2018年福建省高三毕业班质量检查理科数学(精校word版)

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，{|2,}x B y y x A ==∈，则AB =（ ）A ．(,1)-∞B ．[0,1]C ．(0,1]D ．[0,2) 2.已知函数32()2b f x x x =+，则0b <是()f x 在0x =处取得极小值的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.已知1z 与2z 是共轭虚数，有4个命题①12z z =；②1212z z z z =；③12z z R +∈；④2212z z <，一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③D ． ①②③ 4.sin ()((,0)(0,))xf x x xππ=∈-大致的图象是（ ）A ．B ． C. D ．5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ．14 B．6+．8+．8+7.若实数x ，y 满足422log 4log x y +=+8log ()x y =+，则11x y+的值为（ ） A ．128 B ．256 C ．512 D ．48.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．99.已知抛物线24y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)N ，则M 到直线l 的距离为（ ）AB．5或5 C．5或5 D．5或 10.已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为6x π=-，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．23π C ．2π D ．34π11.在四面体ABCD 中，BCD ∆与ACD ∆均是边长为4的等边三角形，二面角A CD B --的大小为60，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．2089π B ．529π C ．643π D ．523π12.记函数()2xf x e x a -=--，若曲线3([1,1])y x x x =+∈-上存在点00(,)x y 使得00()f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．22(,6][6,)e e --∞-++∞B ．22[6,6]e e --+C ．22(6,6)e e --+D ．22(,6)(6,)e e --∞-++∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知向量(1,0)a =，(,2)b λ=，2a b a b +=-，则λ= ．14.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 ．（用数字作答）15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．16.已知ABC ∆的内角A 的平分线交BC 于点D ，ABD ∆与ADC ∆的面积之比为2:1，2BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S a a =+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n b 是等比数列，且14b =，358b b b =，令2n nn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中5EC =，4BF =，四边形ABCD 是边长为2的正方形，现沿AD 进行折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）已知点H 在线段BD 上，且//AH 平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值. 19.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布2(51,15)N ，若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附：若2(,)XN ϕσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.20.平面直角坐标系xOy 中，圆222150x y x ++-=的圆心为M .已知点(1,0)N ，且T 为圆M 上的动点，线段TN 的中垂线交TM 于点P .（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设点P 的轨迹为曲线1C ，抛物线2C ：22y px =的焦点为N .1l ，2l 是过点N 互相垂直的两条直线，直线1l 与曲线1C 交于A ，C 两点，直线2l 与曲线2C 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.21.已知函数2()2ln f x x x a x =--，()g x ax =. （Ⅰ）求函数()()()F x f x g x =+的极值； （Ⅱ）若不等式sin ()2cosxg x ≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（Ⅱ）若不等式()3f x x ≤+的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CDDDC 6-10: CBABB 11、12：AB 二、填空题13. 12-14. 4843 三、解答题17.解：（Ⅰ）由242n n n S a a =+得211142(2)n n n S a a n ---=+≥， 两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-， ∴11()()n n n n a a a a --+-12()0n n a a --+=， ∵0n a >，∴12n n a a --=，又由21111442S a a a ==+得10a >得12a =，{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，从而2n a n =.（Ⅱ）设{}n b 公比为q ，则由358b b b =可得247164q q q =， ∴4q =， ∴4n n b =，∴数列{}n c 满足4n n c n =⋅，它的前n 项之和23142434n T =⋅+⋅+⋅4nn +⋅⋅⋅+⋅①，2241424n T =⋅+⋅+⋅⋅⋅1(1)44n n n n ++-⋅+⋅②，①-②得2134444nn n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅14(14)414n n n +-=-⋅-14(41)43nn n +=--⋅， ∴14444399n n n n T +⋅=-⋅+1314499n n +-=⋅+. 18. 解：（Ⅰ）证明：由平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE AD ⊥， 平面EDAF平面ABCD AD =，DE ⊂平面EDAF ，得DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， ∴AC DE ⊥，由ABCD 为正方形得AC BD ⊥， 又BDDE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE ， 又∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BDE .（Ⅱ）由ED ⊥平面ABCD 得AD ED ⊥，CD ED ⊥，又AD DC ⊥故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立图示空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,0,3)E ，(2,0,2)F ， 设DH DB λ=，则(2,2,0)H λλ， 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由(2,2,3)BE =--，(2,0,1)EF =-，00n BE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得223020x y z x z --+=⎧⎨-=⎩取1x =得(1,2,2)n =， ∵//AH 平面BEF ，(22,2,0)AH λλ=-， ∴2240λλ-+=，13λ=， 22(,,0)33H ，42(,,2)33FH =--， 设FH 与平面BEF 所成的角为θ，则sin cos ,n FH θ=214n FH n FH⋅===，∴FH与平面BEF所成角的正弦值为7.19. 解：（Ⅰ）设样本的中位数为x，则2250450(40)0.510001000100020x-++⋅=，解得51x≈，所得样本中位数为5100.（Ⅱ）51μ=，15σ=，281μσ+=，旅游费用支出在8100元以上的概率为(2)P xμσ≥+1(22)2P xμσμσ--<<+=10.95440.02282-==，0.0228650001482⨯=，估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上.（Ⅲ）Y的可能取值为0，1，2，3，35385(0)28CP YC===，12353815(1)28C CP YC===，21353815(2)56C CP YC===，33381(3)28CP YC===，∴Y的分布列为012828EY=⨯+⨯2356568+⨯+⨯=.20.解：（Ⅰ）∵P为线段TM中垂线上一点，∴PM PN PM PT +=+4TM ==， ∵(1,0)M -，(1,0)N ，∵42MN >=，∴P 的轨迹是以(1,0)M -，(1,0)N 为焦点，长轴长为4的椭圆，它的方程为22143x y +=. （Ⅱ）∵22y px =的焦点为(1,0)，2C 的方程为24y x =，当直线1l 斜率不存在时，2l 与2C 只有一个交点，不合题意. 当直线1l 斜率为0时，可求得4AC =，4BD =， ∴182ABCD S AC BD =⋅⋅=. 当直线1l 斜率存在且不为0时，方程可设为(1)(0)y k k k =-≠，代入22143x y +=得 222(34)8k x k x +-24120k +-=，2144(1)0k ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，12AC x =-=2212(1)34k k +=+.直线2l 的方程为1(1)y x k=--与24y x =可联立得22(24)10x k x -++=， 设33(,)B x y ，44(,)D x y ，则212244BD x x k =++=+， ∴四边形ABCD 的面积12S AC BD =222112(1)(44)234k k k +=+⋅+22224(1)34k k+=+. 令234k t +=，则23(3)4t k t -=>，2324(1)4()t S t t-+=31(2)2t t =++，∴()S t 在(3,)+∞是增函数，()S(3)8S t >=， 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[8,)+∞. 21. 解：（Ⅰ）2()2ln F x x x a x ax =--+，22(2)'()x a x a F x x+--=(2)(1)x a x x +-=，∵()F x 的定义域为(0,)+∞. ①02a-≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增， ()1F x a =-极小，()F x 无极大值.②012a <-<即20a -<<时，()F x 在(0,)2a -和(1,)+∞上递增，在(,1)2a-上递减， ()()2a F x F =-极大2ln()42a aa a =---，()(1)1F x F a ==-极小.③12a-=即2a =-时，()F x 在(0,)+∞上递增，()F x 没有极值. ④12a ->即2a <-时，()F x 在(0,1)和(,)2a -+∞上递增，()F x 在(1,)2a-上递减，∴()(1)1F x f a ==-极大，()()2a F x F =-极小2ln()42a aa a =---.综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()()2a F x F =-极大2ln()42a aa a =---，()(1)1F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()(1)1F x f a ==-极大，()()2a F x F =-极小2ln()42a aa a =---.（Ⅱ）设sin ()2cos xh x ax x=-+(0)x ≥，212cos '()(2cos )xh x a x +=-+，设cos t x =，则[1,1]t ∈-，212()(2)t t t ϕ+=+，42(2)(1)'()(2)t t t t ϕ-+-=+32(1)0(2)t t --=≥+， ∴()t ϕ在[1,1]-上递增，∴()t ϕ的值域为1[1,]3-， ①当13a ≥时，'()0h x ≥，()h x 为[0,]+∞上的增函数， ∴()(0)0h x h ≥=，适合条件.②当0a ≤时，∵1()0222h a ππ=⋅-<，∴不适合条件. ③当103a <<时，对于02x π<<，sin ()3x h x ax <-， 令sin ()3x T x ax =-，cos '()3x T x a =-， 存在(0,)2x π∈，使得0(0,)x x ∈时，'()0T x <，∴()T x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0T x T <<，即在0(0,)x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件.综上，a 的取值范围为1[,)3+∞.22. 选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）2sin()306πρθ+-=，sin cos 30θρθ+-=，即l 的普通方程为30x -=，2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=.（Ⅱ）在30x -=中令0y =得(3,0)P ，∵k =，∴倾斜角56πα=，∴l 的参数方程可设为53cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y +=得250t -+=，70∆=>，∴方程有两解，12t t +=1250t t =>，∴1t ，2t 同号，12PA PB t t +=+12t t =+=23. 选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）1a =时，()4f x ≥2214x x <-⎧⇔⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩， 52x ≤-或x φ∈或32x ≥， 解集为53(,][,)22-∞-+∞. （Ⅱ）由已知()3f x x ≤+在[0,1]上恒成立，∵20x +>，30x +>， ∴1x a -≤在[0,1]上恒成立，∵y x a =-的图象在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增， ∴01110211a a a a ⎧-≤-≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤≤-≤⎩⎪⎩，∴a 的取值范围是[0,1].。

2018年三明市普通高中毕业班质量检查测试理科数学参考答案一.二.填空题：13.6 14.e 1- 15.5 16.(1,2)三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：(1)因为1a =,且2(1)32t S a a +=++,21(b b ++-21a b +++23n n-. ...................... 23n n-11n n ++-+18.解：(1)因为//AB CD ,所以11,23AM AB AM MC CD AC ===即. .....................2分 因为//MN PCD 平面,MN ⊂平面PAC ,平面PAC 平面PCD PC =,所以//MN PC . ......................................................... 4分 所以13AN AM AP AC ==,即13m =. ...........................................5分 (2)因为,60AB AD BAD =∠=︒,可知ABD ∆为等边三角形,所以BD AD PD ==,又BP =, 故222BP PD DB =+,所有PD DB ⊥. 由已知,PD AD ADBD D ⊥=,所以PD ⊥平面ABCD ,如图,以D 为坐标原点,DA DP ,的方向为,x y 轴的正方向建 立空间直角坐标系,设1AB =,则1,2AB AD DP CD ====,所以)3,0,1(),0,1,0(),23,0,21(-C P B ,则13(,1,),(1,22PB PC =-=--, 设平面PBC 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ,则有110,0,PBPC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11111120,0.x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 设11x =,则112,y z =所以1(1=n , ………………………8分 设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ,由已知可得220,0,DC DP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2220,0.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令21z =,则2x =所以 2=n . …………………………………10分所以121212cos ,⋅<>===⋅n n n n n n ,………………………11分 设二面角B PC D --的平面角为θ,则410)46(1sin 2=-=θ.………12分 19.解：(1)设(,)H x y ,由题意得(,2)C x y (0)y ≠,所以(22,),()NH x y MC x y =-=+, …………………………2分所以22828NH MC x y ⋅=-+=,化简得221168x y +=,所以所求点H 的轨迹E 的方程为221168x y +=(0)y ≠. ………………………5分 (2)由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(4)y k x =+(0)k ≠, 令0x =,得4y k =,即(0,4)Q k .