2016年北京高考(理科)数学分类汇编-第3讲：导数汇总-共8页

2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =-I .2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.1,2()2x +y =02x-y=0x =0x +y =33. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10--=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=aOCBAyx14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴ ∵222a c b+=+∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4AC +=cos A C +()A A A =++ A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为116． 【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD I 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD∵PA PD = ∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =-u u u v ，，，(011)PD =--u u u v ，，，(201)PC =-u u u v，，，(210)CD =--u u u v，，设n v为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =v ， 011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩v u u u v v v u u u v ，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n θ=<v u u u⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-u u u r ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-u u u u r有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-u u u u r u u u r∴()1,,BM λλ=--u u u u rOx yz PABCD∵BM ∥面PCD ，n u u r为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅=u u u u r r即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+Q∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos My θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<<L ，对于第一个“G 时刻”，有11i i a a a >≥，1231i i =-L ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =-L ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=-L ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a +L ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。

2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2、（2016年全国I 高考）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为【答案】D二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程 是_______________。

【答案】21y x =--三、解答题1、（2016年北京高考） 设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′x x x a x f －－－ 322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1） 当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2a x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′xx x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322xx x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－ ，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ， 于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－， 所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ． 所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－． 即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．3、（2016年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) ＞-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

导数一、选择题1．（5分）（2016•海淀区校级一模•民大附中）已知函数f（x）=e x﹣2ax，函数g（x）=﹣x3﹣ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，3）B．（﹣6，0）C．[﹣2，3] D．[﹣6，0]2．（5分）（2016•海淀区二模）函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）（2016•海淀区校级模拟•人大附中）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．二、填空题4．（5分）（2016•丰台区二模）已知x=1，x=3是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，且f（x）在x=处的导数f′（）＜0，则f（）=．5．（5分）（2016•海淀区校级一模•民大附中）边界为y=0，x=e，y=x，及曲线y=上的封闭图形的面积为．6．（2016•海淀区校级模拟•农大附中）如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是．7．（5分）（2016•房山区二模）定积分dx的值为．三、解答题8．（13分）（2016•西城区二模）设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．9．（13分）（2016•西城区一模）已知函数f（x）=xe x﹣ae x﹣1，且f′（1）=e．（1）求a的值及f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1﹣x2|＞ln．10．（13分）（2016•海淀区一模）已知函数f （x）=ln x+﹣1，g（x）=（Ⅰ）求函数f （x）的最小值；（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y=x不是曲线y=g（x）的切线．11．（14分）（2016•海淀区二模）已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）12．（13分）（2016•朝阳区一模）已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．13．（14分）（2016•东城区一模）设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．14．（13分）（2016•石景山区一模）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，求实数k的最大值．