专题04 空间向量与立体几何(单元测试卷)(原卷版)

高中数学选择性必修一第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量()2,4,5＝a ，)3(x y ＝，，b 分别是直线1l 、2l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ） A ．6x ＝，1y ＝B ．6x ＝，152y ＝C ．3x ＝，15y ＝D ．3x ＝，152y ＝2．若()1,2,1A -，()4,2,3B ，()6,9,4C -，则ABC △的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．如图，空间四边形C OAB 中，OA =a ，OB =b ，C O =c ，点M 在OA 上，23OM =OA ，点N 为C B 中点，则MN 等于（ ）A ．121232-+a b cB ．211322-++a b cC ．111222+-a b cD ．221332+-a b c4．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,2,1A 关于xOy 平面对称的点的坐标为（ ）A ．()1,2,2B ．()2,2,1--C ．()2,2,1-D ．()2,2,1---5．已知空间上的两点()121A -，，，()203B -，，，以AB 为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（ ） A ．3B ．23C ．9D ．336．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AD ，BC 所成的角为（ ） A ．120︒B ．30︒C ．90︒D ．60︒7．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点， 则1B M 与1D N 所成角的余弦值为（ ）A 30B 30C 30D 15 8．设()321=--，，a 是直线l 的方向向量，()121=-，，n 是平面的法向量，则（ ） A ．l a ⊥B ．l a ∥C ．l a ⊂或l a ⊥D ．l a ∥或l a ⊂9．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ） A ．24B ．23C ．33D ．3210．在正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点S 在底面的射影，P 为侧棱SD 的中点， 且SO OD =，则直线BC 与平面PAC 所成的角是（ ） A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．66C ．33D ．6312．如图，已知正方体ABCD EFGR -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角P OQ R --，Q OR P --，R OP Q --的平面角为α，β，γ，则（ ）A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βαγ<<二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．设平面α的法向量为()122-，，，平面β的法向量为()24λ，，，若αβ∥，则λ的值 为______．14．已知()1,2,1A -，()2,2,2B ，点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标 为____________．15．如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则顶点1B 的坐标是__________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，2AB ＝，E 是PB 的中点，,3cos DP AE =． （1）建立适当的空间坐标系，求出E 的坐标； （2）在平面PAD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB ．18．（12分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为23的菱形， 60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，23PD =，E 是棱PD 上的一个点，23DE =，F 为PC 的中点．（1）证明：BF ∥平面ACE ；（2）求直线AF 与平面ACE 所成角的正弦值．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA AB ⊥，PA BC ⊥，//AP CQ ，22AB BC ==，332CQ AP ==． （1）求直线PD 与平面BPQ 所成角的正弦值； （2）求二面角A PQ B --的余弦值．21．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒， 且22AD BC CD ==，PA PB PD ==． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设45PAD ∠=︒，求二面角B PD C --的余弦值．22．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，22BC =． （1）求证：CD ⊥面PAC ； （2）求二面角M AB C --的大小；（3）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 成角的正弦值为105，求ANNB的值．高中数学选择性必修一第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】，解得：6x =，152y =．故选B ． 2．【答案】C【解析】因为()3,4,2AB =、()5,7,3AC =-、()2,11,1BC =-，所以0AB AC ⋅<可知角A 为钝角，故ABC △的形状是钝角三角形．选C ． 3．【答案】B【解析】由题意1132MN MA AB BN OA OB OA BC =++=+-+211211322322OA OB OC OB OA OB OC =-++-=-++；又OA =a ，OB =b ，C O =c ，∴211322MN =-++a b c ．故选B ．4．【答案】C【解析】关于xOy 平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数， 从而有点()2,2,1A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()2,2,1-，选C ． 5．【答案】D【解析】∵()121A -，，，()203B -，，，∴3AB ==，设正方体的棱长为a 3=，解得a =∴正方体的体积为3=D ．6．【答案】D 【解析】如图建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()002A ，，，()200B ，，，()020C ，，，()200D -，，，故()202AD =--，，，()220BC =-，，， 则2AD BC ⋅=，2AD =，2BC =， 所以1cos 2AD BC =，，故选D ． 7．【答案】A【解析】建立如图所示的空间坐标系，设边长为a ．则()000D ，，，()1002D a ，，，()1222B a a a ，，，()0M a a ，，，()00N a ，，， 故()102ND a a =-，，，()12B M a a a =---，，， 所以15ND a =，16B M a =，2113ND B M a ⋅=-， 则211330cos 56a ND B M a a-==，，应选答案A ．8．【答案】D【解析】因为()()()3122110⋅=⨯+-⨯+-⨯-=a n ，所以⊥a n ，即l a ∥或l a ⊂．故选D ．9．【答案】C【解析】分别以DA，DC，1DD为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D，()1,1,0B，()10,1,1C，()11,0,1A，∴()11,0,1BC=-，()11,0,1A D=--，()1,1,0BD=--，设(),,x y z=n是平面1A BD的一个法向量．∴1A DBD⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=nn，即x zx y+=+=⎧⎨⎩取1x=，得1y z==-，∴平面1A BD的一个法向量为()1,1,1=--n，设直线1BC与平面1A BD所成角为θ，∴11126sin cos,323BCBCBCθ⋅-=〈〉===⨯nnn，∴23cos1sin3θθ=-=，即直线1BC与平面1A BD所成角的余弦值是33．故选C．10．【答案】D【解析】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O xyz-．设OD SO OA OB OC a=====，则00A a（，，），00B a（，，），00C a-（，，），022a aP⎛⎫-⎪⎝⎭，，，()2,0,0CA a=，,,22a aPA a⎛⎫=--⎪⎝⎭，设平面PAC的法向量为(),,x y z=n，则2022axa aax y z=⎧--+=⎪⎨⎪⎩可求得()0,1,1=n，则1cos ,2BC=n， ,60BC=︒n，∴直线BC与平面PAC所成的角为906030︒-︒=︒．故选D．11．【答案】B【解析】以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，()0,3,0A，()0,0,3P，()3,3,0D，()0,2,1E，∴()0,2,1BE=，()3,3,0BD=，设平面BED的一个法向量为(),,x y z=n，则20330BE y zBD x y⋅=+=⋅=+⎧⎪⎨⎪⎩=nn，取1z=，得11,,122⎛⎫=-⎪⎝⎭n，平面ABE的法向量为()1,0,0=m，∴162,6612cos==⨯n m．∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为66．故选B．12．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．考虑点与点A重合时的情况．设正方体的棱长为1，则1103P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1Q 002⎛⎫⎪⎝⎭，，，()R 010，，，()O 001，，． 设平面的一个法向量为()1x y z =，，n ，由()()1110102211002323x OQ x y z z x y PQ x y z ⎛⎫⋅=⋅-=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=⋅--⎩=--= ⎪⎝⎭，，，，，，，，n n ，得322x y x z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令2x =，得()12,3,1=-n ．