由22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得222488,1212P P k k x y k k -==++,即222488(,)1212k k P k k -++,…8分 因为l l '∥,所以l '的方程为y kx =,由22,1,168y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得222221616,1212R R k x y k k ==++, ……………10分所以||AQ =,||AP ,22216(1)||12k OR k +=+,所以2||||||AQ AP OR ⋅＝2. …………………………………………………12分 20.解：(1)由频率分布直方图知,该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.0740.28⨯=,使用时间在(]12,16的频率为0.0340.12⨯=.所以在该汽车交易市场2017年成交的二手车随机选取1辆,其使用时间在(]8,16的概 率为0.280.120.4+=, .................................................. 2分所以所求的概率为()2230.410.40.288P C =⋅-=. ............................. 3分(2)①由e a bx y +=得ln y a bx =+,则Y 关于x 的线性回归方程为Y a bx =+. .... 4分由于()()()10101110102222111079.7510 5.5 1.90.338510 5.510iii ii i i ii i x x Y Y x Y x Yb x x xx ====---⋅-⨯⨯====--⨯--∑∑∑∑()1.90.3 5.5 3.55a Y x β=-⋅=--⨯=则Y 关于x 的线性回归方程为 3.550.3Y x =-, ……………………………6分 所以y 关于x 的回归方程为 3.550.3exy -= ……………………………7分②根据频率分布直方图和①中的回归方程,对成交的二手汽车可预测： 使用时间在(]04，的频率为0.0540.2⨯=,对应的成交价格的预测值为 3.550.32 2.95e e 19.1-⨯=≈；使用时间在(]48，的频率为0.0940.36⨯=, 对应的成交价格预测值为 3.550.36 1.75e e 5.75-⨯=≈；使用时间在(]812，的频率为0.0740.28⨯=, 对应的成交价格的预测值为 3.550.3100.55e e 1.73-⨯=≈； 使用时间在(]1216，的频率为0.0340.12⨯=,对应的成交价格的预测值为 3.550.3140.65e e 0.52-⨯-=≈； 使用时间在(]1620，的频率为0.0140.04⨯=,对应的成交价格的预测值为 3.550.318 1.85e e 0.16-⨯-=≈.……………………………9分若采用甲方案,预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为()0.219.10.36 5.750.28 1.730.120.520.040.165%⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯＝0.321660.32≈万元；若采用乙方案,预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为()()0.219.10.36 5.754%0.28 1.730.120.520.040.1610%⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.290920.29=≈万元. …………………………………………………………11分 因为0.32>0.29,所以采用甲方案能获得更多佣金. ……………12分21.解：(1)因为()2(4)e 0x f x m x x -=-+≥对()2,x ∀∈+∞恒成立,等价于24e x x xm --≥-对()2,x ∀∈+∞恒成立, …………………………1分 设()224(1)4e e x x xx x x ϕ--=--=得()()22222244'1e e 0x x x x x x x ϕ---⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭, …………………………3分 故()x ϕ在()2,+∞上单调递增,当2x >时,由上知()()21x ϕϕ>=-,所以1m -≤-,即1m ≥,所以实数m 的取值范围为[)1,+∞； ……………………………6分 (2)对()()22e (2)2x ax ag x x x --+=>-求导得()()()2323(4)e [](4)e ',(2)22x x x x a x ax x g x x x x ----+==>-+-, ……………7分记()24e x x F x xa --=+,(2)x >, 由(1)知()F x 在区间()2,+∞内单调递增,又(2)10,(4)0F a F a =-+<=≥, 所以存在唯一正实数0(2,4]x ∈,使得020004()e 0x x F x x a --+==, ∴当0(2,)x x ∈时,()0F x <,'()0g x <,函数()g x 在区间0(2,)x 单调递减；0(,)x x ∈+∞时,()0F x >,'()0g x >,函数()g x 在区间0(,)x +∞单调递增；所以()g x 在()2,+∞内有最小值()()020020e 2x ax ag x x --+=-, …………………9分由题设即()()02020e 2x ax ah a x --+=-.又因为02004e x x a x ---=.所以()()02001e x h a g x x -==. ……………………10分 根据(1)知, ()x ϕ在()2,+∞内单调递增,(]0200e 1,04x x a x -=-∈--, 所以024x <≤.令()21e (24)x u x x x-=<≤,则 ()221e 0x x u x x -'-=>,函数()u x 在区间(]2,4内单调递增, 所以()()()24u u x u <≤,即函数()h a 的值域为21e ,24⎛⎤⎥⎝⎦. ……………………………12分22. 解法一：(1)由1,1,x y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得l的普通方程为1x =, …………1分又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩, 所以l的极坐标方程为()cos 1ρθθ= .... 3分(或π2sin()16ρθ+=+由2cos ρθ=得22cos ρρθ=,即222x y x +=, ............................ 4分所以C 的直角坐标方程为2220xy x +-=. ................................ 5分(2)设,P Q 的极坐标分别为()()1122,,,ρθρθ,则12POQ θθ∠=- ............... 6分由()cos 12cos ,ρθθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去ρ得()2cos cos 1θθθ=+ .... 7分化为cos22θθ=,即πsin 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭........................ 8分因为π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,即ππ7π2+666θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以ππ263θ+=,或π2π263θ+=, ...... 9分 即12π,12π,4θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12π,4π,12θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12π=6POQ θθ∠=-. ......................... 10分 解法二： (1)同解法一 ……………………………5分(2)曲线C 的方程可化为()2211x y -+=,表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆. .... 6分将l的参数方程化为标准形式1,112x y t ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩(其中t '为参数),代入C 的直角坐标方程为2220x y x +-=得,221112102t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 整理得,20t t ''+=,解得0t '=或1t '=-. .................................. 8分 设,P Q 对应的参数分别为12,t t '' ,则121PQ t t ''=-=.所以π3PCQ ∠=, ...... 9分 又因为O 是圆C 上的点,所以π26PCQ POQ ∠∠==.......................... 10分 解法三： (1)同解法一. ……………………………5分(2)曲线C 的方程可化为()2211x y -+=,表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆. ... 6分又由①得l的普通方程为(10x -=, ........................... 7分则点C 到直线l的距离为d =, ....................................... 8分所以1PQ ==,所以PCQ △是等边三角形,所以π3PCQ ∠=, ........ 9分 又因为O 是圆C 上的点,所以π26PCQ POQ ∠∠==.......................... 10分23. 解：(1)当1a =时,()11f x x x =-++,则()2 ,1,2, 11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≥ 2分当1x <-时,由()f x ≤4得,22x --≤4,解得21x -<-≤； 当11x -<≤时,()f x ≤4恒成立；当1x ≥时,由()f x ≤4得,2x ≤4,解得12x ≤≤. .......................... 4分 所以()f x ≤4的解集为{}22x x -≤≤. .................................. 5分 (2)因为对任意1x ∈R ,都存在2x ∈R ,使得不等式()()12f x g x >成立,所以()()min min f x g x >. ............................................... 6分因为()2223120a a a -+=-+>,所以223a a >-,且()()222223232323x a x a x a x a a a a a -+-+---+=-+=-+≥, ① 当223a x a -≤≤时,①式等号成立,即()2min 23f x a a =-+.................. 7分又因为2222444244a a a x ax x ⎛⎫++=++-- ⎪⎝⎭≥, ②当2a x =-时,②式等号成立,即()2min 44a g x =-. .......................... 8分所以222344a a a -+>-,整理得,25840a a -->, ........................ 9分解得25a <-或2a >,即a 的取值范围为()2,2,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. ..............10分。

理科数学答题分析第1页共22页2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学答题分析1．设集合{}2log 0A x x =<，133x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = A ．{}11x x -<<B ．{}01x x <<C ．{}0x x >D ．R【答案】B ．【考查意图】本小题以集合为载体，考查指数函数、对数函数的图象与性质，集合的运算等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想等．【答题分析】只要掌握指、对数函数的图象与性质，集合的运算等，便可解决问题．解：2log 0x <等价于22log log 1x <，解得01x <<，所以(0,1)A =；133x⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于111x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1x >-，所以(1,)B =-+∞，从而(0,1)A B = ．故选B ．【错因分析】选择A 答案，由于未考虑对数函数的定义域导致求得(,1)A =-∞；选择C 答案，只考虑对数函数的定义域导致出错；选择D 答案，未考虑对数函数的定义域，求得(,1)A =-∞，且将交集运算误认为并集运算．【难度属性】易．2．将函数sin 2y x =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则A ．()y f x =的图象关于直线π8x =对称B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()y f x =的图象关于点π(,0)对称D ．()f x 在ππ(,)-单调递增【答案】D ．【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查函数的图象变换及三角函数的图象与性质等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握函数图象变换知识、三角函数的图象与性质，便可解决问题．解：由题意得，()sin f x x =，sin y x =的图象对称轴为直线ππ,x k k =+∈Z ，所以选项A 错误；sin y x =的最小正周期为2πT =，所以选项B 错误；sin y x =的图象对称中心为(π,0),k k ∈Z ，所以选项C 错误；sin y x =的一个单调递增区间为ππ(,22-，ππππ(,)(,)3622-⊆-，所以选项D 正确．故选D ．【错因分析】选择A 答案，把横坐标伸长到原来的2倍与缩短到原来的1混淆，从而得到()sin 4f x x =，求得()f x 的图象的对称轴方程为ππ,48k x k =+∈Z ，导致出错；理科数学答题分析第2页共22页选择B 答案，把横坐标伸长到原来的2倍与缩短到原来的1混淆，从而得到()sin 4f x x =，求得()f x 的最小正周期为π，导致出错；选择C 答案，误以为πsin 02=，或把横坐标伸长到原来的2倍与缩短到原来的12混淆，从而得到()sin 4f x x =，求得()y f x =的图象关于点π(,0)对称，导致出错．【难度属性】易．3．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且12PT AT -=．下列关系中正确的是A．1BP TS RS -= B ．1CQ TP TS += C ．512ES AP BQ --= D ．512AT BQ CR += 【答案】A ．【考查意图】本小题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想等．【答题分析】只要掌握平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算的几何意义，便可解决问题．解：由题意得，51BP TS TE TS SE RS -=-==，所以选项A 正确；12CQ TP PA TP TA ST ++=+== ，所以选项B 错误；12ES AP RC QC RQQB --=-== ，所以选项C 错误；AT BQ SD RD +=+ 12CR RS RD SD -==- ，若12AT BQ CR -+= ，则SD =0 ，不合题意，所以选项D 错误．故选A ．【错因分析】选择B答案，512CQ TP PA TP TA ST ++=+== ，向量方向出错导致错误；选择C 答案，12ES AP RC QC RQ --=-== ，向量方向出错导致错误；选择D 答案，由于向量方向出错导致误得AT BQ DS RD +=+ ，从而错选．【难度属性】易．理科数学答题分析第3页共22页4．已知()()5234560123456221x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则024a a a ++=A ．123B ．91C ．120-D ．152-【答案】D ．【考查意图】本小题以代数恒等式为载体，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握二项式定理，会合理赋值，便可解决问题．解法一：由()()5234560123456221x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，取1x =得，01234563a a a a a a a ++++++=，①取1x =-得，0123456243a a a a a a a -+-+-+=-，②①＋②得，0246120a a a a +++=-，又561232a =⨯=，所以024152a a a ++=-，故选D ．解法二：因为()521x -的展开式的第1r +项515(2)(1)r r r r T C x -+=-，0,1,2,,5r = ，所以5050522(1)2a C =⨯-=-，41432325512(1)22(1)70a C C =⨯-+⨯-=-，23214145512(1)22(1)80a C C =⨯-+⨯-=-，所以024152a a a ++=-，故选D ．【错因分析】选择A 答案，取1x =-后误得()()5221243x x +-=，且未减去6a ，导致错误；选择B 答案，取1x =-后误得()()5221243x x +-=，导致错误；选择C 答案，计算出0246a a a a +++的值后未减去6a ，导致错误．【难度属性】中．5．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为A ．120B ．84C ．56D ．28【答案】B ．【考查意图】本小题以数学文化为载体，考查程序框图等基础知识，考查运算求解能力、应用意识．【答题分析】只要按程序框图逐步执行，便可解决问题．解：按步骤执行程序框图中的循环体，具体如下：1,1,1i n S ===；2,3,4i n S ===；3,6,10i n S ===；4,10,20i n S ===；5,15,35i n S ===；6,21,56i n S ===；7,28,84i n S ===．所以输出84S =．故选B ．【错因分析】选择A 答案，结束循环的条件判断出错，误认为是8i =时结束循环；选择C 答案，结束循环的条件判断出错，误认为是6i =时结束循环；选择D 答案，能正确判断结束循环的条件，但误认为输出的是n 的值．【难度属性】易．