空间向量及其运算测试(人教A版)(含答案)

2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是(）A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小解析：由向量概念可知只有D正确．答案:D2．下列说法中正确的是()A．若｜a｜＝｜b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量,则｜a｜＝|b｜C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中,一定有错误!＋错误!＝错误!解析：｜a|＝｜b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，所以A错；相反向量方向相反，模相等,则B正确；C显然不对；四边形ABCD若为平行四边形则满足此式错误!＋错误!＝错误!，有的不规则四边形ABCD不满足此式,D错．答案:B3．已知空间向量错误!、错误!、错误!、错误!，则下列结论正确的是(）A.错误!＝错误!＋错误!B.错误!－错误!＋错误!＝错误!C.错误!＝错误!＋错误!＋错误! D。

错误!＝错误!－错误!解析:错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案：B4．已知正方形ABCD的边长为1,设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则|a＋b＋c|等于(）A．0 B．3 C．2＋错误!D．2错误!解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a ＋b＋c|＝2|错误!|＝2错误!.答案:D5。

如图，在长方体ABCD。

A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量错误!的是()①（错误!－错误!)－错误!；②(错误!＋错误!)－错误!；③(错误!－错误!)－错误!；④(错误!－错误!)＋错误!.A．①②B．②③C．③④D．①④答案:A二、填空题6．把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________．解析:在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心，半径为1的球面．答案：球面7．在长方体ABCD-A1B1C1D中,错误!＋错误!＋错误!与向量错误!之间的关系是________．解析:因为错误!＝错误!＋错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝2错误!。

空间向量的坐标运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示3.若向量，，则向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示4.已知向量，，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量10.已知点，点和点，则三角形的边上的中线长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量模的运算。

高中数学人教A 版（2019）选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习一、单选题(共8题；共16分)1．（2分）空间直角坐标系中，已知 A(1,−2,3) ， B(3,2,−5) ，则线段 AB 的中点为（ ）A ．(−1,−2,4)B ．(−2,0,1)C ．(2,0,−2)D ．(2,0,−1)2．（2分）已知 a ⃗ =(1,1,0),b ⃗ =(0,1,1),c ⃗ =(1,0,1) ， p ⃗ =a ⃗ −b ⃗ ,q ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ ，则 p⃗ ⋅q ⃗ = （ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．-23．（2分）已知向量 a ⃗ =(3,5,−1) ， b ⃗ =(2,2,3) ， c ⃗ =(1,−1,2) ，则向量 a ⃗ −b ⃗ +4c ⃗ 的坐标为（ ）.A ．(5,−1,4)B ．(5,1,−4)C ．(−5,1,4)D ．(−5,−1,4)4．（2分）已知向量 a ⃗ =（1，1，0），则与 a⃗ 共线的单位向量 e ⃗ =（ ） A ．(√22,−√22,0)B ．(0, 1， 0)C ．(√22,√22,0)D ．(1, 1， 1)5．（2分）在空间直角坐标系中，向量 a ⃗ =(2,−3,5) ， b ⃗ =(−2,4,5) ，则向量 a ⃗ +b⃗ = （ ） A ．(0,1,10) B ．(−4,7,0) C ．(4,−7,0)D ．(−4,−12,25)6．（2分）已知向量 a ⃗ =(2,3,1) ， b ⃗ =(1,2,0) ，则 |a +b⃗ | 等于（ ） A ．√3 B ．3 C ．√35D ．97．（2分）已如向量 a ⃗ =(1，1，0) ， b ⃗ =(−1，0，1) ，且 ka +b⃗ 与 a ⃗ 互相垂直，则 k = （ ）． A ．13B ．12C ．−13D ．−128．（2分）已知空间向量 m ⃗⃗⃗ =(3,1,3) ， n ⃗ =(−1,λ,−1) ，且 m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则实数 λ= （ ） A ．−13B ．-3C ．13D ．6二、多选题(共4题；共12分)9．（3分）以下命题正确的是（ ）A ．若 p → 是平面 α 的一个法向量，直线 b 上有不同的两点 A ，B ，则 b//α 的充要条件是 p →⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0B ．已知 A ， B ，C 三点不共线，对于空间任意一点 O ，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +25OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 P ， A ， B ， C 四点共面C ．已知 a →=(−1,1,2) ， b →=(0,2,3) ，若 ka →+b →与 2a →−b →垂直，则 k =−34D ．已知 △ABC 的顶点坐标分别为 A(−1,1,2) ， B(4,1,4) ， C(3,−2,2) ，则 AC 边上的高 BD 的长为 √1310．（3分）下列四个结论正确的是（ ）A ．任意向量 a ⃗ ， b →，若 a ⃗ ⋅b ⃗ =0 ，则 a →=0→或 b →=0→或 〈a →,b →〉=π2 B ．若空间中点 O ， A ， B ， C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 A ， B ， C 三点共线C ．空间中任意向量 a →,b →,c →都满足 (a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)D ．已知向量 a →=(1,1,x) ， b →=(−2,x,4) ，若 x <25，则 〈a →,b →〉 为钝角 11．（3分）如图，在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =5 ， AD =4 ， AA 1=3 ，以直线 DA ，DC ， DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则（ ）A ．点B 1 的坐标为 (5,4,3)B ．点C 1 关于点 B 对称的点为 (8,5,−3)C ．点 A 关于直线 BD 1 对称的点为 (0,5,3) D ．点 C 关于平面 ABB 1A 1 对称的点为 (8,−5,0)12．（3分）已知向量 a⃗ =(1,1,0) ，则与 a ⃗ 共线的单位向量 e ⃗ = （ ） A ．(−√22,−√22,0)B ．(0,1,0)C ．(√22,√22,0) D ．(−1,−1,0)三、填空题(共4题；共5分)13．（1分）已知向量 a⃗ =(1,2,3) ， b ⃗ =(x,x 2+y −2,y) ，并且 a ⃗ ， b ⃗ 同向，则 x ， y 的值分别为 ．14．（1分）若向量 a ⃗ = （1，λ，2）， b ⃗ = （﹣2，1，1）， a⃗ ， b ⃗ 夹角的余弦值为 16，则λ= . 15．（2分）已知 a ⃗ =(3，2λ−1，1) ， b ⃗ =(μ+1，0，2μ) ．若 a ⃗ ⊥b ⃗ ，则μ＝ ；若 a ⃗ //b⃗ ，则λ+μ＝ ．16．（1分）已知向量 a ⇀=(0,−1,1),b ⇀=(4,1,0),|λa ⇀+b ⇀|=√29 ，且 λ>0 ，则 λ= ．四、解答题(共4题；共45分)17．（10分）如图，建立空间直角坐标系 Oxyz .单位正方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 顶点A 位于坐标原点，其中点B(1,0,0) ，点 D(0,1,0) ，点 A ′(0,0,1) .（1）（5分）若点E 是棱 B ′C ′ 的中点，点F 是棱 B ′B 的中点，点G 是侧面 CDD ′C ′ 的中心，则分别求出向量 OE⇀,OG ⇀,FG ⇀ 的坐标； （2）（5分）在（1）的条件下，分别求出 (OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅FG⃗⃗⃗⃗⃗ ， |EG ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值. 18．（10分）已知点 A(0,1,2) ， B(1,−1,3) ， C(1,5,−1) ．（1）（5分）若D 为线段 BC 的中点，求线段 AD 的长；（2）（5分）若 AD ⇀=(2,a,1) ，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ，求a 的值，并求此时向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值． 19．（20分）已知点 A(0,1,−1) , B(2,2,1) ，向量 a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,计算： （1）（5分）求向量 b ⃗ 的单位向量 b 0⃗⃗⃗⃗ ；（2）（5分）求 |2a −b ⃗ | ， |−3a | ； （3）（5分）cos <a ,b⃗ > ； （4）（5分）求点 B 到直线 OA 的距离.20．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2， PA ⊥ 平面 ABCD ，且PA=2，E 是PD 中点．以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A −xyz ．（Ⅰ）求点 A,B,C,D,P,E 的坐标； （Ⅱ）求 |CE⃗⃗⃗⃗⃗ | ．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为(2,0,−1).故答案为：D.【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。

