jacobi G-S,超松弛迭代法MATLAB程序

matlabjacobi迭代法Jacobi迭代法是一种求解线性方程组的迭代法，其基本思想是将原方程组的系数矩阵分解为对角部分和非对角部分，对于对角矩阵使用前、后代替法求解，对于非对角部分使用迭代更新法求解。

Jacobi迭代法的基本形式如下：$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\... \\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\\end{cases}$其中，$a_{ij}$表示系数矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$b_i$表示方程组的第$i$个方程的解。

设向量$x^{(k)}=(x_1^{(k)},x_2^{(k)},...,x_n^{(k)})$表示Jacobi迭代法的第$k$次迭代结果，则迭代公式为：$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^n a_{ij}x_j^{(k)}),i=1,2,...,n$迭代公式的意义是，将第$i$个变量的系数$a_{ii}$看成系数矩阵的一个主对角元，将剩下的系数$a_{ij}(i\ne j)$看成非对角元，同时将当前未知量向量$x^{(k)}$看成已知量，利用这些参数求解第$i$个方程中未知量$x_i$。

Jacobi迭代法的收敛条件为原矩阵的对角线元素不为零，且矩阵的任意一行中非对角线元素绝对值之和小于对角线元素绝对值。

在Matlab中，可通过编写函数的方式实现Jacobi迭代法。

函数jacobi实现了迭代公式，并以向量形式返回迭代结果，如下所示：```function xnew = jacobi(A, b, xold)% Jacobi迭代法求解线性方程组Ax=b% A为系数矩阵，b为常数向量，xold为迭代初值% 输出迭代后的解向量xnew% 初始化迭代初值n = length(b);xnew = zeros(n,1);% 迭代更新for i = 1:nxnew(i) = (b(i) - A(i,:)*xold + A(i,i)*xold(i)) / A(i,i);endend```在主程序中可按以下步骤使用函数jacobi求解线性方程组：1.构造系数矩阵A和常数向量b；2.设定迭代初值xold；3.利用jacobi函数求解迭代结果，并对迭代过程进行循环。

1234512123523443253283103381050102515015450530010Jacobi Gauss Seidel i i i i i i i i i i i i i i i i i i Jacobi Gauss Seidel ---=⎧⎪-+--=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪-+=⎪⎩-用和方法解线性方程组。

有一给定的电路图，其中电流,,,,满足方程组试用和迭代法解之，使误差小于。

Jacobi 迭代的程序代码：%Jacobi 迭代法解方程组function [s,i,y]=jacobi(a,b,r)s=1;i=0;y=0;[m,n]=size(a); %矩阵a 的维数if m~=n|rank(a)~=n %矩阵不满秩，不可解，输出错误信息s=0;elsed=diag(a); %d 为矩阵a 对角线上的元素%若矩阵a 的对角线元素存在0元，则将该元素所在列的任一不为0的元素所在的行加到该行z=find(d==0); %搜索0元l=size(z,1);if l %存在0元for i=1:lj=find(abs(a(:,z(i))),1,'first');a(z(i),:)=a(z(i),:)+a(j,:); %两行相加b(z(i))=b(z(i))+b(j);endendd=1./diag(a);g=eye(n)-diag(d)*a; %迭代矩阵y=zeros(n,1); %初始向量b=diag(d)*b;for i=1:10^5 %进行迭代x=y;y=g*x+b;if max(abs(y-x))<rbreak %满足精度要求，退出迭代endendendGauss-Seidel迭代的程序代码：%Gauss-Seidel迭代法解方程组function [s,i,y]=gaussseidel(a,b,r)s=1;i=0;y=0;[m,n]=size(a); %矩阵a的维数if m~=n|rank(a)~=n %矩阵不满秩，不可解，输出错误信息s=0;elsed=diag(a); %d为矩阵a对角线上的元素%若矩阵a的对角线元素存在0元，则将该元素所在列的任一不为0的元素所在的行加到该行z=find(d==0); %搜索0元l=size(z,1);if l %存在0元for i=1:lj=find(abs(a(:,z(i))),1,'first');a(z(i),:)=a(z(i),:)+a(j,:); %两行相加b(z(i))=b(z(i))+b(j);endendd=diag(a);tl=tril(a);f=eye(n);e=[tl,f];tu=diag(d)-triu(a);for j=1:n-1e(j,:)=e(j,:)/e(j,j);e(j+1:n,j:end)=e(j+1:n,j:end)-e(j+1:n,j)*e(j,j:end);%进行消去ende(n,:)=e(n,:)/e(n,n);e=e(:,n+1:2*n);g=e*tu; %迭代矩阵b=e*b; %迭代向量y=zeros(n,1); %初始向量for i=1:10^5 %进行迭代x=y;y=g*x+b;if max(abs(y-x))<rbreak %满足精度要求，退出迭代endendend主程序为：%计算方法上机第四题clear;clc;a=[28 -3 0 0 0;-3 38 -10 0 -5;0 -10 25 -15 0;0 0 -15 45 0;0 -5 0 0 30]; %输入矩阵ab=[10 0 0 0 0]'; %输入矩阵br=10^-3; %指定迭代误差%采用jacobi迭代进行计算[s,i,x]=jacobi(a,b,r);if ~sdisp('Error!Jacobi iterating method cannot go!');elseif i==10^5disp('Error!It is divergent when using Jacobi iterating method!');else %输出结果disp(['After ',num2str(i),' times Jacobi iteration,the solution converge on:']);disp(x);end%采用Gauss-Seidel迭代进行计算[s,i,x]=gaussseidel(a,b,r);if ~sdisp('Error!Gauss-seidel iterating method cannot go!');elseif i==10^5disp('Error!It is divergent when using Gauss-seidel iterating method!');else %输出结果disp(['After ',num2str(i),' times Gauss-seidel iteration,the solution converge on:']);disp(x);end。

