余弦定理公式
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cosa公式余弦定理
余弦定理,又称三角形余弦定理,它是一个数学定理,描述的是一个三角形的内角与其对应的三边的关系,是推导三角函数的基础。
它可以被应用于几乎所有的数学形式,其中最有名的就是余弦定理。
余弦定理也称作Cosa公式,它是由意大利数学家维里诺波拉比
于公元前130年左右推导出来的,当时它就受到了普遍的认可,被称之为拉比的定理,后来,意大利数学家乔蒂何龙把它统称为余弦定理,而这个定理也因此而变得著名。
余弦定理定义为:“若一个三角形的两条边的长度分别为a和b,而它的夹角的余弦值为c,则有a2+b2=c2”。
从这里可以看出,对三
角形的边或夹角的余弦值进行计算,就能得到三角形的第三边的长度。
余弦定理在三角函数中起着重要的作用,它有助于求解三角形的夹角,也有助于实现三角形的基本构型,它的作用甚至还可以扩展到三角曲线的分析中,为三角函数的探索奠定了坚实的基础。
同时,余弦定理也是应用泰勒级数的关键,它可以用来很好地计算有限角或者有限区域的余弦值,也可以帮助我们求出函数的定积分,这在科学,工程等领域有着极大的实用价值。
此外,余弦定理也可以用于复数中,它可以用来解决复数的平面计算问题,或者计算几何图形的形状等。
比如说,在复平面上,复数的距离可以用余弦定理来计算出来,它也可以帮助我们在几何中求出一个椭圆的面积。
总而言之,《Cosa公式余弦定理》是一个极为重要的定理,它推
动了许多数学领域的深入探索,也给几何和数学发展加入了新的元素,对日常数学学习和科技应用都有着重要的意义。
余弦定理公式大全余弦定理是解决三角形问题时经常使用的重要公式,可以通过它计算三角形的边长或角度。
它的表达式是:c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中,a、b、c分别代表三角形的边长,C代表夹在边a和边b之间的角度。
1.角度公式:根据余弦定理公式,我们可以解出夹在边a和边b之间的角度C的值:cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab通过这个公式,如果我们已知三角形的三个边长a、b、c,就可以计算出夹在边a和边b之间的角度C的大小。
2.边长公式:根据余弦定理公式,我们可以解出边c的值:c = √(a² + b² - 2ab*cos(C))通过这个公式,如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C,就可以计算出边c的长度。
3.面积公式:根据余弦定理公式,我们可以推导出三角形的面积公式:S = 1/2 * a * b * sin(C)其中,S代表三角形的面积。
通过这个公式,如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C,就可以计算出三角形的面积。
4.费马定理公式:根据余弦定理公式,我们可以推导出费马点定理公式:AF² + BF² + CF² = 4S² / sqrt(3)其中,AF、BF、CF分别代表三角形的三个顶点到费马点的距离,S代表三角形的面积。
通过这个公式,如果我们已知三角形的面积S,就可以计算出费马点到三个顶点的距离。
总结:余弦定理提供了一种解决三角形问题的强大工具。
通过余弦定理公式,我们可以计算三角形的边长、角度和面积等相关参数。
这些公式的应用范围非常广泛,是解决三角形问题时的基础知识之一、掌握了余弦定理公式,我们就可以快速准确地解决三角形相关的数学问题。
当谈到三角函数的定理时,正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。
以下是它们的公式:
1. 正弦定理(Sine Rule):
对于任何三角形ABC,其三个角度分别为A、B、C,对应的边长为a、b、c,正弦定理给出了边长和角度之间的关系:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理(Cosine Rule):
对于任何三角形ABC,其三个角度分别为A、B、C,对应的边长为a、b、c,余弦定理给出了边长和角度之间的关系:
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。
通过应用正弦定理和余弦定理,可以计算未知边长或角度,以及解决各种涉及三角形的几何问题。
三角形的余弦定理三角形的余弦定理是解决三角形问题中一个重要的数学定理,它能够帮助我们计算三角形的边长和角度。
余弦定理是利用三角形中的余弦函数来表示三角形的边长之间的关系。
在本文中,我们将详细介绍余弦定理的原理和应用,并通过实例来加深理解。
1、余弦定理的原理三角形的余弦定理可以用如下公式来表示:c² = a² + b² - 2abcosC其中,a、b、c分别表示三角形任意两边和角C所对应的边。
该定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。
2、余弦定理的应用(1)已知三角形两边和夹角,求第三边。
假设已知三角形两边分别为a和b,夹角为C,我们通过余弦定理可以很容易地求得第三边c的长度,即:c = √(a² + b² - 2abcosC)。
例如,已知三角形两边分别为5cm和7cm,夹角为60°,我们可以通过余弦定理计算出第三边的长度c = √(5² + 7² - 2×5×7×cos60°) ≈8.86cm。
(2)已知三角形三边,求夹角。
假设已知三角形三边分别为a、b和c,我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小,即:cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)。
例如,已知三角形三边分别为3cm、4cm和5cm,我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小:cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4) = 0.25,那么夹角C ≈ acos0.25 ≈ 75.52°。