空间向量的数乘运算时间：45分钟 分值：100分A 学习达标一、选择题(每小题6分，共36分)1．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 解析：∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ， ∴2a －b 与a ，b 共面． 答案：A2．已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 边上的点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，则向量EF →与MN →满足的关系为( )A.EF →＝MN →B.EF →∥MN → C ．|EF →|＝|MN →| D ．|EF →|≠|MN →|解析：AE →－AF →＝λAB →－λAD →＝λDB →，即FE →＝λDB →.同理NM →＝μDB →.因为μDB →∥λDB →，所以FE →∥NM →，即EF →∥MN →.又λ与μ不一定相等，故|MN →|不一定等于|EF →|.答案：B3．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →＝( ) A.b －c2 B.c －b2 C.b －c 3D.c －b3解析：设D 是BC 边中点，∵M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )．答案：D4．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1、e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：a 与e 1共线，则设a ＝ke 1，所以a ＝λe 1＋μe 2可变为(k －λ)e 1＝μe 2，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线相矛盾，故假设不成立，即A 不正确，同理B 不正确，则D 也错误，故选C.答案：C5．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x 、y 、z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若x ＋y ＋z ＝1，则原式可变形为 OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →， OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，∴AP →＝yAB →＋zAC →，∴P 、A 、B 、C 四点共面．反之，若P 、A 、B 、C 四点共面，由共面向量定理的推论知对空间任一点O ，有OP →＝OM →＋sMA →＋tMB →(其中s 、t 是唯一的一对有序实数)．∵MA →＝OA →－OM →，MB →＝OB →－OM →，则OP →＝(1－s－t )OM →＋sOA →＋tOB →.令x ＝1－s －t ，y ＝s ，z ＝t ，则有x ＋y ＋z ＝1.答案：C6．下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0解析：C 选项中MA →＝－MB →－MC →， ∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C. 答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)图17．如图1，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 边上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：MN →＝MO →＋ON →＝23AO →＋12(OB →＋OC →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .答案：－23a ＋12b ＋12c8．已知两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，则点A 、B 、C 、D 四点________(共面、不共面)．解析：显然AB →、AD →不共线，否则，存在λ∈R ，使AB →＝λAD →(λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(3e 1－3e 2)＝3λe 1－3λe 2.∵e 1，e 2是不共线的非零向量，∴3λ＝1与－3λ＝1矛盾，故AB →、AD →不共线． 设AC →＝xAB →＋yAD →⇔2e 1＋8e 2＝x (e 1＋e 2)＋y (3e 1－3e 2)⇔2e 1＋8e 2＝(x ＋3y )e 1＋(x －3y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝2，x －3y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1，∴AC →＝5AB →＋(－1)·AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面． 答案：共面9．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________.解析：OA →＝－2x ·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →，由A 、B 、C 、D 四点共面，则有－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1.答案：－1三、解答题(共40分)图210．(10分)如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，试证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明：EF →＝EA →＋AB →＋BF →，① EF →＝ED →＋DC →＋CF →，②①＋②，得2EF →＝(EA →＋AB →＋BF →)＋(ED →＋DC →＋CF →)＝AB →＋DC →. ∴EF →＝12(AB →＋DC →)．11．(15分)如图3，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点． 求证：B 1C ∥平面ODC 1.图3证明：设C 1B 1→＝a ，C 1D 1→＝b ，C 1C →＝c ， ∵四边形B 1BCC 1为平行四边形， ∴B 1C →＝c －a . 又O 是B 1D 1的中点， ∴C 1O →＝12(a ＋b )，OD 1→＝C 1D 1→－C 1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )，∴OD →＝OD 1→＋D 1D →＝12(b －a )＋c .若存在实数x 、y ，使B 1C →＝xOD →＋yOC 1→(x 、y ∈R)成立，则c －a ＝x [12(b －a )＋c ]＋y [－12(a＋b )]＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋xc .∵a 、b 、c 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝1，12x －y ＝0，x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴B 1C →＝OD →＋OC 1→，∴B 1C →、OD →、OC 1→是共面向量． 又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1.B 创新探索图412．(15分)如图4，已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点，且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； (2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.证明：(1)∵AC →＝AD →＋mAB →，∴A 、B 、C 、D 四点共面． ∵EG →＝EH →＋mEF →，∴E 、F 、G 、H 四点共面． (2)EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m(OF →－OE →) ＝k(OD →－OA →)＋km(OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k(AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.(3)OG →＝OE →＋EG →＝kOA →＋kAC →＝k(OA →＋AC →)＝kOC →.。

1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）【夯实基础】题型题型3.如图，在三棱锥O ABC-中，设,,==，则MN=AN NB BM MC===，若,2OA a OB b OC c（）A ．112263a b c+-C ．111263a b c--【答案】A【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解【详解】解：MN BN BM =-112263OA OB OC =+-112263a b c =+-，故选：AA ．CAB ．AC 【答案】C【详解】如图所示，连接)()12BD BA BD BC BM +-+=故选：C.题型A ．2bEF =C ．2c a EH -=【答案】D【分析】根据空间向量加法、减法的几何意义，结合三角形中位线的性质、平行四边形的性质进行逐一判断即可.【详解】因为E ，F 分别是因为F ，G 分别是AB ，BC 因为四边形EFGH 为平行四边形，所以因为2b FH FE EH =+=-+故选：D题型4空间向量共线的判定向量(),0,1a x =，()4,,2b y =A ．0B ．1【答案】C【分析】根据向量平行，得到方程组，求出【详解】由题意得：a b λ=即40x y λλ=⎧⎪=⎨，解得：20x y ⎧⎪=⎪=⎨故选：C题型【答案】131222a b c-+【解析】根据底面ABCD 是正方形，)1(2BE BP BD =+，而BD BA =【详解】解：1(2BE BP BD =++12(2)a c b +-=131222a b c -+【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型题型7判定空间向量共面9.下列命题中正确的是（）A ．空间任意两个向量共面B ．向量a 、b 、c 共面即它们所在直线共面题型即4422λμλμ⎧⎪+=⎨⎪+=,解得1,0,2x λμ===题型A．1144a b c-+B．1122a b-+【答案】A【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可【详解】BE BD DE DB=+=-+故选：AA ．111222a b c--C ．111332a b c--+【答案】B【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可【详解】13EF DF DE =-=故选：B.【能力提升】一、单选题1．下列命题中是假命题的是（A ．任意向量与它的相反向量不相等B ．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C ．如果0a =，则0a =D ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【答案】A【分析】由零向量的定义可判断【详解】对于A ，零向量0的相反向量是它本身，对于B ，空间向量是有向线段，不能比较大小，对于C ，如果0a =，则a =对于D ，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故选：A.2．已知向量()1,,2a m =-，向量()3,1,b n =，满足//a b r r，则m n +=（）4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是BC 、1CC 的中点，G 为ABC 的重心，则GF =（）A．2-B．0【答案】B【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出可得出答案.【详解】E为OC的中点，9．(多选)下列说法中正确的是（）对A ，11111A D A A AB AD AB BD →→→→→→--=-=，正确；对B ，1111111111BC BB D C BC D C BC C D BD →→→→→→→→==+=+--，正确；对C ，1111AD AB DD BD DD BD BB B D →→→→→→→→===----，错误；对D ，11111111111111B D A A DD B D DD A A B D BB A A BD A A →→→→→→→→→→→-++-+--===，错误.故选：AB.11．下列说法正确的是（）A ．若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；B ．已知空间任意两向量a ，b ，则向量a ，b 共面；C ．已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++；D ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=.【答案】BD【分析】由共线向量的定义可知，向量a ，b 所在的直线可以重合，可判断A ；空间中任意两个向量都是共面的，可判断B ；若空间中的三个向量a ，b ，c 共面，并不存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++，所以C 并不成立；根据向量运算法则可判断D.【详解】对于A ，若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线可以重合，并不一定平行，所以A 错误；对于B ，根据共面向量的定义可知，空间中的任意两个向量都是共面的，所以B 正确；对于C ，只有当空间的三个向量a ，b ，c 不共面时，对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++成立；若空间中的三个向量共面，此说法并不成立，所以C 错误；对于D ，根据向量的加法法则即可判断D 正确.三、填空题四、解答题14.已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间9个点(如图)，并且,OE kOA OF kOB ==，OH kOD =，AC AD m AB =+．EG EH mEF =+，求证：(1),,,A B C D 四点共面；(2)//AC EG ；(3)OG kOC =．(1)1AE xAD y AB z AA =++；(2)1AF xAD y AB z AA =++(3)1EF xAD y AB z AA =++【分析】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得由此即可求出结果；所以11,0,22x y z ===-.。

