力矩转动惯量定轴转动定律42页PPT

02
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转动惯量基础概念
转动惯量的定义
转动惯量
描述刚体绕固定轴转动的惯性大 小的物理量。
定义公式
I = Σ(m * r^2)，其中m为刚体的 质量，r为刚体上任意质点到转动 轴的距离。
转动惯量的性质
转动惯量只与刚体的质量分布 和转动轴的位置有关，与刚体 的运动状态无关。
对于同一刚体，不同的转动轴 位置，其转动惯量可能不同。
力矩转动定律转动 惯量解析课件
contents
目录
• 力矩转动定律概述 • 转动惯量基础概念 • 力矩与转动惯量的关系 • 转动惯量的计算方法 • 转动惯量的应用实例
01
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力矩转动定律概述
力矩的定义
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂的乘积。
力矩是一个向量，其大小等于力和力臂的乘积。力臂是从转动轴到力的垂直距离 。在二维平面中，力矩可以表示为M=F×r，其中F是力，r是力臂。
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转动惯量的应用实例
飞轮的设计与优化
飞轮的设计
飞轮是利用转动惯量储存能量的重要 装置，其设计需要考虑转动惯量的大 小、质量分布、转速等因素。
飞轮的优化
为了提高飞轮的储能效率和稳定性， 需要对飞轮进行优化设计，如采用轻 质高强度的材料、优化飞轮的形状和 尺寸等。
陀螺仪的设计与优化
陀螺仪的设计
陀螺仪是利用角动量守恒原理工作的惯性导 航和姿态测量器件，其设计需要考虑转动轴 的稳定性、转动惯量的大小和分布等因素。
陀螺仪的优化
为了提高陀螺仪的测量精度和稳定性，需要 对陀螺仪进行优化设计，如采用高性能的轴 承材料、减小摩擦力矩等。
电机转子的设计与优化

物理ppt课件2.91 刚体的定轴转动力 矩转动定律转动惯 量
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。

面内
即：都在转动平面内
三、定轴转动定律
O’
对刚体中任一质量元 mi ω
Fi (外力)
fi (内力)
ri P
mi
fi
i
Fii
应用牛顿第二定律，可得： O
Fi fi miai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sini fi sini miai miri
用ri 乘以上式左右两端：
Firi sini firi sini miri2
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
因为这个力矩与Z轴平行, 因此我们称这个力矩为力
转动 平面
r
F2
对转轴 Z 的力矩
我们将力对z轴的力矩记作Mz
（2） M Z rF2 sin F2d
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3）F1 对转轴的力矩为零 ，在定轴转动中不予考虑。
设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上 述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
N
N
N
Firi sini firi sini (miri2 )
i1
i1
i1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i 1
得到：
N
N
Firi sini (miri2 )
的代数和 M z
.
Mz Jzβ
z
Fej
O rj mj
Fij
Mz
Jz Jz
d
dt
讨论：
（1） M 一定，J
β 转动惯量是转动

03
力矩刚体绕定轴转动的实际应用
日常生活中的应用实例
自行车轮转动
方向盘控制
当我们在骑自行车时，脚踏板施加的 力量通过链条传递到车轮上，使车轮 发生转动。
在驾驶汽车时，我们通过转动方向盘 来控制车辆的方向，方向盘的转动就 是力矩刚体绕定轴转动的实例。
门把手转动
当我们握住门把手转动时，门被推开 或关闭，这是由于门把手施加的力矩 使门发生转动。
力矩的大小决定了刚体转动的速度，力矩 越大，刚体的角速度越快。
刚体转动惯量的概念
01
02
03
转动惯量定义
转动惯量是描述刚体转动 惯性大小的物理量，与刚 体的质量分布和转动轴的 位置有关。
计算公式
对于质量均匀分布的刚体 ，转动惯量I = (1/2) * m * r^2，其中m是质量，r 是到转动轴的距离。
实验结果分析和结论
实验结果分析
通过实验数据，分析角速度与力矩之间的关系，验证力矩刚体绕定轴转动定律 。同时，比较不同转动惯量下刚体的角速度变化，加深对转动惯量影响的理解 。
实验结论
通过实验验证，可以得出力矩刚体绕定轴转动定律的正确性。同时，实验结果 也表明转动惯量对刚体的角速度有影响，转动惯量越大，相同力矩作用下刚体 的角速度越小。
05
力矩刚体绕定轴转动定律的深入探讨
力矩刚体转动过程中的能量转换
机械能转换
力矩作用在刚体上，使刚体从静 止或匀速转动状态变为加速转动 状态，在此过程中，刚体的动能 增加，而势能保持不变。
能量守恒
力矩刚体转动过程中的能量转换 符合能量守恒定律，即输入的力 矩能量等于刚体动能的变化量。
力矩刚体转动过程中的动量守恒
工业生产中的应用实例

求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
m 1 2m v v 0 r 00 2s iGπ n r0 M) ( 1 2 m m m vv 2 R GRMm vv0r0R sin4v0sin
sin14123RGv0M 21/2
1/2
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZJZ(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
M zd t d L z d J
动量矩定理 微分形式
t1 t2M zd t 1 2d JJ2 J1（动量矩定理积分形式）
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k ,,r N v 1 , v 2 , , v k , , v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
F FF Fn
2)力对点的力矩
Mo
M O r F
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Z r F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F k f k m k a k