15．（13分）（2016•顺义区一模）已知函数f（x）=x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x+t，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．16．（13分）（2016•通州区一模）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a≠0）．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的零点；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若f（x）+≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．17．（13分）（2016•海淀区校级模拟•人大附中）已知函数f（x）=﹣（1+2a）x+ln（2x+1），a＞0．（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）当a＞时，若存在x0∈（，+∞）使得f（x0）＜﹣2a2，求实数a的取值范围．18．（14分）（2016•丰台区一模）已知函数f （x ）=xlnx ．（Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：f （x ）≥x ﹣1； （Ⅲ）若在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的最小值．19．（2016•东城区二模）（本小题共14分）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（Ⅲ）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围．20．（13分）（2016•昌平区二模）已知函数f （x ）=e ax ，g （x ）=﹣x 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ），且曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（0，c ）处具有公共切线．设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）．（Ⅰ）求c 的值，及a ，b 的关系式；（Ⅱ）求函数h （x ）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x 1，x 2∈[0，1]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤e ﹣1，求a 的取值范围．21．（13分）（2016•朝阳区二模）已知函数f（x）=﹣+（a+1）x+（1﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，求曲线C：y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，若曲线C：y=f（x）上的点（x，y）都在不等式组所表示的平面区域内，试求a的取值范围．22．（2016•海淀区校级模拟•农大附中）已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．23．（14分）（2016•海淀区校级模拟•清华附中）已知函数f（x）=e（x2﹣3ax+a2））（a＞0）（1）求函数f（x）单调区间；（2）函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是否存在最小值，若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．24．（14分）（2016•海淀区校级一模•民大附中）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由（3）当x∈（0，e]时，求证：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．25．（13分）（2016•海淀区校级模拟•北方交大附中）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）求证：f（x）≥1；（Ⅱ）若x﹣1＞alnx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．26．（13分）（2016•房山区二模）已知函数f（x）=（a≠0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣﹣lnx，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，求实数a的取值范围．27．（13分）（2016•房山区一模）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的极大值；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，求a的取值范围．28．（13分）（2016•大兴区一模）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中a≠0．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，判断函数f（x）零点的个数．（只需写出结论）。

数学（理）（北京卷）参考答案第1页（共8页）绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C（6）A（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10）60 （11）2（12）6 （13）2（14）2(,1)-∞-三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得所以222cos 2a c b B ac +-===又因为0πB <∠<， 所以π4B ∠=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3π4A C +=．cos A C+3πcos()4A A =+-()A A A =++A A =+ πsin()4A =+因为3(0,π)4A ∈，所以当π4A ∠=cos A C +取得最大值1．数学（理）（北京卷）参考答案第2页（共8页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人估计为81004020⨯=人． （Ⅱ）在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38=（Ⅲ）10μμ<．三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值．数学（理）（北京卷）参考答案第3页（共8页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ． 所以AB ⊥PD ．又因为PA ⊥PD ， 所以PD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）取AD 中点为O ，连结CO ，PO ．因为PA PD =， 所以PO ⊥AD ．又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． 因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥CO ．因为CD AC ==所以CO ⊥AD ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =- ，，，(210)CD =--，， 设n为平面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与平面PCD 夹角θ有数学（理）（北京卷）参考答案第4页（共8页）sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===（Ⅲ）设存在M 点使得BM ∥平面PCD设AMAPλ=，()0,','M y z 由（Ⅱ）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-所以()1,,BM λλ=--因为BM ∥平面PCD ，n为PCD 的法向量 所以0BM n ⋅=即102λλ-++=所以1=4λ所以综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求．