(精品)历年来北大自主招生数学试题

自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值。

A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求A∩B的值。

A. {1, 2}B. {3}C. {4, 5}D. 空集答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(-1)的值。

答案：-36. 计算等比数列1, 2, 4, ...的第5项。

答案：167. 已知圆的半径为5，求圆的面积。

答案：25π8. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-7三、解答题（共60分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 1110. 已知直线l1: y = 2x + 1和直线l2: y = -x + 3，求两直线的交点坐标。

答案：交点坐标为(1, 3)11. 已知圆心在原点，半径为5的圆，求圆的方程。

答案：x^2 + y^2 = 2512. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求函数的最小值。

答案：函数的最小值为2，当x = 3时取得。

高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。

A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。

A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。

B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。

设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。

A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。

答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。

2020年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷（金秋营）-学生用卷一、综合题（本大题共5小题）1、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第1题对于非负实数a 1，a 2，⋯，a n ，考虑如下2n 个实数i 1a 1+i 2a 2+⋯+i n a n ，其中i k =±1，1⩽k ⩽n ，记S 为这2n 个数中所有正数之和，在∑a n n i=1=1的条件下，求S 的最小值．2、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第2题在△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 分别为BC ⌢，BAC ⌢中点，取△ABC 外接圆ω，△ADE 外接圆与射线AB ，AC 交于点J ，K ，△ADF 外接圆与射线AB ，AC 交于点L ，M ，证明：若AD 、JK 、LM 共点，则JM 、LK 交点在ω上．3、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第3题数列{a n }满足：a 0=2，a 1=5，a n+1=5a n −a n−1，n ⩾1，已知a m |a 2n−2+a 2n−1，求证：3|m ，3|n ．4、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第4题求k 的最小值，使得将7×7方格挖去k 个格后，剩余图形不存在T 字形（T 字形指一个方格与其相邻的三个方格有公共边构成的图形）．5、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第5题△ABC 内部取一点O ，直线AO ，BO ，CO 分别交对边于D ，E ，F ，若四边形AEFO ，BDFO ，CDEO 都有内切圆，求证：O 在△ABC 内心和垂心所在直线上．1 、【答案】暂无;2 、【答案】暂无;3 、【答案】暂无;4 、【答案】暂无;5 、【答案】暂无;。

