2014高考数学(人教版,文科)二轮专题知能专练：专题3 第1讲 等差数列、等比数列]

数学思想专练（在练数学思想的同时,自检一轮复习成果,为二轮复习查找薄弱环节．)1．（2013·郑州质检)若集合A＝｛0，1，2,x｝，B＝｛1,x2}，A ∪B＝A,则满足条件的实数x有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为（)A。

错误!错误!B．4错误!C.错误!错误!D．4错误!或错误!错误!3．(2013·南昌模拟)双曲线错误!－错误!＝－1(a〉0，b>0）与抛物线y＝错误!x2有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为错误!，则双曲线的离心率等于（）A．2 B。

错误!C.错误!D。

错误!4．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知m,n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( ）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD。

α与β相交，且交线平行于l5．（2013·新课标全国卷Ⅱ）若存在正数x使2x(x－a)<1成立,则a的取值范围是（)A．（－∞，＋∞) B．(－2,＋∞）C．(0，＋∞) D．（－1，＋∞)6．（2013·南昌模拟)点P是底边长为2错误!，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则PM·PN的取值范围是（）A．［0,2］B．[0,3］C．［0，4] D．［－2，2]7．设集合A＝{－1，1,3｝，B＝｛a＋2,a2＋4}，A∩B＝{3},则实数a的值为________．8．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组错误!所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．9．(2013·郑州质检）过点M(2，－2p）作抛物线x2＝2py(p>0）的两条切线,切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．10．设y＝(log2x）2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在［－2,2]上变化时，y恒取正值,求x的取值范围．11．（2013·湖北高考)已知S n是等比数列｛a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列,且a2＋a3＋a4＝－18。

压轴大题抢分专练（一)1．已知函数f （x ）＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.(1）当a ＝－错误!时,讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈［2,＋∞）时，f （x )≥0，求a 的取值范围．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0)，点P 错误!在椭圆上．（1)求椭圆的离心率；（2)设A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ ｜＝｜AO ｜，求直线OQ 的斜率．3．设椭圆E ：错误!＋错误!＝1的焦点在x 轴上．（1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．4．已知函数f (x )＝ln(2ax ＋1)＋错误!－x 2－2ax (a ∈R ）．(1)若x ＝2为f (x )的极值点,求实数a 的值；(2)若y ＝f （x )在［3，＋∞）上为增函数，求实数a 的取值范围；（3)当a ＝－12时，方程f (1－x ）＝错误!＋错误!有实根,求实数b 的最大值．答案压轴大题抢分专练(一)1．解:（1)当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1,f′（x）＝3x2－6错误!x＋3.令f′（x)＝0，得x1＝错误!－1，x2＝错误!＋1.当x∈（－∞，错误!－1)时,f′(x)〉0，f(x）在（－∞,错误!－1）上是增函数；当x∈（错误!－1，错误!＋1）时,f′(x)<0,f(x）在（错误!－1，错误!＋1）上是减函数；当x∈(错误!＋1，＋∞）时，f′(x)〉0，f(x)在(错误!＋1，＋∞)上是增函数．(2）由f(2)≥0得a≥－错误!.当a≥－错误!，x∈(2，＋∞）时，f′（x）＝3(x2＋2ax＋1)≥3错误!＝3错误!·(x－2)>0，所以f(x）在（2，＋∞）是增函数，于是当x∈［2，＋∞)时,f(x)≥f （2）≥0.综上，a的取值范围是－错误!，＋∞.2．解:(1）因为点P错误!在椭圆上，故a25a2＋错误!＝1,可得错误!＝错误!.于是e2＝错误!＝1－错误!＝错误!，所以椭圆的离心率e＝错误!.（2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为（x0,y0）．由条件得错误!消去y0并整理得x2，0＝错误!.①由|AQ｜＝｜AO｜，A(－a,0）及y0＝kx0，得（x0＋a)2＋k2x错误!＝a2，整理得(1＋k2)x错误!＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝错误!,代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·错误!＋4.由（1）知错误!＝错误!，故（1＋k2)2＝错误!k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，解得k2＝5。

保分大题规范专练（三）1．（2013·新课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）．试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0．6 1。

2 2。

7 1。

5 2。

8 1。

8 2。

2 2。

3 3.2 3。

5 2．5 2.6 1.2 2。

7 1。

5 2。

9 3.0 3.1 2。

3 2。

4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1。

7 1。

9 0。

8 0.9 2.4 1。

2 2。

6 1.3 1。

41．6 0。

5 1。

8 0.6 2.1 1。

1 2.5 1.2 2。

7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？2．(2013·安徽高考)设数列｛a n｝满足a1＝2，a2＋a4＝8,且对任意n∈N*,函数f（x)＝(a n－a n＋1＋a n＋2)x＋a n＋1cos x－a n＋2sin x满足f′错误!＝0.(1)求数列{a n｝的通项公式;(2）若b n＝2错误!,求数列｛b n｝的前n项和S n。

