数列求和公式七个方法

数列求和的七种基本方法在数学中，数列是一系列按一定规律排列的数值，求和则是将数列中的所有数值相加的运算。

数列求和是数学中非常重要的一部分，它不仅在数学中具有广泛的应用，也在其他学科如物理学、经济学等中发挥着重要的作用。

在数列求和问题中，有许多种基本的方法可以帮助我们解决问题。

一、综合物理方法（高中物理方法）：物理学中，我们经常遇到等差数列求和的问题，例如计算平均速度。

我们可以利用物理公式来求解数列的和。

假设一个运动物体在时间t内以a的加速度匀加速运动，初速度为v0，则末速度v= at + v0。

利用等差数列的思想，将时间划分为无穷小时间片段dt，则位移ds= (at + v0)dt。

将位移累加起来，即可得到整个时间段内的位移S。

我们可以通过对时间积分求和来解决这个问题。

二、找到规律在数列求和的问题中，我们常常需要根据数列的规律来进行求和。

数列的规律可以通过观察数列的前几项，并进行逻辑推理来得出。

有时，根据数列的规律，我们可以将数列拆分成若干个简单的数列，从而方便我们进行求和。

例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，我们可以将其拆分为两个数列，一个是由首项、末项构成的数列(an = a1 + (n-1)d)，另一个是由末项、首项构成的数列(a1 = an - (n-1)d)。

我们可以对这两个数列进行求和，然后将结果相加，即可得到等差数列的和。

同样地，对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以将其拆分为两个数列，一个是由首项、末项构成的数列(an = a1 * q^(n-1))，另一个是由末项、首项构成的数列(a1 = an / q^(n-1))。

我们可以对这两个数列进行求和，然后将结果相加，即可得到等比数列的和。

三、利用前缀和前缀和也叫做累加和，是指从数列的第一项开始，逐项进行求和，得到的数列。

求和前缀和的过程可以通过递推公式来表示。

对于一个数列{a1, a2, a3, ..., an}，它的前缀和表示为{S1, S2, S3, ..., Sn}，其中Si表示数列的前i项的和。

求数列前N项和的七种方法一、等差数列求和公式：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。

例如：1，3，5，7，9就是一个等差数列，而2，4，5，8不是等差数列。

等差数列求和公式是:Sn=n(A1+An)/2，其中Sn是前n项和，A1是数列的首项，An是数列的末项，n是项数。

例如：求等差数列1，3，5，7的前N项和。

首先计算n(A1+An)，n=4，A1=1，An=7、则n(A1+An)=4(1+7)=32，然后除以2得16，即Sn=16二、等差数列前N项和的递推法：递推法是指根据数列的递推关系，通过已知项推导出下一项的方法。

对于等差数列来说，已知首项A1和公差d，就可以通过递推关系An=A1+n-1d推导出后面的项。

然后将这些项相加得到前N项和。

例如：求等差数列1，3，5，7的前N项和。

首先确定首项A1=1，公差d=2，然后根据递推关系An=A1+n-1d，推导出An=1+n-1*2=2n-1、然后将这些项相加，即可得到前N项和。

三、等差数列前N项和的求和公式：等差数列求和公式是对等差数列进行变形和推导后得到的一种公式。

公式为：Sn=n(A1+An)/2例如：求等差数列1，3，5，7的前N项和。

首先计算n(A1+An)，n=4，A1=1，An=7、则n(A1+An)=4(1+7)=32，然后除以2得16，即Sn=16四、等差数列前N项和的差化累加法：差化累加法是一种对等差数列进行变形求和的方法。

首先通过将待求和的数列进行差化处理，即将数列中的每一项都减去前一项得到新数列，然后将新数列进行累加，最后再加上原数列的首项，即可得到前N项和。

例如：求等差数列1，3，5，7的前N项和。

首先通过差化处理得到新数列：2，2，2、然后将新数列进行累加得到6，最后再加上原数列的首项1，即可得到前N项和7五、等差数列前N项和的中项相加法：中项相加法是一种对等差数列进行变形求和的方法。

对于一个等差数列，可以将数列的每一项与其对应的倒数第N项相加，得到的和恒定为数列的前N项和。

数列求和的七种方法技巧包括：
1. 公式法：适用于等差数列、等比数列等基本数列的求和，可以直接使用求和公式进行计算。

2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，再除以2得到原数列的和。

3. 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，通过错位相减的方式将原数列转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行计算。