理科数学答题分析第4页共22页6．已知函数22()22x f x x x =-+．命题1p ：()y f x =的图象关于点()1,1对称；命题2p ：若2a b <<，则()()f a f b <．则在命题1q ：12p p ∨，2q ：()()12p p ∧ ，3q ：()12p p ∨ 和4q ：()12p p ∧ 中，真命题是A ．13,q qB ．14,q qC ．23,q qD ．24,q q 【答案】B ．【考查意图】本小题以分式函数为载体，考查函数的图象与性质、导数及其应用、逻辑联结词的含义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握逻辑联结词的含义、函数图象的对称性，会利用导数研究函数的单调性，会判断含逻辑联结词的命题的真假，便可解决问题．解法一：因为2222(2)44(2)(2)2(2)222x x x f x x x x x --+-==---+-+，所以22244()(2)222x x x f x f x x x -+++-==-+，故()f x 的图象关于点(1,1)对称，故命题1p 为真命题；因为2(2)f -=，(0)0f =，所以(2)(0)f f ->，故命题2p 为假命题．所以1p 为假命题，2p 为真命题，故12p p ∨，()12p p ∧ 为真命题．故选B ．解法二：因为()()22221()12211x x f x x x x -==+-+-+，所以函数()y f x =的图象可由22()1x g x x =+的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到．因为()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，()g x 的图象关于原点对称，从而()y f x =的图象关于点(1,1)对称，故命题1p 为真命题．因为224'()x x f x -+=-+，令'()0f x >，得02x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,2)；令'()0f x <，得0x <或2x >，所以()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，(2,)+∞；故命题2p 为假命题．所以1p 为假命题，2p 为真命题，故12p p ∨，()12p p ∧ 为真命题．故选B ．解法三：同解法一可得，命题1p 为真命题；因为当0x ≠时，2221()2211122x f x x x x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()2221h t t t =-+，1t x =，则1t x=在(),0-∞单调递减，当(),0x ∈-∞时，(),0t ∈-∞，又因为()2221h t t t =-+在(),0-∞单调递减，当(),0t ∈-∞时，()()1,h t ∈+∞，所以理科数学答题分析第5页共22页211122y x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(),0-∞单调递增，又因为1y x =在()1,+∞单调递减，所以()f x 在(),0-∞单调递减，故命题2p 为假命题．所以1p 为假命题，2p 为真命题，故12p p ∨，()12p p ∧ 为真命题．故选B ．【错因分析】选择A 答案，对22()22x f x x x =-+的单调性判断出错；含有逻辑联结词命题的真假判断出错；选择C ，对22()22x f x x x =-+图象的对称性判断正确，但对其单调性判断出错；含有逻辑联结词命题的真假判断出错；选择D ，对22()22x f x x x =-+的单调性判断正确，但对其图象的对称性判断错误；含有逻辑联结词命题的真假判断出错．【难度属性】中．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点,M N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为π6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为A ．37.5分钟B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟【答案】A ．【考查意图】本小题以匀速圆周运动为背景，考查任意角三角函数的定义、三角函数的图象与性质等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、应用意识及创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想等．【答题分析】只要掌握任意角三角函数的定义、三角函数的图象与性质等，或结合平面几何知识直观判断，便可解决问题．解法一：设点N 出发后运动的时间为t 分钟，圆O 的半径为1，由三角函数的定义，得πππsin()cos 266N y t =-+=-，因为,M N 间隔3分钟，所以ππ362MON ∠=⨯=，所以ππππsin()sin 2626M y t =-++=，所以ππππsin cos )6664M N t t t y y -=+=+，当πππ2π642t k +=+，即312,2t k k =+∈Z 时，M N y y -取得最大值，故当3k =时，M N y y -第4次取得最大值，此时37.5t =，故选A ．解法二：因为,M N 间隔3分钟，所以ππ362MON ∠=⨯=，理科数学答题分析第6页共22页当M N y y -取得最大值时，MN x ⊥轴，且πPON ∠=，当M N y y -第一次取得最大值时，N 运动的时间为π4 1.5π6=分钟；又质点N 运动一周的时间为2π12π6=分钟，当M N y y -第4次取得最大值时，N 运动的时间为1.512337.5+⨯=分钟．【错因分析】选择B 答案，混淆,M N 的运动时间；选择C 答案，算错M 与N 的纵坐标之差达到最大值的次数；选择D 答案，算错M 与N 的纵坐标之差达到最大值的次数，且混淆,M N 的运动时间．【难度属性】中．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为A ．32π643-B ．648π-C ．16π643-D ．8π643-【答案】C ．【考查意图】本小题以空间几何体为载体，考查三视图，正方体、圆柱、圆锥的体积等基础知识；考查空间想象能力，运算求解能力．【答题分析】只要掌握三视图及正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，便可解决问题.解：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去1个圆锥和14个圆柱所得的几何体，且圆锥的底面半径为2，高为4；圆柱的底面半径为2，高为4，如图．所以该几何体的体积为31116π4(π44π44)64433-⨯⨯+⨯⨯=-．故选C ．【错因分析】选择A 答案，几何体中14个圆锥和14个圆柱误认为是12个圆锥和12个圆柱；选择B 答案，错将截去的14个圆锥部分当作14个圆柱计算或圆锥的体积公式记错；选择D 答案，错将截去的14个圆柱部分当作14个圆锥．【难度属性】中．理科数学答题分析第7页共22页9．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止．若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为A ．3200元B ．3400元C ．3500元D ．3600元【答案】C ．【考查意图】本小题以故障机器检测问题为载体，考查计数原理、排列与组合、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力及应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想等．【答题分析】只要能列出随机变量的所有取值并应用计数原理及排列组合知识计算其对应的概率，理解数学期望的意义，便可解决问题．解法一：设检测机器的台数为ξ，则ξ的所有可能取值为2,3,4．22251(2)10A P A ξ===，11232323353(3)10A C A A P A ξ+===，11212332453(4)5C A A C P A ξ===，所以133234 3.510105E ξ=⨯+⨯+⨯=，故所需检测费用的均值为1000=3500E ξ⨯元．解法二：设检测费为η元，则η的所有可能取值为2000,3000,4000．22251(2000)10A P A η===，11232323353(3000)10A C A A P A η+===，133(4000)1()10105P η==-+=，所以133200030004000350010105E η=⨯+⨯+⨯=，故所需检测费用的均值为3500元．【错因分析】选择A 答案，分布列中随机变量取值对应的概率错为112233453(4)10C A A P A ξ===，313(3)110105P ξ==--=，导致错误；选择B 答案，分布列中随机变量取值对应的概率错为133512(3)5C P C ξ+===，121(4)11052P ξ==--=，导致错误；选择D 答案，计算“需检测的机器为3台”的概率时，考虑不周，漏算“检测出3台无故障机器”情形，导致错误．【难度属性】中．10．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N ．若四边形CMNF的面积等于7，则E 的方程为A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C ．【考查意图】本小题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程及其简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等．【答题分析】只要掌握抛物线的标准方程及其简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，并根据题意准确作出图形，便可解决问题．理科数学答题分析第8页共22页解法一：由题意，(,0)2p F ，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形CMNF 为梯形，且FC NM ∥，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12122212121221AB y y y y p k y y x x y y p p--====-+-，所以122y y p +=，所以0y p =．作MK x ⊥轴于K ，则MK p =，因为AB 的斜率为1，所以FMK △为等腰直角三角形，故FK KC p ==，所以32p MN OF FK =+=，所以四边形CMNF 的面积为13(2)722p p p ⨯+⨯=，解得2p =，故抛物线的方程为24y x =．故选C ．解法二：由题意，得(,0)2p F ，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形CMNF 为梯形，且FC NM ∥，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2220y py p --=，则122y y p +=，所以1202y y y p +==，故(0,)N p ，由2p y x =-，令0y p =，则032p x =，3(,)2p M p ，因为MC AB ⊥，所以1MC AB k k ⋅=-，故1MC k =-，从而直线MC 的方程为52y x p =-+，令0y =，得52C x p =，故(,0)2p C 5，所以四边形CMNF 的面积为13(2)722p p p ⨯+⨯=，解得2p =，故抛物线的方程为24y x =，故选C ．【错因分析】选择A 答案，计算点M 的横坐标时，错求为0123x x x p =+=，得出点M 的坐标(3,)p p ，导致错误；选择B 答案，计算四边形CMNF 的面积出错得到27p ，导致错误；选择D 答案，AB 的中点M 的坐标算错为3(,)22p p ，从而得到四边形CMNF 的面积为2716p ，导致错误．【难度属性】中．理科数学答题分析第9页共22页11．已知,,,A B C D 四点均在以点1O为球心的球面上，且AB AC AD ===，BC BD ==，8BD =．若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最大值为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D ．【考查意图】本小题以球为载体，考查空间几何体、球的性质等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想等．【答题分析】只要通过长度关系，认清以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心1O 的位置，借助方程求出球1O 的半径，直观判断球2O 的位置，便可解决问题．解法一：取CD 的中点O ，连结,AO BO ，如图．因为BC BD ==，8CD =，所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥，故O 为BCD △的外心，因为AC AD ==，所以AO CD ⊥，且2AO =，又因为4OD =，4BO =，所以222AO BO AB +=，故AO OB ⊥，又BO CD O = ，所以AO ⊥平面BCD ，所以1O 在AO 上，连结1O D ，设1O D R =，则1AO R =，12OO R =-，因为1OO DO ⊥，所以22211DO OO O D +=，即2216(2)R R +-=，解得5R =，球2O 的直径最大时，球2O 与平面BCD 相切且与球1O 内切，12,,,A O O O 四点共线，此时球2O 的直径为18R OO +=．解法二：将Rt BCD △补形成正方形ECBD ，如图．易知四棱锥A BCED -为正四棱锥，正方形BDEC 的中心为O ，BO CD ⊥．连结,AO BO ，故O 为BCD △的外心，因为AC AD ==，所以AO CD ⊥，且2AO =，又因为4OD =，4BO =，所以222AO BO AB +=，故AO OB ⊥，又BO CD O = ，所以AO ⊥平面CBDE ，设1O D R =，则1AO R =，12OO R =-，因为1OO DO ⊥，所以22211DO OO O D +=，即2216(2)R R +-=，解得5R =，球2O 的直径最大时，球2O 与平面BCD 相切且与球1O 内切，12,,,A O O O 四点共线，此时球2O 的直径为18R OO +=．【错因分析】选择A 答案，误认为正四棱锥的高就是球2O 的直径的最大值，并将问题错认为是求半径；选择B 答案，误认为正四棱锥的高就是球2O 的直径的最大值；选择C 答案，将问题错认为是求半径．【难度属性】中．12．已知函数()()33f x x a x a =--+()0a ＞在[]1,b -上的值域为[]22,0a --，则b 的取值范围是A ．[]0,3B ．[]0,2C ．[]2,3D ．(]1,3-理科数学答题分析第10页共22页【答案】A ．【考查意图】本题以三次函数为载体，考查导数及其应用等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及创新意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想等．【答题分析】只要将函数3()()3()2f x x a x a a =----的图象作平移变换得到3()3g x x x =-，将条件转化为“当[1,]x a b a ∈---时，()g x 的值域为[2,2]a -”，注意到()g x 的极小值与它在[1,]a b a ---上的最小值相等，然后通过讨论[1,]a b a ---左端点函数值或右端点函数值，求出a 的值，再结合函数图象，由()g x 的值域为[2,2]a -直观判断b a -的取值范围；或直接研究函数()f x 的图象与性质，通过分类讨论确定a 的值，进而根据图象直观判断出b 的取值范围．解法一：将函数3()()3f x x a x a =--+的图象向左平移a 个单位，再向上平移2a 个单位，得到3()3g x x x =-的图象，故条件等价于3()3g x x x =-在[1,]a b a ---的值域为[2,2]a -．2'()333(1)(1)g x x x x =-=+-，所以当(,1)x ∈-∞-或(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，故()g x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞；当(1,1)x ∈-时，'()0g x <，故()g x 的单调递减区间为(1,1)-．又(1)2g -=，(1)2g =-，令()2g x =-，得3320x x -+=，即()()2120x x -+=，2x =-或1x =，因为0a >，所以11a --<-，由图象得，12a ---≥，故01a <≤．①当1a =时，3()3g x x x =-在[2,1]b --的值域为[2,2]-，因为(1)(2)2g a g --=-=-，令()2g x =，得3320x x --=，即()()2120x x +-=，1x =-或2x =，故由图象得112b --≤≤，解得03b ≤≤；②当01a <<时，211a -<--<-，022a <<，所以1b a -<-，又()g x 在(1,)a b a ---单调递增，所以()(1)2g x g a -->-≥，此时与题意矛盾．综上，可知03b ≤≤，故选A ．解法二：因为3()()3f x x a x a =--+，所以2'()3()3f x x a =--，令'()0f x =得，1x a =+或1x a =-，又(1)22f a a +=--，(1)22f a a -=-+，当x 变化时，(),'()f x f x 的变化情况如下表：x (,1)a -∞-1a -(1,1)a a -+1a +(1,)a ++∞'()f x '()0f x >0'()0f x <0'()0f x >()f x 单调递增22a -+单调递减22a --单调递增①若(1)22f a -=--，则32340a a +-=，整理得，2(1)(2)0a a -+=，解得，1a =或2a =-（舍去），此时3()(1)31f x x x =--+，令()4f x =-，解得1x =-或2x =；令()0f x =，解得0x =或3x =，因为()f x 在[1,]b -的值域为[4,0]-，故由图象可得03b ≤≤；②若(1)22f a ->--，因为0a >，所以11a ->-，要使得()f x 在[]1,b -上的值域为[]22,0a --，则1a b +≤，所以[]11,a b -∈-，所以(1)22(1)0f a f a ->--⎧⎨-⎩，≤，理科数学答题分析第11页共22页即3(1)322220a a a a ⎧--++>--⎨-⎩，≤，即2(1)(2)01a a a ⎧-+<⎨⎩，≥，所以a ∈∅．综上，可得03b ≤≤，故选A ．【错因分析】选择B 答案，考虑不周，误认为b 介于极大值点与极小值点之间；选择C 答案，考虑不周，误认为b 介于极小值点与方程()0f x =的最大解之间；选择D 答案，未考虑0x =一定要在定义域内，误认为b 介于方程()4f x =-的最小解与方程()0f x =的最大解之间．【难度属性】难．13．已知复数z 满足(1i)2z z +=-，则2z =______．