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第三章静态场解法

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电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件

电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件

解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性

第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理

第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理

r
O
d
P(r, ) R q
处理方法：电位叠加原理：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q' 的感应电荷， 镜像电荷可采用前面的方法确定q a q, d。 a2 2、为了满足电荷守恒原理。断开接地d线，将电d量为-q'的电荷加 到导体球面上，使这些电荷均匀分布在球面上，使导体球为等势 体，且表面总电荷为零。
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
11
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
7
第3 章
解：用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 1 (
q

q
)
4π0 r 4π0 r 4π0 x2 y2 (z h)
x2 y2 (z h)2
l
2π
r r er
以r 0 为参考点，则电位

r r0
Edr

l 2π
ln

r0 r


l 2π
ln
1 r

C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷 ， 代替圆柱导体上的感应电荷.

静态场及其边值问题的解PPT教案

静态场及其边值问题的解PPT教案

并 选 择 有 限 远处为 电位参 考点。 例如， 选择ρ= a 的 点 为电位 参 考点，则有
(r ) l0 ln 2L C 20
C l0 ln 2L 20 a
(r ) l0 ln a 20
第13页/共152页
14
5. 电 位 的 微 分 方程
在 均 匀 介 质 中，有
D
E
grr
(o) 0
x
P
r
o
z E0
在 球 坐 标 系 中， 取极轴 与 的方 向一致 ，即 ， 则 有
E0
E0
ez E0
(P)
r E0
grr
r ez
grr
E0
E0r
cos
在 圆 柱 面 坐标 系中， 取 与 x轴方向 一致， 即 ，故
，而
r e ez z
(P)
ErE0 g0rr
r ex
z
(,, z)
L
R
z ' dl dz
y
x
-L
13
在 上 式 中 若令
， 则可 得到无 限长直 线电荷 的电位 。当
时 ， 上 式 可 写为
L R
L
(r ) l0 ln
2 L2 L
l 0
ln
2 L2 L
l 0
ln 2L
40 2 L2 L 20
20
L
当
时 ， 上 式 变 为无 穷大， 这是因 为电荷 不是分 布在有 限区域 内，而 将电位 参考点 选在无 穷远点 之故。 这时可 在上式 中加上 一个任 意常数 ，则有
2 (x) C2 x D2
第16页/共152页
17

静态场的解法

静态场的解法
▪ 常遇到旳边值问题有三种： （1）全部边界上旳位函数是已知旳，称为第一类 边值问题，又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。 （2）全部边界上旳法线方向旳位函数旳导数是已 知旳，称为第二类边值问题，又称为纽曼 （Neumann）问题。
（3）混合边值问题，又称为第三类边值问题， 它是第一类和第二类边值问题旳混合型。
式中常数Am、Bm由边界条件决定。 例3.8 无限大介质外加均匀电场，在介质内有一种半 径为a旳球形空腔，介质旳介电常数为ε，求空腔内、 外旳电位分布及电场强度。
解 本题为球坐标系中具有轴对称性旳二维场问题 在空腔内旳通解为
在介质中旳通解为
下面利用边界条件拟定各个系数。 所以B1=0 ③ 系数A1、C1、D1能够由r=a时旳边界条件求出，当 r=a时由φ1=φ2 所以能够得出
所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.7）变为
(3.4.8) 用n替代k，并把式（3.4.5）改写为如下形式
(3.4.9)
它是一种欧拉方程，其解为
(3.4.10)
式中旳系数由边界条件拟定
（3.4.11）
球坐标系中旳拉普拉斯方程为 ▪ 2.在球坐标系旳分离
变量法 在球坐标系中具有轴对称旳二维场旳解
按照梯形算法，每一种小梯形区间宽度为
，
第n个梯形采样点为
则 然后编写程序计算数值解。
2.有限差分法
在一种闭合边界L所界定旳平面域，其定解问 题可表述为
首先是把求解旳场域离散化，即在求解旳场域划提成 网格，网格旳划分有许多种措施，最简朴旳是正方形 网格划分，如图3.6.2所示。然后对偏微分方程进行 离散化，对正方形网格可采用五点差分格式。在二维 场域中取一点P，则沿x轴方向并经过P点旳直线上任 意一点旳数值ux用泰勒公式展开为