4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得中间项相互抵消，从而求得数列的和。

5. 分组法：将数列中的项进行分组，然后分别求和，最后得到整个数列的和。

6. 乘公因式法：适用于具有公因式的数列，将公因式提取出来，然后进行求和。

7. 构造法：通过构造新的数列或方程，将原数列的求和问题转化为其他形式的问题进行求解。

以上是数列求和的七种方法技巧，可以根据具体情况选择适合的方法进行计算。

精心整理数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和法， 1、2⎩3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.（利列.[例{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项②122+-n n[例nn n n n（反序）又由m n n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n nn n n nn n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②得题1已知函数 （1）证明：；（2）求的值（2所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）)13(nn -2)13(nn + [例k nk ∑=12)1(22+n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n[例[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121(211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n nS n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例n tan （裂]}答案：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵)180cos(cos n n --=（找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝ 0[例2002a +(1+a [例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++= 由等比数列的性质q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++[例（找 （分＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ )4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n（设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞∞∞+-+-=-+111(8)11(4))(1(n n a a n （分组、裂项 1．是等比数列；2．．3⑵设。

高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。

2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。

例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。

3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。

对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。

这种数列求和方式叫做错位相减。

4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。

5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。

6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。

7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。

高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cosn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个 （找通项及特征） ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料[例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c nnn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；。

数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。

下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。

一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。

二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。

三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：οοοοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1οοοοοοοοο-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝οο1cot 1sin 1⋅＝οο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos οοοn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k 43421321个个 （找通项及特征） ∴ 32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(9113214434421个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝418)4131(4⋅++⋅＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；。

数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。

7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求和：①321ΛΛ个n n S 111111111++++=②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a Λ321Λ个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x S Λ n xx x x x x n n 2)111()(242242++++++++=ΛΛ（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=Λ2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n ΛΛΛ)25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。

1、2、3、5、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n(a1 a n) “ n(n - 1)dna1 d2等差数列求和公式:等比数列求和公式:S nS n=^n(n 1)2nS n 八k3k 4［例1］已知log 3 x解：由log3x* a1 (1 -q.1-qa i —^n qi -q(q =1)、& 八k2n(n 1)(2n 1)-1 2 3，求x x x 'I Xn项和.log 23-1=log 3 -log3 2 =log 2 31x =—2由等比数列求和公式得S n = x x2x3(利用常用公式)［例2］设S= 1+2+3+…+n, n€ N,求f (n)解: 由等差数列求和公式得S n•••当题1.等比数列S nf(n) ,n 32)S n 1x(1 x n)1 -xSn1 1齐-班)_ 1丄1一1 —歹2(n 32)Sm的最大值.1」n(n1), S22n 34n 641= -(n 1)( n 2)2(利用常用公式)1n 34 64(、n 8 )250n J n— 8、n ——，即 n= 8 时，f (n)(8max1502 2J 的前n项和 S n= 2n- 1,则Ll'i 〔4—1练习题1 已知 1 f ，求数列｛ a n ｝的前n 项和S. 答案爲二〃2" _ 1$ _ 22心二泌-2"+1 答案： -1 3 5 加-1■ ■ ' '■■'・' ______ ■ ■ ■练习题2 221V2"的前n 项和为 ____题 2.若 12+22+…+(n -1) 2=an 3+bn 2+cn ,贝H a = , b = , c = __________(卑T)用•(沏-1) 2h-划+罔 1 1J 解: 原式= •」 . 答案：_ _ 1 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列｛a n • b n ｝的前n项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列 • ［例 3］求和：S n =1 3x 5x 2 7x 3（2n -1）x nJL.............. ①解：由题可知，｛ （2 n-L ）x n J ｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛x n」｝的通项之积设xS n =1x 3x 2 5x 3 • 7x 4心……爲（2n- 1）x n..................... .②（设制错位） ①—②得（1 -x ）^ =1 2x 2x 2 2x 3 • 2x 4「一 2x nJ -（2 n-1）x n（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n J1 — X(1 _x)S n=1 2x(2n _ 1)x nS n =(2n - 1)x n 1 -(2n 1)x n (1 x)(1-x)2［例4］求数列2, 42 , 63 ,，前n 项的和.2 2 2 2解：由题可知,出｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛2n｝的通项之积设S nWn2n①•②1 2 2 ①-②得（一評匸歹F IF-/n（设制错位） （错位相减）S n 1^_2nJ2n-4 -答案:— 、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） 数列相加，就可以得到 n 个（a 1 a n ）. ［例 5］求证：c ： 3C ： 5C ； （2n 1）C ： =（n 1）2n ，再把它与原证明：设 S n =C n ■ 3C 15C^. . (2n . 1)C ： .............. ..①把①式右边倒转过来得S n =(2n 1)C ： (2 n-1)C ：「3C ： C ：又由o m 二可得1n 1 nS n -(2n 1)C n (2n- 1)C n 3C n - C n .......... . ……..②① + ②得 2S n =(2n+2)(C ： +C ： + …y +C ：) = 2(n +1) 2n5 =(n 1) 2n［例 6］求 sin 1 sin 2 sin 3 飞in 88 sin 89 的值 （反序）（反序相加）(2) 2 ' 2 ' 2 ' 2 ••• 2 " 解：设 S = sin 1 sin 2 sin 3 亠 亠 sin 88 sin 89 .................... ① 将①式右边反序得 2 0 2。

