18.2特殊的平行四边形ppt课件
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魏县第九中学八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形第1课
（ 3） 30 m 5mn 24 n （ 4n2 ）
请计算 ： 25 36
类比分数的通分与约分你能联想 分式的通分与约分是怎样的吗 ？
∴菱形的周长=4×5=20（cm）.
课堂小结
菱形的性质：
1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的对角都相等. 3.菱形的两条对角线互相垂直平分，并 且每一条对角线平分一组对角. S菱形= 对角线乘积的一半F. 求证： ∠AEF=∠AFE.
证明：如图，连接AC, ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC=CD，∠ECA=∠FCA. 又∵BE=DF，∴EC=FC. ∴△AEC≌△AFC， ∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.
结束
语 八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊
的平行四边形18.2.2 菱形第1课时 菱形的性质课 件 （新版）新人教版-八年级数学下册第十八章平 行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课 时菱形的性质课件新版新人教版
八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形第1 课时 菱形的性质课件 （新版）新人教
版同-学八年们级，数下学课下休册息第十十分八钟章。平现行在四是边休形 18.2息特时殊的间平，行你四们边休形息1一8.2下.2眼菱睛形，第1课
时菱形的性质课件新版新人教版
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来
知识点 2 菱形性质的应用
比较菱形的对角线和平行四边形的对角 线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个 全等的直角三角形，而平行四边形通常只被 分成两对全等三角形.
由菱形两条对角线的长 ，你能求出它的面积吗？
1 S菱形ABCD=2 AC ·BD
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m， ∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两 位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
人教版八年级数学下册18.2 特殊的 平行四边形第二课时 矩形的性质课件
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1
八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.2 平行四边形的判定第1课时课件 华东师大版
2.(2013·郴州中考)如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE. 求证：四边形DEBF是平行四边形.
【证明】因为BE∥DF，所以∠AFD=∠CEB， 又因为∠ADF=∠CBE，AF=CE， 所以△ADF≌△CBE，所以DF=BE. 又BE∥DF， 所以四边形DEBF是平行四边形.
3.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF， BE=CF.
求证：(1)△ABC≌△DEF. (2)四边形ABED是平行四边形.
【证明】(1)∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF. 又∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴△ABC≌△DEF. (2)∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE. ∵AB=DE，∴四边形ABED是平行四边形.
【总结提升】从边的角度判定平行四边形的三点注意 (1)判定一个四边形是平行四边形需要两个条件. (2)对于已知两组对边的情况：可以通过判定这两组对边分别 平行，也可以判定这两组对边分别相等来证明四边形是平行四 边形. (3)对于已知一组对边的情况：需要证明这一组对边平行且相 等.
题组一：从两组对边的角度判定平行四边形 1.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC 于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是( )
于点O，图中共有
个平行四边形.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD.
所以是平行四边形的有：□AEOG，□EOHB，□OFCH， □GDFO；□ADFE，□EFCB，□AGHB，□GDCH；□ABCD；
共9个. 答案：9
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.
矩形及其性质课件
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
总结
知2－讲
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形， 矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此 有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等 腰三角形中来解决．
知2－练
1 如图，把一张矩形纸片沿EF折叠后，点D，C分 别落在点D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则 ∠AED′等于( ) A．70° B．65° C．50° D．25°
在Rt△BEC中，∵M为斜边BC的中点，
∴EM＝
1 2
BC.
在Rt△CDB中，∵M为斜边BC的中点，
∴DM＝
1 2
BC.
(2)
∴EM＝DM.
又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.
矩形及其性质课件（PPT优秀课件）
矩形及其性质课件（PPT优秀课件）
总结
知4－讲
若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中 线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半．
知2－讲
例2 如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和 ∠EAO的度数．
导引：由∠DAE与∠BAE之和为矩形 的一个内角及两角之比即可求 出∠DAE和∠BAE的度数，从 而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝ ∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝ ∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
第1课时 矩形及其性质
1 课堂讲解 矩形的定义
矩形的边角性质
矩形的对角线性质
2 课时流程 直角三角形斜边上中线的性质
八年级数学下册18-2特殊的平行四边形18-2-1矩形第1课时矩形的性质新版新人教版
A.6
B.4
C.3
D.5
【点拨】
∵BF是Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BF＝
AC.∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝ AC.∴BF＝DE＝6.
