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123451231231231121311222321231323331424341525351121311.(,,,,),1,2,3;(,,),1,2,3,,.,,0i i i i i i j j j j a a a a a i a a a j a a a a a a x a a a a a a a a a a a a α==β==αααβββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一、判断题设正确！如果线形相关，则，，线形相关如果线形相关，齐次线性方程有非零解所以秩1112131222322122231323333132331424341525351112132122231233132333,30a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a a a ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥< ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪=βββ ⎪ ⎪⎝⎭所以秩〈，那么齐次线性方程也有非零解，所以，，线形相关1232.,.2102004211100212210010120123..101101014.A B n AB A B AB AB n A B A B A B A B A ，B V V V 是线性空间V 的子空间⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设都是阶正定的矩阵，则也是正定的错误！设，，，显然非对称如果阶方阵，有完全相同的特征值，则，相似错误！，，，有完全相同的特征值，但不相似，，123112112211225..00，而且任意两个的交为0V V V V P A ，B C V A AB AC B C V P A ，B C V A A B B C C AB AC B C+==ε=εε=ε=εε=εε=ε+εε===，则+是直和。
正确！设是数域上的有限维线性空间，，都是上的线性变换，并不是零变换如果，则错误！设是数域上的二维线性空间，定义，都是上的线性变换，；，；，得出，但！ ,65432414243441.()106_310580201115(12)2005200311202.,2340246813573.(1,2,1),(1,2,1),(1,2,1),(2,3,1)(1,2,0),f x x x x x x x f D A A A A A diag B diag C diag D diag G diag B D C G 与A 相似的矩阵是：B与A 合=-+-+-==+++==-=-=--=-=二、填空则则在实数域上，，，，中，32200.21043det()?(210)3425.||111()()()(1)3333100100310033同，但不相似的矩阵是：D与A 等价，但不合同，也不相似的矩阵是：C4A B A A E B A A A f ⎛⎫- ⎪==+-= ⎪ ⎪⎝⎭=λ=λ++λ+-λ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，，1是三级正交矩阵，迹为，，则的特征多项式为？若当标准型为？322212312312132323(,,)255448222254245det()(1)(10)()10(1,2,2)'()1(2,1,0)',(2,0,1)'f x x x x x x x x x x x x E A i ii =+++--⎛⎫- ⎪- ⎪⎪--⎝⎭λ-=λ-λ-λ=α=-λ=α=-α=12三、用正交线性变换将二次型化为标准型，并写出正交线性变换该二次型对应的矩阵A=当，对应的特征向量当，对应的特征向量然后用施23(1,2,2)';(2,1,0)';(2,4,5)'β=-β=-β=1密特法正交化12311111111111(,,),000000n n n C X CY四、设A ，B 都是数域上的n 阶方阵，A 有n 个不同的特征值，AB =BA 证明B 相似于对角阵A n A T T AT AB =BA T ATT BT T BTT AT T BT T BT -------=βββ=⎛⎫λ ⎪=λλ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭=⎛⎫λλ ⎪= ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭ 令变换由于有个不同的特征值，所以可以对角化也就是存在可逆矩阵，使得，，，互不相同由于，所以即1111111111111111111111000000n n n n nn n n nn n n nn n n m mn n a a a a T BT a a a a a a a a a a a T BT a a a --⎛⎫ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫λ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫λ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设，所以化简得出为对角阵，即n ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即证((),())1()((),())1,(),(),()()()()1,()()()()()0,()(),|()||()|||1()!0,f