第三章 矩阵及其运算

考研数学三（矩阵及其运算）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A，B是n阶矩阵，则C=的伴随矩阵是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由于CC * =｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此应选(D)．另外，作为选择题不妨附加条件A，B可逆，那么3.设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有（分数：2.00）A.CBA=E．B.BCA=E．√C.BAC=E．D.ACB=E．解析：解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确．由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立．4.设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=（分数：2.00）A.E．√B.-E．C.A．D.-A．解析：解析：由B-C=(E-A) -1 -A(E-A) -1 =(E-A)(E-A) -1 =E(或B-C=B-AB=E)．故选(A)．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.已知n阶行列式｜A｜A｜的第k行代数余子式的和A k1 +A k2+…+A kn = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦．我们知道，代数余子式与伴随矩阵A *有密切的联系，而A *与A -1又密不可分．对于A用分块技巧，很容易求出A -1．由于又因A * =｜A｜A -1，那么6.已知(A * ) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由AA * =｜A｜E，有7.已知 A -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：A= =5B -1，求B -1可用公式(2．8.设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A-2B，(A+2E) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由AB=A-2B有AB+2B=A+2E-2E，得知(A+2E)(E-B)=2E，即(A+2E). (E-B)=E．故(A+2E)-1(E-B)．9.设B=(E+A) -1 (E-A)，则(E+B) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于B+E=(E+A) -1 (E-A)+E=(E+A) -1 (E-A)+(E+A) -1 (E+A) =(E+A) -1 [(E-A)+(E+A)]=2(E+A)-1，故 (B+E) -1(E+A)．10.如A 3 =0，则(E+A+A 2 ) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：E-A）解析：解析：注意(E-A)(E+A+A 2 )=E-A 3 =E．11.设3阶方阵A，B满足A -1 BA=6A+BA．且B= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题设知，A可逆．然后在题设关系式两端右乘A -1有：A -1 B=6E+B，在该式两端左乘A，得B=6A+AB．移项得(E-A)B=6A，则B=6(E-A) -1 A．于是由三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第二章 矩阵及其运算2.1 MATLAB 的基本运算单位----矩阵MATLAB 的基本运算单位是矩阵。

二维矩阵是一个带有以行和列排列的元素的矩形表。

如果有m 行、n 列，这个矩阵的大小就是m ×n 。

多维矩阵的维数大于2，就是说其大小为m ×n ×…×p 。

例1一个2×3的矩阵如下：A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛232221131211a a a a a a 第1行是(123)，第2列是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛52。

矩阵的元素，即数a ij ，通常是实数，但也可以是复数。

一个a ij是指第i 行、第j 列的数。

在例中，有a 21=4。

MATLAB 中有数值矩阵，即矩阵包含的仅是数字；字符文本矩阵，即矩阵包含字符文本；元胞矩阵，其元素可以是包括矩阵在内的各种结构类型的数据。

当矩阵仅由一行组成时，它是一个特例，就是一个行向量。

如果矩阵仅有一列，就是一个列向量。

向量是矩阵的特例。

向量中元素的数量是向量的长度。

如果矩阵的维数是1×1，它是一个标量，即是一个数。

在Matlab 里，矩阵的表达和应用与工程中的习惯用法十分相近。

例如线性方程组"Ax=b",在Matlab 中写成A*x=b 。

求x 的指令是x=A\b 或x=A/b 。

例如：A=[1,2;2,1]b=[6;8]x=A\b2.2矩阵建立在MATLAB中，具体对矩阵的分配进行值定义形式如下:2．2．1 由方括号[](见help paren)包围的逐行给定元素。

具体例子：a=[1,2,3;4,5,6;]a=[1 2 3;4 5 6]例1：输入行向量x=[3,pi/6,3+sqrt(2),4.2]例2：输入列向量x=[3；pi/6；3+sqrt(2)；4.2]例3：输入矩阵x=[3,pi/6,3+sqrt(2),4.2；4,pi/4,sqrt(2),3.5]a=[1 2 3;4 5 6]注（1）方括号[](paren)包围给定元素是二维矩阵进行值定义的最简单的方法。