高二数学上学期同步课堂习题测试 （人教A 版2019选择性必修第一册）1.1空间向量及其运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】A 【分析】利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出BM 即可. 【详解】11BM BB B M =+， 12c BD =+，()12c BA BC =++， 1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.2．与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是( )A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭ D ．-3,-)【答案】C 【分析】根据向量共线定理判定即可． 【详解】对于A ，由于()11,1,11,3,333⎛⎫=⎪⎝⎭，所以与向量a 不共线，故A 不正确． 对于B ，由题意得向量()1,3,2--与向量a 不共线，故B 不正确．对于C ，由于()131,,11,3,2222⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，所以与向量a 共线，故C 正确．对于D ，由题意得向量,-3,-与向量a 不共线，故D 不正确． 故选C ．3．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c -- B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +- D ．111442a b c -++ 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点， 且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D.4．设向量a ，b ，c 是空间基底，x y z R ∈，， ，有下面四个命题： 1p ：若0xa yb zc ++= ，那么0x y z === ；2p ：若0a l ⋅= ，0b l ⋅= ，则a b ；3p ：a b c +- ，a b c -+，a b c ++也是空间基底；4p ：若1111n x a y b z c =++，2222n x a y b z c =++，则121212120n n x x y y z z ⊥⇔++= .其中真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p【答案】A 【详解】由题意得，1:p 若0xa yb zc ++=，根据向量相等可得0x y z ===是正确的；2:p 若0,0a l b l ⋅=⋅=，当0l =时，a 与b 不一定是共线向量，所以不正确；3:p 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量,,a b c a b c a b c +--+++ 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所以是正确的；4:p 中，只有当向量,,a b c 是三个两两垂直的单位向量时，才能使得12n n ⊥⇔1212120x x y y z z ++=成立，所以不正确，故选A ．5．如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ==＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN （ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c -+- 【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可． 【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B6．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．34D ．18【答案】B 【分析】由向量的加法运算结合数量积运算得出11AB BC ⋅，进而由数量积公式得出AB1与BC1所成角的余弦值. 【详解】令底面边长为1，则高也为1，1111,AB AB BB BC BC CC =+=+()()1111112111cos12012AB BC AB BB BC CC AB BC BB CC ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯⨯︒+=又112AB BC ==1111cos ,4AB BC ∴==故选：B ．7．已知向量AB ，AC ，BC 满足=AB AC BC +，则（ ）A ．AB ＝AC ＋BCB ．AB ＝－AC －BCC ．AC 与BC 同向D ．AC 与CB 同向【答案】D 【分析】利用向量加法的意义，判断AC 与CB 同向.【详解】由向量加法的定义AB ＝AC ＋CB ，故A 、B 错误由=AB AC BC AC CB +=+，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC 与CB 同向．故D 正确，C 错误. 故选：D.8．若a b ，均为非零向量，则“··a b a b =”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项． 【详解】解：··cos 1a b a b a b ⇒=＝〈，〉，所以a 与b 的夹角为0， 所以a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，··a b a b =-． 所以“··a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件， 故选：A ．9．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ）A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能 【答案】A 【分析】作a b +与a b -的数量积即可. 【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直． 故选: A10．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量(),,0n a b R λμλμλμ=+∈≠，则（ ）A ． //m nB ．m n ⊥C ．,m n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能 【答案】B 【分析】由条件可以得到0m n ⋅=，即可选出答案. 【详解】因为()0m n m a b m a m b λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅=，所以m n ⊥ 故选：B 二、多选题11．(多选)下列命题中，真命题是（ ） A ．向量AB 与BA 的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【分析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】共线的单位向量方向相同或相反，只有D 错误． 故选：ABC12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【分析】利用空间向量的加法和减法法则运算即可．【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC故选：ABC13．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A ．()()2211111113A A A D A B A B ++=B ．()11110AC A B A A ⋅-=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是120° D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD ⋅⋅【答案】ABC 【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ． 【详解】由向量的加法得到：111111A A D A AC A B ++=，221113AC A B =，∴()()2211111113A A A D A B A B ++=，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110AC AB ⋅=，即()11110AC A B A A ⋅-=，故B 正确； 1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA ⋅=，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（ ）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【答案】ACD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】∵O 为正方体的中心，∵1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+， 同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∵A 、C 正确；∵OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，∵OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∵B 不正确； ∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-， ∵()11OA OA OC OC -=--，∵D 正确. 故选：ACD 三、填空题15．已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__． 【答案】1 【分析】利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值． 【详解】由题意，点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ）， 所以(1,1,1),(1,1,2)AB BC λ=---=---,若A ，B ，C 三点共线，则//AB BC ，即112111λ---==---，解得1λ=. 故答案为：1． 16．给出下列命题：∵若||||a b =，则a b =或a ＝－b ；∵若向量a 是向量b 的相反向量，则||||a b =；∵在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，11AC AC =； ∵若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =．其中正确命题的序号是________． 【答案】∵∵∵ 【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可. 【详解】对于∵，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故∵错；对于∵，根据相反向量的定义知||||a b =，故∵正确；对于∵，根据相等向量的定义知，11AC AC =，故∵正确； 对于∵，根据相等向量的定义知∵正确． 故答案为：∵∵∵17．设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【答案】－8 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=-又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 故答案为：－818．已知2360a b a b ===︒，，， ，则|23|a b -=____________．【分析】根据2222||()23234129a b a b a a b b -=-=-⋅+和向量数量积运算可得答案． 【详解】解：222222232341294912cos ||1(606)a b a b a a b b a b a b -=-=-⋅+=⨯+⨯-⨯⋅⋅︒= ，所以|23|a b -=．19．如图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA '相等的向量有______；与向量A B ''相反的向量有______.(要求写出所有适合条件的向量)【答案】BB '，CC '，DD ' B A ''，BA ，CD ，C D '' 【分析】根据平行六面体的定义和向量的概念进行求解【详解】解：因为多面体ABCD­A′B′C′D′为平行六面体，所以与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'，与向量A B''相反的向量有B A''，BA，CD，C D''故答案为：BB'，CC'，DD'；B A''，BA，CD，C D''20．在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设AB a=，AC b=，AD c=，用a，b，c表示向量DM=______，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.【答案】1(2)2a b c+-16【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;(2) 设异面直线DM与CN所成角为θ,将,DM CN用基底a，b，c表示,代入公式计算得出答案.【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则(1) 11()(2)22DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-. (2)由(1) 1(2)2DM a b c =+-，又11(2)22CN AN AC a b a b =-=-=-. 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.设异面直线DM 与CN 所成角为θ,则|22|cos |2||2|DM CN DM CN θ⋅==⋅2111212222412336a ab a b b ac b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅===. 故答案为:1(2)2a b c +-;1621．如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．1 23【分析】∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--=，即可得出λ．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒==．1λ∴=．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==， ∴11123A N A D =．则23λ=．1，23．22．已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)u m n =-，若l α⊥，则m =______ ，n =______．【答案】-6 -10【分析】根据直线与平面垂直的条件为直线的方向向量与平面的法向量平行，再结合两个向量平行的条件，求得结果. 【详解】l α⊥，//d u ，且(2,3,5)d =，(4,,)u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-. 故答案为：∵6-；∵10-. 四、解答题23．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AC =90ACD ∠=︒，沿着它的对角线AC 将ACD△折起，使AB 与CD 成60︒角，求此时B ，D 之间的距离．【分析】根据AB 与CD 成60︒角，得到,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>，然后由BD BA AC CD =++，两边平方求解. 【详解】因为90ACD ∠=︒，所以0AC CD ⋅=，0AC BA ⋅=． 因为AB 与CD 成60︒角，所以,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>．因为BD BA AC CD =++，所以2222||||||||222BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD =+++⋅+⋅+⋅，所以2222||2(2)20222cos ,0108cos ,BD BA CD BA CD =++++⨯⨯⨯+=+<><>．当,60BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos 6014BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||14BD =；当,120BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos1206BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||6BD =综上，可知B ，D ．24．已知正四棱锥P ­ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值． （1）OQ PQ yPC zPA =++；（2）PA xPO yPQ PD =++【答案】（1）12y z ==-；（2）x ＝2，y ＝－2． 【分析】（1）由平行四边形法则以及三角形法则得出1122OQ PQ PC PA =--，从而得出,y z ； （2）由平行四边形法则得出2,2PA PO PC PC PQ PD =-=-，进而得出22PA PO PQ PD =-+，从而得出,x y 的值. 【详解】（1）如图，()111222OQ PQ PO PQ PA PC PQ PC PA =-=-+=⋅--12y z ∴==-（2）∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点2,2PA PC PO PC PD PQ ∴+=+=2,2PA PO PC PC PQ PD ∴=-=-22PA PO PQ PD ∴=-+2,2x y ∴==-25．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===， ,,0,0AC AD mAB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）利用向量加减及数运算找到AC EG 、的关系，证明AC EG ∥；（3）利用向量加减及数运算可得.【详解】证明：（1）,0AC AD mAB m =+≠，∵A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∵E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.26．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：（1）E ，F ，G ，H 四点共面;（2）BD //平面EFGH ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.（2）用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．（2）因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD，且E，H，B，D四点不共线，所以EH∵BD．又EH∵平面EFGH，BD∵平面EFGH，所以BD∵平面EFGH．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB→＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD→与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC→，则P ，A ，B ，C 四点( ) A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-11A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →C.BD 1→＝AB →＋AD →－AA 1→D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3-1-12A.EF→＋GH →＋PQ →＝0B.EF→－GH →－PQ →＝0 C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0 【解析】 由题图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有EF→＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题6．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③7．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.【答案】 －18．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【导学号：18490085】【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ→＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA→＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】 如图所示，(1)∵OQ→＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA→＋PC →＝2PO →， ∴PA→＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →， ∴PC→＝2PQ →－PD →. 从而有PA→＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO→－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10.如图3-1-13，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE→与MN →是否共线．图3-1-13【解】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE→＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE→＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线． [能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则PA→－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB→＝λBC →，故PB→－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μ e 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μ e 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4.如图3-1-14所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN→与向量AD →，BC →是否共面．图3-1-14【解】 由题图可得：MN →＝MA →＋AD →＋DN →， ① ∵MN→＝MB →＋BC →＋CN →，②又MA→＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得： 2MN→＝AD →＋BC →， 即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。

