高中数学人教版A必修二第一章知识点总结
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高中数学人教版A
必修二
数学
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必修二第一章知识总结
一、空间几何体
（一） 空间几何体的结构
1、棱柱的结构特征：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
注意：①两底面是多边形平行且全等；
②侧面是平行四边形；
③侧棱互相平行且相等。
补充：①平行六面体：底面是平行四边形的棱柱。
②直平行六面体：侧棱和地面垂直的平行六面体。
③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
④正棱柱：底面为正多边形的直棱柱。
例题1 下列四个命题中，假命题为（ A ）
A、棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 （正方体、长方体）
B、棱柱的各个侧面都是平行四边形
C、棱柱的两底面是全等的多边形
D、棱柱的面中，至少有两个面互相平行 3
例题2 下列说法正确的是（D） P8
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
2、棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
注意：①底面是多边形；
②侧面是三角形；
③侧棱交于顶点。
补充：正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
特征：① 底面是正多边形 ②侧面4
是全等等腰三角形，斜高都相等 ③正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的投影也组成一个直角三角形。如Rt∆SOM和Rt∆SOC。
例题3 三棱锥P - ABC，PA =PB = CA = CB = 5,AB = 6,PC长度的取值范围是（ D ）。
A、（0,4） B、（0,5） C（0,6） D（0,8）
解析：
3、棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
注意：①两底面平行且相似；
②侧面是梯形；
③侧棱延长并交于一点。
例题4 下列三个命题，其中正确的是（ A ）
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；（平5
行底面）
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；（延长交于一点）
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。（延长交于一点）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
4、圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
注意：①两底面是全等的圆；
②侧面是曲面；
③轴平行于母线。
5、圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
注意：①顶点投影在底面圆心；
②侧面是曲面；
③母线与轴交于顶点。
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6、圆台的结构特征：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与
截面之间的部分叫做圆台。
注意：①上下两个圆相似；
②侧面是曲面；
③母线延长线交于一点。
7、球的结构特征：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球。
例题5 下列命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台。
其中正确命题的个数为（ A ）
A、0 B、1 C、2 D、3 7
8、台体与锥体的比例关系：由台体的概念知，台体的上、下底面相似。
例题6 圆锥的底面半径为1cm，高为2cm,其中有一个内接的正方体，则这个内接的正方体的棱长为多少？22
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（二） 空间几何体的三视图和直观图
1、中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
2、平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，投影线是平行的，投影线正对着的投影面，叫做正投影，否则就叫斜投影。
例题7 下列实例中，不是中心投影的是（ A ）
A、 工程图纸 （按比例缩小的） B、小孔成像 C、 相片 D、人的视觉
3、斜二测画法：平行于y轴一边边长减半，不平行的边长不变，x轴、y轴与图形中心点所形成的夹角为450（或1350）书P16
例题8 利用斜二测画法得到的 9
①三角形的直观图一定是三角形；（基本形状不变）
②正方形的直观图一定是菱形；（减半）
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；（上下底边边长不相等）
④菱形的直观图一定是菱形。（减半）
以上结论正确的是 （ B ） 书P19
A、①② B、 ① C、③④ D、①②③④
（三）空间几何体的表面积与体积
1、柱体、椎体、台体、球的表面积与体积
（1）圆柱的表面积公式：S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)
( 2 ) 圆锥的表面积公式：S=πr2+πrl=πr(r+l)
展开图形中扇形的中心角: θ=rl×3600
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（3）圆台的表面积公式：S=πr2+πr‘2+πrl+πr‘l
展开图形中扇形的中心角: θ=r−r′l×3600
(4)柱体、椎体与台体的体积：
①柱体的体积：V=Sh 圆柱的体积：V=πr2h
②椎体的体积：V=13Sh 圆锥的体积：V=13πr2h
③台体的体积：V=13(S′+√SS′+S )h
圆台的体积：V=13πh(r2+rr′+ r′2 )
(5) 球的表面积和体积：
表面积：S=4πr2
体积：V=43πr3
例题9 已知一个棱长为√3的正方体的顶点都在球面上，则球的11
表面积等于（ D ）。
A、4π B、6π C、8π D、9π
解析：由正方体的顶点都在球面上，由外接球的定义可知，正方体的体对角线为该正方体的外接球的一条直径。令外接球半径为 r，则直径为2r,底面正方形对角线为√6，正方体的对角线为3，则半径r=32.故球的表面积为9π。
例题10 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ D ）。
A、 𝟑√𝟑+𝟒𝟑π B、√𝟑+𝟒𝟑π C、√𝟑+𝛑𝟔 D、𝟑√𝟑+𝛑𝟔
解析：由三视图知该几何体为正三棱柱和球的组合体，故该几何体的体积为：等边三角形高为√𝟑，面积为√𝟑，V=Sh= 𝟑√𝟑，球体积：V=43πr3= 43π123=𝛑𝟔。 12
（四）知识点补充
1、圆锥内切球的公式（圆锥内切球指的是与圆锥的母线和底面都相切的球） R：内切球的半径 r:圆锥的半径 h：圆锥的高
2、直观图与原图形面积的比例关系：
3、等边三角形边长为a，等边三角形的高为a23 rhrhR22r直观图原图形SS22