【答案】4-．【考查意图】本小题以复数相等为载体，考查复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．【答题分析】只要掌握复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数的四则运算，便可解决问题.解法一：设i(,)z a b a b =+∈R ，则由题意得，(i)(1i)(2)i a b a b ++=-+，所以()()i (2)i a b a b a b -++=-+，所以2,,a b a a b b -=-⎧⎨+=⎩解得0,2,a b =⎧⎨=-⎩所以2i z =-，故24z =-．解法二：由(1i)2z z +=-得，()i 2z z z =-+，因为z z +∈R ，所以i z ∈R ，所以z 为纯虚数，所以z z =-，所以i 2z =，即2i z =-，故24z =-．解法三：由(1i)2z z +=-得，(1i)2z z +=-，即()1i 2z z -=+，由()(1i)2,1i 2z z z z+=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩得2i 2iz z =-⎧⎨=⎩，故24z =-．【错因分析】未掌握共轭复数的概念及复数相等的充要条件，复数的运算不熟练，计算出错．【难度属性】易．14．若,x y 满足约束条件40,240,0,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≤≥则2z x y =+的最小值为．【答案】6【考查意图】本小题以简单的线性规划问题为载体，考查二元一次不等式（组）、简单的线性规划等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想等．【答题分析】只要能正确画出二元一次不等式组所表示的平面区域，并理解目标函数的几何意义，便可解决问题．解：如图，作出可行域，由图可知，当动直线2y x z =-+过点A 时，直线2y x z =-+在y 轴上的截距z 最小，由0,40,x y x y -=⎧⎨+-=⎩得(2,2)A ，故当2,2x y ==时，min 6z =．理科数学答题分析第12页共22页【错因分析】二元一次不等式（组）所表示的平面区域判断出错；目标函数对应的动直线的斜率与边界所在直线的斜率的大小比较出错；不作图直接求直线的交点代入求解致错．【难度属性】易．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ．以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于,P Q 两点，APQ △的一个内角为60 ，则C 的离心率为．【答案】43．【考查意图】本小题以圆、双曲线为载体，考查双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．【答题分析】只要由双曲线与圆均关于x 轴对称，得到APQ △为正三角形，由此求出PF ，再设双曲线的左焦点为'F ，利用双曲线的定义求出'PF ，然后在'PFF △中利用余弦定理解决问题；或由APQ △为正三角形，得到点P 的坐标，并代入双曲线的方程便可解决问题．解法一：因为双曲线22221x y a b-=关于x 轴对称，所以APQ △是以PQ 为底边的等腰三角形，又APQ △的一个内角为60 ，故APQ △为等边三角形，且30PAF ∠= ，又FA FP a c ==+，所以120AFP ∠= ，设双曲线的左焦点为'F ，连结'F P ，则'2PF PF a -=，故'3PF a c =+，在'PFF △中，由余弦定理得，222''2'cos120PF FF FP FF FP =+-⋅ ，即222(3)(2)()22()cos120a c c a c c a c +=++-⨯⨯+⨯ ，整理得，22430a ac c +-=，两边同时除以2a 得，2340e e --=，解得43e =或1e =-（舍去），故所求双曲线的离心率为43．解法二：因为双曲线22221x y a b-=关于x 轴对称，所以APQ △是以PQ 为底边的等腰三角形，又APQ △的一个内角为60 ，故APQ △为等边三角形，且30PAF ∠= ，又FA FP a c ==+，所以120AFP ∠= ，故60PFA ∠= ，PF a c =+，所以3(,))22a c P a c ++，因为点P在双曲线上，所以22223()())221a c a c a b++-=，即22222(3)3()144()a c a c a c a ++-=-，整理得，2(13)33144(1)e e e ++-=-，即2340e e --=，解得43e =或1e =-（舍去），故所求双曲线的离心率为43．【错因分析】不会利用双曲线的定义并结合余弦定理得到离心率满足的方程；或将点P理科数学答题分析第13页共22页的坐标代入双曲线的方程时，计算出错等．【难度属性】中．16．在平面四边形ABCD 中，1AB =，AC =BD BC ⊥，2BD BC =，则AD 的最小值为．．【考查意图】本小题以平面四边形为载体，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．【答题分析】只要掌握正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，合理选择三角形，建立函数模型，便可解决问题．解法一：设BAC θ∠=，ABD α∠=，则π2ABC α∠=+，在ABC △中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，故26BC θ=-，由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即πsin sin BC AC θα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以cos BC αθ=，在ABD △中，由余弦定理得，2222cos AD AB BD AB BD=+-⋅，又22424BDBC θ==-，且cos 2cos BD BC ααθ==所以2252520sin()AD θθθϕ=--=-+，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=，所以当sin()1θϕ+=，即sin 5θ=，cos 5θ=时，2AD 取最小值5，故min AD =解法二：令22BD BC m ==，ABD θ∠=，则π(0,)2θ∈，π2ABC θ∠=+，在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，又cos sin ABC θ∠=-，所以2512sin m m θ=++，所以24sin 2m m θ-=，cos θ=在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅∠，即2241AD m =+-ABC △12m -<<，设2AD y =，241m x +=，则(25x ∈-，所以y x =-，(25x ∈-，整理得，225(508)43050x y x y -+++=，由22(508)20(4305)0y y ∆=+-+≥得，2502250y y-+≤，解得545y ≤≤，当5y =时，9x =，m=min 5y =，即AD．解法三：以B 为原点，以AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系xOy ，则(1,0)A -，AC =，设)C αα-，BC r =，则可设(cos ,sin )C r r θθ，因为π2CBD ∠=，所以ππ(2cos(),2sin())22D r r θθ++，理科数学答题分析第14页共22页即(2sin ,2cos )D r r θθ-，所以2,22,D C D C x y y x αα⎧=-=-⎪⎨==-⎪⎩所以222(1)2)AD αα=-++-2520sin )αϕ=-(+，其中sin 5ϕ=，cosϕ=，所以当sin()1αϕ+=，即sin 5α=，cos5α=，点C 的坐标为()1,1，点D的坐标为(2,2)-时，2AD 取最小值5，故min AD =解法四：同解法三得到2,22,D C D C x y y x αα⎧=-=-⎪⎨=-=-⎪⎩所以D 在圆E ：()22220x y ++=上，因为(1,0)A -在圆E 内，AE =D 为射线EA 与圆E 的交点时，min AD =．【错因分析】未能合理选择三角形及根据边角关系选择正余弦定理，导致思维受阻．【难度属性】难．17．（12分）各项均为正数的数列{}n a 的首项11a λ=，前n 项和为n S ，且211n n n S S a λ+++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足nn n b a λ=，求{}n b 的前n 项和n T ．第17题（1）【考查意图】本小题以n a 与n S 的关系为载体，考查递推数列、等差数列的定义及通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等．【解法综述】只要掌握n a 与n S 的关系、等差数列的定义及通项公式即可顺利求解．思路：由211n n n S S a λ+++=通过赋值得到：当2n ≥时，21n n n S S a λ-+=．从而当2n ≥时，11n n a a λ+-=，并注意到211a a λ-=，所以{}n a 是首项为1λ，公差为1λ的等差数列，进而求得n n a λ=．【错因分析】考生可能存在的错误有：不会通过赋值由211n n n S S a λ+++=得到()212n n n S S a n λ-+=≥，从而无从求解；或没有注意到2n ≥，思维不严密导致解题不完整．【难度属性】易．第17题（2）【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等．【解法综述】只要掌握错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式便可顺利求解．思路：因为{}n b 是由等差数列{}n 与等比数列{}1n λ-的对应项的积组成的数列，所以可用错位相减法求和，在解题过程中要注意对λ的取值进行分类讨论．理科数学答题分析第15页共22页【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得根据数列通项的特征选择错位相减法求和，从而无从下手；用错位相减法求和时计算出错；没有对λ的取值进行分类讨论导致解题不完整等．【难度属性】中．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB =，BC =，点E 在线段DC 上，且DE =，现将AED △沿AE 折到AED '△的位置，连结CD '，BD '，如图2．（1）若点P 在线段BC上，且2BP =，证明：AE D P '⊥；（2）记平面AD E '与平面BCD '的交线为l ．若二面角B AE D '--为23π，求l 与平面D CE '所成角的正弦值．图1图2第18题（1）【考查意图】本小题以平面图形的翻折问题为载体，考查直线与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，考查化归与转化思想．【解法综述】只要理清图形翻折前后相关要素的关系，掌握直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的性质，便可解决问题．思路：先在图1中连结DP ，根据tan tan PDC DAE ∠=∠得到90DOA ∠= ，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有,AE OD AE OP '⊥⊥，所以得到AE ⊥平面POD '，进而得到AE ⊥PD '．【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理清图形翻折前后相关要素的关系，未能在图1中作出线段DP ，从而无从下手；由于对直线与平面垂直的判定及性质理解不清导致逻辑混乱．【难度属性】中．第18题（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查二面角、直线与平面所成角、公理3、直线与平面平行的判定定理与性质定理、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．【解法综述】只要掌握二面角的定义，会正确作出平面AD E '与平面BCD '的交线，或能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将直线l 与平面D CE '所成角转化为平行于l 的直线与平面D CE '所成角，并通过建立适当的空间直角坐标系利用向量方法解决直线与平面所成角的计算问题，便可顺利求解．思路一：延长AE ，BD 交于点Q ，连接D Q '，根据公理3得到直线D Q '即为l ，再根据二面角定义得到2πD OP '∠=．然后在平面POD '内过点O 作OF OP ⊥交D P '于点F ，理科数学答题分析第16页共22页并以O 为原点，分别以OA ，OP ，OF 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面D CE '所成角的正弦值．思路二：分别在AD '，BD '上取点M ，G ，根据线段的长度及位置关系得到CE MG ∥，且CE MG =，从而得到四边形MGCE 为平行四边形，进而证得ME l ∥，将直线l 与平面D CE '所成角转化为直线EM 与平面D CE '所成角．根据二面角定义得到2π3D OP '∠=．然后在平面POD '内过点O 作OF OP ⊥交D P '于点F ，并以O 为原点，分别以OA ，OP ，OF为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面D CE '所成角的正弦值．【错因分析】考生可能存在的错误有：无法利用公理3确定直线l 的位置，或不能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将所求角转化为平行于l 的直线与平面D CE '所成角，导致无从下手；不能根据二面角的定义求得2π3D OP '∠=；不能根据题意建立适当的空间直角坐标系；在求解过程中点的坐标或法向量等计算错误．【难度属性】中．19．（12分）如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择y a =+和ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为ˆ0.9369y=+ˆ0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：。

准考证号_______________姓名______________（在此卷上答题无效）2018年三明市普通高中毕业班质量检查测试理 科 数 学本试卷共6页．满分150分． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|21}x A x -=>，}{|1|3B x x =+<，则=B AA ．(,4)-∞-B ．(,2)-∞-C ．(4,2)-D ．(2,2)-2．已知复数2(1i)i=(i 1ia b -++是虚数单位，,)a b ∈R ，则a b +＝ A ．2- B ．1- C ．0 D ．23．如图，,,,E F G H 是平面四边形ABCD 各边中点，若在平面四边形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是A ．14 B ．12 C ．34 D ．584．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则以下四个命题中错误．．的是 A ．直线11AC 与1AD 为异面直线 B ．11AC ∥平面1ACDC ．1BD AC ⊥D ．三棱锥1D ADC -的体积为835．在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =，则BE BC ⋅= A ．2 B ．83 C ．103D ．46．已知函数π()cos(2)3f x x =+．命题:p ()f x 的图象关于点π(,0)12-对称；命题:q ()f x 在区间π[,0]6-上为减函数，则 HGFED C BAA DBCD 1C 1B 1A 1A ．p q ∧为真命题B ．()p q ⌝∧为假命题C ．p q ∨为真命题D ．()p q ⌝∨为假命题7．我国古代著名的“物不知数”问题：“今有物其数大于八，二二数之 剩一，三三数之剩一，五五数之剩二，问物几何？”即“已知大于八 的数，被二除余一，被三除余一，被五除余二，问该数为多少？”为 解决此问题，现有同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入A ．1Z 6a -∈B ．1Z 10a -∈C ．2Z 10a -∈D ．2Z 15a -∈8．若2πa -=，a b a =，aa c a =，则,,abc 的大小关系为A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>9．已知(3,0)A -，(0,4)B ，点C 在圆22()1x m y -+=上运动，若△ABC 的面积的最小值为52，则实数m 的值为 A ．12或112 B ．112-或12 C ．12-或112 D ．112-或12- 10．在两直角边分别为,a b ，斜边为c 的直角三角形中，若1c =，a b mab +=，则实数m 的取值范围是A ．(2,22]B ．[22,23]C ．[22,)+∞D ．[23,)+∞ 11．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A ．188π23 B ．8πC ．52π5D ．96π2312．已知函数20183()e x f x mx m =+-(0)m >，当121x x +=时，对于任意的实数θ，都有不等式2212()(sin )()(cos )f x f f x f θθ+>+成立，则实数1x 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．[]1,2C ．()1,2D ．(1,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设实数y x ,满足约束条件220,40,3,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则3x y z x +=的最大值为＿＿＿＿＿＿．14．已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()e 1x f x =-，则(2017)(2018)f f -+＝＿＿＿＿＿＿．n =n+1否是结束开始a =5n +2输出a n =1俯视图侧视图正视图32215．设9210012101(2)(41)bx x a a x a x a x x x+-=+++++，则10120210222a a a a ++++＝＿＿． 16．已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是Γ右支上的一点，Q 是2PF 的延长线上一点，且12QF QF ⊥，若13sin 5PFQ ∠=，则Γ的离心率的取值范围是______________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且2(1)3 2 ()n n n t S a a t +=++∈R ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，11n n n b b a ++-=，求数列1{}27n b n+的前n 项和n T ．