f(A)m f i m f m f A m A A f A E m A A f A E A f A E f A f(A)λλ⇔λλ=λλ=μλνλμλλ+νλλ=μ+ν==ν=ν===五、设m()是数域P 上n 阶方阵A 的最小多项式，()是数域P 上的任意多项式证明：可逆若所以存在多项式使得所以又因为所以所以从而可逆(((),())()()|(),()|()()0()0)|()|()()|0,1若f(A)可逆m f d d m d f d m A d d A d(A)=0d f f A f(A)d λλ=λ∴λλλλλλ=λλ=λλλλ=λ0000ii)，设如果是的一个解，那么是的一个解也就意味着是的一个特征值，且()是(的一个特征值所以|,由于，所以|这与可逆矛盾()=。
《线性代数》序言我们开设的《线性代数》这门课程属于近代数学范畴。
“线性”一词源于平面解析几何中一次方程是直线方程，在这里意指数学变量之间的关系是以一次形式来表达的。
线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，虽形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述。
在18~19世纪期间，随着研究线性方程组和变量线性变换问题的深入，先后产生了行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具，并推动了线性代数的发展。
线性代数是讨论有限维空间的线性理论的课程，由于线性问题广泛存在于自然科学和技术科学的各个领域，且某些非线性问题在一定条件下也可转化为线性问题来处理，因此线性代数知识应用广泛，这也使得线性代数这门课程越来越受到重视，因此也成为考研的热门课程。
线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。
线代以矩阵、n维向量和线性方程组为其三条知识主线，虽然它们抽象源自不同的对象，但对同一事物经常可以用这三种语言从不同的角度给于诠释，三条知识主线关系密切，它们交错前行，相互解释与解决问题，让初学者有错综复杂的感受，初学时常感到混乱从而困惑，随着知识的积累和消化，最后常常豁然开朗，感觉线条清晰简单。
常听到对线代学习截然不同的评价：难学——还在山中；简单——攀至顶峰。
四、如何学好线性代数线性代数的特点是以离散变量为研究对象，具有较强的抽象性、逻辑性和应用性，其抽象度之高使得其学习理解的难度远在微积分之上，性质与结论相当琐碎，常有建立一个概念，立即可得一串结论，且有些结论书上也不逐一点明，需要我们积极思维探索。
授课仍以课堂讲解为主，为减轻学习难度我们十分注重讲解知识的背景、结构与应用，学习的过程中应注意从知识系统的纵向联系和数学思想方法系统的横向联系这两个维度上更好地把握学科的基本结构。
要想学好线性代数，应将强烈的自我学习、自主学习的意念和能力与学习过程紧密配合，这起码要求同学们在学习过程中应做到：（1）提升上课的学习效率；科学研究表明仅自学一般可达15%的效果，听讲可达25%的效果，两者结合起来则可获得60%的效果。
高等代数高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构的基础和性质。
代数结构是指由一组元素及其相关运算组成的数学系统，如群、环、域等。
高等代数是对线性代数和抽象代数等基础知识的延伸和深化，对于理解现代数学中许多分支都至关重要。
一、线性代数高等代数中最基础的部分是线性代数。
线性代数是代数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵以及线性方程组的性质和运算。
线性代数是微积分和微分方程等数学领域必不可少的基础知识，它的应用范围也很广泛，包括了图像处理、信号处理、机器学习等领域。
1. 向量空间向量空间是线性代数中最重要的概念之一，它是由一组向量以及其对应的加法和数乘运算组成的数学结构。
向量可以是实数向量或复数向量，它们具有加法、数乘、向量求和、向量求差等运算。
2. 线性变换线性变换是一种从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它具有线性性质。
线性变换的本质是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，它可以用矩阵表示，从而得到更方便的运算方式。
3. 矩阵及其运算矩阵是线性代数中常见的数学工具，它具有加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以用于解决线性方程组、对称矩阵的特征值和特征向量等问题。
二、抽象代数抽象代数是研究代数结构的基本性质和理论结构的一门学科，它通过对代数结构的抽象和推广，研究了许多重要的代数性质。
抽象代数包括了群论、环论、域论等领域。
1. 群论群是一种有限或无限的、具有代数结构的量，它由一组元素以及合成运算组成。
群具有封闭、结合、单位元和逆元等运算性质，在数学研究中被广泛应用。
群论的应用领域包括了几何学、物理学、密码学等领域。
2. 环论环是一种数学结构，它由一个集合以及两个二元运算（加法和乘法）组成。
环论是研究环以及环上的运算和性质的数学分支，它的应用包括了计算机科学、代数几何学等领域。
3. 域论域是一种具有加法、乘法、加法逆元和乘法逆元等运算的数学结构，它是一个基本的代数结构。
域论是研究域以及域上的运算和性质的数学分支，它在现代数学和理论物理学中都有广泛的应用。