3、余弦定理的实例例题一:已知三角形两边分别为6cm和8cm,夹角为45°,求第三边的长度。
解题过程:根据余弦定理,可知第三边c = √(6² + 8² - 2×6×8×cos45°) ≈ √(36 +64 - 2×6×8×0.7071) ≈ √3 ≈ 9.58cm。
解三角形余弦定理公式
三角形余弦定理又称为余弦定理,它是一种有用的几何定理,可以用来解决三角形的问题。
它指出,在一个三角形中,如果知道两个角的余弦值和一条边的长度,就可以求出另外两条边的长度。
三角形余弦定理的公式如下:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
在公式中,a、b、c 分别代表三角形的三条边,而A、B、C则代表三角形的三个内角。
下面,我们来看一个实例:已知三角形ABC的三条边长分别为a=6,b=7,c=5,其中A的余弦值为0.4。
根据上面的三角形余弦定理,我们可以求出B的余弦值:
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
= 62 + 52 - 2 * 6 * 5 * 0.4
= 61.6
∴ cosB = 0.8
因此,三角形ABC的B的余弦值为0.8。
从上面的实例可以看出,三角形余弦定理可以有效解决三角形的问题。
它不仅能够帮助我们求出三角形的边长,还可以帮助我们求出三角形的内角余弦值。
此外,它也可以用于判断一个三角形是否为直角三角形或者是否为等腰三角形。
三角形余弦定理是一种有用的几何定理,它可以有效帮助我们解决三角形的问题。
因此,在学习几何学的时候,我们应该加强对三角形余弦定理的认识,以便能够更好地解决三角形的问题。
cos余弦定理公式cosb在三角形中,我们经常需要求解三角形的各个角度和边长,其中一个重要的定理就是cos余弦定理。
这个定理可以帮助我们求解三角形中的任意一个角度或边长,而其中的cosb公式则是其中的一种形式。
cos余弦定理的表述如下:在任意三角形ABC中,设三边分别为a、b、c,对应的角度为A、B、C,则有:cos A = (b² + c² - a²) / 2bccos B = (a² + c² - b²) / 2accos C = (a² + b² - c²) / 2ab其中,cosb公式就是cos B = (a² + c² - b²) / 2ac。
这个公式可以帮助我们求解三角形中的角B,只需要知道三边的长度即可。
举个例子,如果我们知道三角形ABC的三边分别为5、6、7,那么我们可以使用cosb公式来求解角B的大小。
根据公式,我们可以得到:cos B = (5² + 7² - 6²) / 2 x 5 x 7cos B = 0.714然后,我们可以使用反余弦函数来求解角B的大小,即:B = cos⁻¹(0.714)B = 45.57°因此,我们可以得出结论,当三角形ABC的三边分别为5、6、7时,角B的大小为45.57°。
除了cosb公式之外,cos余弦定理还有其他的形式,可以根据具体的问题来选择使用哪种形式。
无论是哪种形式,cos余弦定理都是求解三角形问题中非常重要的定理之一,可以帮助我们更加方便地求解各种三角形问题。
三角形正余弦定理公式a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理的公式如下:c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCb^2 = a^2 + c^2 - 2accosBa^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA接下来,我们将推导上述公式。
首先,我们以正弦定理开始推导:根据正弦定理,我们知道a/sinA = b/sinB。
假设我们知道其中两个比值,我们可以通过比较这两个比值来推导出第三个比值。
将两个比值相等的两个方程进行等式转换:a/sinA = b/sinBb/sinB = c/sinC将第一个方程两边乘以sinB,第二个方程两边乘以sinA,可以得到:a*sinB = b*sinA将这两个等式相等的两个比值相减,可得到:a*sinB - b*sinA = 0我们可以得到:b*sinA = a*sinB这意味着边长a与角度A的正弦值相等于边长b与角度B的正弦值。
由此得到了正弦定理。
现在,让我们来推导余弦定理:在三角形ABC中,我们可以通过向量的内积来得到余弦值。
令向量AB为a,向量AC为b。
根据三角形余弦定理,我们有:c^2=,a-b,^2=(a-b)•(a-b)(这里的^2表示平方,,表示向量的模,•表示向量的内积)=a•a-a•b-b•a+b•b=,a,^2-2(a•b)+,b,^2将向量的长度记为边长,即a=,a,b=,b,得到:c^2=a^2-2(a•b)+b^2利用三角形余弦定理的定义,我们可以得到:a •b = ,a, * ,b, * cosC将其代入上式,可以得到:c^2 = a^2 - 2(,a, * ,b, * cosC) + b^2这样我们就得到了三角形余弦定理。
通过以上推导,我们得到了三角形正弦定理和余弦定理的公式。
在实际应用中,我们可以根据具体问题来选择合适的定理进行计算。
下面将通过一些解题示例来说明如何应用这些公式。
【解题示例】①已知一个三角形的两边分别为3和4,夹角为60度,求第三边的长度。
余弦定理及其变形公式
嘿,朋友们!今天咱来聊聊超厉害的余弦定理及其变形公式哟!
余弦定理就是:$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$,就好比你要去一个地方,$a$是你走的路程,$b$和$c$是两条不同的路,而$\cos A$就是它们之间的关系呀!比如说,在一个三角形里,已知两边长度是 3 和 4,夹角是60 度,那就能用这个公式算出第三边的长度啦!
还有变形公式呢,比如$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,这就像你找到了一个神奇的密码,能通过已知条件算出角度哟!好比你知道了三边的长度,就能通过这个公式算出角的大小啦!嘿,你说神奇不神奇!
