迭代法及matlab实现

迭代法matlab一、引言编程是计算机科学中非常重要的一部分，它能够帮助我们解决各种各样的问题。

在计算机科学中，迭代法（Iteration Method）是一种常用的解决数值问题的方法。

本文将详细介绍迭代法在MATLAB中的应用及其原理。

二、迭代法的原理迭代法是一种通过递归或循环计算来逼近方程解的方法。

它通常用于无法通过解析方法求解的问题，例如非线性方程、积分、微分方程等。

迭代法基于以下原理： 1. 初始值的选择：我们需要选择一个合适的初始值作为迭代的起点。

2. 迭代公式的确定：我们需要找到一个迭代公式（或更新规则），通过不断迭代来逼近方程的解。

3. 精度要求的设定：我们需要设定一个精度要求，当迭代结果达到该精度要求时，迭代可以停止。

三、迭代法在MATLAB中的应用MATLAB是一款功能强大的科学计算软件，它提供了丰富的数学函数和工具箱，方便我们进行数值计算。

下面是迭代法在MATLAB中的常见应用场景和示例代码。

3.1 解非线性方程迭代法可用于解非线性方程。

例如，我们要解方程f(x) = 0，我们可以通过不断迭代来逼近方程的解。

以下是一个示例代码：function [x] = iterationMethod(f, x0, epsilon, maxIter)% f: 方程的函数句柄% x0: 初始值% epsilon: 精度要求% maxIter: 最大迭代次数x = x0;iter = 0;while iter < maxIterx_new = f(x); % 迭代公式if abs(x_new - x) < epsilonbreak;endx = x_new;iter = iter + 1;endif iter == maxIterdisp('迭代次数已达到最大值，未能满足精度要求！');elsedisp(['迭代成功，解为：', num2str(x)]);endend3.2 求解积分迭代法还可用于求解积分。

【题目】：Gauss-Seidel迭代法及Matlab代码实例【内容】：1. Gauss-Seidel迭代法介绍Gauss-Seidel迭代法是一种用于解线性方程组的数值方法，基于逐次逼近的思想，通过不断迭代逼近线性方程组的解。

该方法通常用于求解大型稀疏线性方程组，其收敛速度相对较快。

2. 迭代公式推导假设有如下线性方程组：$$Ax=b$$其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。

Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为：$$x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(b- Ux^{(k)})$$其中，D为A的对角矩阵，L为A的严格下三角矩阵，U为A的严格上三角矩阵，k为迭代次数。

3. Matlab代码实现下面给出Gauss-Seidel迭代法的Matlab代码实例：```matlabfunction [x, k] = gaussSeidel(A, b, x0, tol, maxIter)A: 系数矩阵b: 常数向量x0: 初始解向量tol: 容差maxIter: 最大迭代次数x: 解向量k: 迭代次数n = length(b);x = x0;k = 0;while k < maxIterx_old = x;for i = 1:nx(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x_old(i+1:n)) / A(i,i); endif norm(x - x_old, inf) < tolreturnendk = k + 1;enddisp('迭代次数达到最大值，未达到容差要求'); end```4. 应用实例假设有如下线性方程组：$$\begin{cases}2x_1 - x_2 + x_3 = 5\\-x_1 + 2x_2 - x_3 = -2\\x_1 - x_2 + 2x_3 = 6\end{cases}$$系数矩阵A为：$$\begin{bmatrix}2 -1 1\\-1 2 -1\\1 -1 2\end{bmatrix}$$常数向量b为：$$\begin{bmatrix}5\\-2\\6\end{bmatrix}$$取初始解向量x0为：$$\begin{bmatrix}0\\0\\\end{bmatrix}$$容差tol为1e-6，最大迭代次数maxIter为100。

非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现首先，我们需要定义非线性方程组。

假设我们要求解方程组：```f1(x1,x2)=0f2(x1,x2)=0```其中，`x1`和`x2`是未知数，`f1`和`f2`是非线性函数。

我们可以将这个方程组表示为向量的形式：```F(x)=[f1(x1,x2);f2(x1,x2)]=[0;0]```其中，`F(x)`是一个列向量。

为了实现牛顿迭代法，我们需要计算方程组的雅可比矩阵。

雅可比矩阵是由方程组的偏导数组成的矩阵。

对于方程组中的每个函数，我们可以计算其对每个变量的偏导数，然后将这些偏导数组成一个矩阵。

在MATLAB中，我们可以使用`jacobi`函数来计算雅可比矩阵。

以下是一个示例函数的定义：```matlabfunction J = jacobi(x)x1=x(1);x2=x(2);J = [df1_dx1, df1_dx2; df2_dx1, df2_dx2];end```其中，`x`是一个包含未知数的向量，`df1_dx1`和`df1_dx2`是`f1`对`x1`和`x2`的偏导数，`df2_dx1`和`df2_dx2`是`f2`对`x1`和`x2`的偏导数。