7.[2023·兰州]如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一
点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过
AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝
对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
【证明】由题意得AD＝BC＝EC，
∠D＝∠B＝∠E＝90°.在△DAF和△ECF中，
∠＝∠，
∴△DAF≌△ECF(AAS).
ቐ∠＝∠，
＝，
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数.
∠CAB＝25°.
利用矩形的性质求线段长
10.[2023·兰州]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别
交OD，AD于点F，G，连接DE.
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
【解】(1)四边形OCDE是菱形.
理由如下：
∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE.
∵CE是线段OD的垂直平分线，
知识点1 矩形的定义及边角性质
1.[2023·苏州 新考法·化动为静法]如图，在平面直角坐标系
中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，
OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，
以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，
当移动时间为4秒时，AC·EF的值为( D )
学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创
B.4
C.3
D.5
【点拨】
∵BF是Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BF＝
AC.∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝ AC.∴BF＝DE＝6.
7.[2023·兰州]如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一
点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过
AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝
对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
【证明】由题意得AD＝BC＝EC，
∠D＝∠B＝∠E＝90°.在△DAF和△ECF中，
∠＝∠，
∴△DAF≌△ECF(AAS).
ቐ∠＝∠，
＝，
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数.
∠CAB＝25°.
利用矩形的性质求线段长
10.[2023·兰州]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别
交OD，AD于点F，G，连接DE.
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
【解】(1)四边形OCDE是菱形.
理由如下：
∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE.
∵CE是线段OD的垂直平分线，
知识点1 矩形的定义及边角性质
1.[2023·苏州 新考法·化动为静法]如图，在平面直角坐标系
中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，
OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，
以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，
当移动时间为4秒时，AC·EF的值为( D )
学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创
人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形18.2.2菱形 课件(2课时共64张)
A∴S△AOFra bibliotek＝1 2
OA·OB＝
1 2
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
B
O
D
∵ AB AO2 BO2 52 122 13,
C
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ 11230.
课堂检测
能力提升题
求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B
F
C
EA
又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
D
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
课堂小结
边
菱
形 的
角
性
O
C
形
的
菱形的两组对角分别相等 角
性
菱形的邻角互补
质
B
怎样判断一 个四边形是 菱形？
菱形的两条对角线互相平分
对角线 菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
素养目标
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比 思想，体会研究图形判定的一般思路. 1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已 知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
B
O
D
C
= AC(BO+DO)
= AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知 素养考点 1 利用菱形的面积公式解答问题
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的 长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
OA·OB＝
1 2
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
B
O
D
∵ AB AO2 BO2 52 122 13,
C
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ 11230.
课堂检测
能力提升题
求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B
F
C
EA
又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
D
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
课堂小结
边
菱
形 的
角
性
O
C
形
的
菱形的两组对角分别相等 角
性
菱形的邻角互补
质
B
怎样判断一 个四边形是 菱形？
菱形的两条对角线互相平分
对角线 菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
素养目标
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比 思想，体会研究图形判定的一般思路. 1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已 知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
B
O
D
C
= AC(BO+DO)
= AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知 素养考点 1 利用菱形的面积公式解答问题
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的 长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
菱形及其性质课件
导引：因为DE∥FC，DF∥EC，所 以四边形DECF为平行四边 形，再根据有一组邻边相等 的平行四边形是菱形求证即 可．
知1－讲
解：四边形DECF是菱形．理由如下： ∵DE∥FC，DF∥EC， ∴四边形DECF为平行四边形． 由AC∥DE，知∠2＝∠3. ∵CD平分∠ACB， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC， ∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平 行四边形是菱形)．
之差为12时，AE的长为( )
A．6.5
B．6
C．5.5
D．5
知2－练
3 如图所示，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于( ) A．20 B．15 C．10 D．5
知识点 3 菱形的对角线的性质
知3－导
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行 四边形不具有的一些特殊性质呢？
知2－练
1 边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
2 (2015·台州)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，
F分别在
交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与
FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长
菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?
归纳
知3－导
对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研 究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以 下性质：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角.
知3－导
问题
菱形的面积如何计算呢？
菱形的面积有两种计算方法： 一种是底乘以高的积； 另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单.
