新教材人教版高中数学必修第一册 第二章 知识点总结

第二章 直线和圆的方程

章末总结

体系构建

题型整合

题型1 直线的倾斜角与斜率

例1已知直线𝑙 过𝑃(−2,−1) ，且与以𝐴(−4,2) ，𝐵(1,3) 为端点的线段𝐴𝐵 相交，则直线𝑙 的斜率的取值范围为 .

答案： (−∞,−32]∪[43,+∞)

解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，

由已知得直线𝑃𝐴 的斜率𝑘𝑃𝐴=−32 ，直线𝑃𝐵 的斜率𝑘𝑃𝐵=43 ，由图可知，当直线𝑙 由𝑃𝐵 变化到与𝑦 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90∘ ，故斜率的取值范围是[43,+∞) ；当直线𝑙 由与𝑦 轴平行的位置变化到𝑃𝐴 时，它的倾斜角由90∘ 增大到𝑃𝐴 的倾斜角，故斜率的变化范围是(−∞,−32] .

综上可知，直线𝑙 的斜率的取值范围是(−∞,−32]∪[43,+∞) .

方法归纳 求直线的倾斜角与斜率的注意点：（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断倾斜角的取值范围.（2）当直线的倾斜角𝛼∈[0,π2) 时，随着𝛼 的增大，直线的斜率𝑘 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角𝛼∈(π2,π) 时，随着𝛼 的增大，直线的斜率𝑘 为负值且逐渐变大.

迁移应用

1.（2021四川绵阳南山中学高二期中）经过点𝑃(0,−1) 作直线𝑙 ，若直线𝑙 与以𝐴(1,−2) ，𝐵(2,1) 为端点的线段𝐴𝐵 相交，则𝑙 的倾斜角的取值范围是( )

A.[0,π4] B.[π4,3 π4]

C.[3 π4,π) D.[0,π4]∪[3 π4,π)

答案：𝐷

解析：设直线𝑙 的斜率为𝑘 ，倾斜角为𝛼 ，

由题意知𝑘𝑃𝐴=−1−(−2)0−1=−1 ，𝑘𝑃𝐵=−1−10−2=1 ，

由图可知，−1≤𝑘≤1 ，所以0≤𝛼≤π4 或3 π4≤𝛼＜π .

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1 / 1 人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

第二章 基本初等函数

一、指数函数

(一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念:

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作0n=0。

注意:(１)()nnaa

(２)当 ｎ是奇数时，nnaa ，当 n是偶数时,,0||,0nnaaaaaa

２.分数指数幂

正数的正分数指数幂的意义,规定：(0,,,1)mnmnaaamnNn且

正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)mnmnaamnNna且

0的正分数指数幂等于０,0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

(1)(0,,)rsrsaaaarsR

（2）()(0,,)rsrsaaarsR

(3）(b)(0,0,)rrraababrR

注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分;如122[(12)]1221而应=

(二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数xya 叫做指数函数,其中x是自变量，函数的定义域为Ｒ.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.即 a>0且a≠１

2、指数函数的图象和性质

0＜a<1 a>1

图

像

定义域R ， 值域（0,＋∞）

(1）过定点（0，1)，即x=0时，ｙ=1 --

1 / 1

性质 (2)在R上是减函数 （2)在R上是增函数

(3)当ｘ>0时,0

当ｘ<０时，y>1 （3)当x>0时,y>１；

当x<0时,0

图象特征 函数性质

共性 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R

函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+

图象关于原点和ｙ轴不对称 非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，１) 过定点（0，1)

0

在第一象限内的图象纵坐标都小于１ 当ｘ>0时,0

在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1

图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，

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必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.1 等式性质与不等式性质

1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法

0abab；

0abab；

0abab。

2.恒成立的不等式：一般地，Rba,，有abba222，当且仅当ba时等号成立。

说明：（1）指出定理适用范围：Rba,；（2）强调取“”的条件ba。

3.等式的性质：

性质1：若a=b，则b=a;

性质2：若a=b,b=c,则a=c;

性质3：若a=b，则a±c=b±c;

性质4：若a=b，则ac=bc;

性质5：若a=b，c≠0，则cbca

4.不等式的性质：

性质1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

性质2：若ab，bc，则ac。不等式的传递性。

性质3：若ab，则acbc。

性质4：如果ba且0c，那么bcac；如果ba且0c，那么bcac。

性质5：若,,abcdacbd且则。

性质6：如果0ba且0dc，那么bdac。

性质7：如果0ba， 那么nnba )1(nNn且。

2.2 基本不等式

1. 如果ba,是正数，那么abba2（当且仅当ba时取“=”）

说明：（1）这个定理适用的范围：,abR；

（2）我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（3）对于两个正数ba,，①若Mba为定值，则22)2(2Mbaab）（，当且仅当ba时，ab有最大值；

②若mab为定值，则mabba22，当且仅当ba时，a+b有最小值

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式：一般地，我们把只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数，a≠0.

第二章 等式与不等式

2．1 等 式 ............................................................................................................. - 1 -

2．1.1 等式的性质与方程的解集 ....................................................................... - 1 -

2．1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 ......................................... - 11 -

2．1.3 方程组的解集 ......................................................................................... - 19 -

2．2 不 等 式........................................................................................................ - 30 -

2．2.1 不等式及其性质 ..................................................................................... - 30 -

2．2.2 不等式的解集 ......................................................................................... - 41 -

2．2.3 一元二次不等式的解法 ......................................................................... - 49 -