镜像法

镜像法
设一镜像电荷q″位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2

q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1

q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，

q 4

1 R

1 R


q 4

q q 0 4 R0
1

x2 y2 (z h)2
电位的法向导数

n
s

f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即

n
s2

f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法

静态场(教学版)

静态场(教学版)

1 ε0 = × 10−9 ≈ 8.854 ×10−12 (F/m) 是真空中的介电常数。 是真空中的介电常数 介电常数。 36π 来说， 作用在其上， 对于 q 来说，之所以有力 Fq′q 作用在其上，是因为 q' 的存
的源。 在，所以 q'就是 Fq′q 的源。 注意： 注意：库仑定律只适用于计算点电荷间的相互作用力
y
dv′
ρ (r ′)
r − r′
q
则根据叠加原理， 则根据叠加原理， V ′内体电荷对 q 的作 用力为： 用力为：
Fq (r ) = (r − r ′) ∫∫∫V ′ r − r ′ 3 ρ (r ′)dv′ 4πε 0 q
0 z
r′
r
x
类似地，对面电荷和线电荷分别有： 类似地，对面电荷和线电荷分别有：
−6 −12 例：真空中有三个点电荷电量分别为 q1 = q2 = 10 C，q3 = 10 C ，
它们分别位于一个边长为1米的等边三角形的三个顶点上， 它们分别位于一个边长为 米的等边三角形的三个顶点上，如图 米的等边三角形的三个顶点上 所示， 所受的力。 所示，求 q3 所受的力。 所在点的矢径分别为： 解：由图可知，q1 , q2 , q3 所在点的矢径分别为： 由图可知，
1. 电场强度 库仑定律表明两个电荷之间虽互不接触却能相互作用。 库仑定律表明两个电荷之间虽互不接触却能相互作用。 实验表明， 实验表明，这种作用是通过电荷在自己周围空间产生的电 场进行的。 场进行的。 电场是一种特殊的物质， 电场是一种特殊的物质，人的感官不能直接感受到电 场，但可以通过带电体的相互作用来检验它，也可以由相 但可以通过带电体的相互作用来检验它， 互作用的强弱来度量电场的强弱。 互作用的强弱来度量电场的强弱。用来描述电场强弱的物 理量是电场强度。 理量是电场强度。

第三章静态场-PPT精品文档

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dF = dq E
3.4 恒定电场理论
一、场
方程： ▽×E = 0 ▽·D= ρv 本构关系：D=εE ，Jc=σE 边值条件：D1n－ D2n = ρs E1t－ E2t = 0
即：dq/dt = I (常数)
因而：B、H不随时间变化
∮E·dl= 0
∮D·dS = Q
二、位
en ·(D1－ D2 ) = ρs en ×(E1－ E2 ) = 0
∴
1 = ——( 8πε
———
q12
a
+
———
q 22
b
+
————
2q1q2
d
)
a 35
d
b
解毕
3.2 静电场分析
导体：
静电平衡
媒质大体可分为导体和介质两大类
导体内： E=0，即导体是一等位体， 无电荷分布。
介质：
E= ≠0 方向与导体面垂直， 导体面： 仍等位是一等位面，有电荷分布。 E+
0+
有极分子： 不重合 转向 正负电荷中心 极化 效果:产生附加电场E′ 无极分子： 重合 位移
方法一：
ε 2 由总电能: We = —∫ E dv = 2 v
ε2 — E ∫dvvr= 2
ε 2 — E sd d 2 = —— q 2εs = — u2 2d 2
由高斯定理:q =∮εE· ds = εEs
∵∫E·dl= u ∴E = u/d ∵q = εsE = εs u/d = cu 1
εs
Wii表示：称自能，由带电体内的电荷相互作用产生，原理与互能相同。
∞ ① 因而,在某源点a处的电位能W1的定义: W1=∫ q a 1E·dl