1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。

判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。

2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。

求证：3a b c x y z ++≥。

4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。

5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。

求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。

6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。

9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。

10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。

2016北大自主招生数学试卷A1、函数的单调递增区间为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B函数的定义域为，设，其单调递增区间为，单调递减区间为，且单调递减，因此的单调递增区间为.2、对于任意给定的所在平面上的点满足，，的面积相等，则这样的点的个数是（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】D为△的重心，或者四点构成平行四边形.3、圆内接四边形中，，则它的外接圆直径为（ ） （A ）170 （B ）180 （C ）（D ）前三个答案都不对 【解析】A注意到，即，故由余弦定理可得解得，故外界圆直径为，.4. 正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B 由题意易知只有对角面上的三角形不是等腰三角形故 ()()20.5log 2f x x x =-++11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，12æö+¥ç÷èø，()f x ()1,2-()()2212g x x x x =-++-<<11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，()()0.5log f x g x =()()20.5log 2f x x x =-++122æöç÷èø，ABC D P PAB D PBC D PAC D P P ABC ,,,A B C P ABCD 136,80,150,102AB BC CD DA ====222215013610280-=-222215080136102+=+222222cos 2cos BD BC DC BC DC C BA DA BA DA AA C pì=+-×=+-×í+=î2A C p==BD 170BD =1247383864417P ´=-=C5、已知，为整系数多项式且，则 的各项系数之和为（ ）（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）前三个答案都不对 【解析】A易知为二次多项式，设，代入得，对照系数可得，解得则各项系数之和为8.6、设，则的取值范围为（）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B，即即，.7、实系数方程的根都不是实数，其中两个根的和为，另两根的积为，则等于（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）15（D ）前三个答案都不对 【解析】C()234f x x x =-+()g x ()()432318506948f g x x x x x =++++()g x ()g x ()2g x Ax Bx C =++()()()()22234f g x Ax Bx CAxBx C =++-+++2223361836506693448A AB B AC A BC B C C ì=ï=ïï+-=íï-=ïï-+=î134A B C =ìï=íï=î()g x ()0,2x p Î2=x 02p æöç÷èø，2p p æöç÷èø，32p p æöç÷èø，2=cos sin 2cos sin x xx x-=cos 0x >sin 0x <4320x ax bx cx d ++++=2i +56i +b故由韦达定理可得，8、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第几张（ ） （A ）30 （B ）32 （C ）44 （D ）前三个答案都不对 【解析】C第一轮依次剩下的倍数，，，…，，第二轮依次剩下的倍数，，，…，，（最后一张扔掉54，开始第三轮）第三轮依次剩下模8余4的数，，，，，，，，（第四轮以扔掉4开始） 第四轮剩下的数，12，28，44， 第五轮剩下的数，12，44 最后剩下44.9、的个位数字为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】C易知数字为一个奇数，可以被5整除.10、设为有限集合，为的子集，且对每个，都有，则一定有中某个元素在至少多少个中出现（ ）（A ）403 （B ）404 （C ）2016 （D ）前三个答案都不对 【解析】B由抽屉原理，可知选B11、四个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B()4a z w z w =-+++=-()()b zz zw zw zw zw ww z w z w zw zw =+++++=++++15=()()c zzw zzw zww zww zw z w zw z w =+++=+++8=61d zwzw =-=-22454448524122028364452()()()()23201621212121+++×××+S 122016,,,A A A ×××S i 15i A S ³S iA (21+(21(22+由棱长为的正四面体的内切球半径为, 设由四个球心所构成的正四面体为,其棱长为，内切球半径设大四面体的内切球半径为，则，则大四面体的棱长12、空间中点集定义如下：，，则由中的点组成的图形的体积等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】C 对于每一个，易得，，.