2021年中考数学 专题训练 与圆相关的计算(含答案)

2021中考数学 专题训练：圆的有关性质一、选择题1. 如图，线段AB 经过☉O 的圆心，AC ，BD 分别与☉O 相切于点C ，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则圆弧CD 的长度为 ( )A .πB .2πC .2πD .4π2. 如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°3. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P (0，－3)，那么经过点P 的所有弦中，最短的弦的长为( )A ．4B ．5C ．8D ．104. 如图，AB 是⊙O的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上．若∠AED ＝20°，则∠BCD的度数为( )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°5. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7 B ．27 C ．6 D ．86. 在⊙O 中，M为AB ︵的中点，则下列结论正确的是( )A ．AB ＞2AM B ．AB ＝2AMC ．AB ＜2AMD ．AB 与2AM 的大小关系不能确定7. 如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵与垂直于AB 的半径OC 交于点D ，且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为( )A ．4 2B ．8 2C ．6D ．6 38. 如图，在⊙O内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为( )A ．19B ．16C ．18D ．209. 如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则⊙O 的半径为( )A．2 3 B．3 C．4 D．4－ 310. (2019•仙桃)如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了cm.12. 如图0，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B 两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD ，BE ，它们交于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________.14. 如图，AB ，CD是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．三、解答题16.如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵的长．(结果保留π)17.如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．18. 已知平面直角坐标系中两定点A (－1, 0)、B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；（3）若m ＞，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2021中考数学 专题训练：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】B [解析]连接CO ，DO ，因为AC ，BD 分别与☉O 相切于C ，D ，所以∠ACO=∠BDO=90°，所以∠AOC=∠A=45°，所以CO=AC=4， 因为AC=BD ，CO=DO ，所以OD=BD ，所以∠DOB=∠B=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB -∠AOC=180°-45°-45°=90°，==2π，故选B .2. 【答案】A[解析] ∵∠A ＝50°，OA ＝OB ，∴∠B ＝∠A ＝50°，∴∠AOB ＝180°－50°－50°＝80°. ∵C 是AB ︵的中点， ∴∠BOC ＝12∠AOB ＝40°. 故选A.3. 【答案】C[解析] 过点P 作弦AB ⊥OP ，连接OB ，如图．则PB ＝AP ，∴AB ＝2BP ＝2OB2－OP2.再过点P 任作一条弦MN ，过点O 作OG ⊥MN 于点G ，连接ON . 则MN ＝2GN ＝2ON2－OG2.∵OP ＞OG ，OB ＝ON ，∴MN ＞AB ， ∴AB 是⊙O 中的过点P 最短的弦．在Rt △OPB 中，PO ＝3，OB ＝5，由勾股定理，得PB ＝4，则AB ＝2PB ＝8.4. 【答案】B[解析] 连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠AED ＝20°，∴∠ACD ＝20°，∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝110°.故选B.5. 【答案】B[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.6. 【答案】C[解析] 如图，∵M 为AB ︵的中点，∴AM ＝BM.∵AM ＋BM ＞AB ， ∴AB ＜2AM.故选C.7. 【答案】B[解析] 如图，延长CO 交AB 于点E ，连接OB .∵CE ⊥AB ，∴AB＝2BE .∵OC ＝6，CD ＝2OD ，∴CD ＝4，OD ＝2，OB ＝6.由折叠的性质可得DE ＝12×(6×2－4)＝4，∴OE ＝DE －OD ＝4－2＝2.在Rt △OEB 中，BE ＝OB2－OE2＝62－22＝4 2，∴AB ＝8 2.故选B.8. 【答案】D[解析] 如图，延长AO 交BC 于点D ，过点O 作OE ⊥BC 于点E.∵∠A ＝∠B ＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∴AD ＝DB ＝AB ＝12，∠ADB ＝∠A ＝60°，∴OD ＝AD －OA ＝12－8＝4.在Rt △ODE 中，∵∠DOE ＝90°－∠ADB ＝30°，∴DE ＝12OD ＝2，∴BE ＝DB －DE ＝12－2＝10.由垂径定理，知BC ＝2BE ＝20.9. 【答案】A[解析] 如图，设⊙O 与AC 的切点为E ，连接AO ，OE.∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°. ∵⊙O分别与边AB，AC相切，∴∠OEC＝90°，∠BAO＝∠CAO＝12∠BAC＝30°，∴∠AOC＝90°，∴OC＝12AC＝4.在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，∠C＝60°，∴∠COE＝30°，∴CE＝12OC＝2，∴OE＝2 3，∴⊙O的半径为2 3.10. 【答案】A【解析】如图，连接．∵为的直径，为的切线，∴，∵，∴，．又∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．又∵点在上，∴是的切线，故①正确，∵，∴，∵，∴垂直平分，即，故②正确；∵为的直径，为的切线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故③正确；∵，，∴，∴，∵，∴，故④正确，故选A．二、填空题11. 【答案】10或70[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.由垂径定理得:BC=AB=30 cm.在Rt△OBC中，OC==40(cm).当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm时，圆心到水面距离==30(cm)，水面上升的高度为:40-30=10(cm).当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.故答案为10或70.12. 【答案】5[解析] ∵OE过圆心且与PA垂直，∴PE＝EA.同理PF＝FB，∴EF是△PAB的中位线，∴EF＝12AB＝5.13. 【答案】8[解析] 连接AD，如图所示．∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴BD＝CD.又∵OA＝OB，∴OD∥AC，∴OD⊥BE，∴BM＝EM，∴CE＝2MD＝4，∴AE＝AC－CE＝6，∴BE＝AB2－AE2＝102－62＝8.14. 【答案】7 2[解析] 如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为P A＋PC 的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形，∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝12AB＝4，CF＝12CD＝3，∴OE＝OB2－BE2＝52－42＝3，OF＝OC2－CF2＝52－32＝4，∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7 2，则P A＋PC的最小值为7 2.15. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.又∵PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73.综上所述，PA的长为3或73.三、解答题16. 【答案】(1)证明：如解图，连接OD，(1分)∵DF是⊙O的切线，D为切点，解图∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，(2分)∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，(3分)∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC.(4分)(2)解：∵∠CDF＝30°，由(1)得∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，(7分)∴∠BOD＝60°，∴lBD ︵＝nπR 180＝60π×5180＝53π.(8分)17. 【答案】(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，∴AC ＝OA ＝OC ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥DC ，∴∠DCO ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°，∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ，∴四边形OBPC 为菱形；(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CP A 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL)．18. 【答案】（1）因为抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于A (－1, 0)、B (4, 0)两点， 所以y ＝a (x ＋1)(x －4)＝ax 2－3ax －4a ．所以－4a ＝－2，b ＝－3a ．所以，．所以。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯2021中考数学几何专题：与圆相关的计算一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为()A．8 B．4C．4π＋4 D．4π－42. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB ＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．93. 如图半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A，C，则劣弧AC的长度为()图A.35π B.45π C.34π D.23π4.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是( )A. π4B.12＋π4C.π2D.12＋π25. 一元硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大为()A．12 mm B．12 3 mm C．6 mm D．6 3mm6. （2020·云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（）A．B．1 C．D．7. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()A. 2 B．2 2 C.22D．18. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是()A．5∶2 B．3∶2 C．3∶1 D．2∶19. 已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动旋转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，扇形工件所在圆的直径为6 m，则圆心O所经过的路线长是(结果用含π的式子表示)()A．6π m B．8π m C．10π m D．12π m10. （2020·株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点1A，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A. 4πB. 6C. 43D. 8 3π二、填空题（本大题共6道小题）11. 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为.12. （2020·黑龙江龙东）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．13. （2020·玉林）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF 绕顶点A顺时针旋转到四边形AD/E/F/处，此时边AD/与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是．14. (2019•十堰)如图，AB为半圆的直径，且6AB=，将半圆绕点A顺时针旋转60︒，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．15. （2020·广西北部湾经济区）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E 从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为．16. （2020·青岛）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=120°，AB+AC=16，弧MN的长为π，则图中阴影部分的面积为.三、解答题（本大题共5道小题）17. 如图，BE是☉O的直径，点A和点D是☉O上的两点，过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.(1)若∠ADE=25°，求∠C的度数;(2)若AB=AC，CE=2，求☉O的半径长.18.如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆O的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．19. （2020·河北）如图13，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC=OD，以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆，点P 为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE ，CP .（1）①求证：△AOE ≌△POC ；②写出∠1，∠2和∠C 三者间的数量关系，并说明理由.（2）若OC =2OA =2，当∠C 最大时，直接指出CP 与小半圆的位置关系，并求此时S 扇形EOD （答案保留π）.备用图图1321BAO BAO CDDCPE20. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG . (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．21. （2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE ，圆心为O ，OA 与BE 交于点H ，AC 、AD 与BE 分别交于点M 、N ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；（2）求证：，且其比值k＝；（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．2021中考数学几何专题：与圆相关的计算-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】B[解析] 连接OA，OC，则∠OAE＝∠OCD＝90°.∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠E＝∠D＝108°，∴∠AOC＝540°－∠OAE－∠OCD－∠E－∠D＝144°，∴劣弧AC的长度为144180×π×1＝45π.4. 【答案】A 【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝2，则半径OA ＝OB＝1，∵△AOC≌△BOC，∴△AOC的面积与△BOC的面积相等，∴阴影部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为14π×12＝π4.5. 【答案】A[解析] 正六边形外接圆的直径等于正六边形边长的2倍．6. 【答案】D ．【解析】设圆椎的底面圆的半径为r ，根据题意可知：AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝45°，∴2πr ＝，解得r ＝．所以该圆椎的底面圆的半径是． 7. 【答案】A[解析] 如图所示，连接OA ，OE.∵AB 是小圆的切线， ∴OE ⊥AB.∵四边形ABCD 是正方形， ∴AE ＝OE.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2， ∴OE ＝ 2.故选A.8. 【答案】C[解析] 正六边形的面积＝6×34×(2a )2＝6 3a 2，阴影部分的面积＝a ·2 3a ＝2 3a 2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 3a 2∶2 3a 2＝3∶1.9. 【答案】A[解析] 如图，∠AOB ＝360°－270°＝90°，则∠ABO ＝45°，则∠OBC ＝45°，点O 旋转的长度是2×45π×3180＝32π(m)，点O 移动的距离是270π×3180＝92π(m)，则圆心O 所经过的路线长是32π＋92π＝6π(m)．10. 【答案】D【解析】求线段CA 扫过的图形的面积，即求扇形ACA 1的面积. 由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A 1BC=90°.由旋转的性质，得A 1C=AC=4. 在Rt △A 1BC 中，cos ∠ACA 1=1BC A C =12.∴∠ACA 1=60°. ∴扇形ACA 1的面积为2460360π⨯⨯=83π. 即线段CA 扫过的图形的面积为83π.故选：D二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】5 [解析]如图，已知☉O ，圆内接正方形ABCD.连接OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正方形的边长为a ，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=，由勾股定理得OE 2+BE 2=OB 2，即2+2=52，解得a=5.12. 【答案】10【解析】本题考查了圆锥侧面的展开图，解：∵S l•R ，∴•l•15＝150π，解得l ＝20π，设圆锥的底面半径为r ，∴2π•r ＝20π，∴r ＝10（cm ）． 故答案为：10． 13. 【答案】3π 【解析】先观察图中阴影部分的面积应该等于哪几个规则图形面积的和或差，然后再根据公式进行计算.∵六边形ABCDEF 是正六边形∴每个内角的度数为180°－3606＝120°，且AB ＝BC ，∴∠F AB ＝∠E ＝∠B ＝120°，∵AB ＝BC ，∴∠CAB ＝∠ACB ＝30°，∵任何正六边形都有一个外接圆，∴四边形ADEF 是正六边形外接圆中的内接四边形且AD 为直径，∴AD ＝6，∠E ＋∠F AD ＝180°，∴∠F AD ＝60°，∴∠DAC ＝120°－∠F AD －∠CAB ＝30°，由旋转的性质得：四边形AD /E /F /≌四边形ADEF ，则图中阴影部分的面积＝四边形ADEF 的面积＋扇形ADD '的面积－四边形AD /E /F /的面积＝扇形ADD '的面积＝2306360π⨯＝3π；故答案为：3π．14. 【答案】6π【解析】由图可得，图中阴影部分的面积为：22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=，故答案为：6π．15. 【答案】π【解析】如图，作△CBD 的外接圆⊙O ，连接OB ，OD ．∵四边形ABCD 是菱形，∵∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ， ∴△ABD ，△BCD 都是等边三角形，∴BD ＝AD ，∠BDF ＝∠DAE ，∵DF ＝AE ，∴△BDF ≌△DAE （SAS ）， ∴∠DBF ＝∠ADE ， ∵∠ADE +∠BDE ＝60°， ∴∠DBF +∠BDP ＝60°， ∴∠BPD ＝120°，∵∠C ＝60°，∴∠C +∠DPB ＝180°， ∴B ，C ，D ，P 四点共圆， 由BC ＝CD ＝BD ＝2，可得OB ＝OD ＝2，∵∠BOD ＝2∠C ＝120°， ∴点P 的运动的路径的长π．，因此本题答案是π．16. 【答案】π33324--【解析】本题考查了切线的性质、四边形的内角和、弧长公式、三角形的面积公式、切线长定理、三角函数、组合图形的面积计算，解答过程如下：如图所示，连接OM 、ON 、OA ，设BC 与半圆O 分别交于点D 、E ，∵以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ，∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，∠MAO=∠NAO=21∠BAC=21×120°=60°，AN=AM ，∴∠MON=360°-90°-90°-120°=60°，∴∠BOM+∠CON=180°-∠MON=180°-60°=120°.∵弧MN 的长为π，∴ππ=⋅18060OM，∴OM=ON=3.∵MAO AM OM ∠=tan ，∴306tan 3=︒=AM，∴3==AM AN . ∴图中阴影部分的面积为：NOE DOM AMON ABC S S S S 扇形扇形四边形△--- =)(2NOE DOM AOM ACO ABO S S S S S 扇形扇形△△△+--+=36012021221212OM OM AM ON AC OM AB ⋅-⋅⨯-⋅+⋅π =3)(212OM OM AM OM AC AB ⋅-⋅-⋅+π =3333316212⋅--⨯⨯π =π33324--.因此本题答案为π33324--．三、解答题（本大题共5道小题）17. 【答案】解:(1)如图，连接OA ，∵AC 为☉O 的切线，OA 是☉O 的半径，∴OA ⊥AC.∴∠OAC=90°.∵∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°.∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC ，∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B ，∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°，∴∠AOC +∠C=90°，∴3∠C=90°，∠C=30°.∴OA=OC.设☉O 的半径为r ，∵CE=2，∴r=(r +2).∴r=2.∴☉O 的半径为2.18. 【答案】解：(1)证明：连接OC .∵C ，D 为半圆O 的三等分点，∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，∴∠DAC ＝∠BAC .∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ，∴∠DAC ＝∠ACO ，∴OC ∥AD .∵CE ⊥AD ，∴CE ⊥OC ，∴CE 为⊙O 的切线．(2)连接OD .∵AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝13×180°＝60°.又∵OC ＝OD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠CDO ＝60°＝∠AOD ，∴CD ∥AB ，∴S △ACD ＝S △COD ，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形COD ＝60×π×22360＝2π3.19. 【答案】解：解：（1）①证明：∵OA=OB ，OE=OC ，∠AOE=∠POC ，∴△AOE ≌△POC ； ②∠1+∠C=∠2.理由：∵△AOE ≌△POC ，∴∠E=∠C.∵∠1+∠E ＝∠2，∴∠1+∠C=∠2.（2）相切.如图，∵CP 与小半圆相切，∴CP ⊥OP.在Rt △OPC 中，∵OP=1，OC=2,∴cos ∠COP=12，∴∠COP=60°.∴∠DOE=120°.∴S 扇形EOD=2120243603ππ⨯=. 【解析】本题考查了平行四边形的性质、垂直的性质、三角形内角和定理、平行线的性质和全等三角形的判定和性质等知识．（1）在△AOE 中，由∠AEO 和∠AOE 的度数求得∠EAO 的度数，再由AC 平分∠DAE 求得∠OAD 的度数，进而由AD ∥BC 得到∠ACB ＝∠OAD ，问题得解；（2）先根据AAS 证明△AEO ≌△CFO ，再根据相似三角形对应边相等得到AE ＝CF.20. 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，∴△BFA ≌△BEC ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝CE ，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，CE＝FG，∴CE綊FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG.(2)∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝12AB.∵△BFA≌△BEC，∴BF＝BE＝12AB＝1，∴AF＝AB2＋BF2＝ 5.由(1)知四边形EFGC是平行四边形，FC为其对角线，∴点G到FC的距离等于点E到FC的距离，即BE的长，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4.21. 【答案】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，在正五边形中，∠AOE＝360°÷5＝72°，∴∠ABE＝∠AOE＝36°，同理∠BAC＝×72°＝36°，∴AM＝BM，∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，∴∠BAD＝∠BOD＝72°，∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，∴△BAM∽△BEA，∴，而AB＝BN，∴，设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，∴△AMN∽△BAN，∴，即，则y2＝x2﹣xy，两边同时除以x2，得：，设＝t，则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或（舍），∴＝；（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，而AO⊥BE，∴sin18°＝sin∠MAH＝＝＝．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

2021中考数学专题训练：与圆相关的计算一、选择题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC分别绕直线AB 和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则()A. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2B. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2C. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4D. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶42. 正八边形的中心角是()A．45°B．135°C．360°D．1080°3. 如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm4. (2019•贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是A．30°B．45°C．60°D．90°5. 2018·宁夏用一个半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径是()A．10 B．20 C．10π D．20π6. 如图某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形ADB的面积为()A．6 B．7 C．8 D．97. 2019·天水模拟一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是()A．60°B．90°C．120°D．180°8. 如图，边长为3的正五边形ABCDE的顶点A，B在半径为3的圆O上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆O 上时，点C转过的度数为()A．12°B．16°C．20°D．24°9. 2019·宁波如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为()A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm10. 2018·黑龙江如图在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图阴影部分的面积为( )图A.143π－6B.259πC.338π－3 D.33＋π二、填空题11. 如图①，把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图②所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 .12. 若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm .13. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.14. (2019•扬州)如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且B C 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=__________．15. 2018·烟台如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，M 为AF 的中点，以点O为圆心，OM 长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，DE 长为半径画弧得到扇形DEF .将扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1∶r 2＝________.16. 佳佳对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折(如图①所示)，旋转放置，做成科学方舟模型(如图②所示)．图①中正五边形的边心距OB 为2，图②中AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝________．三、解答题17. 如图，以△ABC 的边BC 为直径作☉O ，点A 在☉O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD=AB ，∠D=30°. (1)求证:直线AD 是☉O 的切线;(2)若直径BC=4，求图中阴影部分的面积.18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作☉O ，点D 为☉O 上一点，且CD=CB ，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E. (1)判断直线CD 与☉O 的位置关系，并说明理由; (2)若BE=2，DE=4，求☉O 的半径及AC 的长.19. 如图，☉O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4，CE=6，求AC的长.20. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE21. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB 交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时，求劣弧BD︵的长度．2021中考数学专题训练：与圆相关的计算-答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，∴勾股定理得，AC＝ 5.①当△ABC绕AB旋转时，则底面周长l1＝2π×BC＝2π，侧面积为S1＝π×BC×AC ＝5π；②当△ABC绕BC旋转时，则底面周长l2＝2π×AB＝4π，侧面积为S2＝π×AB×AC＝25π，∴l1∶l2＝2π∶4π＝1∶2，S1∶S2＝5π∶25π＝1∶2.2. 【答案】A3. 【答案】C【解析】设弓形高为CD，则DC的延长线过点O，且OC⊥AB，因为半径为13，所以OB＝OD＝13，因为弓形高为8，所以CD＝8，在RtΔOBC 中，根据勾股定理得OC2＋BC2＝OB2，即BC＝OB2－OC2＝132－（13－8）2＝12，由垂径定理得AB＝2BC＝24 cm.4. 【答案】A【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD=(62)1806-⨯︒=120°，BC=CD，∴∠CBD=12(180°-120°)=30°，故选A．5. 【答案】A6. 【答案】D[解析] ∵正方形的边长为3，∴BD ︵的长度为6，∴S 扇形ADB ＝12lR ＝12×6×3＝9.7. 【答案】D8. 【答案】A[解析] 设点E 第一次落在圆上时的对应点为E ′，连接OA ，OB ，OE ′，如图．∵五边形ABCDE 为正五边形， ∴∠EAB ＝108°.∵正五边形ABCDE 绕点A 逆时针旋转，点E 第一次落在圆O 上的点E ′处， ∴AE ′＝AE ＝3.∵OA ＝AB ＝OB ＝OE ′＝3，∴△OAE ′，△OAB 都为等边三角形， ∴∠OAB ＝∠OAE ′＝60°， ∴∠E ′AB ＝120°， ∴∠EAE ′＝12°，∴当点E 第一次落在圆O 上时，点C 转过的度数为12°.9. 【答案】B10. 【答案】B[解析] ∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴AC 2＋BC 2＝25＝AB 2，∴△ABC为直角三角形．由旋转的性质得，△ADE 的面积＝△ABC 的面积，由图可知，阴影部分的面积＝△ADE 的面积＋扇形ADB 的面积－△ABC 的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积＝40π×52360＝259π.二、填空题11. 【答案】4-π[解析]如图，∵新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π×12=4-π，故答案为:4-π.12. 【答案】9【解析】由n＝360rl得120＝360×3l，解得l＝9.13. 【答案】120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n°，则2π×2＝nπ·6180，解得n＝120.14. 【答案】15【解析】如图，连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°–36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15．15. 【答案】3∶2[解析] 如图连接OA，OB，OF.∵六边形ABCDEF为正六边形，∴OA＝OF，∠AOF＝∠AOB＝60°，∠E＝120°.∵M为AF的中点，∴∠AOM＝30°.由题意，得ON＝OM.易证△BON≌△AOM，∴∠BON＝∠AOM＝30°，∴∠MON＝120°.设AM＝a，则AB＝OA＝2a，OM＝3 a，∴扇形MON的弧长为120×π×3a180＝2 33πa，则r1＝33a.同理可得，扇形DEF 的弧长为120×π×2a 180＝43πa ，则r 2＝23a ，∴r 1∶r 2＝3∶2.16. 【答案】522 [解析] 如图①，连接OF ，OE .由题意，知AB ⊥EF ，则S 正五边形AGFED ＝5×S △OEF ＝5×(12EF ·OB )＝2.5×2EF ＝5 2BE .如图②，连接AE .S 正五边形AGFED ＝2×S 四边形ABED ＝2×(S △ABE ＋S △ADE )＝2×(12AB ·BE ＋12DE ·AC )＝AB ·BE ＋DE ·AC ＝AB ·BE ＋2BE ·AC ＝BE ·(AB ＋2AC )，∴5 2BE ＝BE ·(AB ＋2AC )． ∴AB ＋2AC ＝5 2，∴AC ＋12AB ＝52 2.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OA ，∵AD=AB ，∠D=30°，∴∠B=30°，∠DAB=120°. ∵BC 是直径， ∴∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，∠BCA=60°， ∵AO=CO ，∴△ACO 是等边三角形， ∴∠CAO=60°，∴∠DAO=∠CAO +∠DAC=90°， ∴直线AD 是☉O 的切线.(2)由(1)知，Rt △ADO 中，AO=2，∠D=30°， ∴AD=2，∴S Rt △ADO =×2×2=2，又∵S==，扇形AOC=S Rt△ADO-S扇形AOC=2.∴S阴影18. 【答案】解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上，∴OD=OB，又∵CD=CB，CO=CO，∴△COD≌△COB(SSS).∵∠ABC=90°，∴∠ODC=∠ABC=90°，∴OD⊥DC，∴直线CD与☉O相切.(2)设☉O的半径为x，∵DE=4，∴OE=4-x.在Rt△OBE中，BE2+BO2=OE2，即22+x2=(4-x)2，解得x=1.5，∴OD=OB=1.5.AB=2OB=3.∵CB，CD是圆的切线，∴CB=CD.则设CB=CD=y，在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即y2+42=(y+2)2，解得y=3，∴BC=3.在Rt△ABC中，AC==3.19. 【答案】解:(1)证明:连接OD，∵DE∥OA，∴∠AOC=∠OED，∠AOD=∠ODE，∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠AOC=∠AOD，又∵OA=OA ，OD=OC ，∴△AOC ≌△AOD (SAS)，∴∠ADO=∠ACO. ∵CE 是☉O 的直径，AC 为☉O 的切线， ∴OC ⊥AC ，∴∠OCA=90°，∴∠ADO=∠OCA=90°，∴OD ⊥AB.∵OD 为☉O 的半径，∴AB 是☉O 的切线.(2)∵CE=6，∴OD=OC=3，∵∠BDO=180°-∠ADO=90°，∴BO 2=BD 2+OD 2，∴OB==5，∴BC=8，∵∠BDO=∠OCA=90°，∠B=∠B ，∴△BDO ∽△BCA ， ∴=， ∴=， ∴AC=6.20. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒，∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵CE AE ==∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒，∴OAE △是等边三角形，∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴2πAOE S =扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π-21. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠CAF ＝∠OAC ，∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°，又∵∠BAC ＝∠D ，∴△ACB ∽△DCP ，∴∠EBC ＝∠P ，∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC ＝90°，∴∠CBP ＝90°，∴∠BEC ＝∠CBP ，∴△CBE ∽△CPB ，∴BC PC ＝CE CB ，∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34，∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.。

