立体几何基础题题库二

高中数学必修二第八章立体几何初步知识点题库单选题1、如图，在一个正方体中，E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点.平面EFG截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据条件可得平面EFG经过点B′，然后可得答案.连接EB′，GB′因为E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点所以EB ′//FG ，所以平面EFG 经过点B ′所以多面体A ′D ′DA −EFGC ′B ′的正视图为故选：D2、“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm ，外层底面直径为16cm ，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm 的球面上.此模型的体积为（ ）A ．304πcm 3B ．840πcm 3C ．912πcm 3D ．984πcm 3答案：C分析：求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的体积之和，计算可得解.如图，该模型内层圆柱底面直径为12cm ，且其底面圆周在一个直径为20cm 的球面上，可知内层圆柱的高ℎ1=2√(202)2−(122)2=16 同理，该模型外层圆柱底面直径为16cm ，且其底面圆周在一个直径为20cm 的球面上，可知外层圆柱的高ℎ2=2√(202)2−(162)2=12此模型的体积为V =π(162)2×12+π(122)2×(16−12)=912π故选：C3、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（ ）A ．132B ．223C ．152D ．233 答案：C分析：根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为V =23−(13×12×12×1+13×12×12×2)=152，故选：C.4、过半径为4的球O 表面上一点M 作球O 的截面，若OM 与该截面所成的角是30°，则O 到该截面的距离是（ ）A ．4B ．2√3C ．2D ．1答案：C分析：作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案.作出球的截面图如图：设A为截面圆的圆心，O为球心，则OA⊥截面，AM在截面内，即有OA⊥AM，=2 ,故∠OMA=30∘,所以OA=4×12即O到该截面的距离是2，故选：C5、下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个平面B．垂直于同一直线的两条直线平行C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则l⊥αD．若a、b、c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上答案：D分析：利用空间点、线、面位置关系直接判断.A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；B.由墙角模型，显然B错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直，若直线l与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面α不一定垂直，故C错误；D.因为a//b，所以a、b确定唯一一个平面，又c与a、b都相交，故直线a、b、c共面，故D正确；故选：D.6、如图.AB是圆的直径，PA⊥AC，PA⊥BC，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA=AC，则二面角P−BC−A的平面角为（）A．∠PAC B．∠CPA C．∠PCA D．∠CAB答案：C解析：由圆的性质知：AC⊥BC，根据线面垂直的判定得到BC⊥面PAC，即BC⊥PC，结合二面角定义可确定二面角P−BC−A的平面角.∵C是圆上一点(不同于A，B)，AB是圆的直径，∴AC⊥BC，PA⊥BC，AC∩PA=A，即BC⊥面PAC，而PC⊂面PAC，∴BC⊥PC，又面ABC∩面PBC=BC，PC∩AC=C，∴由二面角的定义：∠PCA为二面角P−BC−A的平面角.故选：C7、如图所示的正方形SG1G2G3中，E ， F分别是G1G2，G2G3的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合为点G，则有（）A．SG⊥平面EFG B．EG⊥平面SEFC．GF⊥平面SEF D．SG⊥平面SEF答案：A解析：根据正方形的特点，可得SG⊥FG，SG⊥EG，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.由题意：SG⊥FG，SG⊥EG，FG ∩EG =G ，FG ，EG ⊂平面EFG所以SG ⊥平面EFG 正确，D 不正确；.又若EG ⊥平面SEF ，则EG ⊥ EF ，由平面图形可知显然不成立；同理GF ⊥平面SEF 不正确；故选：A小提示：本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题.8、下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（ ）A ．7√2π24B ．7√3π24C ．7√2π12D ．7√3π12答案：B分析：先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.如图，设上底面的半径为r ，下底面的半径为R ，高为ℎ，母线长为l ，则2πr =π⋅1，2πR =π⋅2，解得r =12,R =1，l =2−1=1，ℎ=√l 2−(R −r )2=√12−(12)2=√32， 设上底面面积为S ′=π⋅(12)2=π4，下底面面积为S =π⋅12=π，则体积为13(S +S ′+√SS ′)ℎ=13(π+π4+π2)⋅√32=7√3π24. 故选：B.多选题9、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A．沙漏中的细沙体积为1024π81cm3B．沙漏的体积是128πcm3C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1565秒(π≈3.14)答案：AC解析：A．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r=23×4=83cm，所以体积V=13⋅πr2⋅2ℎ3=13⋅64π9⋅163=1024π81cm3B.沙漏的体积V=2×13×π×(ℎ2)2×ℎ=2×13×π×42×8=2563πcm3；C.设细沙流入下部后的高度为ℎ1，根据细沙体积不变可知：1024π81=13×(π(ℎ2)2)×ℎ1，所以1024π81=16π3ℎ1,所以ℎ1≈2.4cm；D.因为细沙的体积为1024π81cm3，沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，所以一个沙时为：1024π810.02=1024×3.1481×50≈1985秒.故选：AC.小提示：该题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.10、两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是（）A．1B．3C．4D．7答案：AD解析：对两个平行平面在球心的同侧和异侧两种情况讨论，计算出球心到两截面的距离，进而可求得两平面间的距离.如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD=OC−OD=√52−32−√52−42=4−3=1；如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD=OC+OD=√52−32+√52−42=4+3=7.故选：AD.小提示：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质“与底面全等或相似”，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面“轴截面”的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组，进而得解.11、下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．B．C．D．答案：AD分析：根据线面平行的判定定理和性质定理分别判断即可解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，∴AB与面MNP不平行，故C不成立；对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故选：AD.小提示：此题考查线面平行的判定定理和性质定理的应用，属于基础题填空题12、给出下列命题：①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_____（填序号）.答案：②③解析：对四个选项进行逐一分析即可.对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误. 综上所述，正确的有②③.所以答案是：②③.小提示：本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.13、正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为a，则异面直线CD′与BD间的距离等于______．答案：√33a分析：作辅助线，找出异面直线CD′与BD的公垂线段，求出公垂线段可得答案.取CD中点M，连接MC′，AM，AM与BD交于P，MC′与CD′交于Q，由正方体的性质可知AC′⊥BD,AC′⊥CD′.由△CMQ与△D′C′Q相似可得MQQC′=MCD′C′=12，同理可得MPPA =12，所以PQ∥AC′，且PQ=13AC′=√33a，所以PQ为CD′与BD间的公垂线段，所以异面直线CD′与BD间的距离等于√33a．所以答案是：√33a.14、如图，A,B是120°的二面角α−l−β棱l上的两点，线段AC、BD分别在平面α、β内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，则线段CD的长为______．答案：4分析：作辅助线使∠EAC为二面角的平面角，由余弦定理求出EC，再通过证明ED⊥平面EAC，得出ED⊥EC，通过勾股定理即可求解.如图所示：在平面β中，过A作直线平行于BD，在其上取一点E，使AE＝BD，连接EC、ED．由∵BD⊥l，∴AE⊥l，则∠EAC即为a−l−β的平面角，则∠EAC=120°．在△EAC中，由余弦定理得：EC2=EA2+CA2−2EA⋅CA⋅cos∠EAC=1+4−2×1×2×（−12）=7，四边形EABD是平行四边形，则ED＝AB＝3．由AB⊥平面EAC，结合ED∥AB得ED⊥平面EAC，EC⊂平面EAC，则ED⊥EC，∴△DEC是直角三角形．由勾股定理CD2=CE2+ED2=7+9=16,∴CD=4．所以答案是：4解答题15、如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=A1D1=a，AB=2a，且E为AB中点．求C1到平面D1DE的距离．答案：√2a．分析：根据V E−DC1D1=V C−D1DE，结合锥体的体积公式，准确运算，即可求解.由题意，可得长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=A1D1=a，AB=2a，所以V E−DC1D1=13S△DC1C⋅BC=13×12×2a×a×a=13a3．设C1到平面D1DE的距离为ℎ，则V C1−D1DE =13S D1DE⋅ℎ．在直角△DAE中，由勾股定理得DE=√2a，所以S△D1DE =12DD1⋅DE=12×a×√2a=√22a2，所以V C−D1DE =13⋅√22a2⋅ℎ=13a3，解得ℎ=√2a，即C1到平面D1DE的距离为√2a．。

第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。

空间向量与立体几何综合练习题之二一、选择题【共10道小题】1、若a、b、c为任意向量，m∈R，下列等式不一定成立的是（）A. (a+ b) +c=a+ (b+ c)B. (a+ b) ·c=a·c+ b·cC. m(a+ b)=ma+ mbD. (a·b)c=a(b·c)参考答案与解析:D主要考察知识点:向量、向量的运算2、已知ABCD是四面体，O为△BCD内一点，则=(++)是O为△BCD的重心的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案与解析:C主要考察知识点:空间向量3、若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a、b夹角的余弦值为，则λ等于（）A.2B.-2C.-2或D.2或-参考答案与解析:C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4、在以下命题中，不正确的个数为（）①|a|-|b|=|a+ b|是a、b共线的充要条件②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λ·b③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若=2-2-，则P、A、B、C四点共面④若{a, b, c}为空间的一个基底，则{a+ b, b+ c, c+ a}构成空间的另一个基底⑤|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|A.2B.3C.4D.5参考答案与解析:B主要考察知识点:向量、向量的运算,空间向量5、设a=(x,4,3),b=(3,2,z),且a∥b,则xz等于（）A.-4B.9C.-9D.参考答案与解析:B主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6、在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（）A.60°B.90°C.105°D.75°参考答案与解析:B主要考察知识点:空间向量7、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是…（）A. B.4 C.3 D.2参考答案与解析:解析：如图，取BC中点D，连结AD，则AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD.在Rt△ABD中，AD=4,在Rt△PAD中，PD==4.答案：B主要考察知识点:空间向量8、一条长为a的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足间的距离是（）A. B. C. a D. a参考答案与解析:解析：用异面直线上两点间的距离公式求解.答案：A主要考察知识点:空间向量9、空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a,动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q的最小距离为（）A. B. a C. a D. a参考答案与解析:解析：当P、Q为中点时，PQ为AB和CD的公垂线，此时最短，求出得PQ= a.答案：B主要考察知识点:空间向量10、如图所示，在正方体ABCD—A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）参考答案与解析:解析：P在B′B上时，应为中点.轨迹符合抛物线定义.答案：C主要考察知识点:空间向量二、填空题【共4道小题】1、A1、A2、A3是空间不共线的三点，则++=___________;类比上述性质得到一般性的结论是______________________.参考答案与解析:0++…++=0主要考察知识点:空间向量2、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1=b,∠A1AB=∠A1AD=120°，则AC1的长=___________.参考答案与解析:主要考察知识点:空间向量3、已知a=(3,1,5),b=(1,2,-3),向量c与z轴垂直，且满足c·a=9,c·b=-4,则c=___________.参考答案与解析:解析：令c=(x,y,z),则解得∴c=(,-,0).答案：(,-,0)主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为___________.参考答案与解析:主要考察知识点:空间向量三、解答题【共6道小题】1、如图，E是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与所成角的余弦值.参考答案与解析:解析：设正方体棱长为a,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|,a·b=b·c=a·c=0.又∵=a+b,=c+a,∴·=(a+b)·(c+a)=a2=a2.又||=a,||=a,∴cos〈,〉==.主要考察知识点:空间向量2、直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求证：AB1=A1C.参考答案与解析:证明：∵=+, =+, ·=(+)·(+)=·-2=0,∴2=·.同理,=+ ,=+, ·=·+2=0(∵=),∴·+·=0.又=,∴·(+)=0.设D为BC的中点，则+=2,∴2·=0.∴BC⊥AD.∴AB=AC.又A1A=B1B,∴A1C=AB1.主要考察知识点:空间向量3、设a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k,试问是否存在实数λ、μ、υ，a4=λa1+μa2+υa3成立？如果存在，求出λ、μ、υ;如果不存在，请给出证明.参考答案与解析:解析：假设a4=λa1+μa2+υa3成立,∵a1=(2,-1,1),a2=(1,3,-2),a3=(-2,1,-3),a4=(3,2,5),∴(2λ+μ-2υ,-λ+3μ+υ,λ-2μ-3υ)=(3,2,5).∴解之,得故有a4=-2a1+a2-3a3.综上,知存在,且λ=-2,μ=1,υ=-3.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4、棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.(1)求证：EF⊥CF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长.参考答案与解析:(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz,则D(0,0,0)、E(0,0,)、C(0,1,0)、F( ,,0)、G(1,1,)，∴=(,,-),=(,-,0),=(1,0,),=(0,-1,).∵·=×+×(-)+(-)×0=0,∴⊥,即EF⊥CF.(2)解析：∵·=×1+×0+(-)×()=,||==,||==,∴cos〈,〉===.(3)解析：||=.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示,空间向量5、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线；(2)求D1到平面BDE的距离.参考答案与解析:(1)证明：建立如图所示的坐标系，得B(0,1,0),D1(1,0,2),F(,,1),C1(0,0,2), E(0,0,1).∴=(,,0),=(0,0,2),=(1,-1,2).∴·=0, ·=0,即EF⊥CC1,EF⊥BD1.故是CC1与1的公垂线.(2)解析：同(1)B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1).设平面BDE的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.∴(x,y,z)(1,-1,0)=0,(x,y,z)(-1,0,1)=0,即∴∴点D1到平面BDE的距离d====.主要考察知识点:空间向量6、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点，E为B1C的中点,(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值.(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出|AF|；若不存在，请说明 理由.参考答案与解析:解析：(1)以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC= a.∴B(0,0,0),C(0,a,0),A(a,0,0),A1(a,0,3a),C1(0, a,3a),B1(0,0,3a).∴D(a, a,3a),E(0,a,a).∴=(a,-a,3a),=(0,a,a).∴||=a,||= a.∴·=0-a2+a2=a2.∴cosθ==.(2)假设存在点F ，要使⊥平面B1DF，只要⊥且⊥.不妨设AF=b,则F(a,0,b),=(a,-a,b), =(a,0,b-3a), =(a,a,0).∵·=a2-a2=0, ∴⊥恒成立.·=2a2+b(b-3a)=0b=a或b=2a,故当||=a或2a 时，⊥平面B1DF.。