18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，,2AB CD CD AB =∥．（1）设AC 与BD 相交于点M ， (0)AN mAP m =>， 且MN ∥平面PCD ，求实数m 的值；（2）若,60,2,AB AD DP BAD PB AD ==∠=︒=且PD AD ⊥, 求二面角B PC D --的正弦值．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(22,0),(22,0)M N -，若直线m ⊥MN 于点D ，点C 是直线m 上的一动点，H 是线段CD 的中点，且8NH MC ⋅=，点H 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过点(4,0)A -作直线l 交E 于点P ，交y 轴于点Q ，过O 作直线l l '∥，l '交E 于点R ．试判断2||||||AQ AP OR ⋅是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．20．（12分）近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图．在图1对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．MADBCP图1 图2（1）若在该交易市场随机选取3辆2017年成交的二手车，求恰有2辆使用年限在(8,16] 的概率； （2）根据该汽车交易市场往年的数据，得到图2所示的散点图，其中x (单位：年)表示二手车的使用时间，y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．①由散点图判断，可采用e a bx y +=作为该交易市场二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下表(表中ln i i Y y =，101110i i Y Y ==∑)：xyY101i ii x y=∑101i i i x Y =∑1021ii x=∑5.5 8.7 1.9 301.479.75 385试选用表中数据，求出y 关于x 的回归方程； ②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择．甲：对每辆二手车统一收取成交价格的5%的佣金；乙：对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的10%的佣金．假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表1，并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值．判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金．附注：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,ni i i ni i u v nuvv u u nuβαβ==-==--∑∑； ②参考数据： 2.95 1.750.550.65 1.85e 19.1,e 5.75,e 1.73,e 0.52,e 0.16--≈≈≈≈≈．21．（12分）已知函数()2(4)e ()x f x x mx m -+-∈=R .（1）当2x >时，()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围； （2）证明：当[)0,1a ∈时，函数()()22e (2)2x ax ag x x x --+=>-有最小值，设()g x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.（二）选考题：本题满分10分．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13,1x t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求POQ ∠．23. [选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数2()23f x x a x a =-+-+，2()4g x x ax =++，a ∈R ． （1）当1a =时，解关于x 的不等式()f x ≤4；（2）若对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得不等式12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．2018年三明市普通高中毕业班质量检查测试理科数学参考答案一．选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CABDBCABDCAD二．填空题：13．6 14．e 1- 15．5 16．(1,2)三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为11a =，且2(1)32n n n t S a a +=++，所以2111(1)32t S a a +=++，所以5t =． ............................................................ 2分 所以2632n n n S a a =++ …①，当2n ≥时，有2111632n n n S a a ---=++ …②，①、②两式作差得2211633n n n n n a a a a a --=+--， ................................................. 3分所以11()(3)0n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以13n n a a --=，又因为11a =，所以32n a n =-． ...................... 6分 （2）因为11n n n b b a ++-=，11b =，所以1n n n b b a --=，(2,)n n *≥∈N ，所以当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+，＝121n n a a a b -++++＝232n n-． ........................................ 8分 又11b =也适合上式，所以23()2n n nb n *-=∈N ． ................................................ 9分 所以127n b n +＝2111373(2)n n n n n =⋅-++＝111()62n n ⋅-+， ........................... 10分 所以n T ＝111111(1)63242n n ⋅-+-++-+＝1311()6212n n ⋅--++， ＝23512(1)(2)n nn n +++． ....................................................................................... 12分18．解：（1）因为//AB CD ,所以11,23AM AB AM MC CD AC ===即． ................. 2分 因为//MN PCD 平面，MN ⊂平面PAC ，平面PAC 平面PCD PC =，所以//MN PC ． ....................................................... 4分 所以13AN AM AP AC ==，即13m =． ......................................... 5分 （2）因为,60AB AD BAD =∠=︒,可知ABD ∆为等边三角形，所以BD AD PD ==，又2BP AD =， 故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥． 由已知,PD AD ADBD D ⊥=，所以PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点，DA DP ,的方向为,x y 轴的正方向建 立空间直角坐标系，设1AB =，则1,2A B A D D P C D ====，所以)3,0,1(),0,1,0(),23,0,21(-C P B ，则13(,1,),(1,1,3)22PB PC =-=--， 设平面PBC 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，则有110,0,PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即111111230,30.x y z x y z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 设11x =，则112,3y z ==，所以1(1,2,3)=n ， ………………………8分 设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，由已知可得zyx MDCBA P220,0,DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即22230,0.x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 令21z =，则23x =，所以 2(3,0,1)=n ． …………………………………10分 所以1212121302316cos ,4222⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅⨯n n n n n n ，………………………11分 设二面角B PC D --的平面角为θ，则410)46(1sin 2=-=θ．………12分 19．解：（1）设(,)H x y ，由题意得(,2)C x y (0)y ≠，所以(22,),(22,2)NH x y MC x y =-=+， …………………………2分所以22828NH MC x y ⋅=-+=，化简得221168x y +=， 所以所求点H 的轨迹E 的方程为221168x y +=(0)y ≠． ………………………5分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =+(0)k ≠， 令0x =，得4y k =，即(0,4)Q k ．由22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得222488,1212P P k k x y k k -==++，即222488(,)1212k k P k k -++，…8分 因为l l '∥，所以l '的方程为y kx =，由22,1,168y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得222221616,1212R R k x y k k ==++， ……………10分 所以2||41AQ k =+，2281||12k AP k +=+，22216(1)||12k OR k +=+，所以2||||||AQ AP OR ⋅＝2． …………………………………………………12分 20．解：（1）由频率分布直方图知，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.0740.28⨯=，使用时间在(]12,16的频率为0.0340.12⨯=．所以在该汽车交易市场2017年成交的二手车随机选取1辆，其使用时间在(]8,16的概 率为0.280.120.4+=， ................................................ 2分所以所求的概率为()2230.410.40.288P C =⋅-=． ........................... 3分（2）①由e a bx y +=得ln y a bx =+，则Y 关于x 的线性回归方程为Y a bx =+． 4分由于()()()10101110102222111079.7510 5.5 1.90.338510 5.510iii ii i iii i x x Y Y x Y x Yb x x xx ====---⋅-⨯⨯====--⨯--∑∑∑∑ ()1.90.3 5.5 3.55a Y x β=-⋅=--⨯=则Y 关于x 的线性回归方程为 3.550.3Y x =-， ……………………………6分 所以y 关于x 的回归方程为 3.550.3e x y -= ……………………………7分 ②根据频率分布直方图和①中的回归方程，对成交的二手汽车可预测： 使用时间在(]04，的频率为0.0540.2⨯=，对应的成交价格的预测值为 3.550.32 2.95e e 19.1-⨯=≈；使用时间在(]48，的频率为0.0940.36⨯=， 对应的成交价格预测值为 3.550.36 1.75e e 5.75-⨯=≈；使用时间在(]812，的频率为0.0740.28⨯=， 对应的成交价格的预测值为 3.550.3100.55e e 1.73-⨯=≈；使用时间在(]1216，的频率为0.0340.12⨯=， 对应的成交价格的预测值为 3.550.3140.65e e 0.52-⨯-=≈； 使用时间在(]1620，的频率为0.0140.04⨯=，对应的成交价格的预测值为 3.550.318 1.85e e 0.16-⨯-=≈．……………………………9分 若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为()0.219.10.36 5.750.28 1.730.120.520.040.165%⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯＝0.321660.32≈万元；若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为()()0.219.10.36 5.754%0.28 1.730.120.520.040.1610%⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.290920.29=≈万元． …………………………………………………………11分 因为0.32>0.29，所以采用甲方案能获得更多佣金． ……………12分21．解：（1）因为()2(4)e 0x f x m x x -=-+≥对()2,x ∀∈+∞恒成立，等价于24e x x xm --≥-对()2,x ∀∈+∞恒成立， …………………………1分 设()224(1)4e e x x xx x x ϕ--=--=得()()22222244'1e e 0x x x x x x x ϕ---⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭， …………………………3分 故()x ϕ在()2,+∞上单调递增，当2x >时，由上知()()21x ϕϕ>=-，所以1m -≤-,即1m ≥，所以实数m 的取值范围为[)1,+∞； ……………………………6分 （2）对()()22e (2)2x ax ag x x x --+=>-求导得()()()2323(4)e [](4)e ',(2)22x x x x a x ax x g x x x x ----+==>-+-， ……………7分 记()24e x x F x xa --=+，(2)x >， 由（1）知()F x 在区间()2,+∞内单调递增，又(2)10,(4)0F a F a =-+<=≥， 所以存在唯一正实数0(2,4]x ∈，使得020004()e 0x x F x x a --+==， ∴当0(2,)x x ∈时，()0F x <，'()0g x <，函数()g x 在区间0(2,)x 单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0F x >，'()0g x >，函数()g x 在区间0(,)x +∞单调递增；所以()g x 在()2,+∞内有最小值()()020020e 2x ax ag x x --+=-， …………………9分由题设即()()02020e 2x ax ah a x --+=-．又因为02004e x x a x ---=．所以()()02001e x h a g x x -==． ……………………10分 根据（1）知， ()x ϕ在()2,+∞内单调递增，(]0200e 1,04x x a x -=-∈--， 所以024x <≤．令()21e (24)x u x x x-=<≤，则 ()221e 0x x u x x-'-=>，函数()u x 在区间(]2,4内单调递增， 所以()()()24u u x u <≤，即函数()h a 的值域为21e ,24⎛⎤⎥⎝⎦． ……………………………12分22． 解法一：（1）由13,1,x t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得l 的普通方程为313x y +=+， …………1分又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 所以l 的极坐标方程为()cos 3sin 13ρθθ+=+． . 3分（或π2sin()136ρθ+=+） 由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=， .......................... 4分所以C 的直角坐标方程为2220xy x +-=． .............................. 5分（2）设,P Q 的极坐标分别为()()1122,,,ρθρθ，则12POQ θθ∠=- ............ 6分由()cos 3sin 13,2cos ,ρθθρθ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩消去ρ得()2cos cos 3sin 13θθθ+=+， .. 7分 化为cos23sin 23θθ+=，即π3sin 262θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ..................... 8分因为π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，即ππ7π2+666θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ263θ+=，或π2π263θ+=， . 9分 即12π,12π,4θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12π,4π,12θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12π=6POQ θθ∠=-． ........................10分 解法二： （1）同解法一 ……………………………5分（2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆． 