咱再举个例子,想象一下,在一个神秘的三角形世界里,你要找到一个特定角的大小,这时候这些公式不就像你的秘密武器一样么!哇塞,学会了这些,就像是掌握了打开三角形宝藏大门的钥匙呀!是不是超级有趣呀!赶紧去试试吧!。
余弦定理变形公式余弦定理是三角形中的重要定理之一,可用于求解三角形的边长和角度。
在求解问题时,我们经常需要将余弦定理进行变形,以便更方便地利用该定理解决问题。
余弦定理的一般形式为:c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中,a、b、c为三角形的边长,C为夹在边a和边b之间的角。
将其作为变形的基础,我们可以推导出一些常用的余弦定理的变形公式。
1.求解角度公式由余弦定理可知:cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)通过对该公式进行反余弦函数的运算,可以求得角度C的值:C = arccos((a² + b² - c²) / (2ab))类似地,还可以得到求解其他角度的公式:A = arccos((b² + c² - a²) / (2bc))B = arccos((a² + c² - b²) / (2ac))这些公式使我们能够通过三角形的边长来求解其对应的角度,从而进一步分析和计算问题。
2.求解边长公式余弦定理也可用于求解三角形的边长。
如果我们已知三角形的两条边和夹角,我们可以利用余弦定理将求解边长的问题转化为求解方程的问题。
例如,假设我们已知边a、边b和夹角C,我们可以将余弦定理的公式重组为:c² = a² + b² - 2ab*cos(C)从而求解边c的值。
同样地,也可以通过变换公式求解其他边的长度:b² = a² + c² - 2ac*cos(B)a² = b² + c² - 2bc*cos(A)这些公式为我们在已知夹角和至少两条边长的情况下,求解另一边长提供了便利。
3.应用于求解直角三角形余弦定理的典型应用是在直角三角形中。
由于直角三角形的一个角度为90度,其对应边的长度可以直接得到,从而使得利用余弦定理简化为通过两个未知量的方程求解一个未知量的问题。
余弦定理公式6个余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要工具。
它可以帮助我们计算未知的边长或角度,从而更好地理解和分析三角形。
1. 第一个余弦定理公式是用于计算三角形边长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c,而对应的内角为A、B和C,则余弦定理可以表达为:c = a + b - 2abcos(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知边长,只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
2. 第二个余弦定理公式是用于计算三角形内角的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c,而对应的内角为A、B和C,则余弦定理可以表达为:cos(C) = (a + b - c) / 2ab。
这个公式可以帮助我们计算未知角度,只需要已知三个边长即可。
3. 第三个余弦定理公式是用于计算三角形面积的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c,而对应的内角为A、B和C,则余弦定理可以表达为:Area = 0.5 * ab * sin(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知面积,只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
4. 第四个余弦定理公式是用于判断三角形形状的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c,则余弦定理可以表达为:c < a + b,如果等号成立,则表示三角形是直角三角形;如果等号不成立,则表示三角形是锐角三角形;如果等号反向成立,则表示三角形是钝角三角形。
5. 第五个余弦定理公式是用于计算三角形的高度的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c,而对应的内角为A、B和C,则余弦定理可以表达为:h = b * sin(A),其中h表示三角形的高度。
这个公式可以帮助我们计算未知高度,只需要已知一个边长和它对应的角度即可。
6. 第六个余弦定理公式是用于计算三角形的周长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c,则余弦定理可以表达为:Perimeter = a + b + c。
这个公式可以帮助我们计算未知周长,只需要已知三个边长即可。
综上所述,余弦定理提供了多种公式和方法来解决三角形中的边长和角度之间的关系。
余弦定理三个公式好的,以下是为您生成的关于“余弦定理三个公式”的文章:咱今儿就来好好唠唠余弦定理的三个公式。
说起余弦定理,那可是解决三角形问题的一把好手。
它就像一把神奇的钥匙,能帮咱们打开很多三角形谜题的大门。
这三个公式分别是:对于三角形的三条边 a、b、c 和它们对应的角A、B、C,有 a² = b² + c² - 2bc·cosA,b² = a² + c² - 2ac·cosB,c² = a² + b²- 2ab·cosC。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候,有个小同学瞪着大眼睛一脸迷茫地问我:“老师,这公式咋来的呀,感觉好复杂。
”我笑着跟他说:“别着急,咱们来做个小游戏。
”我让几个同学分别站成三角形的三个顶点,然后让他们用绳子量出相邻两人之间的距离,也就是三角形的三条边。
接着,我让他们用量角器测量出其中一个角的大小。
然后,我们就根据这些测量的数据,代入余弦定理的公式中去计算。
这一计算,嘿,还真就对上了!那个小同学眼睛一下子亮了起来,兴奋地说:“老师,原来这么神奇!”咱们再深入聊聊这三个公式的用处。