高等代数知识体系数值分析与线性代数高等代数是数学的一个重要分支，它涉及一系列抽象的数学概念和理论，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
在高等代数的学习和应用过程中，数值分析和线性代数是不可或缺的两个方面。
一、数值分析数值分析是研究利用数值方法解决数学问题的学科。
它通过数值计算来近似求解无法用解析方法得到精确解的问题，包括求解非线性方程、数值积分、差分方程等。
数值分析的基本原理和方法是在给定的数学模型基础上，通过离散化、近似计算等手段，得到问题的数值解。
数值分析的核心内容包括插值与逼近、数值积分、常微分方程的数值解法、线性方程组的数值解法等。
插值与逼近用于通过已知数据估计函数的值，数值积分研究如何用数值方法近似计算函数的积分，常微分方程的数值解法是为了解决微分方程的数值解问题，线性方程组的数值解法是为了求解线性方程组的数值解。
二、线性代数线性代数是研究线性方程组、向量空间和线性变换等代数结构的学科。
它是数学中的一个基础学科，也是许多应用学科的重要工具和方法。
线性代数的基本概念包括向量、向量空间、线性方程组、矩阵等。
线性代数的核心内容包括线性方程组的解法、矩阵理论、特征值与特征向量、向量空间与线性映射等。
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法等，矩阵理论研究矩阵的性质和运算规律，特征值与特征向量揭示了矩阵的重要性质，向量空间与线性映射研究向量的线性组合和线性映射的性质。
三、高等代数知识体系与应用高等代数知识体系是数值分析和线性代数的有机结合，通过运用高等代数的基本概念、原理和方法，解决实际问题。
数值分析和线性代数在科学与工程计算、数据处理与统计学、优化与控制等领域有广泛的应用。
在科学与工程计算中，数值分析和线性代数被广泛应用于模拟计算、数值模拟和优化计算等领域。
例如，通过数值计算方法求解微分方程、求解大规模线性方程组、优化问题等，可以得到实际问题的数值解。
在数据处理与统计学中，数值分析和线性代数被广泛应用于数据分析、数据挖掘和机器学习等领域。
高等代数基础知识代数是数学的一个分支，涵盖了一系列基本的代数操作以及它们的扩展。
其中最基础的分支就是高等代数，也是所有数学学科中最重要且基础的一门学科之一。
高等代数包含了如线性代数、群论、环论和域论等多个分支，本篇文章将重点讲述高等代数基础知识。
一、线性代数线性代数是高等代数中最基础的部分。
它是对于向量空间这样一个对象进行研究的，而向量空间是指在加法和数乘下满足一定条件的一组向量所组成的集合。
在线性代数中，我们可以对向量进行加法和数乘等操作，同时还可以定义矩阵和行列式的概念，通过它们来求解线性方程组等问题。
在线性代数的学习过程中，我们需要掌握向量的代数性质（如加法和数乘运算的结合律、分配率和交换律等）、向量空间的基本性质（如线性组合、线性相关/无关和基和维数等）、矩阵的基本性质（如矩阵的加法和数乘运算、矩阵的秩和逆矩阵等）以及行列式的基本性质（如行列式的加法和数乘运算、行列式的性质和行列式的应用等）。
二、群论群论是对称性的一种数学描述。
它研究的是一种由一组抽象的对象及其上的一种代数运算所构成的系统，这个运算必须满足封闭性、结合律、单位元和逆元等基本条件。
在群论中，我们可以根据群的定义来讨论如群的分类、子群的定义和性质、同态映射和陪集的概念等问题。
在群论的学习中，我们需要掌握群和子群的定义和性质，群的同态和同构的概念和相关性质，化简群和群的商的概念和相关性质，以及Sylow定理和有限群的分类等内容。
三、环论环论是环的代数性质的研究。
在环论中，我们研究的对象是一个非空集合，该集合上定义了两个二元运算，同时满足一些特殊的性质。
这些性质包括封闭性、结合律、分配律、幺元元素等。
在环论中，我们可以研究环、整环、域、多项式环以及模。
通过环论的学习，可以更好的理解线性代数中矩阵行列式的概念和相关性质。
在环论的学习中，我们需要掌握环和整环的概念和性质、域和多项式环的定义和性质、模和自由模的概念以及欧几里得算法等内容。
华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题以下各题每题15分,共150分博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！1．解线性方程组 231232312323123,,,x ax a x a x bx b x b x cx c x c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 其中,,a b c 为互不相等的数．2．证明: 任一n 阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有kE 形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和.3．设A 为m n ⨯实矩阵,E 为n 阶单位阵,TB E A A λ=+, 证明: 当0λ>时,B 为正定矩阵.4. 设A 为n 阶不可逆方阵,证明:A 的伴随矩阵*A 的特征值至少有1n -个为0,另一个非零特征值(如果存在)等于1122nn A A A +++ .5. 证明: 相似的矩阵有相同的最小多项式.6. 设A 为m n ⨯矩阵,b 为m 维列向量,证明AX b =有解的充分必要条件是对满足0T A z =的m 维列向量z 也一定满足0T b z =.7. 证明: 任一n 阶实可逆矩阵A 可以分解成一个正交阵Q 与一个正定阵S 之积, 即A QS =.8. 