矩阵及其运算详解矩阵是线性代数中重要的概念之一，它不仅在数学理论中有广泛应用，也在各个领域的实际问题中发挥着重要作用。

本文将详细介绍矩阵的概念、性质以及常见的运算法则，以帮助读者深入了解和掌握矩阵相关的知识。

一、矩阵的定义和基本性质矩阵是一个按照矩形排列的数集，通常用方括号表示。

一个 m×n的矩阵包含 m 行和 n 列，并用 aij 表示第 i 行、第 j 列的元素。

例如，一个 2×3 的矩阵可以表示为：A = [ a11 a12 a13a21 a22 a23 ]其中，a11、a12 等分别表示矩阵中不同位置的元素。

对于一个 m×n 的矩阵 A，当且仅当存在 m×n 的矩阵 B，满足 A = B，我们称 B 是 A 的转置矩阵。

转置矩阵中的每个元素是原矩阵对应位置元素的转置。

二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法规则使其成为一个线性空间。

对于同型矩阵 A 和B，它们的和 A + B 的结果是一个与 A、B 同型的矩阵，其每个元素等于对应位置元素的和。

减法规则类似，也是对应元素相减。

矩阵的数乘指的是将一个矩阵的每个元素乘以一个标量。

即对于矩阵 A 和一个实数 k，kA 的结果是一个与 A 同型的矩阵，其每个元素等于对应位置元素乘以 k。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的一种运算。

对于矩阵 A 和 B，若A 的列数等于B 的行数，则可以进行乘法运算 AB。

结果矩阵C 是一个 m×p 的矩阵，其中的元素 cij 是通过计算矩阵 A 的第 i 行和矩阵 B的第 j 列对应位置元素的乘积，并将结果相加得到的。

4. 方阵和单位矩阵方阵是指行数和列数相等的矩阵，也称为正方形矩阵。

单位矩阵是一种特殊的方阵，它的主对角线上的元素全为1，其它位置元素均为0。

单位矩阵通常用 I 表示。

三、矩阵的性质和应用1. 矩阵的转置性质矩阵的转置运算具有以下性质：- (A^T)^T = A，即两次转置后得到原矩阵。

矩阵及其运算矩阵是线性代数中的重要概念，其在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。

一个矩阵可以看作是一个二维数组，其中的元素可以是实数或复数。

矩阵中的每个数称为矩阵的元素。

一个矩阵通常用大写字母表示，如A、B、C等。

矩阵的创建可以通过手动赋值或者计算得到。

例如，一个3x3的矩阵A可以表示为：A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]矩阵的运算包括加法、减法和乘法等。

矩阵的加法和减法需要保证相加或相减的两个矩阵具有相同的维度。

具体操作是将对应位置的元素相加或相减。

例如，对于上述的矩阵A和B，它们的加法和减法分别为：A +B = [[1+4, 2+5, 3+6],[4+7, 5+8, 6+9],[7+10, 8+11, 9+12]]A -B = [[1-4, 2-5, 3-6],[4-7, 5-8, 6-9],[7-10, 8-11, 9-12]]矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的操作。

两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

具体操作是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应位置的元素相乘，然后将乘积相加得到结果矩阵的对应位置的元素。

例如，对于矩阵A和B的乘法，结果矩阵C的计算如下：C = AB = [[1*1 + 2*4 + 3*7, 1*2 + 2*5 + 3*8, 1*3 + 2*6 + 3*9], [4*1 + 5*4 + 6*7, 4*2 + 5*5 + 6*8, 4*3 + 5*6 + 6*9], [7*1 + 8*4 + 9*7, 7*2 + 8*5 + 9*8, 7*3 + 8*6 + 9*9]]除了加法、减法和乘法，矩阵还有其他一些运算，例如转置、求逆、求行列式等。

矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。

矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

行列式是一个与矩阵相关的数值，用于描述矩阵的性质。

矩阵及其运算加法：()ij m n A a ´=,()ij m n B b ´=是两个m n ´矩阵,称矩阵()ij ij m n C a b ´=+为A 与B 的和,记为C A B =+.注意：两个矩阵必须是同型矩阵（行数和列数分别对应相同）才能相加. 数乘：设()ij m n A a ´=是一个m n ´矩阵，k 是一个数，称()ij m n C ka ´=为数k 与矩阵()ij m n A a ´=的数量乘积，记为C kA =.矩阵的乘法运算；设()ik m n A a ´=, ()kj n s B b ´=，称m s ´矩阵()ij m s C c ´=为矩阵A 与B 的乘积.其中C 的(,)i j 位置的元素为：11221nij i j i j in nj ik kjk c a b a b a b ab ==+++=∑记为（1,2,,;1,2,,i m j s ==L L ）.将矩阵A 与矩阵B 的乘积C 记为AB ，即C AB =. 乘法运算的性质：（1）乘法结合律()()A BC AB C =；（其中,,A B C 分别是,,m n n s s t 创 矩阵）（2）乘法对加法的分配律左分配律()A B C AB AC +=+；（其中,,A B C 分别是,,m n n s n s 创 矩阵）右分配律()B C A BA CA +=+；（其中,,A B C 分别是,,n s m n m n 创 矩阵） （3）()()()k AB kA B A kB ==；（其中,A B 分别是,m n n s 创矩阵，k 是一个数） （4）m n E A AE A ==.（其中A 是m n ´矩阵，,m n E E 分别是m 阶和n 阶单位矩阵） 注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.（ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变.（ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律.（ⅳ）多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律()()A BC AB C =.方阵的方幂：设A 是n 阶方阵，我们称k kA AA A =6447448L 个为A 的k 次幂，特别规定0A E =.1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L 是多项式，称1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为方阵A 的多项式.例 设12n A l l l 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫O 12n B m m m 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫O ,(1）求AB 及BA ;(2) 求k A 及()f A ,其中10()m m f x a x a x a =+++L . 例：证明cos sin cos sin sin cos sin cos nn n n n q q q qq q q q 骣骣--鼢珑? 珑鼢鼢珑桫桫. 矩阵的转置与共轭运算称以矩阵A 的行为列，列为行构成的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A . 注意：,A B 分别是,m n n s 创矩阵，则()T T T AB B A =.例 设122a 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫,121b 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫,求T a b ，T ba ,()100T ba 例.111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，求n A 例. 11A λλλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，求n A 例..设实矩阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且T A A O =,证明A O =； 定义 A 是n 阶方阵，如果T A A =，称A 为对称矩阵；如果T A A =-，称A 为反对称矩阵.由定义易知：n 阶方阵A 为对称矩阵当且仅当(,1,2,,)ij ji a a i j n ==L ；n 阶方阵A 为反对称矩阵当且仅当(,1,2,,)ij ji a a i j n =-=L .定义 ()ij m n A a ´=，如果ij a 取自复数集，称A 是复矩阵，称由ij a 的共轭复数为元素构成的矩阵()ij m n A a ´=为A 的共轭矩阵. 分块矩阵及其运算的注意事项1.利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便.分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；2.第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即ik A 列数必须等于kj B 的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；3.由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换.即上面的ik kj A B 绝对不能写成kj ik B A .4.分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.利用矩阵运算表示线性方程组设线性方程组为11112211211222221122,,.........................................n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）利用矩阵的线性运算和矩阵相等定义，（ 1）可以改写为：1112112122221212n n n m m mn m a a a b a a a b x x x a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭称为线性方程组（1）的向量线性组合表示法，简记为1122n n x x x αααβ++=，利用矩阵乘积和矩阵相等定义还可以改写为：1112111212222212.....................n n m m mn n m a a a x b a a a x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭称为线性方程组（1）的矩阵乘积表示法，简记为AX β=.