晶体点阵.ppt
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晶体的界面结构(共45张PPT)
2．半共格相界 假设两相邻晶体在相界面处的晶面间距相差较大，那么在相界面上不可能做到完全的一一对
应，于是在界面上将产生一些位错，以降低界面的弹性应变能，这时界面上两相原子局部地保持 匹配，这样的界面称为半共格界面或局部共格界面。
从能量角度而言，以半共格界面代替共格界面更为有利。
3.非共格相界----两相在相界面处的原子排列相差很大。
位相角：θ〔沿坐标系中某一旋转轴的旋转角〕 方向角：φ〔晶界与另一晶粒的位相角〕
2.2 小角晶界
二、晶界自由度 三维晶界------有5个自由度
位相角：θ1 ，θ2， θ 3〔三个相邻晶粒的旋转角〕 方向角：φ1 ，φ2 〔晶界与另一晶粒的位相角〕
2.2 小角晶界
三、小角度晶界的位错模型
倾转晶界〔由刃型位错构成〕 1.对称倾斜晶界
共格晶界: 2种相的原子在界面处完全匹配，形 成完整格界面。
半共格晶界：晶面间距相差较大，在界面上将 产生一些位错，以降低界面的弹性应变能，这
时界面上两相原子局部地保持匹配 。 非共格晶界: 界面上两相原子无任何匹配关系
晶界分类
(1) 按两个晶粒之间夹角的大小来分：
小角度晶界 θ＝0°→3～10°
错配度定义为
式中a 和b分别表示相界面两侧的 相和相的点阵常数，且a ＞ a 。
由此可求得位错间距D为 D=α/δ
当δ很小时，可以近似为
D≈|b|/δ 当δ很小时，D很大，α和β相在相界面上趋于共格，即成为共格相 界；
当δ很大时，D很小，α和β相在相界面上完全失配，即成为非共格相 界，
完全共格相界
3. 扭转晶界〔由螺型位错构成〕
以下图表示两个简单立方晶粒的扭转晶界结构，图中〔001〕 平面是共同的平面，可见这种晶界是由两组螺型位错交叉网络所形 成。扭转晶界两侧的原子位置是互相不吻合的，但这种吻合可以集 中到一局部原子的位置上，其余的局部仍吻合，不吻合的局部是螺 型位错。
结构化学晶体点阵结构PPT课件
现代科技中的晶体材料
材料科学是人类文明大厦的基石，在现代 技术中, 晶体材料更占有举足轻重的地位. 人类对 固态物质的理解在很大程度上以单晶材料为基础， 所以晶体在物质结构研究中也具有特殊重要性.
现
半导体的后起之秀——砷化镓
代
科
技
中
的
晶
体
作为半导体材料，GaAs的综合性能优于Si, 开关速 度仅为10-12 s(而Si为10-9 s), 用GaAs芯片制造计算机将使
假若你这样做了，试 把这所谓的“点阵”放回 金刚石晶体，按箭头所示 将所有原子平移，晶体能 复原吗？
这种所谓的“点阵”有一个致命错误：它本身就违反点 阵的数学定义，并不是点阵！更别说是金刚石晶体的点阵.
正确做法如下：
金刚石的点阵：立方面心
正当空间格子的标准:
空间格子净含点阵点数：
空
1. 平行六面体
所有顶点原子： 0，0，0 (前)后面心原子： 0，1/2，1/2 左(右)面心原子： 1/2，0，1/2 (上)下面心原子： 1/2，1/2，0
四、晶面与晶面指标
1 晶面 晶体的空间点阵可划分为一族平行而等间距
的平面点阵，晶面就是平面点阵所处的平面。
晶面 = 平面点阵 + 结构基元 各个晶面的方向及结构基元排列情况不同， 表现出的性质也不相同。为了区分不同的晶面 就产生了晶面符号也叫晶面指标。
12
6
3
54
12
6
3
54
，
AB
关键是第三层，对第一、二层来说，第三层可以有两种最紧 密的堆积方式。
第一种是将球对准第一层的球。 下图是此种六方 紧密堆积的前视图
12
A
6
《晶体材料结构学》课件PPT08-倒易点阵2
2)
d hkl
=
G1 G hkl
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就 是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
G c
C
(hkl)
G
c
G hkl
l
b d hkl
O
k
a
BG b
hA G
证明1)：BA
=
1
G a
−
1
G b
a
hk
( ) G
BA ⋅ G hkl
=
⎜⎛
1
G a
−
1
G b
⎟⎞
⋅
h
G a
′
+
G kb ′ +
附加面的影响
立方晶系：
f c c 当(hkl)不为全奇、偶数时，有附加面：
d hkl
=
1 2
a h2 + k2 + l2
如：(100)，(110)
b c c 当h＋k＋l＝奇数时，有附加面：
d hkl
=
1 2
a h2 + k2 + l2
如：(100)，(111)
六方晶系:
当h+2k=3n,(n=0,1,2,……),l=奇数，有附加面：
四方晶系 d hkl =
1 ⎜⎛ h ⎟⎞ 2 + ⎜⎛ k ⎟⎞ 2 + ⎜⎛ l ⎟⎞ 2 ⎝a⎠ ⎝a⎠ ⎝c⎠
正
交
晶
系
d
hk
＝
l
（
1 h ）2＋ （ k ）2＋ （
l ）2
a
b
c
六方晶系
d
＝
hkl
1
第2章晶体结构和空间点阵
1. 定义式
2. 倒易点阵与正点阵的倒易 关系