2021中考数学复习圆的综合题专项训练6（附答案详解）1．如图，四边形ABCD 内接于O ，AD ，BC 的延长线交于点E ，F 是BD 延长线上一点，1602CDE CDF ∠=∠=︒．()1求证：ABC 是等边三角形；()2判断DA ，DC ，DB 之间的数量关系，并证明你的结论．2．如图，B E ，是O 上的两个定点，A 为优弧BE 上的动点，过点B 作BC AB ⊥交射线AE 于点C ，过点C 作CF BC ⊥，点D 在CF 上，且EBD A ∠=∠． （1）求证：BD 与O 相切；（2）已知：30A ∠=①若3BE =，求BD 的长；②当O C ，两点间的距离最短时，判断A B C D ，，，四点所组成的四边形的形状，并说明理由．3．小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图1），其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧AD ，BC 和矩形ABCD 组成的，BC 的圆心是倒锁按钮点M ．已知AD 的弓形高2GH cm =，8AD cm =，11 EP cm =．当锁柄PN 绕着点N 顺时针旋转至NQ 位置时，门锁打开，此时直线PQ 与BC 所在的圆相切，且PQDN ∥， tan 2NQP ∠=．（1）求BC 所在圆的半径；（2）求线段AB 的长度．（5 2.236≈，结果精确到0.1cm ）4．如图，已知直线483l y x =-+:交x 轴于点E ，点A 为x 轴上的一个动点（点A 不与点E 重合），在直线l 上取一点B （点B 在x 轴上方），使5BE AE =，连结AB ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCD ，连结OB ，以OB 为直径作P ．（1）当点A 在点E 左侧时，若点B 落在y 轴上，则AE 的长为______，点D 的坐标为_______；（2）若P 与正方形ABCD 的边相切于点B ，求点B 的坐标； （3）P 与直线BE 的交点为Q ，连结CQ ，当CQ 平分BCD ∠时，BE 的长为______．（直接写出答案）5．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．6．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则DA DBDC+＝；（2）①当点D在AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当9220PDAC=时，求DEOA的值．7．如图，已知⊙O 半径为3，直径AB 垂直弦CD 于E ，过点A 作∠DAF =∠DAB ，过点D 作AF 的垂线，垂足为点F ，交AB 的延长线于点P ，连接CO 并延长与圆交于点G ，连接EG ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若AD =DP ，求BD 的长度；（3）若tan C =25，求线段EG 的长．8．如图，O 是ABC ∆的外接圆，且5AB AC ==，延长AB 至点E ，使得2BE =，点D 是ACB 上的一个动点，连结AD ，BD ，ED ．（1）当DE BC ∥时，求证：ADB E ∠=∠；（2）若6BC =，则：①求O 的半径；②当ABD ∆为直角三角形时，求DE 的长．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()3,0D -，()4,3C -，四边形ABCD 是平行四边形．现将ABCD 沿x 轴方向平移n 个单位，得到1111A B C D ，抛物线M 经过点1A ，1C ，1D ．（1）若抛物线M 的对称轴为直线4x =，求抛物线M 的解析式；（2）抛物线M 的顶点为E ，若以A ，E ，1C 为顶点的三角形的面积等于ABCD 的面积的一半，求n 的值；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点P ，使得11C PA C EA ∠=∠？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知锐角△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，连接AO ．（1）如图1，求证：∠BAO ＝∠CAD ；（2）如图2，CE ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，求证：AF ＝2OH ；（3）如图3，在（2）的条件下，若AF ＝AO ，tan ∠BAO ＝13，BC ＝215，求AC 的长．11．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 切x 轴、y 轴于C 、D 两点，直线交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，且与⊙P 相切于点 E ．若AC ＝4，BD ＝6．（1）求⊙P 的半径；（2）求切点E 的坐标．12．如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊥OB ，连接AB 交OC 于点D ．（1）求证：AC ＝CD ；（2）如果OD ＝1，tan ∠OCA ＝52，求AC 的长．13．在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当⊙O 的半径为2时，①在点1231135,0,,,,02222P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围． 14．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4，O 是BC 边上的点且⊙O 与AB 、AC 都相切，切点分别为D 、E ．（1）求⊙O 的半径；（2）如果F 为DE 上的一个动点（不与D 、E ），过点F 作⊙O 的切线分别与边AB 、AC 相交于G 、H ，连接OG 、OH ，有两个结论：①四边形BCHG 的周长不变，②∠GOH 的度数不变．已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设BG ＝x ，CH ＝y ，试问y 与x 之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定自变量x 的取值范围，并说明当x ＝y 时F 点的位置．15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C做⊙O的切线，与AE的延长线交于点D，且AD⊥CD．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=10，CD=4，求DE的长．16．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O 与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1）若E是CD的中点时，证明：FG是⊙O的切线（2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．17．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，点P在边AC上运动（点P与点A、C不重合）．以P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于点D、过点D作⊙P的切线交射线BC于点E（点E与点B不重合）．（1）求证：BE＝DE；（2）若PA＝1．求BE的长；（3）在P点的运动过程中．（BE+PA）•PA的值是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．18．如图，以O 的弦AB 为斜边作Rt ABC ，C 点在圆内，边BC 经过圆心O ，过A 点作O 的切线AD ．（1）求证：2DAC B ∠=∠；（2）若3sin 5B =，6AC =，求O 的半径．19．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线 BM 交 AE 于点 M ，点 O 在 AB 上，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点 M ，交 BC 于点G ，交 AB 于点 F ．（1）求证：AE 为⊙O 的切线．（2）当 BC=8，AC=12 时，求⊙O 的半径．（3）在（2）的条件下，求线段 BG 的长．20．如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，OE BC ⊥于点E ，交O 于点F ，AF 与BC 交于点,M D 为OF 延长线上一点，且ODB AFC ∠=∠．（1）求证：BD 是O 的切线；（2）求证：2CF FM FA =⋅；（3）若310,sin 5AB BAF =∠=，求BM 的长．21．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC=CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．(1)求证：△AED是等腰直角三角形；(2)如图1，已知⊙O的半径为5．①求CE的长；②若D为EB中点，求BC的长．(3)如图2，若AF：FD=7：3，且BC=4，求⊙O的半径．22．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA 交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD＝°；（2）求证：DE与⊙O相切；（3）点F在BC上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝3，求FN的长．23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与⊙O相切；24．已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．（1）如图1，求证：AC CF；（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；（3）如图3，在（2）的条件下，射线HG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为BH的中点，MN＝10，求⊙O的半径．25．如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A ＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：CG＝BG；（3）若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．26．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC 于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．（1）如图①，点O 在斜边AB 上，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，与边AC 相切于点F ．求证：∠1＝∠2；（2）在图②中作⊙M ，使它满足以下条件：①圆心在边AB 上；②经过点B ；③与边AC 相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）28．已知 AB 是⊙ O 的直径，点 D 是弧 AB 上一点，AD 的延长线交⊙ O 的切线 BM 于点 C ，点 E 为 BC 的中点；（1） 求证：DE 是⊙ O 的切线；（2）如图2，若 DC=4，1tan A 2∠=延长 OD 交切线 BM 于点 H ，求 DH 的值； （3）如图 3，若 AB=8，点 F 是弧 AB 的中点，当点 D 在弧 AB 上运动时，过 F 作 FG ⊥AD 于 G ，连接 BG ，求 BG 的最小值．29．对于平面直角坐标系xOy 中的点()(),0Q x y x ≠，将它的纵坐标y 与横坐标x 的比y x称为点Q 的“理想值”，记作Q L ．如()1,2Q -的“理想值”221Q L ==--．（1）①若点()1,Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_______；②如图，()3,1C ，C 的半径为1．若点Q 在C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是_______．（2）点D 在直线333y x =-+上，D 的半径为1，点Q 在D 上运动时都有03Q L ≤≤，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）()()2,0M m m >，Q 是以r 为半径的M 上任意一点，当022Q L ≤≤时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）30．如图，点O 为∠ABC 的边BC 上的一点，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ．图形W 与射线BC 交于E ，F 两点(点在点F 的左侧).（1）过点M 作MH BC ⊥于点H ，如果BE=2，2sin 3ABC ∠=，求MH 的长； （2）将射线BC 绕点B 顺时针旋转得到射线BD ，使得∠CBD 90MOB +∠=︒，判断射线BD 与图形W 公共点的个数，并证明．参考答案1．（1）详见解析；（2）.DA DC DB +=【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠ABC=60°，根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明；（2）在BD 上截取PD=AD ，证明△APB ≌△ADC ，根据全等三角形的性质证明结论．【详解】()1证明：1602CDE CDF ∠=∠=︒， 60CDE EDF ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 内接于O ，60CDE ABC ∴∠=∠=︒，由圆周角定理得，60ACB ADB EDF ∠=∠=∠=︒，ABC ∴是等边三角形；()2解：DA DC DB +=，理由如下：在BD 上截取PD AD =，60ADP ∠=︒，APD ∴为等边三角形，AD AP ∴=，60APD ∠=︒，120APB ∴∠=︒，1602CDE CDF ∠=∠=︒， 120ADC APB ∴∠=︒=∠，由圆周角定理得，ABP ACD ∠=∠，在APB △和ADC 中，,APB ADC ABP ACD AP AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩APB ∴≌()ADC AAS ，BP CD ∴=，BD BP PD CD AD ∴=+=+．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．2．（1）详见解析；（2）①BD =②四边形ABDC 是平行四边形，理由详见解析【解析】【分析】（1）如图1，作直径BG ，连接GE ，证∠EBD=∠G ，则∠EBD+∠GBE=90°，即可推出结论；（2）①如图2，连接AG ，证△BCD ∽△BAG，推出BD BG =，在Rt △BGE 中，求出BG 的长，可进一步求出BD 的长；②由①推出2BE BD =，因为B ，E 为定点，BE 为定值，所以BD 为定值，D 为定点，因为∠BCD=90°，所以点C 在以BD 为直径的⊙M 上运动，当点C 在线段OM 上时，OC 最小，证BM OB =∠OMB=60°，依次推出AB ∥CD ，AC ∥BD 即可． 【详解】（1）如图1，作直径BG ，连接GE ，则∠GEB=90°，∴∠G+∠GBE=90°，∵∠A=∠EBD，∠A=∠G，∴∠EBD=∠G，∴∠EBD+∠GBE=90°，∴∠GBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD与⊙O相切；（2）①如图2，连接AG，∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，由（1）知∠GBD=90°，∴∠GBD=∠ABC，∴∠GBA=∠CBD，又∵∠GAB=∠DCB=90°，∴△BCD∽△BAG，∴3tan 30BD BC BG BA === 又Rt BGE ∆中，30A ∠=︒，3BE =∴26BG BE ==∴63BD =⨯= ②四边形ABDC 是平行四边形．理由如下： 由①知12BE BG =，BD BG = ∴BE BD = ∵B E ，为定点，BE 为定值∴BD 为定值，D 为定点90BCD ∠=︒∴点C 在BD 为直径的M 上运动，∴当点C 在线段OM 上时，OC 最小此时在Rt OBM∆中，1212BD BM OB BG == ∴60OMB ∠=︒∴MC MD =∴30MDC MCD A ∠=∠=︒=∠AB BC ⊥，CD BC ⊥∴90ABC DCB ∠=∠=︒∴//AB CD∴180A ACD ∠+∠=︒∴180BDC ACD ∠+∠=︒∴//AC BD∴四边形ABDC 为平行四边形．【点睛】本题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等，解题关键是在第②问中能够确定点C 在以BD 为直径的⊙M 上运动，当点C 在线段OM 上时，OC 最小，并可根据此条件对四边形ABCD 的形状进行判定等．3．（1）即BC 所在圆的半径为5cm ；（2）29.8AB ≈cm ．【解析】【分析】（1）连结BM ，设HM 交 BC 于点K ，设BM r =，在Rt BMK △中，根据勾股定理，列方程，即可求解；（2）延长PQ 交NM 的延长线于点T ，设直线PQ 与BC 所在的圆相切于点 J ，连结M J ．由//DN PQ ，NP NQ =得DNE NQP ∠=∠，结合tan 2NQP ∠=，8DE NG ==cm ，15NP =cm ，由tan tan 2TMJ P ∠==，得30NT cm =，10TJ cm =，进而得(305)MN cm =-，即可求解．【详解】（1）如图，连结BM ，设HM 交 BC 于点K ． ∴BK=AG=142AD cm =, 设BM r =，∴在Rt BMK △中，2224(2)r r =+-，解得：=5r ，即BC 所在圆的半径为5cm ；（2）如图，延长PQ 交NM 的延长线于点T ，设直线PQ 与BC 所在的圆相切于点 J ，连结 M J ．//DN PQ ，DNE P ∴∠=∠．NP NQ =，P NQP ∴∠=∠，DNE NQP ∴∠=∠，tan tan 2DE DNE NQP NE∴∠=∠==． 4NE DG ==cm ，8DE NG ∴==cm ，41115NP NE EP ∴=+=+=cm ．直线PQ 与BC 所在的圆相切于点 J ，MJ PQ ∴⊥，5MJ =cm ，TMJ P ∴∠=∠，tan tan 2TMJ P ∴∠==，12MJ NP TJ NT ∴==， 15230NT cm ∴=⨯=，5210TJ cm =⨯=，MT ∴=cm ，(30MN NT MT cm ∴=-=-，83034129.8AB GN MN MK ∴=++=+-=-≈cm ．【点睛】本题主要考查圆的性质，切线的性质以及锐角三角函数的综合，掌握垂径定理，切线的性质定理和正切三角函数的定义，是解题的关键．4．（1）2，(12,4)；（2）点B 的坐标为(-12,24)或2424(,)77或4824(,)1111；（3）785． 【解析】【分析】（1）先求出直线483l y x =-+:交 x 轴于点0(6)E ，，交y 轴于点(0)8，，进而求出2AE =，得到(4,0)A ，过点D 作DM ⊥x 轴，得∆OBA ≅∆DAM ，进而即可求解；（2）分3种情况：①如图1，当P 与BC 相切于点B 时，90OBC ∠=︒，点A 与点O 重合，②如图2，当P 与直线AB 相切于点B ，点A 在点E 右侧时，则90OBA ∠=︒，③如图3，，当P 与直线AB 相切于点B ，点A 在点E 左侧时，则90OBA ∠=︒，分别求解，即可；（3）如图4，作BG OA 于点G ，连结OQ ．设AE m =，可得(63,4)B m m -，(6,0)A m -，(6,6)C m m +，再求出9672(,)2525Q ，由条件可知：C ，Q ，A 三点共线，列出关于m 的比例式，求出m 的值，进而即可求解．【详解】（1）直线483l y x =-+:交 x 轴于点0(6)E ，，交y 轴于点(0)8，， (0,8)B ∴，6OE ∴=，8OB =，10BE =．5BE AE =，2AE ∴=，∵点A 在点E 左侧，(4,0)A ∴，如图1，过点D 作DM ⊥x 轴，∵∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠DAM=90°，∴∠OBA=∠DAM ，又∵AB=DA ，∠AOB=∠DMA=90°，∴∆OBA ≅∆DAM （AAS ），∴DM=OA=4，OB=AM=8，∴OM=8+4=12，(12,4)D ∴；（2）①如图2，当P 与BC 相切于点B 时，90OBC ∠=︒，又∵∠ABC=90°，点A 为x 轴上的一个动点，∴点A 与点O 重合，∴530BE OE ==，设P 与x 轴的交点为点N ，连接BN ，则∠BNO=90°，设直线l 与y 轴交于点K ，则OK=8， ∵BN ∥OK ， ∴BN NE BE OK OE KE ==，即：308610BN NE ==， ∴BN=24，NE=18，∴ON=18-6=12，∴(12,24)B -；．②如图3，当P 与直线AB 相切于点B ，点A 在点E 右侧时，则90OBA ∠=︒， 设P 与x 轴交于点H ，连接BH ，则∠OHB=90°，设AE m =，则5BE m =，∵sin ∠BEH=45， 4BH m ∴=，3EH m =，4AH BH m ∴==，45BAO ∴∠=︒．90OBA ∠=︒，45BOA ∴∠=︒，即点B 在直线y x =上， 联立483y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得：247247x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点2424,77B ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③如图4，当P 与直线AB 相切于点B ，点A 在点E 左侧时，则90OBA ∠=︒， 设P 与x 轴交于点F ，连接BF ，则∠OFB=90°，设AE m =，则5BE m =，∵sin ∠BEF=45， ∴4BF m =，3EF m =，∴2AF m =．90OBA OFB ∠=∠=︒，∴∠ABF+∠OBF=∠BOF+∠OBF=90°，∴∠ABF=∠BOF ，∵∠AFB=∠BFO=90°，∴OFB BFA △∽△，∴2BF OF AF =⋅，216(63)2m m m ∴=-⋅，解得：126011m m ==，（舍去）， ∴点48241111B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 综上所述，点B 的坐标为(-12,24)或2424(,)77或4824(,)1111； （3）如图5，作BG OA 于点G ，连结OQ ．设AE m =，则5BE m =，由第（2）题，可知4BG m =，3EG m =，2AG m =，(63,4)B m m ∴-，(6,0)A m -，过点C 作CT ⊥GB ，交GB 的延长线于点T ，∵∠CBT+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90°，∴∠CBT=∠BAG ，又∵∠CTB=∠BGA=90°，CB=BA ，∴∆CTB ≅∆BGA （AAS ），∴CT=BG=4m ，BT=AG=2m ，∴TG=6m ，点C 的横坐标=CT-OG=4m-(3m-6)=m+6，∴(6,6)C m m +，∵OB 是P 的直径，∴OQ ⊥直线l ，且过原点O ，∴直线OQ 的解析式为：34y x =， 联立48334y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：96257225x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 9672(,)2525Q ∴． CQ 平分BCD ∠，C ∴，Q ，A 三点共线，606(6)72960(6)2525m m m m -+--∴=---，解得：7825m =， 7825AE ∴=， 785BE ∴=． 故答案是：785．图1 图2图3 图4图5【点睛】本题主要考查圆的基本性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质，切线的性质定理的综合，添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．5．（1）见解析；（2）AC的长为5（3）AC＝BC2EC，理由见解析【解析】【分析】(1)连接OC,由直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°,由OC=OB得出∠OCB=∠B,由因为∠DCA=∠B,从而可得∠DCA=∠OCB,即可得出∠DCO=90°;(2) 由题意证明△ACD∽△ABC,根据对应边成比例列出等式求出AC即可;(3) 在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，通过条件证明△AEF≌△BEC,根据性质推出△EFC为等腰直角三角形,即可证明AC、EC、BC的数量关系．【详解】(1)证明：连接OC，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠DCA＝∠B，∴∠DCA＝∠OCB，∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∴CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵AD⊥CD∴∠ADC＝∠ACB＝90°又∵∠DCA＝∠B∴△ACD∽△ABC∴AC ADAB AC=，即810AC AC =， ∴AC ＝45，即AC 的长为45；(3)解：AC ＝BC +2EC ；理由如下：在AC 上截取AF 使AF ＝BC ，连接EF 、BE ，如图2所示：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝∠AEB ＝90°，∵∠DAB ＝45°，∴△AEB 为等腰直角三角形，∴∠EAB ＝∠EBA ＝∠ECA ＝45°，AE ＝BE ，在△AEF 和△BEC 中，AE BE EAF EBC AF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BEC (SAS )，∴EF ＝CE ，∠AFE ＝∠BCE ＝∠ACB +∠ECA ＝90°+45°＝135°，∴∠EFC ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣135°＝45°，∴∠EFC ＝∠ECF ＝45°，∴△EFC 为等腰直角三角形．∴CF 2EC ，∴AC ＝AF +CF ＝BC 2EC ．【点睛】本题考查圆与三角形的结合,关键在于牢记基础性质,利用三角形的相似对应边以及三角形的全等进行计算．6．（1；（2）①DA+DB DC ，②S ＝12t 2﹣14m 2 ；（3）35DE OA =. 【解析】【分析】（1）首先证明当DC ⊥AB 时，DC 也为圆的直径，且△ADB 为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）①分别过点A ，B 作CD 的垂线，连接AC ，BC ，分别构造△ADM 和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC 和△MCA 两个全等的三角形，容易证出线段DA ，DB ，DC 之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB 的变形及将已知条件AB ＝m 代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD 的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．【详解】解：（1）如图1，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵C 为AB 的中点，∴AC BC =，∴∠ADC ＝∠BDC ＝45°，∵DC ⊥AB ，∴∠DEA ＝∠DEB ＝90°，∴∠DAE ＝∠DBE ＝45°，∴AE ＝BE ，∴点E 与点O 重合，∴DC 为⊙O 的直径，∴DC ＝AB ，在等腰直角三角形DAB 中，DA ＝DB＝2AB ， ∴DA+DB ＝2AB ＝2CD ，∴DA DB DC+＝2；（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ， 由（1）知AC BC =，∴AC ＝BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°，∴∠NBC ＝∠MCA ，在△NBC 和△MCA 中，BNC CMA NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBC ≌△MCA （AAS ）， ∴CN ＝AM ，由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°，AM 2DA ，DN 2DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝22DB+22DA ＝22（DB+DA ）， 即DA+DB 2DC ；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB2DC2t，∴2t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣12m2，∴S△ADB＝12DA•DB＝12t2﹣14m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝12t2﹣14m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，由（1）知AC BC=，∴AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB2AC，∵220 PDAC=，设PD＝2，则AC＝20，AB＝2，∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴AB BD ADPB AB PA==，20292202 DB=+，∴DB＝162，∴AD＝22AB DB-＝122，设NE＝ME＝x，∵S△ABD＝12AD•BD＝12AD•NE+12BD•ME，∴12×122×162＝12×122•x+12×162•x，∴x＝4827，∴DE＝2HE＝2x＝967，又∵AO＝12AB＝102，∴96242735102DEOA=⨯=．【点睛】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．7．（1）证明见解析；（2）π；（3）21【解析】【分析】（1）连接OD，如图1，先证明∠ADO＝∠DAF得到OD∥AF，然后根据平行线的性质判断DF⊥OD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先证明∠P＝∠DAF＝∠DAB，然后根据三角形内角和计算出∠P＝30°，从而得到∠POD＝60°，然后根据弧长公式计算；（3）如图，连接GD，根据tan C 25，设GD=2a，5a，由勾股定理列出方程求出GD 与CD，再由垂径定理得出DE，在Rt△GED中，利用勾股定理即可求出EG的长度．【详解】（1）证明：连接OD，如图1，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∵∠DAF＝∠DAB，∴∠ADO＝∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD＝DP∴∠P＝∠DAF＝∠DAB，而∠P＋∠DAF＋∠DAB＝90°，∴∠P＝30°，∴∠POD＝60°，又∵半径为3，∴BD的长度603180ππ⨯==，（3）如图，连接GD，∵CG是直径，半径为3，∴∠CDG=90°，CG=6，∵tan C 25，即255GDCD=∴设GD=2a ，CD=5a （a ＞0）在Rt △CGD 中，由勾股定理可得：222GD CD CG +=，即224536a a +=，解得：2a =或a=-2（舍去）∴GD=4，CD=25，又∵AB ⊥CD ，∴DE=CE=152CD = 在Rt △GED 中，EG=()22224521GD DE +=+=，∴EG=21．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，弧长的计算以及三角函数在圆中的计算问题，解题的关键是熟悉圆的性质以及锐角三角函数的定义．8．（1）证明见解析；（2）①258r =；②174DE =或1009DE = 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠E ，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB ，等量代换证明结论；（2）①连接AO 并延长交BC 于F ，连接OC ，根据垂径定理得到AF ⊥BC ，根据等腰三角形的性质求出CF ，根据勾股定理求出AF ，根据勾股定理列式计算即可；②分∠ABD=90°、∠BAD=90°两种情况，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：（1）∵//DE BC ，∴ABC E ∠=∠，∵AB AC =，∴∠=∠ACB ABC ，∴ACB E ∠=∠，∵ACB ADB ∠=∠，∴ADB E ∠=∠．（2）①连接AO 并延长交BC 于点F ，连接OC ．∵AB AC =，OB OC =，∴AF BC ⊥，∵6BC =，∴3CF =，在Rt ACF ∆中，5AC =，由勾股定理得：4AF =，设半径为r ，则4OF r =-，由勾股定理，得：()22243r r -+=，解得：258r =． ②当D 运动到AD 过圆O 时，90ABD ∠=︒， ∴AD=2524r =， ∴2222222225172544DE BE BD BE AD AB ⎛⎫=+=+-=+-= ⎪⎝⎭． 当D 运动到BD 过圆O 时，90BAD ∠=︒，∴BD=2524r =， ∴22222222251009754DE AE AD AE BD AB ⎛⎫=+=+-=+-= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是圆的有关概念、勾股定理、直角三角形的性质，掌握垂径定理、圆周角定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．（1）()2y x 41=--；（2）3n =；（3）30,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或30,2⎛ ⎝⎭． 【解析】【分析】（1）根据题意，先求出a 的值，然后得到二次函数的解析式，然后得到平移后的解析式； （2）根据题意，先求出直线1C E 的解析式，然后根据面积公式，即可得到答案； （3）点A 、C 1、E 作圆Q ，则点Q 在AC 1的中垂线上，设点Q （m ，32），则求出m=1，然后根据勾股定理，即可求出t 的值.【详解】解：（1）由题意得，()1,0A -，()3,0D -，∴设过点,,A C D 的抛物线的解析式为：()()13y a x x =++，把()4,3C -代入()()13y a x x =++，得1a =．∴()()()21321y x x x =++=+-．∵平移之后过点1A 、1C 、1D 的抛物线的顶点坐标()41-,．∴抛物线M 的解析式为()2y x 41=--．（2）由题意得，平移n 个单位后，()14,3C n -，()2,1E n --．设直线1C E :y kx b =+，把点()14,3C n -，()2,1E n --代入， 得225k b n =-⎧⎨=-⎩， ∴225y x n =-+-．令0y =，得252n x -=， ∵236ABCD S =⨯=，∴1125143 22AEC nS ∆-⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭，解得：3n=．（3）存在，理由：由（2）知点C（-1，3），点A（-1，0），则AC⊥x轴，故点A、C1、E作圆Q，则点Q在AC1的中垂线上，设点Q（m，32），则此时，∠C1PA=∠C1EA，由QC1=QE得：（m+1）2+（3-32）2=（m-1）2+（1+32）2，解得：m=1，则点Q（1，32），设点P（0，t），由QP=QE得：1+（32-t）2=（52）2，解得：321t±=，故点P的坐标为：3210,2⎛⎝⎭或3210,2⎛⎫-⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），通过构建圆M，确定∠C1PA=∠C1EA是本题的难点．10．（1）详见解析；（262．【解析】【分析】（1）延长AO交⊙O于K，连接BK．利用等角的余角相等证明即可．（2）延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．证明四边形AMBF是平行四边形，BM＝2OH即可解决问题．（3）延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．证明∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，推出tan∠DBF＝tan∠BAP＝13＝DF CDBD AD，设DF＝x，则BD＝3x，CD＝215﹣3x，AD＝615﹣9x，AF＝BM＝615﹣10x，构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：延长AO交⊙O于K，连接BK．∵AK是直径，∴∠ABK＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠BAO+∠K＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∠K＝∠C，∴∠BAO＝∠DAC．（2）证明：延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．∵CM是直径，∴∠CBM＝∠MAC＝90°，∵OH⊥BC，∴BH＝CH，∠OHC＝∠CBM＝90°，∴AD∥BM，∵OC＝OM，∴BM＝2OH，∵AD⊥BC，CA⊥AB，∴BF⊥AC，∵A⊥AC，∴AM∥BF，∴四边形AMBF是平行四边形，∴AF＝BM，∴AF＝2OH．（3）解：延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．由（2）可知，四边形AMBF是平行四边形，∴AF＝BM，∴OA＝AF，∴BM＝OA，∴CM＝2BM，∵∠CBM＝90°，∴∠BCM＝30°，∵∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，∴tan∠DBF＝tan∠BAP＝13＝DF CDBD AD，设DF＝x，则BD＝3x，CD＝153x，AD＝159x，AF＝BM＝1510x，∵BC＝∴BM＝BC•tan30°＝∴10x＝∴x＝5，∴AC5==．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．11．（1）2；（2）E（185，165）．【解析】【分析】（1）如图，连接PD，PC．设PD＝DO＝OC＝PC＝x，利用切线长定理以及勾股定理即可解决问题．（2）作EH⊥OA于H．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】（1）如图，连接PD，PC．∵OB，OA，AB是⊙P的切线，∴BD＝BE＝6，AC＝CE＝4，OD＝OC，PD⊥OB，PC⊥OC，∴四边形PDOC是正方形，设PD＝DO＝OC＝PC＝x，∵OB2+OA2＝AB2，∴（x+6）2+（x+4）2＝102，解得x＝2或﹣12（舍弃），∴⊙P的半径为2．（2）作EH⊥OA于H．∵EH∥OB，∴EH AE AH OB AB AO==，∴48106EH AH==，∴EH＝165，AH＝125，∴OH＝6﹣125＝185，∴E（185，165）．【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握切线长定理以及勾股定理、平行线分线段成比例定理是解题的关键．12．（1）详见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）由直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，易得∠ADC＝∠DAC，根据等角对等边，可得AC＝CD；（2）由tan∠OCA 5，可得52OAAC=，则可设AC＝2x，则AO5，由勾股定理，求得OC＝3x，继而可表示出AC＝CD＝2x，可得OC＝2x+1，即可得方程3x＝2x+1，继而求得答案．【详解】（1）证明：∵直线AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC ＝90°，即∠OAB +∠DAC ＝90°，∵OC ⊥OB ，∴∠B +∠ODB ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠B ＝∠DAB ，∵∠ODB ＝∠ADC ，∴∠ADC ＝∠DAC ，∴AC ＝CD ；（2）解：在Rt △OAC 中，∠OAC ＝90°，∵tan ∠OCA ，∴OA AC∴设AC ＝2x ，则AO ，由勾股定理得：OC ＝3x ，∵AC ＝CD ，∴AC ＝CD ＝2x ，∵OD ＝1，∴OC ＝2x +1，∴2x +1＝3x ，解得：x ＝1，∴AC ＝2．【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握切线的性质、等角对等边、解直角三角形、勾股定理是解题的关键．13．（1）①P 2、P 3，②≤x≤－2或2 ；（2）－2≤x≤1或 . 【解析】试题分析：（1）①由题意得，P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由23,OP OP的值可知23,P P 为⊙O 的关联点；②满足条件的P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P 横坐标范围是－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322； （2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A ， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A ，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.试题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===， 点1P 与⊙的最小距离为32 ，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12， ∴⊙的关联点为2P 和3P ．②根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意； ∴ 设点P 的坐标为P (x ，-x) ，当OP=1时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)1x x -+--= ，解得22x =± ，当OP=3时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)3x x -+--= ，229x x +=，解得322x =±， ∴ 点的横坐标的取值范围为－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322（2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A 、B 两点，∴ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1， 令得x=0得，y=0，∴A(1，0) ，B (0，1) ，分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3，∴点C坐标为，C ( -2，0)如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，∴CD=1 ，又∵直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，∴直线AB与x轴形成的夹角是45°，∴ RT△ACD中，2，∴ C点坐标为2，0)x≤12，∴C点的横坐标的取值范围为；-2≤c如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2，0)如图4，当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3，在Rt△OCB中，由勾股定理得OC=23122-=，C点坐标为(22，0)．∴ C点的横坐标的取值范围为2≤cx2；∴综上所述点C的横坐标的取值范围为－322≤c x≤－22或22≤c x≤322．【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.14．（1）2；（2）②的结论正确，证明详见解析；（3）y＝8x，2≤x≤4，F为AO与圆的交点同时F是DE的中点．【解析】【分析】（1）连接OD、OE、OA；构造正方形和直角三角形，利用勾股定理和正方形的性质解答；（2）连接OF、OG、OH；根据切线长定理和圆的半径相等，构造全等三角形，即△DOG≌△FOG，△FOH≌△EOH；得到相等的角∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠EOH；进而得到∠GOH＝DOE2＝45°；（3）当x＝y时，有AG＝AH，根据平行线分线段成比例定理的逆定理，判定GH∥BC，根据切线性质，判断F为AO与圆的交点同时F是DE的中点．【详解】（1）连接OD、OE、OA，∵O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，∴OD⊥AB，AC⊥OE，又∵∠BAC＝90°，且OD＝OE，∴四边形ADOE为正方形，∴OE＝AE，`∴∠OAE＝45°；又∵∠C＝45°，∴OE＝2，△OAC为等腰直角三角形，AE＝EC＝12AC＝12×4＝2，即⊙O的半径是2；（2）②的结论正确；理由如下：连接OF、OG、OH，由题意，GD、GF以及HF、HE与圆相切，所以GD＝GF，HE＝HF，∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠HOE，而∠DOE＝90°，所以可以得到∠GOH＝DOE2＝45°．（3）BG＝x，CH＝y，易得：GF＝GD＝x﹣2，FH＝HE＝y﹣2，AG＝4﹣x，AE＝4﹣y，所以GH＝x+x﹣4，由∠A＝90°，可得GH2＝AG2+AH2，代入上述各数值，化简可得y＝8x，由AG≥0，AE≥0，可得x≤4，y≤4，所以2≤x≤4，当x＝y时，有AG＝AH，由于AB＝AC所以可得GH与BC平行，连接AO，设AO交GH于F'，有∠OFH＝90°，所以F'为切点F，即F为AO与圆的交点同时F是DE的中点．【点睛】本题是一道关于圆的综合题，考查了切线的性质、和圆相关的正方形的性质、切线长定理以及结合切线长定理的点的存在性问题，范围较广，有一定的开放性，有利于培养同学们的发散思维能力．15．（1）见解析；（2）DE=2【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可得出OC∥AD，再根据平行线的性质得出∠DAC=∠OCA，又因为∠OCA=∠OAC，继而可得出结论；（2）方法一：连接BE交OC于点H，可证明四边形EHCD为矩形，再根据垂径定理可得出4CD HE BH ===，得出8BE =，从而得出6AD =，再通过三角形中位线定理可得出3OH =，继而得出结论2CH DE ==；方法二：连接BC 、EC ，可证明△ADC ∽△ACB ，利用相似三角形的性质可得出AD=8，再证△DEC ∽△DCA ，从而可得出结论；方法三：连接BC 、EC ，过点C 做CF ⊥AB ，垂足为F ，利用已知条件得出OF=3，再证明△DEC ≌△CFB ，利用全等三角形的性质即可得出答案．【详解】解：（1）证明：连接OC ，∵CD 切☉O 于点C∴OC ⊥CD∵AD ⊥CD∴∠D=∠OCD=90°∴∠D+∠OCD=180°∴OC ∥AD∴∠DAC=∠OCA∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC∴∠DAC=∠OAC∴AC 平分DAB（2）方法1：连接BE 交OC 于点H∵AB 是☉O 直径∴∠AEB=90°∴∠DEC=90°∴四边形EHCD为矩形∴CD=EH=4DE=CH∴∠CHE=90°即OC⊥BH∴EH=BE=4∴BE=8∴在Rt△AEB中AE22108=-=6∵EH=BHAO=BO∴OH=12AE=3∴CH=2∴DE=2方法2：连接BC、EC∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠D=∠ACB∵∠DAC=∠CAB∴△ADC∽△ACB∴AC AD AB AC=∠B=∠DCA∴AC2=10·AD∵AC2=AD2+CD2∴10·AD=AD2+16∴AD=2舍AD=8∵四边形ABCE内接于☉O ∴∠B+∠AEC=180°∵∠DEC+∠AEC=180°∴∠B=∠DEC∴∠DEC=∠DCA∵∠D=∠D∴△DEC∽△DCA∴CD DE AD CD=∴CD2=AD·DE∴16=8·DE∴DE=2；方法3：连接BC、EC，过点C做CF⊥AB，垂足为F∵CD⊥AD，∠DAC=∠CAB∴CD=CF=4，∠D=∠CFB=90°∵AB=10∴OC=OB=5∴OF=3∴BF=OB-OF=5-3=2∵四边形ABCE内接于☉O∴∠B+∠AEC=180°∵∠DEC+∠AEC=180°∴∠B=∠DEC∴△DEC≌△CFB∴DE=FB=2．【点睛】本题是一道关于圆的综合题目，涉及的知识点有切线的性质、平行线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质等，综合利用以上知识点是解此题的关键．16．（1）见解析；（2）点E不存在，BE不能与⊙O相切，理由见解析【解析】【分析】（1）要证明FG是⊙O的切线只要证明OF⊥FG即可；（2）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，根据勾股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．【详解】（1）连接OF、EF；∵AE是⊙O的直径，AF⊥EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，AB＝CD，∴四边形ADEF是矩形，∴AF＝DE，∴EC＝BF，∵E是CD的中点，∴F是AB的中点，∴OF∥BE，∵FG⊥BE，∴OF⊥FG，∴FG为⊙O的切线．（2）若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°．设DE＝x，则EC＝5﹣x．由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，即（9+x2）+[（5﹣x）2+9]＝25，整理得x2﹣5x+9＝0，∵b2﹣4ac＝25﹣36＝﹣11＜0，∴该方程无实数根，∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．本题还要会熟练运用勾股定理作为相等关系列方程求解．17．（1）证明见解析；（2）BE＝3；（3）（BE+PA）•PA有最大值，最大值为254．【解析】【分析】（1）由半径相等可设∠PAD＝∠ADP＝α，根据切线的性质得到∠EDP＝90°，证明∠BDE=90°-α，由∠ACB＝90°，得到∠B＝90°﹣α，再根据“等角对等边”即可求解；（2）过点E作EG⊥BD，则点G为BD的中点，根据等量代换得到∠GED＝∠BAC，从而求出tan∠BAC12=，则cos∠BAC5=，sin∠BAC5=，根据锐角三角函数的定义。

