2020高考理科数学二轮分层特训卷：主观题专练 (2) Word版含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（II 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. （集合）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()C U A B =A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3--【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴(){}C 2,3U AB =-. 【答案】A2. （三角函数）若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin 20α>D. sin 20α<【解析】α为第四象限角，即π2π2π2k k α-+<<，∴π4π24πk k α-+<<， ∴2α是第三或第四象限角，∴sin 20α<.【答案】D3. （概率统计，同文3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B4.（数列）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【解析】设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环的扇面形石板块数之间构成等差数列，且19a =，9d =，由等差数列性质可知，n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等差数列，且公差229d n d n '==.因下层比中层多729块，故有2322()()9729n n n n S S S S n ---==，解得9n =. 因此三层共有扇面形石板的块数为327127262726==272799=340222n S S a d ⨯⨯+=⨯+⨯. 【答案】C5. （解析几何，同文8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A5所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∴ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===， 即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A5【答案】B6.（数列）数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】∵m n m n a a a +=，∴211211n k n k k k a a a a a a a +--===，故有1210111551210...(222)(22)22k k k k k a a a a a ++++++=+++=-=-，∴42k a =又∵2111211112n n n n n n a a a a a a a a ---======，∴ 422k k a ==，∴4k =.【答案】C7.（立体几何）下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H【解析】由三视图的特点，如图A7所示，该端点在侧视图中对应的点为E.图A7【答案】A8．（解析几何，同文9）设O为坐标原点，直线x a=与双曲线C：22221 x ya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE∆的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【解析】如图A8所示，双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线为by xa=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∴ 焦距22226422248c a b a a =+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A8【答案】B9.（函数）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减 【解析】∵()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()ln ||g x x =，1()g x x '=，（即ln ||x 与ln x ，二者的导函数相同） ∴224()2121(21)(21)f x x x x x -'=-=+--+， 当1(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 当11()22x ∈-，时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞-单调递增.