3. 倒易点阵参数： a* 、b*、 c*； α*、β*、γ*
4. 用倒易矢量推导晶面间距 和晶面夹角的计算公式
• 倒格矢的定义
a*2Fra bibliotek bc;
b*
2
c a
c*
2
a
b
a
(b
c)
Khkl
a
y
aγ
x
图 平面点阵
z
c
y
β γα
b
a
x
图8.1.6（c）空间点阵和晶格
◆阵点的坐标表示
以任意顶点为坐标原点，以与 原点相交的三个棱边为坐标轴， 分别用点阵周期（a、b、c）为度 量单位。
四种点阵类型 •简单 •体心 •面心 •底心
◆简单点阵的阵点坐标为000
▪ 底心点阵，C
除八个顶点上有阵点外， 两个相对的面心上有阵 点，面心上的阵点为两 个相邻的平行六面体所 共有。因此，每个阵胞 占有两个阵点。阵点坐 标为000，1/2 1/2 0
社会的四大支柱：能源、信息、材料、环境 材料：金属(metals)、陶瓷(ceramics)、聚合物(polymers)
晶体、非晶体（部分玻璃材料，无定形物质）
工艺⇔结构⇔性能
• 材料的性能决定于它们的组成和微观结构。 • 材料的结构受制备工艺的影响。 • 通过结构表征来优化生长工艺。 • 材料的性能取决于材料的种类和结构。
点阵是一组无限的点，点阵中每个点都具有 完全相同的周围环境。在平移的对称操作下,（连 结点阵中任意两点的矢量,按此矢量平移）,所有 点都能复原,满足以上条件的一组点称为点阵。
第二章 晶体结构ppt课件
1-1 晶向指数 [u v w]
建立步骤： ①建立坐标系。以某一阵点为坐标原点，三个棱边为 坐 标轴，并以点阵常数(a、b、c)作为各个坐标轴的单位长度； ②作 OP // AB ； ③确定P点的三个坐标值（找垂直投影）； ④将坐标值化为互质的最小整数，并放入到[ ] 中，则 [uvw]即为所求；
1.晶体结构与空间点阵（续）
1-4 晶胞 ①定义：在空间点阵中，能够代表晶格中原子排列特征的最小单元体。 晶胞通常是平行六面体，将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点 阵。 ②晶胞的选取原则：
几何形状与晶体具有同样的对称性； 平行六面体内相等的棱与角的数目最多； 当平行六面体棱间有直角时，直角数目最多； 在满足上述条件下，晶胞的体积应最小。
o o a a a c , 9 0 , 1 2 0 1 2 3
菱方：简单菱方 o a b c , 9 0
单斜：简单单斜 底心单斜
a b c ,
9 0
o
三斜：简单三斜
a b c ,
9 0
第二章 晶体结构
第一节 晶体的特征
各项异性 晶体由于具有按照一定几何规律排列的内 部结构，空间不同方向上原子排列的特征不同， 如原子间距及周围环境，因而在一般情况下， 单晶体的许多宏观物理量（如弹性模量、电阻 率、热膨胀悉数、折射率、强度及外表面化学 性质等）的大小是随测试方向的不同而改变的， 这个性质称为各项异性。晶体断裂的解理性就 是晶体具有各项异性的最明显例子。
晶体具有确定的熔点
熔点是晶体物质的结晶状态与非结晶状态互相转 变的临界温度，晶体熔化时发生体积变化。 晶体有一些其他共同特征：晶体中存在不完整性， 晶体内原子排列并不是理想的有序排列，而是有 缺陷的；晶体的原子周期排列促成晶体有一些共 同的性质，如均匀性、自限性和对称性等。
第一节 晶体的结点阵构
三维空间分布的化学-结构特征的平行六面体单元。 若晶胞既能够保持晶体结构的对称性，而其体积又为最小者特称“单
位晶胞”（或：阵点数最少者，称为正当晶胞），但常简称晶胞。
在晶胞中，我们又常根据其含阵点的多少，又将其分为“素晶胞”和 “复晶胞”。
氯化钠晶胞
氯化铯晶胞
①素晶胞
所谓“素晶胞”是指，每个晶胞中只含1个点阵点的晶胞。素晶胞常 用符号“P”表示。 例如： 在平行六面体中，每个顶角上的“阵 点”属于8个晶胞所共有。 因每个晶胞共8个顶角，故每个晶胞共
c
k’= b l’= c 0 h’= a
（100）—表示与 a 轴相交（1个单 位），与 b、c 轴平行的晶面。
b
a
1 1 1 ∶ ∶ = h*∶k*∶l* h’ k’ l’ = 1∶0∶0
c
如图中阴影表示的晶面，分别与 a 、b 两轴相
b 交（1个单位），与 c 轴平行。称为（110）晶面。 a c
含1个点阵点。
1 = 1 8 如，氯化铯晶胞。8个Cl原子位于晶胞 8×
顶点，但每个顶点实际为8个晶胞共有，所
以晶胞中含8×1/8= 1个Cl原子；Cs原子位 于晶胞中心。
晶胞中只有1个点阵点——素晶胞。
②复晶胞
所谓“复晶胞”是指，每个晶胞中含有2个及其以上的点阵点的晶胞。
在晶体的讨论中，常见的复晶胞有：
7—2 已知，氯化钠晶胞属于立方晶系（如图所示)。试 金属镁晶胞 分析氯化钠晶胞中所含钠离子和氯离子的数目，并写出
其化学式。
氯化钠晶胞
三、晶面与晶面符号
The crystal faces and the sign of crystal faces
1.晶面夹角(或交角)守恒定律
位晶胞”（或：阵点数最少者，称为正当晶胞），但常简称晶胞。
在晶胞中，我们又常根据其含阵点的多少，又将其分为“素晶胞”和 “复晶胞”。