一、简介Matlab中jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法，适用于系数矩阵为对称、正定矩阵的情况。

该迭代方法通过将系数矩阵分解为对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵的形式，然后通过迭代计算得到方程组的解。

在Matlab中，可以利用矩阵运算和迭代循环来实现jacobi迭代法。

二、 jacobi迭代法原理1. 基本思想jacobi迭代法的基本思想是将系数矩阵分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L的形式，即A=D+L+U，其中D为系数矩阵A 的对角线元素组成的对角矩阵，L为系数矩阵A的下三角部分，U为系数矩阵A的上三角部分。

令x为方程组的解向量，b为方程组的右端向量，则方程组可表示为Ax=b。

根据方程组的性质，可将方程组表示为(D+L+U)x=b，然后利用迭代的方式逐步逼近方程组的解。

2. 迭代公式假设迭代到第k次，方程组可表示为(D+L+U)x=b，将其转化为迭代形式x(k+1)=(D+L)^(-1)(b-Ux(k))，利用迭代公式可以逐步计算出方程组的解。

3. 收敛条件对于jacobi迭代法，收敛条件为系数矩阵A为对角占优矩阵或正定矩阵。

如果满足这一条件，迭代计算会逐步收敛于方程组的解。

三、 Matlab中jacobi迭代法实现在Matlab中，可以利用矩阵运算和迭代循环来实现jacobi迭代法。

具体步骤如下：1. 对系数矩阵进行分解将系数矩阵A分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L的形式。

2. 初始化迭代变量初始化迭代的初始值x0、迭代次数k、逐次逼近解向量x(k+1)。

3. 迭代计算利用迭代公式x(k+1)=(D+L)^(-1)(b-Ux(k))来逐步计算出方程组的解。

4. 判断收敛条件在迭代计算过程中，需要实时判断迭代计算是否满足收敛条件，如果满足则停止迭代计算，得到方程组的解。

四、实例分析假设有如下方程组：2x1 + x2 + 4x3 = 103x1 + 4x2 - x3 = 10x1 + 2x2 + 3x3 = 0可以利用jacobi迭代法来求解该方程组，在Matlab中可以通过编程实现迭代计算过程。

题目：采用Jacobi 方法和G-S 方法求解线性方程组Ax=b ，满足按∞l 范数误差在5-10之内，A 的元素为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⋯⋯==⋯⋯=+=⎩⎨⎧⋯⋯==⋯⋯=+=⋯⋯==，其他且且，当且且，当且，当080,6,,54-67,,2,1425.080,,4,32-78,,2,125.080,,2,12i i j i i j i i i j i i j i i i j i ，并且b 的元素为)80,,2,1(⋯⋯==i b i π。