人教A 版高二数学选择性必修第一册1.3空间向量及其坐标的运算同步精练(原卷版)【题组一空间向量的坐标运算】1．（2020·全国高二）已知点()2,3,1B -，向量()3,5,2AB =-，则点A 坐标是（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()5,8,1-D ．()5,8,1--2．（2019·浙江高二学业考试）设点(5,1,2),(4,2,1),(0,0,0)M A O --．若OM AB =，则点B 的坐标为（）A ．(1,3,3)--B ．(1,3,3)-C ．(9,1,1)D ．(9,1,1)---3．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））若()2,3,1a =-，()2,0,3b =，()0,2,2c =，则()a b c ⋅+的值为（）A ．()4,6,5-B ．5C ．7D ．364．（2019·包头市第四中学高二期中（理））若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（）A ．()1,0,0m =，()2,0,0n =-B ．()1,3,5m =，()1,0,1n =C ．()0,2,1m =，()1,0,1n =--D ．()1,1,3m =-，()0,3,1n =5．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有()A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b r r ，则111222x y z x y z ==C．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量6（2020·江苏连云港高二期末）已知点P 是△ABC 所在的平面外一点，若AB ＝(﹣2，1，4)，AP ＝(1，﹣2，1)，AC ＝(4，2，0)，则（）A ．AP ⊥AB B ．AP ⊥BPC ．BCD ．AP //BC7（2020·全国高二课时练习）已知向量(2,1,2),(1,1,4)a b =--=-.（1）计算23a b -和23a b -.（2）求,a b .8．（2020·吴起高级中学高二月考（理））已知空间三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---，设,a AB b AC ==.（1）,a b 的夹角θ的余弦值；（2）若向量,2ka b ka b +-互相垂直，求实数k 的值；（3）若向量,a b a b λλ--共线，求实数λ的值.【题组二坐标运算在几何中的运用】1．（2020·全国高二课时练习）棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点.（1）求证：EF ⊥CF ；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值；（3）求CE 的长.2．（2019·全国高二）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点．（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值；（3）求CE的长．∠=____，3．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos EAFEF=____.4．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以{}1AB AD AA为基底，则向量AE的坐标为___，向量AF的坐标为___，向量,,AC的坐标为___.1【题组三最值问题】1．（2019·全国高一课时练习）在xoy 平面内的直线1x y +=上求一点M ，使点M 到点()6,5,1N 的距离最小，并求出此最小值．2．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为______________.人教A 版高二数学选择性必修第一册1.3空间向量及其坐标的运算同步精练(解析版)【题组一空间向量的坐标运算】1．（2020·全国高二）已知点()2,3,1B -，向量()3,5,2AB =-，则点A 坐标是（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()5,8,1-D ．()5,8,1--【答案】D【解析】设点(),,A x y z ，则向量()()2,3y,1z 3,5,2AB x =----=-，所以233512x y z -=-⎧⎪--=⎨⎪-=⎩⇒581x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以点()5,8,1A --.故选：D 2．（2019·浙江高二学业考试）设点(5,1,2),(4,2,1),(0,0,0)M A O --．若OM AB =，则点B 的坐标为（）A ．(1,3,3)--B ．(1,3,3)-C ．(9,1,1)D ．(9,1,1)---【答案】C【解析】设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(5,1,2),(4,2,1)OM AB x y z =-=--+，∵OM AB =，∴452112x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，解得911x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：C ．3．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））若()2,3,1a =-，()2,0,3b =，()0,2,2c =，则()a b c ⋅+的值为（）A ．()4,6,5-B ．5C ．7D ．36【答案】B【解析】()()()2,0,30,2,22,2,5b c +=+=，()2223(1)55a b c ⋅+=⨯+⨯+-⨯=.故选：B4．（2019·包头市第四中学高二期中（理））若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（）A ．()1,0,0m =，()2,0,0n =-B ．()1,3,5m =，()1,0,1n =C ．()0,2,1m =，()1,0,1n =--D ．()1,1,3m =-，()0,3,1n =【答案】D【解析】A 中20m n =-≠，所以排除A ；B 中1560mn =+=≠，所以排除B ；C 中1mn =-，所以排除C ；D 中0mn =，所以m n ⊥，能使//l α.故选D5．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有()A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b r r ，则111222x y z x y z ==C．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b r r ，但分式12x x 无意义，B 选项错误；对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则a ==，此时，a 不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.6（2020·江苏连云港高二期末）已知点P 是△ABC 所在的平面外一点，若AB ＝(﹣2，1，4)，AP ＝(1，﹣2，1)，AC ＝(4，2，0)，则（）A ．AP ⊥ABB ．AP ⊥BPC ．BCD ．AP //BC 【答案】AC【解析】因为0AP AB ⋅=，故A 正确；(3,3,3)BP =--，36360AP BP ⋅=+-=≠，故B 不正确；(6,1,4)BC =-，BC ==，故C 正确；(1,2,1)AP =-，(6,1,4)BC =-，各个对应分量的比例不同，故D 不正确。

3ngk2nmn高二数学选一人教A版第一章空间向量与立体几何加练课1空间向量及其运算的综合应用一、单选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，，点M在直线OC上运动.当取得最小值时，点M的坐标为( )A. B. C. D.2.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足，点N满足，当AM、BN最短时，( )A. B. C. D.3.如图，在棱长为3的正方体中，P为平面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为( )A. B. C. D.4.直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，M，N分别为，BC的中点，则( )A. 2B.C.D.二、多选题（本大题共1小题，共5分。