氯化钠晶胞
氯化铯晶胞
①素晶胞
所谓“素晶胞”是指，每个晶胞中只含1个点阵点的晶胞。素晶胞常 用符号“P”表示。 例如： 在平行六面体中，每个顶角上的“阵 点”属于8个晶胞所共有。 因每个晶胞共8个顶角，故每个晶胞共
c
k’= b l’= c 0 h’= a
（100）—表示与 a 轴相交（1个单 位），与 b、c 轴平行的晶面。
b
a
1 1 1 ∶ ∶ = h*∶k*∶l* h’ k’ l’ = 1∶0∶0
c
如图中阴影表示的晶面，分别与 a 、b 两轴相
b 交（1个单位），与 c 轴平行。称为（110）晶面。 a c
含1个点阵点。
1 = 1 8 如，氯化铯晶胞。8个Cl原子位于晶胞 8×
顶点，但每个顶点实际为8个晶胞共有，所
以晶胞中含8×1/8= 1个Cl原子；Cs原子位 于晶胞中心。
晶胞中只有1个点阵点——素晶胞。
②复晶胞
所谓“复晶胞”是指，每个晶胞中含有2个及其以上的点阵点的晶胞。
在晶体的讨论中，常见的复晶胞有：
7—2 已知，氯化钠晶胞属于立方晶系（如图所示)。试 金属镁晶胞 分析氯化钠晶胞中所含钠离子和氯离子的数目，并写出
其化学式。
氯化钠晶胞
三、晶面与晶面符号
The crystal faces and the sign of crystal faces
1.晶面夹角(或交角)守恒定律
晶体的投影和倒易点阵 ppt课件
9
极射赤平投影：
以赤道平面为投影平面，以南极(或北极)为视点，将球面上的各个 点、线进行投影。
晶体投影的基本要素
10
D’
C’
B’
A’
极射赤平投影
2021/5/14
球面投影与极射赤面投影之间的关系：
球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中 心的直径；
球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大 圆弧的弦为基圆直径；
W
E
14
经纬线坐标网
乌式网
四、标准极射赤面投影图（标准极图）
定义：以晶体的某一简单晶面为投影图，将各晶面的球面投影再投影 到此平面上去所形成的投影图。
在测定晶体取向、如织构中非常有用，标明了晶体中所有重要晶面的 相对取向和对称关系和对称关系，可方便地定出投影图中所有极点的 指数。
15
1.4 倒易点阵
第2章 晶体学基础
参考教材： The Science and Engineering of
Materials
1
目录
晶体及其基本性质 晶向、晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
18
2021/5/14
2. 倒易点阵坐标系的建立：
从正点阵的原点O出发，作任一晶面（hkl）的法线ON，在该法 线上取一点Phkl ，使OPhkl长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数， 则点阵称为该晶面的倒易点，用hkl表示，所有晶面的倒易点便 构成了倒易点阵。
极射赤平投影：
以赤道平面为投影平面，以南极(或北极)为视点，将球面上的各个 点、线进行投影。
晶体投影的基本要素
10
D’
C’
B’
A’
极射赤平投影
2021/5/14
球面投影与极射赤面投影之间的关系：
球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中 心的直径；
球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大 圆弧的弦为基圆直径；
W
E
14
经纬线坐标网
乌式网
四、标准极射赤面投影图（标准极图）
定义：以晶体的某一简单晶面为投影图，将各晶面的球面投影再投影 到此平面上去所形成的投影图。
在测定晶体取向、如织构中非常有用，标明了晶体中所有重要晶面的 相对取向和对称关系和对称关系，可方便地定出投影图中所有极点的 指数。
15
1.4 倒易点阵
第2章 晶体学基础
参考教材： The Science and Engineering of
Materials
1
目录
晶体及其基本性质 晶向、晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
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2021/5/14
2. 倒易点阵坐标系的建立：
从正点阵的原点O出发，作任一晶面（hkl）的法线ON，在该法 线上取一点Phkl ，使OPhkl长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数， 则点阵称为该晶面的倒易点，用hkl表示，所有晶面的倒易点便 构成了倒易点阵。
第八章 晶体点阵结构