数学（理）（北京卷）参考答案第5页（共8页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）()e a x f x x bx -=+所以()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ 所以(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，所以222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-所以()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=- 所以()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．数学（理）（北京卷）参考答案第6页（共8页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知，112c ab a ==， 又222a b c =+，解得2,1,a b c ==所以椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. 所以00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. 所以0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅数学（理）（北京卷）参考答案第7页（共8页）故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ， 直线PA ：()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. 所以sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.所以2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.数学（理）（北京卷）参考答案第8页（共8页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）(){}25G A =，． （Ⅱ）因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． （Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾． 从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。

数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 11 页）绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则AB =（A ）{0,1} （B ）{0,1,2} （C ）{1,0,1}-（D ）{1,0,1,2}-（2）若,x y 满足20,3,0,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥ 则2x y +的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）4（D ）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 11 页）（4）设,a b 是向量．则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知,R x y ∈，且0x y >>，则（A ）110x y-> （B ）sin sin 0x y ->（C ）11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln ln 0x y +>（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）16（B ）13（C ）12（D ）1（7）将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(,)4P t 向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则 （A ）12t =，s 的最小值为π6 （B）t =，s 的最小值为π6 （C ）12t =，s 的最小值为π3（D）t =，s 的最小值为π3（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）正（主）视图数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则 =____________________.（12）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则.（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学解析戴又发本试卷共5页。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合}2{<=x x A ，}3,2,1,0,1{-=B ，则=B A （A ）}1,0{ （B ）}2,1,0{（C ）}1,0,1{- （D ）}2,1,0,1{- 【解析】由)2,2(}2{-=<=x x A ，}3,2,1,0,1{-=B ，得 =B A }1,0,1{-，故选（C ）（2）若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0302x y x y x ，则y x +2的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5【解析】画出可行域，可知可行域为三角形区域，其三顶点坐标为： （1，2），（0，0），（0，3），分别代入目标函数y x +2，得 最优解为（1，2），y x +2的最大值为4，故选（C ）（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【解析】进入循环体前1,1,0===b a k ，kk =ka=b输入a k =0,b=a第一次进入循环体后1,21=-=b a ；由于b a ≠，使得1=k 后，第二次进入循环体2-=a ； 由于b a ≠，使得2=k 后，第三次进入循环体1=a ； 此时b a =，退出循环，所以2=k ．故选（B ）．（4）设b a ,是向量，则“b a =”是“b a b a -=+”的 （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【解析】由于b a b a -=+的充分必要条件为22)()(b a b a -=+，22)()(b a b a -=+的充分必要条件为0=⋅b a ．所以“b a =”既不是“b a b a -=+”的充分条件，也不是“b a b a -=+”的必要条件．故选（D ）．（5）已知R y x ∈,，且0>>y x ，则（A ）011>-yx （B ）0sin sin >-y x （C ）0)21()21(<-yx（D ）0ln ln >+y x【解析】且0>>y x ，得011<-yx ，（A ）不成立； 又因为x sin 不是单调函数，（B ）不成立； 而x)21(是单调递减函数，所以（C ）成立． 故选（C ）．(6)某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为111 侧（左）视图正（主）视图 俯视图（A ）61 （B ）31 （C ）21（D ）1 【解析】该三棱锥的高为１，底面为一个直角 边长为１的等腰直角三角形，所以体积为 6112131=⨯⨯=V ，故选（A ）．(7)将函数)32sin(π-=x y 图象上的点),4(t P π向左平移)0(>s s 个单位长度得到点P '.若P '位于函数x y 2sin =的图像上，则（A ）21=t ，s 的最小值为6π （B ）23=t ，s 的最小值为6π（C ）21=t ，s 的最小值为3π （D ）23=t ，s 的最小值为3π【解析】由点),4(t P π在函数)32sin(π-=x y 图象上，得21=t ； 将点)21,4(πP 向左平移s 个单位长度后，得到点)21,4(s P +'π. 将点)21,4(s P +'π的坐标代入x y 2sin =，得21)22sin(=+s π，又0>s ． 所以s 的最小值为6π．故选（A ）．（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】当取到两个球都是红球时，乙盒将得到一个红球， 当取到两个球都是黑球时，丙盒将得到一个黑球，红球、黑球各占一半．