余弦定理公式(题目)

高一数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD = BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是____________．【答案】.【解析】因为BC边上的高AD=BC=a，所以，则，又，所以，其中有tanA=2，又由基本不等式有所以的取值范围.【考点】三角形的面积公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的定义域与值域.2.已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于是的重心，,.代入得由于不共线，【考点】平面向量共线定理和余弦定理的应用.3.△中，若，则△的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由，结合余弦定理得，即有，此题也可运用正弦定理化边为角，从角来判定三角形的形状，可能不及运用余弦定理简便【考点】余弦定理和三角形形状的判定.4.在中，已知，则 .【答案】【解析】由得，由余弦定理，所以，即，在中，,那么.【考点】1.余弦定理；2.特殊角的三角函数值.5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量，，．(1)求角C的大小； (2)若，求角A的值．【答案】（1）；（2）【解析】解题思路：（1)利用平面向量的垂直的判定得出三角形的三边的关系式，在利用余弦定理求角；（2）利用三角形的三角关系进行消元，使其变为关于角A的式子，再恒等变形求角的正弦值，结合角的范围求角．规律总结：对于以平面向量为载体考查三角函数问题，要正确利用平面向量知识化为三角函数关系式，再利用三角函数的有关公式进行变形．注意点：利用三角函数值求角时，一定要结合角所在的范围求角．试题解析：(1) 由整理得即又又因为，所以(2) 因为，所以故由即，所以．即．因为故所以【考点】1．平面向量垂直的判定；2余弦定理；3．三角恒等变换．6.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.【答案】.【解析】由题意可画出如下示意图，假设经过小时处护卫舰靠近了货轮，则可得，，，∴在，由余弦定理可得：.【考点】余弦定理的运用.7.在△ABC中，，则A等于（）．A．60°B．120°C．30°D．150°【答案】B【解析】根据余弦定理:,根据,可得,所以在三角形中．【考点】余弦定理．8.已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是（）A．05B．15C．13D．14【答案】C【解析】新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角。

余弦定理公式一、引言余弦定理是解决三角形中的边长或角度关系问题的重要工具。

在数学和物理领域广泛应用，特别是在解决三角形的非直角问题以及相关定理的证明过程中。

本文将对余弦定理的定义、推导过程以及实际应用进行详细介绍。

二、余弦定理的定义余弦定理是三角学中的一个定理，用于计算三角形的边长、角度或判断三角形的形状。

余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b为三角形中的两边，c为斜边，C为斜边对应的角。

三、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程并不复杂。

首先，我们需要设想一个任意的三角形ABC，其中a、b为两条边，C是它们的夹角。

假设c是它们的斜边，我们需要找到c的表达式。

根据正余弦的定义，我们可以得到以下等式：cosA = Adjacent / HypotenusecosB = Opposite / Hypotenuse将这两个等式改写为：Hypotenuse = Adjacent / cosA （1）Hypotenuse = Opposite / cosB （2）我们可以将(1)和(2)两个等式相等：Adjacent / cosA = Opposite / cosB进一步改写为：cosB / cosA = Adjacent / Opposite根据三角公式sinA = 1 / cscA 和 sinB = 1 / cscB，可以将cosB / cosA转换为sinB / sinA：sinB / sinA = Adjacent / Opposite将A和B两个角度的角替换为C， sinA和sinB替换为a和b，可以得到余弦定理的表达式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC这就是余弦定理的最终表达式。

四、余弦定理的实际应用1. 计算三角形的边长：通过已知两边和它们夹角的大小，可以利用余弦定理计算第三边的长度。

这对于求解航海、测量不可达距离等问题非常有用。

余弦定理6个公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

用余弦定理求三角形面积是常见的数学问题，但是想要快速的算出三角形的面积，还需要牢记余弦定理求三角形的面积的公式。

余弦定理有三个公式，三角形ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：
在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。

则有：
正弦定理：a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R为三角形外接圆半径)
余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
余弦定理变形公式：cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

cos公式的其他资料：
它是周期函数，其最小正周期为2π。

在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

余弦定理正弦定理公式在几何学中，余弦定理和正弦定理是两个重要的公式。

它们在解决三角形和向量的问题时非常有用。

下面，我们来详细了解一下这两个公式。

一、余弦定理余弦定理是用来计算三角形边长和角度之间关系的公式。

具体来讲，它用于计算一个三角形的某个角度的余弦值。

用符号表示，余弦定理的表达式如下：c² = a² + b² - 2ab cos(C)其中，a、b和c是一个三角形的三条边的长度，C是它们之间的夹角，cos是余弦函数。