解：由log3 x-log 2 3log 3 x log 3 2数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法小 n⑻ a n) n(n 1),1、等差数列求和公式：S n - — na i d2 22、等比数列求和公式：S nna1a1(1 q n)1 qn 13S n k 丁5 1)k 12n31 2 5S n k ［匚1)］k 1 2(q 1)a1 a.q1 q(q 1)4、S nnk2k 11—n(n 1)(2 n 1)6［例1］已知log3 x- , 2 ，求x xlog 2 3 x n的前n项和.2解：由题可知,2n 2n｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛ + ｝的通项之积2n由等比数列求和公式得23S n X Xxnx(利用常用公式)“n 、1(1x(1 x ) 21)2n l 1 — 12(2n 1)x n 1 (2n 1)x n (1 x)(1 x)2［例4］求数列2)^2^63,, 2n,前n 项的和.2 2 2 2［例 2］设 S n = 1+2+3+ …+n , n € N *,求 f(n)S n(n 32)S n 1的最大值.解：由等差数列求和公式得S n1 2n(n 1)，S n1-(n 1)( n 2) 2(利用常用公式)S n"f(门)(n 32)S n 1n n 2 34n 641 ""—64 n 34 -n5050•••当 n 8 ，即 n = 8 时，f (n)V8max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a n • b n ｝的前n项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列• ［例 3］求和：S n 1 3x 5x 2 7x 3(2n 1)x n 1 .................................... ①解：由题可知，｛(2n 1)x n1｝的通项是等差数列设 xS n 1x 3x 2 5x 3 7x 4 (2n ①一②得(1 x)S n 1 2x 2x 2 2x 3再利用等比数列的求和公式得：(1 x)S n｛2n — 1｝的通项与等比数列｛ x n 1｝的通项之积1)x n ....................................... ②(设制错位) 2x 42x n 1 (2n 1)x n (错位相减)n 11 x 1 2x (2n 1)x n1 xS n数列相加，就可以得到 n 个（a , a n ）.①+②得2S (sin 21cos 21 ) (sin 2 2 cos 2 2 )S = 44.5证明：设S nC 03C 1 5C 2(2n 1)c n ............................................. …•… •①把①式右边倒转过来得S n(2n 1)C：(2n 1)c n 13c nC 0C n（反序）又由 mC nC ：m 可得S n(2n 1)C 0(2n 1)c n 3C ；1C n............. C n..……②①+②得2S n (2n2)(C 0 c nn 1C nC n n ) 2(n1) 2n（反序相加）S n(n 1) 2n2求 sin 1 sin 22 sin 23sin 288・2 “sin 89 的值解：设S sin21sin 22 ・2 sin > 3sin 2 88sin 2 89 •… ....①将①式右边反序得S sin 289・2sin 88sin 23sin 22.2 .sin 1 •… ....•② （反序）［例5］求证：C 03C：5C ；(2n 1)C ：(n 1)2n又因为 sinx cos(90x), sin 2x cos 2 x 1设S n1 S n24尹4①一②得（1 1)S n2S n2尹1尹 n 2 2* i2n列 ........2n刘………2 2 T3 2 2 2n 尹2n（设制错位）（错位相减）三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原(反序相加)2 2(sin 89 cos 89 ) = 89题 1 已知函数1）证明：（2）求的值.解：（ 1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以练习、求值: 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 1 4, —2 a (2 a 1 ［例7］求数列的前n 项和：1 1,— a1 解：设 S n (1 1) ( 4) a将其每一项拆开再重新组合得1S n (1 一a 1 ~~2a当a = 1时, S n7,7) 1F) (1 a(3n 1)n _ 2 - (丄 n 1 a (3n 1)n23n 2) 3n 2)(分组) (分组求和)11丄当a 1 时，S n」(3n 1)n1丄a ［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n项和. (3n 1)n2解：设a k k(k 1)(2k 1) 2k33k2nS n k(k 1)(2kk 1 1)n(2k313k2k)将其每一项拆开再重新组合得n3 S n= 2 kk 1 k2（分组）=2(1323n3) 3( 1222n2) (1 2 n)n2(n 11)22 n(n 1)(2 n 1) n(n21) （分组求和）n(n 1)2(n 2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1) a n f(n 1) f(n) (2)sin1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3) an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 112(2n 112n 1)(5) an n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (na nn 2 1n(n 1) 2n2(n 1) nn(n 1)12n1n 2n 11(n 1)2n，则S" 1(n 1)2"(7)(8) a n (An B)(A n C) C B(An B An C)a n 一----- I n 1 mn 、n 11 1[例9]求数列 -------1 - 的前n 项和..2 .2.3. n 、n 1 [例 10] [例 11] 解: :设a n则S n..n（裂项）（裂项求和）=(2 ,1) 在数列｛a n ｝中, 解:a n(,3、、2）1 .. . n)，又b n-—，求数列｛b n ｝的前n 项的和.1 2n 1 n2 n n 1 2 2数列{b n }的前n 项和1 1 -)(22 a nb nS n8[(1 =8(11 3)8nn 1 1 (3 1 4)1 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os891 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os89si n1tan(n 1) tan n)sn cos(n 1)1 1 1cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89 1 {(ta n 1 tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3n求证:设S••• Stan 2 ) [tan 89 tan 88 ]}sin 111)=cos1 sin 211(tan 89 sin 1tan 0 )=—sin 1cot1 =害 sin 21原等式成立（裂项）（裂项求和）（裂项） （裂项求和）答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n.［例12］求cos1 ° + cos2° + cos3° + •…+ cos178° + cos179° 的值.解：设S n= cos1 ° + cos2° + cos3° + ••• + cos178° + cos179°cosn cos(180 n ) 找特殊性质项）二S n= (cos1° + COS179 ) + ( cos2° ++ ( cos89°=0 + cos91 °) + cos90 °cos1 78°) + (cos3° + cos177 °) + •…(合并求和)［例13］数列{a n}: a i 1,a2 3,a3 2,a n 2 a n 1 a n ，求S2002.解:设S2002= a1 a2 a3 a20021, a2 3, a3 2, a n 2 a n 1 a n 可得a7 a41,1, a5a8 3, a9a6k 1 1, a6ka6k 1 a6kS2002 = a13,3,a6ka6 2,2, a10 1, a11 3, a12 2,a6k 33 a6ka2 a32, a6k 4a6k 5a20021, a6k 5 3, a6k 6a6k 6 找特殊性质项）合并求和）[例 i5]求i ii iii iii i 之和.n 个i解：由于iiik 个 i](io k 9i)（找通项及特征）i ii iiiiii in 个i=〔(IO 1i)9Z (io 2i) 9 ](io 3 i) 9!(io n i) 9（分组求和）1 1 2=9(io ioio 3iio n)9(i ii)由等比数列的性质 m n p qa m a n a p a q和对数的运算性质 log a M log a N log a M N 得=io七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n 项和，是一个重要的方法.(a i993 a i994a i998 )a i999a 2oooa 2ooi a 2oo2=a i999a 2oooa 2ooia 2oo2=a 6k 1a 6k 2a 6k 3a 6k 4=5=(a i a 2 a 3@6k 1a 6k 2a 6) (a 7a 8a i2)a 6k 6 )［例14］在各项均为正数的等比数列中，若a 5a 6 9,求 log 3a i log 3 a 2 log 3 a io 的值.解：设 S n log 3 a 1 log 3 a 2log 3 a io （找特殊性质项）S n (log 3 a i log 3 a io ) (log 3 a 2 log 3 a g ) (log 3 a 5 log 3 a 6)（合并求和）=(log 3a i a io ) (log 3 a 2 a g ) (log 3 a 5 a 6)=log 3 9log 3 9log 3 91 10(10n 1) n9 10 1 9 =丄(10n1 10 9n)81［例16］已知数列｛a n｝: a n 8(n 1)(n,求3) n(n11)(a n a n 1)的值•解：T (n 1)(a n a n 1) 8(n 1)[- 11] （找通项及特征）(n 1)(n 3) (n 2)( n 4)=8 [1 1] （设制分组）(n 2)(n 4) (n 3)(n 4)1 1 1 1=4 (- ) 8( ）（裂项）n2n4 n3n4(n 1)(a n a n 1) 4 ( 1 1 1 1 )8 ( ) （分组、裂项求和）n 1 n 2 n 4 n 1 n 3 n 41 1 1=4 (- -)8-3 4 413—3提高练习：1.已知数列a n中，S n是其前n项和，并且S n 1 4务2（n 1,2丄）◎ 1 , ⑴设数列b n a n 1 2a n（n 1,2,），求证：数列b n是等比数列；a⑵设数列C n n,（n 1,2, ），求证：数列C n是等差数列；22 、2.设二次方程a n x - a n+1X+1=0(n € N)有两根a 和B，且满足 6 a -2 a3 +6 3 =3 .⑴试用3n表示a n 1；2⑵求证；数列他-亍｝是等比数列F7⑶当的二-时、求数列％｝的通项公式.11U3．数列a n 中，a1 8,a4 2 且满足a n 2 2a n 1 a n n N ⑴求数列a n 的通项公式；⑵设S n |a1 | |a2 | |a n |，求S n ；12。