同理可得平面OPR 和平面OQR 的法向量分别为()2233=，，n ，()3637=，，n ． 结合图形可得：13cos cos 747α==⨯，n n ，23cos cos 1147β==⨯，n n ，12cos cos 711γ==⨯，n n cos cos cos γαβ<<，又0γ<，,αβ<π，∴γαβ>>．故选D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】4-【解析】设平面α的法向量()122=-，，m ，平面β的法向量()24λ=，，n ， 因为αβ∥，所以∥m n ，所以存在实数k ，使得k =m n ，所以有12224kk k λ=-==⎧⎪⎨⎪⎩，解得4λ=-，故答案为4-．14．【答案】()003，， 【解析】设0(0)P z ，，，由PA PB =，得()()22141442z z ++-=++-，解得3z =，故点P 的坐标为()003，，． 15．【答案】()3,1,2【解析】2sin 33x =π=，2cos 13y =π=，2z = ，即顶点1B 的坐标是()3,1,2．16．【答案】33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴，SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则()1,1,0A --，()1,1,0B -，()0,0,2S ，()1,1,0D -，112,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以312,,222AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,2SD =--，∴311322cos ,3911112442AE SD -+-==-++⋅++． 故异面直线AE ，SD 所成角的余弦值为33．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）111（，，）；（2）点F 的坐标是100（，，），即点F 是AD 的中点． 【解析】（1）分别以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，如图，则200A （，，），220B （，，），020C （，，），设2PD m =，002P m （，，），则11E m （，，），∴11AE m =-（，，），002DP m （，，=） ∴22,23cos 3112m DP AE m m==++⋅，解得1m =．∴点E 坐标是111（，，）； （2）∵F ∈平面PAD ，∴可设0F x z （，，），111EF x z ---=（，，）， 又EF ⊥平面PCB ，∴EF CB ⊥⇒()()1102?20x z --⋅-=，，-1，，，解得1x =； 又∵EF PC ⊥∴()()1110220x ---⋅-=，，z ，，0z ⇒=， ∴点F 的坐标是100（，，），即点F 是AD 的中点． 18．【答案】（1）25；（2）30．【解析】（1）以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系．则有001A （，，）、200B （，，）、020C （，，）、010E （，，） ∴210EB -=（，，），021AC -=（，，），∴cos 5525EB AC ==-⋅,，所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25． （2）设平面ABC 的法向量为()1x y z =，，n ，则1AB ⊥n 知120AB x z ⋅=-=n ，1AC ⊥n 知120AC y z ⋅=-=n 取()11,1,2=n ，则1sin3030EB=,n，故BE和平面ABC的所成角的正弦值为3030．19．【答案】（1）见解析；（2）26．【解析】（1）证明：连接BD，设BD AC O=，取PE的中点G，连接BG，OE，FG，在BDC△中，因为O，E分别为BD，DG的中点，所以OE BG∥，又BG⊄平面AEC，所以BG∥平面AEC，同理，在PEC△中，FG CE∥，FG∥平面AEC，因为BF⊂平面AEC，所以BF∥平面AEC．（2）以O为坐标原点，分别以OB，OC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，在等边三角形ABD中，因为23AB=3OA=，3OB=因此()0,3,0A-，()0,3,0C，233,0,E⎛⎝⎭，(3,0,23P，3332F⎛⎝，且233,3,EC⎛=⎭，()0,3,0OC=，3932AF⎛=-⎝，设平面ACE的一个法向量为(),,x y z=n，则23033030EC x yOCy⎧⎪⎨⎪⎩⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⋅=⎪=⎩nn，取2x=，得()2,0,3=n，直线AF 与平面ACE 所成的角为θ，则33326sin 2638149344AF AFθ-+⋅===⋅+++n n ．20．【答案】（1）55；（2）755．【解析】∵PA AB ⊥，PA BC ⊥，∴PA ⊥底面ABCD ，又底面ABCD 为矩形， ∴分别以AB ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,2P ，()2,1,3Q ． ∴()0,0,2AP =，()2,0,2BP =-，()2,1,1PQ =，()0,1,2PD =-． （1）设平面BPQ 的一个法向量()1111,,x y z =n ，则11111110220 200BP x z x y z PQ ⎧⎪⎨⎪⋅=-+=⎧⇒⎨++⋅=⎩⎩=n n ，令11z =，得()11,3,1=-n ，∴PD 与平面BPQ 所成角的正弦值11555sin 11511PD PDθ⋅===⨯n n ．（2）设平面APQ 的一个法向量()2222,,n x y z =，则222222020200AP z x y z PQ ⎧⎪⎨⋅==⎧⇒⎨++=⋅=⎩⎪⎩n n 令21x =，得 ()21,2,0=-n ，∴1212127755cos ,55115⋅===⨯n n n n n n ，∴二面角A PQ B --的余弦值为75555． 21．【答案】（1）见解析；（2）63． 【解析】（1）证明：如图，取AD ，AB 的中点O ，G ，连接OB ，OP ，OG ，PG ， 则四边形OBCD 为正方形，∴OA OB =，∴OG AB ⊥． 又PA PB =，∴PG AB ⊥， 又OGPG G =∴AB ⊥平面POG ，又PO ⊂平面POG ，∴AB PO ⊥． ∵PA PD =，∴PO AD ⊥． 又ABAD A =，∴PO ⊥平面ABCD ．又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）知OB ，OD ，OP ，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵45PAD ∠=︒，PO AD ⊥，∴PO OA OB OD ===．令1OA OB OD ===，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ， ∴()1,0,1PB =-，()0,1,1PD =-，()1,0,0CD =-． 设平面PBD 的一个法向量为()1111,,x y z =n ，由11PBPD⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩nn，得111111PB x zPD y z⋅=-=⋅⎧⎪⎨⎩==⎪-nn，取11x=，得()11,1,1=n．又设平面PCD的法向量为()2222,,x y z=n，由22CDPD⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩nn得22222CD xPD y z⋅=-=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩-=nn，取21y=，得()20,1,1=n，∴1212120116cos,332⋅++===⋅⋅n nn nn n，由图形得二面角B PD C--为锐角，∴二面角B PD C--的余弦值为63．22．【答案】（1）见解析；（2）4π；（3）1ANNB=．【解析】证明：（1）连结AC．因为在ABC△中，2AB AC==，22BC=，所以222BC AB AC=+，所以AB AC⊥．因为AB CD∥，所以AC CD⊥．又因为PA⊥地面ABCD，所以PA CD⊥．因为AC PA A=，所以CD⊥平面PAC．（2）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,0,2P，()2,0,0B，()0.2.0C，()2,2,0D-．因为M是棱PD的中点，所以()1,1,1M-．所以()1,1,1AM=-，()2,0,0AB=．设(),,x y z=n为平面MAB的法向量，所以0AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即020x y z x -++=⎧⎨=⎩，令1y =，则011x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以平面MAB 的法向量()0,1,1-n =．因为PA ⊥平面ABCD ， 所以()0,0,2AP =是平面ABC 的一个法向量． 所以2cos 22AP AP AP⋅===-⨯n n,n ．因为二面角M AB C --为锐二面角， 所以二面角M AB C --的大小为4π． （3）因为N 是棱AB 上一点，所以设(),0,0N x ，(),2,0NC x =-．设直线CN 与平面MAB 所成角为α， 因为平面MAB 的法向量()0,1,1=-n ，所以210sin cos 224ACAC x ααπ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⨯+n n ． 解得1x =，即1AN =，1NB =，所以1ANNB=．。