立体几何题目集(基础)
1.两个正方体
两个正方体A和B的边长分别为$a$和$b$，它们的体积比为$4:1$，求正方体A的边长$a$与正方体B的边长$b$的比值。

2.圆柱体的体积
一个圆柱体的高度为$h$，半径为$r$，求它的体积$V$。

3.球体的表面积
一个球体的半径为$r$，求它的表面积$S$。

4.直方体的长、宽和高
一个直方体的表面积为$S$，它的长、宽和高的比为$a:b:c$，求直方体的长、宽和高分别是多少。

5.正方体的对角线
一个正方体的边长为$a$，求它的对角线的长度。

6.锥形的体积
一个圆锥的底面半径为$r$，高度为$h$，求它的体积$V$。

7.棱柱体和棱锥体的体积
一个棱柱体和一个棱锥体的高度都为$h$，棱柱体的底面积为$A$，棱锥体的底面积为$B$，求棱柱体的体积$V_1$与棱锥体的体积$V_2$的比值。

8.圆台的体积
一个圆台的底面半径为$r_1$，顶面半径为$r_2$，高度为$h$，求它的体积$V$。

9.正方体的表面积
一个正方体的边长为$a$，求它的总表面积$S$。

10.球体的体积
一个球体的半径为$r$，求它的体积$V$。

以上是立体几何题目集(基础)，共包含10道题目。

希望对您的学习有帮助！。

立体几何考察试题及答案一、选择题1. 若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内任意直线的关系是（）。

A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直答案：D2. 已知一个正四面体的棱长为a，求其体积。

A. \( \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \)B. \( \frac{a^3 \sqrt{2}}{6} \)C. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{12} \)D. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{6} \)答案：C二、填空题1. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其对角线的长度为 \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)。

2. 一个球的半径为r，则其表面积为 \( 4\pi r^2 \)。

三、解答题1. 已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，求其体积。

解：圆锥的体积公式为 \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)。

答：圆锥的体积为 \( \frac{1}{3}\pi r^2 h \)。

2. 已知一个圆柱的底面半径为r，高为h，求其侧面积。

解：圆柱的侧面积公式为 \( A = 2\pi rh \)。

答：圆柱的侧面积为 \( 2\pi rh \)。

四、证明题1. 证明：若直线l与平面α内的两条直线m和n都垂直，则直线l与平面α垂直。

证明：设直线m和n在平面α内的交点为O，由于直线l与m、n都垂直，根据直线与平面垂直的判定定理，直线l与平面α垂直。

答：直线l与平面α垂直。

2. 证明：若两个平面α和β的交线为l，直线m在平面α内且与l平行，直线n在平面β内且与l平行，则直线m与直线n平行。

证明：设直线m与直线n的交点为P，由于m在平面α内且与l平行，n在平面β内且与l平行，根据平面与平面平行的性质，直线m与直线n平行。

答：直线m与直线n平行。

专题8.2 立体几何初步 章末检测2（中）第I 卷（选择题）一、 单选题（每小题5分，共40分） 1．下列命题中正确的是（ ）A ．有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.B ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥.C ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体.D ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线. 【答案】D 【详解】如图所示的几何体满足两个平面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，A 错；正八面体的各面都是三角形，不是三棱锥，B 错；如果两个平行截面与圆柱的底面平行，则是旋转体，如果这两个平行截面与圆柱的底面不平行，则不是旋转体．C 错；根据圆锥的定义，D 正确． 故选：D ．2．某圆台上、下底面面积分别是4π、9π，母线长为2，则这个圆台的侧面积是（ ） A ．10π B ．12π C ．15π D ．20π【答案】A 【详解】设圆台上、下底面的半径分别为,r r '，由圆台上、下底面面积分别是4π、9π，则224,9r r ππππ'== 所以2,3r r '==所以这个圆台的侧面积为()()22310l r r πππ'+=+= 故选：A3．如图正三棱柱ABC A B C '''-高为2，一只蚂蚁要从顶点A 沿三棱柱的表面爬到顶点C '，若侧面AA C C ''紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（ ）A B ．2+C ．4D 【答案】A 【详解】将侧面ABB A ''与BCC B ''展开，如图：连接AC '，则4AC '==.将侧面ABB A ''与'AC B''展开，如图：连接AC '，则AC '==故选：A4．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =O ABCD -的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】因为ABCD 是矩形，6AB =，BC =AC ===因此矩形ABCD 的外接圆的直径为O ABCD -的高为h ，根据勾股定理可得：22242h h +=⇒=，棱锥O ABCD -的体积为：1623⨯⨯= 故选：B5．许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点P 和与P 相邻的五个顶点可构成正五棱锥P ABCDE -，则PA 与面ABCDE 所成角的余弦值约为（ ）（参考数据cos360.8︒≈）A ．56B ．58C ．35D ．512【答案】A 【详解】由题意，,,,,PA PB PC PD PE 在面ABCDE 上的射影,,,,P A P B P C P D P E '''''，如下图示，∴五个三角形都是等腰三角形且72AP B '∠=︒，易知2sin 36AEP A '=︒，而cos360.8︒≈，令AB BC CD DE AE a =====，∴56aP A '==，又正二十面体的每一个面均为等边三角形即PA AB a ==，且P P '⊥面ABCDE ，∴PA 与面ABCDE 所成角的余弦值为56. 故选：A6．已知a ，b 为空间中两条不同直线，α，β为空间中两个不同的平面，则下列条件中使//a b 一定成立的是（ ）A ．α//β，αa ⊂，b β⊂B ．α//β，αa ⊥，b β⊥C ．αa β⋂=，b β⊂D ．αβ⊥，αa ⊥，b β⊥【答案】B 【详解】对于选项A ，易知//a b 与a ，b 异面都有可能成立；对于选项B ，//a b 一定成立；对于选项C ，a ，b 平行或相交；对于选项D ，a ，b 垂直． 故选：B ．7．在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，M 分别为CD ，1DD ，AD 的中点，则异面直线1A M 与EF 所成角的余弦值为（ ）A ．12B．5C．5D．2【答案】B 【详解】连接11,CD BA ，在正方体中，11//CD BA由E ，F 分别为CD ，1DD 的中点，则1//CD EF所以1//EF BA ，所以1BA M ∠（或其补角）为异面直线1A M 与EF 所成角 设正方体的棱长为2，则1A B =1AM ==BM =所以在1A BM △中，22211111cos 2A B A M BM MA B A B A M +-∠===⨯⨯ 故选：B8．已知三棱锥D ABC -中，点D 在平面ABC 上的投影恰为点A ，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点，直线DE ，BF 相交于点G ，且直线DG 与平面ABC 所成角为30°.若AB AC ===则三棱锥D ABC -外接球的表面积为（ ） A ．98π B ．49πC ．50πD ．100π【答案】B 【详解】设1O 为ABC 外接圆的圆心，O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，连接DO ，1OO ，1AO ，AO ，如图：由已知得点E 在1AO 上，AE BC ⊥，60CAE ∠=，AE =直线DG 与平面ABC 所成角即为直线DE 与平面ABC 所成角，DA ⊥平面ABC ，则直线DE 与平面ABC 所成角为DEA ∠，则由tan AD DEA AE ∠==1AD =，连接1O C ，由111O A O B OC ==得，1O A =，1OO ⊥平面ABC ，在四边形1OO AD 中，则1//OO AD ，190OO A ∠=︒，1AO =又OA OD =，则11122OO AD ==，所以(22214924OA ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 故所求外接球的表面积24944494S OA πππ==⋅=.故选：B二、多选题（每小题5分，共20分）9．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是11A D ，11C D 的中点，G 为线段BC 上的动点(不含端点)，则下列结论中正确的是（ ）A ．//AC 平面EFGB ．存在点G 使得EF FG ⊥C ．存在点G 使得异面直线AB 与EG 所成的角为60°D ．三棱锥1G EFD -的体积为定值 【答案】ABD 【详解】如图，易证//EF AC ，AC ⊄平面EFG ，则有//AC 平面EFG ，故A 正确；设CD 中点为M ，若G 为BC 中点，则有AC MG ⊥，AC MF ⊥，MG MF M ⋂=， 则AC ⊥平面MFG ，则AC FG ⊥， 因为//EF AC ，所以EF FG ⊥，故B 正确； 设正方体棱长为2，取11B C 中点为N ，连接EN ，因为//EN AB ，所以异面直线AB 与EG 所成的角即为NEG α∠=，在直角三角形NEG 中，tan NG NB EN EN α=<=<60α<︒，故C 错误； 易知点G 到平面1EFD 的距离为定值，则三棱锥1G EFD -的体积为定值，故D 正确. 故选：ABD10．用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（ ） A ．直角三角形 B ．直角梯形C ．正五边形D ．正六边形【答案】ABC 【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为五边形时，不可能出现正五边形； 截面为六边形时，可能出现正六边形， 故选：ABC ．11．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，P 为平面11BCC B 内（包括边界）一动点，且1//D P 平面EFG ，则（ ）A ．//BD EGB ．1//BD 平面EFGC ．三棱锥1D EFG -的体积为13D ．P 点的轨迹长度为2【答案】BCD【详解】对于A ，取1BB 的中点为M ，连接,GM BD ，由正方体的性质可知，//BD GM ，而GM 与EG 相交，所以BD EG ,不平行，故A 错误；对于B ，连接1DC ，容易知道平面//FGE 平面1D BC ，由面面平行的性质可知1//BD 平面EFG ，故B 正确；对于C ，11111112113323D EFG E FGD FGD V V S AE --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，故C 正确； 对于D ，由B 可知平面//FGE 平面1D BC ，即点P 的轨迹为线段BC ，长度为2，故D 正确； 故选：BCD12．如图，直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，142BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，则（ ）A ．EB ⊥平面PEDB ．若PE EB ⊥时，棱锥P BCD -的外接球体积为C ．PC 的最大值为D ．二面角C PE B --的最小值为π4【答案】BD 【详解】EB ED ⊥，EB 与PE 不一定垂直，所以A 不对；若PE EB ⊥，则可证明PE ⊥平面DEBC ，DEBC 为正方形，棱锥P BCD -可以补成边长为4的正方体，外接球直径等于正方体的体对角线长，即2R =，R =(34π3V ==，B 正确；若PE EB ⊥，则可证明PE ⊥平面DEBC ，此时PC =若PEC ∠为钝角，由余弦定理可得PC >C 不正确；由DE PE ⊥，DE EB ⊥，PE EB E ⋂=，所以DE ⊥平面PEB ，从而CB ⊥平面PEB ，CB PE ⊥，作BQ PE ⊥，交PE 于点Q ，可证PE ⊥平面CQB ，则CQ PE ⊥，所以二面角C PE B --的平面角是CQB ∠，4tan CB CQB BQ BQ∠==，满足BQ PE ⊥的BQ 的最大长度为4，所以tan CQB ∠的最小值为1，即二面角C PE B --的最小值为π4.故选：BD第II 卷（非选择题）二、 填空题（每小题5分，共20分）13．如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为_________.2a 【详解】由题得2212.A B C S a '''=⨯=又ABC A B C S S '''=224222 .ABC AB C S S a a '''∴=== 所以原ABC 2 214．中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑ABCD 中，AB ⊥面BCD ，CD BC ⊥，若1CD =，AC =,,,A B C D 均在球O 上，则球O 的表面积为______.【答案】6π【详解】由题意可知：球O 为鳖臑ABCD 的外接球，AB ⊥面BCD ，,BD CD ⊂面BCD ，AB BD ∴⊥，AB CD ⊥，又CD BC ⊥，,AB BC ⊂面ABC ，AB BC B ⋂=，CD 面ABC ，又AC ⊂面ABC ，CD AC ∴⊥；取AD 中点E ，连接,BE DE ，AB BC ⊥，BE AE DE ∴==，同理可知：CE AE DE ==，∴点E 与球O 的球心O 重合，球O 的半径12R AD === ∴球O 的表面积246S R ππ==.故答案为：6π.15．在二面角l αβ--中，∈A l ，B l ∈，AC α⊂，BD β⊂，且AC l ⊥，BD l ⊥，若1AB =，2==AC BD ，二面角l αβ--的余弦值为34，则CD =__________．【详解】过B 作BE l ⊥，过C 作//CE l ，交于E 点，连接ED ，如下图示，∴EBD ∠为二面角l αβ--的平面角，∵1AB =，2==AC BD ，二面角l αβ--的余弦值为34， ∴2BE AC BD ===，在△EBD 中，2222cos ED BE BD BE BD EBD =+-⋅⋅∠，∴22ED =，而1CE AB ==，∴在Rt CED 中，CD =16．如图，矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中正确是___________.(填序号即可)①|BM |是定值；②总有CA 1⊥平面A 1DE 成立；③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④存在某个位置，使MB //平面A 1DE .【答案】①④【详解】对于①：由图知，取CD 的中点F ，联结MF ，BF ，设AD a =，易知∠A 1DE =∠MFB 4π=，MF 12=A 1D =2a ，FB =DE ，由余弦定理可得MB 2=MF 2+FB 2﹣2MF •FB •cos ∠MFB ，所以MB 是定值，故①正确.对于②：由反证法，若总有CA 1⊥平面A 1DE 成立，则CA 1⊥A 1E 成立，而CE ，1A E a =，求得CA 1=a 为定值，而在翻折过程中，CA 1的长是一直变化的，故②错误；对于③：∵A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，∴A 1C 与DE 一定不垂直，可得③不正确.对于④：由①知，MF //DA 1，BF //DE ，∴平面MBF //平面A 1DE ，∴MB //平面A 1DE ，故④正确.故答案为：①④.三、 解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点,P Q 在直观图中所示位置，P 为所在母线中点，Q 为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径长．【答案】（1）)25a π；（2）． 【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．圆锥侧面积())21122S a a π=⨯⨯=；圆柱侧面积()()22224S a a a ππ=⨯=；圆柱底面积23S a π=，∴几何体表面积为)222212345S S S S a a a a πππ=++=++=． （2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．则PQ ===．∴P 、Q 两点间在侧面上的最短路径长为．18．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD -，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥．某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分别交PB 、PC 、PD 于点E 、F 、G ，得到四棱锥P AEFG -；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF 切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG ，若35PE PB =，12PF PC =，请在图中的棱PD 上作出点G ，并说明作法及理由．【答案】作图见解析；答案见解析．【详解】如图所示：作法：连接FE 并延长，与CB 的延长线相交于点H ，连接HA 并延长，与CD 的延长线相交于点M ，连接MF ，与PD 相交于一点，则该点即为点G .理由如下：因为MH 与FH 是两条相交直线，所以MH 与FH 确定一个平面α，则MH α⊂，FH α⊂，A 、E 、F α∈，因为M MH ∈，F FH ∈，所以MF α⊂，因为MF PD G =，所以G MF ∈，G α∈，A 、E 、F 、G 四点共面.19．如图，在三棱锥A BCD -中，90BCD ∠=，1BC CD ==，ACB ACD ∠=∠．（1）证明：AC BD ⊥；（2）若直线AC 与平面BCD 所成的角为45，1AC =，求二面角A CD B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【详解】（1）取BD 中点O ，连接OA ，OC ，则OC BD ⊥，又BC DC =，ACB ACD ∠=∠，AC AC =，所以ABC ADC ≅△△，所以AB AD =，所以AO BD ⊥． AO CO O =，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，所以BD ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥．（2）由（1）知BD ⊥平面AOC ，BD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AOC ，平面BCD 平面AOC CO =，所以CA 在平面BCD 上的射影在直线CO 上，所以ACO ∠为直线AC 与平面BCD 所成的角， 即45ACO ∠=．又因为12CO BD ==1AC =，在ACO △中由余弦定理可知AO ==， 所以222AO OC AC +=，所以AO OC ⊥，且平面AOC平面BCD OC =，所以AO ⊥平面BCD ．,1AO OD AD ⊥==， 取CD 中点E ，连接OE ，AE ，则OE CD ⊥，AE CD ⊥，所以AEO ∠为二面角A CD B --的平面角，AO OE ⊥，11,22OE CD AE ====Rt AOE中，1cos OE AEO AE ∠=== 20．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，过AB 的截面与上底面交于PQ 且点P 棱11AC 的中点，点Q 在棱11B C 上．（1）试在棱AC 上找一点D ，使得//QD 平面11ABB A ，并加以证明； （2）求四棱锥C ABQP -的体积．【答案】（1）D 为AC 的中点，证明见解析；（2）34【详解】（1）D 为AC 的中点时，//QD 平面11ABB A .证明如下：//AB 平面111A B C ，AB ⊂平面ABQP ，平面ABQP 平面111A BC PQ =， //PQ AB ∴，PQ ⊄平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以//PQ 平面11ABB A ， 又D 为AC 的中点，∴1PDAA 是平行四边形，1//PD AA ∴，又PD ⊄平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，//PD ∴面11ABB A ， 又PD 与PQ 在平面PDQ 内相交，∴面//PDQ 面11ABB A ，又QD ⊂面PDQ ，//DQ ∴平面11ABB A ；（2）连接BP ，四棱锥C ABQP -可视为三棱锥C BPQ -和C ABP -组合而成，三棱锥C ABP -可视为P ABC -，底面积24ABC Sa ==，高为2， 设1C BAP V V -=，体积为11132V ==． 三棱锥C BPQ -与C ABP -等高，体积比为底面积之比， 设2C BPQ V V -=，则21:::1:2BPQ BAP V V S SPQ AB ===，故211124V V ==， 因此，1234C ABPQ V V V -=+=，即为所求．21．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 在线段1CD 上，12CE ED =，点F 为线段AB 上的动点，AF FB λ=，且//EF 平面11ADD A .（1）求λ的值；（2）求二面角E DF C --的余弦值.【答案】（1）12；（2）37.【详解】（1）过E 作1EG D D ⊥于G ，连结GA .则//EG CD ，而//CD FA ，所以//EG FA . 因为//EF 平面11ADD A ，EF ⊂平面EFAG ， 平面EGAF 平面11ADD A GA =，所以//EF GA ， 所以四边形EGAF 是平行四边形，所以GE AF =. 因为12CE ED =，所以1113D EGE DC D C ==. 所以13AF AB =，即12AFFB =，所以12λ=.（2）过E 作EH CD ⊥于D ，过H 作HM DF ⊥于M ，连结EM ，因为11CDD C ⊥平面ABCD ，EH CD ⊥， 所以EH ⊥平面ABCD .因为DF ⊂平面ABCD ，所以EH D F ⊥. 又HM DF ⊥，所以DF ⊥平面EMH . 因为EM ⊂平面EMH ，所以DF EM ⊥. 所以EMH ∠是二面角E DF C --的平面角.设正方体的棱长为3a ，则2EH a =.在Rt DHF ∆中，DH a =，3HF a =，DF =， 所以DH HF HM DF ⨯===.在Rt EHM △中，求得EM ==， 所以3cos 7HM EMH EM ∠==，即为所求. 22．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长等于2的正方形，且平面PDC ⊥平面ABCD ，PD PC =，若四棱锥P ABCD -的高等于1．（1）求证：平面APD ⊥平面BPC ；（2）求四棱锥P ABCD -外接球的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【详解】（1）如图，取DC 中点O ，连接PO ，PD PC =，PO DC ∴⊥， 平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC 平面ABCD DC =，PO ∴⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P ABCD -的高，又2DC =，POD ∴为等腰直角三角形，45DPO ∴∠=︒，同样45CPO ∠=︒，90DPC ∴∠=︒，即DP CP ⊥，平面PDC ⊥平面ABCD ，且BC CD ⊥，平面PDC 平面ABCD DC =，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，BC PD ∴⊥，BC PC C =，PD ∴⊥平面PBC ，PD ⊂平面PDA ，∴平面APD ⊥平面BPC ．（2）连接AC 、BD 相交与点Q ，连接PQ ，OQ ，因为ABCD 为正方形，且边长等于2，所以QA QB QC QD === 因为112OQ AD ==，由（1）可知PO ⊥底面ABCD ，所以90POQ ∠=︒，因为1PO =，所以PQ所以QA QB QC QD QP =====所以点Q 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，所以所求外接球的体积34π3V QA =⋅=．【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于内切球问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于外接球问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．。