比如说,已知两边和它们的夹角,就能求出第三边。
这在实际生活中可有大用处呢!就像工程师要建一座桥,需要知道桥梁支撑结构中三角形部件的边长,这时候余弦定理就能派上用场啦。
再比如说,知道三条边的长度,咱们就能求出三角形的三个角。
这在航海、地理测量中可少不了。
想象一下航海员在茫茫大海上,通过测量几个位置之间的距离,就能确定自己的位置和航向,这里面可就有余弦定理的功劳。
还有啊,在解决一些几何证明题的时候,余弦定理也能让咱们的思路豁然开朗。
总之,余弦定理这三个公式虽然看起来有点复杂,但只要咱们多练习、多应用,就能发现它们的妙处。
就像咱们学骑自行车,一开始可能觉得摇摇晃晃掌握不好平衡,但多骑几次,就能轻松驾驭,自由自在地穿梭啦!希望同学们都能跟余弦定理成为好朋友,让它帮助咱们解决更多的数学难题,探索更多的数学奥秘!。
余玄定理的公式余玄定理介绍及相关公式1. 什么是余玄定理?余玄定理,又称正弦余弦定理,是三角学中常用的定理之一。
它用于求解三角形的边长和角度,可以帮助我们解决一些实际问题。
2. 余玄定理公式余玄定理可以分为两个公式,分别是:余弦定理余弦定理用于求解三角形的边长。
对于一个三角形ABC,边长分别为a、b、c,夹角分别为A、B、C,那么根据余弦定理,我们可以得到如下公式:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中,c为三角形的边长,a和b为其他两边的边长,C为这两边之间的夹角。
正弦定理正弦定理用于求解三角形的角度。
同样对于一个三角形ABC,边长分别为a、b、c,那么根据正弦定理,我们可以得到如下公式:sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c其中,A、B、C为三角形的角度,a、b、c为对应的边长。
3. 余玄定理的应用举例余玄定理在实际问题中的应用非常广泛,在以下几个方面能够看到它的影子:通过两个边和一个夹角求解第三边假设一个三角形的两边长分别为3cm和4cm,夹角为60°,我们可以使用余弦定理来求解第三边的长度。
根据余弦定理:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)将a、b、C代入公式,我们可以得到:c^2 = 3^2 + 4^2 - 2*3*4*cos(60°)计算得到c^2 ≈ ,再开根号即可得到c≈。
因此,这个三角形的第三边长约为。
通过三个边求解角度假设一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm,我们可以使用正弦定理来求解三个角的大小。
根据正弦定理:sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c代入a、b、c的值,我们可以得到:sin(A)/3 = sin(B)/4 = sin(C)/5解方程可以得到三个角度分别为A≈°,B≈°,C≈90°。
结论余玄定理是解决三角形相关问题的重要工具之一。
余弦定理定义及公式余弦定理,是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
a²=b²+c²-2bccosA余弦定理证明如上图所示,△ABC,在c上做高,根据射影定理,可得到:将等式同乘以c得到:运用同样的方式可以得到:将两式相加:向量证明正弦定理和余弦定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(1)已知三角形的两角与一边,解三角形(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形(3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值正弦定理的变形1、2、(条件同上)在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径。
已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题3、相关结论:正弦定理的证明显然,只需证明任意三角形内,任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c = 2R。
若∠C为锐角或钝角,过B作直径BD交⊙O于D,连接DA,显然BD=2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。
∴∠DAB是直角。
若∠C为锐角,则D与C落于AB的同侧,此时∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
余弦定理一般公式余弦定理是解决三角形相关问题常用的定理之一,它可以帮助我们求解三角形的边长或角度。
下面我们来介绍一下余弦定理的一般公式。
假设有一个三角形ABC,三个顶点分别为A、B、C,对应的边长分别为a、b、c。
我们可以通过余弦定理来求解这个三角形的各个边长或角度。
余弦定理的一般公式如下:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)其中,c表示边长c,a表示边长a,b表示边长b,C表示夹角C (夹角C是边c与边a、边b的夹角)。
根据余弦定理的一般公式,我们可以利用已知的边长或角度来求解未知的边长或角度。
下面我们通过几个例子来说明如何应用余弦定理。
例题1:已知三角形的两边长分别为a=5,b=7,夹角C=60°,求第三边c的长度。
根据余弦定理的一般公式,我们可以得到:c^2 = 5^2 + 7^2 - 2*5*7*cos(60°)c^2 = 25 + 49 - 70*cos(60°)c^2 = 74 - 70*0.5c^2 = 74 - 35c^2 = 39因此,第三边c的长度为c = √39 ≈ 6.24。
例题2:已知三角形的一边长为a=8,夹角C=45°,另一边长b=10,求第三边c的长度。
