选修2-1空间向量单元测试题(经典)

高二数学空间向量测试题第一卷一 选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1、在以下命题中：①假设向量a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行；②假设向量a 、b 所在的直线是异面直线，那么a 、b 一定不共面； ③假设a 、b 、c 三向量两两共面，那么a 、b 、c 三向量一定也共面；④三向量a 、b 、c ，那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ． 其中正确命题的个数为 〔 〕A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD 中，,,,c AD b BC a AB ===那么=CD ( )A ．c b a -+B.c b a --C ．c b a +--D ．c b a ++-3、平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，那么顶点D 的坐标为( )A ．)1,4,27(-B ．(2，3，1)C ．(－3，1，5)D ．(5，13，－3)4、a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，假设b a ⊥，那么x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±65、设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，假设b a //，那么m ，n 的值分别为( )A ．43，8 B ．43-，—8 C ．43-，8 D ．43，－8 6、向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，那么a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°7、假设斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍，那么AB 与α 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°8、a ＝〔2，－1，3〕，b ＝〔－1，4，－2〕，c ＝〔7，5，λ〕，假设a 、b 、c 三向量共面，那么实数λ等于 〔 〕A ．627 B. 637 C. 647 D. 6579、在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°10、矩形ABCD 中，AB ＝1，2=BC ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，那么PC 与平面ABCD 所成的角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB那么△BCD 是 〔 〕 A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，那么直线PC 与平面APB所成角的余弦值为( )A ．21 B ．36 C ．33 D ．23第二卷二、填空题13、向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，那么a 在b 方向上的投影是______． 14、)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ，那么平面ABC 的一个法向量为____________．15、∠BOC 在平面α 内，OA 是平面α 的一条斜线，假设∠AOB ＝∠AOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，那么OA 与平面α 所成的角是______．16、以下命题中：(1)0=⋅b a 那么a ＝0或b ＝0；(2)==⋅⋅⋅⋅⋅22||||)3();()(q p c b a c b a2)(q p ⋅；(4)假设a 与b c a c b a ⋅⋅⋅⋅-)()(均不为0，那么它们必垂直．其中真命题的序号是______．三、解答题17、如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==ND N A 21=，试用基底},,{c b a 表示.MN18、如图，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，3=AB ，BC ＝1，P A ＝2，求直线AC与PB 所成角的余弦值．19、一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。

选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝135．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．66．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD →.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－2361211．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13 D.33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________. 14．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________． 16.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．18.(本小题满分12分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．19.( 本小题满分12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．20．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SO ⊥平面ABC ，侧面SAB 与SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，求二面角A —SC —B 的余弦值．21.(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证： AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题参考答案【第1题解析】如果O 、A 、B 、C 四点共面，则OA ，OB ，OC 共面，则OA ，OB ，OC 不可能为空间的一个基底.故选B.【第4题解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →，由空间向量的基本定理知，x ＝y ＝12.故选C.【第5题解析】利用线面角的公式可以求得其中有BD ，11B D ，11,B A C D 四条直线对角线满足题意，由题得C 是正确答案，故选C.【第6题解析】∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；由①②知AP →是平面ABCD 的法向量，∴③正确，④错误．故选C. 【第7题解析】32525x x -+-=∴=，故选C.【第8题解析】△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0.∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．故选B. 【第9题解析】建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，A C 1→＝(0,1,1)∴cos 〈BA 1→，A C 1→〉＝＝12·2＝12.∴〈BA 1→，A C 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.故选C.【第11题解析】∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x ，2－x,3－2x )，QB →＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，QA →·QB →最小，这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.故选C.【第12题解析】以点D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，A C 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈A C 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD所成二面角的余弦值为13.