对所有质元求和: 刚体的内力力矩之合
Firi sini firi sini miri2
刚体所受的合外力矩
信息学院 物理教研室
所以: Firi sini miri2
令 J Mmiri2J----刚体的转动惯量，则:
----刚体的转动定律数学表达式 刚体的转动定律---刚体绕固定轴转动时，刚 体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚 体的转动惯量成反比，角加速度的方向与合外力 矩方向相同。
J JC md 2
信息学院 物理教研室
例题: 固定在一起的两个同轴均匀圆柱刚体可绕
其光滑的水平对称轴 OO转动。设大小圆柱体的
半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。绕在两
圆柱体上的细绳分别与物体m1和m2相联， m1和m2
挂在圆柱体的两侧，如图所示。求:
M1
(1) 转动时刚体的角加速度； M 2
i
mi
Fi
i
切向: Fi sini fi sini miait miri 法向: (Fi cos i fi cos i ) miain miri 2
在切向表达式中的每一项都乘以ri得:
ri Fi sin i ri fi sini mi riait mi ri2
一、力矩 力矩的定义:
M

r

F
y O
r
F
力矩的计算: ① 外力在垂直于轴的转动平面内:
M

r

F
解平②行外与力轴不的在力垂F//直， 于和轴垂的直 转于动轴平的面力内F，，将则力: 分
M r F
③ 刚体受几个力的作用时，物体的合外力矩 为各个分力力矩 的矢 量合 ，即:

解：
物体由斜面顶端滚下, 可视为质心的平动和 相对质心的滚动两种 运动合成.
y

N
x
Ff
C
mg
aC

22
质心运动方程
mg sin Ff maC
转角动量定、律线量F关f 系R J a aC R
y

N
x
Ff
C
mg
aC

ma

mg
sin


Ja R2
a

mgR2 mR2
结束21
*P98例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角θ= 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
圆柱比圆筒先到达底部24.
补充例题 一个飞轮的质量 m＝60kg，半径为R＝0.25m，
正在以ω0＝1000r/min的转速转动，现在要制动飞轮，要
求在 t ＝5.0s内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮
子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数
为μk＝0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的
P96 表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量 .
平行轴定理
质量为m的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 Jc，则 对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2 （证明略）
例：圆盘对P 轴的转动惯量

第三章 刚体和流体的运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
目录
第一章 力和运动
第二章 运动的守恒量和守恒定律
第三章 刚体和流体的运动
第四章 相对§论3-1基刚础体模型及其运动 第五章 气体§动3-2理力论矩 转动惯量 定轴转动定律 第六章 热力§学3-3基定础轴转动中的功能关系
第七章 静止§电3-4荷定的轴电转场动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
J
T1 T2
T1' T2'
m
a r
a m2 m1 g M r / r
m2
m1
1 2
m
m1 参考：P117、P35
mr
a m2
T1
T2
T1
T2
m1
a
a
G1
m2
G2
27
例题 3-4 dm r d dr e m e R2
解: 阻力矩：M rdmg g rr d dr e
v
推导：
切向加速度 向心加速度
a dv d r dr
dt dt
dt
9
例题
0 t 2 n t 0
0t
1t2
2
2
N
v r sin 90
at r an 2r
0
O
an r
v
a
at
10
例题
d (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3
dt
d d (a 3bt2 4ct3 ) 6bt 12ct2
定轴转动定律
1
J 15 6 第九章 电磁感应 电磁场理论
总质量相同，质量分别离轴越远，J 越大。
F 平行转轴的力不产生转动效果，

m 2
)m2
g
m2
1 2
m
若再不计滑轮质量，m=0 ，则
T1
T2
2m1m2 g m1 m2
a (m1 m2 ) g m1 m2
转动定理
3.2 力矩 定轴转动定理 3、转动惯量
（ miri2) 表示刚体本身特征的物理量叫做刚体的
转i 动惯量，用J表示，
质量连续分布的刚体对某轴的转动惯量
J r2dm m
刚体的转动惯量与下列因素有关：
❖ 刚体的质量 ❖ 刚体的质量分布 ❖ 转轴的位置
3.2 力矩 定轴转动定理
几种常见刚体的转动惯量：
转动惯量为
( Lh)
J dJ 2 2d 3
( L h)
3
2
( Lh) 2
( L h) 2
1 12
mL2
mh2
转动惯量２.ppt
3.2 力矩 定轴转动定理 3、刚体定轴转动定理的应用
提示
① 隔离法 ② 连带体正方向的关联特性 ③ 解方程的技巧，先消去T，求出β
3.2 力矩 定轴转动定理
和。
在国际单位制中，力矩的单位：牛顿 • 米
量纲：M L²T²‫。־‬
3.2 力矩 定轴转动定理 二、转动定理
§2-5给出了质点M系 角动dd量Lt 定理微分形式：
在刚体绕z轴做定轴转动时
M M zk L Lzk
对刚体定轴转动有
Mz
dLz dt
3.2 力矩 定轴转动定理
刚体中任一质量元 mi 对转动轴角动量大小为
r dr
R
3.2 力矩 定轴转动定理
式中圆环面积 dS 2 rd r
此圆环对轴的转动惯量为
dJ r 2 dm r 2 m 2 rdr 2m r 3d

力矩转动惯量定轴转动定律
•46、寓形宇内复几时，曷来自委心任去 留。•47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联