方阵的行列式的定义及性质定义设()ij n A a =是n 阶方阵，以A 的元素构成的行列式ij n a 称为方阵A 的行列式.记为A 或det A .注意 ：（1）矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本质区别. （2）只有方阵才定义行列式. 方阵的行列式具有以下性质： 性质1 A 是n 阶方阵，则n kA k A = 性质2 A 是n 阶方阵，则T A A = 性质3 A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，则A CA B O B=. 推论1 A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，则A OA B C B= 推论2 设12,,,S A A A L 均为方阵，则1212S SA A A A A A =L O性质4 ,A B 均为n 阶方阵，则AB A B =.注意，,A B 均为n 阶方阵，A B A B +=+不一定成立. 例 已知A 是3阶方阵,且2A =-,计算(1)2A ；(2) A A ；(3)2A OE A-.例 已知A ，B 都是3阶方阵,且9A =-，3AB E O +=,求B .例 设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，求B .可逆矩阵设A 是n 阶方阵,如果存在n 阶方阵B ，使得AB BA E ==，称A 为可逆矩阵，称B 为A 的一个逆矩阵.唯一性：可逆矩阵的逆矩阵唯一.n 阶方阵A 是可逆的充分必要条件为0A ≠.而且1*1A A A-=. 定理：设,A B 都是n 阶方阵，如果AB E =,那么BA E =.伴随矩阵：设()ij n n A a ⨯=,称由ij a 在A 中的代数余子式ij A 为元素构成的矩阵*A 112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵. 可逆矩阵的性质：性质1 设A 是n 阶可逆矩阵，A 的逆矩阵1A -也可逆，且()11A A --=；性质2设A 是n 阶可逆矩阵，k 是非零数，则kA 可逆，且()111kA k A ---=； 性质3设,A B 都是n 阶可逆矩阵,那么AB 也可逆,且111()AB B A ---=； 推广： 12,,,s A A A 都是n 阶可逆矩阵，则12s A A A 也可逆，且()11111221s s A A A A A A ----=.性质4设A 是n 阶可逆矩阵,T A 也可逆，且()()11TT A A --=；注意 ,A B 都是n 阶可逆矩阵，但A B +不一定可逆.性质5设(1,2,,)i A i s =L 为i n 阶可逆方阵，准对角形矩阵1s A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，且11111s s A A A A ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且11111s s a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,,)i a i s ≠=.例已知A ，B 都是3阶方阵,且9A =-，3AB E O +=,求B 及12A O O B -⎛⎫⎪⎝⎭.性质6 设A 是m 阶可逆矩阵，,B C 都是m n ⨯矩阵，且AB AC =,则B C =，设A 是n 阶可逆矩阵，,B C 都是m n ⨯矩阵，且BA CA =,则B C =. 特别：设A 是m 阶可逆矩阵，B 是m n ⨯矩阵，且AB O =,则B O =，设A 是n 阶可逆矩阵，B 是m n ⨯矩阵，且BA O =,则B O =. 证明方阵A 可逆的常用方法：（1）找到一个方阵B ，使得AB BA E ==；（2）证明0A ≠例A 是n 阶方阵,且满足223A A E O -+=,证明3A E -可逆，并求()13A E -- 求可逆方阵A 的逆矩阵的方法 （1）公式法：利用伴随矩阵；（2）用初等行变换求矩阵方程AX B =(A 可逆)的求法：()()1AB E A B -−−−−→初等行变换，则1X A B -=即可求得.例.A 是行等和矩阵（各行元素之和都相等），且A 可逆，证明：1A -也是行等和矩阵.例. ,A B 都为n 阶方阵，且A B AB +=1) 证明：A E -可逆；2）证明：AB BA =；3）如果130210002B 骣-÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫，求A 证明：1）由A B AB +=有()A A E B O --=，所以()A E A E B E ---=-, 即()()A E B E E --=,所以A E -可逆，且1()A E B E --=- 2）由()()A E B E E --=，有()()B E A E E --=， 所以()()()()A E B E B E A E --=--，即有AB BA =3）由1()A E B E --=-有()11100030010200001001A E B E --骣骣-鼢珑鼢珑鼢珑鼢=+-=+珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫1100102210011010001033001001002骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑骣鼢珑÷鼢ç珑÷鼢ç÷珑鼢ç÷鼢=+-=-珑ç÷鼢珑ç÷鼢珑ç÷鼢珑÷ç鼢桫珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑鼢珑桫桫例.已知121210121,()(),00210003A B A E A E -骣--÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷==-+ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫求1()B E -- 解：由1()(),B A E A E -=-+有()(),A E B A E -=+,AB B A E --=()()2A B E B E E ---=,所以()()11()2,()2A EB E E B E A E ---=-=- 例. 方阵A 满足223A A E O +-=求证：4A E +可逆，并求其逆；证明：由于223A A E O +-=，有()()425A E A E E +-=-，所以4A E +可逆，其逆为()()11425A E A E -+=--. 例.,,AB A B +均为n 阶可逆矩阵，求证11A B --+也可逆，并求其逆 证明：()11,A A B B B A --+=+所以()()1111A B A B A B ----+=+， 所以11A B --+可逆，且()()1111A B B B A A ----+=+.