故选C.【第13题解析】∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 故填2.【第14题解析】AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，由a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y z ＝－43y ，x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．故填2∶3∶(－4)【第15题解析】∵cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.故填60°或120°. 【第16题解析】建立如图所示坐标系，则AD →＝(－1,1，－2)， B C 1→＝(0,2，－2)， ∴cos 〈AD →，B C 1→〉＝622·6＝32，∴〈AD →，B C 1→〉＝π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.故填π6.【第18题答案】（1）证明见解析；（2）SA 与平面BED 所成的角为π6.【第18题解析】(1)证明 连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O .由底面是菱形，得BD ⊥AC . ∵SB ＝SD ，O 为BD 中点， ∴BD ⊥SO . 又AC ∩SO ＝O ， ∴BD ⊥面SAC .又AE ⊂面SAC ，∴BD ⊥AE . (2)解 由(1)知BD ⊥SO ，同理可证AC ⊥SO ，∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2. ∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝||||||SC SA SC SA ⋅⋅＝|－3a 2＋a 2|3＋1a·3＋1a ＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.(2)ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴ (k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.【第20题答案】二面角A —SC —B 的余弦值为33. 【第20题解析】以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空直角坐标系Oxyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)，SC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.【第21题答案】（1）证明见解析；（2）455. 【第21题解析】(1)证明 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)．∴PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，PA →＝(0,0，－2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＝04x －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0x ＝12，所以平面PCD 的一个法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为AB →＝(0,2,0)．∵n ·AB →＝0，∴n ⊥AB →.∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为n |n|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255. ∴＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4，0，0 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255＝455，∴点B 到平面PCD 的距离为455.于是S (0,0，62a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，0， SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.∴OC ⊥SD ，即AC ⊥SD .(2)由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量 OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ， 设所求二面角为θ，则cos θ＝＝32， 故所求二面角P —AC —D 的大小为30°.。

高二数学空间向量测试题第Ⅰ卷一选择题 ( 每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1、在下列命题中：①若向量 a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；②若向量 a、b 所在的直线是异面直线，则a、b 一定不共面；③若 a、 b、 c 三向量两两共面，则 a、 b、c 三向量一定也共面；④已知三向量 a、 b、 c，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p＝x a＋y b＋z c．其中正确命题的个数为（）A .0 B. 1 C. 2 D. 32、空间四边形 ABCD 中， AB a , BC b, AD c, 则CD ( )A．a b c B. a b c C． a b c D ． a b c3、已知平行四边形ABCD 中， A( 4，1， 3) 、B ( 2，－ 5， 1) 、 C( 3， 7，－ 5) ，则顶点 D 的坐标为 ( )7,4, 1) B．( 2， 3， 1) C．( － 3， 1，5) D ．( 5， 13，－ 3) A．(24、a＝ (－ 1，－ 5，－ 2)，b＝( x,2, x 2 )，若a b ，则x＝( )A． 0 B．14C．－ 6 D．±6 35、设a＝( m , 1,2 )，b＝ ( 3, 4, n )，若 a // b ，则m，n的值分别为( )3， 8 B．3 3D ．3A．，— 8 C．，8 ，－ 84 4 4 46、已知向量a (0， 2， 1)，b (－ 1， 1，－ 2) ，则a 与 b 的夹角为( )A． 0°B．45°C．90° D ．180°7、若斜线段 AB 是它在平面内的射影长的2倍，则 AB与所成的角为 ( )A． 60°B．45°C．30° D ．120°8、已知a＝（ 2，－ 1， 3），b＝（－ 1， 4，－ 2），c＝（ 7， 5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（）A．62B. 6 3C. 6 4D. 657 7 7 79、在正三角形ABC 中， AD⊥ BC 于 D，沿 AD 折成二面角B－ AD －C 后，BC1AB ，这时2 二面角 B－ AD－ C 的大小为 ( )A． 60°B． 45°C． 90°D． 120°10、矩形 ABCD 中， AB ＝ 1， BC 2 ，PA⊥平面 ABCD ，PA＝ 1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是( )A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°11、设 A、 B、 C、D 是空间不共面的四点，且满足AB AC 0, AB AD 0, AC AD 0则△ BCD 是（）A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、PA、 PB、 PC 是从 P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线 PC 与平面 APB 所成角的余弦值为 ( )1 6C．3 3A．B．3D．2 3 2第Ⅱ卷二、填空题13、已知向量 a ＝(4，－2，－4)， b ＝(6，－3，2)，则 a 在 b 方向上的投影是______．14、已知 AB(1,0 ,2 ), AC( 2,1,1) ，则平面ABC 的一个法向量为____________．15、∠ BOC 在平面内，OA是平面的一条斜线，若∠AOB ＝∠ AOC ＝ 60°， OA＝ OB＝ OC＝ a， BC＝ 2 a，则 OA 与平面所成的角是______．- 1 -16、下列命题中： ( 1) a b 0 则 a ＝0或 b ＝0；( 2) (a b ) c a2 2(b c ); (3 )| p | | q |( p q) 2；( 4) 若a与 (a b ) c (a c) b 均不为0，则它们必垂直．其中真命题的序号是______．三、解答题17、如图，在平行六面体ABCD－ A1B1 C1D 1中， AB a , AD b, AA1c,2 AM MC ,A1 N 2 ND ，试用基底{ a , b , c}表示MN .18、如图，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面 ABCD ，AB 3 ，BC＝1，PA＝2，求直线AC 与 PB 所成角的余弦值．19、一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。