高中数学空间向量与立体几何单元练习题（含解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ） A ．()1,2,1-- B ．()1,2,1- C ．()1,2,1--- D ．()1,2,1-- 2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3- 4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π 7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（ ）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH ∥平面BCD ；（2）BD ∥平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.18．如图，在三棱锥A BCD-中，平面ABD⊥平面BCD，AB AD=，O为BD的中点.⊥；（1）证明：OA CD（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2=，且二面角DE EA-的体积.E BC D--的大小为45︒，求三棱锥A BCD高中数学空间向量与立体几何单元练习题答案1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， ∴11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=． 故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底， 所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==故选：B.9．C 【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误； 对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误； 对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =， 则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-， 设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB ∥CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB ∥CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α， 必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，∴11222x -==--，解得=1x -； 故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥，而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =， 所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=． 故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k =设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=- 当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y +=23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD ⊥AB ，CD ⊥1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED∵111ABC A B C 是三棱柱，∴四边形11BCC B 为平行四边形，∴E 是1BC 的中点.∵点D 是AB 的中点，∴ED 是1ABC 的中位线，∴1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，∴1AC ∥平面1CDB .（2）∵1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴1AA AB ⊥，∵AC BC =，AD BD =，∴CD AB ⊥，∵1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，∴CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH ∥BD ，由此能证明EH ∥平面BCD ；（2）由BD ∥EH ，由此能证明BD ∥平面EFGH .【详解】（1）∵EH 为△ABD 的中位线，∴EH ∥BD .∵EH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴EH ∥平面BCD ；（2）∵FG 为△CBD 的中位线，∴FG ∥BD ，∴FG ∥EH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面，∵BD ∥EH ，BD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，∵E 为PB 的中点，∴OE PD ∥，又∵OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，∴OE 平面PDC ；（2）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，∵PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又∵,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，∴AC ⊥平面PBD ，又∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析；【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=， 设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--． 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．①使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα．② 将①②两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=， 由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=， 根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =， 结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。

空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。

2021-2022年度高二第一学期单元测试空间向量与立体几何一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N 分别为1A B 和AC 上的点，123aA M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定2. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是AD 、DC 中点，则(EF AB = )A ．14B ．14-C ．34D ．34-3. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B 2C 3D 254. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3BC =，16AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．15︒5. 如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A 17B ．7C ．217D ．96. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．52B ．62C 2213D 24137. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( ) A 2B 3C ．34D ．18. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角． 则其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）14.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．15.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱11A B ，BC 上的动点，且1A E BF =，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 ．16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为 ．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形ABCD ，四棱锥P ABCD -的顶点P 在平面α上，7AB =3AD ，AD DB ⊥，AC BD O =，//OP AQ ，2AQ =，M ，N分别是AQ 与CD 的中点． （1）求证：//MN 平面QBC ； （2）求二面角M CB Q --的余弦值．18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==． （Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223．19. 如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为55．20. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒．F 为PA 中点，2PD =，112AB AD CD ===． 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值．22. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1==，PO OB（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P ABC-体积的最大值；（Ⅲ）若2BC=，点E在线段PB上，求CE OE+的最小值．。