当1()2x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 【答案】D10.（立体几何，同文11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32 C ．1 D ．32【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =， 如图A10所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心， 故123333O A == O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A10【答案】C11. （函数，同文12）若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323x x x x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴ x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A12. （概率统计）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12...n a a a 满足 {}0,1(1,2,...)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0-1序列12...n a a a ，11()(1,2,...1)i m i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1的序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...【解析】解法一（计数思想）：由5111()(1,2,3,4)55i i k i C k a a k +==≤=∑，可得511i i k i a a +=≤∑. 因0=1i i k a a +⎧⎨⎩，故对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1，所以对于所有的(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的总个数不能超过4.A 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故A 选项不符合题意.B 选项：1i i k a a +=的个数为2412A =，故B 选项不符合题意. D 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故D 选项不符合题意.C 选项：1i i k a a +=的个数为222A =，即151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意. 解法二（排除法）： 由解法一可知，对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1.A 选项：当2k =时，241a a =，411a a =，故A 选项不符合题意.B 选项：当1k =时，121a a =，451a a =，故B 选项不符合题意.D 选项：当1k =时，121a a =，511a a =，故D 选项不符合题意.C 选项：序列的一个周期内只有两个1，1i i k a a +=的情况只有151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意.解法三（答案验证法）：按照题设的定义11()(1,2,...1)i mi k i C k a a k m m +===-∑，逐个验证答案，使用排除法，即可得到正确选项. 如A 选项，121(2)(01010)=555C =++++>，排除A 选项，其余的这里不再赘述. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（平面向量）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______. 【解析】∵()ka b a -⊥，∴22()02ka b a ka a b k -⋅=-⋅=-=，∴22=k . 【答案】22 14.（概率统计）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【解析】根据题意，先把4名同学分为3组，其中1组有两人，2组各有一人，即从4名同学中任选两人即可，故有24C 种选法；将分成的3组同学安排到3个小区，共有33A 种方法；所以不同的安排方法共有234336=C A 种.【答案】36 15.