江苏省吴江市2020学年高一数学上学期期中试题(无答案)苏教版

高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合2{|0}N x R x x =∈+=的关系的韦恩图的是（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】求出集合N 的元素，即可得到两集合的关系，再用韦恩图表示出来． 【详解】解：集合{}2{|0}0,1N x R x x =∈+==-，集合{|02}M x R x =∈≤≤，{}0MN ∴=且互不包含，故选：A ．【点睛】本题主要考查了韦恩图表达集合的关系，是基础题． 2.函数()2()ln 41f x x x =-+ 的定义域是 A .[12-，）B. (2,2)-C. (1,2)-D.(2,1)(1,2)---【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不等于0，及对数函数和根号有意义的条件列得不等式组，进行求解. 【详解】由题意可得21040x x +>⎧⎨->⎩ 解得12x -<< ，即f x （） 的定义域是(1,2)- . 故选C.【点睛】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0； 3.设0.60.3a =，0.30.6b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得出0.60.30.30.3<，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.30.6<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：0.3x y =在定义域上单调递减，且0.360.<，0.60.30.30.3∴<，又0.3y x∴=在定义域上单调递增，且0.360.<，0.30.30.30.6∴<， 0.60.30.30.30.30.6∴<<，a cb ∴<<故选：B ．【点睛】考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义． 4.函数()23f x log x x=-的一个零点所在的区间是（ ） A. ()1,2 B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数()23f x log x x=-是定义域上的减函数，再利用函数的零点判断． 【详解】解：易知函数()23f x log x x=-是定义域上的减函数，()3121022f =-=>；()231log 30f =-<；故函数()23f x log x x=-的零点所在区间为：()2,3；【点睛】本题考查了函数的零点的判断，是基本知识的考查，属于基础题．5.函数22y x x =-，[]1,3x ∈-的值域为（ ）A. []0,3 B. []1,3-C. []1,0-D. []1,3【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的最值和对称轴的关系进行求解即可． 【详解】解：函数的对称轴为1x =，[]1,3x ∈-，∴当1x =时，函数取得最小值121y =-=-，当3x =或1x =-时函数取得最大值123=+=y ， 即函数的值域为[]1,3-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数的值域，结合二次函数的性质是解决本题的关键，比较基础． 6.函数()y f x =在R 上为减函数，且()()29f m f m >-+，则实数m 的取值范围是（ ） A. (),3-∞ B. ()0,+∞C. ()3,+∞D. ()(),33,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用函数的单调性的性质可得29m m <-+，由此解得m 的范围． 【详解】解：函数()y f x =在R 上是减函数，且()()29f m f m >-+，则有29m m <-+，解得3m <， 实数m 的取值范围是：(),3-∞．【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．7.已知函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则31log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】令20x -=,可得定点(2,4)P ,代入()f x x α=,可得幂函数的解析式,进而可求得31log 3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】令20x -=,得2,4x y ==,所以(2,4)P ，∴幂函数2()f x x = ， ∴3311log ()log 239f ==-． 故选A .【点睛】本题考查了指数函数,幂函数,属基础题. 8.已知213alog <，(0a >且1)a ≠，则a 的取值范围为（ ） A. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()30,11,2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D. ()20,1,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】直接分a 大于1和大于0小于1两种情况讨论再结合函数单调性即可求解． 【详解】解：因为：21log 3a a log a <=， 当1a >时，须23a <，所以1a >；精品 WORD当01a <<时，21log 3aa log a <=，解得203a >>． 综上可得：a 的取值范围为：()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：D ．【点睛】本题主要考查对数不等式的求解以及分类讨论思想的运用，属于基础题． 9.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）． A .2xy =B. 22y x =-C. 1y x=D. y x =【答案】D 【解析】A 选项，2xy =在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故A 错；B 选项，22y x =-是偶函数，且()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数，故B 错； C 选项，1y x=是奇函数且()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，故C 错；D 选项，y x =是奇函数，且y x =在R 上是增函数，故D 正确．综上所述，故选D ．10.设()()220(0)x x f x log xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 01a << B. 01a ≤<C. 01a <≤D. 01a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】本题关键是画出函数()f x 大致图象，然后根据题意()0f x a -=有三个不同的实数根，等价于函数()y f x =与y a =的交点来判断a 的取值范围． 【详解】解：由题意，函数()f x 大致图象如下：由图形，若()0f x a -=有三个不同的实数根，等价于函数()y f x =与y a =有三个不同的交点，由图可知a 必须01a <≤． 故选：C ．【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，以及根据图象来判断方程的实数根问题，将代数问题转化为图形问题．本题属中档题． 二、填空题（本大题共6小题）11.已知集合2{4,21,}A a a =--，{5,1,9}B a a =--，且{9}AB =，则a 的值是__________． 【答案】3- 【解析】 【分析】由交集的运算可知9A ∈，则219a -=或29a =，分别求值并验证集合是否满足题意和元素的互异性，把不符合的舍去. 【详解】{} 9A B ⋂=，∴9A ∈且9B ∈又{}24,21,A a a =-- ∴219a -=或29a =，解得5a =或3a =±；当5a =时，{}4,9,25A =-，{}0,4,9B =-，{}49A B ⋂=-，与已知矛盾，舍去; 当3a =时，{}4,5,9A =-，{}2,2,9B =--，集合B 不满足集合的互异性，舍去; 当3a =-时，{}4,-7,9A =-，{}8,4,9B =-，{}9A B ⋂=，满足题意; 故答案为3-.【点睛】本题考查元素与集合的关系以及交集的运算，当集合含有参数时，需要分类求解，并将结果代入集合，检验是否符合题意和元素的互异性.12.已知函数()2,167,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()()1f f -=______． 【答案】1 【解析】 【分析】推导出()21(1)1f -=-=，从而()()()11ff f -=，由此能求出结果．【详解】解：函数()2,167,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩， ()21(1)1f ∴-=-=，()()()21111f f f ∴-===．故答案为：1．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()12f x x x=-，则()2f -=______． 【答案】72- 【解析】 【分析】由奇函数的性质得()()22f f -=-得到． 【详解】解：0x >时，()()117222222f x x f x =-∴=⨯-=，而()f x 是R 上的奇函数，()()22f f ∴-=-，即()722f -=-；故答案为：72-．【点睛】本题考查函数的奇函数性质，属于简单题．14.某人根据经验绘制了2019年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量(y 千克)随时间(x 天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月31日大约卖出了______千克西红柿．(结果保留整数)【答案】23 【解析】 【分析】利用待定系数法先求出前10天的解析式，然后令7x =，即可求出1月31日卖出西红柿的数量．【详解】解：前10天满足一次函数，设()f x ax b =+， 将点()1,10，()10,30代入函数解析式得101030a b a b +=⎧⎨+=⎩，得209a =，709b =，则()207099f x x =+， 则在1月31日，即当7x =时，()20702107723999f =⨯+=≈千克， 故答案为：23．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．比较基础．15.已知一次函数()f x 是增函数且满足()2f f x x ⎡⎤=-⎣⎦，则函数()f x 的表达式为______． 【答案】()1f x x =- 【解析】 【分析】设出()f x kx b =+，利用待定系数法求出()f x ． 【详解】解：设()f x kx b =+，0k >， 则()()()22ff x kf x b kx kb b x =+=++=-则21k =，1k ∴=，2kb b +=-，22b =-，即1b =-，故答案为：()1f x x =-．【点睛】考查函数求解析式，用来待定系数法，基础题．16.若函数224y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]5,4--，则m 的取值范围是______．【答案】[]1,2 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，结合函数的定义域和值域，即可得出m 的取值范围． 【详解】解：函数2224(1)5y x x x =--=--，其中[]0,x m ∈，函数图象如图所示，且()15f =-，()()024f f ==-， 由函数y 的值域为[]5,4--， 所以m 的取值范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题）17.已知集合{|22}A x a x a =≤<+，{|1B x x =<-或5}x >．()1若1a =-，求A B ，()R A B ⋂；()2若()R RA B B =，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|1A B x x =<或5}x >，(){|2R C A B x x =<-或5}x >；(2)1{|}2a a ≥-． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出集合A ，集合B ，根据交并补的定义进行运算， （2）根据题意求出集合包含关系，解出参数． 【详解】解：()1当1a =-时，则{|21}A x x =-≤<， 所以{|2R C A x x =<-或1}x ≥， 由{|1B x x =<-或5}x >， 所以{|1AB x x =<或5}x >，(){|2R C A B x x =<-或5}x >；()2因为()R R A C B C B =，所以R A C B ⊆，又{|15}R C B x x =-≤≤，当A =∅时，有22a a ≥+，解得2a ≥；当A ≠∅时，有222125a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，解得122a -≤<；综上：2|}1{a a ≥-．【点睛】本题考查集合的运算及由集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题． 18.计算下列各式的值()241539271272log log log +++； ()120.75031227()256()631---++-．【答案】 (1) 1114；(2) 32 【解析】 【分析】（1）先将根式转化为分数指数幂，再由对数的性质及换底公式求解． （2）根据分数指数幂的运算计算即可.【详解】解：（1）、22214155343933272723322log log log log log log -+++=++⨯ 1311011424=-++=（2）、1120.750333127()256()(3)36641631---++=-++- 33664132=-++=【点睛】本题考查分数指数幂的运算及对数的性质和换底公式等知识，属于基础题．19.已知函数()21,02,036,3x xf x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域. 【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域. 【详解】（1）图象如图所示：（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【点睛】本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.20.已知函数()221,1x f x x R x =+∈+．()1判断并证明函数的奇偶性；()2求()1f x f x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()3计算()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】(1) 偶函数；证明见解析；(2) 3；(3)212． 【解析】 【分析】（1）利用函数的性质，判断奇偶函数的定义判断函数的奇偶性得到()f x 为偶函数；（2）先()f x 的解析式求出1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的解析式，然后再求()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （3）观察所要求的代数式，要用（2）的结论．进而求出代数式的值． 【详解】解：（1）该函数是偶函数；证明：()2211x f x x =++的定义域为R ，关于原点对称．因为()()2222()111()1x x f x f x x x --=+=+=+-+， 所以()2211x f x x=++是偶函数． （2）()2211x f x x=++， 2221()1111111()x f x x x⎛⎫∴=+=+ ⎪+⎝⎭+()13f x f x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭；（3）由（2）可知，()13f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭所以()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()][()][()1112112342342f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】考查函数的奇偶性及求函数值，属于基础题．21.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x x =+．()1求0x <时，()f x 的解析式；()2问是否存在这样的非负数a ，b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[]42,66a b --？若存在，求出所有的a ，b 值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()2f x x x =- (2)存在，12a b ==，或13a b ==，或23a b ==，， 【解析】 【分析】（1）设0x <，则0x ->，利用0x ≥时，()2.f x x x =+得到()2f x x x -=-+，再由奇函数的性质得到()()f x f x -=-，代换即可得到所求的解析式．（2）假设存在这样的数a ，.b 利用函数单调性的性质建立方程求参数，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．【详解】解：（1）设0x <，则0x ->，于是()2f x x x -=-+，又()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，()2f x x x ∴-=-+，即0x <时，()2.f x x x =-（2）假设存在这样的数a ，b ．0a ≥，且()2f x x x =+在0x ≥时为增函数，[],x a b ∴∈时，()()()[],42,66f x f a f b a b ⎡⎤∈=--⎣⎦，()()226642b f b b b a f a a a ⎧-==+⎪∴⎨-==+⎪⎩22560320b b a a ⎧-+=∴⎨-+=⎩2312b b a a ==⎧∴⎨==⎩或或，即1123a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或或2223a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或， 考虑到0a b ≤<，且4266a b -<-，可得符合条件的a ，b 值分别为11223 3.a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及函数的值域，解题的关键是利用函数的性质进行灵活代换求出解析式，第二问的解题关键是根据单调性建立方程求参数，此是函数中求参数常用的建立方程的方式．1、在最软入的时候，你会想起谁。

y 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.设集合{}1,2,4A =,{}2,6B =,则A B = .2.函数()()10,1x f x a a a =+>≠的图像恒过点 .3.已知α是第一象限角，则πα-是第 象限角.4. 2log 的值为 .5.已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α= .6.幂函数()f x 的图像经过点(，则(4)f = .7.如图，函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[],0π-上的图像，则ω= .8.若0.52x >，则实数x 的取值范围为 . 9.已知向量a =()1,0，b =()2,1，若向量ka b -与3a b +平行，则实数k = .10.若方程ln 62x x =-的解为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = .11. 252525sin cos tan 634πππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭. 12.已知集合{}2log 2A x x =≤，(),B a =-∞.若A B ⊆，则实数a的取值范围是区间(),c +∞，其中c = .13.如图，过原点O 的直线与函数2x y =的图像交于A ,B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数4x y =的图像于点C .若AC 平行于y轴，则点A 的坐标为 . 14.已知函数2()25f x x ax =-+在区间(],2-∞上单调递减，且对任意的[]12,1,1x x a ∈+，都有()()124f x f x -≤，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.（本小题满分14分）已知全集U R =，集合{}1A x x =>，{}1215B x x =-<+≤，求： ()1A B ; ()2A B ; ()()()3U U A B16. （本小题满分14分） 已知33tan ,,422ππαα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求：()()()3sin sin 21cos 32ππααπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭-+；()2sin 4πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭.17. （本小题满分15分）()1ΔABC 中，P 为中线AM 上一点，设2AP PM =,试用AB ，AC 表示PA .()2设,a b 是两个不共线的向量，AB =2a kb +，3CB a b =+，2CD a b =-,R 若,,A B D 三点共线，求k 的值.18. （本小题满分15分）已知函数()()()cos sin cos sin cos f x x x x x x x =-+-.()1若()1f x =，求x 的值；()2求函数()y f x =的单调增区间；()3若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()y f x =的值域.19. （本小题满分16分）围建一个面积为360m ²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要修建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口.已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）,修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）。