在每小题有多项符合题目要求）5.在正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是( )A. B.C.平面 D. EF和所成的角为三、填空题（本大题共2小题，共10分）6.在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是__________.7.已知，，是空间中两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为____________.四、解答题（本大题共2小题，共24分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）8.本小题12分已知，，，定义一种运算：在四棱锥中，底面ABCD是一个平行四边形，，，求的值，并求证：平面求四棱锥的体积，说明的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想的绝对值的几何意义.9.本小题12分设全体空间向量组成的集合为V，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”设，，若，求向量的坐标;对于V中任意的单位向量，求的最大值.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量数量积，属于基础题.【解答】解：设，，即，故，所以，故当时，取得最小值，此时，故选2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了空间向量的数量积，属于中档题.【解答】解：由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，平面BCD，，当AM、BN最短时，平面BCD，，为的中心，N为AC的中点，此时，，平面BCD，平面BCD，MC，又，，故选3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了空间向量的模与距离问题，属于中档题.【解答】解：过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点可以证明此时的使得最小，任取不含，此时建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因为E，F分别为的三等分点，所以，，又点F到平面的距离为1，所以，所以的最小值为4.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量求线线角，属于基础题.【解答】解：建系如图，，，，，5.【答案】AD【解析】【分析】本题考查空间线线、线面的位置关系、平行与垂直的判定与性质、异面直线所成角，考查推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：如图，对于A，连接，，则，又平面，所以，即，故A正确；对于B，取的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，，因此不正确；对于C，与不垂直，与不垂直，因此平面不成立，故C错误；对于D，，EF和所成角为和所成角为故D正确．故选：6.【答案】【解析】【分析】本题考查了空间向量模的计算，利用基本不等式求最值，属于中档题.【解答】解：设，，，，，，又，，即，当且仅当时，等号成立7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查空间向量的正交分解及其坐标表示，属于中档题.【解答】解：设，，，则，且，则，；又表示一个平面，的值表示空间中的点到点的距离，这样的点在以点为球心的球面上，的最小值是球与此平面相切时切点与D点的距离平方，即点D到此平面的距离的平方;又点到平面的距离是8.【答案】解：，，，，又，且AB，底面ABCD底面，，，，，，的绝对值的值是四棱锥体积的3倍．猜想：的绝对值的几何意义是以为邻边的平行六面体的体积．【解析】本题考查空间向量数量积、线面垂直的判定和棱锥的体积公式，属于一般题．直接根据定义计算的绝对值的值，计算，，从而得到，，从而得出底面ABCD；计算的夹角，得出底面面积，从而得出棱锥的体积，根据体积公式猜测几何意义．9.【答案】解：依题意得设，代入运算得或设与的夹角为，则，则，当且仅当，即时，等号成立.故的最大值为【解析】本题考查向量的求法，考查等式的证明，考查向量的模的最大值的求法，考查向量的坐标表示、向量的模、向量的数量积公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．。

空间向量及其运算一、选择题1、与向量a =(12,5)平行的单位向量是( C )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--135,1312C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312135,1312或D.⎪⎭⎫ ⎝⎛±±135,1312 2、A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( C ) A.1B.2C.3D.43、向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( C ) A.相交 B.垂直 C.平行D.以上都不对4、m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( C ) A.0B.25 C.221 D.85、若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则（ C ）A.x =1，y =1B.x =21，y =－21C.x =61，y =－23D.x =－61，y =236、a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( B ) A.0B.6C.-6D.±67、若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则212121z zy y x x ==是a 与b 同向或反向的( A )A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件8、已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角（ C ） A ．0 B ．2π C ．π D ．32π9、已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（ C ） A. 030 B.045 C.060 D.09010、设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( A )A.（41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32） 11、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为的余弦值( D )AA DBC BCD1111MNA. 23 B.1010 C.53 D.5212、已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( D )A.627B.637C.607D.657二、填空题1、空间四边形ABCD ，则AB ·CD +BC ·AD +CA ·BD =_______.2、点A(1,2,1),B(-1,3,4)、D(1,1,1),若PB AP 2=,则|PD |的值是_____________.3、已知空间三点A 、B 、C 坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P 在xOy 平面上且PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则P 点坐标为 .4、a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为89，则λ＝_____________.小组： 组号： 姓名：__________一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）题号 123456789101112答案二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、_______ ___2、___________3、_____________4、 三、解答题1.已知()()2,4,,2,,26a x b y a b ===⊥，若a 且，求x y +的值.2.设向量()()3,5,4,2,1,832,,a b a b a b =-=-⋅，计算并确定,λμ的关系，使a b z λμ+与轴垂直.选做题如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值 （3）求证：A 1B ⊥C 1M .答案详解一、选择题1、C 解析：设此向量为(x ,y ),∴⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 512122，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13513121351312y x y x 或 2、C 解析： |AB |=222)21()11()11(++-+-=3. 3、C 解析：a =(1,2,-2)=-21·b ∴a ∥b .4、C 解析： ∵m ∥n ,故(8,3,a )=k (2b ,6,5)，∴8=2bk ,3=6k ,a =5k ， ∴k =21 故a =25,b =8,∴a +b =25+8=2215、C6、B 解析：∵a ⊥b ∴1·m +5·2-2(m +2)=0. ∴m =6.7、A 解析：若212121z zy y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立. 8、C 9、C 10、A 11、D12、D 解析：∵a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m 、n ，使得c ＝ma ＋nb .即⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n5＝－m ＋4n λ＝3m －2n∴λ＝657.二、填空题1、02、解析:设点P(x,y,z),则由PB AP 2=,得 (x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),即⎪⎩⎪⎨⎧-=---=---=-,281,262,221z z y y x x 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.3,38,31z y x则|PD |=222)13()138()131(-+-+--=377.3、(-8,6,0) 由向量的数量的积求得.4、解析： 因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ，解得λ＝－2或255.三、解答题1、解：由22262436a x =⇒++=………………………………①又0a b a b ⊥⇒⋅=即4420y x ++=………………………………………………② 由①②有：4,34,1x y x y ==-=-=或13x y ∴+=-或2、解：323(3,5,4)2(2,1,8)a b -=--=（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)a b ⋅=(3,5,-4)⋅(2,1,8)=6+5-32=-21由()(0,0,1)(32,5,48)a b λμλμλμλμ+⋅=++-+(0,0,1)⋅480λμ=-+=即当,λμ满足48λμ-+＝0即使a b λμ+与z 轴垂直.选做题：解析:如图，建立空间直角坐标系O —xyz .（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M .评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.图。

空间向量的线性运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.在空间直角坐标系中，已知点，下列叙述正确的个数是( ) （1）点关于轴对称的点的坐标是；（2）点关于平面对称点的坐标是；（3）点关于轴对称点的坐标是；（4）点关于原点对称的点的坐标是.A.3B.2C.1D.0答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间直角坐标系的性质2.在空间四边形中，等于( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的加法及几何意义3.若为空间的一组基底，则下列各项中，也能构成基底的一组向量是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的加法及几何意义4.若为空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的加法及几何意义5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的加法及几何意义6.在平行六面体中，设，则=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的加法及几何意义7.如图，点是平行六面体的体对角线与的交点，，，，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的加法及几何意义8.在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则可表示为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的加法及几何意义9.如图，已知和分别是四面体的棱的中点，且，若，，，则用，，表示为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的加法及几何意义10.如图，在空间四边形，，，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量的加法及几何意义。