按特征对称元素的有无为标准4晶体的空间点阵型式14种空间点阵型式布拉维格子spherespicturerepresentlatticepointsatoms与本晶系对称不符与空间格子的条件不符与空间格子的条件不符与本晶系对称不符与本晶系对称不符体心格子i底心格子五角三四面体偏方复十二面体六四面体五角三八面体六八面体23m32m343m43432m3m4m32m3pc3li6p3l9pc有四个l6mm6mmm6m2m2m7pc有一个l六方晶系三方单锥三方偏方面体323m3pc有一个l三方晶系四方单锥四方偏方面体四方双锥四方四面体复四方偏三角面体4mm4mmm4m2m2m2p有一个l222mmmm2mmm2m2m2m2p3l或p多于一个斜方晶系轴双面反映双面斜方柱1hcs或p不多于一个单斜晶系单面晶类平行双面晶类对称型符号对称型对称特点晶系5晶体学点群32个晶体学点群6点阵点直线点阵和平面点阵的指标1点阵点指标uvw2直线点阵指标或晶棱指标uvwwc直线点阵uvw的取向与矢量uawc平行3平面点阵指标或晶面指标hkl一平面点阵和3个坐标轴xyz相交在3个坐标轴上的截数分别为rst晶体外形的晶面的指标化四面体4个面的指标
1/r：1/s：1/t = 1/3：1/3：1/5= 5：5：3=h：k：l
晶体外形的晶面的指标化
四面体4个面的指标：（111）(1,-1, 1) (-1, 1,1) (1,1-1) 八面体的8个面的指标：（111）(1,-1, 1) (-1, 1,1) (1,1-1) （-1，-1，-1）(1,-1,-1) (-1, -1,1) (-1,1-1)
4．平面间距d（hkl） 平面点阵族（hkl）中相邻2个平面的间距。 晶系 立方晶系 六方晶系 正交晶系 计算公式 d（hkl）＝a (h2 + k2 + l2) -1/2 d（hkl）＝[(4/3) (h2 + hk + k2) a-2 + l2c-2] -1/2 d（hkl）＝[ (h2 / a2+ k2 / b2 + l2 / c2] -1/2
1/r：1/s：1/t = 1/3：1/3：1/5= 5：5：3=h：k：l
晶体外形的晶面的指标化
四面体4个面的指标：（111）(1,-1, 1) (-1, 1,1) (1,1-1) 八面体的8个面的指标：（111）(1,-1, 1) (-1, 1,1) (1,1-1) （-1，-1，-1）(1,-1,-1) (-1, -1,1) (-1,1-1)
4．平面间距d（hkl） 平面点阵族（hkl）中相邻2个平面的间距。 晶系 立方晶系 六方晶系 正交晶系 计算公式 d（hkl）＝a (h2 + k2 + l2) -1/2 d（hkl）＝[(4/3) (h2 + hk + k2) a-2 + l2c-2] -1/2 d（hkl）＝[ (h2 / a2+ k2 / b2 + l2 / c2] -1/2
第2章-1-晶体几何学-点阵与群论分解
等同点的分布可以体现具体结构中的所有质点 的重复规律，这种规律就是等同点在三维空间 作格子状排列。
空间格子只是一个几何图形，是从具体的晶体 内部质点抽象而来的。
“晶体是其内部结构具有空间点阵这种几何图 象的固体”。
＊＊＊对于同一种点阵，由于三组互不共面的平行线选 取方式不同，由它们所截取的平行六面体大小形状也 不尽相同！！！
上的霉点，就是向结晶态转变的雏晶，这种由非
晶态向晶态转化称为晶化；某些含有放射性元素
的矿物晶体由于其蜕变所放出的核能，破坏了晶
体内部的结构而产生了非晶化现象。
在热力学条件下，晶体是稳定的，具有最 小的内能，晶体具有最大的稳定性。
2.2 群论
一、一般性定义
群是按照某种规律(规则)相互联系着的一些元素的集合. 四个条件: 1、封闭性: 群中任意两个元素的乘积和任意一个元素的
这些可以在较大的群中找到的较小的群称为 子群。
定理：h阶群的任意子群的阶g必为h的除数，即 h/j=k
K为某个整数。
四、类：把群分为更小的集合
若A与X是群的两个元素，则X－1AX将等于群中的 某个元素B，B= X－1AX；B是A借助于X所得的相似变 换，也称A和B是共轭的。
共轭元素的性质：
1、每个元素与其自身共轭 ：A=X－1AX。 2、若A与B共轭则B与A共轭：若 B= X－1AX 则必有元素
关于晶体结构规律性的探讨是多方面的也是无止境 的，我们研究的只是晶体内部结构中原子组态的一个抽 象几何模型。
2.点阵结构的确定：
为便于点阵结构的描述，采用三组互不共面的平行 线将全部点阵连接起来，这样整个点阵就可以看作是由 一系列形状、大小、完全相同的，且相互紧密排列在一 起的平行六面体所构成。
空间格子只是一个几何图形，是从具体的晶体 内部质点抽象而来的。
“晶体是其内部结构具有空间点阵这种几何图 象的固体”。
＊＊＊对于同一种点阵，由于三组互不共面的平行线选 取方式不同，由它们所截取的平行六面体大小形状也 不尽相同！！！
上的霉点，就是向结晶态转变的雏晶，这种由非
晶态向晶态转化称为晶化；某些含有放射性元素
的矿物晶体由于其蜕变所放出的核能，破坏了晶
体内部的结构而产生了非晶化现象。
在热力学条件下，晶体是稳定的，具有最 小的内能，晶体具有最大的稳定性。
2.2 群论
一、一般性定义
群是按照某种规律(规则)相互联系着的一些元素的集合. 四个条件: 1、封闭性: 群中任意两个元素的乘积和任意一个元素的
这些可以在较大的群中找到的较小的群称为 子群。
定理：h阶群的任意子群的阶g必为h的除数，即 h/j=k