2021中考数学压轴题满分训练–圆的专题1．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB；（2）如果tan B＝，⊙O的直径是5，求AE的长．4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为E，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∴∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA•BD＝DE•IF②任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．5．【发现】如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数（填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB ＝°．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？【研究】为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．【应用】（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为．（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE ＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．①∠BPE＝°，∠BPA＝°；②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为．6．如图，BE为⊙O的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为⊙O的切线，A为切点，连接AB，AE，AO．∠C＝30°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：BO＝CE；（3）已知⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）7．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；（3）求证：CE2＝CD•CA．8．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长．9．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×4网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的“好点”；（2）△ABC中，BC＝14，tan B＝，tan C＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．10．如图，DE是△DBC的外角∠FDC的平分线，交BC的延长线于点E，DE的延长线与△DBC的外接圆交于点A．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠DCB＝90°，sin E＝，AD＝4，求BD的长．11．已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．（1）如图1，求证：BD＝ED．（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC＝12，sin∠BAC＝，求OE的长．12．如图，AB是大半圆O的直径．OA是小半圆O1的直径，点C是大半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），AC交小半圆O1于点D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD＝DC；（2）求证：DE是半圆O1的切线；（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．13．已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径．点D是⊙O外一点，连接AD 和OD，OD与AC相交于点E，且OD⊥AC．（1）如图1，若AD是⊙O的切线，tan∠BAC＝，证明：AD＝AB；（2）如图2，延长DO交⊙O于点F，连接CD，CF，AF．当四边形ADCF为菱形，且∠BAC＝30°，BC＝1时，求DF的长．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．15．已知：△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交AB于点E，交⊙O于点D，满足∠BEC ＝3∠ACD．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，连接BD，点F为弧BD上一点，连接CF，弧CF＝弧BD，过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求证：CF+DG＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，点H为AC上一点，分别连接DH，OH，OH⊥DH，过点C作CP⊥AC，交⊙O于点P，OH：CP＝1：，CF＝12，连接PF，求PF的长．参考答案1．解：（1）如图，连接OC，AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵PC是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠DCB，又∵CA＝CD，∴∠CAB＝∠CDB，∴∠DCB＝∠CDB，∴BC＝BD，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵∠CBA＝2∠CDB＝2∠CAB，∴∠CBA＝90°×＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OB；（2）连接AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵E是中点，∴AE＝BE＝4，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×90°＝45°，在Rt△AEM中，AE＝4，∠AEM＝∠CBA＝60°，∴EM＝AE＝2，AM＝AE＝2，在Rt△ACM中，AM＝2，∠ACM＝45°，∴CM＝AM＝2，∴CE＝EM+CM＝2+2，答：CE的长为2+2．2．（1）证明：连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴AE∥OC，∵AO＝BO，∴EC＝BC，∴OC＝AE，∵OC＝OA＝OB＝AB，∴AE＝AB；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°，AC⊥BE，∵由（1）知：AB＝AE，∴EC＝BC，∵BC＝16，∴EC＝16，在RtACB中，由勾股定理得：AC＝＝＝12，在Rt△ACE中，S△ACE＝＝，∵AE＝AB＝20，∴＝CD，解得：CD＝9.6．3．（1）证明：连接AD，OD，∵AC为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BAD＝∠ODA，∴AB∥OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AB；（2）解：∵tan B＝＝，∴设AD＝k，BD＝2k，∴AB＝＝k，∵AB＝AC＝5，∴k＝，∴AD＝，BD＝2，∵S△ABD＝AB•DE＝AD•BD，∴DE＝＝2，∴AE＝＝＝1．4．解：（1）∵O、I、N三点共线∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案为：R﹣d．（2）BD＝ID．理由如下：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI ∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID．（3）由（2）知BD＝ID∴式子②可改写为IA•ID＝DE•IF又∵IA•ID＝IM•IN∴DE•IF＝IM•IN∴2R•r＝（R+d）（R﹣d）∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr．（4）∵d2＝R2﹣2Rr＝62﹣2×6×2＝12∴d＝2．故答案为：2．5．解：【发现】根据圆周角性质，∠ACB的度数不变，∵∠AOB＝150°，∴∠ACB＝∠AOB＝75°，故答案为：不变，75°；【研究】补全图形如图1所示，【应用】（1）如图2，记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝30°，过点O作OH⊥AB于H，∴AH＝AB＝，在Rt△AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r，根据勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3，∴r＝1（舍去负数），∴OA＝2，OH＝1，∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3，∴S△ABC最大＝AB•h＝×2×3＝3，故答案为：3；（2）①∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠BEF+∠EBF＝90°，∵点P是△BEF的内心，∴PE，PB分别是∠BEF和∠EBF的角平分线，∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE，∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°；在△BPE和△BPA中，，∴△BPE≌△BPA（SAS）．∴∠BPA＝∠BPE＝135°，故答案为：135°，135°；②如图3，作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形，∴∠AQB＝180°∠BPA＝45°，∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，∴OA＝OB＝AB＝，连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，则四边形OMBN是正方形，∴ON＝BN＝BM＝AB＝1，∴CN＝BC+BN＝3，在Rt△ONC中，OC＝＝，∴CP 的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣，故答案为：﹣．6．（1）解：∵CA为⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）证明：在Rt△AOC中，∠C＝30°，∴OA＝OC，∵OA＝OB＝OE，∴OB＝CE；（3）解：在Rt△AOC中，AC＝＝6，∴图中阴影部分的面积＝×6×6﹣＝18﹣6π．7．（1）证明：连接OB、OE，如图所示：在△ABO和△EBO中，，∴△ABO≌△EBO（SSS），∴∠BAO＝∠BEO，∵⊙O与边BC切于点E，∴OE⊥BC，∴∠BEO＝∠BAO＝90°，即AB⊥AD，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵BE＝3，BC＝7，∴AB＝BE＝3，CE＝4，∵AB⊥AD，∴AC＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴∠OEC＝∠BAC＝90°，∠ECO＝∠ACB，∴△CEO∽△CAB，∴，即，解得：OE＝，∴⊙O的半径长为．（3）证明：连接AE，DE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∵BA是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∴∠DEC＝∠EAD，∴△EDC∽△AEC，∴，∴CE2＝CD•CA．8．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝，∴，∴EF＝3．9．解：（1）如图：D即为△ABC边AB上的“好点”；（2）如答图1：过A作AH⊥BC于H，∵tan B＝，tan C＝1，∴，＝1，设AH＝3k，则BH＝4k，CH＝3k，∵BC＝14，∴3k+4k＝14，解得k＝2，∴BH＝8，AH＝CH＝6，设BD＝x，则CD＝14﹣x，DH＝8﹣x，Rt△ADH中，AD2＝AH2+DH2＝62+（8﹣x）2，而点D是BC边上的“好点”，有AD2＝BD•CD＝x•（14﹣x），∴62+（8﹣x）2＝x•（14﹣x），解得x＝5或x＝10，∴BD＝5或BD＝10；（3）①∵∠CAH＝∠HDB，∠AHC＝∠BHD，∴△ACH∽△DBH，∴，∴AH•BH＝CH•DH，∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•DH，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；②如答图2：连接AD，∵OH⊥AB，OH∥BD，∴AB⊥BD，∴AD是直径，∵r＝3OH，设OH＝m，则OA＝3m，BD＝2m，Rt△AOH中，AH＝＝2m，∴BH＝2m，Rt△BHD中，HD＝＝2m，∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•DH，∴CH＝＝m，∴＝＝．10．（1）证明：∵DE是△DBC的外角∠FDC的平分线，∴∠FDE＝∠CDE，∵∠ADB＝∠ACB＝∠FDE，∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：∵∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD＝90°，∴∠E+∠CDE＝∠ABD+∠ADB＝90°，∵∠ADB＝∠FDE＝∠CDE，∴∠ABD＝∠E，∵sin E＝，∴sin∠ABD＝＝，∵AD＝4，∴BD＝4．11．（1）证明：如图1，连接BE．∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD，∵∠DBC＝∠CAD．∴∠DBC＝∠BAD，∵∠BED＝∠BAD+∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED；（2）如图2 所示；连接OB．∵AD是直径，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，且BF＝FC＝6，∵，∴OB＝10．在Rt△BOF中，BF＝6，OB＝10，∴，∴DF＝2，在Rt△BDF中，BF2+DF2＝BD2，∴，∴，∴．12．证明：（1）连接OD，∵AO为圆O1的直径，则∠ADO＝90°．∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，∴AD＝DC．（2）证明：∵D为AC的中点，O1为AO的中点，∴O1D∥OC．又DE⊥OC，∴DE⊥O1D∴DE与⊙O1相切．（3）如果OE＝EC，又D为AC的中点，∴DE∥O1O，又O1D∥OE，∴四边形O1OED为平行四边形．又∠DEO＝90°，O1O＝O1D，∴四边形O1OED为正方形．13．解：（1）证明：∵OD⊥AC，∴AE＝EC＝AC，∠DEA＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠BAC＝＝，∴BC＝AC，∴AE＝BC，∵AD是⊙O的切线，∴DA⊥AB，∴∠DAO＝∠ACB＝90°，∴∠DAE+∠CAB＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠DAE＝∠ABC，在△DAE和△ABC中，，∴△DAE≌△ABC（ASA），∴AD＝AB；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2，AC＝，∵∠ABC＝∠AFC＝60°，∵四边形ADCF为菱形，∴AC＝FC＝，∴△AFC是等边三角形，∴∠DFC＝AFC＝30°，∴CE＝FC＝，∴EF＝CE＝，∴DF＝2EF＝3．14．解：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∠ACB＝∠B，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝BC•BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE•CE，∴AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）由（2）知：AB2＝BC•BE，∵BC•BE＝64，∴AB＝8，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∠BAD＝∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝8．15．（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC＝3α，∠ACD＝α．∵∠BEC＝∠BAC+∠ACD，∴∠BAC＝2α，∵CD是直径，∴∠DAC＝90°，∴∠D＝90°﹣α，∴∠B＝∠D＝90°﹣α，∵∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α．∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ＝BD．∵＝，∴DB＝CF，∵∠DBA＝∠DCA，CZ＝BD，AB＝AC，∴△ADB≌△AZC（SAS），∴AD＝AZ，∵AG⊥DZ，∴DG＝GZ，∴CG＝CZ+GZ＝BD+DG＝CF+DG．（3）解：连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．∵CP⊥AC，∴∠ACP＝90°，∴PA是直径，∵OR⊥PC，OK⊥AC，∴PR＝RC，∠ORC＝∠OKC＝∠ACP＝90°，∴四边形OKCR是矩形，∴RC＝OK，∵OH：PC＝1：，∴可以假设OH＝a，PC＝2a，∴PR＝RC＝a，∴RC＝OK＝a，sin∠OHK＝＝，∴∠OHK＝45°，∵OH⊥DH，∴∠DHO＝90°，∴∠DHA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵CD是直径，∴∠DAC＝90°，∴∠ADH＝90°﹣45°＝45°，∴∠DHA＝∠ADH，∴AD＝AH，∵∠COP＝∠AOD，∴AD＝PC，∴AH＝AD＝PC＝2a，∴AK＝AH+HK＝2a+a＝3a，在Rt△AOK中，tan∠OAK＝＝，OA＝＝＝a，∴sin∠OAK＝＝，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ACD+∠ADG＝90°，∴∠DAG＝∠ACD，∵AO＝CO，∴∠OAK＝∠ACO，∴∠DAG＝∠ACO＝∠OAK，∴tan∠ACD＝tan∠DAG＝tan∠OAK＝，∴AG＝3DG，CG＝3AG，∴CG＝9DG，由（2）可知，CG＝DG+CF，∴DG+12＝9DG，∴DG＝，AG＝3DG＝3×＝，∴AD＝＝＝，∴PC＝AD＝，∵sin∠F＝sin∠OAK，∴sin∠F＝＝，∴CT＝×FC＝×12＝，FT＝＝＝，PT＝＝＝，∴PF＝FT﹣PT＝﹣＝．。

2021中考数学 几何专题训练圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( )A. 10B. 2 3C.13 D. 3 22. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立．．．的是( )A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED.BD ︵＝BC ︵3. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A．51°B．56°C．68°D．78°4. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )A.7 B．27 C．6 D．85. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝3∠COD(∠COD<60°)，则劣弧AB，劣弧CD的大小关系是( )A.AB︵＝3CD︵B.AB︵>3CD︵C.AB︵<3CD︵D．3AB︵<CD︵6. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O中，弦AB与CD 交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是( )A．2 6 B．2 10 C．2 11D．4 37. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm8. 如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，AB︵与垂直于AB的半径OC交于点D，且CD＝2OD，则折痕AB的长为( )A．4 2 B．8 2 C．6D．6 39. 2020·武汉模拟小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a 为160 mm ，直角顶点A 到轮胎与地面接触点B 的距离AB 为320 mm ，请帮小名同学计算轮胎的直径为( )A ．350 mmB ．700 mmC ．800 mmD ．400 mm10. (2019•仙桃)如图，AB 为的直径，BC为的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个O O O CO DB ⊥EDA EBD △∽△ED BC BO BE ⋅=⋅二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD= 度.12. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°.13. 2018·孝感已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD 之间的距离是________cm.14. 已知：如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C 是AB︵的中点，则四边形OACB是________．(填特殊平行四边形的名称)15. 如图，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在BC︵上，且OA＝AB，则∠ABC＝________°.16. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．17. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.链接听P39例4归纳总结18. 只用圆规测量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与⊙O 交于点F ，连接DF ，DC.已知OA ＝OB ，CA ＝CB.(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线； (2)求证：∠CDF ＝∠EDC ；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．20. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，ED︵＝BD︵，BE交AC于点F.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)判断△BCF的形状并说明理由；(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求BD︵的长度(结果保留π).21. 如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC 于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B ，C ，E 三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．22. (2019•辽阳)如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求阴影部分的面积．BE O A D O AE AD DE A BE C EAC EDA ∠=∠AC O CE AE ==2021中考数学 几何专题训练：圆的有关性质-答案 一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C 【解析】延长AO 交BC 于点D ，连接OB.由AB ＝AC 得点A 在线段BC 的垂直平分线上，因而可得AD ⊥BC ，所以BD ＝3，不难得出AD ＝BD ＝3，于是OD ＝AD －OA ＝2，在R t △ODB 中，OB ＝OD 2＋DB 2＝22＋32＝13.2. 【答案】C3. 【答案】A [解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°， ∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ， ∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】B [解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.5. 【答案】A [解析] 把∠AOB三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD︵，因此有AB︵＝3CD︵.6. 【答案】C7. 【答案】A [解析] 作出该球轴截面的示意图如图所示．依题意，得BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm.设OE＝x cm，则OA ＝(2＋x)cm.∵OA2＝AE2＋OE2，∴(2＋x)2＝42＋x2，解得x＝3，故该球的半径为5 cm.8. 【答案】B [解析] 如图，延长CO交AB于点E，连接OB.∵CE⊥AB，∴AB＝2BE.∵OC＝6，CD＝2OD，∴CD＝4，OD＝2，OB＝6.由折叠的性质可得DE＝12×(6×2－4)＝4，∴OE＝DE－OD＝4－2＝2.在Rt△OEB中，BE＝OB2－OE2＝62－22＝4 2，∴AB＝8 2.故选B.9. 【答案】C10. 【答案】A【解析】如图，连接．∵为的直径，为的切线，∴，∵，∴，．又∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．又∵点在上，∴是的切线，故①正确，∵，∴，∵，∴垂直平分，即，故②正确；DOAB O BC O90CBO∠=︒AD OC∥DAO COB∠=∠ADO COD∠=∠OA OD=DAO ADO∠=∠COD COB∠=∠COD△COB△CO COCOD COBOD OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩COD COB△≌△90CDO CBO∠=∠=︒D O CD OCOD COB△≌△CD CB=OD OB=CO DB CO DB⊥∵为的直径，为的切线，∴， ∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故③正确；∵，，∴，∴，∵，∴，故④正确，故选A ．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】20 [解析]如图，连接DO ，∵CO ⊥AB ，∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB ，∴∠BAD=20°.12. 【答案】62 【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD ＝28°，可得∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD ＝∠ACD ＝AB O DC O 90EDO ADB ∠=∠=︒90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒ADE BDO ∠=∠OD OB =ODB OBD ∠=∠EDA DBE ∠=∠E E ∠=∠EDA EBD △∽△90EDO EBC ∠=∠=︒E E ∠=∠EOD ECB △∽△ED OD BE BC =OD OB =ED BC BO BE ⋅=⋅62°.13. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点F，交AB于点E，如图①，∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，∴AE＝8 cm，CF＝6 cm.∵OA＝OC＝10 cm，∴EO＝6 cm，OF＝8 cm，∴EF＝OF－OE＝2 cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点E并反向延长交AB于点F，如图②，∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，∴AF＝8 cm，CE＝6 cm.∵OA＝OC＝10 cm，∴OF＝6 cm，OE＝8 cm，∴EF＝OF＋OE＝14 cm.∴AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm.14. 【答案】菱形[解析] 连接OC.∵C是AB︵的中点，∴∠AOC＝∠COB＝60°.又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OCB都是等边三角形，∴OA＝AC＝BC＝OB，∴四边形OACB是菱形．15. 【答案】15 [解析] ∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°. 又∵OC＝OB，∴△COB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°.∵OA＝AB，OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，∴∠ABC＝∠OBA－∠OBC＝15°.16. 【答案】522 [解析] ∵BD为⊙O的直径，∴∠DAB＝∠DCB＝90°.∵AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠DBC＝∠DAC＝45°，∠CDB＝∠BAC＝45°，从而CD ＝CB ，∴CD ＝522.17. 【答案】10或70 [解析] 对于半径为50 cm 的圆而言，圆心到长为60 cm 的弦的距离为40 cm ，到长为80 cm 的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm 或70 cm.18. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫360n m °[解析] 设∠XOY 的度数为x ，则mx＝n ×360°，所以x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫360n m °.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA ＝OB ，AC ＝CB ，∴OC ⊥AB.又∵点C 在⊙O 上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M.∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN ＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.20. 【答案】(1)证明：∵BC2＝CD·CA，∴BCCA＝CD BC，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD＝∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即AB⊥BC，又∵AB为⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线；(2)解：△BCF为等腰三角形．证明如下：∵ED︵＝BD︵，∴∠DAE＝∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DAE，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DBF＝∠CBD，∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝∠BDF＝90°，∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDC，∴BF＝BC，∴△BCF为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°∵BC2＝CD·CA，∴AC＝BC2CD＝1529＝25，由勾股定理得AB＝AC2－BC2＝252－152＝20，∴⊙O的半径为r＝AB2＝10，∵∠BAC＝36°，∴BD︵所对圆心角为72°.则BD︵＝72×π×10180＝4π.21. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD 2＋CD 2＝BC 2，∴BD ＝CD ＝3 2.(4)B，C ，E 三点可以确定一个圆．如图②，连接CD .∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD .又由(2)可知ED ＝BD ，∴BD ＝CD ＝ED ，∴B ，C ，E 三点确定的圆的圆心为点D ，半径为BD (或ED ，CD )的长度．22. 【答案】(1)如图，连接，过作于，∴，∴，OA O OF AE ⊥F 90AFO ∠=︒90EAO AOF ∠+∠=︒∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∴是⊙的切线．(2)∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， OA OE =12EOF AOF AOE ∠=∠=∠12EDA AOE ∠=∠EDA AOF ∠=∠EAC EDA ∠=∠EAC AOF ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒EAC EAO CAO ∠+∠=∠90CAO ∠=︒OA AC ⊥ACO CE AE ==C EAC ∠=∠EAC C AEO ∠+∠=∠2AEO EAC ∠=∠OA OE =AEO EAO ∠=∠2EAO EAC ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积．30EAC ∠=︒60EAO ∠=︒OAE △OA AE =60EOA ∠=︒OA=2πAOE S =扇形Rt OAE△sin 3OF OA EAO =⋅∠==11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△=2π-。

中考数学专题训练：与圆有关的计算（附参考答案）1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⏜)，点O是这段弧所在圆的圆心，B 为AC⏜上一点，OB⊥AC于D.若AC＝300√3 m，BD＝150 m，则AC⏜的长为( )A．300π m B．200π mC．150π m D．100√3π m2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是( )A．30°B．60°C．105°D．210°3．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB)．已知A，B是圆上的两点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从点A走到点B，走便民路比走观赏路少走( )A．(6π－6√3)米B．(6π－9√3)米C．(12π－9√3)米D．(12π－18√3)米4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝√5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为( )A．8－πB．4－πC．2－π4D．1－π45．如图，两个半径长均为√2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形FCD的圆心C 是AB⏜的中点，且扇形FCD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．π2－1 B ．π2－2 C ．π－1D ．π－26．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点M 在AB⏜上，则∠CME 的度数为( )A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°7．如图，在以AB 为直径的⊙O 中，C 为圆上的一点，BC⏜＝3AC ⏜，弦CD ⊥AB 于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G .若H 是AG 的中点，则∠CBF 的度数为( )A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°8．设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的母线长为l ，满足2r ＋l ＝6，这样的圆锥的侧面积( ) A ．有最大值94π B ．有最小值94π C ．有最大值92πD ．有最小值92π9．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面圆的半径是( )A ．π4 B ．√24 C ．12D ．110．圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为( ) A ．2π B ．3π C ．32πD ．12π11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，半径为4，连接OB ，OC ，OA .若∠CAO ＝40°，∠ACB ＝70°，则阴影部分的面积是( )A ．43π B ．83π C ．163πD ．323π12．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的( )A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍13．如图所示，点A ，B ，C 对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A ′，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4√3B ．6C ．43πD ．83π14．如图，要用一张扇形纸片围成一个无底的圆锥(接缝处忽略不计)．若该圆锥的底面圆周长为20π cm ，侧面积为240π cm 2，则这个扇形的圆心角的度数是_______度．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝2√3，半径为1的⊙O 在Rt △ABC 内平移(⊙O 可以与该三角形的边相切)，则点A 到⊙O 上的点的距离的最大值为__________．16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)17．已知AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，C 为⊙O 上一点，连接CA ，CB .(1)如图1，若C 为AB⏜的中点，求∠CAB 的大小和AC 的长； (2)如图2，若AC ＝2，OD 为⊙O 的半径，且OD ⊥CB ，垂足为点E ，过点D 作⊙O 的切线，与AC 的延长线相交于点F ，求FD 的长．18．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则sin ∠MFG的值为______．19．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为______厘米．20．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线⏜的中点，弦CE，BD相交于点F.交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是BD(1)求∠OCB的度数；(2)若EF＝3，求⊙O的直径长．21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD.(1)求证：CF是⊙O的切线．(2)如果AB＝10，CD＝6.①求AE的长；②求△AEF的面积．参考答案1．B 2．D 3．D 4．D 5．D6．D 7．C8．C 9．B10．C 11．C 12．B 13．D14．150 15．2√7＋1 16．4－π17．(1)∠CAB＝45°AC＝3√2(2)FD＝2√2 18．√5519.2620．(1)∠OCB＝60°(2)⊙O的直径长为6√321．(1)证明略(2)①AE＝454②△AEF的面积为2258。