（复数）设复数1z ，2z 满足122z z ==,则123z z i +，则12z z -=_______.【解析】解法一：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量b a ，满足2||||==b a ，且,1)3(=+b a ，求||b a -.∵2222||2||2||||b a b a b a +=-++，∴16||42=-+b a ，∴12||2=-b a ，∴32||=-b a . 即1223-=z z解法二：在复平面内，如图A15所示，因12122==+=z z z z ，则1z ，2z ，12+z z 组成一个等边三角形，所以1z ，2z 之间的夹角为120°，所以22o 1212122cos120=44423-=+-++=z z z z z z .图A15【答案】316.（立体几何，同文16）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ⌝∨ ④ 34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（12分）（三角函数）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，△ 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， △ 由△，△得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BC B C A ===，从而 23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=-. 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+. 18.（12分）（概率统计，同文18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i i i i i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

2020高考理科数学二轮专题提分全国通用基础保分强化试题二A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A 解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3 答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称 答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，故D 错误．故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64B.14C.26D.36答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A.8．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种 答案 A解析 由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2,3,4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2,3,4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有C 13·C 13·C 12·1＝18种．故选A. 9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0 答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA→＋OB →|＝( ) A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y－3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA→＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C. 12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。

热门 (一)三个 “二次 ”的关系1．(二次函数单一区间 )函数 y ＝x 2＋ bx ＋ c(x ∈ [0，＋∞ ))是单一函数的充要条件是 ()A ． b ≥ 0B ． b ≤0C ．b>0D ． b<0 答案： A分析： ∵ 函数 y ＝x 2＋bx ＋ c(x ∈ [0，＋ ∞))是单一函数，∴ 图象的对称轴 x ＝－b b≤ 0，解得 b ≥ 0，应选 A.2在区间 (0，＋ ∞) 的左侧，即－ 22．(二次函数最值 )设函数 y ＝ x 2－ 2x ，x ∈ [ －2，a]，若函数的最小值为 0，则 a ＝ ()A ．0B ．1C ．2D ．－ 1 答案： A分析： 因为函数 y ＝ x 2－ 2x ＝ (x － 1)2－ 1，因此函数图象的对称轴为直线 x ＝ 1， 因为 1 不必定在区间 [－ 2， a] 内， 因此应进行议论．当－ 2<a ≤ 1 时，函数在 [ － 2， a] 上单一递减，则当 x ＝ a 时， y 获得最小值，即 y min ＝ a 2 －2a ，因此 a 2－ 2a ＝ 0，因此 a ＝0 或 a ＝ 2(舍去 )；当 a>1 时，函数在 [ －2， 1]上单一递减，在 (1， a]上单一递加，则当 x ＝ 1 时， y 获得最 小值，即 y min ＝－ 1，不合题意．应选A.x 2＋ 2x ，x ≤ 0，f(x)的图象在 x3． (二次函数图象切线 )已知函数 为奇函数，则f(x)＝－ x 2＋ax ， x>0＝2 处的切线的斜率等于 ( )A ． 6B ．－ 2C ．－ 6D ．－ 8答案： B分析： 当 x<0 时，－ x>0 ， f(－ x)＝－ x 2－ ax ＝－ f(x)＝－ ( x 2＋ 2x)＝－ x 2－ 2x ，故 a ＝2. 当 x>0 时， f(x)＝－ x 2＋2x ， f ′ (x)＝－ 2x ＋ 2，∴ k ＝ f ′ (2)＝－ 2.应选 B.4． (单一性与一元二次不等式 ) 函数 y ＝ lg(x 2＋ x － 2)的单一递加区间是 ()A. －∞，－1 B. － 1，＋∞2 2C ．( －∞，－ 2)D ． (1，＋∞ ) 答案： D分析： 由 x 2＋ x － 2>0 可得 x<－2 或 x>1.∵ u ＝ x 2＋ x －2 在 (1，＋ ∞ )上单一递加， y ＝ lg u 是增函数，∴ 由复合函数同增异减的法例可得，函数 y ＝ lg(x 2＋ x － 2)的单一递加区间是 (1，＋ ∞ )，应选 D.5． (一元二次方程根与系数的关系 )若 a 、 b 是方程 x 2＋ (m － 5)x ＋ 7＝ 0 的两个根，则 (a 2＋ma ＋7)(b 2＋ mb ＋ 7)＝ ()A ． 365B ． 245C ．210D ． 175答案： D分析： 因为 a 、b 是方程 x 2＋ (m － 5)x ＋ 7＝0 的两个根，因此 a ＋ b ＝ 5－m ， ab ＝ 7， 因此 (a 2＋ ma ＋ 7)(b 2 ＋ mb ＋ 7) ＝ (a 2＋ ma ＋ ab)(b 2＋ mb ＋ ab) ＝ ab(a ＋ b ＋ m)2 ＝ 7× 52 ＝ 175，应选 D.6．( 二次函数单一性 )若函数 f(x)＝ 4x 2－ kx －8 在区间 [5，20]上是单一函数，则实数 k 的取值范围是 ()A ． [160 ，＋∞ )B ．( －∞， 40]C ．( －∞， 40] ∪ [160 ，＋∞ )D ． (－∞， 40)∪ (160，＋∞ ) 答案： C分析：二次函数 f(x)图象的对称轴是直线 x ＝k ，故只需 k ≤ 5 或 k≥ 20，即 k ≤ 40 或 k ≥ 160.8 8 8 故实数 k 的取值范围是 (－∞ ， 40]∪ [160，＋ ∞ )，应选 C.7． [2019 辽·宁庄河高中、沈阳二十中联考 ]( 一元二次不等式 ) 已知不等式 ax 2 ＋bx ＋ 2>0的解集为 { x|－ 1< x<2} ，则不等式 2x 2＋ bx ＋ a>0 的解集为 ()A. x x<－ 1或 x> 1B. x －1<x<122 C ．{ x|－ 2<x<1} D ． { x|x<－ 2 或 x>1} 答案： A分析：∵ 不等式 ax 2＋ bx ＋ 2>0 的解集为 { x|－ 1< x<2} ，∴ ax 2＋ bx ＋ 2＝ 0 的两根为－ 1，2，b 2且 a<0 ，即－ 1＋ 2＝－ a ，(－ 1)× 2＝a ，解得 a ＝－ 1，b ＝ 1，则不等式 2x 2 ＋bx ＋ a>0 可化为 2x 2＋ x － 1>0，解得 x<－ 1 或 x> 1.应选 A.28．(二次函数＋二次不等式 )函数 f(x)＝ (x － 2)(ax ＋ b)为偶函数，且在 (0，＋∞ )上单一递 增，则 f(2－ x)>0 的解集为 ( )A ． { x|－ 2<x<2}B ． { x|x>2 或 x<－ 2}C ．{ x|0<x<4}D ． { x|x>4 或 x<0} 答案： D分析： 因为函数 f(x) ＝ ax 2＋ ( b － 2a)x － 2b 为偶函数，因此 b － 2a ＝ 0，故 f(x)＝ ax 2－ 4a＝a(x －2)(x ＋2) ，因为函数 f(x)在 (0，＋ ∞ )上单一递加， 因此 a>0. 依据二次函数的性质可知，f(2－ x)>0 的解集为 { x|2－ x>2 或 2－ x<－ 2} ＝ { x|x<0 或 x>4} ，应选 D.9． (二次函数 )已知函数 f(x)＝－ x 2＋ 2ax ＋ 1－ a ，x ∈ [0， 1]有最大值 2，则 a ＝ ()A ．2B ．0C ．0 或－ 1D ．