故一定，我们考虑极限情况故为三维分别为的长方体，.13、满足等式的正整数的个数为（ ）（A ）0 （B ）1001 （C ）2002 （D）前三个答案都不对 【解析】D答案为4002，由,即, 即 于是,即,故要求,即,14、已知对任意，方程在上至少有一个根，则 等于（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）前三个答案都不对 【解析】B取，此时，故至少一个属于，a1234O O O O 2r ¢r 116r r ¢=+=+126a ö+=+÷÷ø(){}3,,|381nnnn A x y z xy z =Î++£R 1n n A A ¥==!A 14121n A 1x £1y £1z £+1n n A A Í1n n A A ¥==!(){}3lim ,,|1,81,1n A x y z x y z ==Σ££R A 12,2,41V =2002n éé=ëën 2002200120021´=<20022001200220011´<<´+20022001é=´ë200220012002n é´´=ë2001n é=ë200120011n n £<+2001n 4002n £[]122016,,0,4x x x ×××Î201612016i i x x a =-=å[]0,4a 1220162x x x ====!2x a -=2,2a a +-[]0,4若，综合只能，若，综合只能，排除C 取，此时，此时只能.综合可知选B.15、已知关于的方程有两个不同的非零整数根，则有可能等于（ ） （A ）一个素数 （B ）2的非负整数次幂 （C ）3的非负整数次幂 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 方程为，设整数根为，由韦达定理的知识可得. 且，，此时，排除A 由平方数模3余0或者1，可得C 错误.由平方数模4余0或者1，且，知余至少一个模4余1或者2.则要是2的幂只能，与矛盾.16. 用表示距离，则的值为（ ） （A ）1015056 （B ）1017072 （C ）1019090 （D ）前三个答案都不对 【解析】B先考虑的解的个数，由，知当满足，会使得，其个数为，这个片段的和刚好为，则刚好需要个这个片段， 所以17、已知对于实数，存在实数，满足，，则这样的实数 的个数为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）无穷个 （D ）前三个答案都不对 【分析】[]20,4a +Î[]0,2a Î[]20,4a -Î[]0,2a Î1210080x x x ====!1009101020164x x x ====!42x x a +-=2a =x 21x ax b ++=22a b +210x ax b +-+=,m n ,a b ÎZ ()a m n =-+1b mn -+=()()22222222111a b m n m n m n +=+++=++m n ¹21m +21n +1m n ==m n ¹n a 121112016na a a ++×××+=n n a k =221124k k k æö+=++ç÷èøn ()()22111k k n k k -+-+££+n a k =2k 2100824620171017072x =++++=L a ,b c 3333a b c abc --=()22a b c =+a 3333a b c abc ++-()()333a b c ab a b c =++-++()()()223a b c a b a b c c ab éù=+++-++-ëû()()222a b c a b c ab bc ca =++++---【解析】B 由因式分解常见公式， 可得 故要么，此时，解得或；要么，此时，此时解得或18、三角形的三个顶点分别对应复数，已知，则三角形的面积与其最长边长的平方的比等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】A由，得到，且由余弦定理可得，故最长边为19.将这100个数分成3组满足第一组中各数之和是102的倍数，第二组中各数之和是203的倍数，第三组中各数之和是304的倍数，则满足上述要求的分组方法数为（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 设三组之和分别为，，，,则，易得，结合是正整数，； 同样的得到,,又，得到，显然不可能.20、已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 不确定 D. 三个均不正确 【解析】A()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()33322203a b c abc a b c a b c ab ac bc =---=--++++-a b c =+()22a b c =+0a =2a =2220a b c ab ac bc ++++-=()()()222102a b a c b c éù++++-=ëûb c a ==-0a =4a =-ABC 123,,z z z 213112z z i z z -=+-ABC 1516112213112z z i z z -=+-c =cos A =sin A =2a b =c =21sin 2ABC S bc A b D ==1,2,,100×××102x 203y 304z *,,x y z ÎN 1022033045050x y z ++=5050102203505010222031304304x y z ---´-´=£z 15z £22y £42x £()101235050x y z x y z +++++=101|x y z ++2016x y z ++=11112016x y z ++=()()()201620162016x y z ---由已知可得，，即,2016x y z ++=12016xy yz zx xyz ++=()2016xyz xy yz zx =++()()()201620162016x y z ---()()23201620162016xyz xy yz zx x y z =-+++++-0=。