专题26圆的有关计算（共52题）一、单选题1．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πBC ．12D ．12．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ） A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的△O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF △AC ，垂足为点F ，若△O 的半径为△CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A ．16π-B ．16π-C ．20π-D ．20π-5．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．4π+C ．2D ．2π6．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD ，再分别以E 、F 为圆心，1为半径作圆弧BO 、OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．π﹣3D ．4﹣π7．（2021·青海中考真题）如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A （羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（ ）平方米．A ．17π12B ．17π6C ．25π4D ．77π128．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．2132π-B ．2132π-C ．2πD ．122π- 9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 10．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，线段10AB =，点C 、D 在AB 上，1AC BD ==．已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，在点P 移动过程中作如下操作：先以点P 为圆心，PA 、PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P 的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S ．则S 关于t 的函数图像大致是（ ）A．B．C．D．11．（2021·山东东营市·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（）A．214°B．215°C．216°D．217°12．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π13．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC 的三个顶点都在O 上，AD 是O 的直径．若3OA =，则劣弧BD 的长是（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π14．（2021·湖北中考真题）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm15．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1:S S 的比值为（ ）A ．8πB ．4πC ．14D ．1216．（2021·河北中考真题）如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，8AFO S =△，2CDO S =△，则ABCDEF S 正六边形的值是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．随点O 位置而变化二、填空题 17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）边长为4cm 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______． 18．（2021·上海中考真题）六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．19．（2021·江西中考真题）如图，在边长为ABCDEF 中，连接BE ，CF ，其中点M ，N 分别为BE 和CF 上的动点，若以M ，N ，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．20．（2021·重庆中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线12AC =，16BD =，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，12AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留π）21．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转120︒得到''A B C ．已知3,2AC BC ==，则线段AB 扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．22．（2021·浙江温州市·中考真题）若扇形的圆心角为30，半径为17，则扇形的弧长为______． 23．（2021·山东泰安市·中考真题）若ABC 为直角三角形，4AC BC ==，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．24．（2021·山东聊城市·中考真题）用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 225．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2cm,AB AD ==，以点B 为圆心，AB长为半径画弧，交CD 于点E ，则图中阴影部分的面积为_______2cm ．26．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．27．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =，将ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到AB C ''△，并使点C '落在AB 边上，则点B 所经过的路径长为______．（结果保留π）28．（2021·湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm ，那么这张扇形纸板的面积是________2cm （结果用含π的式子表示）．29．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AB =，点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，连结CP ，点A 关于直线CP 的对称点为'A ，连接A ′C ，'A P ．在运动过程中，点'A 到直线AB 距离的最大值是_______；点P 到达点B 时，线段'A P 扫过的面积为___________．30．（2021·湖南衡阳市·中考真题）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为__________．（结果保留π） 31．（2021·重庆中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，△CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．32．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）33．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，从一块直径为4dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形，则此扇形的面积为_____2dm ．34．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB ＝12，则点B 经过的路径BC 长度为_____．（结果保留π）35．（2021·江苏无锡市·中考真题）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．36．（2021·广东中考真题）如图，等腰直角三角形ABC 中，90,4A BC ∠=︒=．分别以点B 、点C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB 、BC 、AC 于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为____．37．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）若一个圆锥的底面半径为1cm ，它的侧面展开图的圆心角为90︒，则这个圆锥的母线长为____ cm ．38．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在O 中，3OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）39．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是_________．40．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，8BE =，O 为BCE 的外接圆，过点E 作O 的切线EF 交AB 于点F ，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） △AE BE =；△AED CBD ∠=∠；△若40DBE ∠=︒，则DE 的长为89π；△DF EF EF BF =；△若6EF =，则 2.24CE =．41．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200米，圆心角90AOB ∠=︒，则这段铁轨的长度_____米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）42．（2021·湖北宜昌市·中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米．（圆周率用π表示）三、解答题43．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．44．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径的半圆O 交AB 于点D ，过点D 作半圆O 的切线，交AC 于点E ．（1）求证：2ACB ADE ∠=∠；（2）若3,DE AE ==CD 的长．45．（2021·湖北随州市·中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）△如图1，P 是边长为a 的正ABC 内任意一点，点O 为ABC 的中心，设点P 到ABC 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，连接AP ，BP ，CP ，由等面积法，易知()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△，可得123h h h ++=_____；（结果用含a 的式子表示）△如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，5h ，参照△的探索过程，试用含a 的式子表示12345h h h h h ++++的值．（参考数据：8tan 3611≈°，11tan 548≈°）（3）△如图3，已知O 的半径为2，点A 为O 外一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）△如图4，现有六边形花坛ABCDEF ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG ，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G 的位置，并说明理由．46．（2021·浙江金华市·中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．△求APO ∠'的度数． △求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．47．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．48．（2021·四川达州市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点（C 不与点A ，B 重合）连接AC ，BC ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ．将ACD ∆沿AC 翻折，点D 落在点E 处得ACE ∆，AE 交O 于点F ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若15BAC ∠=︒，2OA =，求阴影部分面积．49．（2021·湖南邵阳市·中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB AC =，AD BC ⊥．将扇形AEF 围成圆锥时，AE ，AF 恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角BAC ∠的大小（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm ，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）50．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 与BC ，AC 分别相切于点E ，F ，BO 平分ABC ∠，连接OA ．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若3BE AC ==，O 的半径是1，求图中阴影部分的面积．51．（2021·山东菏泽市·中考真题）在矩形ABCD 中，BC =，点E ，F 分别是边AD 、BC 上的动点，且AE CF =，连接EF ，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点G 处，点D 落在点H 处．（1）如图1，当EH 与线段BC 交于点P 时，求证：PE PF =；（2）如图2，当点P 在线段CB 的延长线上时，GH 交AB 于点M ，求证：点M 在线段EF 的垂直平分线上；（3）当5AB =时，在点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，计算出点G 运动的路线长．52．（2021·江苏南京市·中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？π．在（1）如图△，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4cm图△所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图△中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．△蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．=．圆柱的侧面展开图如图△所示，在图中画出蚂蚁从点A △设AD的长为a，点B在母线OC上，OB b爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】 专题26圆的有关计算 试题解析（共52题）一、单选题1．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πB C ．12D ．1【答案】B 【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可． 【详解】 解：如下图：连接BC ，AO ， △90BAC ∠=， △BC 是直径，且BC=2， 又△AB AC =，△45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又△sin 45OA AB ︒=，112OA BC == ，△ 1sin 45OA AB ===︒△BC 的长度为：901802π⨯，△， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则：22r π=，△1=224r π=⨯ 故选：B 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．2．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ） A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π【答案】D 【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可．【详解】解：2150615360S ππ⨯==．故选：D 【点睛】本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键．3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D 【分析】作OC △AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出△A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可． 【详解】解：作OC △AB 于C ，如图， 则AC =BC ， △OA =OB ，△△A =△B =12（180°-△AOB ）=30°， 在Rt △AOC 中，OC =12OA =9，AC =△AB =2AC = 又△12018180AB π⨯⨯==12π，△走便民路比走观赏路少走12π-米， 故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的△O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF△AC，垂足为点F，若△O的半径为△CDF=15°，则阴影部分的面积为（）A．16π-B．16π-C．20π-D．20π-【答案】A【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到△ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到△BAC=2△DAC=2×15°=30°，求得△AOE=120°，过O作OH△AE于H，解直角三角形得到OH，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD，连接OE，△AB是直径，△△ADB=90°，△AD△BC，△△ADB=△ADC=90°，△DF△AC，△△DFC=△DF A=90°，△△DAC=△CDF=15°，△AB=AC，D是BC中点，△△BAC=2△DAC=2×15°=30°，△OA=OE，△△AOE=120°，过O作OH△AE于H，△AO，△OH=12 AO△AHOH=6，△AE=2AH=12，△S阴影=S扇形AOE-S△AOE=(21201123602π⨯-⨯⨯16π=-故选：A．【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．5．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形ABCD中，1,AB BC==P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为1C，当点P运动时，点1C也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段1CC扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C D．2π【答案】B【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则△BQC=90°，△当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，延长CB到E，使BE=BC，连接EC，△C、C1关于PB对称，△△EC1C=△BQC=90°，△点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点C1与点E重合，当点P与点D重合时，点C1与点F重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠====， △△PBC =30°，△△FBP =△PBC =30°，CQ =12BC =，BQ 32=，△△FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是21203604BCF S ππ⨯+=+． 故选：B ．【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD ，再分别以E 、F 为圆心，1为半径作圆弧BO 、OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．π﹣3D ．4﹣π【答案】B【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，阴影部分的面积是：14•π×22﹣2112π⋅⨯﹣2（1×1﹣14•π×12）＝π﹣2，故选：B．【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算．7．（2021·青海中考真题）如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A（羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（）平方米．A．17π12B．17π6C．25π4D．77π12【答案】D【分析】根据题意，画出这只羊在草地上的最大活动区域，然后根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示：这只羊在草地上的最大活动区域为两个扇形，其中大扇形的半径为5米，圆心角为90°；小扇形的半径为5－4=1米，圆心角为180°－120°=60°羊在草地上的最大活动区域面积=2290π560π1360360⨯⨯+=77π12（平方米）故选D．【点睛】此题考查的是扇形的面积公式的应用，掌握扇形的面积公式是解决此题的关键．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．23π-C ．2πD ．2π 【答案】A【分析】以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，判断出90PBC ∠<︒，再根据△BCP =90°和△BPC =90°两种情况判断出点P 的位置，启动改革免费进行求解即可．【详解】解：以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，△△BPC 为等腰直角三角形，且点P 在菱形ABCD 的内部，很显然，90PBC ∠<︒△若△BCP =90°，则CP =BC =2这C 作CE △AD ,交AD 于点E ，△四边形ABCD 是菱形△AB =BC =CD =DA =2，△D =△ABC =60°△CE =CDsin △D =22=< △点P 在菱形ABCD 的外部，△与题设相矛盾，故此种情况不存在；△△BPC =90°过P 作PF △BC 交BC 于点F ，△△BPC 是等腰直角三角形，△PF =BF =12BC =1 △P (1,1)，F (1,0)过点A 作AG △BC 于点G ，在Rt △ABG 中，△ABG =60°△△BAG =30°△BG =112AB =，AG =△A ，(1,0)G△点F 与点G 重合△点A 、P 、F 三点共线△1AP AF PF =-=△111)2ABP S ∆=⨯⨯= 12112BPC S ∆=⨯⨯= 26022=3603BAC S ππ⨯=扇形△2121=13232ABP BPC BAC S S S S ππ∆∆--=--=-阴影扇形 故选：A ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）A．32π+B．2π-C．1D．52π-【答案】D【分析】取BC的中点O，设AE与△O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，△OF A=△OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC的中点O，设AE与△O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：△四边形ABCD是正方形，且边长为2，△BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，△AE是以BC为直径的半圆的切线，△OB=OC=OF=1，△OF A=△OFE=90°，△AB=AF=2，CE=CF，△OA=OA，△Rt △ABO △Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE △△OFE ，△,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，△90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，△COE BAO ∠=∠，△ABO OCE ∽， △OC CE AB OB=， △12CE =， △15222222ABO OCE ABCE S S S SS S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 故选D ．【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，线段10AB =，点C 、D 在AB 上，1AC BD ==．已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，在点P 移动过程中作如下操作：先以点P 为圆心，PA 、PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P 的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S ．则S 关于t 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意，先求出1PA t =+，9PB t =-，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．【详解】解：根据题意，△10AB =，1AC BD ==，且已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，则08t ≤≤，△1PA t =+，△10(1)9PB t t =-+=-，由PA 的长为半径的扇形的弧长为：60(1)(1)1803t t =ππ++ △用PA 的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为16t + △其底面的面积为()2136t π+ 由PB 的长为半径的扇形的弧长为：60(9)(9)1803-t t =ππ- △用PB 的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为96-t△其底面的面积为()2936-t π △两者的面积和()222(1)(9)1841363618t t S =t t πππ+-=+-+ △图像为开后向上的抛物线，且当4t =时有最小值；故选：D ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．11．（2021·山东东营市·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）A ．214°B ．215°C ．216°D ．217°【答案】C【分析】 由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6，可得母线长5l ==，圆锥的底面周长为：6=6ππ⨯，设圆心角的度数为n ， 则π56π180n ⨯=， 解得：216n =，故圆心角度数为：216︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．12．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【答案】D【分析】根据正多边形内角和公式求出△F AB，利用扇形面积公式求出扇形AB F的面积计算即可．【详解】解：△六边形ABCDEF是正六边形，△△F AB=()621801206-⨯︒=︒，AB=6，△扇形ABF的面积=2120612360，故选择D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．13．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC的三个顶点都在O上，AD是O的直径．若3OA=，则劣弧BD的长是（）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到△BOC =2△BAC ，证明△AOB △△AOC ，得到△BAO =△CAO =30°，得到△BOD ，再利用弧长公式计算．【详解】解：连接OB ，OC ，△△ABC 是等边三角形，△△BOC =2△BAC =120°，又△AB =AC ，OB =OC ，OA =OA ，△△AOB △△AOC （SSS ），△△BAO =△CAO =30°，△△BOD =60°，△劣弧BD 的长为603180π⨯⨯=π， 故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角△BOD 的度数． 14．（2021·湖北中考真题）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】B【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．【详解】解：设这个圆锥底面半径为cm r ， 由题意得：120302180ππ⨯=r ， 解得10(cm)r =，即这个圆锥底面半径为10cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图特点是解题关键．15．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1:S S 的比值为（ ）A ．8πB ．4πC ．14D ．12【答案】A【分析】根据题意，设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a ，分别表示出黑色部分面积和正方形ABCD 的面积，进而即可求得1:S S 的比值．【详解】设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a△24S a =，圆的面积为2a π△正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称△黑色部分面积为圆面积的一半△2112S a π=△2211::(4)28S S a a ππ==， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求解，准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内切圆性质、中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关键．16．（2021·河北中考真题）如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，8AFO S =△，2CDO S =△，则ABCDEF S 正六边形的值是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．随点O 位置而变化【答案】B【分析】 连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，根据矩形的性质求出5AFM S =△，再求出正六边形面积即可．【详解】解：连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，△多边形ABCDEF 是正六边形，△AB =BC ，△B =△BAF = 120°，△△BAC =30°，△△F AC =90°，同理，△DCA =△FDC =△DF A =90°，△四边形ACDF 是矩形，1+=102AFO CDO AFDC S S S =△△矩形，154AFM AFDC S S ==△矩形， =6=30AFM ABCDEF S S △正六边形，故选：B ．【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．二、填空题17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）边长为4cm 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．【分析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形AOB 的两条边，根据三角函数值即可求出．【详解】如图：正六边形中，过O 作,BO AB ⊥1=(62)1801206CAB ∠-⨯︒=︒ Rt ABO 中，1=602OAB CAB ∠=∠︒,301∴∠=︒ 它的外接圆与内切圆半径的比值是1cos 132AO BO ===∠．。

2021中考数学压轴题满分训练–圆的专题1．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O 于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB＝30°，DB＝4cm．（1）求⊙O的半径长；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）2．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．（1）求证：∠PAB＝∠ACB；（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC ＝13，过点O作OD⊥AC于点D．（1）求证：∠B＝∠COD；（2）求AB的长．5．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA 的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．6．如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．（1）求证：∠DCB＝∠ADB；（2）若∠DCB＝30°，AC＝3，求AD的长．7．如图1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AD、BC、AO，AD＝AB．（1）求证：∠CAO＝2∠CDB；（2）如图2，过点O作OH⊥AD，垂足为点H，求证：2OH+CE＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB、AC交于点F，过点D作DM⊥AC，垂足为M交AB于N，若BC＝12，AF＝3BF，求MN的长．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；（2）求证：∠BAC＝∠CEF；（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD 的长；若不存在，试说明理由．10．直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，A为圆上一点，AP的延长线交直线l于点C，且AB＝BC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长．11．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．12．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，①当AE＝FE时，求的长（结果保留π）；②当时，求线段AF的长．14．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别在AB和⊙O上，且AC＝AD，DC的延长线交⊙O于点E，过E作AC的平行线交⊙O于点F，连接AF，DF．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当sin∠EDF＝，BC＝4时，求⊙O的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，CE＝2，求CB的长．参考答案1．解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°．∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝＝2（cm）∵∠D＝30°，∴∠O＝2∠D＝60°，在Rt△BEO中，sin60°＝，＝．∴OB＝5，即⊙O的半径长为5cm．（2）由（1）可知，∠O＝60°，∠BEO＝90°，∴∠EBO＝∠D＝30°．在△CDE与△OBE中，．∴△CDE≌△OBE（AAS）．∴S阴影＝S扇OBC＝π•42＝（cm2），答：阴影部分的面积为cm2．2．（1）证明：连接OC，如图1，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵OA⊥OE，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠DCE+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，∵AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AOE，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣＝，∵CD＝DE，∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，∴∠DCE＝∠B，又∵∠DFC＝∠ACB，∴△DFC∽△ACB，∴，∴，∴DC＝．3．解：（1）证明：如图，连接OA，∵AP为⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠OAB+∠PAB＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBA+∠PAB＝90°，∵BC为⊙O的直径，∴∠ACB+∠OBA＝90°，∴∠PAB＝∠ACB；（2）由（1）知∵∠PAB＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠PAB＝∠ACB＝∠ADB，∴，∵AB＝12，∴AC＝16，∴，∴OB＝10，过B作BF⊥AP于F，∵∠ADB＝∠FAB，，∴，∴，∴在Rt△ABF中，，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴△PBF∽△POA，∴，∴，∴．答：PB的长为．4．解：（1）作直径AE，连接CE，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE+∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAE＝∠OCD，∴∠OCD+∠E＝90°，∵OD⊥AC，∴∠OCD+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠E，∵∠B＝∠E，∴∠B＝∠COD；（2）∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∴∠ACE＝∠AHB，∵∠B＝∠E，∴△ABH∽△AEC，∴＝，∴AB＝，∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，∴AB＝＝．5．（1）证明：连接OC，交AE于点H．∵C是弧AE的中点，∴OC⊥AE．∵GC是⊙O的切线，∴OC⊥GC，∴∠OHA＝∠OCG＝90°，∴GC∥AE；（2）解：∵OC⊥GC，GC∥AE，∴OC⊥AE，∵CD⊥AB，∴∠CHF＝∠FDA＝90°，∵∠CFH＝∠AFD，∴∠OCD＝∠EAB．∴．在Rt△CDO中，OD＝3，∴OC＝5，∴AB＝10，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．在Rt△AEB中，∵，∴BE＝6，∴AE＝8．6．（1）证明：如图，连接OD，∵AD与⊙O相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODB+∠ADB＝90°，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∴∠ODB+∠ODC＝90°，∴∠ODC＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠C＝∠ADB；（2）解：∵∠DCB＝∠ADB，∠DAC＝∠CAD，∴△ADB∽△ACD，∴＝，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∠DCB＝30°，∴tan∠DCB＝＝，∴＝，∵AC＝3，∴AD＝3．7．解：（1）如图，连接AO、DO，∵AB＝AD，∴，∴∠AOB＝∠AOD，∴AO＝OB，AO＝OD，∴△AOB≌△AOD，∴∠BAO＝∠DAO，延长AO交BD于点H，∵AB＝AD，∴AH⊥BD，∴∠AHB＝∠AHD＝90°，∵，∴∠ACD＝∠ABD，∴∠CAB＝∠BAO＝∠OAD，∴∠CAO＝2∠CDB．（2）过点O作OT⊥CD，则CT＝DT，∵CD⊥AB，CD⊥OT，OQ⊥AB，∴∠OQB＝∠OTE＝∠AED＝90°，∴四边形OTEQ为矩形，∴OQ＝ET，∵TD＝CT＝ET+CE，∵AB＝AD，∴OQ＝OH，∴2OH+CE＝DE．（3）如图，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∠FCB+∠ACB＝180°，∴∠ADB＝∠FCB，∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FDA，∴，∵CB＝12，∴AB＝AD＝36，∵∠BCD＝∠BAD，∠AEB＝∠AED，∴△CEB∽△AED，∴，设BE＝x，则AE＝36﹣x，ED＝3x，∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，则在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，（36﹣x）2+（3x）2＝362，解得：，∴BD＝∵CD⊥AB，∴∠BED＝90°，∠NMA＝90°，∠ANM＝∠END，∴∠NED＝∠MAN，∴∠BDE＝∠EDN，∵ED＝ED，∴△BED≌△NED，∴，∵∠CDB＝∠CAB，∠NMA＝∠BED，∴△AMN∽△DEB，∴，∴，∴MN＝．8．（1）证明：连接BD，DO，∵BC是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠CDB＝90°，又∵E为AB的中点，∴DE＝EB＝EA，∴∠EDB＝∠EBD．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠ABC＝90°，∴∠EDB+∠OBD＝90°．即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵，∴．9．解：（1）∵∠CFE＝90°，∠CFE＝∠CDE，∴∠CDE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝CD＝6；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠DEF，∴∠BAC+∠DEF＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（3）①如图1，当EF＝CE时，则∠EFC＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，在Rt△BDG中，设CD＝x，∵BG2+DG2＝BD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3；②如图2，当EF＝CF时，则∠CEF＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CEF＝∠CDF＝∠BDG，∴∠ADG＝∠BDG，∵FC∥AB，∠DFC＝90°，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵GD＝GD，∴△BGD≌△AGD（ASA），∴BD＝AD，在Rt△ACD中，设CD＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2+62＝（8﹣x）2，∴x＝，即CD＝；综合以上可得CD的长为3或．10．证明：（1）连接OA，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP＝∠BPC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵OB⊥l，∴∠ACB+∠BPC＝90°，∴∠BAC+∠OAP＝90°，即OA⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△CPB，∴，即，解得，AP＝．11．（1）证明：连接OB，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OA⊥l，∴∠ACB+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠OBP+∠ACB＝90°，∴∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，如图2，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠D，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC＝∠ACB，∵sin∠ACB＝，∴sin∠D＝＝，∵BP＝2，∴BD＝10，∴OB＝OP＝5，∵sin∠ACB＝，∴＝，∴＝，设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，AB＝2x，OB＝5，OA＝5+x，∴（2x）2+52＝（5+x）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．12．（1）证明：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC．又AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC的中点，∴BD＝5．连接OD；由中位线定理，知DO∥AC，又DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线；（2）连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8．13．证明：（1）连接OD，如图1，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；（2）①∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EAF，设∠B＝∠C＝α，∴∠EAF＝∠EFA＝2α，∵∠E＝∠B＝α，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝36°，∴∠AOD＝72°，∴的长＝＝；②连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵⊙O的半径为4，∴AB＝AC＝8，∵，∴＝，∴AD＝2，∵AD⊥BC，DH⊥AC，∴△ADH∽△ACD，∴＝，∴＝，∴AH＝3，∴CH＝5，∵∠B＝∠C，∠E＝∠B，∴∠E＝∠C，∴DE＝DC，∵DH⊥AC，∴EH＝CH＝5，∴AE＝2，∵OD∥AC，∴∠EAF＝∠FOD，∠E＝∠FDO，∴△AEF∽△ODF，∴＝，∴＝，∴AF＝．14．（1）证明：∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵AC∥EF，∴∠ACD＝∠E，∴∠ADC＝∠E，∴＝，∴＝，∴AD＝EF，∵AD＝AC，∴AC＝EF，∵AC∥EF，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：连接BD，∵四边形ACEF是平行四边形，∴AF∥CE，∴∠EDF＝∠AFD，∵所对圆周角∠B和∠AFD，∴∠AFD＝∠B，∴∠B＝∠EDF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵sin∠EDF＝，∴sin B＝sin∠EDF＝＝，∴设AD＝2x，AB＝3x，∵AC＝AD，BC＝4，∴3x﹣2x＝4，解得：x＝4，即AB＝3x＝3×4＝12，∵AB为⊙O的直径，∴⊙O的半径是6．15．（1）证明：连接OD交BC于H，如图所示：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠HCE＝90°，又∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，由（1）得：OD⊥EF，∴∠HDE＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴HD＝CE＝2，∴∠CHD＝90°，∴∠OHB＝90°，∴OD⊥BC，∴OH平分BC，∴OH是△ABC的中位线，∴OH＝AC＝3，∴OB＝OD＝OH+HD＝5，∴AB＝2OB＝10，∴CB＝＝＝8．。

2021中考数学专题训练与圆相关的计算一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的扇形纸片半径为5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm，则该圆锥的底面周长是()A. 3πcmB. 4πcmC. 5πcmD. 6πcm2. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是()A. π4B.12＋π4C.π2D.12＋π23. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()A. 2 B．2 2 C.22D．14. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为()A．4π－8 B．2πC．4π D．8π－85. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8.则图中阴影部分的面积是( )A.252π B ．10π C ．24＋4π D ．24＋5π6. 下列用尺规等分圆周的作法正确的有( )①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－88. 如图是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有()A．10个B．8个C．6个D．4个9. 如图0，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断()A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对10. (2020·南充）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为A. 4πB. 4πC. 8πD. 4π二、填空题（本大题共8道小题）11. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为.12. 如图是一个圆锥形冰激凌外壳(不计厚度)，已知其母线长为12 cm，底面圆的半径为3 cm，则这个冰激凌外壳的侧面积等于________ cm2(结果精确到个位)．13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若圆锥的底面圆半径r=2 cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为cm.14. （2020·菏泽）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为_______．15. 在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10 m．拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)．(1)如图1，若BC＝4 m，则S＝________m2.(2)如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变．则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.①②16. （2020·凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点．若阴影部分的面积是32，则半圆的半径OA的长为．DCB17. （2020·宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD3，P为边AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ．当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为．18. （2020·广西北部湾经济区）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠C ＝60°，点E ，F 分别是AB ，AD 上的动点，且AE ＝DF ，DE 与BF 交于点P ．当点E 从点A 运动到点B 时，则点P 的运动路径长为．三、解答题（本大题共6道小题）19. 如图，AB 是☉O 的直径，点C 为☉O 上一点，CN 为☉O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC ，CN 于D ，M 两点.(1)求证:MD=MC ;(2)若☉O 的半径为5，AC=4，求MC 的长.20. （2020•丽水）如图，的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°．Q PDCB A（1）求弦AB的长．（2）求的长．21. 如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦且与小半圆相切，AB＝24，求图中阴影部分的面积．22. 如图，☉O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4，CE=6，求AC的长.23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与☉O的位置关系，并说明理由;(2)求证:点H为CE的中点.24. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似．．数据α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．2021中考数学专题训练与圆相关的计算-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D【解析】如解图，由题意可知，OA＝4 cm，AB＝5 cm，在Rt△AOB 中，利用勾股定理可求得OB＝3 cm，∴该圆锥的底面周长是6πcm.2. 【答案】A【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝2，则半径OA＝OB＝1，∵△AOC≌△BOC，∴△AOC的面积与△BOC的面积相等，∴阴影部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为14π×12＝π4.3. 【答案】A[解析] 如图所示，连接OA，OE.∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2， ∴OE ＝ 2.故选A.4. 【答案】A [解析] 由题意可知∠BOC ＝2∠A ＝45°×2＝90°.∵S 阴影＝S 扇形OBC －S △OBC ，S 扇形OBC ＝14S 圆＝14π×42＝4π，S △OBC ＝12×42＝8，所以阴影部分的面积为4π－8.故选A.5. 【答案】A [解析] 如图，连接OC ，OD ，OE ，OF.∵AB ∥CD ，∴S △ACD ＝S △OCD ，∴AB 上方的阴影面积＝S 扇形OCD. 同理，AB 下方的阴影面积＝S 扇形OEF.延长EO 交⊙O 于点G ，连接FG ，则∠EFG ＝90°. ∴FG ＝EG2－EF2＝102－82＝6. ∵CD ＝6，∴FG ＝CD ，∴∠FOG ＝∠COD ，∴S 扇形OCD ＝S 扇形OFG ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OFG ＋S 扇形OEF ＝S 半圆＝12π×52＝252π.故选A.6. 【答案】A7. 【答案】A [解析] 由正方形与圆的轴对称性可知S 弓形AB ＝S 弓形BC ，S 弓形AD ＝S弓形CD ，∴S 阴影＝S 扇形AEF －S △ABD ＝90π×42360－12×4×2＝4π－4.故选A.8. 【答案】A[解析] 如图，当AB 是直角边时，点C 共有6个位置，即有6个直角三角形；当AB 是斜边时，点C 共有4个位置，即有4个直角三角形． 综上所述，使△ABC 是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.9. 【答案】C[解析] 由甲的作法可知连接OB ，BD ，OC ，CD 后，OB ＝BD ＝OD＝OC ＝CD ，所以△BOD 和△COD 都是等边三角形，四边形OBDC 是菱形，所以∠BOC ＝120°，则∠BAC ＝60°.因为四边形OBDC 是菱形，所以AD ⊥BC ，AD 平分BC ，所以AB ＝AC ，所以△ABC 是等边三角形，所以他的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC ＝120°，所以∠BAC ＝60°.又因为AD ⊥BC ，所以AD 平分BC ，所以AB ＝AC ，所以△ABC 是等边三角形，所以他的作法是正确的．故选C.10. 【答案】A【解析】如图，设正六边形的中心为0，连接OA ，OB. 由题意得△AOB 是等边三角形，边长为4，∴142AOB S ∆=⨯⨯=6个弓形的面积和是2464316243ππ⋅-⨯=-，∴阴影部分的面积是2162(16243)121624324342πππππ⨯⋅--=-+=-.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】4π[解析]设此圆锥的底面半径为r ，由题意可得2πr=，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的面积为4π.12. 【答案】113 [解析] 这个冰激凌外壳的侧面积＝12×2π×3×12＝36π≈113(cm2)．故答案为113.13. 【答案】6[解析]2π×2=，∴l=6.14. 【答案】23－π【解析】利用规则图形的面积和差求不规则图形的面积．在菱形OABC 中，OA ＝AB ，又∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =∠A =60°．如图，连接OD ，则OD ⊥AB ，OD =2·sin60°＝3，∴S △AOB ＝21×2×3＝3，扇形的面积为：2360)3(602ππ=︒⨯⨯︒，∴阴影部分的面积为：2×(3－2π)＝23－π．15. 【答案】88π；52 【解析】(1)因为AB ＋BC ＝10 m ，BC ＝4 m ，则AB ＝6 m ，小狗活动的范围包括三个部分，第一部分是以点B 为圆心，10为半径，圆心角为270°的扇面；第二部分是以C 为圆心，6为半径，圆心角为90°的扇形，第三部分是以A 为圆心，4为半径，圆心角为90°的扇形，则S ＝270π·102360＋90π·62360＋90π·42360＝88πm 2；(2)当在右侧有一个等边三角形时，设BC ＝x 米，根据题意得S ＝270π·102360＋30π·（10－x ）2360＋90π·x 2360＝π3x 2－53πx ＋2503π，所以当x ＝－(－53π)÷(2×π3)＝52时，S 最小，即此时BC 的长为52米．16. 【答案】3【解析】如答图，连接OC 、OD 、CD ，则∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°．∵OB ＝OD ＝OC ，∴△OCD 和△OBD 均为正三角形．∴∠ODC ＝∠BOD ＝60°．∴AB ∥CD ．∴S △BCD ＝S △OCD ．∴S 阴影部分＝S 扇形OCD ．∴26033602r ππ⋅=．解得r ＝3，于是半圆的半径OA 的长为3．故答案为3．DCBA17. 【答案】33π-．【解析】如答图，图中阴影部分的面积即为点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平面内扫过的面积．∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD＝3，∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠C ＝∠Q ＝90°，∠ADB ＝∠DBC ＝∠ODB ＝∠OBQ ＝30°．∴∠ABQ ＝120°．易知△BOQ ≌△DOC ．S 阴影部分＝S 四边形ABQD －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S △BOQ －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S △COD －S 扇形ABQ＝S 矩形ABCD －S 扇形ABQ ＝1×3－21201360π⋅＝33π-．故答案为33π-．18. 【答案】π【解析】如图，作△CBD 的外接圆⊙O ，连接OB ，OD ．∵四边形ABCD 是菱形，∵∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，∵DF＝AE，∴△BDF≌△DAE（SAS），∴∠DBF＝∠ADE，∵∠ADE+∠BDE＝60°，∴∠DBF+∠BDP＝60°，∴∠BPD＝120°，∵∠C＝60°，∴∠C+∠DPB＝180°，∴B，C，D，P四点共圆，由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，∵∠BOD＝2∠C＝120°，∴点P的运动的路径的长π．，因此本题答案是π．三、解答题（本大题共6道小题）19. 【答案】解:(1)证明:连接OC，∵CN为☉O的切线，∴OC⊥CM，∴∠OCA+∠MCD=90°.∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠MCD=∠ODA.又∵∠ODA=∠MDC，∴∠MCD=∠MDC，∴MD=MC.(2)依题意可知AB=5×2=10，AC=4，∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC==2.∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴=，即=，得OD=.设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得x +2=x 2+52，解得x=，即MC=.20. 【答案】解：（1）∵的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°，∴AC ＝OA•sin60°＝2，∴AB ＝2AC ＝2；（2）∵OC ⊥AB ，∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∵OA ＝2，∴的长是：．21. 【答案】[解析] 小圆向右平移，使它的圆心与大圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆的面积减去小半圆的面积．解：将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB2－12π·OC2＝12π(OB2－OC2)＝12π·BC2＝72π.22. 【答案】解:(1)证明:连接OD ，∵DE ∥OA ， ∴∠AOC=∠OED ，∠AOD=∠ODE ，∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠AOC=∠AOD，又∵OA=OA，OD=OC，∴△AOC≌△AOD(SAS)，∴∠ADO=∠ACO.∵CE是☉O的直径，AC为☉O的切线，∴OC⊥AC，∴∠OCA=90°，∴∠ADO=∠OCA=90°，∴OD⊥AB.∵OD为☉O的半径，∴AB是☉O的切线.(2)∵CE=6，∴OD=OC=3，∵∠BDO=180°-∠ADO=90°，∴BO2=BD2+OD2，∴OB==5，∴BC=8，∵∠BDO=∠OCA=90°，∠B=∠B，∴△BDO∽△BCA，∴=，∴=，∴AC=6.23. 【答案】[解析](1)连接OD，AD，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，根据DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为☉O的切线.(2)连接DE，由圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH.解:(1)DH与☉O相切.理由如下:连接OD，AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，而AO=BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为☉O的切线.(2)证明:连接DE，如图，∵四边形ABDE为☉O的内接四边形，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∵DH⊥CE，∴CH=EH，即H为CE的中点.24. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG 都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE 的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG，∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴α＋∠BGA＝90°，(1分)又∵四边形ACBG内接于⊙O，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β )＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)(2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)。