3．(2013·惠州调研）如图所示,在棱长为2的正方体ABCD。

A1B1C1D1中，E，F分别为DD1,DB的中点．（1）求证:EF∥平面ABC1D1；（2)求证：CF⊥B1E；（3)求三棱锥B1。

EFC的体积．4．(2013·陕西检测)已知函数f（x)＝错误!sin错误!cos错误!＋cos2错误!－错误!,△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f（x）的单调递增区间；（2）若f（B＋C)＝1，a＝错误!，b＝1，求角C的大小．5．已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB(如图①)．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图②)，连结AC，AB，设M是AB的中点．(1)求证:BC⊥平面AEC；(2）判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由．6．某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入错误!（x2－600）万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价．答案保分大题规范专练（三)1．解：（1)设A药观测数据的平均数为错误!,B药观测数据的平均数为错误!。

知能专练(十）数列的综合应用1．（2013·郑州质检)设｛a n｝为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( ）A．18 B．20C．22 D．242．（2013·浙江省名校联考）已知每项均大于零的数列{a n｝中,首项a1＝1且前n项和S n满足S n错误!－S n－1错误!＝2错误!(n∈N＊且n≥2），则a81＝( )A．638 B．639C．640 D．6413．(2013·济南模拟）数列｛a n｝中，a n＋1＋（－1)n a n＝2n－1,则数列｛a n}的前12项和等于( ）A．76 B．78C．80 D．824．已知曲线C:y＝错误!(x〉0)及两点A1(x1,0）和A2（x2，0)，其中x2>x1>0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3（x3,0)，那么( )A．x1，错误!,x2成等差数列B．x1，错误!，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列5．（2013·江西宜春模拟)如图所示,当n≥2时,将若干点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n个点,若第n个图案中总的点数记为a n,则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝( )A．126 B．135C．136 D．1406．(2013·辽宁省五校联考)设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，已知(a4－1)3＋2 013(a4－1)＝1，（a2 010－1)3＋2 013（a2 010－1)＝－1，则下列结论中正确的是（）A．S2 013＝2 013，a2 010<a4B．S2 013＝2 013，a2 010〉a4C．S2 013＝2 012，a2 010≤a4D．S2 013＝2 012,a2 010≥a47．函数y＝x2(x〉0）的图像在点（a k，a错误!)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1,其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.8．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N＊)等于________．9．对于数列{a n}，定义数列｛a n＋1－a n｝为数列{a n｝的“差数列”，若a1＝2，｛a n｝的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n 项和S n＝________.10．(2013·惠州市调研)已知向量p＝（a n，2n)，向量q＝(2n＋1，－a n＋1)，n∈N＊，向量p与q垂直,且a1＝1。

第3讲 不等式、线性规划一、选择题1．(2013·福建高考)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是 ( )．A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析 ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，且2x ＋2y ＝1， ∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2. 答案 D2．(2013·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )．A ．－52B ．0 C.53D ．52解析 画出可行域如图．设z ＝x ＋2y ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max＝53. 答案 C3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )．A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a ＜b ，∴v ＝2s sa ＋s b＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v ＞a .答案 A4．(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )．A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}解析 由已知条件得0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2. 答案 D5．(2013·湖北高考)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )．A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400y ，x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .画出可行域如图．直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小， ∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元． 答案 C 二、填空题6．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是________． 解析 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2 y x ·4xy ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立．故填8. 答案 87．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析 由题意，得Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0， 化简得cos 2α≥12，∵0≤α≤π，∴0≤2α≤2π， ∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， ∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π8．(2013·陕西高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析 如图，曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令 z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－1,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－1)－2＝－4.答案 －4 三、解答题 9．已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2，由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66. 当且仅当x ＝6时取等号，由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66. 即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.10．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 设F (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，则问题的条件变为当x ∈[－1，＋∞)时，F (x )≥0恒成立．∵当Δ＝(－2a )2－4(2－a )＝4(a ＋2)·(a －1)≤0，即－2≤a ≤1时，F (x )≥0恒成立．又当Δ＞0时，F (x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，F (－1)≥0，－－2a 2≤－1⇒⎩⎨⎧a ＞1或a ＜－2，a ≥－3，a ≤－1⇒－3≤a ＜－2.故a 的取值范围是[－3,1]．11．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解(1)设隔热层厚度x cm，由题意，建筑物每年的能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5 (0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，∴C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)，又∵隔热层建造费用为6x(万元)，∴f(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f(x)＝8003x＋5＋6x＝1 6006x＋10＋(6x＋10)－10，∵0≤x≤10，∴6x＋10＞0，∴f(x)≥21 6006x＋10×(6x＋10)－10＝70.当且仅当1 6006x＋10＝6x＋10.即x＝5时，取“＝”号．故隔热层修建5 cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．。