北京大学 2023 年优秀中学生寒假学堂数学试题说明：本试题为考生回忆版，共 20 题，每题 5 分，考试时间 60 分钟。

1．设复数,,a b c 满足2223330,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则202320232023a b c ++的值为A ．0B ．3C ．2023D ．其它三个答案都不对2．方程组2223334,6,10x y z x y z x y z ++=++=++=的解的个数为A ．0B ．3C ．6D ．其它三个答案都不对3．设三角形ABC 的三个顶点为复平面上的三点123,,z z z ，满足1231231223310,82i,1510i z z z z z z z z z z z z =++=+++=+，则三角形ABC 内心的复数坐标z 的虚部所在区间为A ．(0.0,5) C ．(1,2)B ．(0,0.5)D ．其它三个答案都不对4．若P 是三角形ABC 的外心，0,120PA PB BC C λ++==︒∠，则实数λ的值为B ．其它三个答案都不对2A ． -1C ． −3D ．12-5．在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成60︒的二面角，顶点A 在BCD 的投影H 是三角形BCD 的垂心，G 是三角形ABC 的重心，若4,AH AB AC ==，则GH 的长度是ABC ．其它三个答案都不对D6．过单位正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 做截面，则截面面积的最小值为A．3B．4C ．其它三个答案都不对D ．627．已知直线l 与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>两支分别交于点,P Q ，O 为原点，若OP OQ ⊥，则O 到直线l 的距离为A ．abb a-B ．2ab b a -C ．其它三个答案都不对D8．在三角形ABC 中，444222,,,2(),72AB c AC b BC a a b c c a b A ===++=+∠=︒，则B ∠=A ．其它三个答案都不对B ．63︒C ．45︒D ．60︒9．设222121011133520212023S =+++⋅⋅⋅ ，则[]S 的值为A ．251B ．252C ．其它三个答案都不对D ．25310．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点1F 做倾角为60︒的直线l 交椭圆与,A B 两点，若2AF BF =，则椭圆的离心率为A ．34B ．23C ．其它三个答案都不对D ．1211．以一个正方体的顶点为顶点构成的棱锥的个数为A ．其它三个答案都不对B ．104C ．106D ．10812．已知函数:f →R R 的图像关于点3(,0)4-中心对称且3()(),(1)1,(0)22f x f x f f =-+-==-，则(1)(2)(2022)f f f +++ 的值为A ．其它三个答案都不对B ．6-C ．6D ．013．已知数列{}n a 满足12111,1,,2n n n a a a a a n +-===+≥，则2020202320212022a a a a ⋅-⋅的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．其它三个答案都不对14．对于任意的实数z ，方程组22,231,x ay z xy z z +=⎧⎨=++⎩有实数解(,)x y ，则参数a 的变化范围是A ．[4,0)-B ．[2,2)-C ．其它三个答案都不对D ．[0,4)15．以一个给定正2022边形的4个顶点为顶点的梯形称为好梯形，好梯形的个数为A ．100910101011⋅⋅B ．100810091010⋅⋅C ．100010111012⋅⋅D ．其它三个答案都不对16．已知圆内接四边形的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 的面积为A．B．C．D ．其它三个答案都不对17．设π,(0,)2x y ∈，则222211cos sin sin cos x x y y+的最小值为A ．8B ．10C ．9D ．其它三个答案都不对18.设=2023,x y =20232023，且y nn n=a x ,x n=b y ，则（ ）A.∃N ∈ n ∀n >,N a n <b ,n +a b n <∀n > ∀∈n ,n a b C. ++，使得nB.D. 其它三个选项<均不对19.数列{a }n 满足a 012=1,=2,a a =6且+32+1=7n n n n a a a a +5++，记k =(2023)!，则a k −1模 ） B.13179的余数为（ A.166C.1D.其它三个选项均不对20.有六件货物，其中两件为次品，其余四件合格，每次从中抽取一件检验后不放回，求恰好需要四次检验就能确定出次品的概率.2023年北京大学优秀中学生寒假学堂数学测试题答案1.解：因为2222()2220a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++⇒++=且3332223()()=1a b c abc a b c a b c ab bc ca abc ++-=++++---⇒从而我们有=001a b c ab bc ca abc ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩由韦达定理知,,a b c 是方程310x -=的三个根.由于20231(mod 3)≡，所以202320232023=0a b c a b c ++++=故选择A .2.解：类似于上题，我们可以得到=452x y z xy yx zx xyz ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩从而,,x y z 是方程324520t t t -+-=的三个根，注意到322452(1)(2)t t t t t -+-=--从而,,x y z 是1,1,2的一个排列，即原方程组的解有3组，故选择B .3.解：不失一般性，设10z =，则1212+=8+21510z z i z z i=+，从而有23=532z z i=+，不妨设23,z z 对应的点为A 和B ，内心为I ，从而有5,13,8OA OB AB ===且3Im()()OA z OA AB OB r ⋅=++⋅所以105138r =++于是我们有510100.5165169594r <=<<=++++从而选择B 4.解：设AB 的中点为D ，则2PA PB PD +=.由0PA PB PC λ++=，有20PD PC λ+= 所以向量,PD PC共线，又P 是ABC ∆外心，故PA PB PD AB =⇒⊥，从而CD AB ⊥，因为120ACB ∠=，所以120APB ∠=，即四边形APBC 是棱形，于是2PA PB PD PC+== 所以20PD PC PC PC λλ+=+= 所以1λ=-，故选择A .5.设平面AHD 交BC 于F ，则BC DF ⊥，从而BC ADF ⊥面，于是BC AF ⊥，这说明AFH ∠为平面ABC 与平面BCD 成的二面角，即60AFH ∠=.在ABC ∆中，由AB AC =可知BF CF =，从而G 在AF 上且13GF AF =.在直角三角形AHF 中，4AF =，所以FH AF GF ===.在GFH ∆中，由余弦定理可得2221122cos 27GH GF FH GH HF AFH =+-⋅∠=从而9GH ==，故选择B6.解：由对称性，我们只需要考虑截面与面1AD 的交线交线段1AA 于E 的情形.注意到截面面积1112BD A BED F S S S BD d ∆===⋅=四边形其中d 为点E 到线段1BD 的距离.要使得截面面积S 最小，只需要考虑1AA 上的点到1BD 的距离d 最小.取E 为1AA 的中点，易得1OE BD ⊥，且1OE AA ⊥，此时d OE =为异面直线1AA 到1BD 的距离，为d 的最小值且min 122d EF ==.于是截面面积min min 2622S ===故选择D .7.解：不妨设OP m OQ n ==，且POx θ∠=。

2010 北京大学自主招生试题数学题共5道大题，文科生做前4道，理科生做后4道，每道题25分。

涉及解析、几何、数列等，其中有一道题同时考到了数列和三角函数。

“考得很‘活’，”北大附中一名姓陈的同学说：“感觉数学不是特别难，知识比较基础。

”相对而言，他认为语文题比较有难度。

1.AB为正五边形边上的点，证明：AB最长为（根5+1）/2(25分)2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。