2021年中考数学真题分类汇编之圆一、选择题（共20小题）1．（2021•自贡）如图，AB为O的直径，弦CD ABOE=，5OB=，⊥于点E，若3⊥于点F，OE AC则CD的长度是()A．9.6B．45C．53D．102．（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为O的直径，弦AB CDAB=寸，则直径CD的长度是()CE=寸，10⊥，垂足为点E，1A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸3．（2021•重庆）如图，四边形ABCD内接于O，若80∠的度数是()∠=︒，则CAA．80︒B．100︒C．110︒D．120︒4．（2021•湘潭）如图，BC为O的直径，弦AD BC⊥于点E，直线l切O于点C，延长OD交l于点F，若2AE=，22.5∠=︒，则CF的长度为()ABCA ．2B ．22C ．23D ．45．（2021•梧州）在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A ，(0,5)B -，若在x 轴正半轴上有一点C ，使30ACB ∠=︒，则点C 的横坐标是( ) A ．3342+B ．12C ．633+D ．636．（2021•泰安）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，90B ∠=︒，120BCD ∠=︒，2AB =，1CD =，则AD 的长为( )A ．232-B ．33-C ．43-D ．27．（2021•台湾）如图，I 为ABC ∆的内心，有一直线通过I 点且分别与AB 、AC 相交于D 点、E 点．若5AD DE ==，6AE =，则I 点到BC 的距离为何？( )A ．2411B ．3011C ．2D ．38．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则BPC ∠的度数为( )A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒9．（2021•邵阳）如图，点A，B，C是O上的三点．若90∠=︒，则AOB∠的大小为BAC∠=︒，30AOC()A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒10．（2021•上海）如图，长方形ABCD中，4AB=，3AD=，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是()A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外11．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16AB=厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为()A ．1.0厘米/分B ．0.8厘米/分C ．1.2厘米/分D ．1.4厘米/分12．（2021•娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A 沿x 轴移动，当A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，点A 的坐标为( )A ．(12,0)-B ．(13,0)-C ．(12,0)±D ．(13,0)±13．（2021•乐山）如图，已知6OA =，8OB =，2BC =，P 与OB 、AB 均相切，点P 是线段AC 与抛物线2y ax =的交点，则a 的值为( )A ．4B ．92C ．112D ．514．（2021•金华）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E ，F ，G ，H ，M ，N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC ∆面积为2S ，则12S S 的值是( )A．52πB．3πC．5πD．112π15．（2021•嘉兴）已知平面内有O和点A，B，若O半径为2cm，线段3OA cm=，2OB cm=，则直线AB与O的位置关系为()A．相离B．相交C．相切D．相交或相切16．（2021•黄石）如图，A、B是O上的两点，60AOB∠=︒，OF AB⊥交O于点F，则BAF∠等于( )A．20︒B．22.5︒C．15︒D．12.5︒17．（2021•黄冈）如图，O是Rt ABC∆的外接圆，OE AB⊥交O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若3OD=，8AB=，则FC的长是()A．10B．8C．6D．418．（2021•广元）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为()A ．32π+ B ．2π- C ．1 D ．52π- 19．（2021•鄂州）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，23AC =，3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足222PA PC AC +=．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是( )A ．3B ．33C ．334D ．33220．（2021•成都）如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π二、填空题（共20小题）21．（2021•长沙）如图，在O 中，弦AB 的长为4，圆心到弦AB 的距离为2，则AOC ∠的度数为 ．22．（2021•张家界）如图，ABCA∠=︒，点D是BC的中点，连接OD，OB，OC，则∆内接于O，50∠=．BOD23．（2021•盐城）如图，在O内接四边形ABCD中，若100∠=︒．∠=︒，则ADCABC24．（2021•烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，O是ABC∆的外接圆，点A，B，∠的值是．O在网格线的交点上，则sin ACB25．（2021•宿迁）如图，在Rt ABC∠=︒，点B、C在O上，边AB、AC分别A∆中，90∠=︒，32ABC交O于D、E两点，点B是CD的中点，则ABE∠=．26．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，点A是函数y x=-图象上的动点，以A为圆心，1为半径作A．已B-，连接AB，线段AB与x轴所成的角ABO知点(4,0)∠∠为锐角，当A与两坐标轴同时相切时，tan ABO 的值可能为．A.31B.3C.51D.527．（2021•绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．28．（2021•上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积．29．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，O的半径为1．若O在正方形ABCD内平移(O可以与该正方形的边相切），则点A到O上的点的距离的最大值为．30．（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则O的半径是．31．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离 1.6=，CD cm =，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．6.4AB cm32．（2021•南通）如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 延长线于点D ，过点C 作//CE AB ，交BD 于点E ，连接BE ，则CEBE的值为 ．33．（2021•南京）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8AB cm =，2CD cm =，则O 的半径为 cm ．34．（2021•牡丹江）半径为12cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为 ．35．（2021•杭州）如图，已知O 的半径为1，点P 是O 外一点，且2OP =．若PT 是O 的切线，T 为切点，连结OT ，则PT = ．36．（2021•广东）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，3BC =．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为 ．37．（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为a 的正六角形螺帽时，扳手张开的开口20b mm =，则边长a =mm．38．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线32333y x=+与O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．39．（2021•常德）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，80BOD∠=︒，则BCD∠=．40．（2021•本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan ADC∠=．三、解答题（共20小题）41．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，//AD BC，90BAD∠=︒，CB CD=，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作B，交BD于点E．（1）试判断CD与B的位置关系，并说明理由；（2）若23AB=，60∠=︒，求图中阴影部分的面积．BCD42．（2021•烟台）如图，已知Rt ABCC∠=︒．∆中，90（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．①作BAC∠的角平分线AD，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．（2）在（1）的条件下，求证：BC是O的切线；（3）若4=，10AM BMAC=，求O的半径．43．（2021•徐州）如图，AB为O的直径，点C、D在O上，AC与OD交于点E，AE EC=．连=，OE ED接BC、CD．求证：（1）AOE CDE∆≅∆；（2）四边形OBCD是菱形．44．（2021•宿迁）如图，在Rt AOB∠=︒，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点DAOB∆中，90在边OB上，且CD BD=．（1）判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；（2）已知24tan7ODC∠=，40AB=，求O的半径．45．（2021•通辽）如图，AB是O的直径，过点A作O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作//BD OP，交O于点D，连接PD．（1）求证：PD是O的切线；（2）当四边形POBD是平行四边形时，求APO∠的度数．46．（2021•天津）已知ABC∆内接于O，AB AC=，42BAC∠=︒，点D是O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为O的直径，连接CD，求DBC∠和ACD∠的大小；（Ⅱ）如图②，若//CD BA，连接AD，过点D作O的切线，与OC的延长线交于点E，求E∠的大小．47．（2021•苏州）如图，四边形ABCD内接于O，12∠=∠，延长BC到点E，使得CE AB=，连接ED．（1）求证：BD ED=；（2）若4AB=，6BC=，60ABC∠=︒，求tan DCB∠的值．48．（2021•深圳）如图，AB 为O 的弦，D ，C 为ACB 的三等分点，//AC BE ． （1）求证：A E ∠=∠；（2）若3BC =，5BE =，求CE 的长．49．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB AC =，AD BC ⊥．将扇形AEF 围成圆锥时，AE ，AF 恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角BAC ∠的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm ，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留)π50．（2021•陕西）如图，AB 是O 的直径，点E 、F 在O 上，且2BF BE =，连接OE 、AF ，过点B 作O 的切线，分别与OE 、AF 的延长线交于点C 、D ．（1）求证：COB A ∠=∠；（2）若6AB =，4CB =，求线段FD 的长．51．（2021•荆门）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 在BC 边上，过A ，C ，E 三点的O 交AB 边于另一点F ，且F 是AE 的中点，AD 是O 的一条直径，连接DE 并延长交AB 边于M 点． （1）求证：四边形CDMF 为平行四边形； （2）当25CD AB =时，求sin ACF ∠的值．52．（2021•河北）如图，O 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为(n A n 为1~12的整数），过点7A 作O 的切线交111A A 延长线于点P ． （1）通过计算比较直径和劣弧711A A 长度哪个更长；（2）连接711A A ，则711A A 和1PA 有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长7PA 的值．53．（2021•哈尔滨）已知O 是ABC ∆的外接圆，AB 为O 的直径，点N 为AC 的中点，连接ON 并延长交O 于点E ，连接BE ，BE 交AC 于点D ．（1）如图1，求证：11352CDE BAC∠+∠=︒；（2）如图2，过点D作DG BE⊥，DG交AB于点F，交O于点G，连接OG，OD，若DG BD=，求证：//OG AC；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若255DN=，求AG的长．54．（2021•贵阳）如图，在O中，AC为O的直径，AB为O的弦，点E是AC的中点，过点E作AB 的垂线，交AB于点M，交O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；（2）求证：EB CN=；（3）若3AM=，1MB=，求阴影部分图形的面积．55．（2021•鄂州）如图，在Rt ABC∆中，90ABC∠=︒，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的O 与AC边相切于点D，交BC于点E．（1）求证：AB AD=；（2）连接DE，若1tan2EDC∠=，2DE=，求线段EC的长．56．（2021•大庆）如图，已知AB 是O 的直径．BC 是O 的弦，弦ED 垂直AB 于点F ，交BC 于点G ．过点C 作O 的切线交ED 的延长线于点P （1）求证：PC PG =；（2）判断2PG PD PE =⋅是否成立？若成立，请证明该结论； （3）若G 为BC 中点，5OG =，5sin 5B =，求DE 的长．57．（2021•赤峰）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点M ，O 经过点B ，C ，交对角线BD 于点E ，且CE BE =，连接OE 交BC 于点F ． （1）试判断AB 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若3255BD =，1tan 2CBD ∠=，求O 的半径．58．（2021•常德）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 的中点O 为圆心，AB 为直径的圆交AC 于D ，E 是BC 的中点，DE 交BA 的延长线于F ． （1）求证：FD 是圆O 的切线： （2）若4BC =，8FB =，求AB 的长．59．（2021•毕节市）如图，O是ABC∆的内心，AE的延长线交BC于点F，交∆的外接圆，点E是ABCO于点D，连接BD，BE．（1）求证：DB DE=；（2）若3DF=，求DB的长．AE=，460．（2021•北京）如图，O是ABC⊥于点E．∆的外接圆，AD是O的直径，AD BC（1）求证：BAD CAD∠=∠；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交O于点G，连接GC．若O的半径为5，3OE=，求GC和OF 的长．2021年中考数学真题分类汇编之圆参考答案与试题解析一、选择题（共20小题）1．（2021•自贡）如图，AB为O的直径，弦CD AB⊥于点F，OE AC⊥于点E，若3OE=，5OB=，则CD的长度是()A．9.6B．45C．53D．10【答案】A【考点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力；应用意识【分析】根据垂径定理求出AE可得AC的长度，利用AEO AFC∆∆∽，求出CF，即可求解．【解答】解：OE AC⊥于点E．AE EC∴=．3OE=，5OB=．224AE AO OE∴-=．8AC∴=．A A∠=∠，AEO AFC∠=∠．AEO AFC∴∆∆∽．∴AO EOAC FC=，即：538FC=．∴245FC=．CD AB⊥．4829.65CD CF∴===．故选：A．【点评】本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．2．（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为O的直径，弦AB CDAB=寸，则直径CD的长度是()CE=寸，10⊥，垂足为点E，1A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸【答案】D【考点】数学常识；勾股定理的应用；垂径定理的应用【专题】圆的有关概念及性质；应用意识【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由6AB=可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x 的值，即为圆的直径．【解答】解：连接OA，AB=寸，⊥，且10AB CD∴==寸，AE BE5设圆O的半径OA的长为x，则OC OD x==，1CE=，∴=-，1OE x在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：222--=，化简得：222125(1)5x x-+-=，x x x即226x=，26∴=（寸)．CD答：直径CD的长为26寸，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．3．（2021•重庆）如图，四边形ABCD内接于O，若80∠的度数是()A∠=︒，则CA．80︒B．100︒C．110︒D．120︒【答案】B【考点】圆内接四边形的性质【专题】圆的有关概念及性质；运算能力【分析】根据圆内接四边形的性质得出180∠+∠=︒，再代入求出答案即可．A C【解答】解：四边形ABCD内接于O，∴∠+∠=︒，A C180A∠=︒，80∴∠=︒，100C故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．4．（2021•湘潭）如图，BC为O的直径，弦AD BC⊥于点E，直线l切O于点C，延长OD交l于点F，若2AE=，22.5∠=︒，则CF的长度为()ABCA ．2B ．C ．D ．4【答案】B【考点】勾股定理；垂径定理【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力【分析】根据垂径定理求得AC CD =，2AE DE ==，即可得到245COD ABC ∠=∠=︒，则OED ∆是等腰直角三角形，得出OD =BC CF ⊥，得到OCF ∆是等腰直角三角形，进而即可求得CF OC OD ===【解答】解：BC 为O 的直径，弦AD BC ⊥于点E ， ∴AC CD =，2AE DE ==， 245COD ABC ∴∠=∠=︒， OED ∴∆是等腰直角三角形， 2OE ED ∴==，OD ∴=，直线l 切O 于点C ， BC CF ∴⊥，OCF ∴∆是等腰直角三角形， CF OC ∴=，OC OD ==CF ∴=，故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF OC OD ==是解题的关键．5．（2021•梧州）在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A ，(0,5)B -，若在x 轴正半轴上有一点C ，使30ACB ∠=︒，则点C 的横坐标是( )A ．B ．12C ．6+D ．【答案】A【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心【专题】解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识【分析】如图，以AB 为边向右作等边ABD ∆，以D 为圆心，DA 为半径作D 交x 的正半轴于C ，连接CA ，CB ，此时1302ACB ADB ∠=∠=︒满足条件．过点D 作DJ AB ⊥于J ，DK OC ⊥于K ，则四边形OJDK 是矩形，求出OK ，KC ，可得结论．【解答】解：如图，以AB 为边向右作等边ABD ∆，以D 为圆心，DA 为半径作D 交x 的正半轴于C ，连接CA ，CB ，此时1302ACB ADB ∠=∠=︒满足条件．过点D 作DJ AB ⊥于J ，DK OC ⊥于K ，则四边形OJDK 是矩形， (0,1)A ，(0,5)B -， 6AB ∴=，6DA DB AB ===，DJ AB ⊥， 3AJ JB ∴==，22226333DJ OK AD AJ ∴=--，2OJ DK ∴==，在Rt DCK ∆中，22226242CK CD DK -=-= 3342OC OK KC ∴=+=∴点C 的横坐标为3342，故选：A ．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解直角三角形，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 6．（2021•泰安）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，90B ∠=︒，120BCD ∠=︒，2AB =，1CD =，则AD 的长为( )A ．232-B ．33-C ．43-D ．2【答案】C【考点】圆内接四边形的性质；勾股定理；圆周角定理 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力【分析】延长AD 、BC 交于E ，先利用直角三角形的性质求得AE 的长，然后再求得DE 的长，从而求得答案．【解答】解：延长AD 、BC 交于E ， 120BCD ∠=︒， 60A ∴∠=︒， 90B ∠=︒，90ADC ∴∠=︒，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，24AE AB ==， 在Rt CDE ∆中，3tan CDDE E==∠，43AD AE DE ∴=-=-，故选：C ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．（2021•台湾）如图，I 为ABC ∆的内心，有一直线通过I 点且分别与AB 、AC 相交于D 点、E 点．若5AD DE ==，6AE =，则I 点到BC 的距离为何？( )A ．2411B ．3011C ．2D ．3【答案】A【考点】三角形的内切圆与内心；角平分线的性质【专题】推理能力；运算能力；三角形；等腰三角形与直角三角形【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以求得DF 的长，再根据等面积法，可以求得IG 、IH 的长，再根据三角形的内心是角平分线的交点，即可得到IJ IH =的长，从而可以得到点I 到BC 的距离． 【解答】解：连接AI ，作IG AB ⊥于点G ，IJ BC ⊥于点J ，作IH AC ⊥于点H ，作DF AE ⊥于点F ，如右图所示，5AD DE ==，6AE =，DF AE ⊥， 3AF ∴=，90AFD ∠=︒，2222534DF AD AF ∴--=，设IH x =，I 为ABC ∆的内心， IG IJ IH x ∴===，ADE ADI AEI S S S ∆∆∆=+，∴6456222x x⨯=+， 解得2411x =， 2411IJ ∴=， 即I 点到BC 的距离是2411， 故选：A ．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解答本题的关键是知道三角形的内心是角平分线的交点，利用数形结合的思想解答．8．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则BPC ∠的度数为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【考点】正方形的性质；圆周角定理；正多边形和圆 【专题】圆的有关概念及性质；几何直观【分析】根据正方形的性质得到BC 弧所对的圆心角为90︒，则90BOC ∠=︒，然后根据圆周角定理求解． 【解答】解：连接OB 、OC ，如图，正方形ABCD 内接于O ， ∴BC 所对的圆心角为90︒， 90BOC ∴∠=︒，1452BPC BOC ∴∠=∠=︒．故选：B ．【点评】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定BC 弧所对的圆心角为90︒，是本题解题的关键．9．（2021•邵阳）如图，点A，B，C是O上的三点．若90∠=︒，则AOB∠的大小为BAC∠=︒，30AOC()A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒【答案】B【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【专题】推理能力；圆的有关概念及性质；应用意识【分析】由圆周角定理可得260∠=∠-∠=︒-︒=︒．AOB AOC BOCBOC BAC∠=∠=︒，继而906030【解答】解：BAC∠所对弧为BC，∠与BOC由圆周角定理可知：260∠=∠=︒，BOC BAC又90∠=︒，AOCAOB AOC BOC∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．906030故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．10．（2021•上海）如图，长方形ABCD中，4AB=，3AD=，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是()A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外【答案】C【考点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系；矩形的性质【专题】与圆有关的位置关系；应用意识【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆A的半径等于5，由勾股定理得5AC=，由点与圆的位置关系，可得结论．【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆A的半径为R，则：1=-，AB RAB=，圆B半径为1，4∴=，即圆A的半径等于5，5RAB=，34AC=，==，由勾股定理可知5BC ADAD R=<，∴==，3AC R5∴点C在圆上，点D在圆内，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．11．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16AB=厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为()A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【考点】垂径定理的应用【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力【分析】连接OA，过点O作OD AB⊥于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD AB⊥于D，如图所示：AB=厘米，16182AD AB ∴==（厘米）， 10OA =厘米，22221086OD OA AD ∴=-=-=（厘米）， ∴海平线以下部分的高度10616OA OD =+=+=（厘米）， 太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟， ∴ “图上”太阳升起的速度1616 1.0=÷=（厘米/分）， 故选：A ．【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 12．（2021•娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A 沿x 轴移动，当A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，点A 的坐标为( )A ．(12,0)-B ．(13,0)-C ．(12,0)±D ．(13,0)±【答案】D【考点】正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；直线与圆的位置关系 【专题】一次函数及其应用；运算能力 【分析】由题意可知：直线l 与A 相切，设切点为B ，过点B 作BE OA ⊥于点E ，利用直线l 的解析式设出点B 的坐标，可得线段BE ，OB 的长，由直角三角形的边角关系可得5tan 12AOB ∠=；解直角三角形ABO 可得OB 的长，利用勾股定理可求OA 的长，点A 坐标可得，同理可求当A 在x 轴的正半轴上的坐标为(13,0)．【解答】解：当A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，直线l 与A 相切，设切点为B ，过点B 作BE OA ⊥于点E ，如图，点B 在直线512y x =上， ∴设5(,)12B m m ， OE m ∴=-，512BE m =-． 在Rt OEB ∆中，5tan 12BE AOB OE ∠==． 直线l 与A 相切，AB BO ∴⊥．在Rt OAB ∆中，5tan 12AB AOB OB ∠==． 5AB =， 12OB ∴=．222251213OA AB OB ∴++=．(13,0)A ∴-．同理，在x 轴的正半轴上存在点(13,0)． 故选：D ．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，解直角三角形，勾股定理．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．13．（2021•乐山）如图，已知6OA =，8OB =，2BC =，P 与OB 、AB 均相切，点P 是线段AC 与抛物线2y ax =的交点，则a 的值为( )A ．4B ．92C ．112D ．5【答案】D【考点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征【专题】数据分析观念；与圆有关的位置关系；代数几何综合题；几何直观【分析】设点P 的坐标为(,6)x x -+，由点P 、A 的坐标得，2(6)PA x =-，则22222(6)AN AP PN x x =-=--，由10AB BN AN ==+，得到22102(6)2x x x =--++，进而求解． 【解答】解：设P 与OB 、AB 分别相切于点M 、N ，连接PM 、PN ，设圆的半径为x ，则PN PM x ==，由题意知，6OC AO ==，则直线AC 与y 轴的夹角为45︒，则CM MP x ==， 由点A 、C 的坐标得，直线AC 的表达式为6y x =-+， 则点P 的坐标为(,6)x x -+，由点P 、A 的坐标得，2(6)PA x =-， 则22222(6)AN AP PN x x -=--P 与OB 、AB 分别相切于点M 、N ，故2BN BM BC CM x ==+=+，在Rt ABO ∆中，6OA =，8OB =，则10AB BN AN ==+， 即22102(6)2x x x =--++，解得1x =， 故点P 的坐标为(1,5)，将点P 的坐标代入2y ax =得5a =， 故选：D ．【点评】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．14．（2021•金华）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E ，F ，G ，H ，M ，N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC ∆面积为2S ，则12S S 的值是( )A ．52π B ．3π C ．5π D ．112π【答案】C【考点】勾股定理；点与圆的位置关系 【专题】与圆有关的计算；推理能力【分析】先设Rt ABC ∆的三边长为a ，b ，c ，其中c 为斜边，设O 的半径为r ，根据图形找出a ，b ，c ，r 的关系，用含c 的式子表示1S 和2S ，即可求出比值．【解答】解：如图，设AB c =，AC b =，BC a =， 则222a b c +=，① 取AB 的中点为O ， ABC ∆是直角三角形，OA OB OC ∴==，圆心在MN 和HG 的垂直平分线上， O ∴为圆心，连接OC ，OG ，OE ，作OD AC ⊥，则OG ，OE 为半径， 由勾股定理得：22222()()()222b a cr a c =++=+，②由①②得a b =， ∴222c a =，∴2154S c π=，∴22124c S ab ==， ∴22125544S c c S ππ=÷=， 故选：C ．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键在找到圆心，依据的知识点是直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即斜边的中点为圆心，用字母表示多条边，然后找它们的关系是中考经常考的类型，平时要多加练习此类题型．15．（2021•嘉兴）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3OA cm =，2OB cm =，则直线AB 与O 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．相交或相切【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【专题】与圆有关的位置关系；推理能力【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系． 【解答】解：O 的半径为2cm ，线段3OA cm =，2OB cm =，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径， ∴点A 在O 外，点B 在O 上，∴直线AB 与O 的位置关系为相交或相切，故选：D ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．16．（2021•黄石）如图，A 、B 是O 上的两点，60AOB ∠=︒，OF AB ⊥交O 于点F ，则BAF ∠等于( )A ．20︒B ．22.5︒C ．15︒D ．12.5︒【答案】C【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力【分析】先根据垂径定理得到AF BF =，则30AOF BOF ∠=∠=︒，然后根据圆周角定理得到BAF ∠的度数． 【解答】解：OF AB ⊥， ∴AF BF =，11603022AOF BOF AOB ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，11301522BAF BOF ∴∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．17．（2021•黄冈）如图，O 是Rt ABC ∆的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是( )A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】A【考点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心 【专题】三角形；圆的有关概念及性质；应用意识【分析】由题知，AC 为直径，得//OD BC ，且OD 是ABC ∆的中位线，OE 是三角形AFC 的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可． 【解答】解：由题知，AC 为直径， 90ABC ∴∠=︒， OE AB ⊥， //OD BC ∴， OA OC =，OD ∴为三角形ABC 的中位线，118422AD AB ∴==⨯=， 又3OD =，2222435OA AD OD ∴=+=+=，5OE OA ∴==，//OE CF ，点O 是AC 中点， OE ∴是三角形ACF 的中位线， 22510CF OE ∴==⨯=，故选：A ．【点评】本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．18．（2021•广元）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为( )A ．32π+ B ．2π- C ．1 D ．52π- 【答案】D【考点】正方形的性质；扇形面积的计算；切线的性质【专题】与圆有关的位置关系；运算能力【分析】根据切线的性质得到EC EF =，根据勾股定理列出方程求出CE ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【解答】解：假设AE 与BC 为直径的半圆切于点F ， 四边形ABCD 为正方形， 90BCD ∴∠=︒，EC ∴与BC 为直径的半圆相切， EC EF ∴=，2DE CE ∴=-，2AE CE =+，在Rt ADE ∆中，222AE AD DE =+，即222(2)2(2)CE CE +=+-， 解得：12CE =， 13222DE ∴=-=， ∴阴影部分的面积2211352122222ππ-=-⨯⨯-⨯⨯=， 故选：D ．【点评】本题考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理的应用、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．19．（2021•鄂州）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，23AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足222PA PC AC +=．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是( )A ．3B ．33C ．334D ．332【答案】D【考点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理【专题】推理能力；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；等腰三角形与直角三角形【分析】取AC 中点O ，连接OP ，BO ，由勾股定理的逆定理可求90APC ∠=︒，可得点P 在以AC 为直径的圆上运动，由三角形的三边关系可得BP BO OP -…，当点P 在线段BO 上时，BP 有最小值，由锐角三角函数可求60BOC ∠=︒，即可求解．【解答】解：取AC 中点O ，连接OP ，BO ，222PA PC AC +=， 90APC ∴∠=︒，∴点P 在以AC 为直径的圆上运动，在BPO ∆中，BP BO OP -…， ∴当点P 在线段BO 上时，BP 有最小值，点O 是AC 的中点，90APC ∠=︒， 3PO AO CO ∴===tan 3BCBOC CO∠== 60BOC ∴∠=︒， COP ∴∆是等边三角形，233333COP S ∆∴===OA OC =，ACP ∴∆的面积3322COP S ∆==， 故选：D ．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，找到BP 最小值时，点P 的位置是解题的关键．20．（2021•成都）如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】D【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：正六边形的外角和为360︒， ∴每一个外角的度数为360660︒÷=︒， ∴正六边形的每个内角为18060120︒-︒=︒，正六边形的边长为6， 2120612360S ππ⨯∴==阴影，故选：D ．【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 二、填空题（共20小题）21．（2021•长沙）如图，在O 中，弦AB 的长为4，圆心到弦AB 的距离为2，则AOC ∠的度数为 45︒ ．。

