高中物理总复习：功和功率
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物理总复习：功和功率
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、功
1、功的定义
一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。
2、做功的两个必要因素
力和物体在力的方向上发生的位移，缺一不可。
3、功的物理意义：功是能量变化的量度
能量的转化跟做功密切相关，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度。
4、公式
（1）当恒力F的方向与位移l的方向一致时，力对物体所做的功为WFl。
（2）当恒力F的方向与位移l的方向成某一角度时，力F物体所做的功为cosWFl．即力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移的夹角的余弦这三者的乘积。
5、功是标量，但有正负
功的单位由力的单位和位移的单位决定。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
要点诠释：一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值）。这两种说法在意义上是相同的。例如竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了－6J的功，可以说成球克服重力做了6J的功。
由cosWFl，可以看出：
①当=0时，cos1，即WFl，力对物体做正功；
②当090时，0cos1，力对物体做正功。
①②两种情况都是外界对物体做功。
③当90时，力与位移垂直，cos0 0W，即力对物体不做功，即外界和物体间无能量交换；
④当90180时，cos0，力对物体做负功,也称物体克服这个力做了功；
⑤当cos180时，cos1，此时WFl，即力的方向与物体运动位移的方向完全相反，是物体运动的阻力。
④⑤两种情况都是物体对外界做功。
6、合力的功
要点诠释：（1）当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力的合力对物体所做的功，等于各个力分别对物体所做功的代数和，即123+WWWW合
（2）也可先求合外力，再求合外力的功；先求出物体受到的合力F合，再由cosWFl合合求解，但应注意应为合力与位移l的夹角，F合在运动过程中保持不变。
（3）也可用动能定理求解。
7、变力做功的求解方法
（1）用动能定理或功能关系（功是能量转化的量度）
（2）将变力的功转化为恒力的功
当变力的功率P一定时，可用WPt求功，如机车牵引力做的功。
【典型例题】
类型一、恒力做功的分析和计算
恒力做功的计算一般根据公式cosWFl，注意l严格的讲是力的作用点的位移。
例1、用50 N的力拉一个质量为10kg的物体在水平地面上前进，如图所示．若物体前
进了10m，求：（1）拉力F做的功W1；
（2）重力G做的功W2；
（3）如果物体与水平面间动摩擦因数＝0.1，物体克服阻力做功W；
（4）外力做的总功。（sin37o=0.60，cos37o=0.80，g=10m/s2）
【答案】400J； 0； 70J 330J
【解析】（1）拉力的功：1cos5010cos37400WFlJJ 做正功。
（2）重力G做的功: 沿重力方向没有位移，20W 重力不做功。
（3）物体克服阻力做功：摩擦力fN sin37NmgF (sin37)7fmgFN 所以 3cos18071070WflJJ做负功。
（4）外力做的总功：支持力不做功。 13=40070330WWWJ总
或者： 求合外力的功。合外力：=cos37500.8733FFfN合 =3310330WFlJ合合
例2、(2014 全国Ⅱ卷)一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )
A．WF2＞4WF1，Wf2＞2Wf1
B．WF2＞4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2＜4WF1，Wf2＝2Wf1
D．WF2＜4WF1，Wf2＜2Wf1
【答案】C【解析】因物体均做匀变速直线运动，由运动学公式得前后两个过程的平均速度是2倍关系，那么位移x＝t也是2倍关系，若Wf1＝fx，则Wf2＝f·2x故Wf2＝2Wf1；由动能定理2112FWfxmv和2212(2)2FWfxmv得WF2＝4WF1－2fx<4WF1，C正确．
考点二、功率
1、功率是描述力做功快慢的物理量，是功与所用时间的比值。
定义式WPt ① 导出式cosPFv②（其中中F和v两矢量的夹角）
①中求出的P为平均功率，若功率一直不变，亦为瞬时功率。②式中若v为平均速率，则P为平均功率；若v为瞬时速率，则P为瞬时功率。一般情况下，求平均功率使用WPt，求瞬时功率使
用cosPFv。
2、功率的单位是瓦特。
3、额定功率和实际功率
额定功率是指任意机械在正常条件下可以长时间工作而不损坏机械的最大输出功率，实际功率是指机械实际工作时的功率。
一般情况下，实际功率可以小于或等于额定功率，而在特殊情况下实际功率可以超过额定功率，只能是较短时间，但尽量避免。
4、力的功率
当力F和速度v在一条直线上，力的功率PFv；当F与v垂直，则F的功率P=0；当F与v成任意夹角，则F的功率cosPFv。