下一步是实现牛顿迭代法。

牛顿迭代法的迭代公式为：```x(k+1)=x(k)-J(x(k))\F(x(k))```其中，`x(k)`是第`k`次迭代的近似解，`\`表示矩阵的求逆操作。

在MATLAB中，我们可以使用如下代码来实现牛顿迭代法：```matlabfunction x = newton_method(x_initial)max_iter = 100; % 最大迭代次数tol = 1e-6; % 收敛阈值x = x_initial; % 初始解for k = 1:max_iterF=[f1(x(1),x(2));f2(x(1),x(2))];%计算F(x)J = jacobi(x); % 计算雅可比矩阵 J(x)delta_x = J \ -F; % 计算增量 delta_xx = x + delta_x; % 更新 xif norm(delta_x) < tolbreak; % 达到收敛条件，停止迭代endendend```其中，`x_initial`是初始解的向量，`max_iter`是最大迭代次数，`tol`是收敛阈值。

简单迭代法求方程的根1. 引言简单迭代法是一种常用的求解非线性方程根的方法。

它基于方程的连续性和局部斜率连续的性质，通过迭代逼近方程的根。

在本文中，我们将详细介绍简单迭代法的原理和步骤，并使用MATLAB编写代码来解决方程求根问题。

2. 简单迭代法原理简单迭代法的基本思想是，将非线性方程转化为迭代形式，通过不断迭代逼近方程的根。

其原理基于不动点定理，即给定一个函数f(x)，若存在一个不动点x∗，满足x∗=f(x∗)，则迭代过程x k+1=f(x k)中的序列x k将收敛到x∗。

对于求解方程f(x)=0的问题，我们可以将其转化为x=g(x)的形式，其中g(x)= x−f(x)，且f′(x)不等于0。

这样，我们可以通过迭代逼近x=g(x)的根，从而得f′(x)到原方程的解。

3. 简单迭代法步骤简单迭代法的步骤如下：3.1 选择初始点选择一个合适的初始点x0作为迭代的起点。

3.2 迭代计算根据迭代公式x k+1=g(x k)，计算序列x k的下一个值。

3.3 判断终止条件根据预设的终止条件，判断是否满足终止条件。

常用的终止条件包括： - 迭代次数达到预设的最大值。

- 迭代过程中下一个值与当前值之差小于预设的精度。

3.4 输出结果当满足终止条件时，输出最终的逼近根的值。

4. 简单迭代法在MATLAB中的实现以下是简单迭代法在MATLAB中的实现代码：function root = simple_iter_method(f, g, x0, max_iter, precision) % f: 原方程% g: 迭代函数% x0: 初始点% max_iter: 最大迭代次数% precision: 精度x = x0;iter = 0;while iter < max_iterx_next = feval(g, x); % 使用feval函数计算迭代值if abs(x_next - x) < precisionroot = x_next;return;endx = x_next;iter = iter + 1;enderror('达到最大迭代次数，未找到合适的解');end5. 示例与应用5.1 示例：求解方程x2−3x+2=0。