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2009·全国Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，有a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2解析：解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－2 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 因此当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，(a －c )·(b －c ) 取到最小值1－ 2. 解法二：(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝1－(a ＋b )· c ≥1－|a ＋b ||c |＝1－(a ＋b 2) ＝1－ 2.2．过点（1，0）且与直线220x y --=的法向量垂直的直线方程是[答]（ ） （A ）210x y -+=． (B) 210x y --=． (C) 220x y +-=． （D ）210x y +-=．3．已知A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC 内的点是( ) (A )(2，3，1) (B )(1，－1，2)(C )(1，2，1)(D )(1，0，3)4．已知α ⊥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ＝(1，－2，3)，n ＝(2，3λ，4)，则λ＝( )(A )35 (B )35-(C )37 (D )37-5．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )(A ))32,32,31(-和)32,32,31(-- (B ))32,32,31(- (C ))32,32,31(和)32,32,31(---(D ))32,32,31(--第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题6．空间直角坐标系中，点(1,2,2)P -到原点O 的距离为__________．7．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF 且BE ＜CF,∠BCF=2π，AD=3，EF=2.（1）求证： AE∥平面DCF ； （2）设(0)AB BE λλ=>，当λ为何值时，二面角A —EF —C 的大小为3π。

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC 内的点是( ) (A )(2，3，1) (B )(1，－1，2)(C )(1，2，1)(D )(1，0，3)2．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[(D )]2π,0(第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题3．若()()2,1,3,1,3,9,a x b ==且//a b ，则x = ___▲____．4．（5分）直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，若 =，=，=，则= ﹣﹣+ ．5．（理）已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、、三向量共面，则实数λ等于____________；6．已知O 为坐标原点，(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OC =，若点M 在直线OC 上运动，则AM BM ⋅的最小值为 ▲ .7．点(437)P -，，关于xOy 平面的对称点坐标为： ▲ ．8．已知(2,5,1),(2,2,4),(1,4,1)A B C ---，则向量AB 与AC 的夹角等于 _▲ 9．已知α ∥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ，n ，且m ＝(1，－2，5)，n ＝(－3，6，z )，则z ＝______．10．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______．11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简=-+1AA AD AB ______.12．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，P 是棱CC 1上一点，CP ＝m ，且直线AP 与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为322，则m ＝______．三、解答题13．已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ===,M N 分别是,PD PB 的中点．（1）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （2）求点A 到平面MCN 的距离．PCBA14．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．15．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，E ，F 分别是AB ，PC的中点．求证：EF ⊥平面PCD ．16．如图：三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC 所成的角为3π。

第三章空间向量与立体几何单元测试(时间： 90 分钟满分：120分)第Ⅰ卷 (选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分．1．以下四组向量中，相互平行的组数为()①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；② a＝(8,4，－ 6)，b＝(4,2，－ 3)；③a＝(0，－ 1,1)，b＝(0,3，－ 3)；④ a＝(－3,2,0)，b＝(4，－ 3,3) A．1 组B．2 组C．3 组D．4 组分析：∵②中 a＝2b，∴ a∥b；③中 a＝－1 ，b3∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案： B2．在以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件；②若a∥b，则存在独一的→实数λ，使 a＝λb；③对空间随意一点O 和不共线的三点A，B，C，若OP＝→→→2OA－2OB－OC，则 P，A，B，C 四点共面；④若 { a，b，c} 为空间的一组基底，则 { a＋b，b＋c，c＋a} 组成空间的另一组基底；⑤|(a·b) ·c|＝|a| ·|b| ·|c|.A．2 个B．3 个C．4 个 D ．个5分析：①|a|－|b|＝|a＋ b|? a 与 b 共线，但 a 与 b 共线时 |a|－|b|＝|a＋b| 不必定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③由于 2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数目积的性质知，不正确．答案： C3．如图，已知四边形 ABCD 为矩形， PA ⊥平面 ABCD ，连结 AC ，BD ，PB ， PC ，PD ，则以下各组向量中，数目积不必定为零的是( )→ →→ →与BD B.DA 与PB A. PC→ → → → C.PD 与AB 与CD D.PA分析：成立以下图的空间直角坐标系．设矩形 ABCD 的长、宽分别为 a ，b ，PA 长为 c ，则 A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b ，a,0)，P(0,0，c)．→ → → →则PC ＝(b ，a ，－ c)，BD ＝(－b ，a,0)，DA ＝(0，－ a ，0)，PB ＝(b,0， → → → →－ c )，PD ＝ (0，a ，－ c)，AB ＝ (b,0,0)，PA ＝(0,0，－ c)，CD ＝(－b,0,0)．→ →∴P C·BD＝－ b2＋a2不必定为 0.→ →→ →→→＝0.·＝0，PD·＝0， PA·DA PB AB CD 答案： A4．已知向量 e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b1)＝e1＋2e3，则 (6a) ·b 等于 (2A．15 B． 3C．－ 3 D ．51分析： (6a) ·b ＝3a·b＝3(3e ＋2e －e ) ·(e ＋2e )＝9|e |2－6|e |2＝3.2123131 3 答案： B5．如图， AB＝AC＝BD＝1， AB? 面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD 与面α成 30°角，则A．1 C、D 间的距离为( )B． 2C. 2D. 3→→→→→→→→→→→分析：|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD→→→＋2CA·BD＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD|＝ 2.答案： C6．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线 OA 上有一点 H知足 BH⊥OA，则点 H 的坐标为 ()A．(－2,2,0) B． (2，－2,0)C. －1，1，0 D.1，－1，02 2 2 2→分析：由OA＝(－1,1,0)，且点 H 在直线 OA 上，可设 H(－λ，λ，0)，→则BH＝(－λ，λ－1，－ 1)．→→又 BH⊥OA，∴ BH·OA＝0，即(－λ，λ－1，－ 1) ·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－＝，解得λ＝1，∴H －1，1，.1 02 2 2答案： C7．已知 a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角是 ()A．90°B． 60°C．30° D ．0°分析： (a＋b) ·(a－b)＝a2－b2＝ (cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴ (a＋b)⊥ (a－b)．答案： A8．已知 E、F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是 ()2 2A. 3B. 35 2 3C. 3D. 3分析：以 D 为坐标原点，以 DA 、DC 、DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 如图．则 A(1,0,0)，E 1，1，0 ，F 0，1，1，D 1，22(0,0,1)→ → 1l 所以 AD 1＝(－1,0,1)，AE ＝ －2，1，0 .设平面 AEFD 1 的法向量为 n ＝(x ，y ，z)，→ ＝0， －x ＋z ＝0，· 则n AD 1? －x＋y ＝0.→· ＝0，2n AE∴ x ＝2y ＝z.取 y ＝1，则 n ＝(2,1,2)，而平面 ABCD 的一个法向量为 u ＝2 5(0,0,1)，∵ cos 〈n ，u 〉＝ 3，∴ sin 〈n ，u 〉＝ 3 .