6分将l 的参数方程化为标准形式31,2112x t y t ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩(其中t '为参数)，代入C 的直角坐标方程为2220x yx +-=得，2231311210222t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''-++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得，20t t ''+=，解得0t '=或1t '=-． ............................... 8分设,P Q 对应的参数分别为12,t t '' ，则121PQ t t ''=-=．所以π3PCQ ∠=， ... 9分又因为O 是圆C 上的点，所以π26PCQ POQ ∠∠==.........................10分 解法三： （1）同解法一． ……………………………5分（2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆．6分又由①得l 的普通方程为()3130x y +-+=， .......................... 7分第页 11 则点C 到直线l 的距离为32d =， ..................................... 8分 所以2211PQ d =-=，所以PCQ △是等边三角形，所以π3PCQ ∠=， .... 9分 又因为O 是圆C 上的点，所以π26PCQ POQ ∠∠== .........................10分 23. 解：（1）当1a =时，()11f x x x =-++，则()2 ,1,2, 11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≥ 2分当1x <-时，由()f x ≤4得，22x --≤4，解得21x -<-≤；当11x -<≤时，()f x ≤4恒成立；当1x ≥时，由()f x ≤4得，2x ≤4，解得12x ≤≤． ...................... 4分 所以()f x ≤4的解集为{}22x x -≤≤． ................................ 5分（2）因为对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得不等式()()12f x g x >成立， 所以()()min min f x g x >． .............................................. 6分因为()2223120a a a -+=-+>，所以223a a >-， 且()()222223232323x a x a x a x a a a a a -+-+---+=-+=-+≥， ① 当223a x a -≤≤时，①式等号成立，即()2min 23f x a a =-+． ............. 7分 又因为2222444244a a a x ax x ⎛⎫++=++-- ⎪⎝⎭≥， ② 当2a x =-时，②式等号成立，即()2min 44a g x =-．....................... 8分 所以222344a a a -+>-，整理得，25840a a -->， ..................... 9分 解得25a <-或2a >，即a 的取值范围为()2,2,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．.............10分。

2018年三明市普通高中毕业班质量检查测试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：化简集合A，B，由此能求出A∩B．详解：∵集合A={x|22﹣x＞1}={x|x＜2}，B={x||x+1|＜3}={x|﹣4＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣4＜x＜2}=（﹣4，2）．故选：C．点睛：本题考查交集的求法，考查运算求解能力，是基础题．2. 已知复数是虚数单位，，则＝A. B. C. 0 D. 2【答案】A【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求出a，b的值得答案．详解：∵=，∴a=﹣1，b=﹣1，则a+b=﹣2．故选：A．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3. 如图，是平面四边形各边中点，若在平面四边形中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据中位线定理明确阴影部分的面积与平面四边形的面积的关系即可. 详解：连AC，与HE，FG分别交于M，N两点，，，∴∴∴该点取自阴影部分的概率是故选：B点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．4. 如图，已知正方体的棱长为2，则以下四个命题中错误．．的是A. 直线与为异面直线B. 平面C. D. 三棱锥的体积为【答案】D【解析】分析：在A中，由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线；在B中，由A1C1∥AC，得A1C1∥平面ACD1；在C中，由AC⊥BD，AC⊥DD1，得AC⊥面BDD1，从而BD1⊥AC；在D中，三棱锥D1﹣ADC的体积为．详解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，知：在A中，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，BD1⊂平面A1B1C1D1，D1∉直线A1C1，由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；在B中，∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1，故B正确；在C中，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1，∴AC⊥面BDD1，∴BD1⊥AC，故C正确；在D中，三棱锥D1﹣ADC的体积：==，故D错误．故选：D．点睛：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．5. 在边长为2的等边三角形中，若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：用基底表示目标向量，从而得到数量积.详解：∵边长为2的等边三角形中，，∴，.故选：B点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.6. 已知函数，命题的图象关于点对称；命题在区间上为减函数，则A. 为真命题B. 为假命题C. 为真命题D. 为假命题【答案】C【解析】分析：根据三角函数的性质，分别判断命题p，q的真假性，结合复合命题真假关系进行判断即可．详解：f（﹣）=cos[2（﹣）+]=cos（﹣+）=cos≠0，即命题p：f（x）的图象关于点对称为假命题，当﹣≤x≤0时，﹣≤2x≤0，0≤2x+≤，此时函数f（x）为减函数，即命题q是真命题，则p∨q为真命题，其余为假命题，故选：C．点睛：本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件判断命题命题p，q的真假性是解决本题的关键．7. 我国古代著名的“物不知数”问题：“今有物其数大于八，二二数之剩一，三三数之剩一，五五数之剩二，问物几何？”即“已知大于八的数，被二除余一，被三除余一，被五除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，根据输出的a的条件可得答案．详解：由题意，判断框内应该判断a的值是否同时能被二除余一，被三除余一，即判断是否为整数．故选：A．点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；（2）观察每次累加的值的通项公式；（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；（5）输出累加（乘）值．8. 若，，，则的大小关系为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据指数函数的性质分别判断即可．详解：由题意0＜a＜1，故a＜a a，故a a＞，即b＞c，而c=＞a=π﹣2，故选：B．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．.......................................9. 已知，，点在圆上运动，若△的面积的最小值为，则实数的值为A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】分析：以AB为底边，△的面积的最小值为，即求点到直线AB的距离d最短，利用圆的几何性质处理即可.详解：直线AB：，即若△的面积最小，则点到直线AB的距离d最短，，又△的面积的最小值为，∴即∴或故选：D点睛：当直线与圆相离时，经常涉及圆上点到直线的距离的最值问题，方法为：过圆心向直线作垂线，与圆交于两点，这两点到直线的距离即最大值与最小值.10. 在两直角边分别为，斜边为的直角三角形中，若，，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设∠B=，把m用三角形式表示，利用与的关系转为新函数的最值即可.详解：设∠B=，又斜边为的直角三角形中，，∴，∴，设，则，∴，又∴故选：C点睛：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．11. 已知某几何体的三视图如图所示，其正视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，过底面外心作底面的垂线与线段AB的中垂面的交点即球心，利用勾股定理计算即可.详解：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中，，在中，，∴，∴的外接圆的直径为,∴∴外接球的半径为，∴该几何体外接球的表面积为故选：A点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12. 已知函数，当时，对于任意的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求得f（x）的导数，可得f（x）的单调性，令g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），可得g（x）的单调性，以及g（x）+g（1﹣x）=0，将原不等式转化，可得x1＞1﹣sin2θ恒成立，由正弦函数的值域即可得到所求范围．详解：函数f（x）=e2018x+mx3﹣m（m＞0），导数为f′（x）=2018e2018x+3mx2，可得m＞0时，f（x）在R上递增，可令g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），可得g（x）在R上递增，且g（x）+g（1﹣x）=f（x）﹣f（1﹣x）+f（1﹣x）﹣f（x）=0，由f（x1）+f（sin2θ）＞f（x2）+f（cos2θ）成立，可得f（x1）﹣f（x2）+f（sin2θ）﹣f（cos2θ）＞0成立，即为f（x1）﹣f（1﹣x1）+f（sin2θ）﹣f（1﹣sin2θ）＞0，即g（x1）+g（sin2θ）＞0，可得g（x1）＞﹣g（sin2θ）=g（1﹣sin2θ），即有x1＞1﹣sin2θ恒成立，由于1﹣sin2θ的最大值为1，可得x1＞1，故选：D．点睛：处理抽象不等式的常用方法：般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设实数满足约束条件则的最大值为______．【答案】6【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由z==3+的几何意义，利用可行域内的动点与原点连线的斜率求出最大值．详解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由，解得A（1，3），此时取得最大值3，∴=3+的最大值为3+3=6．故答案为：6．点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则＝______．【答案】【解析】分析：由可知，函数的周期为2，利用周期性与奇偶性把所给的两个自变量转化到区间上，代入求值即可.详解：由可知，函数的周期为2，又为偶函数∴故答案为：点睛：本题重点考查了奇偶性与周期性的应用，考查了转化的思想方法，属于中档题.15. 设，则＝__．【答案】5【解析】分析：先求出值，再赋值，即可求得所求式子的值.详解：由题易知：令，可得∴＝5故答案为：5点睛：本题考查了二项式定理的有关知识，关键是根据目标的结构合理赋值，属于中档题.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是______________．【答案】【解析】分析：设，利用双曲线定义及题设可得直角三角形各边的大小，结合勾股定理及两边之和大于第三边即可求得的离心率的取值范围.详解：设，则，，∴，即，又即，得：∴方程有大于的根∴得，又∴故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17. 已知正项数列的前n项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由与的关系，求出数列的通项公式；（2）由，利用累加法得到，从而＝，利用裂项相消法求和即可.详解：（1）因为，且，所以，所以．所以…①，当时，有…②，①、②两式作差得，所以，因为，所以，又因为，所以．（2）因为，，所以，，所以当时，，＝＝．又也适合上式，所以．所以＝＝，所以＝＝，＝．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 在四棱锥中，．（1）设与相交于点，，且平面，求实数的值；（2）若且, 求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：(1)由易得，然后利用平面性质易得实数的值；(2)先证明平面，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式可得二面角的正弦值．详解：（1）因为,所以．因为，平面，平面平面，所以．所以，即．（2）因为,可知为等边三角形，所以，又，故，所有．由已知，所以平面，如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，所以，则，设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以，设平面的一个法向量为，由已知可得即令，则，所以．所以，设二面角的平面角为，则．点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 在平面直角坐标系中，已知，若直线⊥于点，点是直线上的一动点，是线段的中点，且，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作直线交于点，交轴于点，过作直线，交于点．试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）2【解析】分析：（1）设，由题意得，由，得到曲线的方程；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，因为，所以的方程为，联立方程分别求出，，即可作出判断.详解：（1）设，由题意得，所以，所以，化简得，所以所求点的轨迹E的方程为．（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，令，得，即．由解得，即，因为，所以的方程为，由解得，所以，，，所以＝2．点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20. 近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图．在图1对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．图1 图2（1）若在该交易市场随机选取3辆2017年成交的二手车，求恰有2辆使用年限在的概率；（2）根据该汽车交易市场往年的数据，得到图2所示的散点图，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．①由散点图判断，可采用作为该交易市场二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表(表中，)：试选用表中数据，求出关于的回归方程；②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择．甲：对每辆二手车统一收取成交价格的的佣金；乙：对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的的佣金．假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表1，并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值．判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金．附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②参考数据：．【答案】（1）；（2）①，②见解析【解析】分析：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为，则．（2）①由得，即关于的线性回归方程为．其中，则关于的线性回归方程为，据此可得②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为，则该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.详解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为所以．（2）①由得，即关于的线性回归方程为．因为，所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.点睛：本题主要考查非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 已知函数.（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）原问题等价于对恒成立，设，求其最小值即可；（2）求导得，记，，由（1）知在区间内单调递增，从而得到当时，函数有最小值；，又因为．所以，从而易得函数的值域.详解：（1）因为对恒成立，等价于对恒成立，设得，故在上单调递增，当时，由上知，所以,即，所以实数的取值范围为；（2）对求导得，记，，由（1）知在区间内单调递增，又，所以存在唯一正实数，使得，当时，，，函数在区间单调递减；时，，，函数在区间单调递增；所以在内有最小值，由题设即．又因为．所以．根据（1）知，在内单调递增，，所以．令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求．【答案】（1），；（2）【解析】分析：解法一：（1）消去参数可得的普通方程为，则极坐标方程为．极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为．（2）设的极坐标分别为，则，联立极坐标方程可得，则，结合三角函数的性质计算可得．解法二：（1）同解法一（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆．联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得，结合参数的几何意义知，则解法三：（1）同解法一（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆．的普通方程为，由弦长公式可得，则是等边三角形，， .详解：解法一：（1）由得的普通方程为，又因为，所以的极坐标方程为．由得，即，所以的直角坐标方程为．（2）设的极坐标分别为，则由消去得，化为，即，因为，即，所以，或，即或所以．解法二：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，整理得，，解得或．设对应的参数分别为，则．所以，又因为是圆上的点，所以解法三：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．又由①得的普通方程为，则点到直线的距离为，所以，所以是等边三角形，所以，又因为是圆上的点，所以 .点睛：本题主要考查直线的参数方程，圆的参数方程，参数方程与普通方程、极坐标方程之间的转化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知函数，，．（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）当时，，零点分段求解不等式可得的解集为．（2）原问题等价于．结合绝对值三角不等式的性质可得．结合二次函数的性质可得．据此求解不等式可得的取值范围为．详解：（1）当时，，则当时，由得，，解得；当时，恒成立；当时，由得，，解得．所以的解集为．（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，所以．因为，所以，且，…①当时，①式等号成立，即．又因为，…②当时，②式等号成立，即．所以，整理得，，解得或，即的取值范围为．点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