matlab中的迭代算法迭代算法在matlab中的应用迭代算法是一种通过多次重复计算来逼近解的方法，它在matlab中得到了广泛的应用。

在本文中，我们将介绍一些常见的迭代算法，并探讨它们在matlab中的实现和应用。

1. 二分法二分法是一种简单而直观的迭代算法，它通过将问题的解空间一分为二，并根据中间点的取值来确定解所在的子空间。

在matlab中，可以使用while循环来实现二分法。

首先，需要指定解空间的上下界，然后通过计算中间点的值来判断解所在的子空间，并更新解空间的上下界。

重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。

2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代算法，它利用函数的局部线性近似来逼近方程的解。

在matlab中，可以使用while循环来实现牛顿迭代法。

首先，需要给定一个初始点，然后根据函数的一阶和二阶导数来计算下一个点的值。

重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。

3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，它通过不断更新近似解来逼近方程的解。

在matlab中，可以使用while循环和矩阵运算来实现高斯-赛德尔迭代法。

首先，需要给定一个初始解向量，然后根据方程组的系数矩阵和常数向量来计算下一个解向量的值。

重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。

4. 迭代法求特征值迭代法也可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。

在matlab中，可以使用while循环和矩阵运算来实现迭代法求特征值。

首先，需要给定一个初始特征向量，然后根据矩阵的幂来计算下一个特征向量的值。

重复这个过程，直到特征向量的变化小于某个阈值为止。

5. 迭代法求最优化问题除了求解方程和矩阵相关的问题，迭代算法还可以用于求解最优化问题。

在matlab中，可以使用while循环和梯度计算来实现迭代法求最优化问题。

首先，需要给定一个初始解向量，然后根据目标函数的梯度来计算下一个解向量的值。

重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。

解线性方程组b AX =的迭代法是从初始解出发，根据设计好的步骤用逐次求出的近似解逼近精确解.在第三章中介绍的解线性方程组的直接方法一般适合于A 为低阶稠密矩阵（指n 不大且元多为非零）的情况，而在工程技术和科学计算中常会遇到大型稀疏矩阵（指n 很大且零元较多）的方程组，迭代法在计算和存贮两方面都适合后一种情况.由于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，所以收敛性和收敛速度是构造迭代法时应该注意的问题.另外，因为不同的系数矩阵具有不同的性态，所以大多数迭代方法都具有一定的适用范围.有时，某种方法对于一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组迭代时就发散.因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性方程组构造不同的迭代.4.1 迭代法和敛散性及其MATLAB 程序4.1.2 迭代法敛散性的判别及其MATLAB 程序根据定理4.1和谱半径定义，现提供一个名为pddpb.m 的M 文件，用于判别迭代公用谱半径判别迭代法产生的迭代序列的敛散性的MATLAB 主程序 输入的量：线性方程组b AX =的迭代公式（4.7）中的B ； 输出的量：矩阵B 的所有特征值和谱半径mH )(B ρ=及其有关迭代法产生的迭代序列的敛散性的相关信息.function H=ddpbj(B)H=eig(B);mH=norm(H,inf); if mH>=1disp('请注意：因为谱半径不小于1，所以迭代序列发散,谱半径mH 和B 的所有的特征值H 如下：')elsedisp('请注意：因为谱半径小于1，所以迭代序列收敛,谱半径mH 和B 的所有的特征值H 如下：')end mH4.1.3 与迭代法有关的MATLAB 命令（一） 提取（产生）对角矩阵和特征值可以用表4–1的MATLAB 命令提取对角矩阵和特征值.MATLAB 命令 功 能DX=diag(X) 若输入向量X ，则输出DX 是以X 为对角元的对角矩阵； 若输入矩阵X ，则输出DX 是以X 的对角元构成的向量；DX=diag(diag(X))输入矩阵X ，输出DX 是以X 的对角元构成的对角矩阵，可用于迭代法中从A 中提取D .lm=eig(A) 输入矩阵A ，输出lm 是A 的所有特征值.(二) 提取（产生）上（下）三角形矩阵第四章 解线性方程组的迭代法可以用表4–2的MATLAB 命令提取矩阵的上三角形矩阵和下三角形矩阵.MATLAB 命令 功 能U=triu(A) 输入矩阵A ，输出U 是A 的上三角形矩阵. L=tril(A) 输入矩阵A ，输出L 是A 的下三角形矩阵.U=triu(A,1) 输入矩阵A ，输出U 是A 的上三角形矩阵，但对角元为0，可用于迭代法中从A 中提取U .L=tril(A,-1)输入矩阵A ，输出L 是A 的下三角形矩阵，但对角元为0，可用于迭代法中从A 中提取L .(三)稀疏矩阵的处理对稀疏矩阵在存贮和运算上的特殊处理，是MA TLAB 进行大规模科学计算时的特点和优势之一.可以用表4–3的MATLAB 命令，输入稀疏矩阵的非零元（零元不必输入），即可进行运算.MATLAB 命令 功 能ZA=sparse(r,c,v,m,n)表示在第r 行、第c 列输入数值v ，矩阵共m 行n 列，输出ZA ，给出 (r , c ) 及v 为一稀疏矩阵.MA=full(ZA) 输入稀疏矩阵ZA ，输出为满矩阵MA （包含零元）4.2 雅可比（Jacobi ）迭代及其MATLAB 程序4.2.2 雅可比迭代的收敛性及其MATLAB 程序判别雅可比迭代收敛性的MATLAB 主程序输入的量：线性方程组b AX =的系数矩阵A ； 输出的量：系数矩阵=A ()nn ija ⨯的kk nki j kja a a -=∑≠=1 ),,2,1(n k =的值和有关雅可比迭代收敛性的相关信息.[n m]=size(A); for j=1:ma(j)=sum(abs(A(:,j)))-2*(abs(A(j,j))); end for i=1:n if a(i)>=0disp('请注意：系数矩阵A 不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛')return end end if a(i)<0disp('请注意：系数矩阵A 是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛 ') end例4.2.2 用判别雅可比迭代收敛性的MATLAB 主程序，判别由下列方程组的雅可比迭代产生的序列是否收敛？（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--;2.45,3.8210,2.7210321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--.2.45.0,3.8210,2.7210321321321x x x x x x x x x 解 （1）首先保存名为jspb.m 的M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];a=jspb(A)运行后输出结果请注意：系数矩阵A 是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛a =-8 -8 -1（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 0.5];a=jspb(A)运行后输出结果请注意：系数矩阵A 不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛 a =-8.0000e+000 -8.0000e+000 3.5000e+0004.2.3 雅可比迭代的两种MATLAB 程序利用MATLAB 程序和雅可比迭代解线性方程组b AX =的常用的方法有两种，一种方法是根据雅可比迭代公式（4.11）、（4.12）式、定理4.3和公式（4.14）编写一个名为jacdd.m 的M 文件并保存，然后在MATLAB 工作窗口输入对应的命令，执行此文件；另一种方法是根据雅可比迭代的定义，利用提取对角矩阵和上、下三角矩阵的MATLAB 程序解线性方程组b AX =.