使用余弦定理的一般公式,我们可以得到:c^2 = 8^2 + 10^2 - 2*8*10*cos(45°)c^2 = 64 + 100 - 160*cos(45°)c^2 = 164 - 160*0.7071c^2 = 164 - 113.1376c^2 = 50.8624因此,第三边c的长度为c = √50.8624 ≈ 7.13。
通过以上两个例子,我们可以看到余弦定理的一般公式在解决三角形相关问题时非常有用。
我们只需要知道三角形的两个边长和夹角,就可以求解第三边的长度。
当然,如果已知三个边长,我们也可以通过余弦定理来求解夹角。
总结一下,余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具之一。
正弦定理和余弦定理公式设任意三角形△ABC,角A、B、C的对边分别记作a、b、c,则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等。
一、正弦定理公式a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。
【注1】其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。
下同。
【注2】正弦定理适用于所有三角形。
初中数学中,三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。
二、正弦定理推论公式1、(1)a=2RsinA;(2)b=2RsinB;(3)c=2RsinC。
2、(1)a:b=sinA:sinB;(2)a:c=sinA:sinC;(3)b:c=sinB:sinC;(4)a:b:c=sinA:sinB:sinC。
【注】多用于“边”、“角”间的互化。
三角板的边角关系也满足正、余弦定理3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得:(1)(a+b)/(sinA+sinB)=2R;(2)(a+c)/(sinA+sinC)=2R;(3)(b+c)/(sinB+sinC)=2R;(4)(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。
4、三角形ABC中,常用到的几个等价不等式。
(1)“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”,三者间两两等价。
(2)“a+b>c”等价于“sinA+sinB>sinC”。
(3)“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。
(4)“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。
5、三角形△ABC的面积S=(abc)/4R。
其中“R”为三角形△ABC的外接圆半径。
部分三角函数公式余弦定理公式及其推论余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
一、余弦定理公式(1)a^2=b^2+c^2-2bccosA;(2)b^2=a^2+c^2-2accosB;(3)c^2=a^2+b^2-2abcosC。
余弦定理编辑
余弦定理,是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广模式。
余玄定理
表达式
cos A=(b²+c²-a²)/2bc[1]
欧几里得
余弦定理是解三角形中的一个重要定理,可应用于以下两种需求:
当已知三角形的两边及其夹角,可由余弦定理得出已知角的对边。
当已知三角形的三边,能够由余弦定理得到三角形的三个内角。
求边
余弦定理公式可变换为以下形式所以,如果知道了三角形的两边及其夹角,可由余弦定理得出已知角的对边。
求角
余弦定理公式可变换为以下形式所以,如果已知三角形的三条边,能够由余弦定理得到三角形的三个内角。
证明编辑
三角函数证明
如上图所示,△ABC,在c上做高,根据射影定理,可得到:
将等式同乘以c得到:
使用同样的方式能够得到:
将两式相加:
向量证明
中,
,
,
:。
三角形正玄余玄正切定理公式
三角形的正弦、余弦和正切定理公式如下:
1. 正弦定理:在任意三角形ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R,直径为D。
则有:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=D(r为外接圆半径,D为直径)。
2. 余弦定理:对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形则有:
a²=b²+c²-2bc·cosA;
b²=a²+c²-2ac·cosB;
c²=a²+b²-2ab·cosC。
也可表示为:
cosC=(a²+b²-c²)/2ab;
cosB=(a²+c²-b²)/2ac;
cosA=(c²+b²-a²)/2bc。
3. 正切定理:在三角形中,任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商,等于这两条边对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。
对于边长为a,b和c而相应角为A,B
和C的三角形,有:
(a-b)/(a+b)=[tan(A-B)/2]/[tan(A+B)/2];
(b-c)/(b+c)=[tan(B-C)/2]/[tan(B+C)/2];
(c-a)/(c+a)=[tan(C-A)/2]/[tan(C+A)/2]。
以上信息仅供参考,如果您还有疑问,建议咨询数学领域专业人士或查阅数学书籍。
4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形一、明确复习目标掌握正弦、余弦定理,能初步运用它们解斜三角形。
