上的线积分之间的关系，曲线积分与路径⽆关和全微分求积的充要条件。
再介绍了第⼀、第⼆类曲⾯积分的概念、性质和计算⽅法，⾼斯公式揭⽰了空间区域内的三重积分与其外侧边界曲⾯积分之间的关系，曲⾯积分与曲⾯⽅程⽆关的充要条件。
斯托克斯公式揭⽰了空间曲线积分与它张成的曲⾯积分之间的关系。
最后介绍了场论中“三度”（即梯度、散度、旋度）的相关知识。
重点把第⼀、第⼆类曲线积分转化为定积分及它们之间的区别于联系，把第⼀、第⼆类曲⾯积分转化为⼆重积分及它们之间的区别于联系，三个公式的应⽤。
难点第⼀、第⼆类曲线积分和曲⾯积分计算的技巧，三个公式条件不成⽴时的处理办法。
考试内容要点讲解⼀、对弧长的曲线积分（第⼀类）（⼀）概念与性质 1、定义1(,)l i m(,)ni i i Li f x y d s f s λξη→==?∑?。
（1）可积的充分条件是(,,)f x y 在L 上连续；（2）i s ?与ds 是对应的，后者就是弧微分；（3）当L 是封闭曲线弧的时候，记为(,)Lf x y ds ?；（4）L 在第⼀类中的是没有⽅向的；（5）物理意义(,)Lf x y d s表⽰占有平⾯曲线L ，线密度为(,)f x y 的质量曲线（或者曲线型构件）的质量，即(,)Lm f x y ds =?，特别地，若(,)1f x y ≡，则Ls ds =?（表⽰L 的弧长）；（6）定义同理可以推⼴到(,,)f x y z 空间曲线Γ上，有1(,,)l i m (,,)ni i i i i f x y z d s f s λξηζΓ→==?∑?2(,)(,)(,)L L L L f x y ds f x y ds f x y ds +=+?；若(,)(,)f x y g x y ≤，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤?；若(,)f x y 在L 上最值为()M m ，则 (,)Lm s f x y d sM s≤≤；若(,)f x y 在L 上连续，则存在(,)L ξη∈，使得(,)(,)L f x y ds f s ξη=??；特别要注意，(,)(,)ABBAf x y ds f x y ds ??=??。