例.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =，则（ ） A ．E A -不可逆，E A +不可逆；B. E A -不可逆，E A +可逆； C. E A -可逆，E A +可逆; D. E A -可逆，E A +不可逆 例. 0k A =，求()1E A --例.设16,A XA A XA -=+ 其中100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求X .例.设100020001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且满足*28,A XA XA E =-求X伴随矩阵的性质设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，则**AA A A A E ==.()ij nA a =矩阵的伴随阵*()ji A A =具有如下性质：1）**AA A A A E ==,特别地A 可逆时11*A A A-=（或1*A A A -=） 2）*A =1-n A ；3）(*)r A =()()()1101n r A n r A n r A n ìïïïï-íïï<-ïïî==4）()A **=A An 2- （其中A 是n 阶方阵，2n >）注意 *A 的第(1,2,,)i i n =列元素是A 的第(1,2,,)i i n =行元素在A 的代数余子式.例 设A 是3阶方阵，且2A =-,求(1) 1A -；（2）*A ；（3）1*2A A -+.例 A 是3阶方阵,B 是2阶方阵,且2A =-,1B =，则23A OO B=- ；*2A = .例 33A R ´Î，且()**16,det 0,A A =>求2A -例 设A 是n 阶方阵，3A =,*A 是A 的伴随矩阵，则1*2A A --= 例设,A B 均为2阶方阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若3,2A B ==则O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ） A ．**32O A B O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；B.**23O A B O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；C. **23O B A O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；D. **32O B A O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭矩阵的初等行（列）变换1.交换矩阵中某两行（列）对应位置的元素；2.矩阵的某行（列）的元素都乘一个非零数；3.矩阵的某行（列）元素乘一个数加到另一行（列）对应位置的元素上. 定理 任何m n ⨯矩阵A 都可以通过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简形矩阵. 矩阵的秩设A 是一个m n ⨯矩阵，如果A 中存在r 阶子式不为零，而所有1r +阶子式（如果有的话）全为零，我们称r 为矩阵A 的秩，记为()R A 或秩()A . 注意：（1）()0R A =当且仅当A O =；（ⅱ）()()T R A R A =；（ⅲ）n 阶方阵A 的秩()R A n =的充分必要条件0A ≠； 即n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为()R A n =. （IV ）矩阵子块的秩不超过矩阵的秩. 定理：初等变换不改变矩阵的秩. 求秩的常用方法1.求矩阵A 的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵A 的秩.2.如果A 是n 阶方阵，0A ≠充分必要条件是()R A n =.求元素含有参数的方阵A 的秩时，先求出0A ≠时的参数取值，此时()R A n =； 对于使0A =的参数再特别讨论.例 1111121a A b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，讨论A 的秩.初等矩阵 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定理：设A 是m n ⨯矩阵，A 左（右）乘一个m 阶初等矩阵相当于对A 作一次相应的初等行（列）变换.例.已知()33ij A a ´=可逆，将A 的第2列加上第3列的5倍，然后第1列减去第2列的2倍得到B , 求1B A -解：11121511B A 骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫， 111111211151B A ----骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫，11111211151B A ---骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫1112112115151骣骣骣鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 ==珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 鼢 珑 --桫桫桫. 例．设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -=（B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP = （D ）.T C PAP = 关于初等矩阵和矩阵秩的一些性质1.()()()R A B R A R B +≤+；2. ()(){}min ,()R AB R A R B ≤3.()()R kA R A =，其中k 为非零数；4.矩阵P ，Q 可逆，则()()R PAQ R A =.5.A 与B 等价当且仅当存在可逆矩阵P 与可逆矩阵Q ，使得PBQ A =.6.n 阶方阵A 可逆当且仅当A 可以写成一些初等矩阵的乘积.7. 设A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得rEO PAQ O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 8. ()()A O R R A R B O B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9. ()ik m n A a ´=, ()kj n s B b ´=，且AB O =,则()()R A R B n +≤ 10. ()()()T T R A R A A R AA ==。