立体几何基础题题库（有详细答案）1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则 （A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。

根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤oo Q2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是PPQQRSSPPPQQRR RSSSPP PQQQ R RSSS PP Q QR RRS S（A ） （B ） （C ） （D ） D解析： A 项：PS P 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形B 项：如图C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。

3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ （C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。

B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

C 项：如图4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为P1BPA 1B PA 1OBPA 1OABCDP A C 1D 1C解析：11B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：PCD C'D'BB'AA'P 点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。

立体几何初步测试题一、选择题1.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A B . C . D . 2.正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A .1:3B ．2:3C ．3:2D ．3:3 3.在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.三个点B.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点C. 直线与一点D.两条直线4.若直线l // 平面α，直线α⊂a ，则l 与a 的位置关系是 ( )A .a l //B .l 与a 异面C .l 与a 相交D .l 与a 没有公共点 5.一平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的半径为（ ） A. 132 B. 5 C. 52 D. 46.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ．324R B ．38R C ．324R D ．38R 8.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为A ．2B ．2C ． 4D ．229. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③10. 一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π18200+B ．π9200+C ．π18140+D ．π9140+ 11.如图所示，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上不同于AB 的一点， 且AC PA =，则二面角A BC P --的大小为 （ ）A. ︒90 B. ︒60 C. ︒45 D.︒3012.已知正方形321P P AP 的边长为4，点C B ,为边3221,P P P P 的中点，沿CA BC AB ,,折叠成一个三棱锥ABC P -（使321P P P 重合于点P ），则三棱锥ABC P -的外接球表面积为（ ）A . π24B . π12C . π8D . π4 二、填空题13.下图中的三个直角三角形是一个体积为20 3cm 的几何体的三视图，则h ＝_______cm .14.两条不重合的直线b a ,，若α面//,//a b a ，则b 与面α的位置关系为 15. 如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将 ABC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. 则 几何体D ABC -的体积为16. 若C B A S ,,,是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，1==AB SA ,2=BC ,则球O 的体积等于三、解答题第11题第13题第10题图 1图2第15题第12题17. 如图所示，四棱锥ABCD P -的正视图是腰长为4的等腰直角三角形,俯视图为一个正方形与它的一条对角线.（1）根据画三视图的要求，画出该几何体的侧视图。