知1－讲
解：四边形DECF是菱形．理由如下： ∵DE∥FC，DF∥EC， ∴四边形DECF为平行四边形． 由AC∥DE，知∠2＝∠3. ∵CD平分∠ACB， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC， ∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平 行四边形是菱形)．
之差为12时，AE的长为( )
A．6.5
B．6
C．5.5
D．5
知2－练
3 如图所示，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于( ) A．20 B．15 C．10 D．5
知识点 3 菱形的对角线的性质
知3－导
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行 四边形不具有的一些特殊性质呢？
知2－练
1 边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
2 (2015·台州)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，
F分别在
交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与
FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长
菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?
归纳
知3－导
对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研 究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以 下性质：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角.
知3－导
问题
菱形的面积如何计算呢？
菱形的面积有两种计算方法： 一种是底乘以高的积； 另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单.
18.2平行四边形的性质
AD=BC，AD∥BC. ∠1=∠2，∠3=∠4. △AOD≌△COB（ASA）. OA=OC，OB=OD.
4
C
①矩形的四个角都是直角 ②矩形的对角线相等．
A O D
B
C
• ①菱形的四边都相等； • ②菱形的对角线互相垂直平分，并且 每条对角线平分一组对角。 D
O A B C
求证:菱形的四条边相等 菱形的两条对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角
菱形的面积
A
B
菱形
O E
C
D
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能计算菱形的面积公式吗?
S菱形ABCD
1 =S△ABD+S△BCD= AC×BD 2
S菱形=底×高=对角线乘积的一半
①正方形的四条边相等. ②正方形的四个角相等.
③正方形的对角线互相平分、互相垂直且相等.
9.如图，在 ABCD中，若BE平分∠ABC， 则ED＝ 4cm ．
A
5cm
B
5cm 3
E 4cm
D
Ａ Ｅ
Ｄ
1
5cm 2 9cm
C Ｂ Ｃ
10.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，点E 为垂足，如果∠A=125°，则∠BCE的度数为多 少？
A 4 B
120°
D O C
8.如图：小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边 形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多 少?
A 8cm B C D 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD, AD=BC
∵AB=8m ∴CD=8m 又AB+BC+CD+AD=36, ∴ AD=BC=10m
4
C
①矩形的四个角都是直角 ②矩形的对角线相等．
A O D
B
C
• ①菱形的四边都相等； • ②菱形的对角线互相垂直平分，并且 每条对角线平分一组对角。 D
O A B C
求证:菱形的四条边相等 菱形的两条对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角
菱形的面积
A
B
菱形
O E
C
D
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能计算菱形的面积公式吗?
S菱形ABCD
1 =S△ABD+S△BCD= AC×BD 2
S菱形=底×高=对角线乘积的一半
①正方形的四条边相等. ②正方形的四个角相等.
③正方形的对角线互相平分、互相垂直且相等.
9.如图，在 ABCD中，若BE平分∠ABC， 则ED＝ 4cm ．
A
5cm
B
5cm 3
E 4cm
D
Ａ Ｅ
Ｄ
1
5cm 2 9cm
C Ｂ Ｃ
10.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，点E 为垂足，如果∠A=125°，则∠BCE的度数为多 少？
A 4 B
120°
D O C
8.如图：小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边 形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多 少?
A 8cm B C D 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD, AD=BC
∵AB=8m ∴CD=8m 又AB+BC+CD+AD=36, ∴ AD=BC=10m
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第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
第3课时 菱形的判定
1 课堂讲解 由对角线的位置关系判定菱形
由边的数量关系判定菱形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定 外，还有其它的判定方法吗？
知1－导
知识点 1 由对角线的位置关系判定菱形
问题1 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个
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知1－讲
例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3， ∴AB2=AO2+BO2. ∴△OAB是直角三角形， AC⊥BD.
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总结
知2－讲
判定菱形的方法： ①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，
再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角 线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再 证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都 相等．
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知2－练
3 (2016·遵义)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于 点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给
出的条件不正确的是( ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
18.2 特殊的平行四边形
第3课时 菱形的判定
1 课堂讲解 由对角线的位置关系判定菱形
由边的数量关系判定菱形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定 外，还有其它的判定方法吗？
知1－导
知识点 1 由对角线的位置关系判定菱形
问题1 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个
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知1－讲
例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3， ∴AB2=AO2+BO2. ∴△OAB是直角三角形， AC⊥BD.