空间向量及其应用单元测试1.(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；(2)求二面角B ­A 1D ­A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E .因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A ­xy .因为AB ＝AD ＝2， AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17. (2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)．设m ＝(x ，y ， )为平面BA 1D 的一个法向量，又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎨⎧ 3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3， ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量， 从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m |AE ―→||m |＝333×4＝34. 设二面角B ­A 1D ­A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B ­A 1D ­A 的正弦值为74. 2．(2017·北京高考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点；(2)求二面角B ­PD ­A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．解：(1)证明：如图，设AC ，BD 的交点为E ，连接ME .因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB ＝ME ，所以PD ∥ME .因为底面ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点．所以M 为PB 的中点．(2)取AD 的中点O ，连接OP ，OE .因为PA ＝PD ，所以OP ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD .因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE .因为底面ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .以O 为原点，以OD ―→，OE ―→，OP ―→为x 轴，y 轴， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O ­xy ，则P (0,0，2)，D (2,0,0)，B (－2,4,0)，BD ―→＝(4，－4,0)，PD ―→＝(2,0，－2)．设平面BDP 的一个法向量为n ＝(x ，y ， )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD ―→＝0，n ·PD ―→＝0，即⎩⎨⎧ 4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.令x ＝1，得y ＝1， ＝ 2.于是n ＝(1,1，2)．又平面PAD 的一个法向量为p ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝12.由题知二面角B ­PD ­A 为锐角，所以二面角B ­PD ­A 的大小为60°.(3)由题意知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2，22，C (2,4,0)， 则MC ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，MC ―→〉|＝|n ·MC ―→||n ||MC ―→|＝269. 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269. 3.(2017·山东高考)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E ­AG ­C 的大小．解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP .又∠EBC ＝120°，所以∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE ―→＝(2,0，－3)，AG ―→＝(1，3，0)，CG ―→＝(2,0,3)，设m ＝(x 1，y 1， 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE ―→＝0，m ·AG ―→＝0，可得⎩⎨⎧ 2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0. 取 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)．设n ＝(x 2，y 2， 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AG ―→＝0，n ·CG ―→＝0，可得⎩⎨⎧ x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝9＋3－44×4＝12. 由图知二面角E ­AG ­C 为锐角，故所求二面角E ­AG ­C 的大小为60°.4．(2016·天津高考)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.(1)求证：EG ∥平面ADF ；(2)求二面角O ­EF ­C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值． 解：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD ―→，BA ―→，OF ―→的方向为x 轴，y 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1，0)，C (1，－1，0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0，0)．(1)证明：依题意，AD ―→＝(2,0,0)，AF ―→＝(1，－1,2)．设n 1＝(x 1，y 1， 1)为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AD ―→＝0，n 1·AF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1＝0，x 1－y 1＋2z 1＝0，不妨取 1＝1，可得n 1＝(0,2,1)．又EG ―→＝(0,1，－2)，可得EG ―→·n 1＝0.又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF .(2)易证OA ―→＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量，依题意，EF ―→＝(1,1,0)，CF ―→＝(－1,1,2)．设n 2＝(x 2，y 2， 2)为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·EF ―→＝0，n 2·CF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝0，－x 2＋y 2＋2z 2＝0，不妨取x 2＝1，可得n 2＝(1，－1,1)．因此有cos 〈OA ―→，n 2〉＝OA ―→·n 2| OA ―→|·|n 2|＝－63，于是sin 〈OA ―→，n 2〉＝33. 所以，二面角O ­EF ­C 的正弦值为33. (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF . 因为AF ―→＝(1，－1,2)，所以AH ―→＝25AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45， 进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45， 从而BH ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45. 因此cos 〈BH ―→，n 2〉＝BH ―→·n 2|BH ―→|·|n 2|＝－721. 所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.。