设n nM P⨯∈,(),()[]f x g x P x ∈, 且((),())1f x g x =. 令()A f M =,()B g M =,12,,W W W 分别为线性方程组0ABX =,0AX =,0BX =的解空间.证明12W W W =⊕.9. 设Ω是一些n 阶方阵组成的集合, 其中元素满足,A B ∀∈Ω, 都有AB ∈Ω,且3()AB BA =, 证明:(1) 交换律在Ω中成立.(2) 当E ∈Ω时,Ω中矩阵的行列式的值只可能为0,1±. 10. 证明: 不存在n 阶正交阵,A B , 使得22A AB B =+.华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！ 1. 所给线性方程组的系数行列式为范德蒙行列式222111a a D b b cc =()()()b a c a c b =---因为,,a b c 互不相等,故0D ≠.由克莱姆法则知,方程组有唯一解.取3232132a a a Db b bc c c ==()()()abc b a c a c b --- 3232232111a a D bb c c =()()()(a b a c b c b a c a c b =++---3333111a a D b b cc =()()()()a b c b a c a c b =++---那么方程组的唯一解为11D x abc D ==, 12D x ab ac bc D ==++, 13Dx a b c D==++. ■2. 设A 是任一个n 阶方阵,()ij n n A a ⨯=.假设A 可以写成A kEB =+的形式,其中k 为数域P 中的一个数,()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵.那么11220,1,2,,,,,1,2,,.nn ii ii ij ij b b b a k b i n a b i j i j n +++==+==≠=于是111(),nnniiiiiii i i a k b nk bnk ====+=+=∑∑∑即11.nii i k a n ==∑从ii ii a k b =+得11.nii ii ii jj j b a k a a n ==-=-∑取11,nii i k a n ==∑1,1,,,n ii jj j ij ij a a i j n b a i j =⎧-=⎪=⎨⎪≠⎩∑若若那么()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵,且A kE B =+. ■3. 对于任一个非零实n 维列向量1n c C c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,有12211(,,)0T n n n c C C c c c c c ⎛⎫ ⎪==++> ⎪ ⎪⎝⎭.令1n d AC d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么12211()()()(,,)0T T T n n n d C A A C AC AC d d d d d ⎛⎫ ⎪===++≥ ⎪ ⎪⎝⎭.由于0λ>,故222211221()()()()()0T T T T T T n n n C BCC E A A C C C C A A C c c d d c c λλλλ=+=+=+++++≥++>由正定矩阵的定义知,B 是正定矩阵. ■4. 设A 是数域P 上的n 阶不可逆方阵, 则rank A n <, ||0A =.若rank 1A n <-,则A 的所有1n -阶子式都为0,从而A *的元素0ij A =.这时0A *=. 显然,A *的n 个特征值都是0,结论成立.若rank 1A n =-,则A 至少有一个1n -阶子式不为0,故0A *≠,rank 1A *≥. (1)由||00AA A E E *===知,A *的每个列向量都是齐次线性方程组0AX =的解向量.设{|0}n V X P AX =∈=,12(,,,)n A ααα*= .由线性空间的理论和线性方程组的理论知rank A *=dim 12(,,,)n L ααα≤ dim V n =-rank (1)1A n n =--=. (2)由(1),(2)知rank 1A *=.因为rank 1A *=,故存在可逆矩阵n nT P⨯∈,使得12000,000n c c c TA *⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,n c c c P ∈ ,且不全为零.这时121000,000n d d d TA T *-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11212(,,)(,,)n n d d d c c c T-= ,而12,,n d d d 不全为零.注意A *的特征多项式为1211100||||()0nn d d d E A E TA T d λλλλλλλ**------=-==-.因此,当10d =时,A *的n 个特征值都为0；当10d ≠时,A *的特征值为0(1n -重),1d (一重).注意,对于一般的n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=来说,若A 的特征值为12,,,n λλλ ,则121122n nn a a a λλλ+++=+++ .因此,对于本题来说,当A *有1n -个特征值为0,而另一个特征值10d ≠时,有11122nn d A A A =+++ . ■5．