2014年高考数学试题分类汇编及答案解析（解三角形）姓名：沈金鹏院、系：数学学院专业: 数学与应用数学2015年10月10日解三角形高考试题考点一正弦定理与余弦定理1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,,即cos2A=125又因△ABC为锐角三角形,.所以cos A=15,△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×15b-13=0,即b2-125(舍去),故选D.即b=5或b=-135答案:D2.(2013年陕西卷,文9)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)不确定解析:由正弦定理,得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和定理及互为补角的诱导公式,得sin(B+C)=sin2A=1,所以A=π,故选A.2答案:A3.(2013年北京卷,文5)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=13,则sin B 等于( ) (A)15(B)59(D)1 解析:由正弦定理得sin a A =sin b B ,sin B=1533⨯=59.故选B.答案:B4.(2013年山东卷,文7)△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若则c 等于( )(D)1 解析:由正弦定理,得sin a A =sin b B, ∵∴1sin A, ∵sin A ≠0, ∴cos A=A=π6,B=π3,C=π2.∴故选B. 答案:B5.(2013年湖南卷,文5)在锐角△ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b.若则角A 等于( ) (A)π3(B)π4(C)π6(D)π12解析:由正弦定理得2,因为△ABC为锐角三角形,所以A=π3.故选A.答案:A6.(2012年广东卷,文6)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°则AC等于( )(D)2解析:由正弦定理可知,sinACB=sinBCA,所以AC=sinsinBC BA故选B.答案:B7.(2011年浙江卷,文5)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B等于( )(A)-12(B)12(C)-1 (D)1解析:因为在△ABC中,acos A=bsin B,由正弦定理可得sin Acos A=sin2B,即sin Acos A=1-cos2B,所以sin Acos A+cos2B=1.故选D.答案:D8.(2012年陕西卷,文13)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=π6则b= .解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=222-2×2×π6=4,∴b=2.答案:29.(2012年福建卷,文13)在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°则AC= . 解析:由正弦定理知sin BC BAC ∠=sin ACABC∠,代入数据得sin 60。

保分大题规范专练（二)1．（2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:（1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2) 在(1)中，若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．2．(2013·重庆高考)如图，四棱锥P。

ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2错误!，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝错误!。

（1）求证:BD⊥平面PAC；（2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P。

BDF的体积．3．（2013·四川高考）在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a,b,c，且2cos2错误!cos B－sin(A－B)sin B＋cos（A＋C)＝－错误!。

（1)求cos A的值;（2)若a＝42，b＝5,求向量BA在BC方向上的投影．4。

（2013·济南模拟)如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（1)如果x＝7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差;（2）如果x ＝9，从学习次数大于8的同学中选2名，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．5．（2013·福建质检)某几何体ABC 。

A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示．(1)求证：平面AB 1C 1⊥平面AA 1C 1C ； (2）若E 是线段AB 1上的一点，且满足V11-E AA C ＝错误!V111-ABC A B C ,求AE 的长．6．（2013·湖南五市十校联考）已知数列{a n ｝的相邻两项a n ，a n ＋1是关于x 的方程x 2－2n x ＋b n ＝0的两根,且a 1＝1.（1)求证：数列错误!是等比数列； （2）求数列{a n ｝的前n 项和S n 。