AA 1DCB B 1C 1图高二数学（选修2-1）空间向量试题姓名：_________班级：________ 得分：________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．105 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 图图7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）A ．621B ．338 C60210 D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32 B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3π B ．6πC ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ）A ．66 B ．3316 C ．316D ．1611．有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面；③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。

这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。

高中数学选修2-1测试题—空间向量班别：_________ 姓名：__________ 学号：_____ 评分：________ 一.选择题：(10小题共40分)1.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一 定共面的是 ( ) A.OC OB OA OM ++= B.OC OB OA OM --=2C.OC OB OA OM 3121++=D.OC OB OA OM 313131++=2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则 ( )A.c b a -+B.c b a +-C.c b a ++-D.c b a -+-3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( )A.n m //B.n m ⊥C.n m n m 也不垂直于不平行于,D.以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是 ( ) A.若OB OA OP 3121+=,则P 、Ａ、Ｂ三点共线B.设向量},,{c b a 是空间一个基底，则{a +b ，b +c ，c +a }构成空间的另一个基底C.c b a c b a ⋅⋅=⋅)(D.△ABC 是直角三角形的充要条件是0=⋅AC AB 5.对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是( )A.b a =B.b a -=C.a b λ=D.b a λ= 6.已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为( )A.0°B.45°C.90°D.180°7.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若c A A b D A a B A ===11111,,， 则下列向量中与M B 1相等的是 ( ) A.c b a 212121++-B.c b a 212121++C.c b a +-2121 D.-c b a +-21218.已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= ( )A.21,51 B.5，2 C.21,51--D.-5，-2 9.已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= ( )A.-15B.-5C.-3D.-110.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是( )A.52-B.52C.53D.1010二.填空题: (4小题共16分)11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12.已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .14.已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 . 三.解答题:(10+8+12+14=44分)15.如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点， (1)求证：MN ⊥平面PCD ；(2)求NM 与平面ABCD 所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥S —ABCD 中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点，如图. (1)求二面角B —SC —D 的大小；(2)求DP 与SC 所成的角的大小.18.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点； (1)求;的长BN(2)求;,cos 11的值><CB BA (3).:11M C BA⊥求证(4)求CB 1与平面A 1ABB 1所成的角的余弦值.高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1，1，1) 13.60014.3 15.(1)略 (2)45016.45017.(1) 13-(2) π18.(1)3 (2)3010(3) 略 (4)3101018.如图，建立空间直角坐标系O —xyz.（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.图选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。

第三章 单元测试卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 对应的点为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)答案 B2．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 (－3)×1＋2x ＋5×(－1)＝2，解得x ＝5.3．已知三点A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (1,1,2)，则a ＝AB →与b ＝AC →的夹角为( )A.π2B.π3 C.π6 D.π4 答案 B4．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λ·b ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12 C ．x ＝12，y ＝12 D ．x ＝12，y ＝1 答案 C6．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案 D解析 A ：a ·n ＝－2≠0；B ：a·n ＝1＋5≠0； C ：a·n ＝－1≠0；D ：a·n ＝－3＋3＝0.7．已知A (1，－2,11)，B (6，－1,4)，C (4,2,3)，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形答案 C解析 ∵BA →·BC →＝(－5，－1,7)·(－2,3，－1)＝10－3－7＝0，∴∠ABC ＝90°.8．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1) 答案 C9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则DB 1与CM 所成角的余弦值等于( )A.12B.1515C.23D.21015答案 B解析 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，则cos<DB 1→CM →>＝DB 1→·CM→|DB 1→||CM →|＝(1，1，1)·(1，－12，0)3×1＋14＝1515.∴DB 1与CM 的夹角的余弦值为1515. 10.如图，在直二面角α－l －β中，A ，B ∈l ，AC ⊂α，AC ⊥l ，BD ⊂β，BD ⊥l ，AC ＝6，AB ＝8，BD ＝24，则线段CD 的长是( )A ．25B ．26C ．27D ．