下面我们分别介绍这两种方法.用雅可比迭代解线性方程组b AX =的MATLAB 主程序输入的量：线性方程组b AX =的系数矩阵A 和b , 初始向量X 0,范数的名称P = 1, 2, inf 或 'fro .'，近似解X 的误差（精度）wucha 和迭代的最大次数max1；输出的量：系数矩阵=A ()nn ija ⨯的kk nki j kja a a -=∑≠=1 ),,2,1(n k =的值和有关雅可比迭代收敛性的相关信息及其b AX =的精确解jX 和近似解X .的M 文件如下：function X=jacdd(A,b,X0,P,wucha,max1) [n m]=size(A); for j=1:ma(j)=sum(abs(A(:,j)))-2*(abs(A(j,j))); end for i=1:n if a(i)>=0disp('请注意：系数矩阵A 不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛')return end end if a(i)<0disp('请注意：系数矩阵A 是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛 ') endfor k=1:max1kfor j=1:mX(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:m])*X0([1: j-1,j+1:m]))/A(j,j);endX,djwcX=norm(X'-X0,P); xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps); X0=X';X1=A\b;if (djwcX<wucha)&(xdwcX<wucha)disp('请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下：')returnendendif (djwcX>wucha)&(xdwcX>wucha)disp('请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1 ')enda,X=X;jX=X1',例4.2.3用 范数和判别雅可比迭代的MATLAB主程序解例4.2.2 中的方程组，解的精度为0.001，分别取最大迭代次数max1=100，5，初始向量X0=（0 0 0）T，并比较它们的收敛速度.解（1）取最大迭代次数max1=100时.①首先保存名为jacdd.m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5]; b=[7.2;8.3;4.2];X0=[0 0 0]'; X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)运行后输出结果请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下：a =-8 -8 -1jX =1.1000 1.2000 1.3000X =1.0994 1.1994 1.2993②在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 0.5]; b=[7.2;8.3;4.2]; X0=[0 0 0]';X=jacdd(A,b,X0,inf, 0.001,100)运行后输出结果请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下：a =-8.0000 -8.0000 3.5000jX =24.5000 24.6000 106.6000X =24.0738 24.1738 104.7974（2）取最大迭代次数max1=5时,①在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];b=[7.2;8.3;4.2]; X0=[0 0 0]'; X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,5)运行后输出结果请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，雅可比迭代收敛请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1a =-8 -8 -1jX =1.1000 1.2000 1.3000 X =1.0951 1.1951 1.2941②在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 0.5]; b=[7.2;8.3;4.2]; X0=[0 0 0]'; X=jacdd(A,b,X0,inf, 0.001,5)运行后输出结果请注意：系数矩阵A 不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛 请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1 a =-8.0000 -8.0000 3.5000 jX =24.5000 24.6000 106.6000 X =5.5490 5.6490 27.6553由（1）和（2）可见，如果系数矩阵A 是严格对角占优的，则雅可比迭代收敛的速度快；如果系数矩阵A 不是严格对角占优的，则雅可比迭代收敛的速度慢.因此，kk nki j kj a a a -=∑≠=1 ),,2,1(n k =的值越小，雅可比迭代收敛的速度越快.（二）利用雅可比迭代定义编写的解线性方程组的MATLAB 程序利用雅可比迭代定义编写解线性方程组（4.5）的MATLAB 程序的一般步骤 步骤1 将线性方程组（4.5）的系数矩阵A 分解为U L D A --=，其中=D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nn a a a a a a diag22112211),,(, -=L⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0001,2121n n n n a a aa -=U ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000,1112nn n a a a . 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[a11 a12 …a1n; a21 a22 …a2n;…; an1 an2 …ann;]; D=diag(A) U=triu(A,1), L=tril(A,-1)运行后即可输出U L D A ，，的； 步骤2 若对角矩阵D 非奇异（即),,1,0n i a ii =≠，则（4.5）化为 b D X U L D X 11)(--++=.若记b D f U L D B 1111),(--=+=.则方程组的迭代形式可写作1)(1)1(f X B Xk k +=+ )2,1,0( =k 可以利用下面的MATLAB 程序完成>>dD=det(D); if dD==0disp('请注意：因为对角矩阵D 奇异，所以此方程组无解.') elsedisp('请注意：因为对角矩阵D 非奇异，所以此方程组有解.') iD=inv(D); B1=iD*(L+U);f1=iD*b;for k=1:max1X= B1*X0+ f1; X0=X; djwcX=norm(X-X0,P);xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps); X1=A\b;if (djwcX<wucha)&(xdwcX<wucha)disp('请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下：')returnendendif (djwcX>wucha)|(xdwcX>wucha)disp('请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1 ')endenda,X=X;jX=X1',4.3 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代及其MATLAB程序4.3.3 高斯-塞德尔迭代两种MATLAB程序AX=的常用方法有两种，一利用MATLAB程序和高斯-塞德尔迭代解线性方程组b种方法是根据高斯-塞德尔迭代公式（4.16）、（4.17）、定理4.3和公式（4.14）编写一个名为gsdd.m的M文件并保存，然后在MATLAB工作窗口输入对应的命令，执行此文件；另一种方法是根据高斯-塞德尔迭代的定义，利用提取对角矩阵和上、下三角矩阵的AX=.