2 或－ 1 答案： D分析： 函数 f(x)＝－ x 2＋ 2ax ＋ 1－ a ＝－ (x － a)2＋ a 2－a ＋ 1，其图象的对称轴方程为 x ＝ a.当 a<0 时， f(x) ＝ f(0) ＝ 1－ a ，因此 1－a ＝ 2，因此 a ＝－ 1；当 0≤ a ≤ 1 时， f(x) max ＝ f(a)max＝ a 2－ a ＋ 1，因此 a 2－ a ＋ 1＝ 2，因此 a 2－a － 1＝ 0，因此 a ＝1± 5(舍去 )；当 a>1 时，f(x)max 2＝ f (1)＝ a ，因此 a ＝ 2.综上可知， a ＝－ 1 或 a ＝ 2，应选 D.10．(二次函数 )已知函数 f( x)＝ a －x 2(1≤x ≤ 2)与 g(x)＝ x ＋ 2 的图象上存在对于 x 轴对称 的点，则实数 a 的取值范围是 ()A ．[－2，0] B. － 9，04C ．[2， 4] D. － 9，＋∞答案： A4分析：因为函数 f(x)＝a － x 2(1≤ x ≤ 2)与 g(x)＝ x ＋2 的图象上存在对于x 轴对称的点， 所以方程 a －x 2 ＝－ (x ＋ 2)，即 a ＝x 2－ x －2 在区间 [1，2]上有解． 令 h(x)＝ x 2－ x － 2，1≤ x ≤ 2，因为 h(x)＝ x 2－ x －2 的图象张口向上且以直线 1x ＝ 2为对称轴，故当 x ＝ 1 时， h(x)获得最小值，为－ 2，当 x ＝ 2 时， h(x)获得最大值，为 0，故 a ∈ [－ 2， 0]，应选 A.11．[2019 ·河南平顶山调研 ]( 一元二次不等式恒建立问题 )若不等式 ax 2＋ 2ax －4<2x 2＋ 4x 对随意实数 x 均建立，则实数 a 的取值范围是 ( )A ．(－2，2)B ． (－∞，－ 2)∪(2，＋∞ )C ．( －2， 2]D ． (－∞， 2]答案： C分析： 由题意，得不等式 ax 2＋ 2ax － 4<2x 2＋ 4x 可化为 (a － 2)x 2＋ 2(a － 2)x －4<0 ，当 a－2＝ 0，即 a ＝ 2 时，不等式恒建立，切合题意；当 a － 2≠ 0 时，要使不等式恒建立，需a － 2<0，解得－ 2<a<2.4 a － 2 2＋4× 4 a － 2 <0 ，综上所述，实数 a 的取值范围为 (－ 2，2] ．应选 C.12． (二次函数＋存在性 )若对随意 x ∈ R ，函数 f( x)＝ 2mx 2－ 2(4－ m)x ＋ 1 与 g(x)＝ mx 的值起码有一个为正数，则实数m 的取值范围为 ()A ．(0， 4]B ． (0， 8)C ．(2， 5)D ． (－∞， 0) 答案： B分析： 当 m ＝ 0 时， g(x)＝0，f(x)＝－ 8x ＋ 1>0 不恒建立，此时不切合条件；当 m<0 时，g(x)＝ mx 在 x>0 时恒为负，而f(x)＝ 2mx 2－2(4－ m)x ＋ 1 的图象张口向下，因此对随意x>0明显不恒为正，此时不切合条件；当m>0 时， g(x)＝ mx 在 x>0 时恒为正，在 x<0 时恒为负，2b4－m因此只需 f(x)＝ 2mx －2(4－ m)x ＋ 1 在 x ≤ 0 时恒为正即可，若－ 2a ＝ ≥ 0，即 0<m ≤ 4，2m4－m <0，即 m>4 ，此时只需 ＝ 4(4－ m)2－8m<0 即可，因此此时结论明显建立，若－ b ＝ 2a 2m4<m<8.综上可知， m 的取值范围为 0<m<8，应选 B.13． [2019 ·南豫北豫南联赛河 ] 不等式 x 2－ 3|x|＋ 2>0 的解集是 ________． 答案： (－∞，－ 2)∪ (－1， 1)∪ (2，＋∞ )分析：原不等式可转变为 |x|2－ 3|x|＋ 2>0 ，解得 |x|<1 或 |x|>2，因此 x ∈ (－ ∞ ，－ 2)∪ (－ 1，1)∪ (2，＋ ∞ )．14．(二次函数 )已知函数 f(x)＝ x 2＋ ax ＋b(a ，b ∈ R)的值域为 [0，＋∞ )，若对于 x 的不等 式 f(x)－ c<0 的解集为 (m ， m ＋ 6)，则实数 c 的值为 ________．答案： 9分析： 由题意知 f(x)－ c ＝ (x － m)( x － m － 6)， ∴ f(x)＝x 2－ (2m ＋ 6)x ＋ m(m ＋6)＋ c. ∵ f(x)的值域为 [0，＋ ∞ )，∴ ＝ 0，∴ (2m ＋6) 2－ 4[m(m ＋ 6)＋c] ＝0，解得 c ＝ 9.15．(二次函数＋参变量范围)已知定义在区间 [0，3]上的函数 f(x)＝ kx2－ 2kx 的最大值为3，那么实数 k 的值为 ________．答案：1或－3分析： f(x)＝ k(x－ 1)2－ k.(1)当 k>0 时，二次函数的图象张口向上，∴当 x＝ 3 时，f(x) 有最大值， f(3) ＝ k·32－ 2k× 3 ＝3k＝ 3? k＝1；(2)当 k<0 时，二次函数的图象张口向下，∴当 x＝1 时， f(x)有最大值， f(1)＝ k－2k＝－k＝3? k＝－ 3；(3)当 k＝ 0 时明显不建立．故 k 的取值为 1 或－ 3.16． (二次函数 )已知二次函数f(x)＝x2－ax＋ 3－ a 的两零点均为正实数，则实数 a 的取值范围是 ________．答案： (2，3)分析：设 f(x)＝ x2－ ax＋ 3－ a 的两零点为x1， x2，依题意可得＝a2－4 3－ a >0，x1＋ x2＝ a>0，解得2<a<3，x1x2＝ 3－ a>0，即实数 a 的取值范围是(2， 3)．。