《电磁场理论》3.1 唯一性定理

《电磁场理论》3.1 唯一性定理

第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C

V
2 ( ) dV 0

电磁场与电磁波第二版答案陈抗生

电磁场与电磁波第二版答案陈抗生

电磁场与电磁波第二版答案陈抗生【篇一：2011版电磁场与电磁波课程标准】xt>课程编号：适用专业：总学时数：学分：07050021 通信工程本科理论32学时 3一、课程目的及性质电磁场与电磁波是通信技术的理论基础，通过本课程的学习，使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。

使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。

培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生学会用场的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。

为后续课程打下坚实的理论基础。

二、本课程的基本内容第一章矢量分析（一）教学目的与要求1、理解矢量的标积和矢积；2、理解标量场的方向导数与梯度；3、理解矢量场的通量、散度与散度定理；4、理解矢量场旋度的散度，标量场梯度的旋度；5、理解亥姆霍兹定理、正交曲面坐标系。

（二）教学的重点与难点 1、 2、 3、矢量场中的散度定理和斯托克斯定理；无散场、无旋场的含义；格林定理。

（三）课时安排理论6课时（四）主要内容第一节：标量与矢量（1）课时 1、 2、 3、矢量的代数运算矢量的标积与矢积标量场的方向导数与梯度第二节：矢量场（1）课时 1、矢量场的通量、散度与散度定理 2、矢量场的环量、旋度与旋度定理第三节：无散场与无旋场（1）课时1、矢量场旋度的梯度2、标量场梯度的旋度3、格林定理第四节：矢量场的基本定义和坐标系 1、格林定理2、矢量场的唯一性定义3、亥姆霍兹定理4、正交曲面坐标系（3）课时第二章静电场（一）教学目的与要求 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、8、（二）教学的重点与难点 1、 2、 3、 4、电荷分布与电场强度、电位的关系式；静电场边界中：束缚电荷与电场，极化强度的关系；电场能量；虚位移方法在求解电场作用力的应用。

理解电通量定理，电场线及电场强度方向；理解真空中静电场的积分和微分形式；理解电荷的面密度和线密度与电位、电场强度的关系；理解束缚电荷与极化强度的关系；理解介质中静电场的微分与积分形式；理解静电场的边界条件；理解电容与电场能量的关系；理解虚位移方法在求解作用力的方法在常电荷，常电位系统中的应用。

动态问题静态求方程例题解析

动态问题静态求方程例题解析

动态问题静态求方程例题解析动态问题静态求解是指将动态问题转化为静态问题,从而求解出静态问题的解。

例题解析如下:假设有一个二维的迷宫,里面有4个房间,每个房间都有一个门和一个墙壁。

每个门都可以通往不同的房间,每个墙壁都可以阻挡不同的门。

现在有一个人从起始房间进入第一个门,然后一直沿着墙壁走,直到走到了尽头。

我们希望知道他最后会通过哪个门进入终点房间。

首先,让我们考虑将迷宫静态化。

将每个房间的门和墙壁都看作一个坐标,那么迷宫的二维坐标系可以表示为:```x0, y0 x1, y1 x2, y2 x3, y3 x4, y4x0, y0 x1, y1 x2, y2 x3, y3 x4, y4x, 0 y, 0 x, 0 x, 0 x, 0x, 0 y, 0 x, 0 x, 0 x, 0x, 0 y, 0 x, 0 x, 0 x, 0x, 0 y, 0 x, 0 x, 0 x, 0x, 0 y, 0 x, 0 x, 0 x, 0x, 0 y, 0 x, 0 x, 0 x, 0```然后,我们需要找到初始点(x0, y0)和终点(x4, y4)。