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数，则f（2）等于（）A．0B．C．3D．4．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．5．（5分）“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．a≤B．a≤C．a≥D．a≥6．（5分）对∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大值，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）＝max{﹣x+3，（x﹣1）2}，则M（x）的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．47．（5分）有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为v1m/s，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为v2m/s，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了Lm，则v1：v2值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，若函数的图象与y ＝f（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则y1+y2+y3+y4＝（）A．2B．4C．8D．2a二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9．（5分）下列函数中，对∀x∈R，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣|x|D．10．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（）A．A∪B＝A B．A∩B＝AC．（∁U A）⊆（∁U B）D．A∪（∁U B）＝U11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．4x2+y2的最小值为C．x（x+y）最大值为D．最小值为412．（5分）已知f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．方程f（x）＝0无解B．f（x）的最小值为2C．f（x）的图象关于（﹣1，0）对称D．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为．14．（5分）函数f（x）＝，对∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝0，则实数a 的值为．15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是；图③的建议是．16．（5分）已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则的最小值为．四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）幂函数f（x）＝x a过点（4，2）．（1）求a的值，并证明f（x）在[0，+∞）是增函数；（2）幂函数g（x）是偶函数且在（0，+∞）是减函数，请写出g（x）的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．）18．（12分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．19．（12分）已知f（x）＝2x2+（a﹣2）x+a．（1）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a2．20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a＞0）．（1）请在如图所示的直角坐标系中作出a＝时f（x）的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（2）设函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为g（a）；①求g（a）的表达式；②若，求g（a）的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若在[1，6]上∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数g（x）＝|f（x）﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，求a的取值范围．2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】判断出阴影部分中的元素在A中但不在B中即在A与B的补集的交集中．【解答】解：由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集）即（∁R B）∩A＝{0，1}．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先有a＝3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a ＝3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a＝3时，A＝{1，3}所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．3．（5分）已知函数，则f（2）等于（）A．0B．C．3D．【分析】由x+1＝2，得x＝1，代入函数的解析式求出即可．【解答】解：∵函数f（x+1）＝，∴f（2）＝f（1+1）＝＝0，故选：A．【点评】本题考查了函数求值问题，是一道基础题．4．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．【分析】根据条件，取特殊值即可排除ACD，由不等式的基本性质即可判断B．【解答】解：根据a，b，c∈R，且a＞b，取a＝2，b＝0，c＝﹣2，则可排除AD；取a＝1，b＝﹣1，c＝0，则可排除C；根据不等式的基本性质，由a＞b，可知（a﹣b）c2≥0成立，故B正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5．（5分）“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．a≤B．a≤C．a≥D．a≥【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断，分离参数a即求a≤[（﹣x）+（﹣）]的最小值即可．【解答】解：“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，即a≤＝（﹣x）+（﹣），x＜0，即当∀x＜0时，a≤[（﹣x）+（﹣）]的最小值，令f（x）＝（﹣x）+（﹣），x＜0，由基本不等式可得f（x）＝（﹣x）+（﹣）≥2＝2，x＜0，当且仅当（﹣x）＝（﹣），x＝﹣时取等号，所以f（x）min＝2，则实数a的取值范围为是a．故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假，根据全称命题的定义和一元二次不等式的解法求解是解决本题的关键．6．（5分）对∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大值，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）＝max{﹣x+3，（x﹣1）2}，则M（x）的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．4【分析】先求出函数M（x）的解析式，然后根据分段函数求最值的方法求出最小值即可．【解答】解：令﹣x+3＞（x﹣1）2，解得﹣1＜x＜2，则M（x）＝，当﹣1＜x＜2时，M（x）＞M（2）＝1，当x≥2或x≤﹣1时，M（x）min＝M（2）＝1，所以函数M（x）的最小值为1，故选：C．【点评】本题考查了分段函数求最值的问题，涉及到解一元二次不等式问题，属于基础题．7．（5分）有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为v1m/s，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为v2m/s，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了Lm，则v1：v2值为（）A．B．C．D．【分析】设传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到对尾的时间为t2，队伍前进用的时间为t，由t＝t1+t2可得，化简整理即可求出v1：v2值．【解答】解：设传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到对尾的时间为t2，队伍前进用的时间为t，由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：t＝t1+t2，∴，整理得：，解得：，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，若函数的图象与y ＝f（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则y1+y2+y3+y4＝（）A．2B．4C．8D．2a【分析】根据f（x）+f（a﹣x）＝2可知，f（x）的图象关于（，1）对称，然后将y＝化简后也可以看出关于（）对称，由此它们的交点也关于（）对称，问题可解．【解答】解：因为函数f（x）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，故f（x）的图象关于（）对称；而＝，该函数图象是由函数y＝的图象向右平移个单位，然后向上平移一个单位得到的，结合y＝的图象关于（0，0）对称，故y＝的图象关于（）对称．设该它们的四个交点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）分成两对各自关于对称，不妨设（x1，y1）与（x2，y2）对称，（x3，y3）与（x4，y4）对称，则y1+y2+y3+y4＝2×2＝4．故选：B．【点评】本题考查函数的零点与函数的性质的综合考查，注意对称性在研究函数零点时的应用．属于中档题．二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9．（5分）下列函数中，对∀x∈R，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣|x|D．【分析】利用已知的条件即可判断选项是否正确．【解答】解：选项A：f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），A正确，选项B：f（2x）＝（2x）2＝4x2≠2f（x），B错误，选项C：f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），C正确，选项D：f（2x）＝2x+≠2f（x），D错误，故选：AC．【点评】本题考查了函数的性质以及解析式问题，属于基础题．10．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（）A．A∪B＝A B．A∩B＝AC．（∁U A）⊆（∁U B）D．A∪（∁U B）＝U【分析】利用集合的包含关系定义，以及充要条件的定义分别判断即可．【解答】解：对于A：当B⊆A有A∪B＝A成立，反之，若A∪B＝A成立，B⊆A成立，所以A符合；对于A：当B⊆A，有A∩B＝B；反之，若A∩B＝A成立，A⊆B成立，所以B不符合；对于C：若B⊆A有（∁U A）⊆（∁U B），反之若（∁U A）⊆（∁U B），则B⊆A，故C符合；对于D：A∪∁U B＝U⇔B⊆A，故D符合；故选：ACD．【点评】本题考查了集合的图形语言，考查了子集与集合运算的等价关系，属于基础题．11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．4x2+y2的最小值为C．x（x+y）最大值为D．最小值为4【分析】由已知结合基本不等式及一些常见的结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：∵x，y是正数，且1＝2x+y≥2，当且仅当2x＝y时取等号，∴解可得，xy，即xy的最大值，A正确；4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝1﹣4xy＝，当且仅当2x＝y且2x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值，B正确；因为2x+y＝1，所以y＝1﹣2x，所以x（x+y）＝x（1﹣x）＜＝，当且仅当x＝1﹣x即y＝0，x＝时取等号，结合已知可知，等号取不到，即没有最大值，C错误；因为＝＝＝（4+）＝4，当且仅当且2x+y＝1即x＝，y＝时取等号，D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是结论的灵活变形，属于中档试题．12．（5分）已知f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．方程f（x）＝0无解B．f（x）的最小值为2C．f（x）的图象关于（﹣1，0）对称D．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）【分析】结合函数的零点及基本不等式的应用条件，函数对称性的应用及导数与单调性的关系检验各选项即可判断．【解答】解：由f（x）＝＝0可得x2+2x+2＝0，且x≠0，此时方程没解，A正确；当x＝﹣2时f（﹣2）＝﹣2，显然2不是最小值，B不正确；因为f（x）＝＝＝x+1+，所以f（﹣2﹣x）＝﹣1﹣x+＝﹣（1+x+）＝﹣f（x），故f（x）的图象关于（﹣1，0）对称，C正确；＝，当x＞0或x＜﹣2时，f′（x）＞0，函数单调递增，D正确．故选：ACD．【点评】本题综合考查了函数的最值，对称轴及单调性的判断，属于函数性质的综合应用．三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为∀x＞1，x2≤1．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为特称命题，则命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为∀x＞1，x2≤1，故答案为：∀x＞1，x2≤1．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．（5分）函数f（x）＝，对∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝0，则实数a 的值为﹣2．【分析】利用已知求出f（﹣x），然后令f（﹣x）＝﹣f（x），即可求解．【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，﹣x≤0，则f（﹣x）＝﹣x（a+x），又f（x）＝x（x﹣2），所以﹣x（a+x）＝﹣x（x﹣2），所以a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是提高票价；图③的建议是降低成本．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x＝0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．【解答】解：由图②看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，由图③知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；综上可得图②的建议是提高票价，图③的建议是降低成本．故答案为：提高票价，降低成本．【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．16．（5分）已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则的最小值为．【分析】根据条件可得（a+b）（a+2c）＝3，然后由，利用基本不等式，即可求出的最小值．【解答】解：∵a2+ab+2ac+2bc＝3，∴（a+b）（a+2c）＝3，∴，当且仅当a+b＝a+2c，即b＝2c时取等号，∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）幂函数f（x）＝x a过点（4，2）．（1）求a的值，并证明f（x）在[0，+∞）是增函数；（2）幂函数g（x）是偶函数且在（0，+∞）是减函数，请写出g（x）的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．）【分析】（1）根据待定系数法求出函数的解析式，根据单调性的定义证明即可；（2）写出满足条件的函数的解析式即可．【解答】解：（1）将（4，2）代入f（x）＝x a，得：4a＝2，解得：a＝，故f（x）＝＝，设∀x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，∵+＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，+∞）递增；（2）g（x）＝﹣x4．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道常规题．18．（12分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．【分析】（1）a＝4时，求出集合A，B，由此能求出A∩B和∁R（A∩B）．（2）选①，求出集合B，推导出A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a，当A≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．选②，求出集合B，推导出B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．选③，求出集合B，推导出A＝B，无解．【解答】解：（1）∵a＝4时，A＝{x|3＜x＜8}，＝{x|≥0}＝{x|2＜x≤5}．∴A∩B＝{x|3＜x≤5}，∁R（A∩B）＝{x|x≤3或x＞3}．（2）选①，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a，则a＜﹣1，当A≠∅时，，解得a∈∅．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．选②，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊆A，∴，解得＜a＜3．∴实数a的取值范围是（，3）．选③，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”充要条件，∴A＝B，无解．故应该①或②，不应该选③．【点评】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知f（x）＝2x2+（a﹣2）x+a．（1）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a2．【分析】（1）利用方程的根与函数的关系，构造不等式即可；（2）由题意得关于x的一元二次不等式，然后通过分类讨论求解．【解答】解：（1）因为f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，故，解得．所以实数a的取值范围为[0，6）．