%Jacobi 方法求方程组的解disp('Jacobi 方法')for i=1:80j=i;a(i,j)=2*i;endfor i=1:78j=i+2;a(i,j)=0.5*i;endfor i=3:80j=i-2;a(i,j)=0.5*i;endfor i=1:76j=i+4;a(i,j)=0.25*i;endfor i=5:80j=i-4;a(i,j)=0.25*i;endfor i=1:80b(i)=pi;endN=180;n=80;k=1;tol=10^(-5);for i=1:80x0(i)=1;endwhile k<=Nfor i=1:nsum=0;for j=1:nif j~=isum=a(i,j)*x0(j)+sum;endendx(i)= (-sum+b(i))/a(i,i);end%求x的无穷范数normX=0;for l=1:nif abs(x(l))>normXnormX=abs(x(l));endend%求X0的范数normX0=0;for l=1:nif abs(x0(l))>normX0normX0=abs(x0(l));endendif(abs(normX-normX0)<tol)break;elsek=k+1;for i=1:nx0(i)=x(i);endendenddisp('用Jacobi迭代解方程的迭代次数为：');disp(k-1);disp('方程组的解X=');disp(x);disp('---------------------------------------') if k>Ndisp(k);disp('次迭代后无法求出方程组的解');end%Gauss-Seidel 方法求方程组的解disp('Gauss-Seidel 方法')N=80;n=80;k=1;tol=10^(-5);for i=1:80x0(i)=1;endk=1;while k<=Nfor i=1:nsum1=0;for j=1:(i-1)sum1=sum1+a(i,j)*x(j);endsum2=0;for j=(i+1):nsum2=sum2+a(i,j)*x0(j);endx(i)=(-sum1-sum2+b(i))/a(i,i);end%求x的无穷范数normX=0;for l=1:nif abs(x(l))>normXnormX=abs(x(l));endend%求X0的范数normX0=0;for l=1:nif abs(x0(l))>normX0normX0=abs(x0(l));endendif(abs(normX-normX0)<tol)%disp('符合要求');break;elsek=k+1;for i=1:nx0(i)=x(i);endendenddisp('用Gauss-Seidel迭代解方程的迭代次数为：');disp(k);disp('方程组的解X=');disp(x);disp('---------------------------------------') if k>Ndisp(k);disp('次迭代后无法求出方程组的解');end。