矩阵及其运算矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中得到广泛应用。

本文将介绍矩阵的定义和基本操作，包括矩阵的加法、减法、乘法以及转置运算。

1. 矩阵的定义矩阵由m行n列的数排列成的矩形数表称为m×n矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个数称为元素，用a(i,j)表示矩阵中第i行第j列的元素。

例如，一个2×3的矩阵A可以定义为：A = [a(1,1) a(1,2) a(1,3)][a(2,1) a(2,2) a(2,3)]2. 矩阵的加法和减法对于两个同型矩阵A和B（即行列数相等），它们的和记为A + B，差记为A - B。

加法和减法的运算法则是对应元素相加或相减。

例如，对于两个2×3的矩阵A和B，它们的和A + B和差A - B可以表示为：A +B = [a(1,1) + b(1,1) a(1,2) + b(1,2) a(1,3) + b(1,3)][a(2,1) + b(2,1) a(2,2) + b(2,2) a(2,3) + b(2,3)]A -B = [a(1,1) - b(1,1) a(1,2) - b(1,2) a(1,3) - b(1,3)][a(2,1) - b(2,1) a(2,2) - b(2,2) a(2,3) - b(2,3)]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是定义在矩阵上的一种运算，对于矩阵A（m×p）和矩阵B（p×n），它们的乘积记为AB，结果是一个m×n的矩阵。

具体计算过程是，矩阵AB的第i行第j列的元素是矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

用数学公式表示为：AB(i,j) = ∑(A(i,k) * B(k,j)) (k从1到p)例如，对于一个2×3的矩阵A和一个3×2的矩阵B，它们的乘积AB可以表示为：AB = [a(1,1)*b(1,1) + a(1,2)*b(2,1) + a(1,3)*b(3,1) a(1,1)*b(1,2) +a(1,2)*b(2,2) + a(1,3)*b(3,2)][a(2,1)*b(1,1) + a(2,2)*b(2,1) + a(2,3)*b(3,1) a(2,1)*b(1,2) +a(2,2)*b(2,2) + a(2,3)*b(3,2)]4. 矩阵的转置一个矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。

矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。

矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。

本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。

（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。

矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。

2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。

4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。

（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。

假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。

矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。

2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。

3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。

（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。

矩阵及其运算矩阵是在数学中常见的一种数据结构，它由行和列组成的矩形或方形的数表。

矩阵的运算涉及到加法、减法、乘法等多种操作。

下面将对矩阵及其运算进行详细介绍。

1. 矩阵定义与表示方法：矩阵可以用一个大写字母表示，如A；矩阵的行数和列数分别用小写m和n表示，记为A(m,n)。

也可以用方括号表示矩阵，如A=[a_ij](m×n)，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

2. 矩阵的加法：矩阵加法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，即A(m,n)和B(m,n)。

两个矩阵相加的结果是一个新的矩阵C，C(i,j) = A(i,j) + B(i,j)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。

3. 矩阵的减法：矩阵减法与矩阵加法类似，也要求两个矩阵具有相同的行数和列数。

两个矩阵相减的结果是一个新的矩阵D，D(i,j) = A(i,j) - B(i,j)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。

4. 矩阵的乘法：矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，即A(m,p)和B(p,n)。

两个矩阵相乘的结果是一个新的矩阵E，E(i,j) = ΣA(i,k) * B(k,j)，其中1≤i≤m，1≤j≤n，1≤k≤p。

矩阵乘法是非交换的，即A·B≠B·A。

5. 矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

若A的转置记为A^T，则矩阵A(m,n)的转置是一个新的矩阵F(n,m)，F(i,j) = A(j,i)，其中1≤i≤n，1≤j≤m。

6. 矩阵的数量积：矩阵的数量积又称为点积或内积，是两个矩阵对应元素相乘后求和的结果。

若A(m,n)和B(m,n)为两个矩阵，其数量积记为G，G = ΣA(i,j) * B(i,j)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。

7. 矩阵的幂：矩阵的幂是指矩阵连乘自身多次得到的结果。

若A是一个矩阵，其幂记为A^k，k为正整数，A^k = A·A·...·A。