ABCDEP QR S T 2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合21{|log 0},33xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|0}x x >D ．R2．将函数sin 2y x =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则（ ）A ．()y f x =的图象关于直线8x π=对称B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增 3．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系；在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AT -=．下列关系中正确的是（ ） A ．512BP TS RS +-=B ．512CQ TP TS ++=C ．512ES AP BQ --= D ．512AT BQ CR -+=4．已知5234560123456(2)(21)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则024a a a ++= （ ） A ．123B ．91C ．120-D ．152-5．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上 一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学 者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈 的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔 每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图， 求得该垛果子的总数S 为（ ） A ．120 B ．84 C ．56 D ．286．已知函数22()22x f x x x =-+．命题1:()p y f x =的图象关于点(1,1)对称；命题2:p 若2a b <<，则()()f a f b <．则在命题112212312:,:()(),:()q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和412:()q p p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．13,q qB ．14,q qC ．23,q qD ．24,q q7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点,M N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的运算圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ） A ．37.5分钟 B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟O Py8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ） A ．32643π-B ．648π-C ．16643π-D ．8643π-9．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止．若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（ ） A ．3200元 B ．3400元 C ．3500元 D ．3600元 10．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N ．若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =11．已知,,,A B C D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且25AB AC AD ===，BC BD =42,8CD ==．若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．已知函数3()()3(0)f x x a x a a =--+>在[1,]b -上的值域为[22,0]a --，则b 的取值范围是（ ） A ．[0,3]B ．[0,2]C ．[2,3]D ．(1,3]-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2|lo g 0A x x =<，133xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则AB =（ ）A ．{}|11x x -<<B ．{}|01x x <<C ．{}|0x x >D ．R2.将函数sin 2y x=的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则（ ）A ．()y f x =的图象关于直线8x π=对称 B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()yf x =的图象关于点(,0)2π对称 D ．()f x 在(,)36ππ-单调递增3.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A ，B，C ，D ，E为顶点的多边形为正五边形，且12P T A T=.下列关系中正确的是（ ） A ．512B PT S R S+-=B ．512C QT P T S++=C ．512E SA P Q--= D ． 512A TB Q R-+=4.已知()()501221x x a a x +-=+2345623456a x a x a x a x a x+++++，则024a a a ++=（ ）A ．123 B．91 C ．-120 D ．-152 5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．120B ．84C ．56D ．28 6.已知函数22()22xf x x x =-+.命题1p ：()y f x =的图象关于点()1,1对称；命题2p ：若2ab <<，则()()f a f b <.则在命题1q ：12p p ∨，2q ：()()12p p ⌝∧⌝，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．1q ，3qB ．1q ，4qC ．2q ，3qD ．2q ，4q 7.如图，在平面直角坐标系x O y 中，质点M ，N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A ．37.5分钟B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．32643π-B ．648π-C ．16643π-D ．8643π-9.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（ ） A ．3200元 B ．3400元 C ．3500元 D ．3600元 10.已知抛物线E ：22(0)y p x p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B两点，线段A B 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，M N y⊥轴于点N .若四边形C M N F 的面积等于7，则E 的方程为（ ） A ．2y x= B ．22y x= C ．24y x= D ．28y x=11.已知A ，B ，C ，D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且A BA C A D ===，B C B D ==8B D=.若球2O 在球1O 内且与平面B C D 相切，则球2O 直径的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8 12.已知函数()()33f x x a x a =--+(0)a >在[]1,b -上的值域为[]22,0a --，则b 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,2C ．[]2,3D ．(]1,3- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数z 满足()12z i z+=-，则2z =．14.若x ，y 满足约束条件402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2zx y=+的最小值为 ．15.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点为F ，左顶点为A .以F 为圆心，F A 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，A P Q ∆的一个内角为60，则C 的离心率为 ． 16.在平面四边形A B C D 中，1A B =，A C =B DB C⊥，2B DB C=，则A D 的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.各项均为正数的数列{}n a 的首项11a λ=，前n 项和为n S ，且211n n n S S a λ+++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足nnnb a λ=，求{}n b 的前n 项和n T .18.如图1，在矩形A B C D 中，A B=，B C=E 在线段D C 上，且D E =A E D ∆沿A E 折到'A E D ∆的位置，连结'C D ，'B D ，如图2.（1）若点P 在线段B C 上，且2B P='A ED P⊥；（2）记平面'A D E 与平面'B C D 的交线为l .若二面角'B A E D --为23π，求l 与平面'D C E 所成角的正弦值.19.如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择ya =+ln yc d x=+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为0.93690.028y =+0.95540.0306ln yx=+，并得到以下一些统计量的值：（1）请利用相关指数2R 判断哪个模型的拟合效果更好； （2）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区(70160)m m ≤≤平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i ）估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ii ）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款） 征收方式见下表：参考数据：ln 20.69≈，ln 3 1.10≈，ln 172.83≈，ln 19 2.94≈ 1.41≈ 1.73≈，4.12≈ 4.36≈.参考公式：相关指数22121()1()ni i i ni i y y R y y ==-=--∑∑.20.椭圆E ：22221(0)x y a b ab+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，上、下顶点分别是B，C，A B =，直线C F 交线段A B 于点D ，且2B D D A=.（1）求E 的标准方程；（2）是否存在直线l ，使得l 交E 于M ，N 两点，且F 恰是B M N ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由. 21.已知函数2()(21)2xf x a x a x e =++-.（1）讨论()f x 的单调区间； （2）若17a<-，求证：当0x≥时，()0f x <.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系x O y 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1c o s 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为α，6A O Cπ∠=.（1）求1l 和M 的极坐标方程； （2）当0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2f x x =-，()1g x a x =-.（1）若不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，求a 的值；（2）若当x R∈时，()()f x g x ≥，求a的取值范围.2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学答题分析一、选择题1-5: BDADB 6-10: BACCC 11、12：DA 二、填空题13. -4 14. 6 15. 43三、解答题17.（1）【考查意图】本小题以n a 与n S 的关系为载体，考查递推数列、等差数列的定义及通项公式及等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握n a 与n S 的关系、等差数列的定义及通项公式即可顺利求解. 思路：由211n n n S S a λ+++=通过赋值得到：当2n≥时，21n n nS S a λ-+=.从而当2n≥时，11n n a a λ+-=，并注意到211a a λ-=，所以{}n a 是首项为1λ，公差为1λ的等差数列，进而求得nna λ=.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会通过赋值由211n n n S S a λ+++=得到21n n n S S a λ-+=(2)n ≥，从而无从求解；或没有注意到2n≥，思维不严密导致解题不完整.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.【解法综述】只要掌握错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式便可顺利求解.思路：因为{}n b 是由等差数列{}n 与等比数列{}1n λ-的对应项的积组成的数列，所以可用错位相减法求和，在解题过程中要注意对λ的取值进行分类讨论. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得根据数列通项的特征选择错位相减法求和，从而无从下手；用错位相减法求和时计算出错；没有对λ的取值进行分类讨论导致解题不完整等. 【难度属性】中.18.（1）【考查意图】本小题以平面图形的翻折问题为载体，考查直线与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，考查化归与转化思想.【解法综述】只要理清图形翻折前后相关要素的关系，掌握直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的性质，便可解决问题. 思路：先在图1中连结D P ，根据tan tan P D CD A E∠=∠得到90D O A∠=，从而有A E O D⊥，A EO P⊥，即在图2中有'A E O D ⊥，A E O P ⊥，所以得到A E ⊥平面'P O D ，进而得到'A E P D ⊥.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理清图形翻折前后相关要素的关系，未能在图1中作出线段D P ，从而无从下手；由于对直线与平面垂直的判定及性质理解不清导致逻辑混乱. 【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查二面角、直线与平面所成角、公理3、直线与平面平行的判定定理与性质定理、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.【解法综述】只要掌握二面角的定义，会正确作出平面'A D E 与平面'B C D 的交线，或能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将直线l 与平面'D C E 所成角转化为平行于l 的直线与平面'D C E 所成角，并通过建立适当的空间直角坐标系利用向量方法解决直线与平面所成角的计算问题，便可顺利求解. 