初始点可以由初始位置(x0, y0)和初始方向(0, 0)确定。

终点的位置可以通过遍历迷宫的方式来确定。

假设我们遍历了所有房间,走到了尽头,那么我们可以得到终点的坐标(x4, y4)。

接下来,我们需要找到通过某个门进入终点房间的概率。

我们可以将所有门看作一个向量,然后所有墙壁看作一个数列。

我们可以通过概率向量来表示通过某个门进入终点房间的概率。

假设门的概率向量为(p1, p2, p3, p4),墙壁的概率向量为(a1, a2, a3, a4),那么可以通过以下步骤来计算通过某个门进入终点房间的概率:1. 计算从初始位置(x0, y0)到第一个门(x1, y1)的路径长度。

2. 计算从第一个门(x1, y1)到第二个门(x2, y2)的路径长度。

3. 计算从第二个门(x2, y2)到第三个门(x3, y3)的路径长度。

3静态场分析法

3静态场分析法

∫ J ⋅ dS = 0
S
或
∇⋅ J = 0
电流恒定时，电荷分布不随时间变化， ◇ 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场 具有相同的性质， 具有相同的性质，因此
∫ E ⋅ dl = 0
l
或
∇× E = 0
P.9
一、恒定电场的电位
与静电场的讨论类似， 与静电场的讨论类似，由 ∇× E = 0 可引入恒定电场的电位函数
E = −∇ϕ
由
J = σE J =γ E
∇⋅J = 0
2 ∇ϕ =0
二、恒定电场的边界条件
将恒定电场的基本方程
∫ J ⋅ dS = 0、∫ E ⋅ dl = 0 分别用于二种不同导电媒
S l
质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。 质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。
1 ρl dl ,ϕ = ∫ R +C 4πε0 l
P.5
电位的边界条件： 电位的边界条件： 对于电位 ϕ 由
E1t = E2t
∂ϕ1 ∂ϕ 2 ⇒− =− ∂τ ∂τ
⇒ ϕ1 = ϕ2
由 D1n − D2 n = ρ s
⇒ ε1 E1n − ε 2 E2 n = ρ s
∂ϕ1 ∂ϕ2 − ε2 = −ρs ⇒ ε1 ∂n ∂n
ϕ1 = Aln r + B
P.4
∫
El ⋅ dl
对于点电荷的电场， ◇ 对于点电荷的电场， 处的电位为零， 若取 R P → ∞ 处的电位为零，则
q ϕ= 4πε0 R
◇ 体电荷 ρdτ 、面电荷 σdS 、线电荷 ρldl 产生的电位 分别为

第三章 静态场

第三章 静态场

对应物理量
r E
恒定电场
r E
r D
r J
ϕ ϕ
q I
ε C σ G
求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 例3.2.1 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为 、b， 长度为l 长度为 ，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。 解：直接用恒定电场的计算方法 设由内导体流向外导体的电流为I 设由内导体流向外导体的电流为 。
1. 基本方程
rr r r • 恒定电场的基本场矢量是电流密度J (r ) 和电场强度E(r )
•
r r J ⋅ dS = 0 积分形式： S 积分形式：∫ r r dl ∫ E ⋅ dl = 0 C r r • 线性各向同性导电媒质的本构关系 J = σE
恒定电场的基本方程为
r ∇⋅ J = 0 微分形式： 微分形式： r ∇× E = 0
ϕ1 −ϕ2 = lim ∫P
∆l →0
P 2
1
r r E ⋅ dl = 0
媒质1 媒质 ε 1 媒质2 ε 2 媒质
r r r r 由 en ⋅ (D − D2 ) = ρS 和 D = −ε∇ϕ 1
∂ϕ2 ∂ϕ1 ε2 −ε1 = ρS ∂n ∂n
ϕ1 =ϕ2
1 ϕ1 P ϕ2 ∆ l
P2
∂ϕ2 ∂ϕ1 ε2 = ε1 • 若介质分界面上无自由电荷，即ρS = 0 若介质分界面上无自由电荷， ∂n ∂n ∂ϕ • 导体表面上电位的边界条件： ϕ =常数， ε 导体表面上电位的边界条件： 常数， = −ρS ∂n
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
本节内容
3.2.1 恒定电场的基本方程 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 可知，导体中若存在恒定电流， 由J＝σE 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流 的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电 的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动， 荷分布是一种不随时间变化的恒定分布， 荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生 的电场称为恒定电场。 的电场称为恒定电场。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场与静电场的重要区别： 恒定电场与静电场的重要区别： （1）恒定电场可以存在于导体内部。 恒定电场可以存在于导体内部。 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电 恒定电场中有电场能量的损耗, 流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。