二.建构知识网络1.三角形基本公式:(1)内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + (2)面积公式:S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)(3)射影定理:a = b cos C + c cos B ;b = a cos C + c cos A ;c = a cos B + b cos A2.正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===外 证明:由三角形面积111s i n s i n s i n 222S a b C b c A a c B=== 得sin sin sin a b cA B C== 画出三角形的外接圆及直径易得:2sin sin sin a b c R A B C=== 3.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc+-=;证明:如图ΔABC 中,s i n ,c o s ,C H b A AH b A B Hc b===-2222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时,类似可证。
B正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形,结合三角公式,能解有关三角形中的问题. 4.利用正弦定理,可以解决以下两类问题:(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角;有三种情况: bsinA<a<b 时有两解;a=bsinA 或a=b 时有 解;a<bsinA 时无解。
5.利用余弦定理,可以解决以下两类问题:(1)已知三边,求三角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角。
6.熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化,能在应用题中抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法;提高运用所学知识解决实际问题的能力三、双基题目练练手1.(2006山东)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知,13A a b π===,则c = ( )A.1B.212.在△ABC 中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC 上的高为( )A.223 B.233 C.23 D.333.(2002年上海)在△ABC 中,若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm )的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为 ( )A. 2B. 2mC. 2D. 220cm5.(2006全国Ⅱ)已知ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC 上的中线AD 的长为_________.6.(2006春上海)在△ABC 中,已知5,8==AC BC ,三角形面积为12,则=C 2cos .◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ,∴a =b .4.组成边长6,7,7时面积最大;5.257 四、经典例题做一做【例1】(2006天津)如图,在ABC ∆中,2AC =,1BC =,43cos =C . (1)求AB 的值; (2)求()C A +2sin 的值. 解(Ⅰ): 由余弦定理,2222..cos AB AC BC AC BC C=+-341221 2.4=+-⨯⨯⨯=∴AB =(Ⅱ)解:由3cos 4C =,且0,C π<<得sin 4C ==由正弦定理:,sin sin AB BCC A=解得sin sin 8BC C A AB ==。
所以,cos 8A =。
由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =⋅=,()sin 2sin 2cos cos 2sin 8A C A C A C +=+=. ◆提炼方法:已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.【例2】在ΔABC 中,已知a=3,b=2,B=45°,求A,C 及边c .解:由正弦定理得:sinA=23245sin 3sin =⋅= b B a ,因为B=45°<90°且b<a, 所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c=22645sin 75sin 2sin sin +=⋅=B Cb ,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °,c=22645sin 15sin 2sin sin -=⋅=B Cb ◆提炼方法:已知两边和其中一边的对角解三角形问题,用正弦定理求解,必需注意解的情况的讨论.【例3】(2006上海)如图,当甲船位于A 处时获悉,在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援(角度精确到1︒)?[解] 连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102-2×20×10COS120°=700于是∵710120sin 20sin ︒=ACB , ∴sin ∠ACB=73, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题,在问题中构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法;【例4】已知⊙O 的半径为R ,,在它的内接三角形ABC 中,有 ()()B b aC A R s i n 2s i n s i n 222-=-成立,求△ABC 面积S 的最大值.解:由已知条件得 ()()()b a B R B A R -=-2s i n 2s i n s i n 2222.即有 2222b ab c a -=-,又 222cos 222=-+=ab c b a C ∴ 4π=c .34A B π+=∴ B A R ab C ab S sin sin 44242sin 212⋅===22223s i n s i n()4sin)22(sin21cos2)2)1]24A AA A ARA ARAππ=-=+=+-=-+当32,()428A A Bπππ-===即时, 2max212RS+=.◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段.一般有两种思路:一是边化角;二是角化边。