下面我们分别介绍这两种方法.MATLAB程序解线性方程组b（一）高斯-塞德尔迭代定义的MATLAB程序1AX=的MATLAB主程序1 用高斯-塞德尔迭代定义解线性方程组bAX=的系数矩阵A和b, 初始向量X0,范数的名称P = 1, 2, 输入的量：线性方程组binf, 或'fro.'，近似解X的误差（精度）wucha和迭代的最大次数max1.A()n n ij a⨯的对角元构成的对角矩阵D、A的上三角形矩阵输出的量：以系数矩阵=U，但对角元为0、A的下三角形矩阵L，但对角元为0和有关高斯-塞德尔迭代收敛性的AX=的精确解jX和近似解X.相关信息及其bD=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1); dD=det(D);if dD==0disp('请注意：因为对角矩阵D奇异，所以此方程组无解.')elsedisp('请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解.')iD=inv(D-L); B2=iD*U;f2=iD*b;jX=A\b; X=X0; [n m]=size(A);for k=1:max1X1= B2*X+f2; djwcX=norm(X1-X,P);xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps);if (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)returnelsek,X1',k=k+1;X=X1;endendif (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)disp('请注意：高斯-塞德尔迭代收敛,此A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下：')elsedisp('请注意：高斯-塞德尔迭代发散，并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X如下：')X=X';jX=jX' end endX=X';D,U,L,jX=jX'例4.3.3 用高斯-塞德尔迭代定义的MATLAB 主程序解下列线性方程组,取初始值)0,0,0(),,()0(3)0(2)0(1=x x x ，要求当3)()1(10-∞+<-k k x x 时，迭代终止.（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--.2.45.0,3.8210,2.7210321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--=+-+=-+-=+-+.2132127,11613514,22382,575434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 （1）首先保存名为gsdddy.m 的M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 0.5]; b=[7.2;8.3;4.2]; X0=[0 0 0]'; X=gsdddy(A,b,X0,inf, 0.001,100)运行后输出结果请注意：因为对角矩阵D 非奇异，所以此方程组有解.请注意：高斯-塞德尔迭代收敛,此A 的分解矩阵D,U,L 和方程组的精确解jX 和近似解X 如下：此近似解与例4.2.3中的（1）中②的解X =（24.073 8, 24.173 8, 104.797 4）T比较，在相同的条件下, 高斯-塞德尔迭代比雅可比迭代得到的近似解的精度更高.（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[3 4 -5 7;2 -8 3 -2;4 51 -13 16;7 -2 21 3];b=[5;2;-1;21]; X0=[0 0 0 0]';X=gsdddy(A,b,X0,inf,0.001,100)运行后输出结果请注意：因为对角矩阵D 非奇异，所以此方程组有解.请注意：高斯-塞德尔迭代发散，并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX 和迭代向量X 如下：jX =0.1821 -0.2571 0.7286 1.3036X = 1.0e+142 *0.2883 0.1062 0.3622 -3.1374（二） 高斯-塞德尔迭代公式的MATLAB 程序2 根据高斯-塞德尔迭代公式（4.16）、（4.17）、定理4.3和公式（4.14），现提供名为用高斯-塞德尔迭代解线性方程组b AX =的MATLAB 主程序2 输入的量：线性方程组b AX =的系数矩阵A 和b , 初始向量X 0,范数的名称P = 1, 2, inf, 或 'fro.'，近似解X 的误差（精度）wucha 和迭代的最大次数max1.输出的量：系数矩阵=A ()nn ija ⨯的kk nki j kja a a -=∑≠=1 ),,2,1(n k =的值和有关D =10.0000 0 0 0 10.0000 0 0 0 0.5000 U =0 1 2 0 0 2 0 0 0L =0 0 0 1 0 0 1 1 0 jX =24.5000 24.6000 106.6000 X =24.4996 24.5996 106.5984AX=的精确解jX和近似解X.高斯-塞德尔迭代收敛性的相关信息及其b[n m]=size(A);for j=1:ma(j)=sum(abs(A(:,j)))-2*(abs(A(j,j)));endfor i=1:nif a(i)>=0disp('请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此高斯-塞德尔迭代不一定收敛')returnendendif a(i)<0disp('请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且高斯-塞德尔迭代收敛')endfor k=1:max1for j=1:mif j==1X(1)=(b(1)-A(1,2:m)*X0(2:m))/A(1,1)endif j==mX(m)=(b(m)-A(m,1:M1)*X(1:M1)')/A(m,m);endfor j=2:M1X(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1) -A(j,j+1:m)*X(j+1:m))/A(j,j);endenddjwcX=norm(X'-X0,P);xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps); X0=X';X1=A\b;if (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)disp('请注意：高斯-塞德尔迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X 如下：')returnendendif (djwcX>wucha)&(xdwcX>wucha)disp('请注意：高斯-塞德尔迭代次数已经超过最大迭代次数max1 ') enda,X=X;jX=X1',4.4 解方程组的超松弛迭代法及其MATLAB程序用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组时，有时收敛速度很慢，为了提高收敛速度，我们介绍超松弛迭代法，它是对高斯-塞德尔迭代的一种加速方法，适用于大型稀疏矩阵方程组的求解.4.4.2 超松弛迭代法收敛性及其MATLAB程序根据定理4.5和谱半径定义，现提供名为ddpbj.m的M文件，用于判别超松弛迭代用谱半径判别超松弛迭代法产生的迭代序列的敛散性的MATLAB主程序AX=的系数矩阵A和松弛因子om；输入的量：线性方程组b输出的量：矩阵])1([)(1D U L D B ωωωω-+-=-的所有特征值和谱半径mH)(ωρB =及其有关超松弛迭代法产生的迭代序列的敛散性的相关信息.D=diag(diag(A));U=-triu(A,1); L=-tril(A,-1); iD=inv(D-om*L); B2=iD*(om*U+(1-om)*D); H=eig(B2);mH=norm(H,inf); if mH>=1disp('请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH和B 的所有的特征值H 如下：') elsedisp('请注意：因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛,谱半径mH和B 的所有的特征值H 如下：') end mH例4.4.1 当取ω=1.15，5时，判别用超松弛迭代法解下列方程组产生的迭代序列是否收敛？