高中数学试题-立体几何2解析版1．已知点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，13PA PB PC PD AB =====，M 、N 分别为PA 、BD 上的点，且58PM BN MA ND ==.(1)求证：//MN 平面PBC ；(2)求线段MN 的长.2．如图，S 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 内接于,,O AC BC AC BC ⊥== 2,3,AM MS AS PQ == 为O 的一条弦，且SB //平面PMQ .(1)求PQ 的最小值；(2)若SA PQ ⊥，求直线PQ 与平面BCM 所成角的正弦值.3．如图，在多面体ABCDEF 中，侧面BCDF 为菱形，侧面ACDE 为直角梯形，//,,,AC DE AC CD M N ⊥分别为,DF AB 的中点，且2,2,60BC AC DE CBF ∠=== .(1)证明：//MN 平面ACDE ；(2)若平面BCDF ⊥平面ACDE ，多面体ABCDEF 的体积为3，求直线MN 与平面ABF 所成角的正弦值.4．如图所示正四棱锥S ABCD -，2,SA SB SC SD AB =====P 为侧棱SD 上的点．且3SP PD =，求：侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求SE EC 的值；若不存在，试说明理由．5．如图，在四棱锥P ABMN -中，PNM △是边长为2的正三角形，AN NP ⊥，AN //BM ，3AN =，1BM =，AB =C ，D 分别是线段AB ，NP 的中点.(1)求证：CD //平面BMP ；(2)求四棱锥P ABMN -的体积.6．正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别为11,AA CC 的中点．(1)求证：平面11//B D F 平面BEO ；(2)若正方体的棱长为2，求三棱锥F BEO -的体积．7．P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：(1)AE∥平面PCF；(2)平面PCF∥平面AEG.8．如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面ADE⊥平面ABCD，∕∕，2BF AE===．AD DE AEAE BF=，2(1)求证：CF⊥平面AEFB；(2)在ADEV内（包括边界）是否存在一点N，使得MN∕∕平面CEF？若存在，求点N 的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．9．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD AB DC ∥，,2,AB AD AB DC E ⊥=为PD 上的点且2PE ED =．(1)证明：PB //平面AEC ；(2)设二面角D AE C --为60,3,AP AD ==E ACD -的体积．10．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，E 和F 分别为PD 和BC 的中点．(1)证明：//EF 平面PAB ；(2)求二面角F ED A --的余弦值．11．如图①，在平面四边形ABCD 中，2AB AD ==，BC CD =60BAD ∠= ．将BCD △沿着BD 折叠，使得点C 到达点C '的位置，且二面角A BD C '--为直二面角，如图②．已知,,P G F 分别是,,AC AD AB '的中点，E 是棱AB 上的点，且C E '与平面ABD(1)证明：平面//PGF 平面C DB '；(2)求四棱锥P GFED -的体积．12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别为11,AB A C 的中点，G 为侧面11ABB A 对角线的交点.(1)求证：平面EFG 平面11BB C C ；(2)若11111112,3A B B C C A AA ====，侧面11AA C C 为矩形，平面11AA C C ⊥平面111A B C ，求直线BC 与平面11BA C 所成角的正弦值.参考答案：1．(1)证明见解析(2)7MN =【分析】（1）过M 作AB 的平行线交PB 于E ，过N 作CD 的平行线交BC 于F ，连接EF ，证明出四边形MEFN 是平行四边形，可得出//ME NF ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过E 作PC 的平行线交BC 于G ，计算出EG 、FG 的长以及EGF ∠的值，利用余弦定理可求得EF ，即可得出MN 的长.【详解】（1）证明：过M 作AB 的平行线交PB 于E ，过N 作CD 的平行线交BC 于F ，连接EF ，因为::5:8PM MA BN ND ==，所以，::5:13ME AB NF CD ==，因为四边形ABCD 是正方形，则AB CD =，所以，ME NF =，因为//ME AB ，//NF CD ，//AB CD ，所以，//ME NF ，所以，四边形MEFN 是平行四边形，则//MN EF ，因为MN ⊄平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以，//MN 平面PBC .（2）解：过E 作PC 的平行线交BC 于G ，因为::5:8PM MA BN ND ==，13PB BC ==，且//ME AB ，//NF CD ，所以，513PE PM PB PA ==，则5PE =，同理可得5BF =，因为//EG PC ，所以，513CG PE BC PB ==，则5CG =，所以，1358BG BC CG =-=-=，则3FG BG BF =-=，由813EG BG PC BC ==且13PC =可得8EG =，因为13PB PC BC ===，则PBC 为等边三角形，则60EGF PCB ∠=∠= ，由余弦定理得2222212cos 83283492EF EG FG EG FG EGF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以，7EF =，故7MN EF ==.2．(1)10【分析】（1）作出辅助线，找到符合要求的PQ ，并利用垂径定理得到最小值；（2）在第一问基础上，得到当PQ 取得最小值时，SA PQ ⊥，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】（1）过点M 作//MH SB 交AB 于点H ，过点H 作PQ ⊥AB ，此时满足SB //平面PMQ ，且PQ 取得最小值，因为2,3AM MS AS == ，所以2AH HB =，因为,2AC BC AC BC ⊥==，由勾股定理得32AB ==，故2,1AH HB ==，连接OQ ，则32OQ =，由勾股定理得HQ =，所以2PQ HQ ==（2）由（1）知，当PQ 取得最小值时，AB ⊥PQ ，连接OS ，则OS ⊥圆O ，因为PQ ⊂圆O ，故OS ⊥PQ ，因为AO OS O = ，,AO OS ⊂平面AOS ，所以PQ ⊥平面AOS ，因为AS ⊂平面AOS ，所以SA PQ ⊥，以O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则1133,0,2,,0,0,,0,,0,0,0,22222P Q B C M ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面BCM 的法向量为(),,m x y z = ，则()()(3333,,,,002222,,0,2,20m CB x y z x y m MB x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅==⎩ ，令1x =，则1,3y z ==，故1,1,3m ⎛= ⎝⎭，设直线PQ 与平面BCM 所成角的大小为θ，则sin cos ,PQ m PQ m PQ m θ⋅====⋅.故直线PQ 与平面BCM 3．(1)证明见解析38【分析】（1）取AC 的中点G ，连接,NG DG ，易证四边形DMNG 为平行四边形，则有//MN DG ，再由线面平行的判定证结论；（2）由题设及面面、线面垂直的性质可得CM DF ⊥、DE CM ⊥，线面垂直的判定有CM ⊥平面DEF ，连接,GE GB 得到CGB DEF -为三棱柱，设DE m =，用m 表示多面体ABCDEF 的体积求参，构建空间直角坐标系，向量法求直线MN 与平面ABF 所成角的正弦值.【详解】（1）取AC 的中点G ，连接,NG DG ，则NG 为ABC 的中位线，所以//NG BC ，且12NG BC =，又//DM BC ，且12DM BC =，所以//NG DM ，且NG DM =，即四边形DMNG 为平行四边形，所以//MN DG ，又MN ⊄平面,ACDE DG ⊂平面ACDE ，故//MN 平面ACDE .（2）连接CM ，在菱形BCDF 中60CBF ∠= ，则,CM DF CM ⊥=在直角梯形ACDE 中AC CD ⊥，所以DE CD ⊥，因为面BCDF ⊥面ACDE ，面BCDF ⋂面,ACDE CD DE =⊂面ACDE ，所以DE ⊥平面BCDF ，又CM ⊂平面BCDF ，故DE CM ⊥，又DF DE D = ，,DF DE ⊂面DEF ，所以CM ⊥平面DEF .连接,GE GB ，因为2AC DE =，即CG DE =，且//CG DE ，所以CDEG 为平行四边形，////CD EG BF 且CD EG BF ==，则CGB DEF -为三棱柱，设DE m =，则2AC m =，三棱柱CGB DEF -的体积1122DEF V S CM m CM =⨯=⨯⨯⨯= .连接GF ，则三棱锥F ABG -的体积21113333ABG BCG DEF V S CM S CM S CM m =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯= .取BF 中点H ，连接CH ，则,CH CD CH ⊥=面BCDF ⊥面ACDE ，面BCDF ⋂面,ACDE CD CH =⊂面BCDF ，则CH ⊥面ACDE ，所以三棱锥F AGE -的体积311123323AGE V S CH m m =⨯⨯=⨯⨯⨯= ，由多面体ABCDEF +=2m =.综上，,,CA CH CD 两两垂直，以C 为坐标原点，,,CA CH CD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()0,0,0,4,0,0,0,1,0,0,2C A B D -，()2,0,0,G ()()1,0,0,2AB BF CD =--== ，()2,0,2NM GD ==- ，设面ABF 的法向量为(),,m x y z = ，由4020AB m x z BF m z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令x =则)4,0m = ，设直线MN 与平面ABF 所成角为θ，所以sin cos ,38NM m θ== ，故直线MN 与平面ABF所成角的正弦值为38.4．在侧棱SC 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SE EC =【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理可证出结论.【详解】在侧棱SC 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SE EC=．理由如下：取SD 中点为Q ，因为3SP PD =，则PQ PD =，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE ．在BDQ △中，有//BQ PO ，PO ⊂ 平面PAC ，⊄BQ 平面PAC ，//BQ ∴平面PAC ，由于2SQ QP =，∴2SE SQ EC QP==．又由于//QE PC ，PC ⊂平面PAC ，QE ⊄平面PAC ，//QE ∴平面PAC ，BQ QE Q ⋂= ，∴平面//BEQ 平面PAC ，又BE ⊂平面BEQ ，//BE ∴平面PAC ，5．(1)证明见解析【分析】（1）取MN 中点Q ，连,CQ DQ ，利用中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行，利用面面平行的判定定理证明平面CDQ 平面BMP ，进一步证明CD 平面BMP ；（2）在四边形ABMN 中，过B 作BE MN ∥交AN 于E ，利用勾股定理得到线线垂直，进而证得面面垂直，利用面面垂直求出锥体的高，代入锥体的体积计算公式即可求解.【详解】（1）如图，取MN 中点Q ，连,CQ DQ ，DQ 为中位线，DQ MP ∴∥，又DQ ⊄平面,BMP MP ⊂平面BMP ，DQ ∴ 平面BMP ，同理，在梯形ABMN 中，CQ MB ∥，又CQ ⊄平面,BMP MB ⊂平面BMP ，CQ ∴ 平面BMP ，且DQ ⊂平面,CDQ CQ ⊂平面,CDQ DQ CQ Q ⋂=，∴平面CDQ 平面BMP ，又CD ⊂平面CDQ ，所以CD 平面BMP .（2）如图，在四边形ABMN 中，过B 作BE MN ∥交AN 于E ，在AEB △中，易得2,2,AE BE AB ===，则222AB AE BE =+，得AE BE ⊥，BE MN∥AN NM ∴⊥，又由已知条件,,,AN NP NM NP N NM NP ⊥⋂=⊂平面NMP ，故AN ⊥平面NMP ，又AN ⊂平面ANMB ，∴平面ANMB ⊥平面NMP .又PNM △是边长为2的正三角形，连接PQ ，因为Q 为MN 的中点，所以PQ MN ⊥，因为平面ANMB ⊥平面NMP ，且平面ANMB 平面NMP MN =，PQ ⊂平面NMP ，所以PQ ⊥平面ANMB ，因为PNM △是边长为2的正三角形，所以PNM △∴四棱锥P ABMN -()·1323P ABMN AN BM MN V -+∴=⨯=.6．(1)证明见解析(2)23【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理证得//MF 面BEO ，11//B D 平面BEO ，从而利用面面平行的判定定理即可得证；（2）先利用线面垂直的判定定理证得BO ⊥平面OEF ，再利用等体积法即可得解.【详解】（1）连接11A C 交11B D 于M ，连接1A C ，MF ，∵在正方体中，O 为AC 的中点，E 为1AA 的中点，∴1//EO A C ，同理1//MF A C ，∴//MF EO ，∵EO ⊂平面BEO ，MF ⊄平面BEO ，∴//MF 面BEO ，∵11//B D BD ，而BD ⊂平面BEO ，11B D ⊄平面BEO ，∴11//B D 平面BEO ，∵11B D MF M ⋂=，11B D ，MF ⊂平面11B D F ，∴平面11//B D F 平面BEO .（2）∵1,BO AC BO C C ⊥⊥，11,,AC CC C AC CC =⊂ 平面OEF ，∴BO ⊥平面OEF ，∵正方体棱长为2，112OEF S =⨯= ，∴112333F BEO B OEF OEF V V S BO --==⋅== .7．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取PC 中点H ，分别连接EH ，FH ，根据E ，F ，H 分别为PD ，AB ，PC 的中点，得到EAFH 为平行四边形，从而EA ∥FH ，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据E ，G 分别为PD ，CD 的中点，得到EG ∥PC ，利用线面平行的判定定理得到EG ∥平面PCF ，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】（1）证明：如图所示：，取PC 中点H ，分别连接EH ，FH ，∵E ，F ，H 分别为PD ，AB ，PC 的中点，∴11//,22EH DC EH DC =，∴EAFH 为平行四边形．∴EA ∥FH .又AE ⊄平面PCF ，FH ⊂平面PCF ，∴AE ∥平面PCF .（2）∵E ，G 分别为PD ，CD 的中点，∴EG ∥PC .又EG ⊄平面PCF ，PC ⊂平面PCF ，∴EG ∥平面PCF .由(1)知AE ∥平面PCF ，EG ∩AE ＝E .∴平面PCF ∥平面AEG .8．(1)证明见解析(2)存在；点N 的轨迹为线段DG （AE 的中点G ）【分析】（1）取AE 的中点G ，连接GF ，DG ，证明CF DG ∕∕，根据面面垂直的性质可得BA ⊥平面ADE ，从而可得BA DG ⊥，在证明DG ⊥平面AEFB ，即可得证；（2）先证明BG ∕∕平面CEF ，DG ∕∕平面CEF ，再根据面面平行的判定定理可得平面BDG ∕∕平面CEF ，再根据面面平行的性质即可得出结论.【详解】（1）如图，取AE 的中点G ，连接GF ，DG ，因为BF AE ∕∕，2AE BF =，所以BF AG ∕∕，BF AG =，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以FG AB ∕∕，FG BA =，又因为BA CD ∕∕，BA CD =，所以FG CD ∕∕，FG CD =，所以四边形CDGF 是平行四边形，所以CF DG ∕∕，因为BA AD ⊥，平面ADE ⊥平面ABCD ，BA ⊂平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，所以BA ⊥平面ADE ，又DG ⊂平面ADE ，所以BA DG ⊥，因为AD DE AE ==，G 为AE 的中点，所以DG AE ⊥，又AE ，BA ⊂平面AEFB ，且AE BA A ⋂=，所以DG ⊥平面AEFB ，所以CF ⊥平面AEFB ；（2）如图，连接BD ，BG ，由（1）知，BF AG ∕∕，BF AG =，所以BF EG ∕∕，BF EG =，所以四边形BGEF 是平行四边形，所以BG EF ∕∕，因为EF ⊂平面CEF ，BG ⊄平面CEF ，所以BG ∕∕平面CEF ，又由（1）知，CF DG ∕∕，CF ⊂平面CEF ，DG ⊄平面CEF ，所以DG ∕∕平面CEF ，因为DG ，BG ⊂平面BDG ，且DG BG G = ，所以平面BDG ∕∕平面CEF ，设点N 为线段DG 上任意一点，则MN ⊂平面BDG ，MN ∕∕平面CEF ，所以点N 的轨迹为线段DG ，长度为3．9．(1)证明见解析(2)93926【分析】（1）利用线面平行的判定，在平面AEC 内找一条线使其和PB 平行；（2）建立空间直角坐标系，通过二面角的大小算出AB 的长度，根据2PE ED =得出三棱锥E ACD -的高，从而进行求解.【详解】（1）连接BD 交AC 于点F ，连接EF因为AB //DC 所以ABF △与CDF 相似，所以AB BF CD DF=又2AB DC =，所以2BF DF=因为E 为PD 上的点且2PE ED=所以PB //EF因为EF ⊂平面,AEC PB ⊄平面AEC所以PB //平面AEC ⋅（2）因为PA ⊥平面,ABCD AB AD⊥所以,,AB AD AP 两两互相垂直．如图，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则()()()()0,0,0,,0,,0,A D E AE = 设()2,0,0(0)B m m >，则()(),C m AC m = 设()1,,n x y z = 为平面AEC 的法向量，则1100n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00z mx ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可取()1,n m =- ．又()21,0,0n = 为平面DAE 的法向量，由题设121cos ,2n n =12=，解得m =因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的高为1．三棱锥E ACD -的体积1113226V =⨯⨯=10．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）通过证明四边形MBFE 是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行；（2）通过DEF 为等腰三角形，推导出FGN ∠即为二面角F ED A --的平面角，即可求出二面角F ED A --的余弦值.【详解】（1）取PA 的中点M ，连接,ME MB ，∵M ，E 分别为,PA PD 的中点，∴ME 是PAD 的中位线，∴//ME AD 且12ME AD =，又F 为BC 的中点，∴//BF AD 且12BF AD =，∴//ME BF 且ME BF =，∴四边形MBFE 是平行四边形，∴,EF MB EF ⊄//平面,PAB MB ⊂平面PAB ，∴//EF 平面PAB ，（2）取,AD DE 的中点N ，G ，连接,NG FG ，设4,PA AB DF EF ====∴DEF 为等腰三角形，∴FG DE ⊥，∵PA AB =，∴AE PD ⊥即NG DE ^，又FG ⊂ 平面FED ，NG ⊂平面AED ，平面FED平面AED DE =，∴FGN ∠即为二面角F ED A --的平面角，∴2221cos 23FG NG FN FGN FG NG +-∠==⋅，∴二面角F ED A --的平面角的余弦值为13．11．(1)证明见解析【分析】（1）利用三角形中位线性质和线面平行的判定可证得//PG 平面C DB '，//PF 平面C DB '，由面面平行的判定可证得结论；（2）取BD 的中点M ，根据已知的长度关系和面面垂直性质可证得C M '⊥平面ABD ，结合线面角定义可得tan C EM '∠=E 点位置，从而求得GFED S 四边形，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）,,P G F 分别为,,AC AD AB '的中点，//PG C D '∴，//PF BC '，,PG PF ⊄ 平面C DB '，,C D BC ''⊂平面C DB '，//PG ∴平面C DB '，//PF 平面C DB '，又PG PF P ⋂=，,PG PF ⊂平面PGF ，∴平面//PGF 平面C DB '.（2）取BD 的中点M ，连接,C M EM '，2AB AD == ，60BAD ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，2BD ∴=，又BC C D ''=222BC C D BD ''∴+=，C DB '∴ 为等腰直角三角形，112C M BD '∴==，C M BD '⊥； 二面角A BD C '--是直二面角，即平面C DB '⊥平面ABD ，平面C DB '⋂平面ABD BD =，C M '⊂平面C DB '，C M '∴⊥平面ABD ，C EM '∴∠即为C E '与平面ABD 所成角，1tan 3C M C EM EM EM ''∴∠===，解得：2EM =；在EMB △中，由余弦定理得：2222cos60EM BM BE BM BE =+-⋅ ，即2314BE BE =+-，解得：12BE =，E ∴为线段AB 上靠近点B 的四等分点，111442ABD AGF BDE ABD ABD ABD ABD GFED S S S S S S S S ∴=--=--= 四边形211222=⨯⨯=111113232212P GFED GFED V S C M -'∴=⨯⨯=⨯⨯⨯=四棱锥四边形.12．(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据已知结合中位线性质得出1GE B B ，1GF BC ，即可根据两平面平行的判定定理证明；（2）根据已知得出111EO A B C O 、、两两垂直，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法得出答案.【详解】（1） 点G 为侧面11ABB A 对角线的交点，∴点G 为1AB 与1A B 的中点，点,E F 分别为11,AB A C 的中点，1//GE B B ∴，1//GF BC ，GE GF G ⋂= ，1B B BC B = ，且GE GF ⊂、平面EFG ，1B B BC ⊂、平面11BB C C ，∴平面EFG 平面11BB C C ；（2）延长EG 与直线11A B 交于点O ，连接1C O ，点E 分别为AB 的中点，G 为侧面11ABB A 对角线的交点，且侧面11AA C C 为矩形，11EO A B ∴⊥，且O 为直线11A B 中点，平面11AA C C ⊥平面111A B C ，1C O ⊂平面111A B C ，1EO C O ∴⊥，答案第15页，共15页1111112A B B C C A === ，111C O A B ∴⊥，则以点O 为坐标原点，向量1OC 、1OB 、OE 方向为x y z 、、轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,1,3B，)C，()10,1,0A -，)1C ，则)1,0BC =- ，()1023BA =-- ，，，)113BC =-- ，，设平面11BA C 的一个法向量为(),,n x y z =r，1123030n BA y z n BC y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令2z =，则)3,2n =- ，设直线BC 与平面11BA C 所成角为θ，则3sin cos ,4n BC θ== ，故直线BC 与平面11BA C 所成角的正弦值为34.。