静态场的类比教学法

静态场的类比教学法

静态场的类比教学法在学习物理学的过程中，静态场是一个非常重要的概念。

它是描述空间中物体相互作用的一种模型，是研究电、磁、引力等现象的基础。

然而，静态场的概念对于初学者来说可能比较抽象，难以理解。

为了帮助学生更好地掌握静态场的概念，教师可以使用类比教学法来进行教学。

类比教学法是指通过将学习内容与学生已经熟悉的事物进行比较，以便更好地理解和记忆学习内容的一种方法。

在教学静态场时，教师可以使用以下几种类比教学法。

1. 水流类比法将静态场比作水流，可以帮助学生更好地理解静态场的概念。

在水流中，水分子会相互作用，形成水的流动。

同样，在静态场中，物体之间也会相互作用，形成电、磁、引力等现象。

通过这种类比，学生可以更好地理解静态场的本质。

2. 弹簧类比法静态场可以被比作弹簧，弹簧的压缩和伸展可以描述物体之间的相互作用。

同样，在静态场中，物体之间也会相互作用，形成电、磁、引力等现象。

通过这种类比，学生可以更好地理解静态场的本质。

3. 磁铁类比法将静态场比作磁铁，可以帮助学生更好地理解静态场的概念。

磁铁可以吸引和排斥其他物体，同样，在静态场中，物体之间也会相互作用，形成电、磁、引力等现象。

通过这种类比，学生可以更好地理解静态场的本质。

4. 球形天体类比法将静态场比作球形天体，可以帮助学生更好地理解静态场的概念。

在球形天体中，物体之间也会相互作用，形成引力场。

同样，在静态场中，物体之间也会相互作用，形成电、磁、引力等现象。

通过这种类比，学生可以更好地理解静态场的本质。

在使用类比教学法时，教师需要注意以下几点：1. 类比的对象应该是学生已经熟悉的事物，这样才能更好地引导学生理解学习内容。

2. 类比应该是简单明了的，不能过于复杂，否则会使学生产生困惑。

3. 类比只是一种辅助教学的手段，教师还需要结合具体的实验和例题来巩固学生的理解。

4. 类比不能完全替代学习内容本身，学生还需要通过实际操作和练习来掌握知识。

总之，静态场是物理学中非常重要的概念，但对于初学者来说可能比较抽象。

第3章静电场及其边值问题的解法

第3章静电场及其边值问题的解法

2
y 2
2
z2
0
二维问题 0：
z
2 2
x2 y 2 0
设 因此 即
于是有
(x, y, z) X (x)Y ( y)
YZ d 2 X XZ d 2Y 0
dx2
dy 2
s
n
z0
z
z0
2
qh x2 y2 h2
3 2
导体表面的总感应电荷
Qi
S sds
2
d
0
0
qh 2
(
2
d h2
)3
2
qh
q
2 h2 0
ห้องสมุดไป่ตู้
可见， 镜像电荷 q 代q 替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。
9
§ 3.6 镜像法
二、导体劈间的点电荷
设有两块接地半无限大导体平板相交成角，且 ＝n为n，正整数，交角内置一点电荷
11
§3.7 分离变量法The Method of Separation of Variables
* 分离变量法是一种最经典的微分方程解法。
* 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解; * 只有当场域边界与正交坐标面重合(或平行)时，才可确定积分常数，
从而得到边值问题的特解。
x2 y2 (z h)2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所
求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
注意：仅对上半空间等效。
8
§ 3.6 镜像法
（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：