28答案 B11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63 答案 D解析 BB 1与平面ACD 1所成角等于DD 1与平面ACD 1所成的角，在三棱锥D －ACD 1中，由三条侧棱两两垂直得点D 在底面ACD 1内的射影为等边△ACD 1的垂心即中心H ，则∠DD 1H 为DD 1与平面ACD 1所成角，设正方体棱长为a ，则cos ∠DD 1H ＝63a a ＝63，故选D.12．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A. 2 B ．211 C ．3 2 D ．4 2答案 B解析 作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N .则AM ＝3，BN ＝2，MN ＝5.又AB →＝AM →＋MN →＋NB →， ∴AB →2＝AM →2＋MN →2＋NB →2＋2(AM →·MN →＋AM →·NB →＋MN →·NB →)． 又AM ⊥MN ，MN ⊥NB ，，<AM →，NB →>＝60°， 故AB →2＝9＋25＋4＋6＝44. ∴AB ＝|AB →|＝211.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C ，D 是平面上四点，O 是空间任一点，{a n }为等差数列，若OA →＝a 1OB →＋a 8OC →＋a 15OD →，求a 8＝________.答案 13解析 ∵A ，B ，C ，D 共面， ∴a 1＋a 8＋a 15＝3a 8＝1，∴a 8＝13.14．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a ＋14b ＋14c15．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1夹角都是60°，则AC 1→·BD 1→＝________.答案 316.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．答案 π6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知a ＝(1,2，－2)． (1)求与a 共线的单位向量b ；(2)若a 与单位向量c ＝(0，m ，n )垂直，求m ，n 的值．思路分析 (1)若a 与b 共线，则b ＝(λ，2λ，－2λ)，根据|b |＝1，可求得λ；(2)若a ⊥c ，则a ·c ＝0且|c |＝1，注意讨论解的情况．解析 (1)设b ＝(λ，2λ，－2λ)，而b 为单位向量， ∴|b |＝1，即λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1.∴λ＝±13. ∴b ＝(13，23，－23)或b ＝(－13，－23，23)．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a ·c ＝0，|c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1×0＋2m －2n ＝0，m 2＋n 2＋02＝1.解得⎩⎨⎧m ＝22，n ＝22或⎩⎨⎧m＝－22，n ＝－22.18．(12分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，CA ＝2，D 是CC 1的中点，试问在A 1B上是否存在一点E 使得点A 1到平面AED 的距离为263？解析 以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，B (0,2,0)，设BE →＝λBA 1→，λ∈(0,1)，则E (2λ，2(1－λ)，2λ)．又AD →＝(－2,0,1)，AE →＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面AED 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋z ＝0，2(λ－1)x ＋2(1－λ)y ＋2λz ＝0. 取x ＝1，则y ＝1－3λ1－λ，z ＝2，即n ＝(1，1－3λ1－λ，2)．由于d ＝|AA 1→·n ||n |＝263，∴263＝45＋(1－3λ1－λ)2.又λ∈(0,1)，解得λ＝12.所以当点E 为A 1B的中点时，A 1到平面AED 的距离为263. 19．(12分)如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .(1)证明：A 1C ⊥平面BED ； (2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．解析 (1)以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，射线DC 为y 轴的正半轴，射线DD 1为z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．DE →＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)，A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)． 因为A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE →＝0， 故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE . 又BD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BED .(2)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则 n ⊥DE →，n ⊥DA 1→. 故2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，所以n ＝(4,1，－2)． 设θ等于二面角A 1－DE －B 的平面角， cos<n ，A 1C →>＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝1442.所以二面角A 1－DE －B 的余弦值为1442.20.(12分)如图，已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解析(1)如图所示，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D －xyz .则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m,1)(m >0)，由已知<DH →，DA →>＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos<DH →，DA →>，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22或m ＝－22(舍)，所以DH →＝(22，22，1)．因为cos<DH →，CC ′→>＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以<DH →，CC ′→>＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)，因为cos<DH →，DC →>＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12， 所以<DH →，DC →>＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.21.(12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长的1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ；(2)求平面P AD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的余弦值．解析(1)如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，E (1，32，0)．因为BE →＝(0，32，0)，平面P AB 的一个法向量是n 0＝(0,1,0)，所以BE →和n 0共线．从而BE ⊥平面P AB .又因为BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面P AB .(2)易知PB →＝(1,0，－2)，BE →＝(0，32，0)，P A →＝(0,0，－2)，AD →＝(12，32，0)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBE 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n 1·PB →＝0，n 1·BE →＝0得⎩⎨⎧ x 1＋0×y 1－2z 1＝0，0×x 1＋32y 1＋0×z 1＝0.