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总结
知2－讲
判定菱形的方法： ①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，
再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角 线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再 证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都 相等．
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知2－练
3 (2016·遵义)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于 点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给
出的条件不正确的是( ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
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三、特殊平行四边形的常用判定方法
平行 (1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等； 四边形 (3)一组对边平行且相等 (4)对角线互相平分；
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； 矩 形 （2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 菱 形 （2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
应变为什么？
A
B
A
B
O
O
D
C
P
图一
D
C
P
19
图二 19
8.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角 形ACE，四边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 150° 时，四边形ADFE是矩形； （2）当∠BAC等于 60° 时，平行四边形ADFE不存在；
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、 正方形.
(2)顺次连接对角线相等但不垂直的四边形 各边中点得 菱形；
(3)顺次连接对角线互相垂直但不相等的四 边形各边中点得 矩形；
(4)顺次连接对角线相等且互相垂直的四边
形各边中点得 正方形.
16
16
6.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2 和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、 C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于 F，则阴影部分的面积是 2.5 .
别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一
个条件，使四边形EFGH为 正方形 ，并说
明理由。 解：添加的条件
A H D
AC＝__B__D__且__A_C_ ⊥BD E
G
B
我想到： 三角形中位线定理
F
C
15
15
我思我进步
我发现：
(1)顺次连接对角线既不相等也不垂直的四 边形各边中点得 平行四边形；
形.
为什么呢？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
10
10
3.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于 点O，∠AOB=2∠BOC， 若对角线 AC=6cm， 则你能求什么？
角？
边？
D
周长？ 面积？
A
C O
B
11
11
4.如图，菱形ABCD的边长为8㎝，
∠BAD=120°，你可以求什么？
A
(1)比如说：面积？
四个角 对角线相等且 都是直角 互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
菱形 正方形
对边平行， 四边相等
对角相等, 邻角互补
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
对边平行， 四个角 四条边 都是直角 都相等
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
轴对称图形、 中心对称图形
轴对称图形、 中心对称图形
D
菱形的面积等于它
O
的两条对角线乘积
的一半.
B
C
(2)解此类题时应： 当菱形有一个内角为60°时，以等边三角 形为突破口.
12
12
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分
别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一
个条件，使四边形EFGH为 菱形 ，并说
明理由。 解：添加的条件
A H D
__A_C_＝__B__D__EGBF NhomakorabeaC
我想到： 三角形中位线定理
13
13
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分
别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一
个条件，使四边形EFGH为 矩形 ，并说
明理由。 解：添加的条件
A H D
__A_C_⊥__B__D__
E
G
B
F
C
我想到： 三角形中位线定理
14
14
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分
(1)有一个角是直角且有一组邻边相等的平 正方形 行四边形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； 8 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。
8
试一试
四、挑战“自我”
探究性开放题
1.已知：AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四
边形，需要增加的条件有：
___A_B_∥__C_D_（__A_D_=_B_C_、__∠__A_+_∠__D_=_1_8_0_°__、______
∵四边形ABCD是矩形
∴CO=DO
∴四边形CODP是菱形
18
18
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于 A 点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，
连结CP，试判断四边形CODP的形状.
D
B
O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)， P 结论应变为什么？
如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又
解:（3) AB=AC时，平行
F
四边形ADFE时菱形。
D
A
E
AB=AC且∠BAC=150°时，
60°
60°
平行四边形ADFE是正方形。 B
C
20 20
特殊的平行四 边形
1
2
2
一、特殊的平行四边形的关系图
矩形
四边形
平行四边形 一角为直角且一组邻边相等 正方形
菱形
3
3
一、特殊的平行四边形的关系图
4
4
5
5
二、几种特殊平行四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行 四边形
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
中心对称 图形
矩形
对边平行 且相等
____∠__B_+_∠__C_=_1_8_0_°__、__∠__A_=_∠__C_、__∠__B_=_∠__D_）__ ______________________________.
A
D
9
B
C
9
2.若四边形ABCD为平行四边形，请补充条
件__A_B_=_B_C___或__A_C_⊥__B_D_使得四边形ABCD为菱
从中我想到： 平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等. 17
17
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点
O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，
试判断四边形CODP的形状.