静态场及其边值问题的解

静态场及其边值问题的解

3.1.2 电位函数 1. 电位函数旳定义
E 0
E
即静电场能够用一种标量函数旳梯度来表达，标量函数 称
为静电场旳标量电位或简称电位。
2. 电位旳体现式
对于连续旳体分布电荷，由
R r r
E(r )
1
4
V
(r ) R3
RdV
1
4
V
(r)( 1 )dV
R
[ 1
4
V
(r)( 1 )dV ]
3.
电位差
将
E
两端点乘 dl，则有
E
dl
dl
(
dx
dy
dy)
d
x y y
上式两边从点P到点Q沿任意途径进行积分，得
电场力对单 位正电荷做
旳功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
有关电位差旳阐明:
P、Q 两点间旳电位差
P、Q 两点间旳电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做旳功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用U 表达； 电位差有拟定值，只与首尾两点位置有关，与积分途径无关。
U
2
ln(b / a)
F/m
21
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1.4 静电场旳能量 静电场对电荷有作用力，这表白静电场具有能量。静电场能
量起源于建立电荷系统旳过程中外电源提供旳能量。
1. 静电场旳能量 体分布电荷旳电场能量为
We
1 2
dV
V
对于面分布电荷，电场能量为
We
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
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1 和 2 。求球内、外的电位分布和电场强度分布。
解： 由于球体具有球对称分布，取球坐标系，电位 为半径r的函数，与坐标θ和φ无关，即φ=φ（r）， 则
在球内：
在球外： 在球体表面根据边界条件可知在r=R处有
第三章静态场解法
对式（3.11）进行积分得
第三章静态场解法
第三章静态场解法
第三章静态场解法
第三章 静态场的解法
本章内容 3.1 静态场边值问题及唯一性定理 3.2直接积分法 3.3在直角坐标系中的分离变量法 3.4在圆柱坐标系和球坐标系的分离变量法 3.5镜像法 3.6静态场的数值解法
第三章静态场解法
3.1 静态场边值问题及唯一性定理
▪ 静态场的问题大体上可分为两类： （1）分布型问题 （2）边值型问题
第三章静态场解法
那么金属槽内的电位分布的解为φ=φ1+φ2，分别求 出φ1和φ2，φ也就得出来了，根据唯一性定理，即是 要求的唯一解答。φ1已知，见（3.3.23）式，下面求
出φ2。
由例3.3.1的讨论，φ2可表示为 (3.3.24)
式中Cn由x=0处的边界条件求出，即
第三章静态场解法
可以确定傅里叶系数Cn为
所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.7）变为 (3.4.8)
用n代替k，并把式（3.4.5）改写为如下形式
(3.4.9)
它是一个欧拉方程，其解为
第三章静态场解法
(3.4.10)
式中的系数由边界条件确定
（3.4.11）
第三章静态场解法
▪ 解：在-l≤x≤l范围内，电位 满 足泊松方程
2
（ε为材料的介电常数）从图3.2.1可以看出，电
位函数是x的函数，即=（x）
d2 Kq
dx2
x
对上式进行积分
dKqx2 dx 2
C1
第三章静态场K 6解法qx3C1xC2
第三章静态场解法
▪ 例3.2.2 有一个半径为R的球体，均匀分布着体电 荷密度为ρ的电荷。设球内、外介质的介电常数为
▪ 静态场的边值问题有多种求解方法，大体 可分为以下几种：
（1）直接求解法： 直接积分法、分离变量 法、格林函数法等。
（2）间接求解法： 复变函数法、镜像法等。 （3）数值计算法： 有限差分法、有限元法、