K为某个整数。
四、类：把群分为更小的集合
若A与X是群的两个元素，则X－1AX将等于群中的 某个元素B，B= X－1AX；B是A借助于X所得的相似变 换，也称A和B是共轭的。
共轭元素的性质：
1、每个元素与其自身共轭 ：A=X－1AX。 2、若A与B共轭则B与A共轭：若 B= X－1AX 则必有元素
关于晶体结构规律性的探讨是多方面的也是无止境 的，我们研究的只是晶体内部结构中原子组态的一个抽 象几何模型。
2.点阵结构的确定：
为便于点阵结构的描述，采用三组互不共面的平行 线将全部点阵连接起来，这样整个点阵就可以看作是由 一系列形状、大小、完全相同的，且相互紧密排列在一 起的平行六面体所构成。
七大晶系十四个点阵图解大全
*七大晶系简单介绍(带图)1、立方晶系[等轴晶系]-cubic system [晶体] a=b=c; α=β=γ=90°；2、四方晶系[正方晶系]-tetragonal system [晶体] a=b≠c ; α=β=γ=90°；3、正交晶系(晶体)-orthorhombic system [晶体] rhombic system [晶体] a≠b≠c ; α=β=γ=90°；[斜方晶系(矿物)]4、单斜晶系-monoclinic system [晶体] a≠b≠c ;α=γ=90°≠β;5、三斜晶系-triclinic system [晶体] a≠b≠c ; α≠γ≠β;6、菱方晶系[三角晶系]-rhombohedral system [晶体] a=b=c; α=β=γ≠90°(0120 )；7、六方晶系-hexagon system [晶体] hexagonal system [晶体] a=b≠c ;α=β=90°;γ=120°；七大晶系七大晶系细分1、立方晶系[等轴晶系]-cubic system [晶体]简单立方面心立方体心立方2、四方晶系[正方晶系]-tetragonal system [晶体]简单四方体心四方3、正交晶系[斜方晶系]-orthorhombic system [晶体] rhombic system [晶体]简单正方体心正方底心正方面心正方4、单斜晶系-monoclinic system [晶体]简单单斜底心单斜5、三斜晶系-triclinic system [晶体]简单三斜6、菱方晶系[三角晶系]- rhombohedral system [晶体]菱形（三角）7、六方晶系-hexagon system [晶体] hexagonal system [晶体]简单六方。
ppt晶体结构=点阵+基元
点阵的数学性质——对称性
14种Bravais格子
尽量在点阵中画出具有更高对称性的平行六面体（晶 胞），因此阵点可能出现在底心、体心、面心位置。 Bravais在1848年证明了可以有14种晶胞，称为Bravais 格子（能反映点阵最高对称性的最小重复单元）。 二维的Bravais格子：
十四种 Bravais晶胞
点阵的数学性质——对称性
点阵的对称性
点阵的平移周期性对对称元素及其组合有极大的限 制性，使得点阵里的宏观对称元素只有8种： 1、2、3、4、6、I、m、4 此8种对称元素的组合只有32种，即32个点群；若 加入微观对称元素，可以得到230种空间群。由此完 全地描述了晶体里的对称性。 例如点阵平移周期性对旋转轴次的限制可由下图表 示： C’D’=AB(1+2Cosθ) 因此θ只能有五个取值，对 应五个旋转轴。
对称性有高低之分，可以用包含的对称元素的种类 和数量来衡量。 有限几何图形只能有宏观对称元素：旋转、反演、 反映（镜面）、象转轴 无限几何图形（如点阵）可以有微观对称元素：平 移、螺旋轴、滑移反映面
点阵的数学性质——对称性
几何图形的对称元素的组合
对称元素组合在一起不是任意的，一些对称元素的 组合有可能导致新的对称元素的出现，这些对称元素 是不可分的，形成一个组合，称为对称操作群。 如图，2次轴与2次轴相交，夹角 为α，则必产生一个n次轴，其基 转角为2α，并与这两个2次轴垂直。 另一方面， 360度必须能够被2α 整除，否则n次轴就蜕变为无穷次 轴。即只可能在园对称中才可能找 到夹角为α的两个2次轴。 对称元素必须过空间中同一点，其图形才是有限的， 这样的对称操作群称为点群。
它可以完全反映点阵的几何特性最小的重复单元有多种选择惯用选取考虑了对称性的最小重复单元总是原胞体积的整倍数惯用晶胞的选取点阵的数学性质坐标与周期性坐标与周期性原点无关紧要的基矢原胞基mnp为任意整数
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旋转轴
6重对称轴
4重对称轴
3重对称轴
2个互相垂直的 对称面或3个互 相垂直的2重对
称轴
2重对称轴或对 称面 无
a=b=c α =β =γ =90
°
a=b≠c α =β =90°,γ =
120°
a=b≠c α =β =γ =90°
a=b=c α =β =γ ≠90
°
a≠b≠c α =β =γ =90°
第二章 晶体学基础
1、晶体结构与空间点阵 2、晶向、晶面及指标 3、晶面间距 4、晶面族 5、倒易点阵