一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。

在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。

本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。

二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。

它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。

超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。

超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。

在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。

三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。

sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。

以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。

matlab的迭代法编程迭代法是一种常用的解决数值计算问题的方法, 在MATLAB中也有相应的编程实现。

本文将介绍如何使用MATLAB实现迭代法来解决数值计算问题。

一、迭代法简介迭代法是通过反复迭代计算来逼近问题的解的一种方法。

它适用于无法直接求得解析解的问题，但可以通过一系列近似的计算逐步逼近真实解。

二、基本思想迭代法的基本思想是通过不断迭代，逐步逼近问题的解。

假设我们要求解一个方程 f(x)=0 的根，可以从一个初始值开始，通过迭代计算逐步逼近真实解。

三、MATLAB的迭代法编程实现在MATLAB中，可以使用循环语句结合适当的迭代公式来实现迭代法。

首先，我们需要确定迭代的终止条件。

通常可以使用误差判定条件来进行终止判断，比如当迭代结果的相对误差小于某一阈值时，可以认为迭代已经达到了足够的精度。

然后，我们可以使用循环语句（如for循环或while循环）来进行迭代计算。

在每次迭代中，根据迭代公式更新迭代结果，并进行误差判定。

最后，当满足终止条件时，迭代停止，并返回最终的迭代结果作为近似解。

下面是一个简单的例子，演示了如何使用MATLAB实现牛顿迭代法求解方程的根。

```matlabfunction x = Newton_method(f, df, x0, epsilon, max_iter)for i = 1:max_iterx = x0 - f(x0)/df(x0);if abs(f(x)) < epsilonreturn;endx0 = x;enderror('迭代次数超过上限');end```在上述代码中，函数`Newton_method`用于实现牛顿迭代法。

其中，`f`代表方程函数，`df`代表方程函数的导数，`x0`是初始点的值，`epsilon`是误差判定的阈值，`max_iter`是最大迭代次数。

四、迭代法的应用迭代法在数值计算中有广泛的应用。

它可以用于求解非线性方程的根、线性方程组的解、优化问题的最优解等等。

jacobi迭代法matlab编程例题Jacobi迭代法是一种常用的数值方法，用于求解线性方程组。

它的基本思想是通过迭代逐步逼近方程组的解。

在使用Jacobi迭代法解决线性方程组时，首先需要将方程组的系数矩阵A进行分解，即将A分解为D、L和U三个矩阵的和，其中D是A的对角线矩阵，L是A的下三角矩阵，U是A的上三角矩阵。

然后可以得到迭代公式：X(k+1) = D^(-1) * (B - (L+U) * X(k))其中，X(k)表示第k次迭代的解向量，X(k+1)表示第k+1次迭代的解向量，B是方程组的常数项向量。

下面我们通过一个具体的例子来展示如何使用Matlab编程实现Jacobi迭代法。

假设有如下线性方程组：2x + y + z = 9x + 3y - z = 43x - y + 2z = 8首先，我们可以将这个方程组转换为矩阵形式：Ax = B其中，A = [2 1 1;1 3 -1;3 -1 2]B = [9; 4; 8]然后，我们需要将矩阵A进行分解：D = diag(diag(A)) = [2 0 0;0 3 0;0 0 2]L = -tril(A) + D = [0 0 0;-1 0 0;-3 1 0]U = -triu(A) + D = [0 -1 -1;0 0 1;0 0 0]接下来，我们需要设置迭代的初始解向量X(0)，这里可以选择一个任意的初始值。

假设我们选择X(0) = [0; 0; 0]。

然后，我们可以通过迭代公式来逐步逼近方程组的解。

根据公式，我们可以得到如下的迭代过程：X(1) = D^(-1) * (B - (L+U) * X(0))X(2) = D^(-1) * (B - (L+U) * X(1))X(3) = D^(-1) * (B - (L+U) * X(2))...直到满足停止条件，通常可以选择迭代次数或解的相对误差作为停止条件。

在Matlab中，我们可以使用for循环来实现迭代过程，具体代码如下：A = [2 1 1; 1 3 -1; 3 -1 2];B = [9; 4; 8];X = [0; 0; 0]; % 初始解向量D = diag(diag(A));L = -tril(A) + D;U = -triu(A) + D;for k = 1:100 % 设置最大迭代次数为100X = inv(D) * (B - (L+U) * X);% 判断停止条件% 可以根据需要设置不同的停止条件，比如迭代次数或解的相对误差if norm(A*X - B) < 1e-6break;endenddisp('解向量：');disp(X);在上述代码中，我们设置了最大迭代次数为100，并使用了解的相对误差作为停止条件。

Matlab线性方程组的迭代解法（Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法）实验报告2008年11月09日星期日12:491.熟悉Jacobi迭代法，并编写Matlab程序matlab程序按照算法(Jacobi迭代法)编写Matlab程序(Jacobi.m)function [x, k, index]=Jacobi(A, b, ep, it_max)%求解线性方程组的Jacobi迭代法，其中% A ---方程组的系数矩阵% b ---方程组的右端项% ep ---精度要求。