空间向量及其线性运算基础过关练题组一 空间向量的基本概念1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量都不相等; ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量; ③平行且模相等的两个向量是相等向量; ④若a≠b，则|a|≠|b|;⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A.0B.1C.2D.32.下列说法正确的是(深度解析) A.若|a|=|b|，则a=b 或a=-b B.若a 、b 为相反向量，则a+b=0 C.零向量是没有方向的向量 D.若a 、b 是两个单位向量，则a=b3.(2020山东烟台高二上期中)下列命题是真命题的是( )A.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合C.若向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.若两个非零向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.如图所示，在四棱柱的上底面ABCD 中，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列向量相等的是( )A.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 题组二 空间向量的加法与减法5.(2020北京第八中学高二上期中)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式的运算结果为向量A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) ①A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;②AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;④A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .A.①②B.②③C.③④D.①④6.已知A ，B ，C ，D 为空间中任意四个点，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗7.已知四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则四边形ABCD 是( ) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形D.矩形8.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ，b ，c 表示) 题组三 空间向量的数乘运算9.如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点，用a ，b ，c 表示A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为( )A.-a+b+12c B.-a+b+c C.-a-b+12cD.a-b+12c10.(2020广东深圳实验学校高二上期中)如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M.设A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则下列向量中与2A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-a+b+2cB.a+b+2cC.a-b+2cD.-a-b+2c11.(2020山西忻州一中高二上期中)在空间四边形ABCD 中，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，连接DE ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -32AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的化简结果为 .12.(2020浙江宁波高二上期中)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，则x= ，y= . 题组四 空间向量共线、共面问题13.设a ，b 是不共线的两个向量，且λa+μb=0，λ，μ∈R，则( ) A.λ=μ=0B.a=b=0C.λ=0，b=0D.μ=0，a=014.已知向量a ，b ，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+6b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7a-2b ，则一定共线的三点是( ) A.A ，B ，D B.A ，B ，C C.B ，C ，DD.A ，C ，D15.(2020广东广州二中高二月考)已知空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，下列能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( ) A.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.以上都不对 16.有下列说法:①若p=xa+yb ，则p 与a ，b 共面; ②若p 与a ，b 共面，则p=xa+yb;③若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P ，M ，A ，B 共面; ④若P ，M ，A ，B 共面，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确的是( ) A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④17.已知点P 和不共线的三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任意一点O ，都有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ= .18.已知i ，j ，k 是不共面向量，a=2i-j+3k ，b=-i+4j-2k ，c=7i+5j+λk，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于 .19.如图，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM=13BD ，AN=13AE.求证:向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.20.如图所示，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，求证:E，F，B，D四点共面.答案全解全析 基础过关练1.B 零向量与它的相反向量相等，①错;由相等向量的定义知，②正确;两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错;a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错;两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.故选B.2.B 若|a|=|b|，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不相反，A 错;若a 、b 为相反向量，则它们的和为零向量，B 对;零向量的方向是任意的，C 错;两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D 错.故选B.方法归纳 ①在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全相同;②由于向量是由其大小和方向两方面确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，要抓住这两点; ③零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任意向量都共线，这一点说明共线向量不具备传递性. 3.D 因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，选项A 是假命题; 由AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合，选项B 是假命题; 因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 这种写法，选项C 是假命题;因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，选项D 是真命题. 故选D.4.D 因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以四边形ABCD 是平行四边形，结合平行四边形的性质及相等向量的定义知，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选D.5.C A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，①错; AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，②错; AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，③对;A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，④对.故选C. 6.D AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .7.B 由已知可得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由相等向量的定义可知，四边形ABCD 的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD 是平行四边形，故选B. 8.答案 b-a-c解析 如图，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a-c.9.A ∵N 是BC 的中点，∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b+12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b+12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b+12c.故选A. 10.A A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c+12(-a+b)，所以2A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c-a+b ，故选A. 11.答案 0解析 延长DE ，交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，∴12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，32AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -32AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 12.答案 1;14解析 AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴x=1，y=14. 13.A 若λ≠0，则a=-AA b ，与已知a ，b 不共线矛盾，故λ=0，同理μ=0，故选A. 14.A 因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+4b=2(a+2b)=2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A ，B ，D 三点共线.15.B 若点P ，A ，B ，C 共面，设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x+y+z=1，满足条件的只有B ，故选B. 16.C 若a ，b 共线，由p=xa+yb 知p 一定与a ，b 共面，若a ，b 不共线，则满足共面定理，p 与a ，b 共面，①对;同理③对;若p 与a ，b 共面，且a ，b 共线，则不一定有p=xa+yb ，故②不对;同理④不对，故选C. 17.答案 -2解析 对于空间不共线的三点A ，B ，C 和点P ，若四点共面，则对空间任意一点O ，都有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中x+y+z=1，所以λ=-2.18.答案657解析 若向量a ，b ，c 共面，则存在x ，y∈R，使得a=xb+yc ， ∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk)， ∴{2=-A +7A ,-1=4A +5A ,3=-2A +AA , 解得λ=657.19.证明 由题图知，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -23(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.20.证明 设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b. 则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+a ， AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12b+12a=12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而E ，F ，B ，D 四点不共线，因此DB∥FE，故E ，F ，B ，D 四点共面.。

空间向量及其运算(习题及答案)例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为上底面A1B1C1D1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x，y的值分别为（）。

解析：由于E为上底面A1B1C1D1的中心，所以AE的长度为A1E的长度的一半，即AE=1/2A1E。

又因为A1E的方向向量为1/2(AB+AD)，所以AE=1/2(AA1+AB+AD)。

将AE=AA1+xAB+yAD代入，得到x=1/2，y=1/2，故选D。

例2：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，则AC1·BD1=（）。

解析：由于AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，所以它们构成一组正交基底。

设AB=a，AD=b，AA1=c，则AC1=AB+BC1+CA1=a+b/2+c/2，BD1=BD=AD+DC1+CB1=b+a/2+c/2.将AC1·BD1代入，得到AC1·BD1=(a+b/2+c/2)·(b+a/2+c/2)=ab+ac/2+bc/2+a^2/4+b^2/4+c^2/4+ac/4+bc/4，化简得到AC1·BD1=ab+ac+bc+1/4(a^2+b^2+c^2)，代入数值计算得到AC1·BD1=5/2，故选B。

例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE与DF所成角的余弦值。

解析：以DA，DC。

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B(1，1，0)，E(1，1/2，1)，D(0，0，0)，F(0，1/2，1)。

由于BE的方向向量为(0,-1,1)，DF的方向向量为(0,1,1)，所以BE·DF=0*(-1)+(-1)*1+1*1=0，即BE与DF所成角的余弦值为0，故选A。

1.在三棱锥O-ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示MN，则MN=1/2√(2a^2+2b^2-2c^2)。