（2）不等式f（x）＜a2即2x2+（a﹣2）x+a﹣a2＜0，等价于，当，即a＝时，，显然无解；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式的解集为（）．综上可知，a＝时，不等式无解；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为（）．【点评】本题考查函数与方程之间的关系，一元二次不等式的解法．属于中档题．20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．【分析】（1）先设DQ＝y，又AD＝x，根据由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域得出y的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；（2）利用基本不等式求出（1）中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．【解答】解：（1）设DQ＝y，又AD＝x，则x2+4xy＝200，∴（0＜x＜10），∴S＝4200x2+210•4xy+80•2y2＝（0＜x＜10）．（2），当且仅当，即时，S min＝118000元．【点评】本小题主要函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a＞0）．（1）请在如图所示的直角坐标系中作出a＝时f（x）的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（2）设函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为g（a）；①求g（a）的表达式；②若，求g（a）的最大值．【分析】（1）代入a的值，函数解析式即可求出，进而可以作出函数图象，单调区间即可求出；（2）①讨论对称轴与区间的三种位置关系，即可求解；②分析出函数g（a）在定义域上的单调性，即可求出最大值．【解答】解：（1）当a＝时，f（x）＝x2﹣|x|＝，函数f（x）的图象如图所示：增区间为（﹣1，0），（1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣1），（0，1）；（2）①因为x∈[1，2]，所以f（x）＝ax2﹣x+2a﹣1，（a＞0），因为a＞0，所以f（x）＝a（x﹣）2+2a﹣﹣1，若＜1，即a＞时，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝3a﹣2；若1，即时，f（x）在[1，]上递减，在[]上递增，所以f（x）min＝f（）＝2a﹣﹣1；若＞2，即0＜a＜时，f（x）在[1，2]上单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝6a﹣3，综上：g（a）＝，②a∈[]时，g（a）＝2a﹣，因为y＝2a，y＝﹣在[]上单调递增，所以g（a）＝2a﹣﹣1在[]单调递增，所以g（a）的最大值为g（）＝﹣．【点评】本题考查了分段函数的图象以及的单调性，考查了含参数二次函数闭区间上求最值的问题，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若在[1，6]上∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数g（x）＝|f（x）﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，求a的取值范围．【分析】（1）运用单调性的定义判断f（x）在（1，2）递减，（2，6）递增，求得f（x）在[1，6]的值域，|f（x）﹣6|的范围，由存在性可得a的范围；（2）可令t＝（t∈（0，1]），运用参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；（3）求得x+∈[4，5]，讨论a≥5，4＜a＜5，a≤4，去绝对值，运用基本不等式，解方程可得所求范围．【解答】解：（1）设任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣x2﹣＝，因为x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2﹣4＜0，x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝＞0，所以f（x1）＞f（x2），即f（x）在[1，2]递减，同理可得f（x）在[2，6]递增，所以4≤f（x）≤，所以﹣2≤f（x）﹣6≤，即0≤|f（x）﹣6|≤2，因为∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，可得a≤2；（2）设t＝（t∈（0，1]），由题意可得t+≥mt+16对t∈（0，1]恒成立，所以m≤（﹣+1）min，因为﹣+1＝4（﹣2）2﹣15，在t＝时有最小值﹣15，所以m≤﹣15；（3）因为x∈[1，4]，所以x+∈[4，5]，①当a≥5时，g（x）＝a﹣x﹣+a＝2a﹣x﹣≤2a﹣2＝2a﹣4，所以g（x）的最大值为2a﹣4＝5，即a＝（舍去）；②当a≤4时，g（x）＝x+﹣a+a＝x+≤5，此时命题成立；③当4＜a＜5时，g（x）max＝max{|4﹣a|+a，|5﹣a|+a}，则或，解得a＝或a＜．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]．【点评】本题考查对勾函数的单调性的判断和运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

高一数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|23}x x -<<B. {3,6}C. {1,2}-D. {1,2,3}-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，结合集合交集的定义可得答案． 【详解】解：集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，{}1,2A B ∴=-，故选：C .【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2.函数()2log (1)a f x x =++（0a >，且1a ≠）恒过定点（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (1,3)D. (0,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2log (1)a f x x =++的真数值为1，求得自变量x 的值即可求得答案． 【详解】解：()2log (1)a f x x =++令11x +=，得0x =，()()02log 012a f =++=，∴函数()2log (1)a f x x =++的图象经过定点()0,2．故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，属于基础题．3.已知幂函数图像经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是（ ）A. 3xy = B. x y = C. 3y x =D. y x =【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可． 【详解】解：设幂函数为()f x x α=， 因为图象经过点(2,8)， ()228f α∴==，解得3α=，函数的解析式3()f x x =， 故选：C ．【点睛】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，属于基础题． 4.设()338xf x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中得()()()10, 1.50, 1.250,f f f <><则方程的根落在区间（ ）A. ()1,1.25B. ()1.25,1.5C. ()1.5,2D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求根的方法判断即可.【详解】由()()1.50, 1.250,f f ><可知方程的根落在()1.25,1.5内. 故选：B【点睛】本题主要考查了二分法求根方法等,属于基础题型.5.已知()f x 是奇函数，当0x >时()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x 等于（ ） A. (1)x x -- B. (1)x x - C. (1)x x -+ D. (1)x x +【答案】A【解析】 【分析】由0x <时，0x ->，则()(1)f x x x -=-，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式； 【详解】当x 0<时，x 0->，则()()f x x 1x -=-．又()f x 是R 上的奇函数，所以当x 0<时()()()f x f x x 1x =--=--． 故选项A 正确．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.函数()f x 的增区间是(2,3)-，则(5)y f x =+的单调增区间是（ ） A. (3,8) B. (7,2)-- C. (2,8)- D. (2,3)-【答案】B 【解析】 【分析】函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位，利用函数()f x 在区间(2,3)-是增函，即可得到结论．【详解】解：函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位 函数()f x 在区间(2,3)-是增函数(5)y f x ∴=+增区间为(2,3)-向左平移5个单位，即增区间为(7,2)--，故选：B ．【点睛】本题考查图象的变换，及函数的单调性，属于基础题．7.设13log 5a =，153b =，0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b <<D.a cb <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，可以判断出a ＜0，b ＞1，根据指数函数的值域及单调性可判断出0＜c ＜1，进而得到a 、b 、c 的大小顺序． 【详解】∵y=13log x 在定义域上单调递减函数，∴a 13log =5＜13log 1=0，y=3x 在定义域上单调递增函数，b 10533==＞1，y=（15）x在定义域上单调递减函数，0＜c ＝（15）0.3＜（15）0=1， ∴a ＜c ＜b 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是利用函数的单调性比较数的大小，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．8.若2log 13<a ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 023a << B. 23a > C. 023a <<或1a >D.213a << 【答案】C 【解析】 【分析】讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果． 【详解】∵log a 23＜1＝log a a ，当a ＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a ＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a 23＜， 综上可知a 的取值范围是203a <<或1a >， 故选C.【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是讨论底数与1的关系，属于基础题．9.函数()221f x ax x =-+在区间()1,1-和区间()1,2上分别有一个零点，则实数a 的取值范围是 （ ）A. ()3,1--B. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 33,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()3,3,4⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】利用排除法：当1a =时，()()22211f x x x x =-+=-，此时函数只有一个零点1，不合题意，排除D 选项， 当2a =-时，()2221f x x x =--+，此时函数有两个零点12-±，不合题意，排除AC 选项，本题选择B 选项.10.已知函数3())8f x x x =+-，且(2)10f -=，那么(2)f =（ ） A. 10 B. 10-C. 18-D. 26-【答案】D 【解析】 【分析】 令g （x）＝)lnx ，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f （2）的值． 【详解】令g （x）＝)lnx ，则g （-x）＝)lnx ，g （x ）+ g （-x ）=))ln ?ln10x x ln +==，可得其为奇函数，又y=3x 为奇函数，则f （x ）+8为奇函数，所以f （﹣2）+8+f(2)+8＝0，即10+8+ ()280f +=， 则f （2）＝﹣26， 故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性的判定及应用，以及整体代换求函数值的方法，属于中档题．11.已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立，所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力． 12.设函数3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则(2)cab +的取值范围是（ ） A. (3,4) B. (3,27) C. (9,27) D. (27,81)【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，由a b c <<，且()()()f a f b f c ==，可得1ab =，34c <<，根据指数函数的单调性即可求出(2)cab +的取值范围.【详解】解：3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩可作函数图象如下所示：因为实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，由图可知11343a b c ∴<<<<<< 33log log a b ∴=33log log a b ∴-=即1a b -=1ab ∴=(2)3c c ab ∴+=3x y =在定义域上单调递增，且()3,4c ∈()327,81c ∴∈即()(2)27,81c ab ∴+∈故选：D【点睛】本题考查数形结合思想，函数单调性的应用，以及对数的运算，属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13.已知函数()f x 满足()xf e x =，则(5)f =________.【答案】ln 5 【解析】 【分析】由已知，()xf e x =，将5写成e α形式，则实数α为所求．【详解】解：由于()xf e x =，令5x e =，转化为对数式得出，log 55e x ln ==，即有()55()5ln f f e ln ==故答案为：5ln ．【点睛】本题考查函数的解析式表示法，函数值求解．根据函数的解析式构造出()()55ln f f e=是关键，属于基础题． 14.已知集合1|22xA x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________. 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意解出集合A ，根据集合的包含关系求出参数a 的取值范围，即可得到c 的值. 【详解】解：1|22x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭{}(]|1,1A x x ∴=≤-=-∞-(,)B a =-∞且A B ⊆1a ∴>-即()1,a ∈-+∞又a 的取值范围是(,)c +∞1c ∴=-故答案为：1-【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，属于基础题. 15.定义域{|0}x x >为的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+且(8)3f =，则(2)f =_______.【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得()()832f f =，从而求得()2f 的值． 【详解】解：函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()(),0,x y ∈+∞且(8)3f =，()()()()842323f f f f ∴=+==∴()21f =，故答案为：1．【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的值，属于基础题.16.函数()y f x =是定义域为R 的增函数，且()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B ，则不等式()3f x <的解集为________. 【答案】(2,1)- 【解析】 【分析】由题意()3f x <等价于3()3f x -<<根据函数的单调性与特殊点的函数值,将函数不等式转化为自变量的不等式,即可求解. 【详解】解:()3f x <3()3f x ∴-<<()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B()23f ∴-=-,()13f =又因为()y f x =是定义域为R 的增函数,()()()21f f x f ∴-<<21x ∴-<<故答案为: ()2,1-【点睛】本题考查函数单调性,属于基础题. 三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置.17.计算：（1）22333(0.9)()(3)28--+⋅+（2）7log 23log lg25lg47+-. 【答案】（11 ； （2）32. 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算公式和对数的运算公式，即可求解的结果.【详解】由题意，（1）原式4911)194=+⨯+=； （2）原式3133log 27(lg 25lg 4)222222=++-=+-=.【点睛】本题主要考查了指数幂的化简，运算求值和对数的运算求值问题，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知函数1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M .（1）求M ；（2）当x M ∈时，求111()242x x g x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域.【答案】（1）(1,2]M =-（2）[1,2) 【解析】 【分析】（1）根据偶次方根的被开方数大于等于零，对数函数的真数大于零，得到不等式组，解得；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭将函数转化为关于t 的二次函数，结合t 的取值范围求出函数的值域.【详解】解：（1）1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭201303x x -≥⎧⎪∴⎨->⎪⎩，解得12x -<≤，即(1,2]x ∈-，即函数的定义域(1,2]M =-. （2）因(1,2]M =-，令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,24t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 则22()22(1)1g t t t t =-+=-+，而()g t 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[1,2)上单调递增， 所以()[(1),(2))g t g g ∈，即()[1,2)g t ∈，所以值域为[1,2).【点睛】本题考查函数的定义域值域的求解，利用换元法求函数的值域，属于基础题.19.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:n P y ax =，22:Py bx c =+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？【答案】（1）154y x =214y x =；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 【解析】【详解】试题分析：（1）由图可知，点()()1,1.25,4,2.5在曲线1P 上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得154y x =.同理()4,1在曲线2P 上，将其代入曲线的方程可求得214y x =.（2）设投资甲商品x 万元，乙商品10x -万元，则利润表达式为515442y x x =+，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元. 