2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.（5分）复数z＝（1+2i）2（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（5分）已知集合A＝{x|x2-2x-3<0}，集合B＝{x|x-1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（-∞，1）∪[3，+∞]B．（-∞，1]∪[3，+∞]C．（-∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）3.（5分）若x，y满足约束条件{3x-y+1≥0，y≤2，x-y-2≤0}，则z＝4x+2y的最小值为（）A．-17B．-13C．16/3D．204.（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b 相交，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直5.（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A．今年每天气温都比去年气温低B．今年的气温的平均值比去年低C．今年8-12号气温持续上升D．今年8号气温最低6.（5分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an+2an＝39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（）A．637B．559C．481+25√39D．492+24√787.（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（）A．π/3B．π/2C．2π/3D．16π/38.（5分）下列命题错误的是（）A．∃α，β∈R，cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβB．∀x，k∈R，sin（x+k•2π）＝sinxC．∃x∈[0，π)，sin（x+π/2）＝sinxD．∀x∈R+，∃k∈R，sinx≤kx9.（5分）已知sin（π/3+α）= 2/3，则sinα的值等于（）A．-7/9B．-2/9C．9/2D．3/710.（5分）已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a•b=-2，b•c=0，且a，b，c不共面，那么向量c的长度为（）A．1/2B．1C．√2D．21.题目未给出文章，无法进行修改。

热门 (二 ) 恒建立及参数1．(参数范围＋单一性 )已知函数 f( x)＝ln a ＋ ln x在[1 ，＋∞ )上为减函数， 则实数 a 的取值范围是 ()xA ． 0<a<1eB ． 0<a ≤ eC ．a ≤ eD ． a ≥ e 答案： D分析： 函数 f(x)＝ ln a ＋ ln x 在 [1，＋ ∞ )上为减函数， f ′ (x)＝ 1－ln a － ln xxx 2，则 f ′ (x)≤ 0 在 [1，＋ ∞ )上恒建立， 即 1－ ln a －ln x ≤ 0 在 [1，＋ ∞ )上恒建立，e ∴ ln x ≥ 1－ ln a ＝ ln a 恒建立， ∴ ln e ≤ 0，即 e≤ 1，a a ∴ a ≥ e.2． (参数范围＋不等式恒建立 ) 设 0≤ α≤ π，不等式 8x 2－ (8sin α)x ＋ cos 2α≥ 0 对 x ∈ R 恒建立，则 α的取值范围是 ( )A. 0， πB. 0， π 5π6 ∪ ， π6 6 5π π 5πC. 6 ，π D. 6，6答案： B分析： 依据题意有 64sin 2α－ 32cos 2α≤ 0，即 sin 2α≤1，联合题中所给的角的范围，求4π 5π得 α的取值范围是 0，6 ∪ 6 ， π，应选 B.3． (参数范围＋不等式恒建立 ) 若对于 x 的不等式 x 3－3x 2－9x ＋ 2≥ m 对随意 x ∈ [ － 2，2]恒建立，则 m 的取值范围是 ( )A ． (－∞， 7)B ． (－∞，－ 20]C ．( －∞， 0]D ． [－ 12，7] 答案： B分析： 设 f(x)＝ x 3－ 3x 2－ 9x ＋ 2，则 f ′ (x)＝ 3x 2－ 6x －9， 令 3x 2－ 6x －9＝ 0，得 x 1＝－ 1， x 2＝ 3， ∵ 3?