矩量法等。
第三章静态场解法
▪ 唯一性定理： 不管用什么方法，可以如上任何
一种方法，也可以依靠判断猜出解答， 只要在给定区域内满足所要求解的微 分方程，并满足给定的全部边界条件， 那么这个解答就是静态场的唯一解答。
（3.54）
这样就把偏微分方程（3.48）变成了三个常微 分方程，这种方法就是分离变量法。三个常微 分方程（3.51）～（3.53）可以改写为
第三章静态场解法
▪ 下面讨论拉普拉斯方程对二维位场的求解问 题。
所谓二维位场即是 (x ,y )f(x )g (y )k ,z 2 0
于是有
第三章静态场解法
图3.3.2 例3.3.2图
第三章静态场解法
解： 本题所给的场可以分解为两个场的叠加，分解 后的两个场如图3.3.2(b)(c)所示。槽内的电位分别 为x、y的函数，是一个二维场问题。 分解后第一个场是两个距离为d的无穷大的平行板， 上板电压为U0，下板接地，其解为
(3.3.23) 第二个场电位为φ2，是两个电位为零的无穷大的 平行板，并且在x=0处φ2满足
▪设
（3.4.3）
式中R(r)仅为r的函数，
把式（3.4.3）代入到式（3.4.2）中得
式（3.4.4）第一项是关于r 数，要使上式对于所有的r 一个常数，于是有
第三章静态场解法
(3.4.4)
（3.4.5） (3.4.6)
对式（3.4.6）求解，其解为 (3.4.7)
对于所研究的实际问题，位场是单值的，则有
z的函数，得 上式除以 f(x)g(y)h(z)得
上式第一项仅是x为变量的函数，与y和z无关； 而第二
项仅随y而变化，第三项仅随z而变化。所以式（3.50）
成立的唯一条件是这三项中每一项都是常数。令第一、
二、三项分别为常数
kx2
,
k
2 y
,
kz2
，即
第三章静态场解法
三个常数满足的关系式为
kx2ky2kz2 0
则 金属槽内的电位分布为
(3.3.25) (3.3.26)
第三章静态场解法
3.4 在圆柱坐标系和球坐标系的 分离变量法
▪ 1.在圆柱坐标系的分离变量法
在圆柱坐标系中，拉普拉斯方程为
(3.4.1)
下面讨论电位φ不随纵向（z方向）变化的二维 场问题，即φ仅为r 拉斯方程变为
第三章静态场解法
(3.4.2)
第三章静态场解法
3.2直接积分法
▪ 下面举几个例子来介绍这种方法的应用。 ▪ 例3.2.1 空间电荷区如图3.2.1所示，在
-l～0区域内为负电荷，在0～l区域内为正 电荷，且电荷分布函数为ρ=Kqx（x范围为l≤x≤l，K为比例常数）。取x=0为电位参考 点，在x=±l处电场为零。求在-l＜x＜l范围 内的电位分布和电场分布。
▪ 常遇到的边值问题有三种： （1）全部边界上的位函数是已知的，称为第一类 边值问题，又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。 （2）全部边界上的法线方向的位函数的导数是已 知的，称为第二类边值问题，又称为纽曼 （Neumann）问题。
第三章静态场解法
（3）混合边值问题，又称为第三类边值问题， 它是第一类和第二类边值问题的混合型。
第三章静态场解法
▪ 例3.3.1 两块彼此平行的半无限长接地金 属板，板间距离为b，两平行板的一端另一 块电位为 的极长的金属条，它们之间缝 隙极小，但彼此绝缘，如图3.2所示。求两 板间的电位分布。
解: 给定的边界条件为
第三章静态场解法
第三章静态场解法
第三章静态场解法
▪ 例3.3.2 两块完全相同的T形导体构成导 体槽，两块T形导体间有一狭缝，如图 3.3.2(a)所示。上板所加的电压为U0，下板 接地。求金属槽内的电位分布。
3.3在直角坐标系中的分离变量法
▪ 如果边界面的形状适合用直角坐标系表示， 那么可以在直角坐标系中求解。在直角坐标系中， 位函数的拉普拉斯方程为
位函数φ是x、y、z的函数，可以表示成三个 单变量未知函数的乘积
(x ,y ,z ) f(x )g (y )h (z )
（ 3.49） 式中f(x)仅为x的函数第；三章静g态(场y解)法为y的函数，h(z)为