通过余弦定理，我们可以计算出一个三角形的缺失部分。

例如，当我们已知三角形的两条边和它们之间的夹角时，可以使用余弦定理来计算第三条边的长度。

同样地，如果我们已知三角形的三条边长度，可以使用余弦定理来计算出一个角度的大小。

二、正弦定理正弦定理也是用来计算三角形边长和角度之间关系的公式。

但它和余弦定理不同，它用于计算三角形内一个角的正弦值或计算三角形边长之间的比例关系。

具体来讲，正弦定理的表达式如下：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C)其中，a、b和c是一个三角形的三条边的长度，A、B和C是分别位于它们对应边的顶点处的角度。

正弦定理可以帮助我们计算三角形内角度或边长之间的比例关系。

例如，当我们已知一个角的大小和它对应的边长时，我们可以使用正弦定理来计算出另外两条边的长度。

同样地，如果我们已知三角形内三个角的大小，也可以使用正弦定理来计算出三条边的长度比例关系。

通过掌握余弦定理和正弦定理，我们可以在解决三角形和向量问题时更加得心应手。

同时，这两个公式也对我们理解和应用数学和物理学知识有着极大的指导意义。

正余弦定理及面积公式正余弦定理及面积公式一，,知识点回顾：正弦定理：R C cB bA a2sin sin sin ===余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===?三角形内角和π=++C B A)tan(tan )sin(sin )cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π二，基础训练：1,在?ABC 中，已知23=a ，62=+c ，45=∠B ，求b 及A ；2,在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形3,在?ABC 中,53cos ,135cos =-=B A ,（1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求?ABC 的面积4，设锐角?ABC 的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小（2）若b c a 求,5,33==5，在?ABC 中，已知54cos ,3,2-===A a b（1）求B sin 的值（2）求)62sin(π+B 的值6，在?ABC 中，53tan ,41tan ==B A（1）求C ∠的大小（2）若AB 的边长为17，求BC 边的长7，设?ABC 的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若3,3,1π=∠==c c a ，则A ∠ 的值8，设?ABC 的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+（1）求边长AB 的长（2）若?ABC 的面积为C sin 61，求角C9，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 5522cos ,4,2==∠=BC a π，求?ABC 的面积。

10，在?ABC 中，552cos ,10,45===∠C AC B （1）求BC 边的长（2）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长11，在?ABC 中，已知 30,4,334=∠==A b a ，则=B sin 12，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,已知,1,3,3===∠b a A π求c 的长度。

余弦定理及其公式的变形在咱们学习数学的这个奇妙旅程中，有一个非常重要的家伙，那就是余弦定理。

这玩意儿听起来可能有点高深莫测，但其实只要咱们稍微花点心思，就能把它拿下！先来说说啥是余弦定理。

假设有一个三角形，咱给它的三条边分别取名叫 a、b、c，对应的三个角分别是 A、B、C。

那么余弦定理就可以表示为：a² = b² + c² - 2bc·cosA ，b² = a² + c² - 2ac·cosB ，c² = a² + b² - 2ab·cosC 。

我记得有一次，我在公园里散步，看到几个小朋友在那用树枝在地上画三角形。

其中一个小朋友说：“咱们来比谁能算出这个三角形的边长。

”其他小朋友都一脸茫然。

这时候我就凑过去，跟他们说：“小朋友们，让叔叔来告诉你们一个神奇的方法。

”我就给他们讲起了余弦定理。

刚开始，他们也是听得云里雾里的。

我就拿他们画的那个三角形举例，告诉他们怎么通过已知的角和边来求出其他的边。

比如说，已知两条边和它们的夹角，就能用余弦定理算出第三条边啦。

我一点点地解释，还在地上不停地比划着。

慢慢地，小朋友们的眼睛开始亮了起来，好像有点明白了。

咱们再来说说余弦定理公式的变形。

通过移项和整理，可以得到cosA = （b² + c² - a²）/（2bc），cosB = （a² + c² - b²）/（2ac），cosC = （a² + b² - c²）/（2ab）。