一、选择题1．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，15AA =，则V 的最大值是（ ）A ．4πB ．92π C ．1256πD ．323π2．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ） A ．9B ．7C ．92D ．723．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 D ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直4．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C ，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（ ）①//BM 平面1A DE ；②三棱锥M DEC -22； ③5BM =④一定存在某个位置，使1DE A C ⊥； A ．①②B ．①②③C ．①③D ．①②③④5．如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π6．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D －中，M 为AB 的中点， 则点C 到平面1A DM 的距离为（ ） A ．6a B ．6a C ．22a D ．12a 7．体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为（ ） A ．773π B ．2873π C ．1919π D ．7619π 8．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A ．183 B ．182C ．123D ．2439．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为（ ） A ．1：1B ．2：1C ．1：2D ．3：110．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．2π11．边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得ACD 垂直于底面ABC ，则点C到平面ABD 的距离为（ ）A ．26B ．23C ．223D ．6 12．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．下列命题中正确的个数有（ ）个 ①不共面的四点中，其中任意三点不共线 ②依次首位相接的四条线段必共面③若点,,,A B C D 共面，点,,,A B C E 共面，则点,,,,A B C D E 共面 ④若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面 A ．1 B ．2C ．3D ．414．αβ、是两个不同的平面，mn 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④.m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、解答题15．在如图所示的几何体中，侧面CDEF 为正方形，底面ABCD 中，//AB CD ，222AB BC DC ===，30BAC ∠=，AC FB ⊥.（1）求证：AC ⊥平面FBC ；（2）线段AC 上是否存在点M ，使//EA 平面FDM ？证明你的结论. 16．如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2BAD BDC π∠=∠=，BM MD DC ==，且ACD 为正三角形.（1）证明：CM AD ⊥；（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥面ABCD ，2PD AB ==，,,E F G 分别为,,AB PC PD 的中点.（1）证明：直线/ /EF 平面PAD ； （2）求EF 与平面ABCD 所成角的正弦值.18．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2ABCB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S . 19．如图所示，在四面体ABCD 中，点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，AB BD ⊥，2AB =，3PR =22CD =.（1）证明：//CD 平面PQR ； （2）证明：平面ABD ⊥平面BCD .20．如图，已知三棱台111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，侧面11BCC B 是等腰梯形，111224AB BB B C ===，E 为AC 的中点.（1）求证：1AA BC ⊥；（2）求直线1B E 与平面11ACC A 所成角的正弦值.21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ； （2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .22．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE ．（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；（2）当BED面积的最小值是6时，求此时点E到底面ABCD的距离．23．如图，棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别为棱B1C1、BB1中点，G在A1D 上且DG＝3GA1，过E、F、G三点的平面α截正方体.（1）作出截面图形并求出截面图形面积（保留作图痕迹）；（2）求A1C1与平面α所成角的正弦值. （注意：本题用向量法求解不得分）24．如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC中点，F在棱AC上，且AF=3FC.（1）求三棱锥D-ABC的体积；（2）求证：AC⊥平面DEF；（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且3,8CN CA=求证：MN//平面DEF.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥D PBQ -的体积．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点.（1）确定E 的位置，使//PB 平面AEC ； （2）设1==PA AB ，3PC =，根据（1）的结论，求点E 到平面PAC 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先保证截面圆与ABC 内切，记圆O 的半径为r ，由等面积法得()68AC AB BC r ++=⨯，解得2r．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．【详解】解：如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切． 先保证截面圆与ABC 内切，记圆O 的半径为r ，则由等面积法得1111 (682222)ABC S AC r AB r BC r =++=⨯⨯△， 所以()68AC AB BC r ++=⨯，又因为6AB =，8BC =，所以10AC =，所以2r．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若r 增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，所以3344322333V r πππ==⋅=．故选：D ．【点评】本题考查球的最大体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题.2．C解析：C 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥. 又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥. 易知23AE x =+23ED y =+在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=， 即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，212SE x =+22933ED y x=+=+. 所以221110834522SED S SE ED x x∆=⋅=++. 因为22221081083336x x x x+≥⋅=， 当且仅当6x =6y =19364522SED S ∆≥+=.故选：C. 【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.3．D解析：D 【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项． 【详解】如图，平面ABCD平面11D C BA AB =，1BB ⊥平面ABCD ，但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行，故A 错． 又设平面α平面l β=，则l α⊂，因m α⊥，故m l ⊥，故B 、C 错，综上，选D ．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例．4．B解析：B 【分析】①通过线面平行的判定定理判断正确性；②求得三棱锥M DEC -的体积最大值来判断正确性；③结合①判断正确性；④利用反证法判断正确性. 【详解】①，设F 是AD 的中点，折叠过程中1F 是1A D 的中点，连接11,F M EF ， 由于M 是1A C 的中点，所以1F M 是三角形1A CD 的中位线， 所以111//,2F M CD F M CD =.由于E 是AB 的中点，所以1//,2BE CD BE CD =. 所以11//,F M BE F M BE =，所以四边形1BEF M 是平行四边形， 所以1//BM EF ，由于BM ⊄平面1A DE ，1EF ⊂平面1A DE ，所以//BM 平面1A DE ，所以①正确. ②，由于M 是1A C 的中点，所以112M DEC A DEC V V --=. 在折叠过程中，三角形DEC 的面积为定值14242⨯⨯=， 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，1A 距离平面ABCD 的距离最大.过A 作AO DE ⊥，交DE 于O ，连接1A O ，则1AO DE ⊥. 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，由于平面1A DC 平面ABCD DE =，所以1A O ⊥平面ABCD .222222DE =+=，则1122222AE AD AE AD DE AO AO DE ⋅⋅=⋅⇒===， 则12AO =.所以三棱锥1A DEC -体积的最大值为1424233⨯⨯=， 所以三棱锥M DEC -体积的最大值为142222⨯=.所以②正确. ③，由①知221415BM EF EF AE AF ===+=+=，所以③正确.④，由于22222,4,DE CE CD DE CE CD ===+=，所以DE CE ⊥.若1DE A C ⊥，1CE AC C ⋂=， 则DE ⊥平面1A CE ，则1DE A E ⊥，根据折叠前后图象的对应关系可知14DEA DEA π∠=∠=，与1DE A E ⊥矛盾，所以④错误. 综上所述，正确的为①②③. 故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、几何体体积、线线垂直等知识.5．C解析：C 【分析】根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴26R ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.6．A解析：A【分析】根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=得解.【详解】画出图形如下图所示，设C 到平面1A DM 的距离为h ，在△1A DM 中11,,A M DM a A D ===1A ∴到DM则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=，即11113232a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，解得h =， 故选:A.【点睛】本题考查利用等体积法求距离，属于基础题.7．B解析：B【分析】根据三棱锥的体积求出S △ABC ＝33，在三角形ABC 中，根据余弦定理和正弦定理求出△ABC 外接圆的半径r 的最小值，从而可求出外接球半径的最小值和外接球体积的最小值.【详解】设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由题可得3＝13×S △ABC ×2，解得S △ABC ＝33. 因为∠ABC ＝120°，S △ABC ＝332＝12ac sin 120°，所以ac ＝6， 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ＝18，当且仅当a ＝c 时取等号，此时b min ＝32.设△ABC 外接圆的半径为r ，则sin120b ＝2r (b 最小，则外接圆半径最小)，故3232＝2r min ，所以r min ＝6. 如图，设O 1为△ABC 外接圆的圆心，D 为PA 的中点，R 为球的半径，连接O 1A ，O 1O ，OA ，OD ，PO ，易得OO 1＝1，R 2＝r 2＋OO ＝r 2＋1，当r min 6时，2min R ＝6＋1＝7，R min 7故球O体积的最小值为43π3minR＝43π×(7)3＝287π.故选：B【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，考查了正弦定理，考查了余弦定理，属于中档题.8．B解析：B【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.可得πr2+πrl＝36π，2πr＝l•23π，联立解得：r，l，h22l r=-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh.【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•23π，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h22l r=-=2.该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh＝2=2.故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 9．B解析：B【分析】分别计算圆柱和圆锥的表面积，相比得到答案.【详解】圆柱的表面积22 13222aS a a aπππ⎛⎫=⋅+⋅=⎪⎝⎭；圆锥的表面积22213224aS a a aπππ⎛⎫=⋅+=⎪⎝⎭，故1221SS=.故选：B.【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10．C解析：C【分析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积【详解】几何体为三棱锥，可以将其补形为长和宽都是2，高为2的长方体该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个故22222(2)(2)22R=++=，2R=所以外接球的表面积为：248Rππ=．故选：C【点睛】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.11．A解析：A【分析】取AC的中点O，连接DO和BO，由等腰三角形的性质得出DO AC⊥，可求出DO和BO的长，再由平面ACD⊥平面ABC，根据面面垂直的性质可得DO⊥平面ABC，进而得到DO OB ⊥，利用勾股定理即可求出BD ，最后利用等体积法得出C ABD D ABC V V --=，进而求出点C 到平面ABD 的距离.【详解】解：取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，则DO AC ⊥，BO AC ⊥，由于四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AD CD AB BC ∴====， 则222222AC =+=，()22222DO BO ==-=，由题知，平面ACD ⊥平面ABC ，且交线为AC ，而DO ⊂平面ACD ，则DO ⊥平面ABC ，又BO ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥，∴在Rt BOD 中，()()22222BD =+=，∴ABD △是等边三角形，则122sin 6032ABD S =⨯⨯⨯=△， 则在Rt ABC 中，12222ABC S =⨯⨯=， 设点C 到平面ABD 的距离为d ， 则C ABD D ABC V V --=，即1133ABD ABC S d S DO ⋅=⋅△△， 即：1132233d ⨯=⨯⨯，解得：263d =， 即点C 到平面ABD 的距离为263. 故选：A.【点睛】本题考查利用等体积法求点到面的距离，还涉及面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查推理证明和运算能力.12．C解析：C【分析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案．【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：观察可知截面不可能出现直角三角形.故选：C【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．13．A解析：A【分析】假设存在三点共线，则四个点必共面，可判断①；借助空间四边形可判断②；当A，B，C共线时，可判断③；由共面不具有传递性可判断④【详解】①正确，可以用反证法证明，假设存在三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②不正确，例如空间四边形的四个顶点就不共面；③不正确，A，B，C共线时，这两平面有三个公共点A，B，C；④不正确，共面不具有传递性，若直线,a b共面，直线,a c共面，则直线,b c可能异面.故选：A【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系判断，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理能力，属于中档题14．B解析：B【分析】分别以①②③④作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假.【详解】若m n ⊥，αβ⊥，n β⊥，则m 与α可能平行可能相交，即①②③不能推出④； 同理①②④不能推出③；若m n ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则αβ⊥，即①③④能够推出②；若αβ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即m n ⊥，所以②③④能够推出①.所以一共两个命题正确.故选：B【点睛】此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.二、解答题15．（1）证明见解析；（2）M 为AC 的中点，证明见解析.【分析】（1）本题首先可通过正弦定理得出90ACB ∠=以及AC BC ⊥，然后根据AC FB ⊥以及线面垂直的判定即可证得结果；（2）本题首先可取AC 的中点M ，连接CE 、MN ，然后通过三角形中位线的性质得出//EA MN ，最后通过线面平行的判定即可得出结果.【详解】（1）因为30BAC ∠=，2AB =，1BC =， 所以sin sin AB BC ACB BAC =∠∠，即211sin 2ACB ，解得sin 1ACB ∠=，90ACB ∠=，AC BC ⊥，因为AC FB ⊥，BC FB B ⋂=，所以AC ⊥平面FBC .（2）当M 为AC 的中点时，//EA 平面FDM .证明如下：如图，取AC 的中点M ，连接CE ，与DF 交于点N ，连接MN ，因为四边形CDEF 为正方形，所以N 为CE 的中点，因为M 是AC 的中点，所以//EA MN ，因为MN ⊆平面FDM ，EA ⊄平面FDM ，所以//EA 平面FDM .【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直与线面平行的判定，若直线与平面内的两条相交直线都垂直，则线面垂直，若平面外一条直线平行平面内一条直线，则线面平行，考查数形结合思想，是中档题.16．（1）证明见解析 ；（23 【分析】（1）取AD 中点P ，连结MP ，CP ，推导出CP AD ⊥，MP AD ⊥，从而AD ⊥面CMP ，由此能证明CM AD ⊥．（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，则MH ⊥面ACD ，MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角，由此能求出直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）取AD 中点P ，连结,MP CP ，由ACD 为正三角形可得CP AD ⊥， 又由,//2BAD MP AB π∠=得MP AD MP CP P ⊥⋂=，， ∴AD ⊥面CMP ，又∵CM ⊂面MPC ，∴CM AD ⊥；（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，由（1）可知，,AD MH CP AD P ⊥⋂=， ∴MH ⊥面ACD ，∴MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角，不妨设1CD =，则332,22CM MP CP ===，∴262cos32MCP∠==∴3sin MCP∠=所以直线CM与平面ACD所成角的正弦值为33.【点睛】求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.17．（1）证明见解析；（25【分析】（1）证明四边形AEFG为平行四边形即可得直线//EF平面PAD；（2）将EF与平面ABCD所成角转化为AG与平面ABCD所成角，进而得GAD∠为AG与平面ABCD所成角，即可求解.【详解】证明：（1）F为PC的中点，//FG CD∴，且12FG CD=，又//AE CD，且12AE CD=，∴四边形AEFG为平行四边形，∴//EF AG，又EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，//EF∴平面PAD.（2）由（1）知，//EF AG，又因为PD⊥面ABCD，所以，AG 在平面ABCD 内的射影为AD ，则GAD ∠为AG 与平面ABCD 所成角，2AD PD ==，1GD =，在RT ADG 中，225AG AD PD =+=，5sin 5GD GAD AG ∠===， ∴EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为5. 【点睛】本题考查线面平行与线面角的求解，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.常见的线面平行的证明方法有：①通过面面平行得线面平行；②通过线线平行得线面平行，再证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形性质；常见的线面角的求解方法有：①几何法——即找出线面角的平面角，再根据几何关系求解；②利用空间向量求解.18．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2） 在1CEA 中可以证明1A E CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝，1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，CE ∴11222S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，CE 1EA 1AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,1h A E ∴＝3V Sh =＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）推导出//PQ DC ，由此能证明//CD 平面PQR . （2）推导//RQ AB ，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =，从而RQ BD ⊥，PQ RQ ⊥，进而RQ ⊥平面BCD ，由此能证明平面ABD ⊥平面BCD .【详解】 证明：（1）点P ，Q 分别为棱BC ，BD 的中点，//PQ DC ∴，PQ ⊂平面PQR ，CD ⊂/平面PQR ，//CD ∴平面PQR .（2）点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，//RQ AB ∴，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =， AB BD ⊥，RQ BD ∴⊥，2AB =，PR =CD =112RQ AB ∴==，12PQ CD ==， 222PQ QR PR ∴+=，PQ RQ ∴⊥， BD PQ Q ⋂=，RQ ∴⊥平面BCD ， RQ ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD .【点睛】思路点睛：证明线面平行、面面垂直的常见思路：（1）证明线面平行的思路：通过三角形中位线或者证明平行四边形说明线线平行或者证明面面平行；（2）证明面面垂直的思路：证明线面垂直结合面面垂直的判定定理完成证明. 20．（1）答案见解析；（2）6． 【分析】（1）分别取BC 、11B C 的中点O 、1O ，连接11A O 、1OO 、AO ，则AO BC ⊥，由平面11BCC B ⊥平面ABC ，推出AO ⊥平面11BCC B ，同理可得，11A O ⊥平面11BCC B ，故11//AO AO ，即1A 、1O 、O 、A 四点共面；易知1OO BC ⊥，而AO BC ⊥，于是有BC ⊥平面11AO OA ，故而得证；（2）由（1）知，AO ⊥平面11BCC B ，得1AO OO ⊥，于是1OO ，OA ，OB 两两垂直，故以O 为原点，OA 、OB 、1OO 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面11ABB A 的法向量n ，设直线1EB 与平面11ABB A 所成角为θ，由1sin |cos EB θ=<，|n >，即可得解．【详解】（1）证明：分别取BC 、11B C 的中点O 、1O ，连接11A O 、1OO 、AO ，ABC ∆为正三角形， AO BC ∴⊥，平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AO ⊂平面ABC ，AO ∴⊥平面11BCC B ，同理可得，11A O ⊥平面11BCC B ，11//AO AO ∴，1A ∴、1O 、O 、A 四点共面．等腰梯形11BCC B 中，O 、1O 分别为BC 、11B C 的中点，1OO BC ∴⊥，又AO BC ⊥，1AO OO O ⋂=，AO 、1OO ⊂平面11AO OA ，BC ∴⊥平面11AO OA ，1AA ⊂平面11AO OA ， 1AA BC ∴⊥．（2）解：由（1）知，AO ⊥平面11BCC B ，1OO ⊂平面11BCC B ， 1AO OO ∴⊥，1OO ∴，OA ，OB 两两垂直，故以O 为原点，OA 、OB 、1OO 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(23A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0B ，13)，(0C ，2-，0)，(3E 1-，0)，∴1(3EB =-23)，(23AB =-，2，0)，1(0BB =，1-3)，设平面11ABB A 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1·0·0n AB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即232030x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3y =1x =，1z =，∴(1n =31)，设直线1EB 与平面11ABB A 所成角为θ， 则1sin |cos EB θ=<，11·236|343131·EB n n EB n>===++⨯++，故直线1EB 与平面11ABB A 所成角的正弦值为65． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连接1B C ，可知点D 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出11//OD A B ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出四边形11AAC C 为菱形，可得出11AC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BC ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）如下图所示，连接1B C ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形，D 为1BC 的中点，则D 为1B C 的中点，同理可知，点O 为1A C 的中点，11//OD A B ∴， OD ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，因此，//OD 平面111A B C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11//AA CC 且11AA CC =， 所以四边形11AAC C 为平行四边形，1AC CC =，所以，平行四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥， 1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1AC B ，因此，平面1AC B ⊥平面1A BC .【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可. 22．（1）证明见解析；（2）334． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得BD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理可得证．（2）由（1）知BD ⊥平面PAC ，根据三角形的面积公式求得()min 32OE =，作//EH PA 交AC 于H ，可得EH ⊥平面ABCD ，从而求得点E 到底面ABCD 的距离． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥．又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ．（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ．BD OE ∴⊥．∵8BD =，由()min 162BDE S BD OE =⋅⋅=△，得()min 32OE =， ∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值32，此时2222333322CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． 作//EH PA 交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ， 如图（2），由33OE CE EH OC ⋅==，得点E 到底面ABCD 的距离33．【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于中档题.23．（1）截面见解析，面积为22；（2）12. 【分析】（1）先根据线面平行的性质定理确定出,EF MN 的位置关系，再根据,EF MN 的长度关系确定出,M N 的位置，从而截面的形状可确定以及截面面积可求； （2）记11MEAC H =，通过线面垂直证明1A HG ∠即为所求的线面角，从而计算出11A C 与平面α所成角的正弦值.【详解】（1）如图截面为矩形EFNM ：因为//EF 平面11ADD A ，且平面EFNM 平面11ADD A MN =，所以//EF MN ，又因为111111////,==22EF BC AD EF BC AD ，且3DG GA =，所以可知111//,2MN AD MN AD =， 所以//,MN EF MN EF =，所以可知,M N 为棱111,AA A D 的中点， 所以四边形EFNM 为矩形，且112,2EF ME =+==，所以截面EFNM 的面积为22；（2）记11MEAC H =，连接GH ，如图所示：因为//NF AB ，AB ⊥平面11AA D D ，所以NF ⊥平面11AA D D ，又1AG ⊂平面11AA D D ，所以1NF A G ⊥，由（1）知1//MN AD 且11A D AD ⊥，所以1MN A D ⊥，所以1MN AG ⊥，且MN NF N =，1A G ⊥平面EFNM ，所以11A C 与平面α所成角为1A HG ∠，因为111442AG A D ===，11112A H AC ==1111sin 2A G A HG A H ∠==， 所以11A C 与平面α所成角的正弦值为12. 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果. 24．（1）312a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行． 【详解】（1）由题意24BCD S a =△，2311·33412D ABC A DBC DBC V V S AB a a a --===⨯⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则AC AD ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥， ∵3AF FC =，∴4CF a =，又12CG a =，∴CF CDCG CA =，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心，23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论． 25．（1）证明见解析；（2）14【分析】（1）由余弦定理可得23BD =，证得AD BD ⊥，则BC BD ⊥由PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，证得PD BC ⊥，得证．（2）Q 为PC 的中点，利用等积法12D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----=== ，即可求出结果. 【详解】(1) 在ABD △中，由余弦定理得2222cos 3BD BA AD BA AD DAB =+-⋅∠=， ∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，∵//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴PD BC ⊥.∵PD BD D ⋂=，∴BC ⊥平面PBD .（2）因为Q 为PC 的中点,所以三棱锥D PBQ -的体积A PBQ V -, 与三棱锥D QBC -的体积相等， 即1111313232412D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----=⨯⨯====.所以三棱锥A PBQ -的体积14D PBQ V -=. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，在含有长度时需要解三角形来证垂直，并且不要忘记线面垂直的性质运用，在求三棱锥的体积时注意等体积法的使用 26．（1）E 为PD 的中点；（2）24. 【分析】（1）E 为PD 的中点，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//OE PB ，故而//PB 平面AEC ；（2）点E 到平面PAC 距离等于点D 到平面PAC 距离的12倍，由1122E PAC D PAC P ACD V V V ---==可得答案.【详解】（1）E 为PD 的中点.证明：连接BD ，使AC 交BD 于点O ，取PD 的中点为E ，连接EO ， ∵O ，E 分别为BD ，PD 的中点， ∴//OE PB .又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴//PB 平面AEC . （2）222AC PC PA =-=∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，即菱形ABCD 为正方形.又点E 到平面PAC 距离等于点D 到平面PAC 距离的12倍， 设点E 到平面PAC 的距离为h ， ∴1122E PAC D PAC P ACD V V V ---==， 111111211132322h ⎛⎛⎫⨯⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎝⎭解得24h =.【点睛】本题考查了线面平行的判定，等体积法求棱锥的高，属于基础题．。