设,A B 都是数域P 上的n n ⨯矩阵,且A 与B 相似.那么存在P 上n n ⨯可逆矩阵T 使得1T AT B -=.设A 的最小多项式为()f x ,B 的最小多项式为()g x ,则()0f A =,()0g B =.由多项式带余除法知,存在(),()[]q x r x P x ∈使得()()()()g x f x q x r x =+, (1)其中()0r x =,或(())(())r x f x ∂<∂.将x A =代入上式,得()()()()0()()()g A f A q A r A q A r A r A =+=+=,即()()g A r A =.于是1111()()()()()()g B g T AT T g A T T r A T r T AT r B ----=====,但()0g B =,故()0r B =,即有 11()()()0T r A T r T AT r B --===.于是有()0r A =.由于()f x 是满足()0f A =的次数最低的多项式,故()0r x =.由(1)知()()()g x f x q x =,即()|()f x g x .同理可证()|()g x f x .注意(),()f x g x 都是最高次项系数为1的非零多项式,故()()f x g x =. ■6. 必要性.设AX b =有解,即存在0n X P ∈使得0AX b =.记10n a X a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.设10n c z c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为0TA z =的任一解,即00T A z =,则12(,,,)0n c c c A = .于是112(,,,)0n n a c c c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即12(,,,)0n c c c b = .因此10T n c b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即00T b Z =,这说明0Z 是0Tb Z =的解. ■7. 因为A 是n 阶实可逆矩阵,则TA A 是正定矩阵.于是存在n n ⨯正交矩阵U 使得1(),0,1,2,,T T i n U A A U R i n λλλ⎛⎫ ⎪=<∈= ⎪ ⎪⎝⎭.于是T T U A AU E ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎝. (1)令1Q AU ⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎝,从(1)式知,1Q 是正交矩阵.令1,TT Q QU AU U ⎫⎪⎪⎪== ⎪⎝,T S U U ⎫⎪= ⎪ ⎝那么Q 是正交矩阵,S 是正定矩阵,且1Q AS -=,即A QS =. ■8. 因为((),())1f x g x =,由多项式互素的充要条件知,存在(),()[]u x v x P x ∈使得()()()()1u x f x v x g x +=.将x M =代入上式,得()()()()u M f M v M g M E +=,即()()u M A v M B E +=.任取W α∈,则0AB α=,()()u M A v M B ααα+=.取1()v M B αα=,2()u M A αα=.由于,A B 都是M 的多项式,故AB BA =,进而有()(),()().Av M v M A Bu M u M B ==于是12()()()()00,()()()()()()00A Av MB v M AB v M B Bu M A u M BA u M AB u M ααααααα=========即11W α∈,22W α∈.因此12ααα=+,11W α∈,22W α∈,从而有12W W W ⊆+.注意到AB BA =,容易看出,1W W ⊆,2W W ⊆,从而12W W W +⊆.因此12W W W =+. (1)任取12W W β∈⋂,则0A β=,0B β=.于是(()())()()000E u M A v M B u M A v M B βββββ==+=+=+=,故12{0}W W ⋂=. (2)由(1),(2)式可得12W W W =⊕. ■9. (1) 任取,A B ∈Ω,由所给条件知AB ∈Ω,BA ∈Ω.令X AB =,2()Y AB =,则,X Y ∈Ω.于是32323333()()()()(()())(())()BAAB AB AB XY YX AB AB AB BA AB========即交换律在Ω中成立.(2) 任取A ∈Ω, 若E ∈Ω, 则33()A EA AE A ===.对上式两边取行列式, 得3||||A A =, 即2||(||1)0A A -=. 于是||0A =或2||10A -=,即||0A =或||1A =±. ■10. 反证法.假设存在正交矩阵,A B ,使22A AB B =+,则22TTTA A A AB A B =+. 由于正交矩阵A 满足1TA A -=,故2T A B A B =+注意2TA B 是正交矩阵,且2TA B A B =-,故A B -是正交矩阵.于是()()()()2T T T T T T T T T E A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =--=--=+--=--即T T E AB BA =+. (1)从22A AB B =+得22TTTA B ABB B B A B =+=+.由于2TA B 也是正交矩阵,故A B +是正交矩阵,且()()()()2T T T T T T T T TE A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =++=++=+++=++即T T E AB BA =--. (2)将(1),(2)左右两端分别相加,得20E =, 这显然是不可能的. ■。