[－ 2，2]， ∴ x 2＝ 3(舍 )， 列表议论：x(－ 2，－ 1)－ 1 (－ 1， 2)f ′ (x)＋0 －f(x)Z 极大值]∵ f(－ 2)＝－ 8－ 12＋ 18＋ 2＝ 0，f(－ 1)＝－ 1－ 3＋ 9＋2＝ 7，f(2) ＝ 8－ 12－ 18＋ 2＝－ 20，∴ f(x)＝x 3－ 3x 2－9x ＋ 2 在 x ∈ [ － 2， 2]上的最大值为 7，最小值为－ 20，∵ 对于 x 的不等式 x 3－ 3x 2－ 9x ＋2≥ m 对随意 x ∈ [－ 2， 2]恒建立， ∴ m ≤ － 20，应选B.4． (参数范围＋单一性 )已知函数 f(x) ＝a(x ＋ 1)ln( x ＋ 1)－ x 2－ ax(a>0)是减函数，则 a 的 值是()A ．－ 1B ． 1C ．－ 2D ． 2 答案： D分析： f(x)的定义域为 (－ 1，＋ ∞)， f ′(x)＝ aln( x ＋ 1)－ 2x.由 f(x) 是减函数得，对随意的x ∈ (－ 1，＋ ∞ )，都有 f ′ (x)＝ aln(x ＋ 1)－ 2x ≤ 0 恒建立．设 g(x)＝ aln(x ＋ 1)－ 2x.a则 g ′ (x)＝－2 x － 2－ 1，由 a>0 知 a－ 1>－ 1，x ＋ 1 2a∴ 当 x ∈ － 1，2－ 1 时， g ′(x)>0；a当 x ∈ 2－ 1，＋ ∞ 时， g ′ ( x)<0 ，∴ g(x)在 a－ 1，2－ 1 上单一递加，在a2－1，＋ ∞ 上单一递减，∴ g(x)在 x ＝a2－ 1 处获得最大值．∵ g(0) ＝ 0， ∴对随意的 x ∈ (－ 1，＋ ∞ )， g(x)≤ g(0)恒建立，即 g(x)的最大值为 g(0)．a ∴ 2－ 1＝ 0，解得 a ＝ 2.5． (参数范围＋恒建立 )已知对于 x 的不等式 mcos x ≥ 2－ x 2π π上恒建立，则实在 － ， 数 m 的取值范围为 ( ) 2 2A ． [3，＋∞ )B ． (3，＋∞ )C ．[2，＋∞ )D ． (2，＋∞ )答案： C解 析 ： 变 形 得 m ≥2－ x 2π ππ2－ x 2cos x x ∈ － 2， 2 ，因为当 x ∈ 0， 2 时 ， ′ ＝cos x－ 2xcos x ＋ 2－ x 2 sin xcos 2x，令 f(x) ＝－ 2xcos x ＋ (2－ x 2)sin x ，则 f ′ (x)＝－ x 2cos x ，可知在 0， π上， f ′ (x)<0，22－ x 2 π ∴ f(x)< f(0) ＝ 0， ∴ y ＝ cos x 在 0，2 上是减函数．2－ x 2 π π又 y ＝ cos x 在－ 2，2 上是偶函数，且连续，2－ x 22－ 0因此 cos x 的最大值为 cos 0＝ 2，∴ m ≥ 2，应选 C.6． (参数范围＋单一性 )若函数 f(x)＝ kx － ln x 在区间 (1，＋∞ )上单一递加，则 k 的取值范围是()A ． (－∞， 1)B ． (1，＋∞ )C ．( －∞， 1]D ． [1，＋∞ ) 答案： D1分析： f ′ (x)＝ k － x .∵ 函数 f(x)＝ kx － ln x 在区间 (1，＋ ∞ )上单一递加，∴ f ′ (x)≥ 0 在区间 (1 ，＋ ∞ )上恒建立．11∴ k ≥ x ，而 y ＝ x 在区间 (1，＋ ∞)上单一递减，∴ k ≥ 1， ∴ k 的取值范围是 [1，＋ ∞ )，应选 D.7．(参数范围 )已知函数 f(x)＝ x 2＋ 4x ＋aln x ，若函数 f(x)在 (1，2)上是单一函数，则实数a 的取值范围是 ()A ．(－6，＋∞ )B ．( －∞，－ 16)C ．( －∞，－ 16]∪[ － 6，＋∞ )D ． (－∞，－ 16)∪ ( －6，＋∞ ) 答案： C分析：f ′ (x)＝ 2x ＋ 4＋a或 f ′ (x)≥ 0x ，因为函数在区间 (1，2)上拥有单一性， 因此 f ′ (x)≤ 0在(1 ， 2)上恒建立，则有 2x ＋ 4＋ a ≤0 或 2x ＋ 4＋ a≥ 0 在(1 ， 2)上恒建立，因此 a ≤ － (2x 2＋x x4x) 或 a ≥ － (2x 2＋ 4x)在 (1，2)上恒建立， 令 g(x)＝－ (2x 2＋ 4x)，当 1<x<2 时， －16<g(x)<－6，因此 a ≤ －16 或 a ≥－ 6，因此 a 的取值范围是 (－ ∞，－ 16]∪ [ － 6，＋ ∞ )．8．(参数范围＋分段函数恒建立－ x － 2 2 x<2 ，)函数 f(x)＝知足对随意 x 1≠x 2 都有3－ a x ＋ 5a x ≥ 2f x －fx21)x 1－x 2>0 建立，则 a 的取值范围是 (A ． (－∞，－ 2]B ． (3，＋∞ )C ．[ －2， 3)D ． [1，＋∞ ) 答案： Cf x － f x解 析 ： 因 为 任 意 x 112≠ x 2 ， 都 有>0 ， 所 以 函 数 f(x) 是 增 函 数 ， 所 以x － x213－ a>0，解得－ 2≤a<3，应选 C.2 3－ a ＋ 5a ≥ 0，9．