思路一：延长A E ，B D 交于点Q ，连接'D Q，根据公理3得到直线'DQ即为l ，再根据二面角定义得到2'3DO P π∠=.然后在平面'P O D 内过点O 作O FO P⊥交'D P于点F ，并以O 为原点，分别为O A ，O P ，O F 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面'D C E 所成角的正弦值.思路二：分别在'A D ，'B D 上取点M ，G ，根据线段的长度及位置关系得到C E M G⊥，且C EM G=，从而得到四边形M G C E 为平行四边形，进而证得//M El，将直线l 与平面'D C E 所成角转化为直线E M 与平面'D C E 所成角.根据二面角定义得到2'3DO P π∠=.然后在平面'P O D 内过点O 作O FO P⊥交'D P 于点F ，并以O为原点，分别为O A ，O P ，O F 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面'D C E 所成角的正弦值. 【错因分析】考生可能存在的错误有：无法利用公理3确定直线l 的位置，或不能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将所求角转化为平行于l 的直线与平面'D C E 所成角，导致无从下手；不能根据二面角的定义求得2'3DO P π∠=；不能根据题意建立适当的空间直角坐标系；在求解过程中点的坐标或法向量等计算错误.【难度属性】中.19.（1）【考查意图】本小题以购房问题为背景，以散点图、相关指数2R 为载体，考查回归分析等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想等.【解法综述】只要理解相关指数2R 的意义便可通过简单估算解决问题. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂相关指数2R 的意义导致判断错误. 【难度属性】易.（2）（i ）【考查意图】本小题以估算购房金额为载体，考查回归分析、函数等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.考查学生在复杂的问题情境中获取有用信息分析问题和解决问题的能力.【解法综述】通过散点图确定2018年6月对应的x 的取值，代入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.思路：由（1）的结论知，模型0.95540.0306ln yx=+的拟合效果更好，通过散点图确定2018年6月对应的x的取值为18，代入0.95540.0306ln=+并利用参考y x数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据散点图得到2018年6月对应的x 的取值为18，导致2018年6月当月在售二手房均价预测错误；不能从大量复杂的文字和图表中获取有用信息，混淆买方缴纳契税与卖方缴纳的相关税费；不能合理分类导致错误.【难度属性】中.（2）（ii）【考查意图】本小题以估算可购房屋最大面积问题为载体，考查函数与不等式等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想等. 【解法综述】首先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围，再利用（2）（i）中相应的结论求解.思路：首先通过估算得到，90平方米的购房金额小于100万而100平方米的房款大于100万，从而判断100万可购买的面积在90至100平方米之间，便可利用（2）（i）中相应的结论求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会估算出100万可购买房屋的最大面积在90至100平方米之间，导致无从下手；未先估算100万可购买房屋的最大面积所在的范围，根据（2）（i）中的函数解析式逐一计算，使得解题过程繁杂导致计算出错.【难度属性】中.20.（1）【考查意图】本小题以椭圆为载体，考查直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】只要掌握直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质，能将线段的长度关系转化为向量关系，或利用平面几何知识进行转化，从而得到a，b，c满足的方程，便可求得椭圆的标准方程.思路一：先分别求出直线A B，C F的方程，再求得D的坐标.然后将2=转B D D A化为2=，得到2B D D Aa=，b=，c=，2=，再结合A B=1a c从而得到椭圆的标准方程为22143xy+=.思路二：利用椭圆的对称性得到//B G C F，将2B D D A=转化为2G FF A=，得到2ac=，再结合A B =1c =，2a =，b=，从而得到椭圆的标准方程为22143xy+=.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将2B D D A=转化为2B DD A=，或不能利用椭圆的对称性得到//B G C F，将2B D D A=转化为2G FF A=，导致无从下手.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以探索性问题为载体，考查椭圆的简单几种性质、直线与圆锥曲线的位置关系、三角形垂心的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等. 【解法综述】只要能通过假设存在满足题意的直线，根据F 是B M N ∆的垂心，得到B FM N⊥，进而确定直线M N 的斜率，由此设出直线M N 的方程并与椭圆方程联立；再根据F 是B M N ∆的垂心，得到M FB N⊥，将其转化为0M FB N ⋅=或1M F B N k k ⋅=-，并结合韦达定理，便可得到结论.思路：先假设存在满足条件的直线M N ，由垂心的性质可得B F M N⊥，从而得到直线l 的斜率3k=l 的方程为3yx m=+，()11,M x y ，()22,N x y ，再将l 的方程与椭圆方程联立得到33m -<<及1213x x +=-，()21212313m x x -=.将M FB N⊥转化为0M FB N ⋅=或1M FB N k k ⋅=-，即()(121210x x y y ---=，从而求出m的值，并根据m 的取值范围检验得到结论.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据F 是B M N ∆的垂心得到B F M N⊥及M FB N⊥，导致无从下手；在消元、化简的过程中计算出错；未检验导致解题不完整等. 【难度属性】中.21.（1）【考查意图】本小题以含指数函数的初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等. 【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题. 思路：求得()()2'421xf x a x a x a e=+++，对()2421u x a x a x a =+++的符号进行讨论.先讨论0a=的情况，再对0a≠的情况结合()u x 的图象和判别式进一步分成三种情况进行讨论，即可求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误或两根大小关系判断错误；分类讨论错误或不完整. 【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以不等式证明为载体，考查利用导数研究函数的极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等. 【解法综述】只要掌握利用导数研究函数性质的基本思路，具备较强的运算求解能力、推理论证能力和一定的创新意识，并能灵活运用数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，便可解决问题. 思路一：将a 的取值分成1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，11,27⎛⎫--⎪⎝⎭两部分进行讨论，对于1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦的情形可直接根据（1）的结论进行证明：对于11,27a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭的情形，将所证不等式转化为证明()f x 的最大值()()12111212x f x a x a x e=++-小于零，再利用2114210a x a x a +++=得到211142ax x =-++，进而得到()()11121121242x x f x ex x +=-++，通过分析法转化为证明函数()()2142x g x x e x x =+---在()0,1恒小于零.思路二：通过变换主元将()f x 改写成关于a 的函数()()22x a e x x ϕ⎡⎤=+⎣⎦2x a e +-，将求证不等式转化为证明()227xexx +-20xe +-<，再利用分析法进一步转化为证明()227140x e x x +-+>，然后构造()()227xg x exx =+-()140x +≥，证明()g x 的最小值大于零即可.思路三：同思路一得到()()11121121242x x f x ex x +=-++，通过分析法转化为求证函数()()2421xx x g x x e++=+在()0,1恒大于1.思路四：同思路一得到()()11121121242x x f x ex x +=-++，通过分析法转化为求证函数()2421xx x gx e x ++=-+在()0,1恒小于零.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会对参数a 的取值进行合理分类；不会通过消元将函数最值转化为仅关于极值点的表达式；不能变换主元对问题进行合理转化；不会根据题意构造恰当的函数. 【难度属性】难.22.（1）【考查意图】本小题以直线和圆为载体，考查直线的极坐标方程、参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.【解法综述】只要能写出极坐标系中简单图形的极坐标方程，能进行极坐标和直角坐标的互化，能进行参数方程和普通方程的互化，便可解决问题. 思路：首先，结合图形易得直线l 的极坐标为()R θαρ=∈.其次，先将M 的参数方程化为普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式将M 的普通方程化为极坐标方程，便可得到正确答案.【错因分析】考生可能存在的错误有：极坐标的概念不清晰，在求1l 的极坐标方程时，忽略Rρ∈的限制导致错误；直角坐标与极坐标的互化错误.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以两点间的距离为载体，考查极坐标的几何意义、韦达定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.【解法综述】只要明确极坐标中ρ，θ的几何意义，并能正确进行三角恒等变换，便可以解决问题.思路：根据极坐标的几何意义，O A ，O B ，O C ，O D 分别是点A ，B ，C ，D 的极径，从而可利用韦达定理得到：O A O B O C O D +++1234ρρρρ=+++()2co s sin αα=+2c o s sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，把问题转化为求三角函数的最值问题，易得所求的最大值为2+【错因分析】考生可能存在的错误有：不熟悉极坐标的几何意义，无法将问题转化为A ，B ，C ，D 四点的极径之和；无法由1l ，2l 及M 的极坐标方程得到()122co s sin ρραα+=+，34ρρ+2c o s sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；在求1234ρρρρ+++的最值时，三角恒等变形出错.【难度属性】中.23.（1）【考查意图】本小题以含绝对值不等式为载体，考查含绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】根据解集特征判断a 的符号，并结合含绝对值不等式的解法，求得()33g x -≥-的解集，根据集合相等即可求出a 的值.思路：先将()33g x -≥-转化为32ax -≥-，再根据不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4得出0a <，从而得到()33g x -≥-的解集为223,3a a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦，进而由232234aa ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2a =-.【错因分析】考生可能存在的错误有：无法判断a 的符号导致无从入手；不等式()33g x -≥-的解集求错；不会根据集合相等求出a 的值.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以不等式恒成立问题为载体，考查含绝对值不等式、绝对值三角不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.【解法综述】通过分离参数将含参数的绝对值不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，或将不等式转化为两个函数图象的位置关系，均能求出a 的取值范围. 思路一：当0x =时，易得()()f x g x ≥对任意实数a成立；当0x≠时，将()()f xg x ≥转化为21x ax-+≤，再通过分段讨论确定函数()()210x h x xx-+=≠的最小值，从而得到a 的取值范围. 思路二：当0x =时，易得()()f x g x ≥对任意实数a成立；当0x≠时，将()()f xg x ≥转化为21x ax-+≤，再利用绝对值三角不等式得到()()210x h x xx-+=≠的最小值，从而得到a 的取值范围. 思路三：当0a≤时，10ax -<，2x -≥，得到21x a x -≥-成立；当0a >时，不等式()()f x g x ≥等价于函数()2fx x =-的图象恒不在函数()1g x a x =-的图象的下方，从而根据这两个函数图象的位置关系便可得到a 的取值范围. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能通过合理分类简化问题；不会通过分离参数转化问题；无法分段讨论去绝对值或利用绝对值三角不等式确定函数()()210x h x x x-+=≠的最小值；不能将不等式转化为两个函数图象的位置关系进行求解.【难度属性】中.。

福建省龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的•11-若集合 A={y|y=x 3} , B={x y = l n （x —1）}，则 A“B =（）A. [1,-- ） B . （0,1）C. （1厂）D. （_：：,1）2. 已知纯虚数z 满足（1 -2i ）z =1 ai ，则实数a 等于（）1 1 A.B .C. -2D . 22223. 在等差数列{a n }中，已知是函数f （x ）二x -4x 3的两个零点，贝U {a n }的前9项 和等于（ ） A. -18B . 9C. 18 D . 364.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）5. 下列关于命题的说法错误的是（ ）A.命题“若x 2 -3x • 2 =0，则x =2 ”的逆否命题为“若A. 31 C.-2D.x = 2，贝U x 2 -3x 2 = 0 ”;BB. “ a =2 ”是“函数f（x） =log a x在区间（0,上为增函数”的充分不必要条件;若命题 p: n N , 2n 1000，则—p: -n N , 2n1000 ；7.已知向量OA 与OB 的夹角为60°，且|OA|=3, |OB^2，若OC ^mOA nOB ,寸），若二取3,其体积为13.5 （立方寸），则图中的X 为（（第8邈图）A. 2.4 B . 1.8 C . 1.6 D . 1.2X -1 I9.设不等式组 x - y 乞0，表示的平面区域为 M ，若直线y 二kx - 2上存在M 内的点，则x y 空4实数k 的取值范围是（ ）A [1,3]B .（」：,1]U 【3,二）C. [2,5]D.（」：,2山[5,二）10.已知三棱锥P - ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中ABC 是正三角形，PA —平面 ABC , PA =2AB =2.3，则该球的表面积为（） A. 8 二B . 16二C. 32二D. 36■:J52211.已知离心率为 —的双曲线C : ~ 1（a 0, b 0）的c.D. 命题"-.X 三（- ：：,0） , 2X ：：：3x ”是假命题. 6.（x -1）（x 2）6的展开式中 4X 的系数为（A. 100 B . 15 C.-35 D . -220OC_AB ，则实数m 的值为n1 B.—41 A.-68•中国古代数学著《九章算术》 C. 6 D . 4中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位:左、右焦点分别为F2, M2 a2b2是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM _MF2, O为坐标原点，若S.p M F2 =16，则双曲线C的实轴长是( )A. 32 B . 16 C . 8 D . 412.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(一1,0)中心对称，其导函数f'(x)，当X ::：-1 时，(x • 1)[f (x) (x 1)f '(x)] < 0，则不等式xf (x -1) • f (0)的解集为( ) A. (1,」;) B. (_：：,_1) C. (—1,1) D.(-：：,第u卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)―313. 设v为钝角，若sin(八§)，则COST的值为 ____________ .14. 过抛物线C : y2 = 4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B，若AF = 4BF ，贝U直线I的斜率是_______ .15.已知各项不为零的数列｛a n｝的前n项的和为S n，且满足S n「a n -1，若｛a n｝为递增数列，贝y ■的取值范围为__________ .216.若实数a, b, C, d 满足2a g = 3C ~2=1，则(a - c)2■ (b - d)2的最小值b d三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知f(x) 2 x sin x cos x -(1 )求f(x)的单调增区间;(2)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A为锐角且f(A) ,b，c = 4，2求a的取值范围.18.如图，在梯形ABCD 中，AB // CD，AD = DC =CB = 2，Z ABC =60°，平面ACEF —平面ABCD，四边形ACEF是菱形，• CAF =60。