第3讲推理与证明【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (2)分析法用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→4． 间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如图所示的框图表示．考点一 归纳推理例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测： 当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，得到一个明显 成立的条件∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(1)在数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＝6，且当n ∈N *时，a n ＋2是a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 014等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析 由a 1＝2，a 2＝6，得a 3＝2，a 4＝2，a 5＝4，a 6＝8，a 7＝2，a 8＝6，…， 据此周期为6， 又2 014＝6×335＋4， 所以a 2 014＝a 4＝2，故答案选A.(2)(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 考点二 类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________. 答案 (1)127 (2)b 2a2解析 (1)本题考查类比推理，也即是由特殊到特殊的推理．平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2a 2， 即k OM ·k AB ＝b 2a2.类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________．答案 (1)D (2)内角平分线 a解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ， 则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －12d ，又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，则d n ＝nc 1c 2…c n ＝nc n 1q n 2－n 2＝c 1q n －12，故选D.(2)对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q . 由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，从而OM ∥F 1Q 且OM ＝12F 1Q .而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .对于双曲线，过F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ， 类比可得OM ＝a .因为OM ＝12F 1Q ＝12(PF 1－PF 2)＝12·2a ＝a .考点三 直接证明与间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1)解 已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n＝23， 而1－a 21＝34，所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为23的等比数列， 则1－a 2n ＝34×⎝⎛⎭⎫23n －1，则a 2n＝1－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， 由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现， 因此a n ＝(－1)n ＋11－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝－34×⎝⎛⎭⎫23n ＋34×⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1. (2)证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m <n <p ，而b n ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1随n 的增大而减小，那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，可得2×14×⎝⎛⎭⎫23n －1＝14×⎝⎛⎭⎫23m －1＋14×⎝⎛⎭⎫23p －1，则2×⎝⎛⎭⎫23n －m＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m . 当n －m ≥2时，2×⎝⎛⎭⎫23n －m ≤2×⎝⎛⎭⎫232＝89，上式不可能成立，则只能有n －m ＝1，此时等式为43＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m ， 即13＝⎝⎛⎭⎫23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等． 所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列．(1)证明 假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列， 则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4 ⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾． 所以{a n }不是等比数列．(2)解 因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21] ＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0 (n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列；综上知，当λ＝－18时，数列{b n }构不成等比数列；当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．1． 合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2． 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．1． 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________． 答案 2 013解析 观察数阵，记第n 行的第1个数为a n ，则有 a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝4， a 4－a 3＝6， a 5－a 4＝8， ……a n －a n －1＝2(n －1)．将以上各等式两边分别相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n －1)＝n (n －1)， 所以a n ＝n (n －1)＋1，所以a 45＝1 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.2． 在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________． 答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)解析 类比k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．(推荐时间：60分钟)一、选择题1． 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2答案 C解析 从图中观察五角星构成规律， n ＝1时，有1个； n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个； n ＝4时，有10个；…所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2． ①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确 答案 D解析 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①不正确；对于②，其假设正确．3． 已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负答案 A解析 由已知得f (0)＝0，a 1＋a 5＝2a 3>0，所以a 1>－a 5. 由于f (x )单调递增且为奇函数，所以f (a 1)＋f (a 5)>f (－a 5)＋f (a 5)＝0，f (a 3)>0. ∴选A.4． 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)答案 B解析 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数时，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数时，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.5． 已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15答案 C解析 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ， 类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ， 即正四面体的内切球的半径是其高的14， 所以应选C.6． 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 010，则i ，j 的值的和为 ( )A ．75B ．76C ．77D ．78答案 C解析 观察偶数行的变化规律，2 010是数列：2,4,6,8，…的第1 005项，前31个偶数行的偶数的个数为(2＋62)×312＝32×31＝992，所以2 010是偶数行的第32行第13个数，即三角形数表中的第64行第13个数，所以i ＝64，j ＝13，所以i ＋j ＝77.故选C.二、填空题7． 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________．答案 a n ＝n 3解析 由题意知a 1＝1＝13，a 2＝3＋5＝8＝23，a 3＝7＋9＋11＝27＝33，a 4＝13＋15＋17＋19＝64＝43，….因此可归纳出a n ＝n 3.8． (2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n 个等式可为______________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)．9． 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．答案 1360解析 由上面的规律可知第n 行的第一个数为1n ，第二个数为1n (n －1)，所以第9行的第二个数为18×9，第10行的第一个数为110，第二个数为19×10＝190，设第3个数为x ，即x ＋190＝19×8⇒x ＝1360. 10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧ 35，33⎩⎪⎨⎪⎧ 7911，43⎩⎪⎨⎪⎧ 13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．答案 8解析 由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8.三、解答题11．观察下列三角形数表，假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)．(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式．解 (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋(n －2)(n ＋1)2. 所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2)． 12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2， 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r . 与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．13．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2. (1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)由已知，得S 1＝1×(a －a )2＝a 1＝a ，所以a ＝0. 由a 1＝0得S n ＝na n 2，则S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋12， ∴2(S n ＋1－S n )＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，即2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，于是有(n －1)a n ＋1＝na n ，并且na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1，∴na n ＋2－(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，即n (a n ＋2－a n ＋1)＝n (a n ＋1－a n )，则有a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }为等差数列．(2)由(1)得S n ＝n (n －1)p 2， ∴p n ＝(n ＋2)(n ＋1)p 2(n ＋1)np 2＋(n ＋1)np 2(n ＋2)(n ＋1)p 2＝2＋2n －2n ＋2， ∴p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n ＝⎝⎛⎭⎫2＋21－23＋⎝⎛⎭⎫2＋22－24＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2n －2n ＋2－2n ＝2＋1－2n ＋1－2n ＋2. 由n 是整数可得p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n <3. 故存在最小的正整数M ＝3，使不等式p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n ≤M 恒成立．。