试题解析：（1）由题知()1,1.25，()4,2.5在曲线1P 上，则 1.2512.54nn a a ⎧=⋅⎨=⋅⎩， 解得54{12a n ==，即1y =又()4,1在曲线2P 上，且0c，则14b =， 则14b =，所以214y x =. （2）设甲投资x 万元，则乙投资为()10x -万元，投资获得的利润为y 万元，则()1104y x =-1542x =+，t ⎡=∈⎣， 则2215515654424216y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭. 当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6516万元，此时10 3.75x -=（万元）， 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 20.已知函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(1,1)-区间上的单调性，并证明；（3）求不等式(2)(1)0f x f x +->的解集.【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，证明见解析（3）10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据函数为在(1,1)-上的奇函数，则()00f =，得到关于a 的方程，求解可得，需注意检验；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照“设元，作差，变形，判断符号，下结论”五步来完成即可；（3）根据函数的单调性奇偶性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域，得到不等式组，解得；【详解】解：（1）因为函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数， 所以13(0)log 0f a ==，解得1a =， 此时131()log 1x f x x -=+，由101x x ->+，得定义域为(1,1)-， 而131()log 1x f x x +-=-131log 1x x -=-+()f x =-， 则函数13()log 1a x f x x -=+是奇函数， 所以1a =满足题意.（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，下面证明：任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，则()()121211123311log log 11x x f x f x x x ---=-++()()()()12112311log 11x x x x -+=+-， 而()()()()()()()1221121211211111x x x x x x x x -+--=+-+-，因为12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，所以210x x ->，1210,0x x +>->,所以()()()()()()()12211212112101111x x x x x x x x -+--=>+-+-， 所以()()()()121211111x x x x -+>+-， 所以()()()()()()1212112311log 011x x f x f x x x -+-=<+-， 所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增.（3）因为函数()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，所以不等式(2)(1)0f x f x +->可化为(2)(1)f x f x >-，又因为函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，所以12111121x x x x -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩， 解得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，函数单调性的证明，利用函数的单调性解不等式，属于综合题.21.已知f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0），满足条件f （x+1）-f （x ）=2x （x∈R），且f （0）=1．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）当x≥0时，f （x ）≥mx -3恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3].【解析】【分析】（Ⅰ）根据f （0）=1及f （x+1）-f （x ）=2x ，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a 、b 、c 的值，得到f （x ）的解析式．（Ⅱ）将解析式代入不等式，构造函数g （x ）=x 2-（m+1）x+4，即求当x∈[0，+∞）时g （x ） 4≥0恒成立．讨论g （x ）的对称轴x=m 12+与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由f （0）=1得，c=1，由f （x+1）-f （x ）=2x ，得a （x+1）2+b （x+1）+1-（ax 2+bx+c ）=2x化简得，2ax+a+b=2x ，所以：2a=2，a+b=1，可得：a=1，b=-1，c=1，所以f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）由题意得，x 2-x+1≥mx -3，x∈[0，+∞）恒成立．即：g （x ）=x 2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．其对称轴x=m 12+， 当m 12+≤0，即m≤-1时，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， g （0）=4＞0∴m≤-1成立 ②当m 12+＞0时， 满足m 1020+⎧⎪⎨⎪≤⎩＞计算得：-1＜m≤3综上所述，实数m 的取值范围是（-∞，3]．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数对称轴、单调性与恒成立问题的综合应用，属于中档题．22.已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <,()()2[13]g x f x x x =--⋅，求函数()g x 在[t ，2]上的最大值和最小值；（3）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)2()11f x x x =++;(2)见解析;(3)见解析.【解析】 分析：（1）由1()2f x -是偶函数，知函数()f x 的对称轴是12x =-，再由二次函数性质可得； （2）由（1）()(2)g x x x =-⋅，按x 的正负分类去绝对值符号，得两个二次函数，配方得对称轴，再按对称轴与区间[],2t 的关系分类可求得最值；（3）假设存在，并设点坐标P ()2,m n，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦ ，注意到43是质数，且2210n m ++>，可得22143n m ++=，2211n m +-=，从而得解.详解：（1）因为函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，所以二次函数()2f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. 又因为二次函数()2f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为()211f x x x =++. （2）()()2g x x x =-⋅ 当0x ≤时，()()211g x x =--+， 当0x >时，()()211g x x =--，由此可知()max g x =0．当12t ≤<，()2min 2g x t t =-；当11t ≤<，()min 1g x =-；当1t <，()2min 2g x t t =-+； （3）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P ()2,m n，其中m 为正整数，n为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦.注意到43是质数，且()()221221n m n m ++>-+，()2210n m ++>，所以有()()22143,2211,n m n m ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩ 因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.点睛：本题考查二次函数的性质，特别是二次函数在某个区间上的最值问题，求最值主要是根据对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.另外本题还考查了整数的问题，在解不定方程()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦时，由整数质因数分解定理得到22143n m ++=，2211n m +-=，否则其解不确定.。

2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{2，3}D ．{0，1，2}2．函数f(x)=x−11+x的定义域为（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数D （x ）={1，x 是有理数，0，x 是无理数．若函数f （x ）＝D （x ）﹣x 2，则下列实数中不属于函数f （x ）值域的是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣35．若f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f （5）＞f （2），下列各式中一定成立的是（ ） A ．f （﹣2）＜f （5） B ．f （0）＜f （6） C ．f （4）＜f （5）D ．f （0）＜f （4）6．已知函数f （x ）＝x 4+x 2﹣2，x ∈R ，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．(−23，2)C ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D ．(−∞，−23)∪(2，+∞)7．给定函数f （x ）＝x 2﹣2，g （x ）=−12x +1，用M （x ）表示函数f （x ），g （x ）中的较大者，即M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．7−√178C ．14D ．28．已知f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0，|3−2x |，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围是（ ）A．(−∞，53)B．（﹣∞，2）C．(−∞，133)D．(53，133)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设a，b为正数，且a＞b，下列不等式中一定成立的是（）A．ba4＞ab4B．ba ＜b+1a+1C．a+1a＞b+1b D．b−a b＜a−b a10．将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f（t）的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（）A．B．C．D．11．定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则下列结论一定正确的有（）A．f（0）＝0B．f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）C．f（x）为R上的增函数D．f（x）为奇函数12．某数学兴趣小组对函数f(x)=1−x|x|+1进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）A．f（﹣2023）+f（2023）＝2B．∃x1≠x2，都有f（x1）＝f（x2）C．f（x）的值域为（0，2）D．∀x1，x2∈（0，+∞），都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数f（x）＝xα（α∈R）是奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，则α的值可以是．（只要写一个即可）14．命题“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为 ．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若集合A ＝{y |y =[2x 2−3x 2+1]，x ∈R }，则A 中元素的个数是 ． 16．已知函数f （x ）＝﹣x +2，g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，若对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2），则实数m 的取值范围 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}． （1）求（∁U A ）∩B ；（2）已知C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 18．（12分）若正数a ，b 满足ab ＝4a +b +t ，t ∈R ． （1）当t ＝0时，求a +4b 的最小值； （2）当t ＝5时，求ab 的取值范围．19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象与直线y ＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式f （x ）＜0的解集为[﹣1，3]． （1）求f （x ）的解析式；（2）关于x 的不等式f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m 的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 20．（12分）立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格P （x ）（元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）＝1+2x．该商品的日销售量 Q （x ）（个）与时间x （天）部分数据如下表所示：给出以下两种函数模型：①Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，②Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ．（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q （x ）与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）求该商品的日销售收入f （x ）（1≤x ≤60，x ∈N *）的最小值．21．（12分）定义：对于函数f 1（x ），f 2（x ），h （x ），如果存在实数a ，b ，使得af 1（x ）+bf 2（x ）＝h （x ），那么称h （x ）为f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数．（1）给出函数f 1（x ）=−14x 2−12x +154，f 2（x ）＝x 2﹣4x ﹣5，h （x ）＝x 2﹣10x +5，请判断h （x ）是否为f（x）和f2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设f1（x）＝x（x＞0），f2（x）=1x（x＞0），当a＝2，b＝8时，f1（x）和f2（x）的生成函数为h （x）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2＝2，是否存在实数m，使得h（x1）h（x2）＞m恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知f（x）＝x（|x﹣4a|+2），a∈R．（1）若f（1）＝3，判断f（x）的奇偶性；（2）若f（x）在[1，3]上的最小值是3，求正数a的值．2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{2，3}D ．{0，1，2}解：由Venn 图可知，阴影部分所表示的集合为A ∩（∁U B ）＝{0，1，2，3}∩{x |x ≤1}＝{0，1}． 故选：B ． 2．函数f(x)=2x√x−1√1+x的定义域为（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：要使原函数有意义，则{x −1＞01+x ＞0，解得x ＞1．∴函数f(x)=2x√x−1√1+x的定义域为（1，+∞）．故选：A ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数D （x ）={1，x 是有理数，0，x 是无理数．若函数f （x ）＝D （x ）﹣x 2，则下列实数中不属于函数f （x ）值域的是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣3解：由题意得f（x）={1−x2，x是有理数−x2，x是无理数，A：由于f（1）＝0，A正确；B：由f（x）＝﹣1，当x是有理数时，1﹣x2＝﹣1，则x=±√2，不合题意；当x是无理数时，﹣x2＝﹣1，则x＝±1，不合题意；C：因为f（√2）＝﹣2，故﹣2为函数的一个函数值；D：由f（√3）＝﹣3，故﹣3为函数的一个函数值．故选：B．5．若f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（5）＞f（2），下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣2）＜f（5）B．f（0）＜f（6）C．f（4）＜f（5）D．f（0）＜f（4）解：因为f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，所以f（﹣5）＝f（5），f（﹣2）＝f（2），因为f（5）＞f（2），所以f（5）＞f（﹣2），故A正确，因为无法判断函数的单调性，故其余选项不能判断．故选：A．6．已知函数f（x）＝x4+x2﹣2，x∈R，则满足f（2x）＜f（x+2）的x的取值范围为（）A．（0，2）B．(−23，2)C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．(−∞，−23)∪(2，+∞)解：因为f（﹣x）＝x4+x2﹣2，所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＞0时，y＝x4，y＝x2单调递增，所以函数f（x）＝x4+x2﹣2在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，因为f（2x）＜f（x+2），所以|2x|＜|x+2|，所以（2x）2＜（x+2）2，整理得3x2﹣4x﹣4＜0，解得−23＜x＜2，所以x的取值范围为（−23，2）．故选：B．7．给定函数f （x ）＝x 2﹣2，g （x ）=−12x +1，用M （x ）表示函数f （x ），g （x ）中的较大者，即M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．7−√178C ．14D ．2解：令x 2﹣2=−12x +1，解得x ＝﹣2或x =32， 作出函数M （x ）的图象如图所示：由图象可知，当x =32时，M （x ）取得最小值为M （32）=14．故选：C ．8．已知f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0，|3−2x |，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围是（ ）A ．(−∞，53) B ．（﹣∞，2）C ．(−∞，133)D ．(53，133)解：画出f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0|3−2x |，x ＞0的图象，如图所示：设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝a，则a∈（0，3），令x2+4x+3＝3，解得x＝﹣4或0，因为y＝x2+4x+3的对称轴为x＝﹣2，由对称性可得x1+x2＝﹣4，且x1∈（﹣4，﹣3），x2∈（﹣1，0），其中1x1+1x2=x1+x2x1x2=−4x1x2=−4(−4−x2)x2=4(x2+2)2−4，因为x2∈（﹣1，0），所以（x2+2）2﹣4∈（﹣3，0），故1x1+1x2=4(x2+2)2−4∈（﹣∞，−43），又2x3−3＝3−2x4，故1x3+1x4=3，所以1x1+1x2+1x3+1x4∈（﹣∞，53）．