空间向量及其运算说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（） A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）A ．85B ．85C ．52D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙AD AB ，AD AC ，AC AB，图则?BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，?AOB=?AOC=600，则cos BC ，OA = （ ）A ．21B ．22 C ．?21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为 （）A ．3B ．32C ．6D ．2610．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为．12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．13．已知点A(1，?2，11)、B(4，2，3)，C(6，?1，4)，则?ABC 的形状是． 14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k=． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面O'N M D'C'B'A'CBA Dz yx图体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量a ={x 1，y 1，z 1}，b ={x 2，y 2，z 2}，c ={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算：（a ×b ）·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义.．19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值； （3）当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力. 2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0．5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值．9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒⋅>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=⋅>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=．14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得： 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0，∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18．（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB .又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍. 猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M .评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD-==b －a ，∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO（a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c 图∴CO ·211=OC （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2，则CC 1=x2. ∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ,b ,c 是不共面的三个向量,则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ,a ﹣b ,a +2bB ．2b ,b ﹣a ,b +2aC ．a ,2b ,b ﹣cD ．c ,a +c ,a ﹣c 【正确答案】C【详细解析】对于A,因为2a =43（a ﹣b ）+23（a +2b ）,得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,A 不正确;对于B,因为2b =43（b ﹣a ）+23（b +2a ）,得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,B 不正确;对于C,因为找不到实数λ、μ,使a =λ•2b +μ（b ﹣c ）成立,故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面, 它们能构成一个基底,C 正确;对于D,因为c =12（a +c ）﹣12（a ﹣c ）,得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,D 不正确故选:C ．2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,设1AA a =,AB b =,AD c =,N 是BC 的中点,试用a ,b ,c 表示1A N （ ）A ．12a b c -++B ．a b c -++C ．12a b c --+D ．12a b c -+ 【正确答案】A【详细解析】 N 是BC 的中点,11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++. 故选:A.3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++ 【正确答案】C【详细解析】 在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+ 11()22OA AB AC =+⨯+ 1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+- 111244OA OB OC =++ 故选:C.4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中,E 为11A D 的中点,设AB a =,AD b =,1AA c =,则CE =（ ）A ．12a b c --+B ．12a b c -+C ．12a b c --D ．12a b c +- 【正确答案】A【详细解析】由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++111111111222CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+. 故选:A.5．（2020·广东省红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【正确答案】B【详细解析】根据向量共线的定义,可知若AB 与CD 共线,则它们所在的直线可能平行,也可能重合;若AB ∥CD ,则AB 与CD 共线;根据充分条件和必要条件的概念,可知AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的必要不充分条件,故选B点睛:向量共线的定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量 .6．（2020·广东省红岭中学高二期末）O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111326OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点A ．一定不共面B ．不一定共面C ．一定共面D ．无法判断【正确答案】C【详细解析】:点P 在平面ABC 内,O 是平面ABC 外的任意一点,则OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=．利用此推论可直接证明一定共面．详解:因为OP =111326OA OB OC ++,且1111326++=,所以,,,A B C P 四点共面. 7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--,则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 【正确答案】A【详细解析】 因为空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--,所以51133x --=,解得13x =. 故选A8．（2020·甘肃省高二期末）如图,空间四边形OABC 中,OA a =,OB b =,OC c =,且2OM MA =,BN NC =,则MN 等于( )A ．221332a b c ++ B ．122121a b c +- C ．122132a b c -++ D ．123122a b c -+ 【正确答案】C【详细解析】 BN NC =,1()2ON OB OC ∴=+,2OM MA =,23OM OA ∴=,2121()233212MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=++-=-+,故选:C.9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中,M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =,AD b =,1AA c =,则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）． A ．1122++a b c B ．1122-++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【正确答案】B【详细解析】11111111111()()=2222BM BB B M BB A D A B C b a a b c =+=+-=+--++ 故选B.10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ,,则x ＋y ＋z 等于( )A ．76B ．23C ．56D ．1【正确答案】C【详细解析】在平行六面体ABCD ﹣EFGH 中,AG =AB +BC +CG ,∵AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ,CG =DH ,∴x=1,﹣2y=1,3z=1,∴112x y ==-，,z=13, ∴x+y+z=56, 故选:C ．二、多选题 11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-,则下列四式中其中正确的有（ ）A ．AB CB AC -= B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【正确答案】ABC【详细解析】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图,可得AB CB AB BC AC -=+=,则A 正确;AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=,则B 正确;C 显然正确;AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=,则D 不正确.综上,正确的有ABC.故选:ABC12．（2020·江苏省高二期末）如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,下列各式中运算的结果为1AC 的有()A ．AB BC CD ++ B ．11111AA BC DC ++C ．111AB C C BC -+D ．111AA DC B C ++【正确答案】BCD【详细解析】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠,故错误;B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=,故正确; C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=,故正确; D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=,故正确. 故选:BCD. 13．（2020·山东省高二期末）已知A,B,C 三点不共线,O 为平面ABC 外的任一点,则“点M 与点A,B,C 共面”的充分条件的是（ ）A ．2OM OA OB OC =--B ．OM OA OB OC =+- C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++ 【正确答案】BD【详细解析】当MA mMB nMC =+时,可知点M 与点,,A B C 共面,所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++,所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++, 所以11111OA mOB nOC m n OM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-, 不妨令11x m n -=+-,1m y m n =+-,1n z m n =+-,且此时1x y z ++=, 因为()()21101+-+-=≠,()1111++-=,111111236++=≠,1111236++=, 由上可知:BD 满足要求.故选:BD.点睛:常见的证明空间中四点,,,M A B C 共面的方法有:(1)证明MA xMB yMC =+;(2)对于空间中任意一点O ,证明OM OA xMB yMC =++;(3) 对于空间中任意一点O ,证明()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=.三、填空题14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中,若1,,CA a CB b CC c ===,则1BA =__________． 【正确答案】a b c -+【详细解析】直三棱柱111ABC A B C -中,若1,,CA a CB b CC c ===111BA BA AA CA CB CC a b c =+=-+=-+故正确答案为a b c -+15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量a ,b ,且AB ＝a ＋2b ,BC =5a -＋6b ,72CD a b =-,则,,,A B C D 中一定共线的三点是________.【正确答案】A,B,D【详细解析】由向量的加法原理:5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=又,BD AB 共点B ,故A ,B ,D 三点共线故正确答案为:A ,B ,D16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC,点D 是BC 中点,P 是AD 中点,设OP xOA yOB zOC =++,则x y z ++=________;x =________.【正确答案】1 12 【详细解析】如图,()()111222OP OA OD OA OB OC ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦111244OA OB OC xOA yOB zOC =++=++,所以111,,244x y z ===,所以1x y z ++=,12x =.故正确答案为:1; 1217．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体1111ABCD A B C D -中,已知1A A a =,11AB b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心,G 为11DC O 的重心,则AG =______【正确答案】215326a b c ++ 【详细解析】 在正方体1111ABCD A B C D -中,1A A a =,11AB b =,11A D c =, O 为底面的ABCD 的中心,G 为11DC O 的重心,∴AG AO OG =+()()111123AB AD OD OC =+++ ()12b c =+()11132BA BC DD ⎡+++⎢⎣()112AB AD CC ⎤+++⎥⎦ ()()()11111=26363b c b c a b c a ++-+++++ 215326a b c ++=. 故正确答案为:215326a b c ++. 四、解答题18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2)5.(3)试写出与AB 相等的所有向量.(4)试写出1AA 的相反向量.【正确答案】（1）正确答案见详细解析;（2）正确答案见详细解析;（3）正确答案见详细解析;（4）正确答案见详细解析．【详细解析】分析:（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为5,即可写出所求向量（3）根据大小相等,方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等,方向相反的向量即为相反向量.详解: (1)模为1的向量有11111111,,,,,,,A A AA B B BB C C CC D D DD ,共8个单位向量. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5,因此模为5的向量为111,,,AD D A A D 11111,,,,DA BC C B B C CB .(3)与向量AB 相等的向量(除它自身之外)为1111,A B DC DC 及. (4)向量1AA 的相反向量为1111,,,A A B B C C D D. 19．（2020·全国高一课时练习）如图,已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A,B,C 的向量分别为123,,r r r ,求OD ．【正确答案】321OD r r r =+- 【详细解析】因为OD OC CD =+,CD BA OA OB ==-,所以132OD OC OA OB r r r -=+-=+． 20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1,,AB AD AA 两两夹角为60°,长度分别为2,3,1,点P 在线段BC 上,且3BP BC =,记1,,a AB b AD c AA ===.（1）试用,,a b c 表示1D P ;（2）求1D P 模.【正确答案】（1）23a b c --; （25【详细解析】（1）111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+,12()33a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭. （2）因为AB ,AD ,1AA 两两夹角为60°,长度分别为2,3,1. 所以33,1,2a b a c b c ⋅=⋅=⋅=, 2221244423933D P a b c a b c a b a c b c =--=++-⋅-⋅+⋅ 441422=++--+5=21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O,G 为BD 上一点,BG=2GD,PA =a ,PB =b ,PC =c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG .【正确答案】212333a b c -+ 【详细解析】因为BG=2GD,所以2BG BD 3=. 又BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=a+c-2b,所以PG PB BG =+=b+23(a+c-2b) =23a-13b+23c. 22．（2019·全国高一课时练习）设e 1,e 2是不共线的空间向量,已知AB =2e 1+ke 2,CB =e 1+3e 2,CD =2e 1-e 2.若A,B,D 三点共线,求k 的值.【正确答案】k=-8.【详细解析】分析:A,B,D 三点共线,故存在唯一实数λ,使得AB BD λ=,再由已知条件表示出BD 与AB ,建立方程组可求出k 和λ值详解:由已知,有BD CD =-CB =(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2.∵A,B,D 三点共线,∴存在实数λ,使AB =λBD ,即2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2),∴2e 1+ke 2=λe 1-4λe 2.∵e 1,e 2是不共线的空间向量,∴24k λλ=⎧⎨=-⎩,解得8k =-. 23．（2018·全国高二课时练习）已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【正确答案】能,OD =17OA -5OB -30OC ．【详细解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y 使OA =x OB +y OC 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-又因为{}123,,e e e 是空间的一个基底,所以123,,e e e 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩此方程组无解,即不存在实数x,y 使OA =x OB +y OC ,所以,,OA OB OC 不共面.故{,,OA OB OC }能作为空间的一个基底.设OD =p OA +q OB +z OC ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-因为{}123,,e e e 为空间的一个基底, 所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得17,-5,-30.p q z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故OD =17OA -5OB -30OC .点睛:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对于空间任意一个向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底,其中,,a b c 叫基向量.。