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=---=+++=--+372364213824254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解 （1）当取ω=1.15时，首先保存名为ddpbj.m 的M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[5 1 -1 -2;2 8 1 3;1 -2 -4 -1;-1 3 2 7]; H=ddpbj(A,1.15)运行后输出结果请注意：因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛,谱半径mH 和B 的所有的特征值H 如下：mH =0.1596 H =0.1049 + 0.1203i 0.1049 - 0.1203i -0.1295 + 0.0556i -0.1295 - 0.0556i （2）当取ω=5时，然后在MATLAB 工作窗口输入程序>> H=ddpbj(A, 5)运行后输出结果请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH 和B 的所有的特征值H 如下：mH =14.1082 H =-14.1082 -2.5107 0.5996 + 2.6206i 0.5996 - 2.6206i4.4.3 超松弛迭代法的MATLAB 程序用超松弛迭代法解线性方程组b AX =的MATLAB 主程序输入的量：线性方程组b AX =的系数矩阵A 和b , 初始向量X ,范数的名称P = 1, 2, inf, 或 'fro.'，松弛因子om ,近似解X 的误差（精度）wucha 和迭代的最大次数max1.输出的量：谱半径mH ，以系数矩阵A 的对角元构成的对角矩阵D 、A 的上三角形矩阵U ，但对角元为0、A 的下三角形矩阵L ，但对角元为0, 迭代次数i ,有关超松弛迭代收敛性的相关信息及其b AX =的精确解jX 和近似解X .function X=cscdd (A,b,X,om,wucha,max1)D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1); jX=A\b;[n m]=size(A);iD=inv(D-om*L); B2=iD*(om*U+(1-om)*D);H=eig(B2);mH=norm(H,inf);for k=1:max1iD=inv(D-om*L); B2=iD*(om*U+(1-om)*D);f2= om*iD*b; X1= B2*X+f2;X=X1; djwcX=norm(X1-jX,inf); xdwcX=djwcX/(norm(X,inf)+eps);if (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)disp('谱半径mH，A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i如下：')mH,D,U,L,jX=jX', i=k-1,returnif i> max1disp('迭代次数已经超过最大迭代次数max1,谱半径mH，方程组的精确解jX,迭代次数i如下：')mH,D,U,L,jX=jX', i=k-1,endendendif mH>=1disp('请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散.')disp('谱半径mH，A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i和迭代序列X如下：')i=k-1,mH,D,U,L,jX,elsedisp('因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛，近似解X如下：') end或function X=cscdd1 (A,b,X,om,wucha,max1)D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1); jX=A\b;[n m]=size(A);iD=inv(D-om*L); B2=iD*(om*U+(1-om)*D);H=eig(B2);mH=norm(H,inf);for k=1:max1iD=inv(D-om*L); B2=iD*(om*U+(1-om)*D);f2= om*iD*b; X1= B2*X+f2; X=X1; djwcX=norm(X1-jX,inf);xdwcX=djwcX/(norm(X,inf)+eps);endif mH>=1disp('请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散.谱半径mH，A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下：')elsedisp('请注意：因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛.')if (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)disp('谱半径mH，A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX和近似解X 如下：')mH,D,U,L,jX=jX',elsedisp('迭代次数已经超过最大迭代次数max1,谱半径mH，方程组的精确解jX和迭代向量X如下：')mH,D,U,L,X=X1';jX=jX'returnendend例4.4.3用超松弛迭代法（取ω=1.15和5）解例4.4.1中的线性方程组.解（1）当取ω=1.15时，首先保存名为cscdd.m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[5 1 -1 -2;2 8 1 3;1 -2 -4 -1;-1 3 2 7];b=[4;1;6;-3];X=[0 0 0 0]';X=cscdd (A,b,X,1.15,0.001,100),运行后输出结果谱半径mH，A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i如下：mH =0.1596D =5 0 0 00 8 0 00 0 -4 00 0 0 7U =0 -1 1 20 0 -1 -30 0 0 10 0 0 0L =0 0 0 0-2 0 0 0-1 2 0 01 -3 -2 0jX =0.4491 0.2096 -1.4850 -0.0299i =3因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛，近似解X如下：X =0.44840.2100-1.4858-0.0303（2）当取ω=5时，保存名为cscdd.m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[5 1 -1 -2;2 8 1 3;1 -2 -4 -1;-1 3 2 7];b=[4;1;6;-3];X=[0 0 0 0]';X=cscdd (A,b,X,5,0.001,100),运行后输出结果如下：请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散.谱半径mH，A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i和迭代序列X如下：i = mH =99 14.1082D =5 0 0 00 8 0 00 0 -4 00 0 0 7U =0 -1 1 20 0 -1 -30 0 0 10 0 0 0L =0 0 0 0-2 0 0 0-1 2 0 01 -3 -2 0jX = X =1.0e+114 *0.4491 -0.31220.2096 1.0497-1.4850 -3.7174-0.0299 3.9615。