答案： C9．在三棱锥 P-ABC 中，△ ABC 为等边三角形， PA ⊥平面 ABC ，且 PA＝AB ，则二面角 A-PB-C 的平面角的正切值为 ()A. 6B. 3C. 6D. 6 62分析：设 PA ＝AB ＝2，成立以下图的空间直角坐标系．则 B(0,2,0)，C( 3，1,0)， P(0,0,2)，→∴ B P ＝(0，－ 2,2)， →BC ＝( 3，－ 1,0)．设 n ＝(x ，y ，z)是平面 PBC 的一个法向量．→BP ·n ＝ 0， －2y ＋2z ＝0，则 即→3x －y ＝0. BC ·n ＝ 0，3令 y ＝1，则 x ＝ 3 ，z ＝1.即 n ＝ 33，1， 1 .易知 m ＝(1,0,0)是平面 PAB 的一个法向量．3·37则 cos 〈m ， n 〉＝m n21＝ 7. |m||n|＝ 1×3∴正切值 tan 〈m ，n 〉＝ 6.答案： A．已知 → →→＝(1,2,3)，OB ＝(2,1,2)，OP ＝(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上10 OA→ →运动，则当 QA ·获得最小值时，点 Q 的坐标为 ()QB1 3 11 3 3A. 2，4，3B. 2，2，4C. 4，4，8D. 4，4，73 3 33 3 3→分析： ∵Q 在 OP 上，∴可设 Q(x ，x,2x)，则 QA ＝(1－x,2－x,3－2x)，→QB ＝(2－ x,1－x,2－2x)．→ →∴ Q A ·QB ＝6x 2－16x ＋10，4 → →∴ x ＝3时， QA ·QB 最小，4 4 8这时 Q 3，3，3 .答案： C第Ⅱ卷 (非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．11．已知 a ＝(3，－ 2，－ 3)，b ＝(－1，x － 1,1)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 __________．分析：由于 a 与 b 的夹角为钝角，于是－ 1＜ cos 〈a ，b 〉＜0，所以 a ·b ＜0，且 a 与 b 的夹角不为 π，即 cos 〈a ，b 〉≠－1.5 5解得 x ∈ － 2，3 ∪ 3，＋ ∞ .5 5答案： －2，3 ∪ 3，＋∞1 112．以下图，已知正四周体A-BCD 中，AE ＝4AB ，CF ＝4CD ，则直线 DE 和 BF 所成的角的余弦值为 __________．→ → → 1 →→ 分析： ED ＝EA ＋AD ＝4BA ＋AD ，→ → → → 1 → BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋4CD ， → → → →ED ·BF〈 ED ，BF 〉＝cos→ →|ED| |BF ·|1 →→→1 →＋AD · ＋4CD＝4BABC1 →→2→ 1→2＋AD·＋4CD4BABC4＝ 13.4答案： 1313．已知 a＝(x,2，－ 4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－ 2，z)，且 a，b，c 两两垂直，则 (x，y，z)＝__________.－x ＋2y －12＝ 0，分析：由题意知 x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得 x ＝－ 64， y ＝－ 26，z ＝－ 17.答案： (－64，－ 26，－ 17)14．已知空间四边形 OABC ，以下图，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC的中点，点G 在线段MN → →上，且MG ＝3GN ，现用基向量→OA 、→ →→ → → → →OB 、OC 表示向量 OG ，并设 OG ＝ x ·OA ＋ y ·OB ＋z ·OC ，则 x 、y 、z 的和为__________．→ →→1 → 3 → 1 →31→→1→1分析： OG ＝ OM ＋MG ＝2OA ＋4MN ＝2OA ＋4 －2OA ＋OC ＋2CB ＝2→ 3 → 3 → 3 → 3 → 1 → 3 → 3 →OA －8OA ＋4OC ＋8OB －8OC ＝8OA ＋8OB ＋8OC ，1 3 3∴x ＝8，y ＝8，z ＝8.7∴x ＋y ＋z ＝8.7答案： 8三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分．15．(12 分)已知 a ＝(1,2，－ 2)．(1)求与 a 共线的单位向量 b ；(2)若 a 与单位向量 c ＝(0，m ，n)垂直，求 m 、n 的值．解： (1)设 b ＝(λ，2λ，－ 2λ)，而 b 为单位向量，∴|b|＝1，即 λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1.1 ∴λ＝± .(4 分)31 2 2 1 2 2∴b ＝ 3，3，－ 3 或 b ＝ －3，－ 3，3 .(6 分)·＝ ，1×0＋2m －2n ＝0，a c 0?(2)由题意，知m 2＋n 2＋02＝1，|c|＝1，m ＝ 2m ＝－ 2解得 2 ， 或 2，(12 分)22n＝ 2 ， n ＝－2 .16．(12 分)以下 (左)图，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别为 AC 、AB 上的点，且 DE ∥BC ，DE ＝2，将△ ADE 沿 DE 折起到△ A 1DE 的地点，使 A 1C ⊥CD ，以下 (右)图．(1)求证： A1C⊥平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小．解： (1)∵ AC ⊥BC ，DE ∥BC ，∴ DE ⊥AC.∴ D E ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴ DE ⊥平面 A 1DC.∴ D E ⊥A 1C.又∵ A 1C ⊥CD ，∴ A 1C ⊥平面 BCDE.(4 分 )(2)以下图，以C 为坐标原点，成立空间直角坐标系 C － xyz ，则A 1(0,0,2 3)，D(0,2,0)，M(0,1， 3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．设平面 A 1 的法向量为 →→BE n ＝，，，则·1＝0，n ·BE ＝0.(x y z)n A B→又A 1B ＝(3,0，－ 2 3)，→BE ＝(－1,2,0)，3x －2 3z ＝0，∴－ x ＋2y ＝0.令 y ＝1，则 x ＝2，z ＝ 3，∴ n ＝(2,1， 3)．设 CM 与平面 A 1BE 所成的角为 θ.→∵CM ＝(0,1， 3)，→→∴sin θ＝|cos 〈n ，CM 〉|＝ | n ·CM＝ 4 ＝ 2→ | 8× 42 .|n| ·|C M|∴CM 与平面 A 1BE 所成角的大小为π.(12 分)417．(12 分)如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面相互垂直， AB ＝ 2，AF ＝1，M 是线段 EF 的中点．(1)求证： AM ∥平面 BDE ；(2)试在线段 AC 上确立一点 P ，使得 PF 与 CD 所成的角是 60°.解： (1)证明：如图，成立空间直角坐标系．设 AC∩BD＝N，连结 NE，2 2则 N 2 ， 2 ，0 ，E(0,0,1)，→2，－ 2，1 .∴NE ＝ －222 2又A( 2， 2，0)，M 2，2，1，→2，－ 2，1 .∴AM ＝ －22→ →∴NE ＝AM ，且 NE 与 AM 不共线．∴NE ∥AM.又 NE? 平面 BDE ，AM?平面 BDE ，∴AM ∥平面 BDE.(6 分)(2)设 P(t ，t,0)(0≤t ≤ 2)，→ →则PF ＝( 2－t ， 2－t,1)，CD ＝( 2，0,0)． → →又∵ PF 与CD 所成的角为 60°.|2－t ·2|1 2－t 2＋ 2－t 2＋1·2＝2，2 3 2 解之得 t ＝ 2 ，或 t ＝ 2 (舍去 )． 故点 P 为 AC 的中点． (12 分)18．(14 分)如图，在圆锥 PO 中，已知 PO＝2，⊙ O 的直径 AB＝ 2，︵C 是AB的中点，D 为 AC 的中点．(1)证明：平面 POD⊥平面 PAC；(2)求二面角 B-PA-C 的余弦值．解： (1)证明：以下图，以 O 为坐标原点， OB，OC，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，1 1C(0,1,0)，P(0,0， 2)，D －2，2，0 .→→设 n1＝ (x1，y1，z1)是平面 POD 的一个法向量，则由 n1·OD＝0，n1·OP ＝0，空间向量与立体几何-单元测试含答案 21 / 211 1 得－2x 1＋2y 1＝0， (4 分) 2z 1＝0.∴ z 1＝0，x 1＝y 1.取 y 1＝1，得 n 1＝ (1,1,0)．设 n 2＝(x 2，y 2，z 2 ) 是平面 PAC 的一个法向量，则由 2 → ＝0，n 2 → ＝ · · n PA PC0，－x 2－ 2z 2＝0，得 y 2－ 2z 2＝0.∴ x 2＝－ 2z 2，y 2＝ 2z 2，取 z 2＝1，得 n 2＝(－ 2， 2，1)．∵n 1·n 2＝(1,1,0) (－· 2， 2，1)＝0，∴n 1⊥ n 2.进而平面 POD ⊥平面 PAC.(8 分)(2)∵ y 轴⊥平面 PAB.∴平面 PAB 的一个法向量为 n 3＝(0,1,0)．由 (1)知，平面 PAC 的一个法向量为 n 2＝(－ 2， 2，1)．设向量 n 2 和 n 3 的夹角为 θ，则 cos θ＝n 2·n 3 2 10 2 ·3＝ ＝ 5 . |n | |n |5 由图可知，二面角 B-PA-C 的平面角与 θ相等，∴二面角 B-PA-C 的余 10弦值为 5 .(14 分)。