高等代数知识体系矩阵论与线性代数高等代数知识体系: 矩阵论与线性代数高等代数是数学中的一个重要分支，它涵盖了许多重要的数学概念和工具。
在高等代数的知识体系中，矩阵论与线性代数是其中最为重要的部分之一。
本文将对矩阵论与线性代数的基本概念、性质和应用进行介绍。
一、矩阵论矩阵论是高等代数中的一个重要分支，它研究矩阵的性质和特征。
矩阵是由数个实数或复数按照一定规律排列成的矩形阵列。
矩阵论主要研究矩阵的运算、矩阵方程、矩阵的特征值和特征向量等。
1. 矩阵的基本运算在矩阵论中，矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法和数乘。
矩阵加法和减法的定义非常简单，即对应位置的元素相加或相减。
矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素乘以一个实数或复数。
2. 矩阵方程矩阵方程是指形如AX=B的方程，其中A、X和B都是矩阵。
矩阵方程在科学和工程领域中具有广泛的应用，例如线性方程组的求解、物理学中的力学问题等。
3. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
特征值是一个数，特征向量是一个非零向量，满足矩阵和其特征向量的乘积等于特征值乘以特征向量。
矩阵的特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用。
二、线性代数线性代数是高等代数中的另一个重要分支，它研究向量空间和线性变换等概念。
线性代数主要研究向量的线性组合、线性方程组的解法、线性变换的性质和特征等。
1. 向量空间向量空间是线性代数中的基本概念，它是由一些向量组成的集合。
向量空间具有加法和数乘两种运算，满足一定的条件，例如闭合性、结合律和分配律等。
向量空间在几何学、物理学和工程学中具有广泛的应用。
2. 线性方程组的解法线性方程组是线性代数中研究的重要内容，它是一组含有未知数的线性方程。
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵的求逆和克拉默法则等。
线性方程组的求解在科学、工程和经济学中具有重要意义。
3. 线性变换线性变换是线性代数中的重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的一种特殊变换。
附件一：山东省高等学校精品课程申报书课程名称线性代数主讲教师郝秀梅学校名称山东财政学院所在院系统计与数理学院联系电话0531――82617577上网网址 /netclass申报日期 2005年7月山东省教育厅制二○○五年七月填写说明一、申报书的各项内容要实事求是，真实、可靠。
文字表达要明确、简洁。
二、表中空格不够时，可另附页，但页码要清楚。
三、申报书一律用A4纸打印，在左侧装订成册，一式3份，由所在学校审核同意后盖章，报山东省教育厅高等教育处。
注：此页不够可另附页附件二：山东财政学院《线性代数》课程综合说明材料二OO五年七月一、课程建设的目标、规划、采取的主要措施通过对本课程的教学及建设工作，使学生掌握线性代数课程的基础知识，培养学生的抽象思维能力、运算能力、应用能力及创新能力。
在教学过程中，要求教师始终坚持严谨治学的理念，重视教学质量，不断提高自身的教学业务水平，力争将该课程列为省级精品课程，并努力将其建设为国家级精品课程。
具体如下：1．写出反映我们改革思路和方案的教学研究论文，在有影响的教学研究刊物上发表。
2．在教学实践中继续完善我们的经验，达到以下教学效果：(1) 有利于学生掌握基本内容，为以后的课程学习、科学研究和应用打下一个坚实的基础。
(2) 有利于学生提高逻辑推理能力、抽象和归纳的能力、用公理化方法处理问题的能力、几何直观和空间想象能力、应用能力等，以及进行探索和研究的意识和能力。
3．通过讲学、举办研讨会、出去调研等形式向其它高校学习并介绍经验，起到精品课程应有的辐射和示范作用，为教学改革和教师队伍建设作出贡献。
4．进一步充实上网的如下资源：（1）教案及课件：包括文字教案和电子教案、课件。
（2）教学录像。
(3) 学生预习材料和指导材料：提出问题, 介绍背景和思想方法、理论框架。
课后复习和拓宽知识面的材料：问题分析和讨论及相关的理论材料等。
(4) 建立网上答疑系统。
本课程教学资源已上网的情况如下：（/netclass）1．课程介绍2．教学大纲3．课程教案：电子教案.ppt4．导学导读（包括本章小结、难点解析、习题分析）5．双基训练6．典型习题及答案7．考研指导8．试题库9．教材与参考文献二、师资队伍建设及概况1．《线性代数》课程的授课教师是一支高学历、高素质的教学队伍，对所授课程具备坚实的理论基础。
线性代数高等代数知识点总结线性代数和高等代数是数学中重要的两个分支，它们是数学中的基础课程，也是其他学科例如物理学、计算机科学等的基础。
本文将对线性代数和高等代数的主要知识点进行总结。
一、线性代数（Linear Algebra）：线性代数研究向量空间以及向量空间中的线性变换。