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设a，b为正数，且a＞b，下列不等式中一定成立的是（）A．ba4＞ab4B．ba ＜b+1a+1C．a+1a＞b+1b D．b−a b＜a−b a解：对于A，因为a，b为正数，且a＞b，则ba4﹣ab4＝ab（a3﹣b3）＞0，故A正确；对于B，b（a+1）﹣a（b+1）＝b﹣a＜0，则B正确；对于C，（a+1a）﹣（b+1b）＝（a﹣b）−a−bab=（a﹣b）（1−1ab），由于1−1ab的符号不确定，故C错误；对于D，（b−ab）﹣（a−ba）＝（b﹣a）−a2−b2ab=（b﹣a）（1+a+bab），由于b﹣a＜0，ab＞0，a+b＞0，则（b﹣a）（1+a+bab）＜0，则D正确．故选：ABD．10．将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f（t）的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（）A．B．C．D．解：由已知图像可知面积S的增速经历三种变化，首先面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，A选项：由圆的性质可知，面积S的增速先越来越大，后越来越小，A选项不符合；B选项：面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，B选项符合；C选项：面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，C选项符合；D选项：面积S增速越来越小，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越大，D选项不符合．故选：BC．11．定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则下列结论一定正确的有（）A．f（0）＝0B．f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）C．f（x）为R上的增函数D．f（x）为奇函数解：令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0），即f（0）＝0，故A正确；令y＝﹣x，可得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），且定义域为R，则f（x）为奇函数，故D正确；由f（x）为奇函数，可得f（x﹣y）＝f（x）+f（﹣y）＝f（x）﹣f（y），故B正确；设f（x）＝﹣x，满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），但f（x）＝﹣x为递减函数，故C错误．故选：ABD．12．某数学兴趣小组对函数f(x)=1−x进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）|x|+1A．f（﹣2023）+f（2023）＝2B．∃x1≠x2，都有f（x1）＝f（x2）C．f（x）的值域为（0，2）D ．∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2 解：根据题意，可得f(x)=1−x|x|+1的定义域为R ， 对于A ，因为f(−x)=1−−x |−x|+1=1+x |x|+1，所以f （﹣x ）+f （x ）＝2，对任意x ∈R 成立，故f （﹣2023）+f （2023）＝2成立，A 正确；对于B ，化简得f(x)={1x+1，x ≥02+1x−1，x ＜0，可知f （x ）在（﹣∞，0）上与在[0，+∞）上都是减函数，所以f （x ）在R 上为减函数，不存在x 1≠x 2，使f （x 1）＝f （x 2）成立，故B 错误；对于C ，由f(x)={1x+1，x ≥02+1x−1，x ＜0，可知当x ∈（﹣∞，0）时，−1＜1x−1＜0，f （x ）=2+1x−1∈（1，2），当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=1x+1∈（0，1]，所以f （x ）在R 上的值域为（0，2），C 正确； 对于D ，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=1x+1，其图像是由反比例函数y =1x 向左平移1个单位而得， 图象是单调递减的曲线且以x 轴为渐近线，可知f （x ）是凹函数， 可知∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2成立，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数f （x ）＝x α（α∈R ）是奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，则α的值可以是 ．（只要写一个即可） 解：当α＝﹣1时，则f （x ）=1x为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，符合题意． 故答案为：﹣1（答案不唯一）．14．命题“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为 ． 解：“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为：∀x ＞1，x 2≥1． 故答案为：x ＞1，x 2≥1．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若集合A ＝{y |y =[2x 2−3x 2+1]，x ∈R }，则A 中元素的个数是 ． 解：∵2x 2−3x 2+1=2(x 2+1)−5x 2+1=2−5x 2+1，x 2+1≥1，0＜5x 2+1≤5，∴−3≤2−5x 2+1＜2， ∴−3≤2x 2−3x 2+1＜2， ∴A ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，A 中元素的个数为5． 故答案为：5．16．已知函数f （x ）＝﹣x +2，g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，若对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2），则实数m 的取值范围 ．解：∵f （x ）＝﹣x +2为减函数，∴当x ∈[1，2]时，其值域A ＝[0，1]； ∵x ∈（﹣2，3），∴x +3∈（1，6）， 令t ＝x +3，则t ∈（1，6），g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，可化为y =(t−3)2+5(t−3)+10t +m ＝t +4t+m ﹣1（1＜t ＜6）， 由对勾函数的性质可知，h （t ）＝t +4t+m ﹣1在区间（1，2]上单调递减，在区间[2，6）上单调递增， ∴h （t ）min ＝h （2）＝3+m ，又h （1）＝4+m ，h （6）=173+m ，h （6）＞h （1）， ∴h （t ）∈[3+m ，173+m ），∴当x ∈（﹣2，3）时，g （x ）的值域为B ＝[3+m ，173+m ）；∵对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2）， ∴A ⊆B ， ∴{3+m ≤0173+m ＞1，解得−143＜m ≤﹣3．故答案为：（−143，﹣3]． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}． （1）求（∁U A ）∩B ；（2）已知C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}， 所以∁U A ＝{x |﹣3≤x ≤5}，（∁U A ）∩B ＝（﹣2，5]；（2）因为C ⊆B ，所以{a +1≤10a ≥−2，解得﹣2≤a ≤9，即a 的取值范围[﹣2，9]．18．（12分）若正数a ，b 满足ab ＝4a +b +t ，t ∈R ． （1）当t ＝0时，求a +4b 的最小值；（2）当t ＝5时，求ab 的取值范围． 解：（1）当t ＝0时，4a +b ＝ab ， 所以4b +1a=1，所以a +4b ＝（a +4b ）（1a +4b ）＝17+4ba +4ab ≥17+2√4b a ⋅4ab =25，当且仅当4a b=4b a且ab ＝4a +b ，即a ＝b ＝5时取等号；（2）当t ＝5时，ab ＝4a +b +5≥2√4ab +5，当且仅当b ＝4a ，即a =52，b ＝10时取等号， 解得ab ≥25，故ab 的取值范围为[25，+∞）．19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象与直线y ＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式f （x ）＜0的解集为[﹣1，3]． （1）求f （x ）的解析式；（2）关于x 的不等式f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m 的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 解：（1）根据题意，可得f （x ）＜0的根为﹣1和3，且ax 2+bx +c +4＝0有两个相等的实数根， 故{−1+3=−ba −1×3=c a ，且b 2﹣4a （c +4）＝0，解得a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣3，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣3；（2）f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m ，即x 2﹣2x ﹣3＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m ，整理得x 2﹣（m +1）x +m ＜0， 若m ＝1，不等式化为（x ﹣1）2＜0，解集为空集，不符合题意； 若m ≠1，不等式化为（x ﹣m ）（x ﹣1）＜0，当m ＜1时，解集为（m ，1），若恰有两个整数在区间（m ，1），则﹣2≤m ＜﹣1； 当m ＞1时，解集为（1，m ），若恰有两个整数在区间（1，m ），则3＜m ≤4． 综上所述，实数m 的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（3，4]．20．（12分）立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格P （x ）（元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）＝1+2x．该商品的日销售量 Q （x ）（个）与时间x （天）部分数据如下表所示：给出以下两种函数模型：①Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，②Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ．（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q （x ）与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）求该商品的日销售收入f （x ）（1≤x ≤60，x ∈N *）的最小值．解：（1）模型①：Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，x ＝25时，Q （25）＝b ＝1670， x ＝20时，Q （20）＝25a +1670＝1680，解得a ＝0.4； 所以Q （x ）＝0.4（x ﹣25）2+1670；计算Q （45）＝0.4×202+1670＝1830＞1690， Q （60）＝0.4×352+1670＝2160＞1720；模型②：Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ，表示在x ＝30两侧“等距”的函数值相等， 由{Q(25)=5a +b =1670Q(20)=10a +b =1680，解得a ＝2，b ＝1660， 所以Q （x ）＝2|x ﹣30|+1660，所以Q （45）＝15×2+1660＝1690，Q （60）＝30×2+1660＝1720； 所以利用模型②最合适，此时Q （x ）＝2|x ﹣30|+1660；（2）由（1）知，该商品的日销售收入f （x ）＝P （x ）•Q （x ）＝（1+2x）（2|x ﹣30|+1660）={3440x −2x +1716，1≤x ≤302x +3200x+1604，30＜x ≤60， 当1≤x ≤30时，f （x ）是单调递减函数，最小值为f （30）=344030−60+1716≈1771， 当30＜x ≤60时，f （x ）＝2x +3200x +1604≥2√2x ⋅3200x +1604＝1764，当且仅当2x =3200x，即x ＝40时“＝”成立，综上，f （x ）的最小值是1764．21．（12分）定义：对于函数f 1（x ），f 2（x ），h （x ），如果存在实数a ，b ，使得af 1（x ）+bf 2（x ）＝h （x ），那么称h （x ）为f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数． （1）给出函数f 1（x ）=−14x 2−12x +154，f 2（x ）＝x 2﹣4x ﹣5，h （x ）＝x 2﹣10x +5，请判断h （x ）是否为f （x ）和f 2（x ）的生成函数？并说明理由；（2）设f 1（x ）＝x （x ＞0），f 2（x ）=1x （x ＞0），当a ＝2，b ＝8时，f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数为h （x ）．若对于任意正实数x 1，x 2且x 1+x 2＝2，是否存在实数m ，使得h （x 1）h （x 2）＞m 恒成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数，理由如下：若h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数，则存在实数a ，b 使得h （x ）＝af 1（x ）+bf 2（x ）成立， 所以x 2−10x +5=a(−14x 2−12x +154)+b(x 2−4x −5)，即{ −14a +b =1−12a −4b =−10154a −5b =5，解得a ＝4，b ＝2， 所以h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数．（2）f 1（x ）＝x （x ＞0），f 2(x)=1x (x ＞0)，当a ＝2，b ＝8时的生成函数ℎ(x)=2x +8x， 假设存在实数m ，使得对任意正实数x 1，x 2，满足x 1+x 2＝2，h （x 1）h （x 2）≥m 恒成立， 所以ℎ=ℎ(x 1)ℎ(x 2)=4x 1x 2+64x 1x 2+16(x 1x 2+x2x 1)=4x 1x 2+64x 1x 2+16[(x 1+x 2)2x 1x 2−2]=4x 1x 2+128x 1x 2−32，令t =x 1x 2，t =x 1x 2≤(x 1+x 22)2=1， 因为ℎ=4t +128I−32在（0，1]单调递减， 所以h 的最小值为100，所以m 的最大值为100． 22．（12分）已知f （x ）＝x （|x ﹣4a |+2），a ∈R ． （1）若f （1）＝3，判断f （x ）的奇偶性；（2）若f （x ）在[1，3]上的最小值是3，求正数a 的值． 解：（1）根据题意，f （x ）＝x （|x ﹣4a |+2），其定义域为R ， 若f （1）＝3，即|1﹣4a |+2＝3，解得a ＝0或a =12， 当a ＝0时，f （x ）＝x |x |+2x ，因为f （﹣x ）＝﹣x |﹣x |﹣2x ＝﹣x |x |﹣2x ＝﹣f （x ），所以f （x ）是奇函数， 当a =12时，f （x ）＝x |x ﹣2|+2x ，所以 f （﹣1）＝﹣5，f （1）≠f （﹣1），f （1）≠﹣f （﹣1）， 所以f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数； （2）由题意得f （x ）={x 2−(4a −2)x ，x ≥4a −x 2+(4a +2)x ，x ＜4a，对于f （x ）＝x 2﹣（4a ﹣2）x ，其对称轴为x ＝2a ﹣1，开口向上， 对于f （x ）＝﹣x 2﹣（4a +2）x ，其对称轴为x ＝2a +1，开口向下， 又由f （x ）在[1，3]上的最小值是3，则有f （1）＝|1﹣4a |+2≥3， 解可得a ≤0或a ≥12，又由a为正数，则a≥1 2，当a=12时，f（x）＝x|x﹣2|+2x，易得f（x）在[1，3]上递增，且f（1）＝3，符合题意；当a＞12时，有4a＞2a+1＞2a﹣1，f（x）在（﹣∞，2a+1]单调递增，在[2a+1，4a]单调递减，在[4a，+∞）单调递增．有1＜2a+1且f（4a）＝8a＞4＞3，则f（x）在[1，3]上的最小值只能在x＝1处取到，但f（1）＝4a+2＞3，与之矛盾；故a＞12不符合题意，综合可得：a=1 2．。

江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3} ，则A CuB________ ．2. （1分） (2016高一上·南京期中) 设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x＞0}，则A∩B=________．3. （1分） (2020高一下·易县期中) 已知函数在R上是奇函数，且当时，，则时，的解析式为________.4. （1分） (2016高三上·苏州期中) 函数y= 的定义域为________．5. （1分） (2017高一上·连云港期中) 若f（3x+2）=9x+8，则f（8）=________．6. （1分） (2016高一下·临川期中) 不等式的解集是________．7. （1分） (2017高二下·黄山期末) 若；q：x=﹣3，则命题p是命题q的________条件（填“充分而不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”）．8. （1分）不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是________．9. （1分） (2018高二上·大连期末) 已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．10. （1分） (2018高一上·安阳月考) 已知集合 , ,若,则实数的取值范围为________．11. （1分）(2018高一上·山西月考) 已知奇函数在上为增函数，对任意的恒成立，则的取值范围是________.12. （1分） (2018高一下·定远期末) ，时，若，则的最小值为________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）下列对象中，不能构成集合的是（）A . 参加2012年伦敦奥运会的所有国家B . 数学必修1课本中的所有习题C . 2012年高考中合肥市取得优秀成绩的同学D . 所有无理数14. （2分） (2016高一上·万州期中) 下列函数中，与函数相同的是（）A .B .C .D .15. （2分）(2019·泉州模拟) 设为坐标原点，直线交圆于，两点，则面积的最大值是（）A . 1B .C . 2D . 416. （2分）某工厂今年前五个月每月生产某种产品的数量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图所示，则这个工厂对这种产品来说（）A . 一至三月每月生产数量逐月增加，四、五两月每月生产数量逐月减少B . 一至三月每月生产数量逐月增加，四、五月每月生产数量与三月持平C . 一至三月每月生产数量逐月增加，四、五两月均停止生产D . 一至三月每月生产数量不变，四、五两月均停止生产三、解答下列各题 (共5题；共35分)17. （5分） (2017高一上·长宁期中) 解不等式组：．18. （10分） (2016高二上·宝应期中) 已知集合P={x|2x2﹣5x+2≤0}，函数y=log2（ax2+2）的定义域为S（1）若P∩S≠∅，求实数a的取值范围（2）若方程log2（ax2+2）=2在上有解，求实数a的取值范围．19. （5分） (2016高一上·青海期中) 已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=A，求a的取值范围．20. （10分） (2019高一上·高台期中) 函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，对任意的x，y∈（0，＋∞），都有f（x＋y）=f（x）＋f（y）–1，且f（4）=5．（1）求f（2）的值；（2）解不等式f（m–2）≥3．21. （5分）已知函数f(x)=-x+ln（1）求函数的定义域，并求的值（2）若﹣1＜a＜1，当x∈[﹣a，a]时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答下列各题 (共5题；共35分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、。