燕山大学材料科学与工程学院 材料现代分析测试方法课程教学团队 王利民教授/博导
教学目标
通过本章学习，掌握表达晶体周期性结构与它的点阵的 各种概念；掌握晶面指数与晶向指数的标定，晶面间距 与晶面夹角的表达；倒易点阵。
2.2.1 晶向与晶向指标
任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应，一定有
一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列。
晶向的表示方法：
取其中通过原点的一根结点列，求该列最近原点的结点的 指数，u, v, w, 并用方括号标记[uvw]。
或者：（1）在一族相互平行的阵点直线中 引出过坐标原点的阵点直线。 （2）在该直线上任取一点，量出坐标，并 用点阵周期a, b, c表示。 （3）将三个坐标值用同一个数乘或除，划 归互质整数，并加方括号。
a≠b≠c α =β =90°≠
γ a≠b≠c a≠b≠c≠90°
空间点阵型式
简单立方 立方体心 立方面心 简单六方
简单四方 体心四方 简单六方 R心六方 简单正交 C心正交 体心正交 面心正交
简单单斜 C心单斜
简单单斜
2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指标
《晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。》
◆底心点阵，C
除八个顶点上有阵点外， 两个相对的面心上有阵 点，面心上的阵点为两 个相邻的平行六面体所 共有。因此，每个阵胞 占有两个阵点。阵点坐 标为000，1/2 1/2 0
2.1.4 点阵常数
平行六面体的三个棱长a、b、c和及其夹 角α 、β 、γ ，可决定平行六面体尺寸和 形状，这六个量亦称为点阵常数。
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三 棱为方向，点阵常数为单位 ；
2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 平移晶向或坐标，让在第一点 在原点则下一步更简单)；
按点阵参数可将晶体点阵分为七个晶系。
晶系 立方 四方 正交 三方
六方 单斜 三斜
七个晶系及有关特征
边长
夹角
晶体实例
a=b=c a=b≠c a≠b≠c a=b=c a=b≠c
α=β=γ=90° α=β=γ=90° α=β=γ=90° α=β=γ≠90° α=β=90°γ=120°
Cu , NaCl Sn , SnO2 I2 , HgCl2 Bi , Al2O3
只在晶胞的顶 点上有阵点， 每个晶胞只有 一个阵点，阵 点坐标为000
◆体心点阵，I
除8个顶点外，体 心上还有一个阵点， 因此，每个阵胞含 有两个阵点，000， 1/2 1/外，每个面心 上有一个阵点，每个阵 胞上有4个阵点，其坐标 分别为000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2
点阵点
点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽 象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一 种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。
所以可简单地将晶体结构示意表示为：
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2.1.2 基本矢量与晶胞
一个结点在空间三 个方向上，以a, b, c重 复出现即可建立空间 点阵。重复周期的矢 量a, b, c称为点阵的基 本矢量。
学习要点
⑴ 晶体结构周期性与点阵。 ⑵ 7个晶系和14种Bravias空间格子。 ⑶ 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。 (4) 倒易点阵
学时安排
学时----- 2学时
2.1、晶体结构与空间点阵
2.1.1 空间点阵（Space Lattice）
晶体结构的几何特征是其结构基元（原 子、离子、分子或其它原子集团）一定周期 性的排列。通常将结构基元看成一个相应的 几何点，而不考虑实际物质内容。
a=b≠c a≠b≠c a≠b≠c
α=β=90°γ=120° α=γ=90°β=120°
α≠β≠γ≠90°
Mg , AgI S , KClO3 CuSO4·5H2O
晶系
立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系
正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
七个晶系及有关特征
特征对称元素
晶胞特点
4个按立方体对 角线取向的3重
每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。
2.1.3 布拉菲点阵