一、选择题8.（2020·苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.1π-B.12π- C.12π-D.122π-{答案}B{解析}本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC ，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD 为正方形,OC=2,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S 阴影=S 扇形OAB-S 正方形CEOD=290(2)360π⨯-12=2π-1，因此本题选B ．9．（2020·聊城）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ，如果OC ∥DB ，OC ＝23，那么图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π{答案}B{解析}借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM ＝DM ，∵OC ∥DB ，∴∠C ＝∠D ，又∵∠OMC ＝∠BMD ，∴△OMC ≌△BMD(ASA)，∴OM ＝BM ＝21OB ＝21OC ，∴cos ∠COM ＝OC OM ＝21，∴∠COM ＝60°．∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝360)32(602⋅π＝2π．10．（2020·聊城）如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）A ．41m B ．43m C ．415m D ．23m {答案}C{解析}先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r ，则有2πr ＝180190⋅π，解得r ＝41，则圆锥的高为22)41(1-＝415(m)．9．（2020·乐山）在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则图中阴影部分面积为（ ）AO M CBDA ．π4 B ．π－32 C ．π－34 D ．32π{答案}B{解析}先求出AC 、AB ，再根据S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′求解即可．在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2，∴AB ＝AC 2－BC 2＝3；由旋转得，∴AB ＝A ′B ′＝3，BC ＝B ′C ′＝1，∠CAC ′＝90°，∴∠CAB ′＝60°，∴S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′＝90⋅π⋅22360－12×3×1－90⋅π⋅(3)2360＝π－32．(2020·南充）3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B 运动路径的长度为（ ） A.π B.2π C.3π D.4π{答案}A{解析}点B 的运动路径的长度是以点A 为圆心，AB 为半径的弧长，由题意知半径为2，圆心角为90°，∴点B 的运动路径的长度是902180π⨯=π，故选A ． （2020·德州）10.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为A. 4πB. 4πC. 8πD. 4π{答案}A{解析}如图，设正六边形的中心为0，连接OA ，OB. 由题意得△AOB 是等边三角形，边长为4，∴142AOB S ∆=⨯⨯=6个弓形的面积和是24616ππ⋅-⨯=-∴阴影部分的面积是2162(16121642πππππ⨯⋅--=-+=.8.（2020·达州）如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的弧AB 恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）A.53πB. 52πC. 54πD.56π{答案}B{解析}由“折叠后的弧AB 恰好与OA 、OB 相切”可知：∠OAB=∠OBA=45°，所以∠AOB=90°，劣弧AB 的长=90π×5180=52π．6．（2020·泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π{答案} A{解析}本题考查了由于△CDE 与△COD 同底等高，面积相等，因此阴影部分面积与扇形BOC 面积相等．而△COB ＝△CDE ＝36°，根据扇形面积公式可求得阴影部分面积为10π．（2020·山西）8．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘）通过测量得到AC ＝BD ＝12cm ，，两点之间的距离为4cm ，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）A ．80πcm 2B ．40πcm 2C ．24 πcm 2D ．2πcm 2第9题图{答案}B{解析}本题考查阴影面积的计算．由题意得OA ＝16cm ，OC ＝CD ＝4cm ，根据扇形面积公式，得S 阴影＝S 大扇形AOB －S 小扇形COD ＝26016360π⋅⋅－2604360π⋅⋅＝40πcm 2．故选B.9.（2020·株洲）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）A. 4πB. 6C. D. 83π{答案}D{解析}求线段CA 扫过的图形的面积，即求扇形ACA 1的面积. 由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A 1BC=90°. 由旋转的性质，得A 1C=AC=4. 在Rt △A 1BC 中，cos△ACA 1=1BC A C =12. ∴△ACA 1=60°.∴扇形ACA 1的面积为2460360π⨯⨯=83π. 即线段CA 扫过的图形的面积为83π. 故选：D（2020·包头）9、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=，4CD =，则CD 的长为（ ）A ．2πB ．4π CDODCBA{答案}D{解析}∵AB 是直接，∠AOD ：∠DOB=7:11，∴∠AOD=70°.又∵∠COA ：∠ AOD=2：7，∴∠=20°，∴∠COD=90°. ∵CD=4，∴OC =∴90222180CD π==.故选D.6．（2020·咸宁）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A.2πB. πC.22π-D.2π-{答案}D{解析}本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴S 阴影=S 扇形OAB-S △OAB=29021223602π⋅⋅-⨯⨯=2π-，因此本题选D ．13．（2020·毕节）如图，己知点C ，D 是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD 的长为13π，则图中阴影部分的面积为（ ） A ． 6π B ． 316π C ． 24π D ． 12π{答案}A ，{解析}本题考查弧长公式，扇形面积，阴影面积 ． 解：∵点C ，D 是以AB 为直径的半圆的三等分点， ∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°． ∵OC ＝OD ，∴△C OD 是等边三角形． ∴∠CDO ＝60°． ∴CD ∥AB ．∴S △C OD ＝S △CAD ．∵弧CD 的长为13π∴13π＝60180r π⋅⋅．∴r ＝1． ∴S 阴影＝扇形COD ＝2601360π⋅⋅＝6π．故选A ． 10．（2020·淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．5π2D ．5π2+2【解析】如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长=90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180 =5π2，故选：C ．9. （2020·攀枝花） 如图，直径6AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）A.2πB. 34πC. πD. 3π{答案}D{解析}整个图形的面积可拆分为扇形ABA '的面积加上旋转后的半圆的面积，也可拆分为阴影部分的面积加上旋转前的半圆的面积，所以可知阴影部分的面积为扇形ABA '的面积.13．（2020·云南）如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（ ）A ．B ．1C ．D ．{答案} D ．A{解析}设圆椎的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，∴2πr＝，解得r＝．所以该圆椎的底面圆的半径是．11．（2020•呼和浩特）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为．【解析】∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，又∵D为BC的中点，∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，∴DE＝DC＝2，∴∠DEC＝∠C＝20°，∴∠BDE＝40°，∴扇形BDE的面积＝，故答案为：．6．（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+【解析】连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，∴CD＝AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．故选：A．9．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（）A．4﹣B．2﹣C．2﹣πD．1﹣【解析】连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴四边形ODCH为矩形，∴OH＝CD＝，在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，∴OA＝OH＝2，在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE＝×2×2﹣＝2﹣π．故选：B．二、填空题14.(2020·宁波)如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB的长为cm(结果保留π).{答案}18π{解析}本题考查了扇形弧长的计算，根据弧长公式计算即可：l＝12027180π⨯＝18πcm.13．（2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为．{答案}34π{解析}本题考查了弧长公式180n rlπ=.∵n＝45°，r＝3，∴45331801804n rlπππ⨯⨯===，因此本题答案为34π．14．（2020·嘉兴）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90º的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为．{答案}π，12{解析}本题考查了圆周角、扇形面积公式以及圆锥等知识，如图，由∠AO´B＝90°知AB为⊙O的直径，AB＝22，所以O´A＝O´B＝2，所以S＝22902360360n rπππ⨯⨯==，根据围成圆锥时扇形的弧长转化为圆锥的底面圆（设底面圆的半径为1r）的周长得到：19022180rππ⨯⨯=，解得1r＝12．因此本题答案为π，12。

2021年中考数学复习高频考点精准练：《圆的综合》解答题专题练习（二）1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．2．如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，点C为半圆弧的中点，连AC交PO于E 点．（1）求证：PB＝PE；（2）若tan∠CPO＝，求sin∠PAC的值．3．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cos C＝（如图）．M是边BC 上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．4．已知如图，⊙O的直径BC＝4，＝＝，点P是射线BD上的一个动点．（1）如图1，求BD的长；（2）如图1，若PB＝8，连接PC，求证PC为⊙O的切线；（3）如图2，连接AP，点P在运动过程中，求AP+PB的最小值．5．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB＝PA，射线PO交⊙O于C、D两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AC平分∠PAB；（3）若⊙O的直径是6，AB＝2，则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值为．6．国庆假期，小明做数学题时遇到了如下问题：如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，直线l经过点A，∠ABD ＝∠DAE＝30°．试说明直线l与⊙O相切．小明添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．（1）请你根据小明的思考，写出解决这一问题的过程；（2）图2中，若AD＝，AB＝4，求DC的长．7．如图，直线l1⊥l2，O为垂足，以O圆心，的半径作圆，交l1于点M，N，交l2于点P，Q．在⊙O上任取一点A，作△ABC，使∠A＝90°，∠ACB＝30°，顶点A，B，C按顺时针方向分布，点C落在射线ON上，且不在⊙O内．若△ABC的某一边所在直线与⊙O相切，我们称该边为⊙O的“相伴切边”．（1）如图1，CA为⊙O的“相伴切边”，CA平分∠OCB，求OC的长；（2）是否存在△ABC三边中两边都是⊙O的“相伴切边”的情形？若存在，请求出AC的长；若不存在，请说明理由．8．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC平分∠DAB，AC 与BD相交于点F，延长AC到点E，使CE＝CF．（1）求证：BE是半圆O所在圆的切线；（2）若BC＝AD＝6，求⊙O的半径．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半径．10．如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求点O到弦BD的距离．（3）求CD的长．11．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若，求弦AB的长；12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE ⊥AB于点E，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，连接DG．求证：（1）BG＝CG；（2）DG是⊙O的切线．13．如图，直线AF与⊙O相切于点A，弦BC∥AF，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE并延长，交AF于点D．（1）求证：CE∥OA；（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求DE的长．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于E，过点B作∠CBD ＝∠A，过点C作CD⊥BD于D．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BC＝2，求⊙O的直径．15．如图，AB是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC与BD交于点E，在BD的延长线上取一点F，使DF＝DE，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线．（2）若AD＝5，AC＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：在Rt△ABC中，tan A＝，AC＝5，设∠A＝α，则BC＝3，AB＝4＝BM，sin A＝＝sinα，cos A＝＝cosα，（1）如图1，∵MC＝MA＝5，过点M作MN⊥CD于点N，∵MC＝MD，则CN＝CD，在Rt△AMN中，MN＝AM sin A＝（4+4）×＝，则CD＝2CN＝2＝2＝；（2）如图1，设CD＝2m，则CM2＝BC2+MB2＝9+x2，则MN2＝CM2﹣m2＝x2+9﹣m2，在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），则MN＝＝（x+4）；则S＝CD•MN+×AM•BC＝（8x2+39x﹣72）；∵m＝（4x﹣9）＞0，∴x＞；（3）如图2，过点M作MN⊥CD于点N，过点P作PD⊥CM于点P，设圆的半径为r，∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，在Rt△DPM中，DP＝DM sin∠EMC＝r sinα＝r，MP＝r cosα＝r，则CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，∴MN＝＝r，∵tan A＝＝，解得r＝3，则BM＝＝＝6．2．（1）证明：连接OA，OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵点C为半圆弧的中点，∴∠COE＝90°，∴∠OCA+∠OEC＝90°，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，∴∠OAC+∠PAE＝90°，∴∠PAE＝∠OEC，∵∠OEC＝∠AEP，∴∠PAE＝∠AEP，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PA＝PE＝PB；（2）解：∵tan∠CPO＝＝，设OC＝3k，OP＝5k，∴OA＝OC＝3k，∴PA＝PE＝4k，过A作AH⊥PO于H，∴OP•AH＝PA•OA，∴AH＝＝k，∴OH＝＝k，∵∠AHE＝∠COE＝90°，∠AEH＝∠CEO，∴△AHE∽△COE，∴，∴OE＝k，∴CE＝＝k，∴sin∠PAC＝sin∠CEO＝＝＝．3．（1）证明：如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝，在Rt△CGM中，CM＝＝＝3，∴AD＝CM，∵AD∥CM，∴四边形AMCD是平行四边形．（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．∵ME＝MC，MT⊥EC，∴CT＝ET，∴cos C＝＝，设EC＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH＝EC＝k，∴MH＝CM﹣CH＝k，∴tan∠EMH＝，∵∠FMB＝∠EMC，∴tan∠FMB＝＝＝，∴BM＝，∴CM＝BC﹣BM＝＝5k，∴CE＝6k＝．（3）如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．∴AD＝BP＝3，在Rt△CDP中，cos C＝＝，∵CD＝5，∴PC＝3，AB＝PD＝4，∴BC＝3+3＝6，设CM＝AM＝x，在Rt△ABM中，则有x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，∴⊙M的半径为．如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．设CM＝ME＝MP＝x，则DN＝x﹣3，∵DM2＝MN2+DN2＝MP2﹣DP2，∴42+（x﹣3）2＝x2﹣32，∴x＝，综上所述，满足条件的⊙M的半径为或．4．解：（1）∵BC是直径，＝＝，则、、均为60°的弧，则∠DBC＝30°，连接OA交BD于点H，∵BC＝4，则BO＝CO＝2，在Rt△BOH中，BH＝BO cos∠DBC＝2×＝3，则BD＝2BH＝6；（2）在Rt△BCD中，BC＝4，∠DBC＝30°，则CD＝CB＝2，PD＝PB﹣BD＝8﹣6＝2，在Rt△CDP中，PC2＝CD2+PD2＝4+（2）2＝16，在△BCP中，BC2＝（4）2＝48，BP2＝64，则PB2＝CB2+PC2，故△BPC为直角三角形，故PC⊥CB，故PC为⊙O的切线；（3）过点A作AH⊥BC交BD于点P，在Rt△PBH中，∠DBC＝30°，则PH＝PB，即AP+PB＝AP+PH＝AH为最小，∵、均为60°的弧，则∠ABO＝60°，而AO＝BO，故△ABO为边长为2的等边三角形，则AH＝AB sin60°＝2×＝3，即AP+PB的最小值为3．5．（1）证明：如图1中，连接OA，OB．∵PA是切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°，在△PAO和△PBO中，，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）证明：如图1中，设∠PAC＝α．∵∠PAO＝90°，∴∠OAC＝90°﹣α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝90°﹣α，∵PA＝PB，OA＝OB，∴PO垂直平分线段AB，∴∠CAB＝90°∠ACO＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠PAC＝∠CAB，∴AC平分∠PAB．（3）解：如图2中，设AB交OP于点M．∵PA，PB是⊙O的切线，∴OP平分∠APB，∵AC平分∠PAB，∴点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆⊙C交PC于H，∵⊙O的直径为6，∴OA＝3，∵OP垂直平分线AB，AB＝2，∴AM＝BM＝，∴OM＝＝＝2，∵OC＝3，∴CH＝CM＝3﹣2＝1，∵点D到⊙C上各点的最大距离为DH，∴最大距离DH＝CD+CH＝6+1＝7．故答案为7．6．（1）证明：过A作直径AF，连接DF，如图2所示：∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠FAD＝90°，∵∠ABD＝∠AFD，∠ABD＝∠DAE，∴∠AFD＝∠DAE，∴∠DAE+∠DAF＝90°，即∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∵点A是半径OA的外端，∴直线l与⊙O相切；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G，∴∠AGB＝∠AGD＝90°，∵∠ABD＝30°，∴∠AFD＝30°，∴直径AF＝2AD＝＝BC，∵∠ABD＝30°，AB＝4，∴AG＝＝2，BG＝AG＝2，∴DG＝＝＝，∴BD＝BG+DG＝，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴．7．解：（1）如图1，连接OA，则OA＝，∵CA为⊙O的“相伴切边”，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，∵∠ACB＝30°，CA平分∠OCB，∴∠OCA＝∠ACB＝30°，则在Rt△AOC中，OC＝2OA＝2；（2）存在．由题意可分三种情况，①当边AB，BC都是⊙O的“相伴切边”时，即OA⊥AB，∵∠BAC＝90°，即AC⊥AB，∴O，A，C三点共线，又∵点C落在射线ON上，且不在⊙O内，∴点A只能在点M或点N处，如图2，当点A在点N处时，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，∵∠ACB＝30°，∴OC＝2OD＝2，∴AC＝OC﹣AO＝，当点A在点M处时，如图3，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，∵∠ACB＝30°，∴OC＝2OD＝2，∴AC＝OC+AO＝3，②当边AC，BC都是⊙O的“相伴切边”时，则OA⊥AC，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＝180°，即O，A，B三点共线，如图4，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，设AB＝x，则BC＝2x，AC＝＝x，∴OB＝OA+AB＝+x，∵∠BAC＝∠BDO＝90°，∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBO，∴，即，解得，x＝2﹣或x＝0（舍去），经检验，x＝2﹣是所列方程的解．∴AC＝x＝2﹣3．③当边AC，AB都是⊙O的“相伴切边”时，∵AC是⊙O的“相伴切边”，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＝180°，即O，A，B三点共线，∴AB不可能是⊙O的“相伴切边”，则AC，AB不能同时是⊙O的“相伴切边”；综上可得，AC的长是或3或2﹣3．8．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CE＝CF，∴BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，∵AC平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠BAF+∠E＝90°，∴BE是半圆O所在圆的切线；（2）解：∵∠DAF＝∠BAF，∴＝，∵BC＝AD，∴＝，∴＝＝，∴∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴⊙O的半径为6．9．（1）证明：如图，连接OE，DE，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠CEB＝90°，∵CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，∴∠A＝∠DEC，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠A+∠ADE＝90°，∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝4，BC＝CE，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，∴AC2+BC2＝AB2，∴（2r+2）2+BC2＝（4）2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+BC2＝（r+2）2，∴BC2＝（r+2）2﹣r2，∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（4）2，解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．∴⊙O的半径为3．10．解：（1）△ABD是等腰直角三角形，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）过O作OE⊥DB于E，如图所示：则∠OEB＝90°，∵AB＝10cm，∴OB＝AB＝5（cm），由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝（cm），即点O到弦BD的距离为cm；（3）过B作BF⊥CD于F，如图所示：则∠BFC＝∠BFD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝8（cm），∵∠BCD＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴CF＝BF＝BC＝4（cm），由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝5（cm），∴DF＝＝＝3，∴CD＝CF+DF＝4+3＝7（cm）．11．（1）证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO，∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴PA＝OA；（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH＝BH，在Rt△OPH中，tan∠OPH＝＝，设OH＝x，则PH＝2x，由（1）可知PA＝OA＝10，∴AH＝PH﹣PA＝2x﹣10，∵AH2+OH2＝OA2，∴（2x﹣10）2+x2＝102解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝8，∴AH＝6，∴AB＝2AH＝12．12．证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠ABC＝90°，∴DE∥BC，∴△AEF∽△ABG，△ADF∽△ACG，∴，＝，∴，∵F为DE中点，∴EF＝DF，∴BG＝CG；（2）连接OD，BD，OG，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD，∵AO＝BO，BG＝CG，∴OG∥AC，∴OG⊥BD，∴BF＝DF，∴DG＝BG，在△ODG与△OBG中，，∴△ODG≌△OBG（SSS），∴∠ODG＝∠OBG＝90°，∴DG是⊙O的切线．13．（1）证明：∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE＝90°，∵BC∥AF，∴∠CDF＝∠ACE＝90°，∵AF与⊙O相切于点A，∴∠OAF＝90°，∴∠OAF＝∠CDF，∴CE∥OA；（2）解：如图，作OH⊥CE于点H，由垂径定理知：CH＝EH，∵OB＝OE，∴OH是△ECB的中位线，∴OH＝BC＝24＝12，在Rt△OEH中，根据勾股定理，得EH＝＝＝5，∵OH⊥CE，∴∠OHD＝90°，由（1）知：∠CDA＝∠OAD＝90°，∴四边形OADH是矩形，∴DH＝OA＝13，∴DE＝DH﹣EH＝13﹣5＝8．14．解：（1）如图，连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠BAE＝BAC，∵∠CBD＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CBD，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD是⊙O的切线；（2）由（1）知：△ABC是等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝∠AEB＝90°，∵∠CBD＝∠BAE，∴△CBD∽△BAE，∴＝，∴＝，∴AB＝3．∴⊙O的直径为3．15．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥EF，∠BAD+∠ABD＝90°，又∵DF＝DE，∴AF＝AE，∴∠FAD＝∠EAD．∴∠FAD＝∠EAD＝∠ACD＝∠ABD，∴∠FAB＝∠FAD+∠BAD＝∠BAD+∠ABD＝90°，∴AF是⊙O的切线．（2）如图，连接OD交AC于M，∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC，AM＝CM＝AC＝4，∴AD＝CD＝5，在Rt△DMC中，DM＝＝3．设⊙O的半径为x，则OM＝x﹣3，∵OM2+AM2＝OA2，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝．⊙O的半径即OA＝．。

中考真题分类汇编（圆）----与圆有关的计算一、选择题1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长 为半径画弧，得BC ，连接 AC 、AE ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 2πB. 4πC. 33πD. 233π解：过B 点作AC 垂线，垂直为G ，根据正六边形性质可知，30CAB BCA ∠=∠=︒，∴22222=222123AC AG AB GH =⨯-=⨯-=，∴S 扇形=260(23)2360ππ⨯⨯=， 故选：A ．2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB 中，顶角∠AOB ＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O 为圆心，OA 为半径画圆；②在⊙O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；③作AB 的垂直平分线与⊙O 交于M ，N ；④作AP 的垂直平分线与⊙O 交于E ，F ．结论Ⅰ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF≠∠AOB，可知（Ⅱ）错误．【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．∵OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图象可知∠MOF≠∠AOB，∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）错误，故选：D．3.（2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，∵正六边形的边长为6，∴S阴影＝＝12π，故选：D4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC 长为半径画，点P为菱形内一点，连接P A，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．2πD．【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC即可求得．【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠P AB＝∠P AC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC为等腰直角三角形，∴PE＝BC＝1，在Rt△ABE中，AE＝AB＝，∴AP＝﹣1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，故选：A．5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）A. 32π+B. 2π- C. 1 D.52π-【答案】D【解析】【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OF A=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2，∴BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°，∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线，∴OB =OC =OF =1，∠OF A =∠OFE =90°，∴AB =AF =2，CE =CF ，∵OA =OA ，∴Rt △ABO ≌Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE ≌△OFE ，∴,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，∴90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，∴COE BAO ∠=∠，∴ABO OCE ∽， ∴OC CE AB OB=， ∴12CE =， ∴15222222ABO OCE ABCE S S S S S S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A. 4πB. 24C. 12D. 1【答案】B【解析】【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可．【详解】解：如下图：连接BC ，AO ，∵90BAC ∠=，∴BC 是直径，且BC=2，又∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又∵sin 45OA AB ︒=，112OA BC == ， ∴ 12sin 452OA AB ===︒ ∴BC 的长度为：9022=1802π⨯，∴围成的底面圆周长为22π， 设圆锥的底面圆的半径为r ， 则：222r ππ=， ∴212=224r ππ=⨯． 故选：B7. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ）A. 32πB. 3πC. 5πD. 15π【答案】D8. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，若⊙O 的半径为43，∠CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A. 16123π-B. 16243π-C. 20123π-D. 20243π-【答案】A【解析】 【分析】连接AD ，连接OE ，根据圆周角定理得到∠ADB =90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，求得∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，解直角三角形得到OH 3AH =6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD ，连接OE ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC =∠DF A =90°，∴∠DAC =∠CDF =15°，∵AB =AC ，D 是BC 中点，∴∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，∵OA =OE ，∴∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，∵AO 3∴OH =12AO 3， ∴AH 3=6，∴AE =2AH =12，∴S 阴影=S 扇形AOE -S △AOE =(212043112233602π⨯-⨯⨯163π=-故选：A ．9. (2021•四川省自贡市)如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，OPQ △绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）A. 23πB. 12π C. 1116π D. 2132π 【答案】A【解析】【分析】根据题意得OQM OMN S S S =-阴影扇形扇形，设P (a ，2-2a )，则Q (a ，3-a )，利用扇形面积公式得到()21325?8S a a π=-++阴影，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图，根据旋转的性质，OPQ OMN ≅，∴OPQ OMN S S =，则OMN OPQ OQM OPN S S S S S =+--阴影扇形扇形OQM OPN S S =-扇形扇形，∵点P 在直线22y x =-+上，点Q 在直线3y x =-+上，且PQ ∥y 轴，设P (a ，2-2a )，则Q (a ，3-a )，∴OP 2=()22222584a a a a +-=-+，OQ 2=()2223269a a a a +-=-+， OQM OPN S S S =-阴影扇形扇形2245?45?360360OQ OP ππ=- ()21325?8a a π=-++， 设22116325333y a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∵30-<，∴当13a =时，y 有最大值，最大值为163， ∴S 阴影的最大值为1612383ππ⨯=． 故选：A ．10. （2021•青海省）如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动）那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是（ ）A ．πm 2B ．πm 2C ．πm 2D ．πm 2【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积＝＝π（m 2）；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m ，则面积＝＝（m 2），则小羊A 在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m 2）． 故选：B ．11. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，点P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是A ．πB ．334π+C ．332D ．2π 【答案】B【解析】如图，C 1运动的路径是以B 为圆心，3为半径，圆心角为120°的弧上运动，故线段CC 1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以3为边长的等边三角形，故S ＝22120(3)333(3)36044ππ+⨯=+，故选B ．12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1S ：S 的比值为（A ）.A 8π .B 4π .C 41 .D 2113. （2021•云南省）如图，等边△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径．若0A ＝3，则劣弧BD 的长是（ ）BA ．B ．πC ．D ．2π14. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与AB ，AC 分别交于E ，F 两点，则图中阴影部分的面积为（ ）A. π6B. π3C. π2D. 2π3【答案】C【解析】【分析】由等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．【详解】ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的中点AD BC ∴⊥，60A ∠=︒2222213AD AB BD ∴=-=-=S 扇形AEF 226060(3)3602r πππ⨯=== 故选C ．15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．【详解】解：设这个圆锥底面半径为cmr，由题意得：12030 2180ππ⨯=r，解得10(cm)r=，即这个圆锥底面半径为10cm，故选：B．二．填空题1.．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为12π．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．2.（2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是π﹣．（结果保留π）【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB 可得出结论．【解答】解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．故答案为：π﹣．3.（2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【答案】48π【解析】【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长为8π，∴侧面展开扇形的弧长为8π，设扇形的半径为r，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴120180rπ＝8π，解得：r＝12，∴侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．4.（2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2【答案】80【解析】【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵弧长16πcm的扇形铁片，∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm ， ∴圆锥的母线长为：226810cm +=，∴扇形铁片的面积=16110280ππ⨯⨯=cm 2， 故答案是：80π．5. （2021•山东省泰安市）若△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝4，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 4 ．【分析】连接CD ．构建直径所对的圆周角∠BDC ＝90°，然后利用等腰直角△ABC 的性质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得CD ＝BD ＝AD ，从而求得弦BD 与CD 所对的弓形的面积相等，所以图中阴影部分的面积＝直角三角形ABC 的面积﹣直角三角形BCD 的面积．【解答】解：连接CD ．∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ；又∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CD 是斜边AB 的垂直平分线，∴CD ＝BD ＝AD ,∴＝,∴S 弓形BD ＝S 弓形CD ，∴S 阴影＝S Rt △ABC ﹣S Rt △BCD ；∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，∴S Rt△ABC＝2S Rt△BCD；又S Rt△ABC＝×4×4＝8，∴S阴影＝4；故答案为：4．6.．（2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为（2π﹣2）平方厘米．（圆周率用π表示）【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），S扇形BAC＝＝π（厘米2），∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，故答案为：（2π﹣2）．7.（2021•广东省）如题13图，等腰直角三角形ABC中，90BC=．分别以点B、A∠=︒，4点C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB 、BC 、AC 于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】4π- 【解析】211142π24π424ABC B S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=-△⊙阴影，考查阴影面积的求法（主要还是用整体减去局部）8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1寸，锯道AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径 26 寸．【分析】过圆心O 作OC ⊥AB 于点C ，延长OC 交圆于点D ，则CD ＝1寸，AC ＝BC ＝AB ，连接OA ，设圆的半径为x ，利用勾股定理在Rt △OAC 中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【解答】解：过圆心O 作OC ⊥AB 于点C ，延长OC 交圆于点D ，连接OA ，如图：∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝AB ，．则CD ＝1寸，AC ＝BC ＝AB ＝5寸．设圆的半径为x 寸，则OC ＝（x ﹣1）寸．在Rt △OAC 中，由勾股定理得：52+（x ﹣1）2＝x 2，解得：x ＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．9. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【解析】【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，∵,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，∴90OCP ODP ∠=∠=︒，∵120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，∴60COD ∠=︒，∴CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB＝12，则点B经过的路径BC长度为_____．（结果保留π）【答案】2π【解析】【分析】直接利用弧长公式即可求解．【详解】解：30122180BClππ⋅==，故答案为：2π．11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为π．【分析】根据弧长公式代入即可．【解答】解：根据弧长公式可得：l＝＝＝π．故答案为：π．12.（2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，∵PB＝PC＝BC，∴△PBC为等边三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB•cos60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．13.（2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为6π．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．故答案为6π．14.（2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．【答案】4 5【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴22362423605AOES Sππ⨯⨯===阴影扇形，故答案为：45π．15. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为96﹣100π．（结果保留π）【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．∴．∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆．∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×102＝96﹣100π．故答案为：96﹣100π．16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是_________．【答案】3π-6【解析】【分析】连接BE ，可得ABE △是等腰直角三角形，弓形BE 的面积=2π-，再根据阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-BCE 的面积，即可求解．【详解】连接BE ，∵在正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，∴∠AEB =90°，即：AC ⊥BE ，∵∠CAB =45°，∴ABE △是等腰直角三角形，即：AE =BE ，∴弓形BE 的面积=211222242ππ⨯-⨯⨯=-， ∴阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-BCE 的面积=2π-+2454360π⨯⨯-114422⨯⨯⨯=3π-6． 故答案是：3π-6．17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm 2．高是5cm ．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm 的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm 2；【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积．【详解】Ｖ圆柱＝Sh =212560cm ， 这个橡皮泥的一半体积为：2160302V cm ，把它捏成高为5cm 的圆锥，则圆锥的高为5cm ，故1303Sh ， 即15=303S ， 解得=18S （cm 2），故填：18．19. （2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O 的任意一条直经FC ，分别以F 、C 为圆心，以FO 的长为半径作弧，与⊙O 相交于点E 、A 和D 、B ，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、F A ，得到六边形ABCDEF ，则⊙O 的面积与阴影区域的面积的比值为 ；16题图DBE A OF C【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O 的半径与等边三角形的边长为a ，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解【详解】连接OE ，OD ，OB ，OA ，由题可得：EF OF OE FA OA AB OB BC OC CD OD ==========,,,,,EFO OFA OAB OBC OCD ∴△△△△△△ODE 为边长相等的等边三角形∴可将图中阴影部分的面积转化为ODE 和OAB 的面积之和，如图所示：设⊙O 的半径与等边三角形的边长为a ，∴⊙O 的面积为22S r a ππ==等边OED 与等边OAB 的边长为a 234OAB a S S ∴==△OED △ 23=2OED OABa S S S ∴+=△△阴 ∴⊙O 的面积与阴影部分的面积比为2223=332S a S a ππ=阴故答案为：233π． 20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200米，圆心角90AOB ∠=︒，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）【分析】根据圆的弧长计算公式l ＝，代入计算即可． 【解答】解：圆弧长是：＝100π（米）．故答案是：100π．21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm ．【答案】40【解析】【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【详解】解：设弧所在圆的半径为r ，由题意得， 135253180r ππ⨯⨯=⨯⨯， 解得，r=40cm ．22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2πr＝，解得r＝．故答案为：．23.（2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC 的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是﹣．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴sin C＝＝＝，BC＝＝＝2，∴∠C＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝BC＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案为：﹣．24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．12π，21625.（2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．【答案】9．【解析】【详解】试题分析：求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长：∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.设圆锥的母线长为R，∴24012180Rππ⨯=，解得R=9cm．考点：圆锥的计算．三、解答题1.（2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．【解答】（1）证明：连接OE，OF，∵BO是∠ABC的平分线，∴OD═OE，OE是圆的一条半径，∴AB是⊙O的切线，故：AB是⊙O的切线．（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF是正方形，∴OE═OF═EC═FC═1，∴BC═BE+EC═4，又AC═3，∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）═×（）═﹣．故图中阴影部分的面积是：﹣．2.（2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．由题意得π•DE＝,AD＝2DE,∴n＝90,∴∠BAC＝90°．(2)∵AD＝2DE＝10(cm),∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．3.（2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；(2)①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD ，AC 与围成阴影部分的面积为S △AOC +S 扇形COD ＝S △ACD +S 扇形COD ＝××2×2+ ＝+π． 4. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）①如图1，P 是边长为a 的正ABC 内任意一点，点O 为ABC 的中心，设点P 到ABC 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，连接AP ，BP ，CP ，由等面积法，易知()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△，可得123h h h ++=_____；（结果用含a 的式子表示） ②如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，5h ，参照①的探索过程，试用含a 的式子表示12345h h h h h ++++的值．（参考数据：8tan 3611≈°，11tan 548≈°）（3）①如图3，已知O 的半径为2，点A 为O 外一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）②如图4，现有六边形花坛ABCDEF ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG ，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G 的位置，并说明理由．（1）125，1；（23；②5516a ；（3）①23π；②见解析． 【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可； （2）①先求得边长为a 的正ABC 的面积，再根据()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△解题即可；②设点O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA ，OB ，过O 作OQ AB ⊥于Q ，先由正切定义，解得OQ 的长，由①中结论知，5OAB ABCDE S S =五边形△，继而得到()123451115tan 54222a h h h h h a a ++++=⨯⨯°，据此解题； （3）①由切线性质解得30OAB ∠=︒，再由平行线性质及等腰三角形性质解得60COB ∠=︒，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC 的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接DF ，过点E 作//EG DF 交AF 的延长线于G 点，根据DGF ABCDEF ABCDF ABCDG S S S S =+=六边形五边形五边形△，据此解题．【详解】解：（1）直角三角形的面积为：13462⨯⨯=， 22345+=，设直角三角形斜边上的高为h ，则1562h ⨯⋅= 125h ∴= 设直角三角形内切圆的半径为r ，则11(345)3422++=⨯⨯ 1r ∴=，故答案为：125，1； （2）①边长为a 的正ABC 底边的高为32a ，面积为：2133224OAB a S a a =⋅⋅=△ ()123232431ABC OAB h h h S S a a =++==△△ 123h h h =∴++32a ， 故答案为：32a ； ②类比①中方法可知()1234512ABCDE a h h h h h S ++++=五边形， 设点O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA ，OB ，由①得5OAB ABCDE S S =五边形△，过O 作OQ AB ⊥于Q ，()1180521085EAB ∠=⨯⨯-=°°， 故54OAQ ∠=°，1tan 54tan 542OQ AQ a =⨯=°°，故()123451115tan 54222a h h h h h a a ++++=⨯⨯°，从而得到： 12345555tan 54216h h h h h a a ++++=≈°． （3）①AB 是O 的切线，OB AB ∴⊥90OBA ∴∠=︒2,4OB OA30OAB ∴∠=︒60AOB ∴∠=︒//BC OA60AOB OBC ∴∠=∠=︒OC OB =60OBC OCB ∴∠=∠=︒60COB ∴∠=︒过点O 作OQ BC ⊥//BC OA ，OQ ∴是COB ABC 、的高，ABC OCB S S ∴=26060423603603OBC r S S πππ⨯⨯∴====阴影部分扇形 故答案为：23π； ②如图，连接DF ，过点E 作//EG DF 交AF 的延长线于G 点，则点G 即为所求，连接DG ，∵DEF ABCDEF ABCDF S S S =+六边形五边形△，∵//EG DF ，∴DEF DGF S S =△△，∴DGF ABCDEF ABCDF ABCDG S S S S =+=六边形五边形五边形△．5. （2021•襄阳市） 如图，直线AB 经过O 上的点C ，直线BO 与O 交于点F 和点D ，OA 与O 交于点E ，与DC 交于点G ，OA OB =，CA CB =．（1）求证：AB 是O 的切线； （2）若//FC OA ，6CD =，求图中阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）332π2-6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN ．（1）EM 与BE 的数量关系是 BE ＝EM ； （2）求证：＝； （3）若AM ＝，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM，故答案为BE＝EM；（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝45°，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．7. （2021•湖北省黄石市）如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点，AC 是O 的直径，连接OP ，交O 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：//BC OP ；（2）若E 恰好是OD 的中点，且四边形OAPB 的面积是163，求阴影部分的面积； （3）若1sin 3BAC ∠=，且23AD =，求切线PA 的长．【答案】（1）见解析；（2）823π-；（3）2【解析】【分析】（1）证明∠POB =∠CBO ，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）证明△AOD 是等边三角形得∠AOD =60°，设OA =R ，求出AE 3R ，AB 3R ，PO =2R ，根据四边形OAPB 的面积是163R ，再利用AOB AOB S S S ∆=-阴影扇形求解即可；（3）利用1sin 3BAC ∠=设出BC =m ，则AC =3m ，分别求出2AE m =，DE =m ，在Rt △AED 中运用勾股定理列方程，求出m 的值，再证明∠APO =∠BAC ，利用1sin 3BAC ∠=求出P A 的长．【详解】解：（1）证明：∵PA PB ，是O 的切线 ∴PO AB ⊥，即90OEB ∠=︒∴90EOB OBE ∠+∠=︒∵AC 是O 的直径∴∠ABC =90°90EBO CBO ∠+∠=︒∴EOB CBO ∠=∠∴//BC OP（2）∵E 是OD 的中点，且AB ⊥OD ，∴AO =AD ，又AO =OD∴△AOD 是等边三角形∴∠AOD =60°∵P A 是O 的切线，OA 是O 的半径，∴∠OAP =90°∴∠APO =30°∴PO =2AO在Rt AOE ∆中，∠AOE =60°∴∠OAE =30°设OA =R ，则2R OE =∴2AE R =∴2,22AB AE PO AO R ====∵四边形OAPB 的面积是∴16AB PO =2163R =解得，R （负值舍去）∴AB OE ==∵60AOD ∠=︒∴120AOB ∠=︒∴1=82AOBAOB S S S π∆-=-⨯=-阴影扇形 （3）∵90ABC ∠=︒∴1sin 3BAC BC AC ∠== 故设BC =m ，则AC =3m ，∴32AO m = ∵OE //BC∴1122OE BC m == 3122DE OD OE m m m =-=-= 在Rt △AEO 中，222AE AO OE m =-=在Rt △AED 中，222AE DE AD +=∴222(2)(23)m m +=∴2m = (负值舍去)∴22AE =∵90,90OAE AOE APO AOE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴OAE APO ∠=∠1sin sin 3APO BAC ∠=∠= ∴13AE PA = ∴ 362PA AE ==8. （2021•四川省达州市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点（C 不与点A ，B 重合），BC ，过点C 作CD ⊥AB ，点D 落在点E 处得△ACE ，AE 交⊙O 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC ＝15°，OA ＝2，求阴影部分面积．【分析】（1）连接OC ，求得∠ACO ＝∠EAC ，根据内错角相等两直线平行得到OC ∥AE ，进。