单元优选卷（9）空间向量及其运算1、在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H P Q 分别是111111,,,,,A A AB BC CC C D D A 的中点，则( )A.0EF GH PQ ++=B.0EF GH PQ --=C.0EF GH PQ +-=D.0EF GH PQ -+=2、空间中任意四个点,,,A B C D ,则BA CB CD +-等于( ) A.DBB.ADC.DAD.AC3、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，设,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++=( )A.0B.3C.2D.4、已知正方体1111ABCD A B C D -,则下列各式运算结果不是1AC 的为( ) A.1AB AD AA ++ B.11111AA A B A D ++ C.1AB BC CC ++D.1AB AC CC ++5、在空间四边形ABCD 中，若,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.0EB BF EH GH +++=B.0EB FC EH GE +++=C.0EF FG EH GH +++=D.0EF FB CG GH +++=6、如图所示，已知在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GM =.设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为( )A.111,,333x y z === B.111,,336x y z === C.111,,363x y z ===D.111,,633x y z ===7、如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点.若11111,,A B a A D b A A c ===，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A.1122a b c -++ B.1122a b c ++ C.1122a b c -+D.1122a b c --+8、设空间四点,,,O A B P ，满足OP mOA nOB =+,其中1m n +=，则( ) A.点P 一定在直线AB 上 B.点P 一定不在直线AB 上 C.点P 不一定在直线AB 上D.以上都不对9、对于空间向量,,a b c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A.若0a b ⋅=，则0a =或0b = B.若0a λ=，则0λ=或0a = C.若22a b =，则a b =或a b =-D.若a b a c ⋅=⋅，则b c =10、若空间向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且a a c a b a b ⎛⎫⋅=- ⎪⋅⎝⎭，则向量a 与c 的夹角为( )A.0B.6πC.3πD.2π 11、{}123,,e e e 是空间的一个底层，向量123a e e e =++，123b e e e =+-，123c e e e =-+，12323de e e =++.若d xa yb zc =++，则,,x y z 的值分别为( )A.51,1,22-- B.51,1,22C.51,1,22--D.51,1,22- 12、已知,,a b c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )A.3,,2a a b a b -+B.2,2,2b b a b a -+C.,2,a b b c -D.,,c a c a c +-13、若向量,,MA MB MC 的起点M 与终点,,A B C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量,,MA MB MC 成为空间一组基底的关系的是( ) A.111333OM OA OB OC =++B.MA MB MC ≠+C.OM OA OB OC =++D.2MA MB MC =-14、在以下三个命题中，真命题的个数是( )①若三个非零向量,,a b c 不能构成空间的一个基底，则,,a b c 共面；②若两个非零向量,a b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则,a b 共线；③若,a b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+(,R λμ∈且0λμ≠),则{},,a b c 构成空间的一个基底. A.0B.1C.2D.315、已知向量(2,,2),(2,1,2),(4,2,1)a x b c =-==-.若()a b c ⊥-，则x 的值为( ) A.2-B.2C.3D.3-16、在空间直角坐标系中，已知(1,2,3),(2,1,6),(3,2,1),(4,3,0)A B C D --，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直17、向量()()2,4,,2,,2a x b y ==,若6a =,且a b ⊥,则x y +的值为( ) A.-3B.1C.3或1D.-3或118、已知(3,3,3),(6,6,6)A B ，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是( ) A.0B.πC.2πD.23π 19、已知(,2,0),(3,2,)a x b x x ==-，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( ) A.(,4)-∞-B.(4,0)-C.(0,4)D.(4,)+∞20、同时垂直于(2,2,1),(4,5,3)a b ==的单位向量是__________.21、已知向量2(1,2,3),(,2,)a b x x y y ==+-，并且,a b 同向，则,x y 的值分别为__________.22、如果(1,5,2),(2,4,1),(,3,2)A B C a b -+三点共线，那么a b -=_________.23、已知空间三点(1,1,1),(1,0,4),(2,2,3)A B C --，则AB 与CA 的夹角的大小是_________. 24、已知向量()0,1,1a =-,()4,1,0b =,29a b λ+=且0λ>,则λ=__________。

【三维设计】高考数学 第七章第七节空间向量及其运算课后练习 理 人教A 版一、选择题1．空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系为( ) A ．共线 B ．共面 C ．不共面D ．无法确定解析：可在空间直角坐标系中作图分析，知A 、B 、C 、D 不共面． 答案：C2.如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M是AC 与BD 的交点，若AB u u u r＝a ，11A D u u u u r ＝b ，1A A u u u u r ＝c 则下列向量中与1B M u u u u r相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解析：1B M u u u u r ＝1B A u u u u r ＋AM u u u u r ＝1B B u u u u r ＋BA u u u r ＋AM u u u u r＝－12a ＋12b ＋c .答案：A3．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP u u u r ＝OA u u u r ＋t AB u u u r，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上． 答案：A4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：∵a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m 、n ，使得c ＝ma ＋nb .即⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n 5＝－m ＋4n λ＝3m －2n∴λ＝657.答案：D5．(2011·济宁第一次月考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM u u u u r ＝121MC u u u u r ，N 为B 1B 的中点，则|MN u u u u r|为( )A.216aB.66aC.156a D.153a 解析：如图设AB u u u r＝a ， AD u u u r＝b ， 1AA u u u u r＝c ， 则|MN u u u u r |＝|MA u u u r ＋AB u u u r ＋BN u u u r |＝|－131AC uu u u r ＋AB u u u r ＋121BB u u u u r |＝|－13(a ＋b ＋c )＋a ＋12c |＝|23a －13b ＋16c | ∴|MN |2＝(23a －13b ＋16c )2可求|MN |＝216a . 答案：A 二、填空题6．(2012·海口模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．则以AB u u u r ，ACu u ur 为边的平行四边形的面积为________．解析：由题意可得：AB u u u r＝(－2，－1,3)，AC u u u r ＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB u u u r ，AC u u u r 〉＝AB u u u r ·ACu u ur | AB u u ur ||AC u u u r |＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB u u u r ，AC u u u r 〉＝32.∴以AB u u u r ，AC u u ur 为边的平行四边形的面积S ＝2×12|AB u u u r |·|AC u u u r |·sin〈AB u u u r ，AC u u u r 〉＝14×32＝7 3.答案：7 37．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(11A A u u u u r ＋11A D u u u u r ＋11A B u u u u r )2＝311A B u u u u r 2；②1A C u u u u r ·(11A B u u u u r －11A A u u u u r )＝0；③向量1AD u u u u r 与向量1A B u u u u r的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u u r|.其中正确命题的序号是________．解析：由1AA u u u u r ⊥11A D u u u u r ，1AA u u u u r ⊥11A B u u u u r ，11A D u u u u r ⊥11A B u u u u r ⊥11A B u u u u r ，得(1A A u u u u r ＋11A D u u u u r＋11A B u u u u r )2＝3(11A B u u u u r )2，故①正确；②中11A B u u u u r －1A A u u u u r ＝1AB u u u u r，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD u u u u r 与1A B u u u u r的夹角为120°，故③不正确；④中|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u ur |＝0.故④也不正确．答案：①② 三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB u u u r ＝e 1＋e 2，AC u u u r ＝2e 1＋8e 2，AD u u u r＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明：令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3v ＝0，λ＋8μ－3v ＝0.易知⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5，μ＝1，v ＝1，是其中一组解，则－5AB u u u r ＋AC u u u r ＋AD u u u r＝0.∴A 、B 、C 、D 共面．9．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a ·b 以及a 与b 所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa ＋μb 与z 轴垂直．解：2a ＋3b ＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8) ＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)． 3a －2b ＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8) ＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.∵|a |＝32＋52＋－42＝50，|b |＝22＋12＋82＝69，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2150·69＝－7138230.∵λa ＋μb 与z 轴垂直，∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ.∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa ＋μb 与z 轴垂直． 10.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．解：(1)证明：设CA u u u r ＝a ，CB u u u r ＝b ，CC 'u u u r＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.∴CE u u u r ＝b ＋12c ，A D 'u u u u r ＝－c ＋12b －12a .∴CE u u u r ·A D 'u u u u r ＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE u u u r ⊥A D 'u u u u r，即CE ⊥A ′D .(2) AC 'u u u u r ＝－a ＋c ，∴|AC 'u u u u r |＝2|a |，|CE u u u r |＝52|a |.AC 'u u u u r ·CE u u u r ＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC 'u u u u r ，CE u u u r 〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。