猜想：菱形？
A
B
解:四边形CODP是菱形
∵ DP∥OC, DP=OC D
O C
∴ 四边形CODP是平行四边形 （一组P 对边 ∥= ）
6
7
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三、特殊平行四边形的常用判定方法
平行 (1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等； 四边形 (3)一组对边平行且相等 (4)对角线互相平分；
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； 矩 形 （2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 菱 形 （2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
应变为什么？
A
B
A
B
O
O
D
C
P
图一
D
C
P
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图二 19
8.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角 形ACE，四边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 150° 时，四边形ADFE是矩形； （2）当∠BAC等于 60° 时，平行四边形ADFE不存在；
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、 正方形.
(2)顺次连接对角线相等但不垂直的四边形 各边中点得 菱形；
(3)顺次连接对角线互相垂直但不相等的四 边形各边中点得 矩形；
(4)顺次连接对角线相等且互相垂直的四边
形各边中点得 正方形.
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6.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2 和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、 C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于 F，则阴影部分的面积是 2.5 .
别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一
个条件，使四边形EFGH为 正方形 ，并说
明理由。 解：添加的条件
A H D
AC＝__B__D__且__A_C_ ⊥BD E
G
B
我想到： 三角形中位线定理
F
C
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15
我思我进步
我发现：
(1)顺次连接对角线既不相等也不垂直的四 边形各边中点得 平行四边形；
形.
为什么呢？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
10
10
3.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于 点O，∠AOB=2∠BOC， 若对角线 AC=6cm， 则你能求什么？
角？
边？
D
周长？ 面积？
A
C O
B
11
11
4.如图，菱形ABCD的边长为8㎝，
∠BAD=120°，你可以求什么？
A
(1)比如说：面积？
四个角 对角线相等且 都是直角 互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
菱形 正方形
对边平行， 四边相等
对角相等, 邻角互补
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
对边平行， 四个角 四条边 都是直角 都相等
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
轴对称图形、 中心对称图形
轴对称图形、 中心对称图形
D
菱形的面积等于它
O
的两条对角线乘积
的一半.
B
C
(2)解此类题时应： 当菱形有一个内角为60°时，以等边三角 形为突破口.
12
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5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分
别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一
个条件，使四边形EFGH为 菱形 ，并说
明理由。 解：添加的条件
A H D
__A_C_＝__B__D__EGBF NhomakorabeaC
我想到： 三角形中位线定理
13
13
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分
别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一
个条件，使四边形EFGH为 矩形 ，并说
明理由。 解：添加的条件
A H D
__A_C_⊥__B__D__
E
G
B
F
C
我想到： 三角形中位线定理
14
14
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分
(1)有一个角是直角且有一组邻边相等的平 正方形 行四边形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； 8 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。
8
试一试
四、挑战“自我”
探究性开放题
1.已知：AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四
边形，需要增加的条件有：
___A_B_∥__C_D_（__A_D_=_B_C_、__∠__A_+_∠__D_=_1_8_0_°__、______
∵四边形ABCD是矩形
∴CO=DO
∴四边形CODP是菱形
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如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于 A 点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，
连结CP，试判断四边形CODP的形状.
D
B
O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)， P 结论应变为什么？
如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又
解:（3) AB=AC时，平行
F
四边形ADFE时菱形。
D
A
E
AB=AC且∠BAC=150°时，
60°
60°
平行四边形ADFE是正方形。 B
C
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特殊的平行四 边形
1
2
2
一、特殊的平行四边形的关系图
矩形
四边形
平行四边形 一角为直角且一组邻边相等 正方形
菱形
3
3
一、特殊的平行四边形的关系图
4
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5
5
二、几种特殊平行四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行 四边形
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
中心对称 图形
矩形
对边平行 且相等
____∠__B_+_∠__C_=_1_8_0_°__、__∠__A_=_∠__C_、__∠__B_=_∠__D_）__ ______________________________.
A
D
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B
C
9
2.若四边形ABCD为平行四边形，请补充条
件__A_B_=_B_C___或__A_C_⊥__B_D_使得四边形ABCD为菱
从中我想到： 平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等. 17
17
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点
O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，
试判断四边形CODP的形状.
猜想：菱形？
A
B
解:四边形CODP是菱形
∵ DP∥OC, DP=OC D
O C
∴ 四边形CODP是平行四边形 （一组P 对边 ∥= ）