5、机车的启动的两种方式：
（1）机车以恒定的功率启动
要点诠释： 机车以恒定的功率启动后，若运动过程中所受阻力f不变，由于牵引力PFv，随v增大，F减小，根据牛顿第二定律FfPfammvm，当速度v增大时，加速度a减小，其运动情况是做加速度减小的加速运动，直至Ff时，a减小至零，此后速度不再增大，速度达到最大值而做匀速运动，做匀速直线运动的速度是mPvf。这一过程的vt关系如图所示。
（2）车以恒定的加速度启动
要点诠释：由Ffam知，当加速度a不变时，发动机牵引力F恒定，再由PFv知，F一定，发动机实际输出功率P随v的增大而增大，但当P增大到额定功率以后不再增大，此后，发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力F减小，直至Ff时，a＝0，车速达到最大值mPvf额，此后匀速运动。
在P增至P额之前，车匀加速运动，其持续时间为00)PPvtaFamafa额额（
（这个0v必定小于mv，它是车的功率增至P额之时的瞬时速度）。计算时，利用Ffma，先算出F，再求出0PvF额，最后根据vat求0t；在P增至P额之后，为加速度减小的加速运动，直至达到mv。
这一过程的vt关系如图所示。
注意数形结合：第一段牵引力（加速度）恒定，就根据牛顿第二定律和运动学求解，属于恒力做功；第二段，变力做功，根据动能定理求解。
类型二、变力做功的计算
将变力做功转化为恒力做功，常见的方法有三种：
1．如力是均匀变化的可用求平均力的方法将变力转化为恒力。
2．耗散力（如空气阻力）在曲线运动（或往返运动）过程中，所做的功等于力和路程的乘积，不是力和位移的乘积，可将方向变化大小不变的变力转化为恒力来求力所做的功。
3．通过关联点的联系将变力做功转化为恒力做功。
例3、人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50 kg的重物，如图所示，开始时绳与水平方向夹角为60，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动2lm而到达B点，此时绳与水平方向成30角，求人对绳的拉力做了多少功？(取210/gms）
【答案】 732WJ
【解析】人对绳的拉力的方向时刻在变化，而已知的位移l是人沿水平方向走的距离，因此不能用cosWFl直接求拉力的功，但人对绳的拉力做的功和绳对物体的拉力做的功是相等的。在重物匀速上升过程中，绳的拉力恒等于重力。
设滑轮距人手的高度为h，
人走过的距离l tan30tan60BAhhlxx ① 求得 3h
绳与水平方向夹角为60时，绳长为1l
1sin60hl 1sin60hl
绳与水平方向夹角为30时，绳长为2l
2sin30hl 2sin30hl
人由A到B的过程中重物上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，
即 21sin30sin60hhhll ② 求得 2(31)h
而人对绳子拉力做功Wmgh ③
由①②③式代入数据解得 732WJ。
【变式】（2015 海南卷）如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端登高。质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g，质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为（ ）
A. mgR41 B. mgR31 C. mgR21 D. mgR4
【答案】C【解析】当质点由P点滑到Q点时，对轨道的正压力为FN=2mg，由牛顿第二定律得
2QNvFmgmR，2QvgR。对质点自P点滑到Q点应用动能定理得：2102fQmgRWmv，得：12fWmgR，因此，A、B、D错，C正确。
类型三、功率的计算
例4、如图所示，质量m=2㎏的木块在倾角37的斜面上由静止开始下滑，木块与
斜面间的动摩擦因数为0.5，(已知210/gms，sin370.6，cos370.8)
求：（1）前2s内重力做的功；
（2）前2s内重力的平均功率；
（3）2s末重力的瞬时功率。
【答案】（1）48J （2）24W（3）48W
【解析】可先由sinWFl来计算重力的功，再由WPt来计算重力的平均功率。由PFv求重力的瞬时功率。
（1）木块的加速度 sincosmgmgma
2sincos2/aggms
前2s内木块的位移 2142xatm
所以，重力在前2s内做的功为sin48WmgxJ
（2）重力在前2s内的平均功率为 24WPWt
（3）木块在2s末的速度4/vatms
重力在2s末的瞬时功率 sin48PmgvW。
注意：公式中 cosPFv 夹角指的是力与速度方向夹角，本题重力与速度的夹角为90，所以计算式中是 sin。也可以理解为重力沿斜面方向的分力乘以速度（或竖直分速度乘以重力）。
【变式1】从空中以40m/s的初速度平抛一个重为10N的物体，物体在空中运动3s落地，不计空气阻力，取g=10m/s2，则物体落地时重力的瞬时功率是：（ ）
A、400W B、300W C、500W D、700W
【答案】B
【解析】落地时竖直方向的速度为330/yvgtms
重力的瞬时功率 300yPmgvW
【变式2】质量为m=5. 0㎏的物体，以10 m/s的速度水平抛出，求抛出后第1s内重力做功的平均功率和抛出后第1s末的瞬时功率。( 取210/gms）