立体几何基础A 组题一、选择题：1．下列命题中正确命题的个数是 （ ） ⑴ 三点确定一个平面⑵ 若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内 ⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0B.1C.2D.3答案：A2．已知异面直线a 和b 所成的角为︒50，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是︒30的直线条数有且仅有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案：B 3．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是 （ ） (1) 若βα//，则m l ⊥ (2) 若βα⊥，则m l // (3) 若m l //，则βα⊥ (4) 若 m l ⊥，则βα//A.(3)与（4）B.（1）与（3）C.（2）与（4）D.（1）与（2）答案：B4．已知m 、n 为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l （ ） A.与m 、n 都相交 B.与m 、n 中至少一条相交 C.与m 、n 都不相交 D.至多与m 、n 中的一条相交答案：B5．设集合A={直线}，B={平面}，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，则下列命题中的真命题是 （ ）A. c a b a b c ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// B.c a c b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ C.c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ D. c a b c b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//答案：A6．已知a 、b 为异面直线，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AC=AD ，BC=BD ，则直线a 、b 所成的角为 （ ） A. ︒90 B. ︒60 C. ︒45 D. ︒30答案：A7．下列四个命题中正确命题的个数是 （ ） 有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱是正方体底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥A.1个B.2个C.3个D.0个答案：D8．设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这些集合之间关系是 （ ） A.Q M N P B.Q M N P C.Q N M P D.Q N M P答案：B9．正四棱锥P —ABCD 中，高PO 的长是底面长的21，且它的体积等于334cm ，则棱AB 与侧面PCD 之间的距离是 （ ） A.cm 2 B. cm 2 C. cm 1 D.cm 22答案：A10．纬度为α的纬圈上有A 、B 两点，弧在纬圈上，弧AB 的长为απcos R （R 为球半径），则A 、B 两点间的球面距离为 （ ）A. R πB. R )(απ-C. R )2(απ-D. R )2(απ-答案：D11．长方体三边的和为14，对角线长为8，那么 （ ） A.它的全面积是66 B.它的全面积是132C.它的全面积不能确定D.这样的长方体不存在答案：D12．正四棱锥P —ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于（ ）A.21B. 22C. 32D. 33答案：D13．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是 （ ）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四边形答案：B二、填空题：14．正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的重点，则EF 与BG 所成角的余弦值为________________________答案：510 15．二面角βα--a 内一点P 到两个半平面所在平面的距离分别为22和4，到棱a 的距离为24，则这个二面角的大小为__________________答案：︒︒16575或16.四边形ABCD 是边长为a 的菱形，︒=∠60BAD ，沿对角线BD 折成︒120的二面角A —BD —C 后，AC 与BD 的距离为_________________________答案：a 43 17．P 为︒120的二面角βα--a 内一点，P 到α、β的距离为10，则P 到棱a 的距离是_________________答案：3320 18．如图：正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成︒60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是______________________答案：4219．已知三棱锥P —ABC 中，三侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角的大小分别为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos _______________答案：1 20．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____________（只需写出一个可能的值）。