所以y 1＝0，x 1＝2z 1，故可取n 1＝(2,0,1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AD 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n 2·P A →＝0，n 2·AD →＝0得⎩⎨⎧ 0×x 2＋0×y 2－2z 2＝0，12x 2＋32y 2＋0×z 2＝0.所以z 2＝0，x 2＝－3y 2，故可取n 2＝(3，－1,0)．于是cos<n 1，n 2>＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝235×2＝155. 故平面P AD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的余弦值为155.22．(12分)如图所示，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1P D 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．解析 由题设可知，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)．由D 1B →＝(1,1，－1)，得D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC＝cos<P A →，PC →>＝P A →·PC →|P A →||PC →|<0， 这等价于P A →·PC →<0.即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ＋1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，解得13<λ<1.1因此，λ的取值范围为(3，1)．。

空间立体几何测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是 ①AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →；②2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →； ③AB →＋CA →＋BD →；④AB →－CB →＋CD →＋AD →.( ) A.①② B.②③ C.②④ D.①④2.已知向量a ＝(2,4,5)、b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A.x ＝6，y ＝15 B.x ＝3，y ＝152C.x ＝3，y ＝15D.x ＝6，y ＝152 3.已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( ) A.(－2,2,0) B.(2，－2,0)C.⎝⎛⎭⎫－12，12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，－12，0 4.若向量(1,0，z )与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为25，则z 等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.25.在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c | A.5 B.4 C.3 D.26.若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( ) A.b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B.b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C.b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D.b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)7.已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5).若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( ) A.(1,1,1)B.(－1，－1，－1)或(1,1,1)C.(－1，－1，－1)D.(1，－1,1)或(－1,1，－1)8.已知空间不同的四点O ，A ，B ，P ，满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A.点P 一定在直线AB 上B.点P 一定不在直线AB 上C.点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D.AP →与AB →的方向一定相同9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)， AP →＝(－1,2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.410.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( ) A.34a 2 B.12a 2 C.14a 2D.a 211.已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ， SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34 B.54 C.74D.3412.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A.90° B.60° C.45°D.30°二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上) 13.若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________.14.在空间四边形OABC 中，若OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值是________.15.已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________16.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)如图所示，已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体.(1)化简12AA ′→＋BC →＋23AB →，并在图形中标出化简结果的向量；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′的对角线BC ′上的点，且BN ∶NC ′＝3∶1，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值， 18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点. (1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值.19.(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.(1)求证：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若AB ＝AP ，直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长.20.(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AD ＝CD ，∠CAD ＝30°，若二面角C －AB －D 为60°，求异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值.21.(本小题满分13分)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.22.(本小题满分13分)如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点.(1)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值；(2)能否在ME 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由1解析： ①中，原式＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →，不符合题意；②中，原式＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋(AC →＋CD →＋DA →)＝0；③中，原式＝CD →，不符合题意；④中，原式＝(AB →－AD →)＋(CD →－CB →)＝0.