所以乙盒得到红球与丙盒得到黑球的个数相等； 当从袋中任意取出两个球不同色时，乙盒中不可能得到红球，丙盒中不可能得到黑； 所以，乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，故选（B ）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设R a ∈，若复数))(1(i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则=a ________． 【解析】复数))(1(i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，可知))(1(i a i ++是实数．其虚部01=+a ，所以1-=a ，应填1-．（10）在6)21(x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【解析】6)21(x -的展开式中，含有2x 的项为2242660)2(1x x C =-⨯⨯，所以2x 的系数为60，应填60．（11）在极坐标系中，直线01sin 3cos =--θρθρ与圆θρcos 2=交于A ，B 两点， 则=AB _______________.【解析】圆θρcos 2=的直径为2，圆心为)0,1(，由于直线01sin 3cos =--θρθρ过圆心，所以=AB 2，应填2．（12）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若61=a ，053=+a a ，则=6S _____. 【解析】由053=+a a 知04=a ，又61=a ，所以2-=d ，46-=a ，所以662616=⨯+=a a S ，应填6．（13）双曲线)0,0(12222>>=b a by －a x 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则=a ____________. 【解析】由题意及双曲线的性质得b a =，8222=+=b a c ，所以=a 2．应填2．（14）设函数⎩⎨⎧>-≤-=ax x ax x x x f ,2,3)(3①若0=a ，则)(x f 的最大值为_______________；② 若)(x f 无最大值，则实数a 的取值范围为_____________． 【解析】作出函数的图象，数形结合．①由0=a ，只需求)0(3)(3≤-=x x x x g 的最大值即可．因为33)(2-='x x g ，所以在0≤x 时，)(x g 的最大值为2)1(=-g ，所以应填2．②求x x x g 3)(3-=与x x h 2)(-=的交点，得1,0,1-=x ，当1-<a 时，)(x f 无最大值， 所以实数a 的取值范围是)1,(--∞，应填)1,(--∞．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）在∆ABC 中，333a cb +=+ （I ）求B ∠ 的大小（II cos cos A C + 的最大值．【解析】（Ⅰ）由余弦定理及题设得22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B .又因为π<∠<B 0，所以4π=∠B .（Ⅱ）由（Ⅰ）知43π=∠+∠C A .)43cos(cos 2cos cos 2A A C A -+=+π)4cos(sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2π-=+=+-=A A A A A A , 因为430π<∠<A ，所以当4π=∠A 时，C A cos cos 2+取得最大值1.（16）（本小题13分）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通（I ） 试估计C 班的学生人数；（II ） 从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III ）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为40208100=⨯. （Ⅱ）设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，5,,2,1⋅⋅⋅=i ， 事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，8,,2,1⋅⋅⋅=j ， 由题意可知，51)(=i A P ，5,,2,1⋅⋅⋅=i ；81)(=j C P ，8,,2,1⋅⋅⋅=j . 4018151)()()(=⨯=j i j i C P A P C A P ,5,,2,1⋅⋅⋅=i ,8,,2,1⋅⋅⋅=j .设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，ＡＢＣＤＰ3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （Ⅲ）01μμ<.（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ， PA ⊥PD ,PA ＝PD,AB ⊥AD,AB ＝1,AD ＝2,AC ＝CD 5 , （I ）求证：PD ⊥平面PAB;（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（III ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM//平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。

2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A.B.C.D.{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】试题分析：由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，选C. 【考点】集合的交集运算.2．若x,y 满足则2x y +的最大值为A.0B.3C.4D.5【答案】C 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则当y x z +=2经过点P 时，z 取得最大值，又)2,1(P ，所以所求最大值为4.【考点】线性规划.【名师点睛】若约束条件表示的可行域是封闭区域，则可以将顶点坐标代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若约束条件表示的可行域不是封闭区域，则不能简单地运用代入顶点坐标的方法求最值.3．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】输入1=a ，则0=k ，1=b ；进入循环体：21-=a ，否，1=k ；2-=a ，否，2=k ；1=a ，此时1==b a ，跳出循环体，输出k ，则2=k ，选B.【考点】算法与程序框图【名师点睛】解决循环结构的框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件)，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.4．设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由||||=a b 无法得到||||+=-a b a b ，充分性不成立；由||||+=-a b a b ，得0⋅=a b ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D. 【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 5．已知,x y ∈R ，且0x y >>，则A.110x y-> B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +> 【答案】C 【解析】A.由0>>y x ，得y x 11<，即011<-yx ，A 不正确； B.由0>>y x 及正弦函数的单调性，可知0sin sin >-y x 不一定成立； C.由1210<<，0>>y x ，得y x )21()21(<，故0)21()21(<-y x ，C 正确； D.由0>>y x ，得0>xy ，但xy 的值不一定大于1，故ln ln =ln 0x y xy +>不一定成立，故选C.【考点】函数性质6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.B.C.D. 1【答案】A 【解析】考点：三视图.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握锥体的体积公式. 7．