一、引言在数学建模和计算机编程中，简单迭代法是一种常用的求解方程近似解的方法。

其原理是通过不断迭代计算，逼近实际的解。

在Matlab 编程中，简单迭代法也是一种常见的应用。

本文将介绍简单迭代法的原理，并给出在Matlab中实现简单迭代法的例题程序。

二、简单迭代法原理1. 简单迭代法的基本思想是将需要求解的方程转化为迭代形式，即 x = g(x)，然后通过不断迭代计算得到方程的近似解。

2. 简单迭代法的收敛条件是 |g'(x)| < 1，即迭代函数的导数的绝对值小于1时，迭代过程才能收敛。

3. 简单迭代法的收敛速度取决于迭代函数的选择，通常可以通过调整迭代函数来提高收敛速度。

三、Matlab中的简单迭代法实现在Matlab中，可以通过编写脚本文件来实现简单迭代法。

下面给出一个简单的例题：求解方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的近似解。

4. 以下是Matlab中实现简单迭代法的脚本文件示例：```matlab定义迭代函数g = (x) 3*x - x^2;设置迭代初值和迭代次数x0 = 0.5;N = 100;迭代计算for k = 1:Nx = g(x0);fprintf('第d次迭代，近似解为：.10f\n', k, x);if abs(x - x0) < 1e-8 判断迭代是否收敛break;endx0 = x;end```5. 通过运行上述脚本文件，即可得到方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的近似解。

四、实例分析通过上述例题程序的运行结果可以看出，简单迭代法在Matlab中的实现比较简单直观。

但是需要注意的是，迭代函数的选择和迭代初值的设定对最终的近似解都会产生影响，需要经过一定的调试和优化。

五、总结简单迭代法是一种常用的求解方程近似解的方法，在Matlab编程中也有着广泛的应用。

通过本文的介绍和示例程序，相信读者已经对简单迭代法在Matlab中的实现有了更深入的了解。

如何在Matlab中进行迭代优化和迭代求解引言：Matlab是一种非常强大和流行的数值计算软件，广泛应用于工程、科学和数学等领域。

在问题求解过程中，迭代优化和迭代求解是常常使用的技术。

本文将介绍如何在Matlab中利用迭代方法进行优化和求解，以及相关的技巧和应用。

一、什么是迭代优化和迭代求解迭代优化指的是通过多次迭代，逐步接近优化问题的最优解。

常用的迭代优化方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

迭代求解则是通过多次迭代，逐步逼近方程或问题的解，常用的迭代求解方法有牛顿迭代法、弦截法、二分法等。

二、迭代优化的基本原理与方法1. 梯度下降法（Gradient Descent）:梯度下降法是一种常用的迭代优化方法，用于寻找函数的极小值点。

其基本原理是通过计算函数对各个变量的偏导数，从当前点开始沿着负梯度的方向迭代更新，直至达到最小值。

在Matlab中，可以利用gradient函数计算梯度向量，并通过循环迭代实现梯度下降法。

2. 牛顿法（Newton's Method）:牛顿法是一种迭代优化方法，用于求解非线性方程的根或函数的极值点。

其基本思想是利用函数的局部线性近似，通过求解线性方程组来得到函数的极值点。

在Matlab中，可以使用fminunc函数来实现牛顿法。

3. 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）:拟牛顿法是一类迭代优化方法，主要用于求解无约束非线性优化问题。

其基本思想是通过构造逼近目标函数Hessian矩阵的Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式或拟牛顿方法中的其他公式，来估计目标函数的梯度和Hessian矩阵。