1．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．2．已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。

（1）求证：MN //平面PAD ； （2）当∠PDA ＝45°时，求证：MN ⊥平面PCD ；F CBAEDA B C D EF 3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证： （1）直线EF// 面ACD ； （2）平面⊥EFC 面BCD ．4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC 的中点，求证 AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1， 求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由]立体几何大题训练(3)C15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点． 求证：（1）MN//平面ABCD ； （2）MN ⊥平面B 1BG ．6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．立体几何大题训练(4)7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，_ G_ M _ D_1_ C_1_ B_1_ A_1_ N_ D _ C_ B _ ABA 1FE、E1分别是棱AD、AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥面BB1C1C。

立体几何测试题(共10篇)立体几何测试题（一）: 立体几何问题立体几何试题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.1.EF平行于B1D1,B1D1平行于BD,所以EF平行于BD,EFBD四点共面2.F,D,A,C1属于平面A1ACC1,且AC1与PQ不平行,所以AC1与PQ相交A1C交平面DBFE于R点,又因为PQ属于平面DBFE,所以AC1与PQ相交于R 所以R属于PQ,PQR共线立体几何测试题（二）: 几个书后练习题立体几何1.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.是否正确2.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.为什么不对谢不对,因为a有可能在经过b的面上,不是平行关系立体几何测试题（三）: 一道数学基本的立体几何的题目~在正方形ABCD-A"B"C"D"中,P、Q分别为A"B"、BB"的中点.（1）求直线AP与CQ所成的角的大小（2）求直线AP与BD所成的角的大小我还没学过空间向量,1.取DC中点E,连EC,证明EC平行AP,用余弦定理算2.取AB中点F,连接FB,用余弦定理算【立体几何测试题】立体几何测试题（四）: 求大量立体几何难题!立体几何综合试题（自己画图）1、已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点.（1）求证：DE‖平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小.2、已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB＝AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1＝2∶1,BF ＝BC＝2a.（I）若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么证明你的结论3、在底面是直角梯形的四棱锥中,AD‖BC,∠ABC＝90°,且 ,又PA⊥平面ABCD,AD＝3AB＝3PA＝3a.（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离.4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.5、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P 在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小.8、已知在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D 1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.9、直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB‖CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别是CC1、C1D1的中点.点P到直线AD1的距离为⑴求证：AC‖平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小10、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心.（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；这些题应该还可以!你来试试吧!题不要求多就精就可以了!不懂的或不会做的,我来帮你解答!立体几何测试题（五）: 立体几何初步练习题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱B1C1,C1D1,A1B1,D1A1的中点,求证（1）MN平行于DEF,(2)平面AMN平行于平面CEF(1)连接B1D1因为MN、EF为三角形A1B1D1、B1C1D1的中位线,所以MN平行于EF因为MN不属于面DEF,EF属于面DEF所以MN平行于面DEF(2)这题题目错了吧,应该是DEF吧立体几何测试题（六）: 解析几何基础知识练习题靠!一楼的那么多废话那么多选择题：集合,函数（图像）,立体几何,圆锥一、数学命题原则 1．普通高等学校招生数学科的考试,按照“考查基础知识的【立体几何测试题】立体几何测试题（七）: 高一必修二立体几何习题1-7的题仓库的房顶呈正四棱锥形,量的地面的边长为2.6m,侧棱长2.1m,先要在房顶上铺一层油毡纸,问：需要油毡纸的面积多少运用海伦公式房顶为4个相同的三角形海伦公式a=2.6 b=2.1 c=2.1 p=a+b+c/2=3.4S=根号下p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=2.1444S=2.144*4=8.576平方米立体几何测试题（八）: 怎么根据题目画数学的立体几何图形搞懂了题目的要求,就照那意思去画,立体几何记住透视很重要.立体几何测试题（九）: 求立体几何判断题的解题方法.①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直⑤……等等,诸如此类.见到很多这样的题目,但是却总找不到解题的方法,概念定理也经常记混.本人感激不尽!记一些模型,例如墙角模型什么的这个很重要.遇见不熟悉的题,用书本和笔（手指也可以）比划一下.这种题目主要是找反例!想象力也很重要啦……立体几何测试题（十）: 一道高中立体几何的题目.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,O1是底面A1B1C1D1的中心.E 是CO1上的点,设CE等于X,四棱锥E-ABCD的体积为y,求y关于X的函数关系式..图只有自己画一下了,做EF垂直于平面ABCD 垂足为F易得出CEF相似于O1CC1因为C1O1=根号2 CC1=4 得CO1=3根号2CE/CO1=EF/CC1 得出EF=4X/3根号2Y=底面积*EF/3=4*4X/9根号2Y=8根号2*X/9职高立体几何测试题空间立体几何测试题。