将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(,)4P t 向左平移s （s ﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数sin 2y x =的图象上，则 A.12t =，s 的最小值为π6B.t = ，s 的最小值为π6C.12t =，s 的最小值为π3D.t =，s 的最小值为π3【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】B 【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B. 【考点】概率统计分析【名师点睛】本题创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.二、填空题：9．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________. 【答案】1- 【解析】由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈⇒=-R .【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 10．__________________.（用数字作答）【答案】60 【解析】2226C (2)60x x -=，∴所求系数为60.【考点】二项式定理 【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项1C r n r rr n T a b -+=，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2.求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n 的范围分析.11．在极坐标系中，则||AB =____________________. 【答案】2 【解析】直线10x --=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【考点】极坐标方程【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式θρθρsin ,cos ==y x 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程时，要灵活运用θρθρsin ,cos ==y x 以及22y x +=ρ，)0(tan ≠=x xyθ，同时要掌握必要的技巧. 12．___.【答案】6 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-，所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6． 【考点】等差数列的基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量1a ，d ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.13．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 【答案】2 【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知OB =，所以22222a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线. 14．设函数33,()2,⎧-≤=⎨->⎩x x x af x x x a.①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】 ①2 ②(,1)-∞- 【解析】如图，作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极小值点， ①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值(1)2f -=；只有当1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求a 的取值范围是(,1)-∞-．【考点】分段函数求最值,数形结合【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．三、综合题：15．在△ABC 中，2222+=a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（22cos cos A C + 的最大值. 【答案】 （1）π4； （2）1. 【解析】（1）由余弦定理及题设得22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B .又因为0πB <∠<，所以π4B ∠=. （2）由（1）知3π4A C ∠+∠=. 3πcos cos()4A C A A +=+-πcos()4A A A A A A ==+=-. 因为3π04A <∠<，所以当π4A ∠=时，C A cos cos 2+取得最大值1. 【考点】三角函数、余弦定理【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆或内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．16．A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得（1）试估计C 班的学生人数；（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明） 【答案】 （1）40； （2）38； （3）01μμ<. 【解析】（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为40208100=⨯. （2）设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，5,,2,1⋅⋅⋅=i ， 事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，8,,2,1⋅⋅⋅=j ，由题意可知，51)(=i A P ，5,,2,1⋅⋅⋅=i ；81)(=j C P ，8,,2,1⋅⋅⋅=j . 111()()()=5840i j i j P AC P A P C =⨯=,5,,2,1⋅⋅⋅=i ,8,,2,1⋅⋅⋅=j . 设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A .因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P .（3）01μμ<.【考点】分层抽样、相互独立事件的概率、平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式)(1)(A P A P -=，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析； （2）33；（3）存在，41=AP AM . 【解析】（1）因为平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB ⊥， 所以⊥AB 平面PAD . 所以PD AB ⊥. 又因为PD PA ⊥， 所以⊥PD 平面PAB .（2）取AD 的中点O ，连结CO PO ,.因为PD PA =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO . 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -.由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以(1,2,2)=-n .又)1,1,1(-=PB，所以cos ,3PB PB PB⋅==-n n n 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AP AM λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0BM ⋅=n ，即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得∥BM 平面PCD ，此时41=AP AM . 【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.18．