故选C.答案： C2解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152. 答案： D3解析： 由OA →＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH →＝(－λ，λ－1，－1).又BH ⊥OA ，∴BH →·OA →＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，故选C. 答案： C4解析： 由题知(1，0，z )·(2，1，0)1＋z 25＝25，21＋z 25＝25，1＝1＋z 2，∴z ＝0. 答案： A5解析： ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确，故选B.答案： B6解析： 若l ∥α，则b ·n ＝0，将各选项代入，知D 正确. 答案： D7解析： 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2) 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).答案： B8解析： 由m ＋n ＝1，知m ＝1－n ，故OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，则OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以点A ，P ，B 共线.故选A.答案： A9解析： AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确； ∴AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确； AP →是平面ABCD 的法向量，∴③正确；④错误. 答案： C10解析： 如右图，AE →＝12(AB →＋AC →)，AF →＝12AD →，AE →·AF →＝14(AB →·AD→＋AC →·AD →)＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案： C11解析： 建系如图，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0). ∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)，SC →＝(0,2，－3). 设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB →＝3x ＋y －3z ＝0.n ·SC →＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2).设AB 与面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝3＋34×2＝34.答案： D .12解析： 建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，A (0,0,0). ∴BA 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(0,1,1).∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12·2＝12.∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°. 答案： B13解析： AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2 ＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57， 故当x ＝87时，|AB →|取最小值.答案： 8714解析： cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cosπ3|OA →||BC →|＝0.答案： 015解析： 由已知可发现a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝xa ＋yb ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7－x ＋4y ＝53x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337y ＝177λ＝657.答案：65716解析： GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案： －112AB →－13AC →＋34AD →17解析： (1)先在图形中标出12AA ′→，为此，可取AA ′→的中点E ，则12AA ′→＝EA ′→.∵AB →＝D ′C ′→，在D ′C ′上取点F ，使D ′F ＝23＝D ′C ′，∴23AB →＝23D ′C ′→＝D ′F →. 又BC →＝A ′D ′→，从而有12AA ′→＋BC →＋23AB →＝EA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝EF →，如图所示. (2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.18解析： (1)证明：证法一：连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′的中点.又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.证法二：取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP .而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面A ′ACC ′.(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示. 设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫λ2，0，12，N ⎝⎛⎭⎫λ2，λ2，1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量. 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′M →＝0，m ·MN →＝0得⎩⎨⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0.可取m ＝(1，－1，λ).设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·NC →＝0，n ·MN →＝0得⎩⎨⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ).因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0. 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2(负值舍去). .19解析： (1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB . 又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD.(2)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图). 在平面ABCD 内，作CE ∥AB 交AD 于点E ，则CE ⊥AD . 在Rt △CDE 中，DE ＝CD ·cos 45°＝1.CE ＝CD ·sin 45°＝1.设AB ＝AP ＝t ，则B (t,0,0)，P (0,0，t ).由AB ＋AD ＝4，得AD ＝4－t .所以E (0,3－t,0)，C (1,3－t,0)，D (0,4－t,0)，CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,4－t ，－t ).①设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥CD →，n ⊥PD →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0(4－t )y －tz ＝0.取x ＝t ，得平面PCD 的一个法向量n ＝(t ，t,4－t ).