2.三角形中的三角变换,应灵活运用正、余弦定理.在求值时,要利用三角函数的有关性质.【研讨.欣赏】(2006江西)如图,已知△ABC是边长为1的正三角形, M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G.设2()33MGAππαα∠=≤≤.(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为1S与2S)表示为α的函数;(2)求221211yS S=+的最大值与最小值.解:(1)因为G为边长为1的正三角形ABC的中心,所以2.3236AG MAGπ=⨯=∠=由正弦定理,sin sin()66GM GAπππα=--6sin()6GMα=+得11s i ns i n ().2)12s i n ()6S G M G A ααπα=⋅⋅=+则或,sinsin()6sin()666GN GA GN ππαα==--又得21s i n s i n ()).2t)12s i n (6S G N G A απαπα=⋅⋅-==-则或 2222221211144(2)sin ()sin ()72(3cot ).sin 66y S S ππαααα⎡⎤=+=++-=+⎢⎥⎣⎦ 因为233ππα≤≤,所以当233ππαα==或时,y 的最大值max 240y =; 当2πα=时, y 的最小值min 216y =.五.提炼总结以为师1.掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理; 2.利用正弦定理,可以解决以下两类问题:(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);3.利用余弦定理,可以解决以下两类问题:(1) 已知三边,求三角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角。
4.边角互化是解三角形的重要手段.同步练习4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形【选择题】1.(2004浙江)在△ABC 中,“A >30°”是“sin A >21”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2004全国Ⅳ)△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,如果a 、b 、c成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为23,那么b 等于 ( ) A.231+B.1+3C.232+ D.2+3 3..下列条件中,△ABC 是锐角三角形的是 ( )A.sin A +cos A =51 B.AB ·BC >0 C.tan A +tan B +tan C >0D.b =3,c =33,B =30°4.(2006全国Ⅰ)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B = ( )A .14 B. 34 C. 4 D. 3【填空题】5.(2004春上海)在ABC ∆中,c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。
若 105=∠A , 45=∠B ,22=b , 则=c __________6.在锐角△ABC 中,边长a =1,b =2,则边长c 的取值范围是_______.练习简答:1-4.BBCB; 1.在△ABC 中,A >30°⇒0<sin A <1sin A >21;sin A>21⇒30°<A <150°⇒A >30°答案:B 2. 2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2-2ac .由S=21ac sin30°=41ac =23,得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2-12.得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23,解得b =1+3.答案:B3.由tan A +tan B +tan C=tan A tan B tan C >0,A 、B 、C 都为锐角.答案:C5.2;6.若c 最大,由cos C >0.得c <5.又c >b -a =1,∴1<c <5.【解答题】7.(2004春北京)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长,已知a 、b 、c 成等比数列,且a 2-c 2=ac -bc ,求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析:因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系,要求∠A ,需找∠A 与三边的关系,故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ,再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一:∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac .又a 2-c 2=ac -bc ,∴b 2+c 2-a 2=bc . 