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为 ( )AB ．1C ．D 北京文)．2．过点（1，0）且与直线220x y --=的法向量垂直的直线方程是[答]（ ） （A ）210x y -+=． (B) 210x y --=． (C) 220x y +-=． （D ）210x y +-=．3．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于( ) (A )2 (B )－2(C )－2或552 (D )2或552-4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1中点，平面A 1EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为( )(A )22 (B )23 (C )36 (D )33第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．（5分）直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，若 =，=，=，则= ﹣﹣+ ．6．（理）设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a ＝____________.7．已知O 为坐标原点，(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OC =，若点M 在直线OC 上运动，则AM BM ⋅的最小值为 ▲ .8．点(437)P -，，关于xOy 平面的对称点坐标为： ▲ ．9．已知△ABC 的三个顶点(3,3,2)A ，(4,3,7)B -，(0,5,1)C ，则BC 边上的中线长等于 ▲ ．10．若空间三点A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)共线，则p ＝______，q ＝______．11．已知α ∥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ，n ，且m ＝(1，－2，5)，n ＝(－3，6，z )，则z ＝______．12．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______．13．若A (0，2，1)，B (1，1，0)，C (－2，1，2)是平面α 内的三点，设平面α 的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝______．14．已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).(I) 若向量 a ＝(,,1x y )分别与向量,垂直，求向量a 的坐标. (II) 求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S 的值. （理） 三、解答题15．已知正三棱柱111C B A ABC -的各条棱长都相等，P 为B A 1上的点，A A 11λ=,且AB PC ⊥. (1) 求λ的值；(2) 求异面直线PC 与1AC 所成角的余弦值。

高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1 •若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量 的终点构成的图形是（）A. —个圆 E. —个点 C.半圆 D.平行四边形答案：A2 .在长方体 ABCD -ABQD i 中，下列关于 AG 的表达中错误的一个是（ ）答案：E3.若a , b, c 为任意向量， A. (a 亠b ) c =a - (b c )B. (a 亠b )・c =a ・c b-cC.m(a 亠 b ) =m a 亠 m bD. (a ・b )・c=a ・( b-c ) 答案：D1A. 1B. -1C.丄D -22答案：BA.B. AB DD^ De lC. AD CC 1 DC 1D.1(AB i CD i ) - AC im R ，下列等式不一定成立的是（4.若三点A B , e 共线,P 为空间任意一点, 且 PA 叱iPB = 1 PC ,^y - 的值为5. 设 a =(x,4,3), b= (3,2, z)，且 a II b , A. -4 B. 9 C. -9答案：B6 . 已知非零向量 e b e 2不共线， 如果A B, C , D ( )A. 一定共圆则四点亠A DB.恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面答案：C则xz 等于（AB = e AC =2 e 2 8 e AD =3 e -3 e 2,答案：B则x, y , z 的值分别为( )9 .若向量a =(1, ,2)与b= (2, -1,2)的夹角的余弦值为答案：c答案：D12.给出下列命题：① 已知 a _b ，则 a-(b c ) c-(b a ) =b c ；② A, B, M , N 为空间四点，若BA,B M ,BN 不构成空间的一个基底， 那么A , B, M , N 共面; ③ 已知a_b ，则a , b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④ 若a, b 共线，则a, 正确的结论的个数为(A. 1B. 2 答案：C 二、填空题13.已知 a =(3,15), b = (1,2,3)，向量 c 与 z 轴垂直，且满足 c-a = 9, c-b - -4，则 c =7.如图1空间四边形 ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E , F , G 分别是AB, AD , CD 的中点，贝U a 2等于() B. 2AD-BD C. 2FG-CAD. 8 .右 a = e e 2 - e 3, b =e ^ - e 2 ■ e 3, c =e<i • e 2 — e 3,d =e 2 e 2 3 e ，且 d = x a y b z c ,1.1,2 5 厶D1 - 1「25 /1 - 1「2 5 ~1 - 2-A. 2B. -2C.-2或—55D. 2 或-5510 •已知ABCD 为平行四边形，且A(413),A. -,4,12答案：DB. (2,4,1) 11 .在正万体 ABCD - A| B 1C 1D 1 中,A. 60°B. 90°B(2,— 5,1), C(3,7, -5)，则顶点D 的坐标为(C. (24,1)D. (513, -3)O 为AC , BD 的交点，则 C品C. arccos ——3GO 与AD 所成角的(D. arccos ——6b 所在直线或者平行或者重合.)D. 4A. 2EF-CB答案：22, -21 , 0 5 514.已知A B, C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量 ■ OC 确5 3 定的点P 与A, B, C 共面，那么，二 ____________ . 答案：-1515.已知线段 AB_面〉，BC 二卅，CD _BC , DF _ 面〉于点 F , / DCF =30°，且 D , A 在平面:-的同侧，若 AB =BC 二CD =2，则AD 的长为 ____________________ . 答案：2 216.在长方体ABCD —ABQ i D i 中，BQ 和CQ 与底面所成的角分别为 60°和45°,则异面直 线BC 和CQ 所成角的余弦值为 _____________________ . 答案：—4 三、解答题17 .设 a t =2i - j +K 逊=i +3 j -2 k 爲=-2 i + j 弋 k a =3 i +2 j +5 k,试问是否存在实 数-,7，使a 4 a 「；［_a 2 •a 3成立？如果存在，求出 \ ;如果不存在，请写出证明.答案：解：假设a 4 = ■ a^ ''a 2亠、.①成立. •- a 1 =(2, -1,1), a 2 =(13, -2), a 3 =(-21,3), a^(3,2,5), ••• (2 •-2、，-，3二朕:，• -2」- 3、)=(3,2,5).◎人+4-2v=3, j\ = -2, •. -2,解得」=1,■ -2」-3.. =5,- -3.所以存在，=-2, " =1 , v = -3 使得 a 4 = -2a 1 a 2 -3a 3. 理由即为解答过程.18 .如图2,正三棱柱AB^ -A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为 所成的角.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0, 0, B(0 , a , 0, A (0,0, V2a) , C 「一亟 a, - , ,7a2 2 由于n = ( -1,0, 0)是面ABB 1A ］的法向量,1*122a ,求AC 1与侧面ABB 1A\故AC i与侧面ABB i A所成的角为30°.19 •如图3，直三棱柱ABC- ABC中，底面是等腰直角三角形, .ACB 二90°，侧棱AA i =2, D, E分别是CC i与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是求点A i到平面AED的距离. △ ABD的重心G ,解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=2a ,则A(2a,0,0, B(0,2a,0, D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,),-(0 , -2a,1).由GE_BD=GE・BD=0,得a=1,则A i(2,0,2) A(2,0,0) E(1,1,1).自A1作AH —面AED于M，并延长交xOy面于H，设H (x, y,0), —I则AH =(x —2, y, -2).又AD =(-2,0,1) , AE =(—1,1,1).丄AH _AD, —2(x—2)—2=0, x =1, ZR由1得H (1,1,0)."H _ AE -(x -2) y -2 =0 y =1,又AM =A1A90s A1AAM = AA^cos A1AAH =2 —=20.已知正方体ABCD -ABGD1的棱长为2, P, Q分别是BC, CD上的动点，且PQ = . 2 ,确定P, Q的位置，使QB1 _PD . 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP =t ,得CQ = 2 -(2 -t)2, DQ =2 - 2 -(2 -t)2.那么B(2,0, 2) D1(0,2,2, P(2 , , 0) Q(2 - 2-(2-t)2,2,0),从而QB =( 2 -(2 -t)2, -2 ,2) , PD1 =(22 -t,2),T —+由QB _ PD = QB^PD t =0 ,即-2 2 -(2 -t)2 -2(2 -t) 4 =0二t =1 .故P, Q分别为BC, CD的中点时，QB i _PD i .21.如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，.ABC=90°,SA_面ABCD ,1SA二AB二BC =1, AD ，求面SCD与面SBA所成二面角的正切2值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，(1\则A(0,0,0, B(—1,0,0, C(—1,1,0) D .0, 2 0 , S(0,0,1).延长CD交x轴于点F ,易得F(1,0, 0),作AE _SF于点E ,连结DE ,则ZDEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.又由于SA二AF且SA_AF，得E -€5那么从而乩一1,°,」，ED…丄,1,V 2 2 丿V 2 2cos EA, EDEA-ED因此tan EAF , ED 二彳.故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22.