(25分)3.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0<t0<1/5时，夹角的取值范围。

(25分)4.存不存在0<x<π/2，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列。

(25分)语文题包括选词填空、现代文阅读、古文翻译和作文。

选词填空共设10道小题，偏重对基础知识的考察，比如有一道题是给出一首诗，要求考生找出韵脚。

现代文阅读是一篇题为《瞬间即永恒》的文章，文章较长，“跟平在学校做的不太一样”，题型包括关键句分析和两道开放性的论述题。

古文翻译题是一篇关于古代君主执政方面与“法制”相关的文章，要求先断句，再对文章进行翻译。

作文题分值40分，是由林庚先生诞辰100周年的文章，引出的4个词：盛唐气象、少年精神、布衣情怀、建安风骨，考生从中选择一个词来作文，要求600-800字左右，富有诗情画意并富含哲理，文体不限。

接受采访的考生均称自己采用的是散文的文体，“写出诗情画意没有问题，但要富有哲理还是有点难度。

”一位来自北京四中的女同学感慨道。

1.基础知识基本是区别形似字2．有一个绕口令，找出其中的押韵的字连成一句话；找出其中所有的动词，包含其中笔画最少的两个字（是“认”和“吃”），写一句在校园里的宣传语。

3．法者，天下之度量，而人主之准绳也。

县法者，法不法也；设赏者，赏当赏也。

二)一、选择正确的或者最好的表达形式(10 分)1、为维护语言的清纯，禁止在广告中用谐音字______成语。

A 篡改B 窜改C 纂改2、大家推荐在学界______的朱德熙先生担任学会主席。

A 深负众望B 不负众望C 深孚众望3、只要有诚心，再厚的冰也会______。

A 融化B 熔化C 溶化4、棋摊摊主卖个破绽，引路人______，骗取钱财。

A 入网B 入瓮C 入彀5、所有机票代售点，一律不得向旅客收取或者______收取手续费。

A 变向B 变相C 变项6、当时正值三年自然灾害， ______尚有艰难，有谁操心可有可无的戏班子的存亡。

A 裹腹B 裹肤C 果腹7、政府领导作为人们的公仆，要______都关心群众的疾苦。

A 不时不刻B 时时刻刻C 无时无刻8、我国的农业生产取得了举世______的伟大成就，首先应归功于改革开放的政策。

A 瞩目B 侧目C 注目9、中国队 20 号前锋一脚远射，令对方门将______，皮球正入网中。

A 措不及防B 猝手及防C 猝不及防10、把这些数据放在一起，就能看出______来。

A 端倪B 端睨C 端眤二、文言文阅读(10 分)州郡遇圣节锡宴，率命猥妓数十群舞于庭，作“天下太平”字，殊为不经。

而唐《乐府杂录》云：“舞有字，以舞人亚身于地，布成字也。

”王建《宫词》云：“罗衫叶叶绣重重，金凤银鹅各一丛。

每遇舞头分两向，太平万岁字之中。

”则此事由来久矣。

(精密《齐东野语》)1、文中所叙是一种什么景象？精密对此有何看法？2、结合现实生活中所见，谈谈你对类似现象的看法。

三、将下段古文翻译为现代汉语(20 分)古者先王竭力于亲民加事于明法彼法明则忠臣劝罚必则邪臣止忠劝邪止而地广主尊者秦是也群臣朋党比周以隐正道、行私曲而地削主卑者山东是也乱弱者亡，人之性也治强者王古之道也越王勾践恃大朋之龟与吴战而不胜身臣入宦于吴反国弃龟明法亲民以报吴则夫差为擒故恃鬼神者慢于法恃诸侯者危其国 ( 《韩非子•饰邪》)四、现代文阅读(20 分)不久前我在鄯善迪坎儿村，见一大棵梭梭树长在路旁。