江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟.2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效. 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置）1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果． 【详解】解：集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题． 2.已知复数z 满足2zi i=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为___________. 【答案】1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由2zi i=+，得(2)12z i i i =+=-+， ∴复数z 的实部为−1， 故答案为：−1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.已知向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥，则实数x 的值是___________. 【答案】1【解析】 【分析】由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出x 的值． 【详解】解：∵向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥， ∴220x -=，解得1x =， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.函数y =___________. 【答案】(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可．【详解】解：由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，函数的定义域为(1,2)， 故答案为：(1,2)．【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题．5.等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________. 【答案】31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q ，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 6.已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为_________.【答案】25【解析】 【分析】分子分母同时除以cos α，可将目标式转化为用tan α来表示，再代入tan α的值即可求得结果．【详解】解：sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++， 代入tan 2α=得，原式22145==+， 故答案为：25．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为sin α，cos α的齐次式时，可分子分母同时除以cos α，达到变形的目的，本题是基础题．7.“2x >”是“1x >”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个） 【答案】充分不必要 【解析】试题分析：因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立，所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 考点：充要关系8.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为_______.【答案】12π【解析】【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭比较，列方程求解． 【详解】解：把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度，得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象， 26πϕ∴=， 则12πϕ=，故答案为：12π．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9.设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.【答案】(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求． 【详解】解：当20x +<时，由()2(2)f x f x+>得：22(2)1x x e++>，20x +<，2(2)11x ∴++<，又201x e e ≥=，22(2)1x x e ∴++>无解；当20x +≥时，由()2(2)f x f x+>得：22x x ee +>，22x x ∴+≥，解得：12x -<<，∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-，故答案为：(1,2)-．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．10.已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导，求出极小值点，然后判断()f x 的单调性求出极小值，再由()f x 的极小值大于0，建立关于m 的不等式，求出m 的范围． 【详解】解：由()ln m f x x x =-，得2()(0)x m f x x x'+=>， 令()0f x '=，则x m =-， 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0， 必有极小值点0m ->，故0m <，所以当x m >-时，()0f x '>，当0x m <<-时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)m -上单调递减，在(,)m -+∞上单调递增， 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>，所以1m e<-， 综上，m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题． 11.已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数，利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值．【详解】解：依题意，等差数列{}n a 各项都为正数， 所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭． 当且仅当373a a ==时等号成立． 故答案为：9．【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-，则cos C _________.【答案】13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决． 【详解】解：如图，2CE ED =，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-， 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-， 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-，得(1CE ED CB -⋅=），即1ED CB ⋅=，即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=， 1cos 3C ∴=，故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大． 13.若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ，则()12cos x x -=___________. 【答案】35【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=，得到1276x x π=-，则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合已知得答案．【详解】解：由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ， 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1222662x x πππ-+-∴=，1276x x π∴=-， ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：35． 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题．14.已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的2x ，3(0,3)x ∈，使得()()()123f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为_____________. 【答案】)21,ln34e ⎡--⎣【解析】 【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ，利用导数求出1()ln x g x ea x-=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ，根据题意可得A B ⊆，列不等式即可求得实数a 的取值范围．【详解】解：23()3f x x x =-，(0,3)x ∈，2()633(2)f x x x x x '=-=-，可得：函数()f x 在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而(0)(3)0,(2)4f f f ===．()(0,4]f x A ∴∈=．1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈，11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增， 又(1)0g '=，∴函数()g x 在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．0x +→时，2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--．令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣．对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈， 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆．10a ∴-≤，且24ln 3e a <--．解得214ln 3a e ≤<--． ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣，故答案为：)21,ln34e ⎡--⎣．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120C ︒=，7c =，2a b -=. （1）求a ，b 的值； （2）求sin()A C +的值.【答案】（1）5a =，3b =（2）14【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=，结合2a b -=，即可解得a ，b 的值． （2）由（1）及余弦定理可求cos B ，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin()A C +的值． 【详解】解：（1）由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=，2a b -=，22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得：22150b b +-=， 因为0b >，解得：3b =，5a =， 综上：5a =，3b =.（2）由（1）知5a =，3b =，7c =，所以22213cos 214a cb B ac +-==，因为B 为ABC ∆的内角，所以sin B ==，因为sin()sin()sin 14A CB B π+=-==，所以sin()A C +的值为14． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知向量(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =. （1）若//a b ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若()f x a b =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值及相应x 的值. 【答案】（1）2x π=或3x π=.（2）最大值为32，此时6x π=. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算，列方程求解；（2）根据数量积的坐标运算，利用三角公式，将()f x 变形为sin()A x ωϕ+的形式，利用三角函数的性质求最值．【详解】解：（1）因为，(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =.，//a b ，所以2cos sin x x x =，所以cos (sin )0x x x =，所以cos 0x =或sin 0x x =，即cos 0x =或tan x =因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x π=或3x π=； （2）因为(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =，所以2()cos sin f x a b x x x =⋅=1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的最大值为32，此时6x π=． 【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题，考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图像和性质，难度不大，但综合性较强．17.已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）12n n a . （2）20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩ 【解析】【分析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{}n a 的通项公式可求；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，作差可得当4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，再求出数列{}n b 的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b的前n 项和为n T ．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q （不为0），2a ，31a +，4a 成等差数列，()32421a a a ∴+=+，22a =，所以22(21)22q q +=+，解得2q 或0q =（舍），211a a q∴==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a ； （2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-，∴当3n ≥，1n n c c +>，又410c =>，所以4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，因为10c =，21c =-，31c =-，所以10b =，21b =，31b =，所以10T =，21T =，32T =，当4n ≥时，123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-， 综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ，下部是一个矩形ABCD ，圆弧CD 所在圆的圆心为O ，经测量4AB =米，3BC =米，COD 120︒∠=，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其中E ，F 在边AB 上，G ，H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=，矩形EFGH 的面积为S .（1）求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）求cos θ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？【答案】（1）8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3（2）1129cos θ+=【解析】【分析】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出0S '=时的cos θ的值，三角计算即可得出结果．【详解】解：（1）如图，作OP CD ⊥分别交AB ，GH 于M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，120COD ︒∠=，所以OM AB ⊥，ON GH ⊥，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 中点，60CON ︒∠=，在Rt COP ∆中，2CP =，60COP ︒∠=， 所以433OC =233OP = 所以33OM OP PM OP BC =-=-=， 在Rt ONG ∆中，GON OGF θ∠=∠=，433OG OC ==所以433GN θ=，433ON θ=， 所以8233GH GN θ==，43333GF MN ON OM θ==-=-， 所以438833(4cos 1)sin 333S GF GH θθθθ=⋅==-⎭，πθ0,3， 所以S 关于θ的函数关系式为：8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3 （2）由（1）得：()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3， 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，令0S '=，得1cos ,12θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且01cos 16θ+=， 所以0S '>，得00θθ<<，即S 在()00,θ单调递增，0S '<，得03πθθ<<，即S 在0,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时，S 取得最大值，所以当1cos 16θ+=时，矩形EFGH 的面积S 最大． 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题．19.已知函数()f x=（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-.（2）-1；（3）1a ≥【解析】【分析】（1）由函数()f x=()f x '，求出(1)f '和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．（2）由()()(0)F x f x x x x=-=->，求得()F x '，分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点，即可得出()F x 单调性与极值．