设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）2,e a b ==；（2） ),(+∞-∞【解析】（1）因为()e a x f x x bx -=+，所以()(1)e a x f x x b -'=-+.依题设，(2)2e 2,(2)e 1,f f =+⎧⎨'=-⎩即222e 22e 2,e e 1,a ab b --⎧+=+⎨-+=-⎩ 解得2,e a b ==.（2）由（1）知2()e e x f x x x -=+.由21()e (1e )x x f x x --'=-+及2e 0x ->知，)(x f '与11e x x --+同号.令1()1e x g x x -=-+，则1()1e x g x -'=-+.所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增.故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x .故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.【考点】导数的应用；运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．19．已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）1422=+y x ； （2）见解析.【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为1100+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.20．设数列A ：1a ，2a ,…,N a (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：−2，2，−1，1，3，写出)(A G 的所有元素；（2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a −1n a -≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于Na−1a .【答案】（1）)(A G 的元素为2和5；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）)(A G 的元素为2和5.（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}12,i i i N a a *∈≤≤>≠∅N . 记{}1min 2,i m i i N a a *=∈≤≤>N ，则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,.因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G .（3）当1a a N ≤时，结论成立.以下设1a a N >.由（2）知∅≠)(A G .设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(.记10=n .则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210.对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{},i i i k n G k n k N a a *=∈<≤>N .如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1.从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G .从而对任意p n k N ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤.对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0.因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a .所以p a aa a a a i i p n p i n n N ≤-=-≤--∑=)(1111.因此)(A G 的元素个数p 不小于1N a a -.【考点】数列、新定义问题.【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，1=q 或1≠q )等.。

2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题一1 nx,0 ：： x ：： 1,1、 ( 2016年四川高考)设直线 l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P i ，P 2In x,x A 1,处的切线，11与I 2垂直相交于点P,且|1，|2分别与y 轴相交于点A , B,则△ PAB 的面积的 取值范围是(A ) (0,1)( B ) (0,2) ( C ) (0,+ R ) ( D ) (1,+ R )【答案】A2、 ( 2016年全国I 高考)函数y=2x 2- e |x|在［-2,2］的图像大致为、填空题y = ln(x ■ 1)的切线，则 b 二 ________【答案】1 -1n 22、(2016年全国III 高考)已知f x 为偶函数，当x ：：： 0时，f(x) =ln(-x) • 3x ，则曲1、(2016年全国II 高考)若直线 y 二kx • b 是曲线y = In x • 2的切线，也是曲线线y二f x在点(1,-3)处的切线方程【答案】y=「2x_1 三、解答题1、(2016年北京高考) 设函数f(x)二xe a°・bx，曲线y = f (x)在点(2, f (2))处的切线方程为y =(e -1)x - 4，(1 )求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间.【解析】(I’)’ f(x)二xe a」・bx••• f (x) =e a- -xe a- b=(1—x)e a* b•••曲线y = f(X)在点(2, f (2))处的切线方程为y =(e -1)x 4••• f (2) =2(e -1) 4 , f (2) =e —1即f (2) =2e a2 2b =2(e -1) - 4 ①f (2) =(1—2)e a， b =e—1 ②由①②解得：a =2 , b =e(II )由(I)可知：f (x) =xe" ex, f (x) =(1 -x)e2」e令g(x) =(1-x)e2」,•- g (x) = -e2」一(1 _x)e2» =(x _2)e2丄• g(x)的最小值是g(2) =(1-2)e2' =-1•- f (x)的最小值为f ⑵=g(2) • e 二e「1 0 即f (x) 0对-x・R恒成立•f(x)在-::，；上单调递增，无减区间•“2x —12、(2016 年山东高考)已知f(x)二a x-I nx 2 ,a，R.x(I)讨论f (x)的单调性；(II )当a =1时，证明f(x)> f' x •孑对于任意的x，〔1,2 1成立.)求导数 f '(x)二 a(1— -)—2x — 2x (x —1)(ax 2—2)(n )当 a =1 时，f(x)= x — l nx+^F^ , xf(x) = (x —^=1— 1二+刍x x x是 f(x)— f (x) = x — In x +2x —1—(— 1 x x “ 3 1 2二 x — In x —1 + — + ~2 — 3 , x ：二[1,2]xx x31 2【解析】(Ix 3当a<0时,x €(o,1) , f '(x)>0 ,f (x)单调递增,f(x)单调递减;当a >f( x)=(x -1)(ax2-2)x 3a(xT )(x —、a )(x+； ax 3(1)当0v a <2时,2>1, ax €(0,1)或 x乙2，+马，f '(x)>°，f (x)单调递增,€(1,) , f (x) < 0 , f (x)单调递减; \ a⑵ 当a = 2时,2= 1, x €(0,+旳,f (x) >0 , f(x)单调递增, a(3)当 a>2时，0<十2<1 ,\ ax2鬥或 x 5…(x)>0，f (x)单调递增,x €(： 2,1), ■- af (x) < 0 , f (x)单调递减;令 g(x) = x — In x , h(x) = —l+_+p — 3 , x [1,2]x x x于是 f (x)— f '(x) = g(x ) + h(x),1 g'(x) = 1 ------------------- x—1 x>0 ,g(x)的最小值为g(1) = 1 ；x又 h(x)= 32 3 + x 6 —3 x 2—2 x + 6 " 2 x4= x4 x设 6(x) = —3x 2—2x+6, x [1,2]，因为 6(1) = 1 , 0(2) = —10 , 所以必有x 0 € [1,2]，使得0x 。