2018年北京大学自主招生数学试卷选择题共20小题：在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1. 把实数2018)335(+=a 写成十进制小数，则a 的十分位、百分位和千分位上数字之和等于（ C ） A.0 B. 9 C. 27 D. 前三个答案都不对解答：记2018(5b =−，容易知道b 是一个很小的正数，进一步，0.00001b <.由二项式展开，容易知道20182018*(5(5a b N +=++−∈，从而a 是一个正整数减去一个很小的正数，从而a 的十分位、百分位和千分位上数字都是9. 答案C.2. 已知b a ≠，1)()(22=+=+c a b c b a ，则abc b a c −+)(2的值为（ A ）A. 2B. 1C. 0D. 前三个答案都不对解法一：由22()()()()()0()()0a b c b a c ab a b c a b a b a b ab bc ca +=+⇒−+−+=⇒−++=，又a b ≠，所以0ab bc ca ++=，2()1()1()11a b c a ab ca a bc abc ∴+=⇔+=⇔−=⇒=−，2()()()22c a b abc c ca cb abc c ab abc abc ∴+−=+−=−−=−=。

解法二:记()21ab c +=……①，()21b a c +=……②，①-②有()()()()2200ab a b c a b a b ab c a b −+−=⇔−++=⎡⎤⎣⎦，由b a ≠，()()0ab c a b ab c a b ++=⇔=−+，从而原式=22()2c a b abc +=−.另一方面，由21b c a +=……③，21a c b+=……④，④-③有 222211a b a b a b b a −=−⇒=+，与()ab c a b =−+比较可知道11c abc ab=−⇒=−， 从而原式=22()22c a b abc +=−=. 答案A. 3. 设1,0≠>a a ，函数14)(2−−=x xa ax f 在区间[-1,2]上的最小值为-5，则a 的取值范围是（ C ）A. 221≥=a a 或 B. 210≥<<a a 或 C .2210≥<<a a 或 D. 前三个答案都不对解答：()22()4125x x x f x a a a =−−=−−，则()22xa −在[]1,2x ∈−时的最小值为0，即当[]1,2x ∈−时，xa 的取值范围包含2，根据指数函数的单调性，有()()(21220210a a a a a a ⎛⎫−−≤⇔−≥ ⎪⎝⎭， 考虑到0a >，可得2210≥<<a a 或. 答案C. 4. 设n S 为一等差数列的前n 项和，已知2501510==S S ，，则n nS 的最小值是（ D ）A. -25B. -36C. -48D. 前三个答案都不对 解答：由等差数列常用性质：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且10010S =，155153S =，可知()1103n S n n =−，则 ()21110(202)36n nS n n n n n =−=−⋅⋅−，根据均值不等式可知7n =时，n nS 有最小值-49. 答案D.5. 以梯形ABCD 的下底BC 上一点为圆心做半圆，此半圆与这个梯形的上底AD 和两腰AB 、CD 都相切，则 |AB|+|CD|-|BC|的值（ D ）A. 为正B. 为负C. 可正可负D. 前三个答案都不对 解答：当ABCD 特别接近矩形时，12AB CD BC r ===，可知|AB|+|CD|-|BC|无限趋近于0；事实上，当ABCD 四点共圆的时候，可以证明|AB|+|CD|-|BC|=0（1985年IMO 几何问题）； 另一方面，当A,D 重合，也就是ABCD 退化成一个三角形时，明显有|AB|+|CD|-|BC|大于零.从而|AB|+|CD|-|BC|的值可零可正. 答案D.6. 在ABC ∆中，0tan tan tan >++C B A 是ABC ∆为锐角三角形的（ C ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 前三个答案都不对 解答： 根据三角形中的常用恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，可知tan ,tan ,tan 0A B C >，从而ABC ∆为锐角三角形，反之亦然. 答案C.7. 满足对任意实数a ，b 都有)()()(b f a f b a f +=+和)()()(b f a f ab f =的实函数)(x f 的个数是（ B ）A. 1B. 2C.无穷多D. 前三个答案都不对解答： 容易猜测满足题意的实函数)(x f 只有两个：()f x x =或()0f x =. 事实上，有柯西方程可知()f x kx =（这样说并不严谨，只有证明了()f x 单调性或者连续性之后才能严谨地证明()f x kx =，事实上，不难借助两个条件方程证明：当()f x 不恒等于零时，其一定是单调递增的），代入()()()f x x f x f x ⋅=⋅ 有2k k = ，从而0,1k =. 答案B.8. 设函数t t t f 2)(2+=，则点集{})()(2)()(|),(y f x f y f x f y x ≥≤+且所构成的图形的面积是（ B ）A. 4πB. 2πC. πD. 前三个答案都不对解答：平面区域问题()()()()22222222114f x f y x x y y x y +≤⇔+++≤⇔+++≤；()()()()222220f x f y x x y y x y x y ≥⇔+≥+⇔−++≥；如图，画出平面区域后可知，满足两个不等式的区域是两个圆心角为90的扇形， 并且扇形半径为2.所以区域面积为2π. 答案B.9. 不等式122>+yx 且3,3≥≥y x 的正整数解),(y x 的个数是（ D ） A. 3B. 4C. 6D. 前三个答案都不对解答：本质上是不定方程问题:()()()22120224xy x y x y x y+>⇒−+<⇒−−<, 所以()()()()()()2,21,1,1,2,2,1,1,3,3,1x y −−=，所以正整数解),(y x 的个数是5. 答案D. 10. 设数列{}1≥n a n 的首项20191=a ，前n 项和n S =n a n 2，则2018a 的值为（ C ）A.20191B.20181 C. 10091D. 前三个答案都不对解答：n S =n a n 2，1n S +=()211n n a ++，作差可得()()22111112n n n n n n n a S S n a n a n a na ++++=−=+−⇒+=，()()()111211222019n n n n a n n a a +⇒++=+==⋅⋅=⋅，所以2018220191.201820191009a ⋅==⋅ 答案C.11. 