2021年中考二轮复习专题数学圆的综合（一）1．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF＝，求的值．2．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．（1）求证：AB＝BM；（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sin B＝，求ED的长．4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．7．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP ＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．8．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D 作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的长．11．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿AB边向终点A以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→B→A向终点A以每秒3cm的速度运动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．解答下列问题：（1）当Q在BC边时，①当t为秒时，PQ的长为2cm？②连接AQ，当t为几秒时，△APQ的面积等于16cm2？（2）如图2，以P为圆心，PQ长为半径作⊙P，在整个运动过程中，是否存在这样的t 值，使⊙P正好与△ABD的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．12．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，点D在上，AC、BD相交于点E，F是BD 上一点，且BF＝AD．（1）求证：CF⊥CD；（2）连接AF，若∠CAF＝2∠ABF；①求证：AC＝AF；②当△ACF的面积为12时，求AC的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED 的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．14．已知AB是⊙O的直径，C是圆外一点，直线CA交⊙O于点D，B、D不重合，AE平分∠CAB交⊙O于点E，过E作EF⊥CA，垂足为F．（1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若EF＝2AF，⊙O的直径为10，求AD．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．参考答案1．解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠DAE＝∠ACE，∴∠DAC+∠DAE＝90°，即∠CAE＝90°，∴AP是⊙O的切线；（2）连接DB，如图1，∵PA和PB都是切线，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，∵PD＝PD，∴△DPA≌△DPB（SAS），∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，∵∠ACD＝∠ABD，又∠DAE＝∠ACE，∴∠DAF＝∠DAE，∵AC是直径，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠AFD＝90°，∴△FAD∽△DAE；（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，∴△AOF∽△POA，∴，∴，∴PA＝2AO＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，∴△AFD∽△CAE，∴，∴，∵，不妨设OF＝x，则AF＝2x，∴，∴，∴，∴．2．解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴AP⊥AC，∴∠CAB+∠PAB＝90°，∴∠AMD+∠AEB＝90°，∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠CAB，∴∠AMD＝∠PAB，∴AB＝BM．（2）连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∵∠CAB+∠PAB＝90°∴∠C＝∠PAB，∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，∴∠AMD＝∠D＝∠C，∴AM＝AD＝，∵AB＝3，AB＝BM＝BE，∴EM＝6，∴由勾股定理可知：AE＝＝，∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，∴△MAE∽△CBA，∴＝，∴，∴CA＝5，∴⊙O的半径为2.5．3．（1）证明：连接OM，如图1，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM过O，∴MN是⊙O的切线；（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M为BC的中点，∵sin B＝，∴cos B＝，在Rt△BMD中，BM＝BD•cos B＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC•cos B＝，∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．4．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP＝r，PD＝r，∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴的长度＝＝，∴阴影部分的周长＝PA+PD+＝r+r+r＝（+1+）r．5．（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵CD•AE＝AC•CE，∴CD＝＝．6．解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，∴tan∠DAC＝＝，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝2，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE＝EC＝AC＝，∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA＝＝2，∴⊙O的半径为2．7．解：（1）CB与⊙O相切，理由：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠CPB＝∠APO，∴∠CBP＝∠APO，在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，即：∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，又∵OB是半径，∴CB与⊙O相切；（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，∴∠APO＝60°，∴∠BPD＝∠APO＝60°，∵PC＝CB，∴△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝∠CBP＝60°，∴∠OBP＝∠POB＝30°，∴OP＝PB＝PC＝1，∴BC＝1，∴OB＝＝，∴图中阴影部分的面积＝S△OBC ﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．8．证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF．9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED，（2）解：连接CD，OD，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，∵OC⊥AD，∴＝，∴∠COD＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵OA＝OB，AE＝ED，∴OE＝＝，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．10．（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB＝AC，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴EF⊥OD，又∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝6．在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝6，∴AD＝＝＝8，又∵DE⊥AB，AB＝AC＝10，＝AB•DE＝AD•BD，∴S△ABD即×10×DE＝×8×6，∴DE＝4.8．11．解：（1）①由题意得：BP＝t，CQ＝3t，则AP＝6﹣t，BQ＝BC﹣CQ＝8﹣3t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，即t2+（8﹣3t）2＝（2）2，解得：t＝2，或t＝（不合题意舍去），∴t＝2，即当t为2秒时，PQ的长为2cm，故答案为：2；②如图1所示：由题意得：点Q在BC边上，∵△APQ的面积＝AP×BQ＝16，∴×（6﹣t）（8﹣3t）＝16，解得：t＝，或t＝8（不合题意舍去），∴当t为秒时，△APQ的面积等于16cm2；（2）存在这样的t值，使⊙P正好与△ABD的边AD或BD相切，此时Q在AB上，且t＞s，理由如下：①若与BD相切，过P作PK⊥BD于K，如图3所示：则∠PKB＝90°，PK＝PQ＝PB﹣BQ＝t﹣（3t﹣8）＝8﹣2t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°＝∠PKB，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵∠PBK＝∠DBA，∴△PBK∽△DBA，∴＝，即＝，解得：t＝；②若与AD相切，Q在BC上，PQ＝PA，Q在BC上，如图2﹣1所示：则PQ＝PA＝6﹣t，在Rt△PBQ中，由勾股定理得：t2+（8﹣3t）2＝（6﹣t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意舍去），∴t＝；③若与AD相切，当P、Q两点中Q先到A点时，如图4所示：此时t＝，∴⊙P的半径为6﹣＝；④若与AD相切，当点Q未到达点A时，如图5所示：则PA＝PQ，∴6﹣t＝t﹣（3t﹣8），解得：t＝2，当t＝2时，PB＝2，则AP＝6﹣2＝4≠PQ，故舍去；综上所述，t的值为秒或秒或秒．12．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵C是的中点，∴＝，∴∠AC＝CB，∵∠CBF＝∠CAD，BF＝AD，∴△CBF≌△CAD（SAS），∴∠BCF＝∠ACD，∴∠FCD＝∠ACB＝90°，∴CF⊥CD．（2）①证明：过点A作AG⊥CF于点G，则∠FGA＝∠FCD＝90°，∴AG∥CD，∴∠CAG＝∠ACD＝∠ABF，∵∠CAF＝2∠ABF，∴∠CAF＝2∠CAG，即∠CAG＝∠FAG，∵∠CAG+∠ACG＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°，∴∠ACG＝∠AFG，∴AC＝AF．②过点A作AG⊥CF于点G，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于点H．则∠BHC＝∠CGA＝90°．∴∠CAG+∠GCA＝90°，∵∠BCH+∠GCA＝90°，∴∠BCH＝∠CAG，∵CB＝CA，∴△BCH≌△CAG（AAS），∴CH＝AG，BH＝CG，∵∠FCD＝90°，CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，∵∠BHF＝90°，∴∠BFH＝45°＝∠FBH，∴BH＝HF，∴HF＝CG，∵AC＝AF，AG⊥CF，∴CF＝2CG，∴AG＝CH＝3CG，设CG＝x，则CF＝2x，AG＝3x，＝•CF•AG＝×2x×3x＝12，则有，S△ACF∴x＝2或﹣2（舍弃），∴CG＝2，AG＝6，∵∠AGC＝90°，∴AC＝＝＝2．13．（1）证明：如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝OC，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，AB＝AC，∴AC＝AB＝2+2＝4，∵BE＝1，∴AE＝4﹣1＝3，过O作OH⊥AB于H，则四边形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝2，∴AH＝1，∴AH＝AO，∴∠AOH＝30°，∴∠BAC＝60°，∴AF＝2AE＝6，∴CF＝AF﹣AC＝2．∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠DAE＝∠BDE，∴△AED∽△DEB，∴＝，∴＝，解得：DE＝，∵OD∥AB，∴△FOD∽△FAE，∴＝，∴＝，解得：FD＝2，在Rt△FOD中，FO＝＝＝4，∴CF＝FO﹣OC＝4﹣2＝2．14．解：（1）EF 与⊙O 相切，理由如下：连接OE ，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，∵AE 平分∠CAB ，∴∠CAE ＝∠OAE ，∴∠CAE ＝∠OEA ，∴OE ∥CD ，∵EF ⊥CA ，∴OE ⊥EF ，∴EF 与⊙O 相切；（2）过O 作OH ⊥AD 于H ，∵EF ⊥CA ，OE ⊥EF ，∴四边形OEFH 是矩形，设AF ＝x ，则EF ＝OH ＝2x ，AH ＝5﹣x ， 在Rt △OAH 中，AH 2+OH 2＝OA 2，∴（5﹣x ）2+（2x ）2＝52，解得x 1＝2，x 2＝0（舍去），∴AH ＝5﹣2＝3，∴AD ＝2AH ＝6．15．解：（1）如图1，连接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠DAB＝30°，∴OD＝AO，∴OD＝，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝＝π；（3）如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴，∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴，∴，∴x＝，∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝＝＝2，∵DE∥AC，∴，∴AE＝×2＝．。

2020-2021中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类附答案一、圆的综合1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．3．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．（1）求证：∠ACE=∠DCE；（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；（3）若AC=4，23CDFCOESS∆∆=，求CF的长．【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（343【解析】【分析】（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；（3）易证12COECAESS=VV，由于23CDFCOESS=VV，所以CDFCAESSVV=13，由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．【详解】（1）∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）延长AE交BC于点G．∵∠AGC是△ABG的外角，∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°．∵OE∥BC，∴∠AEO=∠AGC=60°．∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO=60°．（3）∵O是AC中点，∴12COECAESS=VV．23CDFCOESS=VVQ，∴CDFCAESSVV=13．∵AC是直径，∴∠AEC=∠FDC=90°．∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴CFCA=3，∴CF=3CA=43．【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．4．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．(1)如图(1),求证:AD∥BC；(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若DG平分∠3∠3,求⊙O的半径。