（3）令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈，求出()g x '，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）因为()f x= 所以()f x '=(1)1f '=， 因为()y f x =经过(1,0)，所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-；（2）因为()F x x=-，0x >， 所以()1F x '=-， 又()F x '在(0,)+∞递减，(1)0F '=，所以在(0,1)x ∈，()0F x '>，即()F x 在(0,1)递增；在(1,)x ∈+∞，()0F x '<，即()F x 在(1,)+∞递减，所以在1x =处，()F x 取极大值，(1)1F =-；（3）设()ln ()ln g x x af x x a=-=-，(0,1]x ∈，所以1()2a g x x '=-+= ①0a ≤时，()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立，所以()g x 在(0,1]递增，又(1)0g =，所以0(0,1)x ∃∈时，()00g x <，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去；②1a ≥时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=-≤，所以()0x ϕ≤，(0,1]x ∈，所以()0g x '≤对(0,1]恒成立，所以()g x 在(0,1]递减，又(1)0g =，所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立，所以1a ≥成立；③01a <<时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=->，解()0x ϕ=得两根为1x ，2x1=>，(0,1)==， 所以101x <<，21>x ，所以()1,1x x ∈，()0x ϕ>，()0g x '>，所以()g x 在()1,1x 递增，又(1)0g =，所以()1()01x g g <=，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去，综上：1a ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<，求整数1a 的值；（3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t a b +是整数，求1a 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）120 【解析】【分析】（1）令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明．（3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．【详解】解：（1）因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时，11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=，所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列；（2）因为211a a -=，所以{}n a 的公差为1，因为对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<， 所以111433S <<，所以1334S <<，即1334a <<， 所以11a =或2，当11a =时，22a =，11S =，23S =，所以121114133S S +=+=，这与题意矛盾，所以11a ≠， 当12a =时，1n a n =+，(3)02n n n S +=>， 111123S =>，123111113n S S S S ++++>恒成立， 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭， 综上，1a 的值为2.（3）因为2115a a -=，所以{}n a 的公差为15， 所以11(1)5n a a n =+-， 所以111510n b a n =++， 由题意，设存在正整数s ，t ，使得s t a b l +=，l Z ∈，则111155510s t a a l +-+++=，即1202(5)1a l s t =--+， 因为5l s t Z --∈， 所以2(5)l s t --是偶数，所以1201a ≥，所以1120a ≥， 当1120a =时，41920b =， 所以存在141a b Z +=∈，综上，1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，难度较大．【选做题】本题包括21.22.23三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答，若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两题评分．．．．．．．．．．.．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．22.已知曲线C的极坐标方程为2cos ραα=+（α为参数），直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<），若曲线C 被直线1求β的值. 【答案】3πβ=. 【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=，直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<）在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=，因为圆C 被直线1d ==， = k ∴=因为02πβ<<， 所以tan k β==所以3πβ=．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.选修4-2：不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 【答案】见证明【解析】【分析】把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++，再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++，从而不等式得到证明. 【详解】因为,,0a b c >，1a b c ++=，所以a b c b c c a a b+++++ 1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++ 由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++，由柯西不等式，得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++ ⎪+++⎝⎭29≥= 所以11192b c a c a b ++≥+++，即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【点睛】多变量不等式的证明，可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明，如果不等式是和与积的形式，可考虑前者，如果是平方和与对应乘积和的关系，则考虑后者，必要时需对原有不等式变形化简，使之产生需要的结构形式.24.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立. （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）38，23.（2）分布列见解析，数学期望2524. 【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ，则3()4P A =，且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==， 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设b aλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.【答案】（1）60°（2）32λ=【解析】【分析】（1）推导出1AA ⊥平面ABC ，11,AB AA AA ⊥⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角．（2）推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面1A EF ，能求出λ的值．【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==，11AE A F ⋅=-， 所以1111cos ,2||||22AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-⨯. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°；（2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则10AE n ⋅=，且10AF n ⋅=.即03bz ax +=，且203bz ay +=. 令1z =，则3b x a =-，23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ，所以120n n ⋅=，22221099λλ∴--+=， 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·吉林期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·玉溪期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·济南期中) 设，，，则（）A . y3＞y1＞y2B . y2＞y1＞y3C . y1＞y2＞y3D . y1＞y3＞y24. （2分） (2016高二下·大庆期末) 设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），则下列关系式中一定成立的是（）A . 3c＞3bB . 3b＞3aC . 3c+3a＞2D . 3c+3a＜25. （2分）下列说法中，正确的是（）A . 幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）B . 当α=0时，函数的图象是一条直线C . 若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大D . 幂函数，当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小6. （2分）若函数f(x)为奇函数，且当时，则的值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·石家庄期中) 下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A .B . f（x）=x2+1C . f（x）=x3D . f（x）=|x|8. （2分）函数f（x）=lgx﹣sinx在（0，+∞）的零点个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2018高一上·宜宾月考) 若函数在上是增函数,则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 至少1个11. （2分） (2019高三上·长春月考) 设 , , ,则的大小关系是（）A .B .C .D .12. （2分）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·包头期中) 已知，则的表达式是________．14. （1分）已知函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2（x2+x+2）的图象关于直线x=2对称，则f（3）=________．15. （1分） (2018高一上·佛山期末) 计算： ________．16. （1分） (2019高二上·丽水月考) 函数为偶函数，且在上单调递增，则 ________；不等式的解集为________.三、解答题 (共6题；共70分)17. （5分）(2017高一上·沛县月考) 已知集合，求（1）（2）18. （10分） (2018高一上·华安期末) 求值：lg 8 + lg 125 − ( 1 7 ) − 2 + 16 3 4 + ( 3 − 1 ) 0（1）（2）19. （15分） (2018高一上·衢州期中) 设函数（且）是定义域为的奇函数．（1）求实数的值；（2）若 ,判断函数的单调性，并简要说明理由；（3）在（2）的条件下，若对任意的，存在使得不等式成立，求实数的取值范围.20. （10分） (2017高三上·邳州开学考) 已知函数f（x）= + ．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）= •[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+ ≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．21. （15分） (2019高一上·石家庄月考) 已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．（1）求证：对任意x1 ，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；（2）若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．22. （15分） (2019高一上·三台月考) 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）判断并证明的单调性；（3）解不等式参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

2024—2025学年江苏省苏州市高一上学期期中调研数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知函数的定义域为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(★★) 3. 已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（）A．B．C．D．(★★) 5. 如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是A．B．C．D．(★★★) 7. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（）A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差(★★★) 8. 设奇函数的定义域为，对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 设全集，集合，，，则（）A．集合的真子集个数是B．C．D．(★★★) 10. 已知，若，则（）A．的最大值为B．的最小值为10C．的最大值为2D．的最小值为8(★★★★) 11. 设函数，则（）A．直线是曲线的对称轴B．若函数在上单调递减，则C．对，不等式总成立D．当时，三、填空题(★) 12. 设，，，，若，则 ____________ ．(★★) 13. 已知是偶函数且，若，则 ______ . (★★★★) 14. 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 ______ .四、解答题(★★★) 15. 已知全集为，集合.(1)若，求集合；(2)若，求的取值范围.(★★★) 16. 已知函数，其中.(1)若不等式的解集为，解关于的不等式；(2)解关于的不等式.(★★★) 17. 函数是定义在上的偶函数，且.(1)求的解析式及其值域；(2)求的值，并计算.(★★★) 18. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米.(1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？(2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标）(★★★★) 19. 已知函数.(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；(2)记.（i）讨论在上的单调性，并说明理由.再请直接写出在上的单调区间；（ii）是否存在这样的区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是.若存在，求出区间；若不存在，请说明理由.。

苏教版高一期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若1∈{x，x2}，则x=（）A. 1B.C. 0或1D. 0或1或2.已知集合，集合，则P与Q的关系是A. B. C. D.3.已知集合A={a-2，2a2+5a，12}，-3∈A，则a的值为（）A. B. C. 或 D. 或4.如果集合S={x|x=3n+1，n∈N}，T={x|x=3k-2，k∈Z}，则（）A. B. C. D.5.已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（）A. B. C. D.6.函数f（x）=的定义域为，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知偶函数在区间单调递增,则满足-的x取值范围是( )A. B. C. D.8.下列四个函数中,在上为增函数的是A. B. C. D.9.已知函数f（x）=4x2+kx-1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.10.已知函数y =f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，且f（2a-1）＜f（1-a），则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.函数的最小值为（）A. 0B.C.D.12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A. 0B. mC. 2mD. 4m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是______ ．14.设A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是______ ．15.已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______ ．16.已知函数，＞，是R上的递增函数，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求值：（1）-（2-π）0-+；（2）已知0＜x＜1，且x+x-1=3，求．18.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．19.已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．20.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P （x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？21.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式-．22.已知二次函数f（x）=ax2-4x+b满足f（x）=f（4-x），且f（1）=-2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若m≠1，f（x）在区间[m，m+2]上的最小值为f（x1），最大值为f（x2），求2x2-x1的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，需要注意集合中元素的互异性，属于基础题.根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：x=1或者x2=1，每种情况下求出x的值，并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的表示方法，进行集合间的元素或判断集合间的关系时，应该先化简各个集合，再借助数轴或韦恩图进行运算或判断，属于基础题.通过求集合P中函数的定义域化简集合p，通过求集合Q中函数的值域化简集合Q，利用集合间元素的关系判断出集合的关系．【解答】解：依题意得，P={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，Q={y|y≥0}，∴Q P，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】由于-3∈A则a-2=-3或2a2+5a=-3，求出a的值然后再代入再根据集合中元素的互异性对a进行取舍．本题主要考察了集合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的关键是求出a的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．【解答】解：∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a2+5a∴a=-1或a=-，∴当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去当a=-时，a-2=-，2a2+5a=-3，满足．∴a=-．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】若t=k-1，则将T化简为S的形式，对比常用数集即可得到答案本题考查了集合间相等关系的判断与应用，属于基础题【解答】解：由T={x|x=3k-2=3（k-1）+1，k∈Z}={x|x=3（k-1）+1，k-1∈Z}令t=k-1，则t∈Z，则T={x|x=3t+1，t∈Z}通过对比S、T，且由常用数集N与Z可知N Z故S T故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数定义域的求解，是基础题，根据函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3，计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域，考查含有参数的不等式恒成立问题，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于基础题.