它包含以下重要的知识点：1. 向量空间（Vector Space）：向量空间是由向量组成的集合，满足一定的运算规则和性质。
向量空间的定义、性质和例子是线性代数的基础。
2. 线性变换（Linear Transformation）：线性变换是一种保持向量空间线性运算性质的映射。
线性变换的定义、矩阵表示和性质是线性代数的重要内容。
3. 矩阵（Matrix）：矩阵是线性代数中的基本工具，用于表示线性变换和解线性方程组。
矩阵的定义、运算和性质十分重要。
4. 线性方程组（Linear Equation System）：线性方程组是由一组线性方程构成的方程系统。
线性方程组的求解方法、解空间和矩阵表示是线性代数的关键概念。
5. 特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）：特征值和特征向量是线性变换中十分重要的概念，用于描述变换的性质。
特征值和特征向量的定义、计算和应用是线性代数的重点。
6. 内积空间（Inner Product Space）：内积空间是定义了内积操作的向量空间。
内积空间的性质、正交性和投影定理是线性代数的重要内容。
7. 正交性和正交矩阵（Orthogonality and Orthogonal Matrix）：正交性是内积空间中的重要概念，用于描述向量之间的垂直关系。
正交矩阵的性质和应用是线性代数的核心内容。
8. 行列式（Determinant）：行列式是矩阵的一种特殊标量，用于衡量矩阵对线性变换的影响。
行列式的计算、性质和应用是线性代数的重点内容。
9. 线性相关性和线性无关性（Linear Dependence and Linear Independence）：线性相关性和线性无关性用于描述向量或向量组之间的关系。
高等代数与线性代数的区别高等代数是为数学专业课开放的一种专业课程，其中包含了一些特定领域上的线性空间线性变换，以及矩阵和线性代换之间的转换，其中还包含了多项列式等一些代数运算的法则。
而我们通常说的线性代数，更注重的是行列数、矩阵以及相对应的变换，对于线性方程组、二次变换的具体概念进行详细的介绍。
对于工科类的大学生来说，线性代数和高等代数是他们在大学生涯中必须要学会的一门必修课，并且线性代数和高等代数是不允许挂科的。
对于文科类的专业以及大学来说，是不需要学习线性代数和高等代数的，所以对于文科类的专业和学校来说，她们是不存在线性代数和高等数学的。
那么现在问题就来了，线性代数和高等代数之间到底有什么样的区别呢？其实在各大高校的理工科类专业面世的高等数学和高等代数，其实都就是一两件事，高等代数和线性代数这种用法主要就是依据苏联的特色去命名的，在欧美国家就是没“高等”教育这种观点的，由于我国中国数学受了苏联的影响，所以在命名以及开学方面，我们都大部分承继了他们的课程命名方式，所以也就是为什么我们可以存有“高等代数”和“线性代数”的原因。
高等代数就是为数学专业课对外开放的一种专业课程，其中涵盖了一些特定领域上的线性空间线性变换，以及矩阵和线性赋值之间的切换，其中还涵盖了多项列式等一些代数运算的法则。
而我们通常说的线性代数，更注重的是行列数、矩阵以及相对应的变换，对于线性方程组、二次变换的具体概念进行详细的介绍。
相对于线性代数来说，线性代数更注重的是学生进行动笔操作的计算，但是高等代数一般注重的是在所谓的学术研讨领域进行的空间以及线性领域的辩论，所以从本质上来说，高等代数和线性代数是不一样的。
并且，如果自学过高等代数和线性代数的人都会晓得，高等代数这门课程远远必须比线性代数这门课程难得多，高等数学这门课程我们都晓得，这就是专门为工科类的专业搞的一门学科，但是工科类的人并不一定会研习过高等代数，原因就是高等代数的难度系数比较低，并且高等代数的难度系数远远低于线性代数的难度系数。
高等代数简介及详细资料初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。
初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。
高等代数发展内容在高等代数中，一次方程组（也称为“线性方程组”）发展成为线性代数理论；而二次以上的一元方程（也称为“多项式方程”）发展成为多项式理论。
前者是向量空间、线性变换、型论、不变数论和张量代数等内容的一门高等代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门高等代数分支学科。
作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
高次方程组发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。
初等代数线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
线上性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。
向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个*** ，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
向量用于梯度，散度，镟度就更有说服力。
同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然‘dy/dx’在数学上不过是一个符号，表示包括‘Δy/Δx’的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想像物理上发生的事情）。