这些变形公式用处可大啦！比如说在解决一些几何问题的时候，如果能灵活运用这些变形，那解题的速度就能大大提高。

想象一下，咱们在做一道数学题，题目给出了一个三角形的两条边和夹角，让咱们求第三条边。

这时候，如果咱们能迅速想到余弦定理，把数值代入公式，很快就能算出答案。

1．在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝23，面积S ＝3，AC ＝________.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则a 、b 的关系为________．3．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是________．4．在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 的形状是________．5．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 与90°的大小关系是______．6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A 、B 、C 的对边，C ＝2B ，求证：c 2－b 2＝ab .综合提高 (限时30分钟)7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________三角形．8．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．9．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小是________．10．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．11．在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255. (1)求边BC 的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．13．(创新拓展)已知向量m ＝(3sin 2x ＋t ，cos x )，n ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m ·n .(1)若cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝12，且m ⊥n ，求实数t 的值； (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝3，b ＝1，且△ABC 的面积为32，实数t ＝1，求边长a 的值．1．在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝23，面积S ＝3，AC ＝________.解析 ∵S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×23·BC ·sin 30° ＝32BC ＝ 3. ∴BC ＝2由余弦定理得： AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝ 12＋4－83×32＝2. 答案 22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则a 、b 的关系为________．解析 由余弦定理得2a 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°即b 2＋ab －a 2＝0∴b ＝－a ±5a 2，∴b >0 ∴b ＝5－12a <a ∴a 、b 的关系为a >b .答案 a >b3．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由已知得lg sin A cos B sin C ＝lg 2，∴sin A cos B sin C＝2， ∴sin A ＝2cos B sin C ；∴a ＝2·a 2＋c 2－b 22ac·c ， ∴a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴b 2＝c 2，即b ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形．答案 等腰三角形4．在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 的形状是________． 解析 ∵a cos A ＋b cos B ＝c cos C ， ∴a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab两边同乘以2abc ，得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)．整理得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，∴(a 2－b 2)2＝(c 2)2，∴(a 2－b 2＋c 2)(a 2－b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＋c 2＝0或a 2－b 2－c 2＝0，即a 2＋c 2＝b 2或b 2＋c 2＝a 2.答案 直角三角形5．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 与90°的大小关系是______．解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc ＞0，∴0°＜A ＜90°.答案 A ＜90°6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A 、B 、C 的对边，C ＝2B ，求证：c 2－b 2＝ab . 证明 ∵C ＝2B ，∴sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B .即c 2R ＝2·b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac， ∴ac 2＝a 2b ＋bc 2－b 3.∴(a －b )(ab ＋b 2－c 2)＝0，若a ＝b ，则A ＝B ，C ＝2B ，则△ABC 是等腰直角三角形．∴c ＝2b ，c 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2.∴c 2－b 2＝ab 成立．若ab ＋b 2－c 2＝0，即c 2－b 2＝ab .∴c 2－b 2＝ab .综合提高 (限时30分钟)7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________三角形． 解析 设直角三角形三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，增加长度x ＞0，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2＞0，∴c ＋x 所对的最大角为锐角．答案 锐角8．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，由三角形面积公式得S △ABC ＝12·2x ·sin B ＝x 1－cos 2B .由余弦定理，得cos B ＝4＋x 2－(2x )24x ＝4－x 24x， 所以S △ABC ＝x 1－(4－x 24x )2＝128－(x 2－12)216. 由三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x解得22－2<x <22＋2. 故当x ＝23时，三角形ABC 的面积取得最大值2 2.答案 2 29．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小是________．解析 由p ∥q 得，(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. ∴C ＝π3. 答案 π310．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．解析 锐角△ABC ，得cos C ＞0，∴a 2＋b 2－c 22ab＞0，∴c ＜5， 又c ＞b －a ＝1，c <b ＋a ＝3，∴1＜c ＜ 5.(错误解答)答案11．在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255. (1)求边BC 的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．解 (1)由cos C ＝255，得sin C ＝55. sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2，BD ＝12AB ＝1. 由余弦定理知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B ＝1＋18－2×1×32×22＝13. 12．在△ABC 中，求证：a b －b a ＝c (cos B b －cos A a)． 证明 将cos B ＝a 2＋c 2－b 22accos A ＝b 2＋c 2－a 22bc代入右边 得右边＝c (a 2＋c 2－b 22abc －b 2＋c 2－a 22abc) ＝2a 2－2b 22ab ＝a 2－b 2ab ＝a b －b a＝左边。

余弦定理练习题及答案1.已知三角形ABC的边长a=21，b=5，c=4，求角A的大小。

解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入数值计算可得cosA=-61/40，因为-1≤cosA≤1，所以三角形ABC不存在角A，即无解。

2.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求XXX的值。

解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入所求式计算可得答案为-11/2.3.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求边C的长度。

解析：根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入数值计算可得cosC=-1/2，因为0°≤C≤180°，所以C的大小为120°。

再根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，代入已知数据可得c=2√3.4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为多少？解析：设等腰三角形的底边长为x，则周长为5x，由等腰三角形的性质可知，其两个等角为(180°-顶角)/2，所以顶角的大小为2(180°-顶角)/2=180°-顶角。

根据余弦定理，cos顶角=[(5x/2)^2+x^2-(5x/2)^2]/(2x^2)=3/4.5.已知三角形ABC的边长a=1，b=7，角B=60°，求边C 的长度。

解析：根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，又因为A+B+C=180°，所以角A=180°-60°-arcs in(1/7)≈86.6°。

代入已知数据计算可得c≈7.5.6.已知三角形ABC的边长a=2，b=2，角A=45°，解此三角形。

解析：根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=0，即角B为直角。