高中数学必修2立体几何练习题一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．27．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．16．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．参考答案一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．答案：A解析：解：设正四棱台的高为h，斜高为x，由题意可得4••（3+6）x=32+62，∴x=．再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得h==2，故选A．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°答案：C解析：解析：如图，四棱锥P-A B C D中，过P作P O⊥平面A B C D于O，连接A O则A O是A P在底面A B C D上的射影．∴∠P A O即为所求线面角，∵A O=，P A=1，∴c o s∠P A O==．∴∠P A O=45°，即所求线面角为45°．故选C．3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S答案：A解析：解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：消去r，然后代入一个方程，可得2故选A．4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解：把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，如图所示，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥，当侧面A C D⊥底面A B C时，体积最大值==，正确；②由①可知：当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为∠O B D=45°，正确；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，），因此不正确；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，由①可知：异面直线B C与A D所成角为90°，因此不正确．综上可知：只有①②正确．故选：C．5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm答案：B解析：解：因为底面是一个正方形，一共有四条棱，皮球心距这四棱最小距离是10，∵四条棱距离正方形的中心距离为10，所以皮球的表面与8根铁丝都有接触点时，半径应该是边长的一半∴球的半径是10故选B．6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．2答案：A解析：解：将平面A B A1和平面B C D D1A1放在同一个平面上，如图，则A M+M D1的最小值即为线段A D1，在直角三角形A E D1中，A E=，E D1=，∴A D1==，故选A．7．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．答案：B解析：解：如图所示：A．如图（1）符合条件但却不是棱柱；B．图中P A⊥底面A B C，A B是圆O的直径，点C是圆上的一点，则四个面都是直角三角形，符合题意；C．其侧棱不相较于一点，故不是棱台；D．以直角三角形的斜边A B为轴旋转得到的是两个对底的圆锥．综上可知：只有B正确．故选B．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：平行六面体，如图所示：∵∠B A A1=∠D A A1=60°∴A1在平面A B C D上的射影必落在直线A C上，∴平面A C C1A1⊥平面A B C D，∵A B=1，A D=2，A A1=3，∵=∴||2=（）2=||2+||2+||2+2+2+2=1+9+4+0+2×1×3×+2×2×3×=23，∴||=，∴A C1等于．故选：B．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]答案：D解析：解：∵正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y m i n=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y m a x=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体答案：C解析：解：若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直，则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，故C满足要求；各个面都是矩形的平行六面体，其底面可能不是正方形，故D不满足要求；故选C二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•答案：解析：解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：，所以r=，设正方体的最大棱长为a，所以，，a=故答案为：12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．答案：64π解析：解：圆柱的侧面展开图是正方形，如图；设圆柱的底面半径为r，高为l，∵圆柱的底面面积是16，∴πr2=16，∴r=；∴l=2πr=2π×=8，∴圆柱的侧面积是l2==64π；故答案为：64π．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．答案：（0，）解析：解：根据条件，四根长为1的直铁棒与两根长为x的直铁棒要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为1的正三角形，三条侧棱长为1，x，x，如图，此时x应满足：∵A D=，S D=，且S D＜S A+A D，∴＜1+，即x2＜2+，∴＜x＜；②构成三棱锥的两条对角线长为x，其他各边长均为1，如图所示，此时应满足0＜x＜；综上，x的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．答案：解析：解：∵一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，∴正方体的面对角线与棱的夹角，∵设正方体的棱长为1，∴A到三角形A B1D1中心的距离为：×=，∴A1点到面A B1D1距离为：=，∴s i nα=∴s i n12α=（）6=，故答案为：15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．答案：解析：解：∵四棱锥的中截面与底面相似，且相似比为1：2，面积比为1：4，∴若正四棱锥的中截面的面积为Q，则底面面积为4Q，∵底面为正方形，面积为边长的平方，∴它的底面边长为2故答案为216．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．答案：解析：解：∵四棱锥有5个面组成，∴n=5，当四棱锥的底面是矩形，一条侧棱与底面垂直时，四棱锥的4个侧面都是直角三角形，∴m=4，∴四棱锥“直度”的最大值为，故答案为：．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．答案：①④⑤解析：解：①若P A⊥B C，P B⊥A C，因为P H⊥底面A B C，所以A H⊥B C，同理B H⊥A C，可得H是△A B C的垂心，正确．②若P A=P B=P C，易得A H=B H=C H，则H是△A B C的外心，不正确．③如果棱P A和B C所成的角为60°，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1或；不正确．④如果三棱锥P-A B C的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于，正确．⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s，正确．故答案为：①④⑤．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．答案：解：设长方体的三度分别为：a，b，c，由题意可知：a b=6，b c=2，a c=3所以，a=3，b=2，c=1，所以长方体的对角线长为：故答案为：．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．答案：36解析：解：如图所示，四面体A B1C D1与四面体A1B C1D的重叠部分是以长方体各面中心为定点的多面体，摘出如图，设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则a b c=216，重叠部分的体积为两个同底面的四棱锥体积和，等于．故答案为：36．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______答案：解：因为在长方体中，底面对角线的平方是底面长和宽的平方和，体对角线的平方等于面对角线的平方加上高的平方；长方体对角线的长：故答案为：三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．答案：解：（1）如图所示，∵P O⊥平面A B C D，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，∴∠P A O=45°，∴P O=O A=，P O1=O1A1=a．分别取A B，A1B1的中点E，E1，连接O E，O1E1．则P E==，P E1==．∴斜高E E1=P E-P E1=．∴棱台的侧面积S侧==；（2）∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，∴=a2+b2，∴E E1=．∴O O1===．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．答案：解：如图，S A⊥平面A B C，∠A B C=90°，则∠S A C=∠S A B=90°，又A B⊥B C，所以B C⊥S B，所以∠S B C=90°，即四个面S A B，S A C，S B C，A B C为直角三角形．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．答案：证明：（1）∵S A⊥S B，S A⊥S C，∴S A⊥平面S B C，B C⊂平面S B C．∴S A⊥B C．而A D是S A在平面A B C上的射影，∴A D⊥B C．同理可证A B⊥C F，A C⊥B E，故O为△A B C的垂心．（2）证明△A B C为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，则底面三角形A B C中，A B=为最大，从而∠A C B为最大角．用余弦定理求得c o s∠A C B=＞0，∴∠A C B为锐角，△A B C为锐角三角形．故O在△A B C内．（3）S B•S C=B C•S D，故S D=，=+，又S A•S D=A D•S O，。

高三第二轮复习立体几何客观题组专题训练2一．选择题1．三条平行线所确定的平面的个数是A ．三个B ．两个C ．一个D ．一个或三个 2．空间交于一点的四条直线最多能够确定的平面的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．73．四条线段顺次首尾相接，它们所在的直线最多能够确定的平面的条数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．直线l 1∥l 2,l 1上取3点，l 2上取2点，由这五个点能确定的平面的个数是 A ．1 B ．3 C ．6 D ．95．空间三个平面两两相交，则它的交线的条数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或36．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线CD 1和BC 1所成角的大小是 A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°8．直线l 1∥l 2，a,b 与直线l 1和l 2都垂直，则a,b 的关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行，相交，异面都有可能 9．直线m,n 与异面直线a,b 相交于不同的四点，则m,n 的位置关系是 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．无公共点10．空间四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 是A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形11．a,b 是异面直线，a ⊂平面α，b ⊂平面β，α∩β＝c,则直线c A ．同时与a,b 相交 B ．至少和a,b 中的一条相交C ．至多和a,b 中的一条相交D ．与a,b 中的一条相交，一条平行12．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，表面的对角线与AD 1成60°的直线的条数有 A ．4 B ．6 C ．8 D ．1013．a,b 是异面直线，a ⊥b ，c 与a 成30°角，则c 与b 所成角的范畴是 A ．[60°,90°] B ．[30°,90°] C ．[60°,120°] D ．[30°,120°]14．空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长差不多上1，点P 在边AB 上移动，点Q 在CD 上移动，则点P 和Q 的最短距离是23432221． ． ． ．D C B A 15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BB 1的中点，则A 1E 与C 1F 所成角的余弦值是521522221D C B A ． ． ． 16．直线a 是平面α的斜线，b ⊂α,当a 与b 成60°的角，且b 与a 在α内的射影成45°时a 与α所成的角为A ．60°B ．45°C ．90°D ．135° 17．a,b 是两条异面直线，下列结论正确的是A ．过不在a,b 上的任一点，可作一个平面与a,b 都平行B ．过不在a,b 上的任一点，可作一条直线与a,b 都相交C ．过不在a,b 上的任一点，可作一条直线与a,b 都平行D ．过a 能够同时只能够作一个平面与b 平行18．直角三角形ABC 的斜边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，则ΔABC 的两条直角边在平面α内的射影与斜边所组成的图形只能是 A ．一条线段 B ．一个锐角三角形C ．一个钝角三角形D ．一条线段或一个钝角三角形 19．与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面的个数有 A ．1 B ．5 C ．6 D ．720．两条异面直线在同一平面内的射影是 A ．两条相交直线 B ．两条平行直线C ．一条直线及直线外一点D ．以上三种情形都有可能21．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝1，则P 到对角线DB 的距离是129515175132921． ． ． ．D C B A 22．已知直线a ∥平面α，a 与平面α相距4，平面α内直线b 与c 相距6，且a ∥b,同时相距5，则a 与c 相距565975975　或． ． 或． ．D C B A23．平面α的斜线与α所成的角是30°，则它和α内所有只是斜足的直线所成的角中，最大的角是 A ．30° B ．90° C ．150° D ．180°24．P 点在ΔABC 所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影，PA ，PB ，PC ，两两相互垂直，则O 是ΔABC 的A ．重心B ．内心C ．垂心D ．外心25．四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，则A 在平面BCD 上的射影是ΔBCD 的 A ．重心 B ．内心 C ．垂心 D ．外心26．在ΔABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则P 到BC 的距离是5453525． ． ． ．D C B A27．P 点在ΔABC 所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影，P 到ΔABC 三边的距离相等，且O 在ΔABC 内，则O 是ΔABC 的A ．重心B ．内心C ．垂心D ．外心28．P 为平行四边形ABCD 所在平面外的一点，且P 到四边形ABCD 的四条边的距离相等，则四边形ABCD 是A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．一样的平行四边形 29．与两相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 A ．都平行 B ．都相交C ．在两个平面内D ．至少和其中一个平行 30．在直角坐标系中，设A （3，2）B （-2，-3），沿y 轴把直角坐标系平面折成120°的二面角后，AB 的长度是11232246． ． ． ．D C B A31．一个山坡面与水平面成60°的二面角，坡脚的水平线为AB ，甲沿山坡自P 朝垂直于AB 的方向走30米，同时乙沿水平面自Q 朝垂直于AB 的方向走30米，P ，Q 差不多上AB 上的点，若PQ ＝10米，则这时两人之间的距离是米．米 ．米 ．　米　．19103301010720D C B A32．二面角α—a —β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥a 于B ，AB=2，在β内CD ⊥a 于D ，CD ＝3，BD ＝1，M 是棱a 上的一个动点，则AM ＋CM 的最小值是62262252． ． ． ．D C B A33．ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A －BD －C ，E 是CD 的中点，则∠AED 的大小为A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°34．P 是ΔABC 外的一点，PA ，PB ，PC 两两相互垂直，PA ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则ΔABC 的面积为4496112729． ． ． ．D C B A 35．在ΔABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°，P 是ΔABC 所在平面外的一点，P 到三点间的距离差不多上14，则P 到ΔABC 所在平面的距离是 A ．7 B ．9 C ．11 D1336．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，若PA=AB ，则平面APB 与平面CDP 所成二面角的度数是A ．90°B 。

必修2立体几何参考习题一．选择题（共19小题）1．（2011•番禺区）设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则的值为（）．C D2．（2006•浙江）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（）C D．3．在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为．C D．．C D．．C D．7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，其中正确判断的个数有（）8．（理）水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD﹣A1B1C1D1，其中装有的水，给出下列操作与结论：①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；9．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f （x）的图象大致是（）．C D．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）11．如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1D 1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）C+．12．正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是V A、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（）CD ．14．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于（ ）••••15．（2011•江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为．CD ．16．（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）．CD ．17．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA /B /C /的面积为，则原梯形的面积为（ ）C．C D．二．填空题（共3小题）20．如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是_________．21．如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分的体积之比V ADEFGH：V BCEFGH=_________．22．棱长为2的正四面体S﹣ABC中，M为SB上的动点，则AM+MC的最小值为_________．三．解答题（共3小题）23．如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；（3）求DH的长．24．在三棱锥P﹣ABC中，△PAB、△PBC、△PCA都为直角三角形，试指出△ABC的形状，并证明你的结论．25．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题：（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2011•番禺区）设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则的值为（）．C D+a，故有a+x===AH，即BH=2．（2006•浙江）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（）C D．EF=3．在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为．C D．．C D．=．C D．=；7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，其中正确判断的个数有（）8．（理）水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD﹣A1B1C1D1，其中装有的水，给出下列操作与结论：①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；的水，而平分正方体体积的平面必定经过正方体的中心，推出结论；的水，而平分正方体体积的平面必定经过正方体的中心，即水面始终过长方体内一个定9．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f （x）的图象大致是（）．C D．=BDPO==××10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）11．如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）C+．=12．正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是V A、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积C D．A=VB=VC=A=×=14．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（）••••，＞，化简2，＞，•=a15．（2011•江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为．C D．16．（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）．C D．的正视图为答案中侧视图为17．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面积为，则原梯形的面积为（）C倍，由此平面图中梯形的高×=2倍，梯形的面积为×正三棱锥，aa：．C D．，半径为：所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：二．填空题（共3小题）20．如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是M=N．，21．如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分的体积之比V ADEFGH：V BCEFGH=1：1．22．棱长为2的正四面体S﹣ABC中，M为SB上的动点，则AM+MC的最小值为．×=故答案为三．解答题（共3小题）23．如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；（3）求DH的长．24．在三棱锥P﹣ABC中，△PAB、△PBC、△PCA都为直角三角形，试指出△ABC的形状，并证明你的结论．25．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题：（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？BD BD。

立体几何基础题题库二（有详细答案）361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面? 解析：有5个暴露面.如图所示，过V 作VS ′∥AB ，则四边形S ′ABV 为平行四边形，有∠S ′VA=∠VAB=60°，从而ΔS ′VA 为等边三角形，同理ΔS ′VD 也是等边三角形，从而ΔS ′AD 也是等边三角形，得到以ΔVAD 为底，以S ′与S 重合.这表明ΔVAB 与ΔVSA 共面，ΔVCD 与ΔVSD 共面，故共有5个暴露面.362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的. 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以V ABCD =31S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=22)21(2-=215.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=1415-=211，从而S ΔBCM=21×2×211=211，故V ABCD =31×211×1=611.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=122·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+， 不妨令a=b=2，c=1，则 V=122·)441)(414)(144(-+-+-+ =122·7=1214. 363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性质得：r 2+d 2＝R 2,即122+(R-8)2＝R 2.得R ＝13 ∴该球半径为13cm.364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，则Scos30°＝S ′,并且S ′＝9π，所以S ＝63π(米2)365. 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ， ∴AB ⊥平面MAD ， 由此，面MAD ⊥面AC. 记E 是AD 的中点， 从而ME ⊥AD.∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球. 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心. 设球O 的半径为r ，则r ＝MFEM EF S MEF++△2设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1. ∴ME ＝a2.MF ＝22)2(a a +,r ＝22)2(22aa a a +++≤2222+＝2-1当且仅当a ＝a2，即a ＝2时，等号成立. ∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1. 366. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a. (1)求证BD ⊥截面AB 1C ；(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。