在Matlab中，可以利用fminunc函数，并设置算法参数来实现拟牛顿法。

三、迭代求解的基本原理与方法1. 牛顿迭代法（Newton's Method）：牛顿迭代法是一种常用的迭代求解方法，用于求解方程或问题的根。

基于Matlab的解线性方程组的几种迭代法的实现及比较线性方程组的解法有很多种，其中一类常用的方法是迭代法。

迭代法根据一个初值逐步逼近方程组的解，在每一次迭代中利用现有的信息产生新的近似值，并不断地修正。

下面介绍基于Matlab的三种迭代法：雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法，并进行比较。

1. 雅可比迭代法雅可比迭代法是迭代法中最简单的一种方法。

对于线性方程组Ax=b，雅可比迭代法的迭代公式为：x_{i+1}(j)=1/a_{jj}(b_j-\\sum_{k=1,k\eq j}^n a_{jk}x_i(k))其中，i表示迭代次数，j表示未知数的下标，x_i表示第i次迭代的近似解，a_{jk}表示系数矩阵A的第j行第k列元素，b_j 表示方程组的常数项第j项。

在Matlab中，可以使用以下代码实现雅可比迭代：function [x,flag]=jacobi(A,b,X0,tol,kmax)n=length(b);x=X0;for k=1:kmaxfor i=1:nx(i)=(b(i)-A(i,:)*x+A(i,i)*x(i))/A(i,i);endif norm(A*x-b)<tolflag=1;returnendendflag=0;return其中，参数A为系数矩阵，b为常数项列向量，X0为初值列向量，tol为迭代误差容许值（默认为1e-6），kmax为最大迭代次数（默认为1000）。

函数返回值x为近似解列向量，flag表示是否满足容许误差要求。

2. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进。

其基本思想是，每次迭代时，利用已经求出的新解中的信息来更新其他未知数的值。

迭代公式为：x_{i+1}(j)=(1/a_{jj})(b_j-\\sum_{k=1}^{j-1}a_{jk}x_{i+1}(k)-\\sum_{k=j+1}^n a_{jk}x_i(k))与雅可比迭代法相比，高斯-赛德尔迭代法的每一次迭代都利用了前面已求得的近似解，因此可以更快地收敛。

迭代法求解方程的MATLAB实现1.引言迭代法是一种求解方程的常用方法，尤其适用于大规模矩阵和高维问题。

在迭代法中，我们通过不断迭代来逐步逼近方程的解。

本篇文章将介绍如何使用MATLAB实现迭代法求解方程。

2.收敛性判断在使用迭代法求解方程时，我们需要判断迭代是否收敛。

通常，我们使用以下两种方法进行收敛性判断：2.1 判断迭代公式是否收敛对于许多迭代公式，我们可以根据其结构来判断其是否收敛。

例如，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel方法通常适用于对角占优的矩阵，而SOR方法适用于对角占优或松弛型的矩阵。

2.2 判断迭代误差是否收敛我们还可以通过判断迭代误差是否收敛来判断迭代是否收敛。

迭代误差通常定义为实际解与迭代解之间的范数。

如果迭代误差逐渐减小并趋于零，则说明迭代收敛。

3.迭代公式下面我们以Jacobi迭代法为例，介绍迭代公式的实现。

Jacobi迭代法的迭代公式如下：x{n+1}=(\frac{1}{a{ii}})(b i-A{ii,1:i-1}x1-A{ii,i+1:n}x_n)其中，A是系数矩阵，b是右侧向量，x是解向量，a_{ii}是矩阵A的主对角线元素。

4.误差计算为了判断迭代是否收敛，我们需要计算迭代误差。

通常，我们使用实际解与迭代解之间的相对误差或范数误差来衡量误差大小。

例如，相对误差可以按下式计算：||x^-x_n||_2/(||x^||_2)其中，x^*是实际解向量，x_n是第n次迭代的解向量。

5.MATLAB实现下面是一个使用MATLAB实现Jacobi迭代法的示例代码：function x = jacobi(A, b, x0, tol, max_iter)% 输入参数：系数矩阵A、右侧向量b、初始解向量x0、容许误差tol和最大迭代次数max_iter% 输出参数：方程的解向量xn = length(b); % 方程的未知数个数x = zeros(n, 1); % 初始化解向量xx(:) = x0; % 将初始解向量赋值给xerr = tol + 1; % 初始化误差大于容许误差，表示未收敛k = 0; % 初始化迭代次数k=0while err > tol && k < max_iterk = k + 1; % 更新迭代次数k=k+1for i = 1:n % 对每个未知数进行更新x(i) = (b(i) - A(i, 1:i-1)*x(1:i-1) - A(i, i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i, i); % 更新解向量x的第i个元素x(i)的公式为x(i)=[b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n)]/A(i,i)endforendwhileif k < max_itererr = norm(x - x_prev, 'fro') / norm(x_prev, 'fro'); % 计算相对误差endendendfunction```。