大学数学教案：高等代数与线性代数一、引言•数学在大学教育中的重要性及应用背景介绍•高等代数与线性代数在数学领域的重要性说明二、高等代数基础知识2.1 线性方程组•线性方程组的定义及基本概念介绍•高斯消元法解线性方程组的步骤和方法讲解•列主元素消去法解线性方程组的步骤和方法讲解•行主元素消去法解线性方程组的步骤和方法讲解2.2 矩阵与行列式•矩阵与行列式的基本概念和基本运算规则介绍•矩阵特征值与特征向量的定义和计算方法详述•行列式求值和求逆矩阵的具体操作步骤讲解2.3 向量空间与线性变换•向量空间的定义及常见例子说明•子空间及其判断定理介绍并附带例题演示分析•线性变换及其特殊类型探究，如旋转变换、平移变换等三、线性代数应用3.1 线性方程组应用举例•利用线性方程组解决实际问题的例子分析与讲解3.2 矩阵应用案例•矩阵在图像处理中的应用介绍和具体案例分析•矩阵在工程设计中的应用范例说明3.3 向量空间与线性变换在实际中的运用•向量空间的几何意义及其在几何模型生成中的应用讲解•特殊线性变换在计算机图形学以及其他领域中的重要作用说明四、总结与未来发展趋势展望•高等代数与线性代数对大学生综合素质培养的重要作用总结说明•数学发展方向以及线性代数研究方面未来可能出现的新趋势展望以上内容涵盖了高等代数与线性代数基础知识，包括线性方程组、矩阵与行列式以及向量空间与线性变换。
同时，通过实际应用案例，使读者理解这些概念在真实环境下的重要性和广泛运用。
通过总结与展望, 引导读者对未来发展趋势的关注。
希望本教案能够给大学生带来启发与研究方向，提升他们在数学领域的理解和应用能力。
华南理工大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答∗一.证明因为((),())1f x g x =，所以((),()())1f x f x g x +=，同理，((),()())1g x f x g x +=，从而有(()(),()())1f x g x f x g x +=，我们设()()()m x f x g x =+，()()()n x f x g x =，即有((),())1m x n x =，由上面的讨论我们可以知道(()(),()())1m x n x m x n x +=，即(()()(()()),()()()())1f x g x f x g x f x g x f x g x +++=.■二.解方程组对应的增广矩阵，经过初等行变换，化为阶梯矩阵，得到222111111101121100(2)(1)(1)(1)λλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟→−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++++−+−⎝⎠⎝⎠由此可以知道(1)当2λ=−时，方程组无解；(2)无论1λ=时，方程组有无数组解，且1231x x x ++=，令23,x n x m ==，,n m 任意，则11x m n =−−；(3)当1λ≠且2λ≠−，方程组有唯一解，且解的结构为212311(1,,222x x x λλλλλ−−+===+++）.■三.解矩阵A 的特征方程为366020(2)(3)3126E A λλλλλλλ−−−−=−=−++求得特征值为0,2,3λλλ===−下面来求属于特征值0λ=的特征向量，将特征值0λ=代入下面的方程组1232123(3)660(2)0312(6)0x x x x x x x λλλ−−−=⎧⎪−=⎨⎪+++=⎩(1)求得基础解系为'1(2,0,1)β=−∗解答人:再求属于特征值2λ=的特征向量，将特征值2λ=代入方程组(1)，求得基础解系为2(12,5,3)'β=−，最后再求属于特征值3λ=−的特征向量，将特征值3λ=−代入方程组(1)，求得基础解系为'3(1,0,1)β=−，我们取矩阵T 为1122050131T −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠于是得到，300'020000T AT −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，故矩阵A 可以对角化.■四.解设矩阵A 是一个s n ×的矩阵，其秩为r ，则存在初等矩阵,P Q ,使得000rEA P Q ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，我们知道，矩阵000rE ⎛⎞⎜⎟⎝⎠可以表成r 个秩为1的矩阵之和，分别记为1122,,rr E E E ⋅⋅⋅，即1122000rrr E E E E ⎛⎞=++⋅⋅⋅+⎜⎟⎝⎠，从而有1122rr A PE Q PE Q PE Q=++⋅⋅⋅+由于,P Q 是初等矩阵，故他们为可逆矩阵，从而()() 1 i=1,2,...,r ii ii rank PE Q rank E ==，所以，矩阵A 可表成r 个秩为1的矩阵之和.■五.解因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ，使得121n P AP λλλ−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⋅⋅⋅⎜⎟⎝⎠，(其中12n λλλ≤≤⋅⋅⋅≤)，我们知道，,λµ分别为其最大与最小特征根，所以12n µλλλλ=≤≤⋅⋅⋅≤=故11()P AP E P A E P µµ−−−=−的特征根为0，2,,n λµλµ−⋅⋅⋅−，都是非负实数，从而A E µ−是半正定的。