2021中考数学复习圆的综合题专项训练5（精选30道解答题 附答案详解）1．如图，⊙O 的半径为（r ＞0），若点P ′在射线OP 上（P ′可以和射线端点重合），满足OP ′+OP ＝2r ，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“反演点”．（1）当⊙O 的半径为8时，①若OP 1＝17，OP 2＝12，OP 3＝4，则P 1，P 2，P 3中存在关于⊙O 的反演点”的是 ． ②点O 关于⊙O 的“反演点”的集合是 ，若P 关于⊙O 的“反演点在⊙O 内，则OP 取值范围是 ；（2）如图2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12，⊙O 的圆心在射线CB 上运动，半径为1．若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙O 的“反演点”P ′在⊙O 的内部，求OC 的取值范围． 2．如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，E 是AC 上一点，弦BE 交AC 于点F ，弦AD BE ⊥于点G ，连接CD ，CG ，且CBE ACG ∠=∠. （1）求证：CG CD =；（2）若4AB =，213BC =，求CD 的长.3．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥CD ，将线段AD 绕点D 按逆时针方向旋转，旋转后交AC 于点E ，交BC 于点F ．（1）若∠CAD ＝30°，线段AD 绕点D 按逆时针方向旋转45°，且CE ＝1，求AD ； （2）若∠CAD ＝45°，线段AD 绕点D 按逆时针方向旋转30°，点M 是线段DF 上任意一点（M 不与D 重合），连接CM ，将线段CM 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CN ，连接AN 交射线DE 于点P ，点G 、H 分别是AD 、DE 的中点，求证：CD ＝CE+2CP ．4．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O 出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，P A长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．5．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧两点，∠BAC＝26°．（Ⅰ）如图1，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD 的大小．6．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△P AB 的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求P A的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠P AD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．7．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠BCA＝90°，∠CBA＝60°，AB＝10，点D是AB边上（异于点A，B）的一动点，DE⊥AB交⊙O于点E，交AC于点G，交切线CF于点F．（1）求证：FC＝CG；（2）①当AE＝时，四辺形BOEC为菱形；②当AD＝时，OG∥CF．8．联想我们曾经学习过的三角形外心的概念，我们可引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：（1）如图1，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心，而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个，你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢？请尝试完成；（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究P A的长；（3）如图3，点B既是△EDC又是△ADC的准外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝453，求AD的值．9．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D、E是⊙O上两点，连接AD、DE、AE．（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O 的半径．10．已知正方形ABCD的边长为2，中心为M，⊙O的半径为r，圆心O在射线BD上运动，⊙O与边CD仅有一个公共点E.（1）如图1，若圆心O在线段MD上，点M在⊙O上，OM=DE，判断直线AD与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙O与边AD交于点F，连接MF，过点M作MF的垂线与边CD交于点G，若10(1)DFr DF=≤，设点O与点M之间的距离为x,EG=y,当2x＞时，求y x与的函数解析式.11．已知⊙O中，弦AB＝AC，∠BAC＝120°（1）如图①，若AB＝3，求⊙O的半径．（2）如图②，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC，试请判断PA、PB、PC之间的数量关系并说明理由．12．如图1，AB、CD是圆O的两条弦，交点为P.连接AD、BC．OM⊥ AD，ON⊥BC，垂足分别为M、N.连接PM、PN.图1 图2（1）求证：△ADP ∽△CBP；（2）当AB⊥CD时，探究∠PMO与∠PNO的数量关系，并说明理由；（3）当AB⊥CD时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON的面积. 13．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，30B，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．14．如图，四边形ABCD为O的内接四边形，且AC为O的直径，AD CD=，延长BC到E，使得BE AB=，连接DE.=（1）求证：AD DE15．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AB＝5，求平行四边形OABC的面积．16．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．17．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果∠BAC=60°，AD=4，求AC长．18．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若tan ∠P=34，AD=6，求线段AE 的长． 19．如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30°，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）证明：DE 为⊙O 的切线；（2）连接OE ，若BC ＝4，求△OEC 的面积．20．如图，已知直线l 与O 相离，OA l ⊥于点A ，5OA =,OA 与O 相交于点P ，AB 与O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C .（1）试判断线段AB 与AC 的数量关系，并说明理由； （2）若25PC =O 的半径和线段PB 的长；（3）若在O 上存在点Q ，使QAC ∆是以AC 为底边的等腰三角形，求O 的半径r的取值范围.21．如图①，在平行四边形OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求∠OAB的度数；（2）如图②，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠COE的度数．22．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是AD上一点，连接AF交CD 的延长线于点E．（1）求证：△AFC∽△ACE；（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为AD的中点时，求AF的值．24．如图，直线AC 与⊙O 相切于点A ，点B 为⊙O 上一点，且OC ⊥OB 于点O ，连接AB 交OC 于点D ．（1）求证：AC ＝CD ；（2）若AC ＝3，OB ＝4，求OD 的长度．25．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，若AB ＝43cm ，求⊙O 的直径及正三角形ABC 的面积．26．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，点M 是AO 中点，A 的半径为2．()1若PAB 是直角三角形，则点P 的坐标为______.(直接写出结果)()2若PM AB ⊥，则BP 与A 有怎样的位置关系？为什么？()3若点E 的坐标为()0,3，那么A 上是否存在一点P ，使1PE PB 2+最小，如果存在，求出这个最小值，如果不存在，简要说明理由．27．如图，A 、B 、C ，D 在⊙O 上，且AD ＝BC ，E 是AB 延长线上一点，且BE＝AB ，F 是CE 中点，AB 为80°（1）求证：BD ＝2BF ；（2）试探究：当∠E 等于多少度时，BD ∥CE ．28．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接CD ，点O 是CD 的中点，到点O 的距离等于OC 的所有点组成图形M ，图形M 分别交AC ，BC 于点E ，F 两点，过点F 作FG ⊥AB 于点G ．（1）试判断FG 与图形M 的位置关系，并说明理由；（2）若AC ＝3，∠B ＝30°，求FG 的长．29．如图，半圆的直径AB ＝12cm ，AC ＝CD ＝DB ．（1）求证：CD ∥AB ；（2）求阴影部分的面积．30．如图，AB BC =，以BC 为直径作O ，AC 交O 于点E ，过点E 作EG AB⊥于点F ，交CB 的延长线于点G .（1）求证：EG 是O 的切线；（2）若23GF =4GB =，求O 的半径.参考答案1．（1）①P2，P3；②以O为圆心，半径为16的圆，8＜OP≤16；（2）当12﹣22≤OC≤14时，线段AB上存在点P，使得点P关于⊙O的“反演点”P′在⊙O的内部．【解析】【分析】（1）①、②运用“反演点”的定义进行解答即可；（2）需分两种情形讨论①当点O在线段CB上时，以O为圆心，半径为2的圆与AB相切于H，确定OC的范围即可；②当点O在点B右侧时，确定OC的范围即可；【详解】解：（1）①根据⊙O的“反演点”的定义可知：当0≤OP≤2r时，点P存在关于⊙O的“反演点”，∵OP1＝17，OP2＝12，OP3＝4，∴P2，P3存在关于⊙O的“反演点”，故答案为P2，P3．②点O关于⊙O的“反演点”的集合是以O为圆心，半径为16的圆，若P关于⊙O的“反演点在⊙O内，则OP取值范围是故答案为：以O为圆心，半径为16的圆；8＜OP≤16；（2）①当点O在线段CB上时，以O为圆心，半径为2的圆与AB相切于H，如图，这时OC＝CB﹣OB＝12﹣2，此时线段AB上存在点P（即为点H），使得点P关于⊙O 的“反演点”P′在⊙O的内部，即为圆心O，当图中点O向点B靠近时，线段AB上必存在着点P，使得OP≤2，又OP+O P′＝2，∴O P′＜1，即点P关于⊙O的“反演点”P′在⊙O的内部．∴12﹣2≤OC≤12②当点O在点B右侧时，∵OP ≥OB ，又1＜OP ≤2，∴0＜OB ≤2，∴12＜OC ≤14，综上所述，当12﹣2≤OC ≤14时，线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙O 的“反演点”P ′在⊙O 的内部．【点睛】本题考查了点与圆、直线与圆的位置关系以及“反演点”的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识.2．（1）详见解析；（2）613CD =【解析】【分析】（1）证法一：连接EC ，利用圆周角定理得到90BAC BEC ∠=∠=︒，从而证明ABE DAC ∠=∠，然后利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质得到ADC CGD ∠=∠，从而使问题得解；证法二：连接AE ,CE ，由圆周角定理得到90BEC ∠=︒，从而判定AD CE ，得到180ECD ADC ∠+∠=︒，然后利用圆内接四边形对角互补可得180EAD ECD ∠+∠=︒，从而求得ADC CGD ∠=∠，使问题得解； （2）首先利用勾股定理和三角形面积求得AG 的长，解法一：过点G 作GH AC ⊥于点H ，利用勾股定理求GH ，CH ，CD 的长；解法二：过点C 作CI AB ⊥于点I ，利用AA 定理判定CDI CBA △∽△，然后根据相似三角形的性质列比例式求解.【详解】（1）证法一：连接EC .∵BC 为O 的直径，∴90BAC BEC ∠=∠=︒，∴90ABE AFB ∠+∠=︒∵AD BE ⊥,∴90AGE ∠=︒∴90DAC AFB ∠+∠=︒ ∴ABE DAC ∠=∠.∵AC AC =∴ADC ABC ABE EBC ∠=∠=∠+∠∵CGD CAD ACG ∠=∠+∠，CBE ACG ∠=∠∴ADC CGD ∠=∠∴CG CD =.证法二：连接AE ,CE .∵BC 为O 的直径，∴90BEC ∠=︒∵AD BE ⊥∴90AGE ∠=︒∴AGE BEC ∠=∠,∴AD CE∴180ECD ADC ∠+∠=︒∵CE CE =∴CAE CBE ∠=∠∵CBE ACG ∠=∠∴ACG CAE ∠=∠∴AE CG∴EAD CGD ∠=∠∵四边形ADCE 内接于O ，∴180EAD ECD ∠+∠=︒∴EAD ADC ∠=∠∴ADC CGD ∠=∠∴CG CD =.（2）解：在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒,4AB =,213BC =,根据勾股定理得226AC BC AB =-=. 连接AE ，CE∵BC 为O 的直径，∴90BEC ∠=︒∴AGE BEC ∠=∠∴AD CE∵CE CE =∴CAE CBE ∠=∠∵CBE ACG ∠=∠∴ACG CAE ∠=∠∴AE CG∴四边形AGCE 是平行四边形.∴3AF FC ==.在Rt ABF 中，225BF AB AF =+=1122ABF S AB AF BF AG =⋅=⋅△, ∴125AG = 解法一：过点G 作GH AC ⊥于点H∴90GHA GHC ∠=∠=︒在Rt AGF △中，2295GF AF AG =-=,1122AGF S AG GF AF GH =⋅=⋅△ ∴3625GH =在Rt AGH △中，224825AH AG GH =-= ∴10225CH AC AH =-= 在Rt CGH △中，226135CG GH CH =+= ∴613CD CG ==解法二：过点C 作CI AB ⊥于点I ∴90CIA CID ∠=∠=︒∵CG CD =∴GI ID =∵90EGD ∠=︒∴四边形EGIC 为矩形∴EC GI =.∵四边形AGCE 为平行四边形，∴EC AG =∴125DI AG ==. ∵CID CAB ∠=∠，ADC ABC ∠=∠∴CDI CBA △∽△∴CD DI CB BA =1254213= ∴613CD =【点睛】本题考查圆的综合知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，综合性较强，有一定难度.3．（1）AD＝4+23；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质可求AD＝（3+1）HE，CD＝31+HE，AC＝332+HE，由CE＝AC﹣AE＝1，可求AD的长；（2）如图2，连接CH，CP，MN，通过证明∴△ACN≌△DCM，△DGH≌△HPC，可得∠CDM＝∠CAN＝15°，GH＝PC，即可求解．【详解】解：（1）过点E作EH⊥AD，∵线段AD绕点D按逆时针方向旋转45°，∴∠ADE＝45°，且EH⊥AD，∴∠HED＝∠HDE＝45°，∴HE＝HD，∵∠DAC＝30°，HE⊥AD，∠ACD＝90°，∴AH3HE，AE＝2HE，AD＝2CD，AC3CD，∴AD＝（3+1）HE，∴CD＝31+HE，AC＝33+HE，∵CE＝AC﹣AE＝（33+﹣2）HE＝1∴HE＝3+1，∴AD＝（31+）2＝4+23（2）如图2，连接CH，CP，MN，∵线段AD绕点D按逆时针方向旋转30°，∴∠ADH＝30°∵∠CAD＝45°，AC⊥CD，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD，∠CDH＝15°，∵将线段CM绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CN，∴CM＝CN，∠MCN＝∠ACD＝90°，∴∠MNC＝∠NMC＝45°，∠MCN﹣∠ACM＝∠ACD﹣∠ACM，∴∠ACN＝∠DCM，且AC＝CD，CN＝CM，∴△ACN≌△DCM（SAS）∴∠CDM＝∠CAN＝15°，∴∠APD＝180°﹣∠ADE﹣∠CAD﹣∠CAN＝180°﹣30°﹣45°﹣15°＝90°，∴∠MPN＝∠MCN＝90°，∴点M，点C，点N，点P四点共圆，∴∠MPC＝∠MNC＝45°，∵点G，点H分别是AD，DE的中点，∴AE＝2GH，AE∥GH，∴∠DGH ＝∠DAC ＝45°，∵∠ACD ＝90°，点H 是DE 中点，∴CH ＝DH ＝EH ，∴∠HCD ＝∠HDC ＝15°，∴∠PHC ＝30°，∴∠PHC ＝∠GDH ＝30°，且CH ＝DH ，∠DGH ＝∠HPC ＝45°，∴△DGH ≌△HPC （AAS ）∴GH ＝PC ，∴AE ＝2GH ＝2PC ，∴CD ＝AC ＝AE+CE ＝CE+2CP ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，四点共圆的知识.熟练掌握相关性质定理，能根据定理作恰当辅助线构造全等三角形是本题关键．4．（1）3011；（2）5；（3）0＜t ≤1813或3011＜t ≤5． 【解析】【分析】（1）由题意知CD ⊥OA ，所以△ACD ∽△ABO ，利用对应边的比求出AD 的长度，若Q 与D 重合时，则，AD+OQ=OA ，列出方程即可求出t 的值；（2）由于0＜t≤5，当Q 经过A 点时，OQ=4，此时用时为4s ，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，利用垂径定理即可求出⊙P 被OB 截得的弦长；（3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC 与⊙P 相切时，计算出此时的时间；②当Q 与D 重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t 的取值范围．【详解】（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t ，∴AC=2t ，∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AC AD AB OA=，∴AD=65t，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴65t+t=6，∴t=30 11；（2）当⊙Q经过A点时，如图OQ=OA﹣QA=4，∴t=41=4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴PE BP OA AB=，∴PE=3.6，∴由勾股定理可求得：EF=219，由垂径定理可求知：FG=2EF=4195；（3）当QC与⊙P相切时，如图此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴AQ AC AB OA=，∴62 106t t -=，∴t=18 13，∴当0＜t≤1813时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=30 11，∴当3011＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤1813或3011＜t≤5．5．（Ⅰ）∠ABC＝64°，∠ODC＝71°；（Ⅱ）∠ACD＝19°．【解析】【分析】（I）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的内角和得到∠ABC=65°，由等腰三角形的性质得到∠OCD=∠OCA＋∠ACD=70°，于是得到结论；(II）如图2，连接OC，根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论．【详解】解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠ABC＝64°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝12∠AOD＝12×90°＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝26°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝71°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝71°；（Ⅱ）如图2，连接OC，∵∠BAC＝26°，∴∠EOC＝2∠A＝52°，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∴∠E＝38°，∵OD∥CE，∴∠AOD＝∠E＝38°，∴∠ACD＝12AOD＝19°．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（1）P A13⊙O 39；（2）见解析；（3）⊙O的半径为247或7【解析】【分析】（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在Rt△AHP 中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；（2）证∠APB＝∠P AD＝2∠P AE，即可推出结论；（3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值．【详解】（1）如图1，过点A 作BP 的垂线，垂足为H ，作直径AM ，连接MP ，在Rt △ABH 中，∠ABH ＝60°，∴∠BAH ＝30°，∴BH ＝12AB ＝2，AH ＝AB •sin60°＝ ∴HP ＝BP ﹣BH ＝1，∴在Rt △AHP 中，AP∵AB 是直径，∴∠APM ＝90°，在Rt △AMP 中，∠M ＝∠ABP ＝60°，∴AM ＝AP sin 60︒＝3，∴⊙O ，即P A ⊙O 的半径为3； （2）当∠APB ＝2∠PBE 时，∵∠PBE ＝∠P AE ，∴∠APB ＝2∠P AE ，在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠APB ＝∠P AD ，∴∠P AD ＝2∠P AE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴AE 平分∠P AD ；（3）①如图3﹣1，当AE ⊥BD 时，∠AEB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径，∴r ＝12AB ＝2；②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，∴BFAD＝EFAE，在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，∴AF＝AB•sin60°＝BF＝12AB＝2，∴28∴EF＝5，在Rt△BFE中，BE，∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴r；③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，∴AE为⊙O的直径，∴∠BPE＝90°，如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，∴DN＝DC•sin60°＝CN＝12CD＝2，∴PQ＝DN＝设QE＝x，则PE＝x，在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，∴AE＝2QE＝2x，∵PE∥DN，∴△BPE ∽△BND ， ∴PE DN ＝BP BN ， ∴2323x -＝BP 10， ∴BP ＝10﹣53x ， 在Rt △ABE 与Rt △BPE 中，AB 2+AE 2＝BP 2+PE 2，∴16+4x 2＝（10﹣533x ）2+（23﹣x ）2， 解得，x 1＝63（舍），x 2＝3，∴AE ＝23，∴BE ＝22AB AE +＝224(23)+＝27，∴r ＝7，∴⊙O 的半径为2或47或7．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.7．（1）见解析；（2）①5，②5 2【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCF＝90°，证明△FCG为等边三角形，根据等边三角形的性质证明结论；（2）①根据菱形的性质得到CE＝CB，得到△AOE为等边三角形，得到答案；②根据平行线的性质得到∠GOC＝∠OCF＝90°，根据等边三角形的性质计算即可．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵CF是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，∵∠BCA＝90°，∠CBA＝60°，∴∠BAC＝30°，又DE⊥AB，∴∠AGD＝60°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC＝30°，∴∠FCG＝60°，又∠FGC＝∠AGD＝60°，∴△FCG为等边三角形，∴FC＝CG；（2）解：①如图2，四边形BOEC为菱形时，CE＝CB，∴EC CB∴∠EAC＝∠BAC＝30°，又OE＝OA，∴△AOE为等边三角形，∴AE＝AO＝5，故答案为：5；②如图1，∵∠CBA＝60°，OC＝OB，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵OG∥CF，∴∠GOC＝∠OCF＝90°，∴∠AOG＝30°，∴GA＝GO，又GD⊥AO，∴AD＝12AO＝52，故答案为：52．【点睛】本题考查的知识点是菱形的判定定理以及切线的性质，解题的关键是作出正确的辅助线，综合利用所学过的知识进行分析求解.8．（1）能用尺规作出另外一个准外心Q，如图1所示：点Q为△ABC的准外心；（2）准外心P在AC边上，P A的长为78或2；（3）AD43．【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q即可；（2）连接BP，由勾股定理得出AC=4，分三种情况讨论，由直角三角形的性质即可得出答案；（3）由BD=BA=BC，得出∠BAC=∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，由圆周角定理得出∠ABD=2∠ACD，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，由垂径定理得出DE=CE12=CD53=，DF=AF12=AD，∠ABD=2∠DBF，∠BEC=∠DFB=90°，证明△BDF≌△CBE，得出DF=BE，设DF=x，则BE=x，AD=2x，BD=2AD=4x．在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）能用尺规作出另外一个准外心Q，作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q，如图1所示：则QA=QB，点Q为△ABC的准外心；（2）连接BP，如图2所示：∵△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，∴AC222253BC AB=-=-=4．∵准外心P在AC边上，①当PB=PC时，设PB=x，则PC=x，P A=4﹣x，在Rt△ABP中，由勾股定理得：32+（4﹣x）2=x2，解得：x258 =，∴P A=4257 88 -=；②当P A=PC时，P A12=AC=2；③当P A=PB时．∵△ABC是直角三角形，∴此情况不存在．综上所述：准外心P在AC边上，P A的长为78或2；（3）∵BD=BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，如图3所示，则∠ABD=2∠ACD．作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，则DE=CE12=CD25=DF=AF12=AD，∠ABD=2∠DBF，∠BEC=∠DFB=90°．∵BD∥AC，∴∠ABD=∠BAC=∠BCA=2∠ACD=2∠DBF=2∠BCE，∴∠DBF=∠BCE．在△BDF和△CBE中，∵DBF BCE BD BCDFB BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDF≌△CBE（ASA），∴DF=BE．设DF=x，则BE=x，AD=2x，BD=2AD=4x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+（25）2=（4x）2，解得：x239=，∴AD=2x439=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了新定义“准外心”、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握新定义和圆周角定理是解题的关键．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径为155 8【解析】【分析】（1）连接CO，CE，证∠B＝45°，可依次推出∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝12∠COA＝45°，即可写出结论；（2）连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M，证△ADG≌△EAM，△ADG≌△EFM，即可推出AF＝2DG；（3）证△FCD∽△DCA，推出△GFD为等腰直角三角形，设GF＝GD＝a，分别用含a的代数式表示DF，AF，FK，在Rt△FKD中，即可求出a的值，再利用△FCD∽△DCA，求出FC的值，即可求得AC的值，进一步求出AB的值，即可求得半径．【详解】（1）证明：如图1，连接CO，CE，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴∠COA＝2∠B＝90°，∵CD CD，∴∠CAD＝∠CED，∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝12∠COA＝45°，即∠AED﹣∠CAD＝45°；（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M，则∠CAN＝90°，∵AC＝BC，AO＝BO，∴CN⊥AB，∴AB垂直平分CN，∴AN＝AC，∴∠NAB＝∠CAB，∵AB垂直平分DE，∴AD＝AE，∴∠DAB＝∠EAB，∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB，即∠GAD＝∠NAE，∵∠CAN＝∠CME＝90°，∴AN∥EB，∴∠NAE＝∠MEA，∴∠GAD＝∠MEA，又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA，∴△ADG≌△EAM（AAS），∴AG＝EM，AM＝DG，又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°，∴∠MEF＝∠GAD，又∵∠G＝∠FME＝90°，∴△ADG≌△EFM（ASA），∴DG＝MF，∵DG＝AM，∴AF＝AM+MF＝2DG；（3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA，∴△FCD∽△DCA，∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA，∵AC＝BC，AB为直径，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°，∴△GFD为等腰直角三角形，设GF＝GD＝a，则FD a，AF＝2a，∴FK DG1 A AG3==∵∠F AK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°，∴△AFK∽△ADG，∴FK DG1A AG3==，在Rt△AFK中，设FK＝x，则AK＝3x，∵FK2+AK2＝AF2，∴x2+（3x）2＝（2a）2，解得，x a（取正值），∴FK ， 在Rt △FKD 中，FK 2+DK 2＝FD 2，∴（5a ）2+32a ）2，解得，a ，∴GF ＝GD ，AF ， ∵△FCD ∽△DCA ， ∴CD FC CA CD=∴CD 2＝CA •FC ， ∵CD 2＝CG 2+GD 2， ∴CG 2+GD 2＝CA •FC ， 设FC ＝n ，则,2442n-=+解得，n ＝8，∴AC ＝AF +CF =∴AB AC⊙O ．【点睛】本题考查了圆的综合题，相似三角形的判定与性质，涉及了圆周角定理，勾股定理，相似三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键.10．（1）相切，证明详见解析；（2）3222622y x x=-+<≤⎭.【解析】【分析】（1）过O作OF⊥AD于F，连接OE,可证△ODF≌△ODE，可得OF=OE,根据相切判定即可得出：AD与O相切；（2）连接MC，可证FMD CMG≅，可得DF=CG，过点E作EP⊥BD于P，过点F作FH⊥BD于H设DP=a，DH=b，由于△DHF与△DPE都是等腰直角三角形，设EP=DP=a，FH=DH=b,利用勾股定理：可列出方程组()()222222r OD a ar OD b b⎧=++⎪⎨=++⎪⎩①②解得a=b，可得22DE DP a==，22DF DH b==.由于10DFr=可得5r a=，由()2225a OD a a=++可得OD=a，由OD=OM-DM，可得2a x=代入2DF+y=2可得222a y+=，整理得y与x的函数解析式,由DF≤1，EG≥0，可得x的取值范围，即可求解问题.【详解】解：（1）直线AD与⊙O相切，理由如下：过O作OF⊥AD于F，连接OE∴∠OFD=90°在正方形ABCD中，BD平分∠ADE，∠ADE=90°∴∠FDO=∠EDO=45°∵O与CD仅有一个公共点E∴CD与O相切∴OE⊥DC，OE为O半径∴∠OED=90°又∵OD=OD∴△ODF≌△ODE∴OF=OE∵OF⊥AD、OF=OE∴AD与O相切（2）连接MC在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠ADB =45°∵∠BCD=90°，M 为正方形的中心 ∴MC=MD=12BD ，∠ADB=∠DCM=45°∵FM ⊥MG ，即∠FMG=90° 且在正方形ABCD 中，∠DMC=90° ∴∠FMD+∠DMG=∠DMG+∠CMG ∴∠FMD=∠CMG ∴FMD CMG ≅ ∴DF=CG过点E 作EP ⊥BD 于P ，过点F 作FH ⊥BD 于H 设DP=a ，DH=b ∵∠FDM=∠EDM=45°∴△DHF 与△DPE 都是等腰直角三角形 ∴EP=DP=a ，FH=DH=b∵x OM =>，且由（1）得12MD BD == ∴点O 在正方形ABCD 外 ∴OP=OD+DP ，OH=OD+DH 在Rt △OPE 与Rt △OHF 中()()222222r OD a a r OD b b ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩①②①-② 得：（a-b ）(OD+a+b)=0 ∴a-b=0或OD+a+b=0 ∵OD+a+b>0 ∴a-b=0 ∴a=b即点P 与点H 重合，也即EF ⊥BD ，垂足为P （或H ） ∵DP=a ，DH=b∵在Rt △DPE中，DE == 在Rt △DHF中，DF ==∴DF=DE∵CD=DE+EG+CG=2，即2DF+EG=2 ∴2DF+y=2∵在Rt △DPF中，DF ==，且2r =∴r =在Rt △OPE 与Rt △OHF 中()222r OD a a =++∴()2225a OD a a =++ ∴OD+a=2a ∴OD=a又因为 OD=OM-DM，即OD x =∴a x =又因为 2DF+y=2∴2y +=∴2x y += ∴226yx∵DF≤1，且2DF+EG=2 ∴EG≥0，即y≥0∴160≤-+≥⎪⎩2x <≤∴y 与x的函数解析式为62y x ⎫=-+<≤⎪⎪⎭【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数，构建方程以及方程组解决问题.11．（1）3；（2）PB+PC＝3PA，见解析【解析】【分析】（1）连接OA、OB、OC，如图1，证明△OAB≌△OAC得到∠OAB＝∠OAC，则∠OAB ＝∠OAC＝60°，然后判断△OAB为等边三角形得到OA＝AB＝3；（2）把△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ，如图2，则AQ＝AP，BQ＝PC，∠ABQ ＝∠C，∠QAP＝120°，再判断点P、B、Q共线，作AH⊥PQ于H，如图2，则QH＝PH，利用余弦的定义得到3PH PA=，从而得到3PB PC PA+=．【详解】解：（1）连接OA、OB、OC，如图1，∵AB＝AC，OA＝OB＝OC，∴△OAB≌△OAC（SSS），∴∠OAB＝∠OAC，而∠BAC＝120°，∴∠OAB＝∠OAC＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝3，即⊙O的半径为3；（2）PB+PC3．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°∴把△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ，如图2，∴AQ ＝AP ，BQ ＝PC ，∠ABQ ＝∠C ，∠QAP ＝120°，∵∠ABP+∠C ＝180°，∴∠ABP+∠ABQ ＝180°，∴点P 、B 、Q 共线，作AH ⊥PQ 于H ，如图2，则QH ＝PH ，∵()1820012013APH ∠=︒-︒=︒， ∴3cos APH PH PA ∠==， ∴3PH =， ∴23PQ PH PA ==， ∴3PB PC PA +=．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了旋转的性质．12．（1）证明见解析；（2）∠PMO=∠PNO ，理由见解析；（3）S 平行四边形PMON 3【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM ⊥ AD ，ON ⊥BC 得到M 、N 为AB 、CD 的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP 为平行四边形即可解题. 【详解】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP ∽△CBP. （2）∠PMO=∠PNO因为OM⊥ AD，ON⊥BC，所以点M、N为AB、CD的中点，又AB⊥CD，所以PM=12AD,PN=12BC，所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，所以∠AMP=∠CNP,得到∠PMO与∠PNO. （3）连接CO并延长交圆O于点Q，连接BD.因为AB⊥CD，AM=12AD,CN=12BC，所以PM=12AD,PN=12BC.由三角形中位线性质得，ON=1BQ 2.因为CQ为圆O直径，所以∠QBC=90°，则∠Q+∠QCB=90°，由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q，所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD，所以PM=ON.同理可得，PN=OM.所以四边形MONP为平行四边形.S平行四边形3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP为平行四边形是求解（3）的关键. 13．⑴OE＝3⑵见详解⑶36π-【解析】【分析】（1） 连结OE,根据垂径定理可以得到AD AE =，得到∠AOE =60º，OC=12OE ，根据勾股定理即可求出.（2） 只要证明出∠OEM=90°即可，由(1)得到∠AOE =60º，根据EM ∥BD ，∠B=∠M=30°，即可求出.（3） 连接OF,根据∠APD ＝45°，可以求出∠EDF ＝45º，根据圆心角为2倍的圆周角，得到∠BOE ，用扇形OEF 面积减去三角形OEF 面积即可.【详解】（1）连结OE ∵DE 垂直OA ，∠B =30°∴CE ＝12DE ＝3，AD AE = ∴∠AOE ＝2∠B =60º，∴∠CEO =30°，OC =12OE由勾股定理得OE ＝（2） ∵EM ∥BD ，∴∠M ＝∠B ＝30º，∠M+∠AOE=90º∴∠OEM ＝90º，即OE ⊥ME ，∴EM 是⊙O 的切线（3）再连结OF ，当∠APD ＝45º时，∠EDF ＝45º， ∴∠EOF ＝90ºS 阴影＝((221142π- ＝36π- 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、垂径定理、平行线的性质定理以及扇形面积的简单计算，熟记概念是解题的关键.14．（1）见解析；（2）2BC π=【解析】【分析】(1)先证BAC EAD ∠=∠，连OD ，OB ，再证ABD AED ∽，即可得到结论；(2)先求45BOC ∠=︒，在Rt ADC 中，AD DE ==可求OC=2,再用弧长公式计算即可. 【详解】解：（1）∵AD CD =，AC 为直径，∴45CAD ∠=︒，∵AB BE =，AC 为直径，∴45BAE ∠=︒∴BAC EAD ∠=∠连OD ，OB ，如图，2AB AO AE AD ==∴ABD AED ∽∵OA OB =∴DA DE =(2）∵DE 为O 切线∴90ODE ∠=︒∴45ADO CDE ∠=∠=︒∴135AOB ADE ∠=∠=︒∴45BOC ∠=︒Rt ADC 中，22AD DE ==∴4AC =，2OC =45223602BC ππ︒=⋅⋅=︒ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判断和性质，弧长公式、等腰三角形的判定与性质，证明ABD AED ∽，掌握弧长公式是解题的关键．15．（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）连接OD，证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC＝∠OEC＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出CD，根据三角形的面积公式求出DF，根据平行四边形的面积公式求出即可．【详解】∵CE是⊙O的切线，∴∠OEC＝90°，连接OD，如图1，∵四边形OABC是平行四边形，∴AO＝BC，OC＝AB，OC∥AB，∴∠EOC＝∠A，∠COD＝∠ODA，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA，∴∠EOC＝∠DOC，在△EOC和△DOC中，∵OE ODEOC DOC OC OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）过D作DF⊥OC于F，如图2，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC＝AB＝5，OA＝BC＝3，在Rt△CDO中，OC＝5，OD＝OA＝3，∴CD4，∵12×CD ×OD ＝12×OC ×DF ， ∴DF ＝CD OD OC ＝125， ∴平行四边形OABC 的面积=OC ×DF ＝5×125＝12．【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，添加辅助线，构造全等三角形和高，是解题的关键. 16．(1)详见解析；（2）163.【解析】【分析】（1）首先连接OD ，易证得△COD ≌△COB （SAS ），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为R ，则OE=R+1，在Rt △ODE 中，利用勾股定理列出方程，求解即可．【详解】（1）证明：连接DO ，如图，∵AD ∥OC ，∴∠DAO=∠COB ，∠ADO=∠COD ，又∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO ，∴∠COD=∠COB ．在△COD 和△COB 中{OD OBCOD COB OC OC=∠=∠=,∴△COD ≌△COB （SAS ），∴∠CDO=∠CBO ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，∴OD ⊥CE ，又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：由（1）可知∠OCB=∠OCD=30°，∴∠DCB=60°，又BC ⊥BE ，∴∠E=30°，在Rt △ODE 中，∵tan ∠E=OD DE ， ∴DE=4tan 30︒同理∴S △OCE =12•OD•CE=12×4×【点睛】本题主要考查的是切线的判断、圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理，利用勾股定理列出关于r 的方程是解题的关键．17．（1）答案见解析；（2．【解析】【分析】（1）连接OD ，由AD 为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD ，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得AE 与OD 平行，再由DE ⊥AC ，可得DE ⊥OD ，即DE 为圆O 的切线，得证；（2）作OH ⊥AC 于H ，则AH=CH ，由已知易得四边形ODEH 为矩形，从而有OH=DE=2，在Rt △OAH 中， 即可求得AC 的长．【详解】（1）连接OD ，∵∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，∴∠1=∠2，∵OA=OD ，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）作OH ⊥AC 于H ，则AH=CH ，∵∠BAC=60°，∴∠2=30°，在Rt △ADE 中，DE=12AD=2， 易得四边形ODEH 为矩形，∴OH=DE=2，在Rt △OAH 中，∵∠OAH=60°，∴=3，∴AC=2AH=3．18．（1）PC是⊙O的切线；（2）9 2【解析】试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．（2）由OC∥AD，推出OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=34，∴PD=8，AP=10，设半径为r．∵OC∥AD，∴OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154．∵AB是直径，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=152×35=92．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．(1)证明见解析；（23【解析】试题分析：（1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；（2）首先根据三角函数的性质，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE 以及△ABC的面积，继而求得答案．试题解析：（1）证明：连接OD，CD，∵BC为⊙O直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D点在⊙O上，∴DE为⊙O的切线；（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=12BC=2，3，∴33。

最新2021年中考数学圆的性质与计算专题训练（含答案）中考数学圆的性质与计算专题训练⼀、选择题1. 如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为()A.35°B.38°C.40°D.42°2. 2018·衢州如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是()A．75°B．70°C．65°D．35°3. 如图，将半径为2的圆形纸⽚折叠后，圆弧恰好经过圆⼼O，则折痕AB的长为()A. 5 B．2 5 C．3 D．2 34. 如图某数学兴趣⼩组将边长为3的正⽅形铁丝框ABCD变形为以点A为圆⼼，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形ADB的⾯积为()A．6 B．7 C．8 D．95. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为()A. 70°B. 35°C．20°D. 40°6. 2018·宁夏⽤⼀个半径为30，圆⼼⾓为120°的扇形纸⽚围成⼀个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底⾯圆半径是( ) A ．10 B ．20 C ．10π D ．20π7. 2019·聊城如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵上的两点，连接BD ，CE并延长交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( )A ．35°B ．38°C ．40°D ．42°8. 如图，在正三⾓形⽹格中，△ABC 的顶点都在格点上，点P ，Q ，M 是AB 与⽹格线的交点，则△ABC 的外⼼是( )A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N9. 如图，有⼀个⽔平放置的透明⽆盖的正⽅体容器，容器⾼8 cm ，将⼀个球放在容器⼝，再向容器内注⽔，当球⾯恰好接触⽔⾯时测得⽔深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm10. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝43，则S阴影＝()A. 2πB. 83πC.43πD.38π⼆、填空题11. 如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．12. 若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为.13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2.8，⊙O是以AB为直径的圆，则直线CD与⊙O的位置关系是________．14. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tan D＝________．15. 如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知☉D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A，B两点，点B坐标为(0，2)，OC与☉D交于点C，∠OCA=30°，则图中阴影部分的⾯积为(结果保留根号和π).16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的⾯积为.18. 如图在边长为3的正⽅形ABCD中，以点A为圆⼼，2为半径作圆弧EF，以点D为圆⼼，3为半径作圆弧AC.若图阴影部分的⾯积分别为S1，S2，则S1－S2＝________．三、解答题19. 筒车是我国古代发明的⼀种⽔利灌溉⼯具.如图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中⽤图画描绘了筒车的⼯作原理.如图②，筒车盛⽔桶的运⾏轨道是以轴⼼O为圆⼼的圆.已知圆⼼在⽔⾯上⽅，且圆被⽔⾯截得的弦AB的长为6⽶，∠OAB=41.3°.若点C为运⾏轨道的最⾼点(C，O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)20. 2018·牡丹江如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC 于点D .求证：AB ＝2AD .21. 如图，AB为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45，求cos ∠BDM 的值．22. 在平⾯直⾓坐标系中，借助直⾓三⾓板可以找到⼀元⼆次⽅程的实数根．⽐如对于⽅程x 2－5x ＋2＝0，操作步骤是：第⼀步：根据⽅程的系数特征，确定⼀对固定点A(0，1)，B(5，2)；第⼆步：在坐标平⾯中移动⼀个直⾓三⾓板，使⼀条直⾓边恒过点A ，另⼀条直⾓边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三⾓板的直⾓顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该⽅程的⼀个实数根(如图①)；第四步：调整三⾓板直⾓顶点的位置，当它落在x 轴上另⼀点D 处时，点D 的横坐标n既为该⽅程的另⼀个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作⽅法作出点D(请保留作出点D时直⾓三⾓板两条直⾓边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是⽅程x2－5x＋2＝0的⼀个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此⽅法找到⼀元⼆次⽅程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出⼀对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有⽆数对，⼀般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满⾜怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的⼀对固定点？中考数学圆的性质与计算专题训练-答案⼀、选择题1. 【答案】C∴∠BOE+∠COD=220°，∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°，故选C.2. 【答案】B3. 【答案】D4. 【答案】D5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】B∴△ABC是直⾓三⾓形，∴△ABC的外⼼是斜边AB的中点．∵Q是AB的中点，∴△ABC的外⼼是点Q.9. 【答案】A10. 【答案】B⼆、填空题 11. 【答案】3512. 【答案】13. 【答案】相交14. 【答案】2215. 【答案】2π-2∵∠AOB=90°，∴AB 是直径，根据同弧所对的圆周⾓相等得∠OBA=∠C=30°，∵OB=2，∴OA=OB tan ∠ABO=OB tan30°=2=2，AB==4，即圆的半径为2，∴S 阴影=S 半圆-S △ABO =×2×2=2π-2.16. 【答案】254解图17. 【答案】18. 【答案】13π4－9 ∴S 1－S 2＝S 扇形AEF －(S 正⽅形ABCD －S 扇形DAC )＝π－?9－9π4＝13π4－9.三、解答题19. 【答案】解:连接CO 并延长，交AB 于点D ，∴CD ⊥AB ，且D 为AB 中点，所求运⾏轨道的最⾼点C 到弦AB 所在直线的距离即为线段CD 的长. 在Rt △AOD 中，∵AD=AB=3，∠OAD=41.3°，∴OD=AD ·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA=≈=4，∴CD=CO +OD=AO +OD=4+2.64=6.64(⽶).答:运⾏轨道的最⾼点C 到弦AB 所在直线的距离约为6.64⽶.20. 【答案】证明：延长AD 交⊙O 于点E ，∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD . ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD .21. 【答案】(1)证明：如解图，连接OD ，∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D ，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，在Rt △OAC 和Rt △ODC 中， ?OA ＝OD OC ＝OC ，∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL)，∴AC ＝DC ；(2)证明：由(1)知，△OAC ≌△ODC ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∴∠AOD ＝2∠AOC ，∵∠AOD ＝2∠OBD ，∴∠AOC ＝∠OBD ，∴BD ∥CM ；(3)解：∵BD ∥CM ，∴∠BDM ＝∠M ，∠DOC ＝∠ODB ，∠AOC ＝∠B ，∵OD ＝OB ＝OM ，∴∠ODM ＝∠OMD ，∠ODB ＝∠B ＝∠DOC ，∵∠DOC ＝2∠DMO ，∴∠DOC ＝2∠BDM ，∴∠B ＝2∠BDM ，如解图，作OE 平分∠AOC ，交AC 于点E ，作EF ⊥OC 于点F ，解图∴EF ＝AE ，在Rt △EAO 和Rt △EFO 中，∵OE ＝OE AE ＝EF，∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL)，∴OA ＝OF ，∠AOE ＝12∠AOC ，∴点F 在⊙O 上，⼜∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM ，∴∠AOE ＝∠BDM ，设AE ＝EF ＝y ，∵sin B ＝45，∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OC ＝45，∴设AC ＝4x ，OC ＝5x ，则OA ＝3x ，在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋CF 2，∵EC ＝4x －y ，CF ＝5x －3x ＝2x ，∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2，解得y ＝32x ，∴在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ，∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x ＝255.22. 【答案】【思路分析】(1)因为点C 是x 轴上的⼀动点，且∠ACB ＝90°保持不变，所以由圆周⾓的性质得，点C 必在以AB 为直径的圆上，所以以AB 为直径画圆，与x 轴相交于两点，除点C 的另⼀点就是所求；(2)因为∠ACB ＝90°，∠AOC ＝90°，所以过点B 作BE ⊥x 轴，垂⾜为E ，则构造了⼀个“K”字型的基本图形，再由相似三⾓的性质得出⽐例式，化简后得m 2－5m ＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，⼀个⼆次项系数为1的⼀元⼆次⽅程，⼀次项系数是点A 的横坐标与点B 的横坐标的和的相反数；常数项是点A 的纵坐标与点B 的纵坐标的积，先把⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0，化为 x 2＋b a x ＋ca ＝0，再根据上述关系写出⼀对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本⼩题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P 、Q 两点分别在AD 、BD 上，过P 、Q 分别作x 轴垂线，垂⾜为M 、N ，这样就构造出满⾜条件的基本图形，再应⽤相似三⾓形的性质，可得相应的关系式．图①图②(1)解：如解图①，先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆⼼，12AB 为半径画圆． x 轴上另外⼀个交点即为D 点；(4分)(2)证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDE ＝90°，∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝∠BDE ，∵∠AOD ＝∠DEB ＝90°，∴△AOD ∽△DEB ，(6分)。