又PB →＝(t,0，－t )，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°得 cos 60°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·PB →|n |·|PB →|，即|2t 2－4t |t 2＋t 2＋(4－t )2·2t 2＝12， 解得t ＝45或t ＝4(舍去，因为AD ＝4－t >0)，所以AB ＝45.20解析： 如图，取AC 的中点F ，作FM ⊥AB ，交AB 于M ， 已知平面ABC ⊥平面ACD易知FC ，FD ，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系F －xyz .不妨设AD ＝2，由CD ＝AD ，∠CAD ＝30°，∴A (0，－3，0)，C (0，3，0)，D (0,0,1)，AD →＝(0，3，1)，k ＝(0,0,1)是平面ABC 的法向量. 已知二面角C －AB －D 为60°故可取平面ABD 的单位法向量n ＝(l ，m ，n ) 使得〈n ，k 〉＝60°，从而n ＝12.由n ⊥AD →得3m ＋n ＝0，m ＝－36.由l 2＋m 2＋n 2＝1得l ＝±63.设点B 的坐标为(x ，y,0)，由AB →⊥BC →，n ⊥AB →，取l ＝63，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝363x －36(y ＋3)＝0.解得⎩⎨⎧x ＝469y ＝739或⎩⎨⎧x ＝0y ＝－3(舍去). 易知l ＝－63与坐标系的建立方式不合，舍去. ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫469，739，0.所以CB →＝⎝⎛⎭⎫469，－239，0，从而cos 〈AD →，CB →〉＝AD →·CB →|AD →||CB →|＝3×⎝⎛⎭⎫－2393＋1⎝⎛⎭⎫4692＋⎝⎛⎭⎫－2392＝－36. 故异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为36.21解析： (1)证明：如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O (0，0,0)， A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4，2,0)，P (0,0,4)，AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0). 由此可得AP →·BC →＝0， ∴AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设在线段AP 上存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角，设PM →＝λP A →，λ≠1，PM →＝λ(0，－3，－4)，BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λP A →＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)，BC →＝(－8,0,0).设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ BC →·n 1＝0BM →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0AC →·n 2＝0，得⎩⎨⎧x 2＝54y 2z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得λ＝25，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.22解析： ∵BD ⊥BA ，又平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，BD ⊂平面ABDE ，∴BD ⊥平面ABC .∵BD ∥AE ，∴AE ⊥平面ABC .如图所示，以点C为坐标原点，分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.∵AC ＝BC ＝4，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，D (0,4,2)，E (4,0,4)，O (2,0,2)，M (2,2,0).(1)CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →＝(－2,2,2).设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥OD →，n ⊥MD →，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0－2x ＋2y ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝1，z＝1，∴n ＝(2,1,1).设直线CD 与平面ODM 所成角为θ，则sin θ＝|n ·CD →||n ||CD →|＝|(2，1，1)·(0，4，2)|22＋12＋12·02＋42＋22＝66×25＝3010.∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为3010.(2)假设ME 上存在一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ，设N (a ，b ，c )，则MN →＝(a －2，b －2，c )，NE →＝(4－a ，－b,4－c ).∵点N 在ME 上，∴MN →＝λNE →(λ∈R)，即(a －2，b －2，c )＝λ(4－a ，－b,4－c )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ(4－a )b －2＝λ(－b )c ＝λ(4－c )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4λ＋2λ＋1b ＝2λ＋1c ＝4λλ＋1，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋2λ＋1，2λ＋1，4λλ＋1.∵BD ⊂平面ABDE ，∴ON →⊥BD →，即ON →·BD →＝0，又ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ＋1，2λ＋1，2λ－2λ＋1，BD →＝(0,0,2)，∴4λ－4λ＋1＝0，解得λ＝1，∴MN →＝NE →，即当N 是ME 的中点时，ON ⊥平面ABDE .。

AA 1 DCB B 1C 1图高二数学（选修2-1）空间向量试题宝鸡铁一中司婷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）．1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（）A ．1715B ．21C ．178D ．233．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD1与AF 1所成角的余弦值是（）A ．1030B ．21C ．1530D ．10154．正四棱锥S ABCD 的高2SO ，底边长2AB，则异面直线BD 和SC 之间的距离（）A ．515B ．55 C ．552D ．1055．已知111ABCA B C 是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（）A ．a42B ．a82C ．a423D ．a226．在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（）A ．63B ．33 C ．332D ．23图图7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（）A ．621B ．338C60210 D．302108．在直三棱柱111C B A ABC 中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD 的重心G ．则BA 1与平面AB D 所成角的余弦值（）A ．32B ．37C ．23D ．739．正三棱柱111C B A ABC的底面边长为3，侧棱3231AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD，则二面角B ADB 1的大小（）A ．3B ．6C．65D ．3210．正四棱柱1111D C B A ABCD中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BDEF ．则三棱锥11EFD B 的体积V （）A ．66B ．3316 C ．316D ．1611．有以下命题：①如果向量b a,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面；③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,也是空间的一个基底。