根据题意，可得在R上恒成立，当时，有在R上恒成立；当时，可得，即可求出结果.【解答】解：∵函数的定义域为R，∴在R上恒成立，①当时，有在R上恒成立，符合条件；②当时，则，解得；综上，实数的取值范围是.故选B.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性,同时考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键,属于中档题.根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∴不等式等价为f（|2x-1|），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴，解得．故选A．8.【答案】C【解析】【分析】由题意知A和D在（0，+∞）上为减函数；B在（0，+∞）上先减后增；C在（0，+∞）上为增函数，本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答．【解答】解：∵f（x）=3-x在（0，+∞）上为减函数，∴A不正确；∵f（x）=x2-3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，∴B不正确；∵f（x）=-在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，∴C正确；∵f（x）=-|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确．故选C．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的单调性的判断，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．求出f（x）的对称轴方程，讨论f（x）在区间[1，2]上是单调增函数和减函数，注意对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=4x2+kx-1的对称轴为x=-，若f（x）在区间[1，2]上是单调增函数，可得-≤1，解得k≥-8；若f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，可得-≥2，解得k≤-16，综上可得k的取值范围是.故选A.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的性质的运用，属于基础题利用函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，将f（2a-1）＜f（1-a）转化为：2a-1＞1-a求解，注意定义域的范围．【解答】解：函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，则有：，解得：＜＜.故选B．11.【答案】C【解析】解：设=t，t≥0，则x=t2-1，解析式化为y=，t≥0，所以t=1时，原函数的最小值为-1．故选：C．设，t≥0，则x=t2-1，将已知函数化为关于t的二次函数，进一步求出最小值．本题考查函数的最值，属于基础题．利用换元方法是解题的关键，考查计算能力．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．根据已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2-2x-3|与y=f （x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又函数y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，当m为偶数时，此时x i=×2=m，当m为奇数时，必有一个交点在x=1上，此时x i=×2+1=m，故选B．13.【答案】(-1，+∞）【解析】【分析】本题考查集合之间的基本运算问题，是基础题．因集合M、N是数集，容易得出结论．【解答】解：∵集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}={x|x≤k}，且M∩N≠∅，∴k的取值范围是：(-1，+∞）．故答案为(-1，+∞）．14.【答案】m≤3【解析】【分析】A∩B=B⇔B A，利用集合的基本关系转化为元素与集合，元素与元素的关系求解．注意B=∅情情形．本题考查的知识点是交集及其运算及集合的包含关系判断及应用，解答时容易漏掉B=∅的情况．【解答】解：①由B={x|m+1≤x≤2m-1}=∅，可得m+1＞2m-1，m＜2，满足A∩B=B．②B≠∅时，需，解得2≤m≤3，综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3．故答案为：m≤3．15.【答案】0或【解析】【分析】通过集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出a的值即可．解题时容易漏掉a=0的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．【解答】解：因为集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，当a=0时，ax2-3x+2=0只有一个解x=，当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即△=9-8a=0即a=．所以实数a=0或．故答案为0或．16.【答案】（-∞，-10]【解析】解：根据函数，＞，是R上的单调递增函数，可得：每一段均为增函数，且当x=1时，左段函数值不大于右段函数值，所以＞，解得：m≤-10．故实数a的取值范围为：（-∞，-10]．故答案为：（-∞，-10]．分段函数，＞，是R上的单调递增函数，则每一段均为增函数，且当x=1时，左段函数值不大于右段函数值，进而可得实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的单调性，熟练掌握并正确理解分段函数的单调性的实际含义，是解答的关键．17.【答案】解：（1）（）-（2-π）0-（）+，原式=-1-+=-1-+=-+8=8.（2）由题意：0＜x＜1，∴＜0所以：（）2=x+x-1-2．∵x+x-1=3,∴（）2=1,故得=-1.【解析】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）由题意0＜x＜1，且x+x-1=3，判断x-x的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案．18.【答案】解：集合A={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|-3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|-4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（-4，3），∴2x2+ax+b=0的根是-4和3，由根与系数的关系得，解得a=2，b=-24．【解析】本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．（1）化简集合A、B，根据交集的定义进行计算即可；（2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、b的值．19.【答案】解：（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2+2x+1=0根的情况，是解答本题的关键．（1）若A中只有一个元素，表示方程ax2+2x+1=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，（2）A为空集，表示方程ax2+2x+1=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．20.【答案】解：（1）由题意得P（x）=12+10x，则f（x）=Q（x）-P（x）=,即f（x）=；（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212-160=52万元，当0≤x≤16时，函数f（x）=-0.5x2+12x-12，=-0.5（x-12）2+60，当x=12时，f（x）有最大值60万元，所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．【解析】本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，正确求出分段函数式，求出各段的最值是解题的关键，属于中档题．（1）先求得P（x），再由f（x）=Q（x）-P（x），由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．21.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式f（x2）-f（x）＞f（3x）的解集即可．22.【答案】解：（I）根据题意得，f（1）=a-4+b=-2，又因为f（x）=f（4-x），所以二次函数的对称轴为，解得a=1，所以b=1，（II）由（I）可知，f（x）=x2-4x+1=（x-2）2-3x2-4x+1=（x-2）2-3，当m＞2时，最小值f（x1）=f（m）f（x1）=f（m），最大值f（x2）=f（m+2）f（x2）=f（m+2），所以2x2-x1=m+42x2-x1=m+4；当m+1＜2＜m+2，即0＜m＜1时，最小值为f（x1）=f（2）f（x1）=f（2），最大值f（x2）=f（m）f（x2）=f（m），所以2x2-x1=2m-22x2-x1=2m-2；当m≤2＜m+1，即1＜m≤2，最小值为f（x1）=f（2）f（x1）=f（2），最大值为f（x2）=f（m+2）f（x2）=f（m+2），所以2x2-x1=2m+22x2-x1=2m+2；当m+2≤2时，即m≤0时，最小值为f（x1）=f（m+2）f（x1）=f（m+2），最大值f（x2）=f（m）f（x2）=f（m），所以2x2-x1=m-2故得2x2-x1=，，＜＜，＜，＞函数的图象如图：观察图象可知，函数的值域为（-∞，0）∪（4，+∞）．故得2x2-x1的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用二次函数的对称轴，即可得；（Ⅱ）利用二次函数的性质，即可得最值，借助函数的图象，即可得分段函数的的值域．本题主要考查函数的解析式与分段函数，利用函数的图象求函数的值域，利用二次函数的性质研究最值．。

江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试高三数学2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}260x x x --≤，B ＝{}24x x >，则A B ＝A ．(2，3)B ．[2，3]C ．(2，3]D ．[2，3] {﹣2}2．角α的终边经过点(3﹣sin α，cos α)，则sin α的值为A ．15B ．14C ．13D ．343．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列的前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．2204．函数“()f x =的定义域为R”是“a ≥1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2(e e )cos ()x x x f x x --=的部分图像大致是6．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点(0，﹣e)，且与曲线C ：()y f x =相切，则直线l 的斜率为A ．﹣2B ．2C ．﹣eD ．e 7．衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：e kt V a -=⋅．已知新丸经过50天后，体积变为49a ．若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为A ．125B ．100C ．75D ．508．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，112a =，2n S <，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是A ．(0，34]B ．(0，23]C ．(0，34)D ．(0，23)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则A ．()g x 的图像关于点(2，0)对称B ．()g x 的图像的一条对称轴是x ＝6πC ．()g x 在(56π-，6π)上递减D ．()g x 在(3π-，3π)值域为(0，1)10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差d ≠0，则A ．若59S S >，则150S >B ．若59S S =，则7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则78S S >D ．若67S S >，则56S S >11．已知函数()lg(1)f x x =-，1b a >>且()()f a f b =，则A ．1＜a ＜2B ．a ＋b ＝abC ．ab 的最小值为1D ．11211a b +>--12．函数ln ()e 1x x k f x x +=--在(0，+∞)上有唯一零点0x ，则A ．00e 1x x =B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知函数22()(2)f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式(2)()0x f x -<的解集为．14．对任意正数x ，满足224y xy y x +=-，则正实数y 的最大值为．15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款1000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为．（取1.211＝7.5，1.212＝9）16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当x ≥0时，()1xf x '>()f x -．若对任意x ∈R ，不等式e (e )e ()0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数()sin()f x x ωϕ=-(ω＞0，ϕ≤2π)的最小正周期为π．（1）求ω的值及()(6g f πϕ=的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=，求()f α的值．18．（本小题满分12分）已知函数321()232a f x x x x =-+-(a ∈R)．（1）当a ＝3时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若对于任意x ∈[1，+∞)都有()2(1)f x a <-成立，求实数a 的取值范围．在①c sin B C 2+＝a sinC ，②2cosA(b cosC ＋c cosB)＝a ，③(sinB ﹣sinC)2＝sin 2A ﹣sinBsinC 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝(1)b ，．（1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3-，求b 的值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．①是否存在正整数k ，使得1k T +=32k k T b ++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥．若函数()f x 在x ∈[a ，b ]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，k a](k ＞0)，则称[a ，b ]为()f x 的一个“k 倍倒域区间”．定义在[﹣4，4]上的奇函数()g x ，当x ∈[0，4]时，2()g x x =-4x +．（1）求()g x 的解析式；（2）求()g x 在[2，4]内的“8倍倒域区间”；（3）若()g x 在定义域内存在“k (k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()e sin x f x ax x =+⋅．（1）求曲线C ：()y f x =在x ＝0处的切线方程；（2）当a ＝﹣2时，设函数()()f x g x x=，若0x 是()g x 在(﹣π，0)上的一个极值点，求证：0x 是函数()g x 在(﹣π，0)上的唯一极大值点，且0＜0()g x ＜2．。

江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·邵东期中) 已知A={（x ， y）|y=2x-1}，B={（x ， y）|y=x+3}，A∩B= ________ ．2. （1分）满足{1，2}∪A={1，2，3}的集合A的个数为________．3. （1分） (2016高一上·黄浦期中) 不等式≤0的解集是________．4. （1分） (2016高二上·灌云期中) 已知集合A=[2﹣a，2+a]，B=[0，5]，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．5. （1分） (2016高一上·陆川期中) 已知下列四个命题：①函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点；②函数f（x）=log2（x+ ），g（x）=1+ 不都是奇函数；③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=﹣2；④设x1、x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x1x2=1，其中正确命题的序号是________．6. （1分） (2016高二上·上海期中) 设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，那么的最小值为________．7. （1分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0}，若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围________8. （1分） (2016高一上·虹口期中) 要设计两个矩形框架，甲矩形的面积是1m2 ，长为xm，乙矩形的面积为9m2 ，长为ym，若甲矩形的一条宽与乙矩形一条宽之和为1m，则x+y的最小值为________．9. （1分） (2015高三上·石家庄期中) 不等式的解集是________10. （1分） (2019高一上·都匀期中) 若不等式，则不等式的解集为________.（用集合或区间表示）11. （1分） (2019高一上·齐齐哈尔月考) 已知，则________；12. （1分）(2018高一上·林州月考) 设是上的增函数，,则 ________.二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分） (2017高一下·仙桃期末) 已知a＞b，则下列不等式①a2＞b2② ③ 中不成立的个数是（）A . 3B . 1C . 0D . 214. （2分） (2017高一下·黄冈期末) 下列结论正确的是（）A . 若a＞b，则ac2＞bc2B . 若a2＞b2 ，则a＞bC . 若a＞b，c＜0，则a+c＜b+cD . 若＜，则a＜b15. （2分） (2018高二下·中山月考) 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，若函数，且，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .16. （2分）设,是两个集合，则“="是""的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分） (2020高二下·上海期末)（1）已知，不等式的解集为，不等式的解集为A.求集合A；（2）解关于x的不等式 .18. （10分） (2020高二下·天津期中) 已知集合， .（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.19. （5分） (2017高三上·北京开学考) 某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？20. （5分） (2018高一上·集宁月考) 已知全集U＝{x|x－2≥0或x－1≤0}，A＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x≤1或x>2}，求A∩B，(∁UA)∩(∁UB)，21. （10分） (2017高二下·双鸭山期末) 已知函数，且．（1）若在区间上有零点，求实数的取值范围；（2）若在上的最大值是2，求实数的的值．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、。