省缺为1e-5% it_max ---最大迭代次数，省缺为100% x ---方程组的解% k ---迭代次数% index --- index=1表示迭代收敛到指定要求；% index=0表示迭代失败if nargin <4 it_max=100; endif nargin <3 ep=1e-5; endn=length(A); k=0;x=zeros(n,1); y=zeros(n,1); index=1;while 1for i=1:ny(i)=b(i);for j=1:nif j~=iy(i)=y(i)-A(i,j)*x(j);endendif abs(A(i,i))<1e-10 | k==it_maxindex=0; return;endy(i)=y(i)/A(i,i);endif norm(y-x,inf)<epbreak;endx=y; k=k+1;end用Jacobi迭代法求方程组的解。

输入：A=[4 3 0;3 3 -1;0 -1 4]；b=[24;30;-24]；[x, k, index]=Jacobi(A, b, 1e-5, 100)输出：x =-2.999811.9987-3.0001k =100index =2.熟悉Gauss-Seidel迭代法，并编写Matlab程序function [v,sN,vChain]=gaussSeidel(A,b,x0,errorBound,maxSp)%Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组%A-系数矩阵b-右端向量x0-初始迭代点errorBound-近似精度maxSp-最大迭代次数%v-近似解sN-迭代次数vChain-迭代过程的所有值step=0;error=inf;s=size(A);D=zeros(s(1));vChain=zeros(15,3);%最多能记录15次迭代次数k=1;fx0=x0;for i=1:s(1)D(i,i)=A(i,i);end;L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);while error>=errorBound & step<maxSpx0=inv(D)*(L+U)*x0+inv(D)*b;vChain(k,:)=x0';k=k+1;error=norm(x0-fx0);fx0=x0;step=step+1;endv=x0;sN=step;用Gauss-Seidel迭代法求解上题的线性方程组，取。

雅克⽐迭代法介绍以及matlab代码实现-线性⽅程组求解1）.前沿谈到雅克⽐迭代法，⾸先就谈下迭代法的基本原理设线性⽅程组Ax = b系数矩阵A为n阶⾮奇异矩阵（|A|≠0，且右端常数项向量b≠0，则将上式改写为x = Bx +f采⽤迭代的思想： x^{k+1} = B*x^{k+1} +f k=0,1,2...,n其基本思想是将A拆分成如下A = M-N此时 B=M^(-1)*N = M^(-1) = I - M^(-1)*A ,f = M^(-1)*b .(注：I 是单位矩阵)则X^(K+1) = I - M^(-1)*A + M^(-1)*b2）.雅克⽐迭代法就上拆分的思想，将n阶线性⽅程组 Ax =b 的拆分成（A = (a ij)nxn ，且a ij≠0）A = D + L +U其中，，则根据a ij≠0，则D^(-1) 存在，则将线性⽅程组 AX=B 改为x=-D^(-1)*(L+U)*x + D^(-1)*b由此得到迭代公式x^(k+1)=-D^(-1)*(L+U)*x^(k+1) + D^(-1)*b证明：标注为粉红的公式由 Ax = b ，将A=D+L+U代如得，（D+L+U）x = bDx+(L+U)x = bDx = -(L+U)x + bx = D^(-1)*(L+U)*x + D^(-1)*b证毕。

将 x=-D^(-1)*(L+U)*x + D^(-1)*b 展开...最终结果为：3）.Matlab 雅克⽐迭代程序具体程序如下所⽰：clear;A=input('请输⼊线性⽅程组的系数矩阵:');b=input('请输⼊线性⽅程组的常向量:');x1=input('请输⼊解向量的初始值:');n=numel(b);e_max=1e6; %%前⼀次和后⼀次之差while e_max>=1e-6e_max=0;for i=1:ns=0; %%初始化变量for j=1:nif j~=is=s+A(i,j)*x1(j);endendx2(i) = (b(i)-s)/A(i,i);e = abs(x2(i)-x1(i));if e > e_maxe_max = e;endendx1=x2 %%不带分号，观察每步迭代结果end测试矩阵A = [10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5]; b= [72 83 42];迭代初值x(0) = [0 0 0];调试结果。

雅可比迭代法的MATLAB程序：Function[x,k,index]=Jacobi(A,b,ep,it-max)% 求线性方程组的雅可比法;% A为方程组的系数矩阵;% b为方程组的右端项;% x为方程组的解;% ep为精度要求,缺省值为le-5;% it_max为最大迭代次数,缺省值为100;% k为迭代次数;% index 为指标变量,index=0表示计算失败,index=1表示计算成功; if nargin<4it_max=100;endif nargin<3ep=le-5;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);index=1;while k<=it_maxfor i=1:nif abs (A(i,i))<le-10index=0;return;endy(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x(1:n)+A(i,i)*x(i))/A(i,i);endif norm(y-x,inf)<epbreak;endk=k+1;x=y;end高斯-赛德尔迭代的MATLAB程序Function[x,k,index]=Gau-seidel(A,b,ep,it-max)% 