法国晶体学家A. Bravais研究表明，按 照上述三原则选取的晶胞只有14种，称 为14种布拉菲点阵。
14种布拉菲点阵分属7个晶系中。
14 种 空 间 点 阵 形 式
按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 点阵分为四类：
•简单(P) •体心(I) •面心(F) •底心(C)
由基本矢量构成的 平行六面体称为点阵 的单位晶胞。
布拉菲晶胞
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 量来表示。
为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（1）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（2）其夹角为直角的数目最多，且 （3）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。
这样就可以将晶体结构抽象成一组无限 多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结 构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期 性的几何点，称为晶体的空间点阵。几何点 为阵点。
结构基元
在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容， 包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式 排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元是指重 复周期中的具体内容。
阵点坐标的表示方法： 以晶胞的任意顶点为坐标原点，以与原点相交的 三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a, b, c） 为度量单位。
晶胞中的原子计数
在晶胞不同位置的原子由不同数 目的晶胞分享： • 顶角原子： 1/8 • 棱上原子：1/4 • 面上原子：1/2 • 晶胞内部： 1
◆简单点阵 （P）
6重对称轴
4重对称轴
3重对称轴
2个互相垂直的 对称面或3个互 相垂直的2重对
称轴
2重对称轴或对 称面 无
a=b=c α =β =γ =90
°
a=b≠c α =β =90°,γ =
120°
a=b≠c α =β =γ =90°
a=b=c α =β =γ ≠90
°
a≠b≠c α =β =γ =90°
第二章 晶体学基础
1、晶体结构与空间点阵 2、晶向、晶面及指标 3、晶面间距 4、晶面族 5、倒易点阵
燕山大学材料科学与工程学院 材料现代分析测试方法课程教学团队 王利民教授/博导
教学目标
通过本章学习，掌握表达晶体周期性结构与它的点阵的 各种概念；掌握晶面指数与晶向指数的标定，晶面间距 与晶面夹角的表达；倒易点阵。
2.2.1 晶向与晶向指标
任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应，一定有
一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列。
晶向的表示方法：
取其中通过原点的一根结点列，求该列最近原点的结点的 指数，u, v, w, 并用方括号标记[uvw]。
或者：（1）在一族相互平行的阵点直线中 引出过坐标原点的阵点直线。 （2）在该直线上任取一点，量出坐标，并 用点阵周期a, b, c表示。 （3）将三个坐标值用同一个数乘或除，划 归互质整数，并加方括号。
a≠b≠c α =β =90°≠
γ a≠b≠c a≠b≠c≠90°
空间点阵型式
简单立方 立方体心 立方面心 简单六方
简单四方 体心四方 简单六方 R心六方 简单正交 C心正交 体心正交 面心正交
简单单斜 C心单斜
简单单斜
2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指标
《晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。》
◆底心点阵，C
除八个顶点上有阵点外， 两个相对的面心上有阵 点，面心上的阵点为两 个相邻的平行六面体所 共有。因此，每个阵胞 占有两个阵点。阵点坐 标为000，1/2 1/2 0
2.1.4 点阵常数
平行六面体的三个棱长a、b、c和及其夹 角α 、β 、γ ，可决定平行六面体尺寸和 形状，这六个量亦称为点阵常数。
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三 棱为方向，点阵常数为单位 ；
2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 平移晶向或坐标，让在第一点 在原点则下一步更简单)；
按点阵参数可将晶体点阵分为七个晶系。
晶系 立方 四方 正交 三方