在ABC ∆中，AB=13，AC=15，BC=14，AD 为边BC 上的高，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为（ D ）A. 2B. 3C. 5D. 前三个答案都不对解答：根据AD 垂直BC 于D,且AB=13，AC=15，BC=14，容易根据勾股数的性质求得：BD=5，CD=9，AD=12， 则三角形ABD 的内切圆半径为5121322+−=，三角形ACD 的内切圆半径为1291532+−=，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为d ==答案D.12. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，满足3cos cos c A b B a =−，则BAtan tan 等于（ A ） A. 2B. 1C.21D. 前三个答案都不对 解答：根据正弦定理 ()11sin cos sin cos sin sin 33A B B A C A B −==+展开可得，24tan sin cos sin cos 233tan AA B B A B=⇒=. 13. 设实数y x ,满足1422=+y x ，则1243−+y x 的取值范围为（ B ）A. [)+∞,0B. []13212132-12+， C. []13212,0+ D. 前三个答案都不对 解答：记()(),2cos ,sin x y θθ=，则()34126cos 4sin 121212x y θθθϕ⎡+−=+−=+−∈−+⎣，答案B.14. 过椭圆14922=+y x 上一点M 做圆222=+y x 的两条切线，过切点的直线与坐标轴交于Q P ,两点，O为坐标原点，则POQ ∆面积的最小值为（ B ）A.21 B.32 C.43 D. 前三个答案都不对解答：记()220000,,194x y M x y +=，则由切点弦的性质00:2PQ x x y y +=，则00220,,,0P Q y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，000012222POQS x y x y ∆==，另一方面2200001943x y x y =+≥=，所有0022.3POQ S x y ∆=≤ 答案B.15. 设正实数b a ,满足1=+b a ，则3271ba +的最小值为（ A ） A.2131347+ B. 2131555+ C. 218D. 前三个答案都不对解答：记1a b =−，3127,1u b b =+− 则()241811du db b b =−−，令()2418101du db bb =−=−，根据 10,0a b b =−>>，则()29912b b b −+=−⇒=（舍负），代入可得3271ba +的最小值为 2131347+. 答案A.16. 在正方体1111D C B A ABCD −中，动点M 在底面ABCD 内运动且满足M DD A DD 11∠=∠,则动点M 在底面ABCD 内的轨迹为（ A ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线一支的一部分D. 前三个答案都不对 解答：1145DD M DD A ∠=∠=，从而1DM DD =，答案A.17. 已知21,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是椭圆与双曲线的一个交点，且321π=∠PF F ，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ D ）A. 32B. 3C.331D. 前三个答案都不对解答：设椭圆和双曲线的短半轴（虚半轴）分别为12,b b ，则由常用面积结论：122212tancot33F PF S b b ππ∆==，于是22213b b =，记两曲线的半焦距为c ，则两条曲线的离心率的倒数之和1211e e +==12111e e +=≤= 答案D.18. 设三个实数c b a ,,组成等比数列，c b a c 320+≤>且，则实数acb 2−的取值范围是（ B ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞161-，B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞81-， D. 前三个答案都不对解答：由2,0b ac c =>，可知0a > ，则()()223231233110b ca b c q q q q a a≤+⇒≤+=+⇒−+≥， 所以13q ≥或1q ≤− . 进一步， 222max2111111222483489b c q q q a −⎛⎫⎛⎫=−=−−+=−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以实数a c b 2−的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，. 答案B. 19. 设实函数0,)(2≠++=a c bx ax x f ，定义)2))((()(),()(11≥==−n x f f x f x f x f n n ，已知方程x x f =)(1无实根，则方程x x f =)(2018的实根个数是（ A ）A. 0B. 2018C. 4036D. 前三个答案都不对解答：方程x x f =)(1无实根，则1()f x x >恒成立或1()f x x <恒成立，进而()11()()f f x f x x >>或()11()()f f x f x x <<恒成立，依次类推，()20172017()()f f x f x x >>>或()20172017()()f f x f x x <<<恒成立，从而方程x x f =)(2018没有实根. 答案A.20. 三棱锥ABC P −中，底面ABC 是以A ∠为直角的直角三角形，PA 垂直于底面ABC ，且AC AB PA +=，则三个角CPA BPC APB ∠∠∠与,的和是（ C ）A. 60°B. 75°C. 90°D. 前三个答案都不对解答：记,,APB BPC CPA αγβ∠=∠=∠=，则tan tan 1αβ+=；所以()sin cos sin cos 1sin cos cos cos cos αββααβαβαβ+=⇒+=，另一方面，对二面角B PA C −−用二面角余弦定理可知，cos cos cos cos 0sin sin 2λαβπαβ−==，从而cos cos cos λαβ=，所以()sin cos αβγ+=，又因为,,αβγ都是锐角，所以2παβγ+=−，所以答案C.。