在△ABC 中,由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21,∴∠A =60°.在△ABC 中,由正弦定理得sin B =aAb sin ,∵b 2=ac ,∠A =60°,∴ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二:在△ABC 中,由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ,∠A =60°,∴bc sin A =b 2sin B . ∴cBb sin =sin A =23.评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理.8.(2005春北京)在△ABC 中,sin A +cos A =22,AC =2,AB =3,求tan A 的值和△ABC 的面积.解法一:∵sin A +cos A =2cos (A -45°)=22, ∴cos (A -45°)=21. 又0°<A <180°,∴A -45°=60°,A =105°. ∴tan A =tan (45°+60°)=3131-+=-2-3.∴sin A =sin105°=sin (45°+60°) =sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21·2·3·462+=43(2+6). 解法二:∵sin A +cos A =22,①∴(sin A +cos A )2=21.∴2sin A cos A =-21. ∵0°<A <180°,∴sin A >0,cos A <0. ∴90°<A <180°. ∵(sin A -cos A )2=1-2sin A cos A =23, ∴sin A -cos A =26.②①+②得sin A =462+. ①-②得cos A =462-. ∴tan A =A Acos sin =462+·624-=-2-3.(以下同解法一)9. (2004全国Ⅱ)已知锐角△ABC 中,sin (A +B )=53,sin (A -B )=51. (1)求证:tan A =2tan B ;(2)设AB =3,求AB 边上的高.剖析:有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2).(1)证明:∵sin (A +B )=53,sin (A -B )=51, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B AB A B A B A t a n t a n 51s i n c o s 52c o s s i n ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2.∴tan A =2tan B .(2)解:2π<A +B <π,∴sin (A +B ) ∴tan (A +B )=-43, 即B A B A tan tan 1tan tan -+=-43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B -4tan B -1=0,解得tan B =262±(负值舍去).得tan B =262+,∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ,则AB =AD +DB =A CD tan +B CD tan =623+CD .由AB =3得CD =2+6,所以AB 边上的高为2+6.评述:本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.10. 在△ABC 中,sin A =CB C B cos cos sin sin ++,判断这个三角形的形状. 分析:判断一个三角形的形状,可由三个内角的关系确定,亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题,就必须“化角为边”. 解:应用正弦定理、余弦定理,可得a =abc b a ca b a c c b 22222222-++-++,所以 22222222c a b a b c b c c b+-+-+=+, 化简得a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述:恒等变形是学好数学的基本功,变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件推出cos A =0.【探索题】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,y =cot A +)(C B A A -+cos cos sin 2. (1)若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y 的最小值.解:(1)∵y =cot A +[][])()()(C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2 =cot A +)()()(C B C B C B -++-+cos cos sin 2 =cot A +C B C B C B sin sin sin cos cos sin +=cot A +cot B +cot C ,∴任意交换两个角的位置,y 的值不变化.(2)∵cos (B -C )≤1,∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A -+2tan 2A =21(cot 2A +3tan 2A )≥2c o t 2t a n 3A A ⋅=3. 故当A =B =C =3π时,y min =3. 评述:本题的第(1)问是一道结论开放型题,y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题:在△ABC 中,求证:cot A +cot B +cot C ≥3. 可由三数的均值不等式结合cot A +cot B +cot C =cot A cot B cot C 来证.。