六方 单斜 三斜
七个晶系及有关特征
边长
夹角
晶体实例
a=b=c a=b≠c a≠b≠c a=b=c a=b≠c
α=β=γ=90° α=β=γ=90° α=β=γ=90° α=β=γ≠90° α=β=90°γ=120°
Cu , NaCl Sn , SnO2 I2 , HgCl2 Bi , Al2O3
只在晶胞的顶 点上有阵点， 每个晶胞只有 一个阵点，阵 点坐标为000
◆体心点阵，I
除8个顶点外，体 心上还有一个阵点， 因此，每个阵胞含 有两个阵点，000， 1/2 1/外，每个面心 上有一个阵点，每个阵 胞上有4个阵点，其坐标 分别为000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2
点阵点
点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽 象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一 种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。
所以可简单地将晶体结构示意表示为：
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2.1.2 基本矢量与晶胞
一个结点在空间三 个方向上，以a, b, c重 复出现即可建立空间 点阵。重复周期的矢 量a, b, c称为点阵的基 本矢量。
学习要点
⑴ 晶体结构周期性与点阵。 ⑵ 7个晶系和14种Bravias空间格子。 ⑶ 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。 (4) 倒易点阵
学时安排
学时----- 2学时
2.1、晶体结构与空间点阵
2.1.1 空间点阵（Space Lattice）
晶体结构的几何特征是其结构基元（原 子、离子、分子或其它原子集团）一定周期 性的排列。通常将结构基元看成一个相应的 几何点，而不考虑实际物质内容。
a=b≠c a≠b≠c a≠b≠c
α=β=90°γ=120° α=γ=90°β=120°
α≠β≠γ≠90°
Mg , AgI S , KClO3 CuSO4·5H2O
晶系
立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系
正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
七个晶系及有关特征
特征对称元素
晶胞特点
4个按立方体对 角线取向的3重
每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。
2.1.3 布拉菲点阵
法国晶体学家A. Bravais研究表明，按 照上述三原则选取的晶胞只有14种，称 为14种布拉菲点阵。
14种布拉菲点阵分属7个晶系中。
14 种 空 间 点 阵 形 式
按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 点阵分为四类：
•简单(P) •体心(I) •面心(F) •底心(C)
由基本矢量构成的 平行六面体称为点阵 的单位晶胞。
布拉菲晶胞
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 量来表示。
为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（1）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（2）其夹角为直角的数目最多，且 （3）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。
这样就可以将晶体结构抽象成一组无限 多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结 构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期 性的几何点，称为晶体的空间点阵。几何点 为阵点。
结构基元
在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容， 包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式 排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元是指重 复周期中的具体内容。
阵点坐标的表示方法： 以晶胞的任意顶点为坐标原点，以与原点相交的 三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a, b, c） 为度量单位。
晶胞中的原子计数
在晶胞不同位置的原子由不同数 目的晶胞分享： • 顶角原子： 1/8 • 棱上原子：1/4 • 面上原子：1/2 • 晶胞内部： 1
◆简单点阵 （P）