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2016年北京大学自主招生测试数学学科1. 求()212log 2x x -++的单调增区间。

2. 圆内接四边形ABCD 满足AB =80，BC =102，CD =136，DA =150，求直径。

3. 四个半径为1的球两两相切，求其外切正四面体的棱长为（ ）A.2+B.2+C.4+D.以上均错4. 已知实数x ，y ，z 满足1112016,2016x y z x y z++=++=，求(2016)(2016)(2016)x y z ---=( )A.1B.0C.-1D.以上全错5. 设x ，y ，z 3R ∈，求方程381n n n x y z ++≤，当n →+∞时确定的几何体的体积为________。

6. 正方体八个顶点中任取3个，求能构成等腰三角形的概率________。

7. 设n a的整数，若112016n k k a ==∑，求n =________。

8. 若方程21x ax b ++=有两个不同的非零整数根，则22a b +可能为________。

A. 素数B. 2的非负整数次幂C. 3的非负整数次幂9. 2002n ⎡⎡=⎣⎣有________个正整数解。

10. 实数a ，b ，c 满足33323,2(),,,a b c abc a b c a b c N --==+∈，这样的a 有_________个。

11. 232016(21)(21)(21)...(21)++++的个位数字为（ ）A.1B.3C.5D.以上均错12. 实系数方程4320x ax bx cx d ++++=有四个非实数根，其中两个之和为2+i ，另外两个之积5+6i ，b =________。

13. 若△ABC 的三个顶点对应复数为z 1，z 2，z 3，且满足213112z z i z z -=+-，则△ABC 的面积与其最长边的平方之比为________。

14. 将1~100这100个正整数分成三组，使第一组和为102的倍数，第二组和为203的倍数，第三组和为304的倍数。

2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。

二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。

自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 如果函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，那么\( f(2) \)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 5答案：A3. 圆的面积公式是？A. \( \pi r^2 \)B. \( 2\pi r \)C. \( \pi d \)D. \( \pi r \)答案：A4. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \)D. \( -\frac{1}{5} \)答案：A5. 以下哪个数是无理数？A. \( \sqrt{2} \)B. 1.5C. 0.333...D. 1答案：A6. 一个等差数列的首项是3，公差是2，第10项是多少？A. 23B. 21C. 19D. 17答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。

答案：52. 函数\( g(x) = 2x - 1 \)的反函数是______。

答案：\( g^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2} \)3. 一个数的平方根是4，这个数是______。

答案：164. 已知\( \tan(\theta) = 3 \)，求\( \sin(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。

答案：\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)5. 一个等比数列的首项是2，公比是3，第5项是多少？答案：162三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：\( |x - 5| < 4 \)。