空间向量与立体几何单元测试题一、选择题
1、若a,b,c是空间任意三个向量, R
λ∈,下列关系式中,不成立的是（）
A.a b b a
+=+ B.
()
a b a b
λλλ
+=+
C．()()
a b c a b c
++=++
D．
b a
λ
=
2、给出下列命题
①已知a b
⊥, 则
()()
a b c c b a b c
?++?-=?
;
②A、B、M、N 为空间四点,若
,,
BA BM BN
不构成空间的一个基底, 则A、B、M 、N共面;
③已知a b
⊥,则,a b与任何向量不构成空间的一个基底;
④已知{}
,,
a b c
是空间的一个基底,则基向量
,a b
可以与向量
m a c
=+构成空间另一个基底.
正确命题个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、已知,a b
均为单位向量,它们的夹角为60?,那么
3
a b
+
等于（）
A 7
B
10
C
13
D．4
4、
1,2,,
a b c a b
===+
且
c a
⊥,则向量a b
与
的夹角为（）
A．30?B．60?C．120?D．150?5、已知
()()
3,2,5,1,,1,
a b x
=-=-
且
2
a b?=,则x的值是（）
A．3 B．4 C．5 D ．6
6、若直线l的方向向量为
a,平面α的法向量为n,则能使//lα的是( )
A
()()
1,0,0,2,0,0
a n
==-
B．
()()
1,3,5,1,0,1
a n
==
C
()()
0,2,1,1,0,1
a n
==--
D．
()()
1,1,3,0,3,1
a n
=-=
7.空间四边形OABC中，OB OC
=，
3
AOB AOC
π
∠=∠=，则cos<,
OA BC>的值是（）
A．
2
1
B．
2
2
C．－
2
1
D．0
8、正方体ABCD-1
1
1
1
D
C
B
A的棱长为1,E是
1
1
B
A中点,则E到平面
1
1
D
ABC的距离是（）
A．
3
B．
2
C．
1
2D．
3
9．若向量a与b的夹角为60°，4
=
b，(2)(3)72
a b a b
+-=-，则a=（）
Ａ．2Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12
10．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．
10
30
B．
2
1
C．
15
30
D．
10
15
1
2
11．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝
2
1
PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点， OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面ABC 所成角的正弦值（ ）
A ．
42
B ． 33
C ．414
D ．3010
12．正三棱柱111C B A ABC
-的底面边长为3，侧棱323
1=
AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =
，则二面角B AD B --1的大小（ ）
A ．3π
B ．6π
C ．
6
5π
D ．
3
2π
二、填空题
13、已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =
14、△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60?,则AD 与平面BCD 所成角为 .
15、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面α的法向量为(2,1,-1),且l ⊥α,则m = . 16、已知ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角
P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为
三、解答题
17、已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为a 的正方形,PA ⊥底面ABCD,E 为PC 上的点且CE ：CP=1：
4,求在线段AB 上是否存在点F 使EF （1）求DP 与CC 1所成角的大小； （2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小.
19、三棱锥被平行于底面
ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，
90
BAC ∠=，
1A A ⊥平面ABC ，13A A =，2AB =，2AC =，111AC =，
1
2
BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ；
（Ⅱ）求二面角1A CC B --的平面角的余弦值．
20．如图所示的多面体是由底面为
ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中
14,2,3,1AB BC CC BE ====.
（Ⅰ）求BF 的长； （Ⅱ）求点C 到平面
1AEC F 的距离.
A 1
A C 1
B 1
B
D
C
A B
C D P
A '
B '
C '
D '
x
y
z
H
3
参考答案 选择题
DCCCC DDBCA CA 填空题
13. (042)--，， 14. 30? 15. -2 16. 7解答题
17、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=b ， 则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b), 则
()
,,CP a a b =--,
∵E 为PC 上的点且CE ：CP=1：3,
∴
()11,,,,44444a a b CE CP a a b ??=
?=?--=-- ???
∴由
33,,444a a b CE AE AC AE CE AC ??=-?=+= ?
??, 设点F 的坐标为(x,0,0,) (0≤x ≤a),
则
33,,444a a b EF x ?
?=--- ?
??, 又平面PAD 的一个法向量为
()
,0,0AB a =,
依题意,
33044a a EF AB x a x ?
?⊥?-?=?=
???, ∴在线段AB 上存在点F,满足条件,点F 在线段AB 的3
4处.
18 解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．
则(100)DA =，
，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．
4
设(1)(0)DH m m m =>，，
，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA
DH =<>， 可得2221m m =
+2
2
m =
， 所以
221DH ??= ? ?
??
，．
（
Ⅰ
）
因
为
220011
222cos 12
DH CC ++?'<>==?，， 所以45DH CC '<>=，
．即DP 与CC '所成的角为45． （Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，
，． 因为22
0110
122cos 212
DH DC +?<>==?，
， 所以60DH DC <>=，． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 19. 解：解法一：（Ⅰ）
1A A ⊥平面ABC BC ?，平面ABC ，
∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，226AB AC BC ==∴=，，
， :1:2BD DC =，6BD ∴=
，又3BD AB
AB BC
==，
DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠=，即AD BC ⊥．
又1A A AD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，
BC ?平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．
（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．
AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．
由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．
过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点，则
1CF AC AF =-=，113
C F A A =，
160C CF ∴∠=．
在Rt AEC △中，3
sin 60232
AE AC ==?
= 在Rt BAE △中，26
tan 33
AB AEB AE =
==
．6arctan 3AEB ∴∠=， 即二面角1A CC B --为6
A 1 A
C 1
B 1
B
D C
F
E
（第19题，
解法一）
5
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则11(000)(200)(020)(003)(013)A B C A C ，，，，，，，，，，，，，，，
:1:2BD DC =，1
3BD BC ∴=．D ∴点坐标为222033?? ? ???，，． ∴222033AD ??
= ? ??
?，，，1(220)(003)BC AA =-=，，，，，．
10BC AA =，0BC AD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A =， BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ?平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．
（Ⅱ）
BA ⊥平面11ACC A ，取(200)AB ==，
，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==，n n ．
22030l m m n ?-+=?∴?-+=??，
，32l m n m ∴==，，如图，可取1m =，则
3213??
= ? ??，，n ， 2
222
223
2201015
3
cos 3(2)00(2)13?+?+?
<>=
=
??
++++ ?
??
，m n ， 即二面角1A CC B --为15
arccos
． 20. 解：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B
1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z .
∵1AEC F 为平行四边形，
.
62,62||).
2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,
11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴
（II ）设1n 为平面1AEC F 的法向量，
)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然
???=+?+?-=+?+??????=?=?02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由??
?
??-==∴???=+-=+.41,1,022,014y x x y 即
111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为
α
，则
.33
33
4116
1133|
|||cos 1111=
++
?=
?=
n CC α∴C 到平面1AEC F 的距离
6
为.11
33
4333343cos ||1=?==αCC d