平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且.GCB =. GCD = BCD ,试问:CD的值为多少时，AQ _面GBD ?请予以证明.当CG解：欲使AQ _面GBD ,只须AC _GD ,且AC _GB .欲证AC丄GD ,只须证CA・CD =0 ,t —t T 即(CA AA)・(CD -CG) =0 ,也就是(CD CB CC)(CD _CCJ =0,|C^2 -|C CJ2+|CB|C D|COS^BCD由于• GCB =/BCD , 显然，当CD |CC1时，上式成立；cos _GCB = 0 .同理可得，当时，AC —GB .CD因此，当时, AC _面G BD ..选择题：(10小题共40分)定共面的是2.直三棱柱 ABC — A B i G 中，若 CA = a, CB = b, CC r = C,则 A )B =3.若向量m 垂直向量a 和b ，向量n = ■ a h ：b(',」：=只且■、，北0)则A. m 〃 nB. m _ nC. mi 不平行于n,m 也不垂直于nD.以上三种情况都可台匕 冃匕4.以下四个命题中，正确的是C. (a b)c5.对空间任意两个向量 a,b(b o),a//b 的充要条件是6.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为A B i = a, A i D i = b, A A = c ,则下列向量中与B 1M 相等的是1.已知A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点 M 与点A. OM = OA 亠 OB 亠 OCB . OM = 2OA _ OB _ OCC . OM =OA !OB !OC2 3D.OM =1OA 」0B -OC3 3 3A. a b —cB. a — b eC. 一 a b cD. - a b - cA.若00=丄0入+丄0目 则P 、 2 3 'A 、E 三点共线 B.设向量｛a,b,c ｝是空间一个基底,c + a ｝构成空间的另一个基底D. △ ABC 是直角三角形的充要条件是 AB AC =0A. a 二 bB. a - -bC. b - ■ aA.0 °B.45C.90o.D.180 °7.在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与 BD 的A. -lalb lc B. la 」b 」c C. 2 2 2 28.已知 a =(• 1,0,2 Jb =(6,2」 -1,2),若a 〃b,则•与•啲值分别为9.已知a =3i 2j - k,b = i - j 2k,则5a 与3b 勺数量积等于10.在棱长为1的正方体ABC —A i B i CD 中，M 和N 分别为AB 和BB 的中点，那么直线CN所成角的余弦值是二.填空题：(4 小题共16分)11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9) 12.已知 A(0, 2, 3), B(-2 , 1, 6), C( 1, -1 , 5),若|a |二.3,且a _ AB,a _ AC,则向量 a的坐标为13.已知a,b 是空间二向量，若心|=3,闪|=2扁4卜.7,则a 与b 的夹角为 14.已知点 G 是厶ABC 的重心，O 是空间任一点，若 OA • OB • OC 」OG,贝，的值三.解答题：(10+8+12+14=44 分)15. 如图：ABCD 为矩形，PAL 平面 ABCD PA=AD M N 分别是PC AB 中点,16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内， 它和两个面所成的角都是300,求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小B.5, 2D.-5 , -2-b c 2A.-15B.-5C.-3D.-1AM 与2 B.-5C.35 D 」10三点共线，则 m+n= (1)求证：MN L 平面PCD (2)求NM 与平面 ABCD 所成的角的大小•17. 正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2, P为SA的中点，如图(1) 求二面角B—SC- D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小18. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ ABC中，CA=CB=1 / BCA=90，棱AA=2, M N分别是A1B1, AA的中点；(1)求BN的长;⑵求cos ：：： BA1,CB1的值;⑶求证：AB _CM•(4)求CB与平面AABB所成的角的余弦值高中数学选修2-1测试题（10）—空间向量⑴参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1 ,1 , 1) 13.60 0 14.315.(1) 略⑵45 016.45 0 17.(1) 1 3⑵18.(1) 3 (2) ■ 30(3) 略(4) 3 1010 1018.如图，建立空间直角坐标系O—xyz. (1 )依题意得B ( 0, 1, 0)、N( 1, 0, 1) •••I BN |= .(1 一0)2(0 一1)2 (1 - 0)2「3.(2) 依题意得A1 (1, 0, 2)、B ( 0, 1 , 0)、C (0, 0, 0)、B…BA ={ —1, —1, 2}, CB1 ={0, 1, 2, }, BA| • CB1 =3,BA. CB 11CB 1 |= J5 ••• cos< BA 1 , CB 1 >=(3)证明：依题意，得 G (0, 0, 2)、M( 1,1,2), A 1B ={ - 1 , 1 , 2} , CM,2 2 1 2 2评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 .考查空间两向量垂直的充要条件——-1 . 30. |BAJ|CB i |102‘20}. • A , B • C 1M =-1 12+ 2+0=0，AB 丄 C 1M ,• AB 丄CM.。

空间向量与立体几何检测题（考试时间：120分钟 满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 572．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +等于（ ）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ，则△BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．1010（理科）已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（ ） A ．1010 B ． 11112 C ． 53D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为 ． 15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ．16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是︒60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72 D ．422．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距离( ) (A )513 (B )517 (C )2921(D )129513．下列条件中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) (A )OC OB OA DM --=2(B )OC OB OA DM 213151++=(C )=+-20 (D )=+++OM 04．已知空间中三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与,都垂直，且3||=a ，则a ＝( )(A )(1，1，1) (B )(1，－1，1)(C )(－1，1，1)(D )(－1，－1，－1)或(1，1，1)5．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )(A ))32,32,31(-和)32,32,31(-- (B ))32,32,31(- (C ))32,32,31(和)32,32,31(---(D ))32,32,31(--6．ABCD 为正方形，E 是AB 中点，将△DAE 和△CBE 折起，使得AE 与BE 重合，记A ，B 重合后的点为P ，则二面角D －PE －C 的大小为( )(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．在空间直角坐标系中，已知点()1,0,2A ，()1,3,1B -，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是 ▲ ；8．（理）已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、b 、c 三向量共面，则实数λ等于____________；9．（理）已知(213)(142)(75)a b c λ=-=--=，，，，，，，，，若a b c ，，三向量共面，则λ等于10．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC BD ⋅ ( ) (A )1 (B )0(C )3(D )－33．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD BC BA ++＝( )(A )11B D (B )D 1 (C )1DB(D )1BD4．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[(D )]2π,0(第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．在空间直角坐标系O xyz -中，过点(4,2,3)M --作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件．6． 已知直线12l l ，的方向向量分别为(1,2,2)(2,3,)a b k =-=-，，若12l l ⊥，则实数k = ▲ ．7． 空间直角坐标系中，已知)2,0,1(A ，)1,3,1(-B ，点P 在Z 轴上，且PB PA =,则点P 的坐标为 ▲ .8．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距是 . 【答案】6或2 【解析】试题分析：由62=AB=6x =或2x =-，所以点A 到的平面yoz 的距离是6或2.9．点(437)P -，，关于xOy 平面的对称点坐标为： ▲ ． 10． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）2．