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正多边形的镶嵌一、正多边形能够镶嵌的条件： ⑴拼接处各角之和为0360 ⑵它们的边长相等二、正多边形镶嵌的类型：1、单一型：只有同一种正多边形镶嵌.设正多边形的内角为α，镶嵌所有的正多边形为m 个，则0360m α=（m 为正整数）2、组合型：用两种以上的正多边形镶嵌.设第一种正多边形的内角为1α，用了1x 个；第二种正多边形的内角为2α，用了2x 个；⋯⋯；第n 种正多边形的内角为n α，用了n x 个，则01122360n n x x x ααα++⋯⋯+=（这里12,,,n x x x ⋯⋯为正整数） 三、典型例题例1、下列四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是（ ）.A 正三角形 .B 正方形 .C 正五边形 .D 正六边形【解析】：正n 多边形的内角为(2)180n n-∙，分别算出正三角形的内角为060，正方形的内角为090，正五边形的内角为0108，正六边形的内角为0120，360660=，360490=，00360101083=，003603120=，由于103不是正整数，所以选.C【点悟】：判断一种正多边形能否镶嵌的方法是：用360除以它的内角的度数，看商是否为整数，若为整数，可以镶嵌，若不得整数，就不能镶嵌.例2、如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值为（ ）.A 3 .B 4 .C 5 .D 6【解析】：正三角形的内角为060，正方形的内角为090，列方程得29060360n ⨯+⨯=解得3n =，故选.A例3、⑴正三角形与正六边形组合能否铺满平面？⑵正方形与正六边形组合能否铺满平面？⑶正三角形，正方形，正六边形三者结合能否铺满平面？【解析】：⑴设用了m个正三角形，n个正六边形，列方程得60120360⨯+⨯=，m n化简得：26m n+=，此方程的正整数解为2,2==.所以能铺满.m nm n==；4,1⑵设用了m个正方形，n个正六边形，列方程得90120360m n⨯+⨯=，化简得+=，此方程无正整数解，所以不能铺满.m n3412⑶设用了x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，列方程得++=，化简得234126090120360x y z++=，此方程的正整数解为x y z===，故能铺满.1,2,1x y z。