求线性方程组的高斯-赛德尔迭代法;% A为方程组的系数矩阵;% b为方程组的右端项;% x为方程组的解;% ep为精度要求,缺省值为le-5;% it_max为最大迭代次数,缺省值为100;% k为迭代次数;% index 为指标变量,index=0表示计算失败,index=1表示计算成功; if nargin<4it_max=100;endif nargin<3ep=le-5;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);index=1; while k<=it_maxfor i=1:nif abs (A(i,i))<le-10index=0;return;Endif i==1y(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n)/A(i,i);elseif i==ny(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*y(1:i-1)/A(i,i);elsey(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*y(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n)/A(i,i); endendif norm(y-x,inf)<epbreak;endk=k+1; x=y; endTHANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

逐次超松弛迭代法matlab什么是逐次超松弛迭代法？逐次超松弛迭代法（简称SOR）是一种用于数值解线性代数方程组的迭代方法。

它是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，能够加快迭代速度并增加收敛稳定性。

SOR迭代法的基本原理是在每一步迭代中引入一个超松弛因子，在更新解向量的同时，利用当前和先前的解向量信息，进行更快的收敛。

在MATLAB中，可以使用SOR迭代法来求解线性代数方程组。

在具体应用时，需要提供方程组的系数矩阵以及右侧的常数向量。

而在SOR迭代法中，还需要指定迭代的初始解向量、超松弛因子以及迭代的最大次数等参数。

首先，我们需要定义一个方程组的系数矩阵A和常数向量b。

在MATLAB 中，可以使用矩阵表示法来定义A和b。

例如，假设我们有一个3x3的方程组，可以使用以下代码来定义A和b：A = [2, -1, 0; -1, 2, -1; 0, -1, 2];b = [1; 2; 3];接下来，我们需要初始化一些迭代的参数，包括初始解向量x0、超松弛因子omega和迭代的最大次数max_iter。

其中，初始解向量x0可以选择一个任意的值，omega一般取值在0和2之间，max_iter可以根据需要设定一个足够大的值。

x0 = [0; 0; 0];omega = 1.2;max_iter = 100;然后，我们可以开始使用SOR迭代法来求解方程组。

在每一步迭代中，我们需要根据上一步的解向量计算当前的解向量，直到达到指定的迭代次数或者满足收敛条件为止。

x = x0;for k = 1:max_iterfor i = 1:length(b)x(i) = (1 - omega) * x(i) + (omega / A(i, i)) * (b(i) - A(i, [1:i-1, i+1:end]) * x([1:i-1, i+1:end]));end判断迭代是否收敛if norm(A * x - b) < 1e-6break;endend在迭代过程中，我们可以添加一些判断条件来判断迭代是否收敛，例如当方程的残差（两侧误差）小于某个指定的阈值时，可以认为方程组已经解出。

一、实验目的及题目1.1 实验目的：（1）学会用高斯列主元消去法，LU 分解法，Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组。

（2）学会用Matlab 编写各种方法求解线性方程组的程序。

1.2 实验题目：1. 用列主元消去法解方程组：1241234123412343421233234x x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-+=⎪⎨--+=-⎪⎪-++-=⎩2. 用LU 分解法解方程组,Ax b =其中4824012242412120620266216A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，4422b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭3. 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组：1232341231234102118311210631125x x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪-+=-⎪⎨-+=⎪⎪-+-+=⎩二、实验原理、程序框图、程序代码等2.1实验原理2.1.1高斯列主元消去法的原理Gauss 消去法的基本思想是一次用前面的方程消去后面的未知数，从而将方程组化为等价形式：1111221122222n n n n nn n nb x b x b x g b x b x g b x g +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩这个过程就是消元，然后再回代就好了。

具体过程如下： 对于1,2,,1k n =-，若()0,k kk a ≠依次计算()()(1)()()(1)()()/,,1,,k k ik ik kk k k k ij ij ik kjk k k i i ik k m a a a a m a b b m b i j k n++==-=-=+然后将其回代得到：()()()()()1/()/,1,2,,1n n n n nn n k k k k k kj j kk j k x b a x b a x a k n n =+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑以上是高斯消去。