数列求和常见的7种方法数列求和常见的7种方法一、总论:数列求和7种方法:利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法,三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.。

数列求和的七种方法数列求和是数学中非常基础的概念之一，它在高中数学中被广泛讨论和应用。

在数学中，我们经常遇到需要求解数列的和的问题，这样的问题可以通过不同的方法和技巧来解决。

在这篇文章中，我们将讨论七种常见的数列求和方法，并深入探讨它们的原理和应用。

第一种方法是等差数列的求和方法。

等差数列是指一个数列中每一项与其前一项之差保持恒定的数列。

对于一个等差数列，我们可以通过使用求和公式来求解其总和。

具体来说，对于首项为a，公差为d的等差数列，其前n项和可以通过公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算，其中n表示项数。

这种方法适用于各种等差数列，无论是正数还是负数的等差数列。

第二种方法是等比数列的求和方法。

等比数列是指一个数列中每一项与其前一项之比保持恒定的数列。

对于一个等比数列，我们可以通过使用求和公式来求解其总和。

具体来说，对于首项为a，公比为r的等比数列，其前n项和可以通过公式Sn = (a(1-r^n))/(1-r)来计算，其中n表示项数。

需要注意的是，公比不能为0或1，否则求和公式将无法使用。

第三种方法是利用等差数列的性质进行求和。

等差数列具有很多性质，其中一个重要的性质是数列的和等于首项与末项乘以项数的一半。

具体来说，对于首项为a，末项为b，项数为n的等差数列，其总和可以通过公式Sn = (a + b) * n / 2来计算。

这种方法在一些情况下更加简便和直观，特别是当我们只关注数列的总和而不关心具体的项时。

第四种方法是利用等比数列的性质进行求和。

等比数列也具有一些特殊的性质，其中一个重要的性质是当公比小于1时，数列的和可以表示为首项与末项的差除以1减去公比。

具体来说，对于首项为a，公比为r的等比数列（其中|r|<1），其总和可以通过公式Sn = (a -ar^n)/(1-r)来计算。

这种方法在一些情况下也更加简洁和有效。

第五种方法是使用递归关系进行求和。

递归关系是数列中的每一项与前一项之间存在一定规律的关系。

一、数列求和的常用方法有哪些
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。

4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。

5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

1、裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。

数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。