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距离( ) (A )513 (B )517 (C )2921(D )129513．距离(选学)一、选择题1．已知a ⊂α ，A ∉α ，点A 到平面α 的距离为m ，点A 到直线a 的距离为n ，则( ) (A )m ≥n (B )m ＞n(C )m ≤n(D )m ＜n4．已知空间中三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与,都垂直，且3||=a ，则a ＝( )(A )(1，1，1)(B )(1，－1，1)(C )(－1，1，1) (D )(－1，－1，－1)或(1，1，1)5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC ⋅ ( ) (A )1 (B )0(C )3(D )－36．下列各组向量中不平行的是( ) (A )a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) (B )c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) (C )e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) (D )g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，24，40)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距是 . 【答案】6或2 【解析】试题分析：由62=AB=6x =或2x =-，所以点A 到的平面yoz 的距离是6或2.8．点(2,1,2)P -关于坐标原点的对称点的坐标为____________．9．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 .10．空间直角坐标系中，点4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．11．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.DB 11第22题(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.12．二面角α －l －β 为60°，点A ∈α ，且点A 到平面β 的距离为3，则点A 到棱l 的距离为13．棱长为4的正方体内一点P ，它到共顶点的三个面的距离分别为1，1，3，则点P 到正方体中心O 的距离为______.14．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.15．若A (0，2，1)，B (1，1，0)，C (－2，1，2)是平面α 内的三点，设平面α 的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝______．三、解答题16．（本小题满分10分）如图，在空间直角坐标系A - xyz 中，已知斜四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面是边长为3的正方形，点B ，D ，B 1分别在x ，y ，z 轴上，B 1A = 3，P 是侧棱B 1B 上的一点，BP = 2PB 1 ．（1）写出点C 1，P ，D 1的坐标；（2）设直线C 1E ⊥平面D 1PC ，E 在平面ABCD 内， 求点E 的坐标．17．(本小题满分10分)如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(Ⅰ)求二面角B AC M --的的余弦值； （Ⅱ）求点C 到面MAB 的距离.18．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AA AD E ==为线段CD 中点． (1) 求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值； （2）若2AB =,求二面角11A B E A --的大小；（3） 在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在,19．（10分）如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD=AD=3，E 为线段SD 上的一点． （1）求证：AC ⊥BE ；（2）若DE=1，求直线SC 与平面ACE 所成角的正弦值．1D 1B 120．如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC ⊥AD ；（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长. 【2012高考真题天津理17】（本小题满分13分）DCBAP21．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AD =，12D D =，点P 在棱1CC 上，且1A PB π∠=2．（1）求PC 的长；（2）求钝二面角1A A B P --的大小．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =，E ，F 分别是PA B CD 1A1B1C1D（第22题图）棱AB ，BC 上的点，且1EB FB ==．（1）求异面直线1EC 与1FD 所成角的余弦值；（2）试在面1111A B C D 上确定一点G ，使DG ⊥平面EF D 1．(江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)（本小题满分10分）23．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1，且60BAD ∠=︒的菱形，侧棱长为2，P 是侧棱1CC 上的一点，.CP m =（1）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角为60;︒ （2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q AP ⊥，并证明你的结论.24．2．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥CD ，且P A ＝2，E 为PD 中点．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ； (2)求二面角E －AC －D 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面P AF 的距离为552？若存在，确定点FADEC BD 1C 1B 1A 1FG（第22题图）的位置；若不存在，请说明理由．25．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，点D 是A 1C 的中点．(1)求A 1B 1与AC 所成的角的大小； (2)求证：BD ⊥平面AB 1C ； (3)求二面角C －AB 1－B 的余弦值．26．已知向量a ＝(1，－1，2)，b ＝(－2，1，－1)，c ＝(2，－2，1)，求 (1)(a ＋c )·a ； (2)｜a －2b ＋c ｜； (3)cos 〈a ＋b ，c 〉．27． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90oBAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113B E B B =，1113C F CC =．设baλ=． （1）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．FEC 1 B 1A 1CBA（第22题图）28．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,1AB AF == ．(1）求二面角A-DF-B 的大小；(2）在线段AC 上找一点P,使PF 与AD 所成的角为600试确定点P 的位置． 4．29．如图所示，已知四面体O ABC -中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，Q 为OB 的中点，P 为OA 的中点，若AB OC =，试用向量方法证明：PM QN ⊥30．如图，边长为2的正方形11A ACC 绕直线1CC 旋转90°得到正方形11B BCC ，D 为1CC 的中点，E 为1A B 的中点，G 为△ADB 的重心． (Ⅰ）求直线EG 与直线BD 所成的角；(Ⅱ）求直线1A B 与平面ADB 所成的角的正弦值．BEAFDCABC。

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）2．已知直线a ∥平面α ，且a 与平面α 的距离为d ，那么到直线a 的距离与到平面α 的距离都等于d 的点的集合是( ) (A )一条直线 (B )三条平行直线 (C )两条平行直线 (D )两个平面3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC BD ⋅ ( ) (A )1 (B )0(C )3(D )－34．ABCD 为正方形，E 是AB 中点，将△DAE 和△CBE 折起，使得AE 与BE 重合，记A ，B 重合后的点为P ，则二面角D －PE －C 的大小为( )(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1中点，平面A 1EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为( )(A )22 (B )23 (C )36 (D )336．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[(D )]2π,0(第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．已知(2,5,1),(2,2,4),(1,4,1)A B C ---，则向量AB 与AC 的夹角等于 _▲ 8．已知向量i ，j ，k 不共面，且向量a ＝mi ＋5j －k ，b ＝3i ＋j ＋rk ，若a ∥b ，则实数m ＝______，r ＝______.9．如图，已知点P 是单位正方体1111D C B A ABCD - 中异于A 的一个顶点，则⋅的值为__ _．BACDB 1A 1C 1D 1三、解答题10．平面图形111ABB AC C 如图4所示，其中11BB C C 是矩形，12,4BC BB ==，AB AC ==1111A B AC ==BC 和11B C 折叠，使ABC ∆与111A B C ∆所在平面都与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。