(参数范围＋不等式 )若不等式 3x 2－ log a x<0 在 x ∈ 0， 1内恒建立，则实数 a 的取值范围是 ( ) 31 1A ． a<27 B.27<a<11C ．a>1 D. 27≤ a<1答案： D分析： 由题意知： 3x 2<log a x 在 x ∈ 0， 1内恒建立，在同一坐标系内，分别作出函数y312＝3x和 y ＝ log x 的图象 (图略 )，察看两函数图象， 当 x ∈ 0， 3 时，若 a>1，则函数 y ＝ log xaa的图象明显在函数1 11 ，∴ 1≤a<1， y ＝3x 2 图象的下方， 不建立；若 0<a<1，则 log a ≥ ，∴ a ≥ 27 273 3应选 D.10． (参数范围＋不等式恒建立)函数 f(x)＝ e x －1－ 1ax 2＋ (a － 1)x ＋ a 2 在 (－∞，＋∞ )上单2调递加，则实数 a 的范围是 ()A ．{1}B ．(－1， 1)C ．(0， 1)D ． { － 1， 1} 答案： A分析： 由题意知 f ′ (x)＝ e x－1－ ax ＋ (a －1) ≥0 恒建立，即 e x －1≥ ax － (a －1) 恒建立，易知 e x ≥ x ＋ 1，即 e x －1≥ x ，因此只要要 x ≥ ax － ( a － 1)，即 (a － 1)(x － 1)≤ 0 恒建立，因此 a ＝ 1，应选 A.11．(参数范围＋不等式 1， e ，不等式 2－ mx ＋ 3≥ 0 建立，则实数 )若存在 x ∈ e2xln x ＋ x m 的最大值为 ( )A. 1＋ 3e － 2 B ． 2＋e ＋3e eC ．4D ． e 2－ 1 答案： A分析： 2xln x ＋ x23－ mx ＋ 3≥ 0，∴ m ≤ 2ln x ＋ x ＋ x ，3 2 3 x ＋ 3 x － 1设 h(x)＝ 2ln x ＋ x ＋ x ，则 h ′ (x)＝ x ＋1－ x 2＝ x 2.当 1≤ x<1 时， h ′( x)<0 ， h(x)单一递减；e当 1<x ≤e 时， h ′ (x)>0，h(x)单一递加．13∵ 存在 x ∈ e ， e ，m ≤ 2ln x ＋ x ＋ x 建立，∴ m ≤ h(x)max .1 1 3∵ h＝－ 2＋ e ＋3e ， h(e)＝ 2＋ e ＋ e ，e1 1∴ h e >h(e)， ∴ m ≤ e ＋ 3e － 2.应选 A.－ ln x ， 0<x ≤ 1，12． (参数范围＋分段函数 )已知函数 f(x)＝ 1若 0<a<b 且知足 f(a)＝x ， x>1，f(b)，则 af(b)＋ bf(a)的取值范围是 ()A. 1， 1＋ 1B. －∞， 1＋ 1e eC. 1， 1＋ 1D. 0，1＋1ee答案： A1分析： 如图，由f(a)＝ f(b)，得－ ln a ＝ b .1 1因为 0<b <1，因此 0<－ ln a<1，得 e <a<1.1 1，则 af(b)＋ bf(a)＝ a ·＋ b(－ ln a)＝－ aln a ＋ 1<a<1 be1令 g(x)＝－ xln x ＋ 1 e <x<1 ， 则 g ′ (x)＝－ ln x －1，1令 g ′ (x)＝ 0，得 x ＝ e . 11当 e <x<1 时， g ′ (x)<0 ，g( x)在 e ， 1 上递减， ∴ 1<g(x)<1e ＋ 1.应选 A.13． (参数范围＋不等式 )当 x ∈ (1，2) 时，不等式 x 2＋ mx ＋4<0 恒建立，则 m 的取值范围是 ________．答案： (－∞，－ 5]分析： 当 x ∈(1，2)时，由 x 2＋ mx ＋ 4<0 得 m<－ x 2＋ 4 .令 f(x)＝x 2＋ 4 ＝ x ＋4，则易知 f(x) x xx 在(1 ，2)上是减函数， ∴x ∈ [1，2]时，f(x)max ＝ f(1)＝ 5，可得 x ∈ (1，2)时，－ x 2＋ 4x >－5，∴m ≤－5.14． (恒建立 )当 x ∈ [ － 2，1] 时，不等式 ax 3 －x 2＋4x ＋ 3≥ 0 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ________．答案： [－ 6，－ 2]分析： 不等式 ax 3－ x 2＋4x ＋ 3≥ 0 变形为 ax 3≥ x 2－ 4x － 3.当 x ＝ 0 时，不等式即为 0≥ － 3，故实数 a 的取值范围是 R ；x 2－ 4x － 3x 2－ 4x －3－ x 2＋ 8x ＋ 9当 x ∈ (0 ， 1] 时 ， a ≥ x 3， 记 f(x) ＝x 3， 则 f ′ (x) ＝x 4＝－ x －9 x ＋1x 4>0 ，故函数 f(x)递加，则 f( x)max ＝ f(1) ＝－ 6，故 a ≥ － 6；x 2 －4x － 3x 2－ 4x －3当 x ∈ [－2， 0)时， a ≤x 3，设 f(x)＝ x 3，令 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝－ 1 或 x ＝9(舍去 )，当 x ∈ (－ 2，－ 1)时， f ′ (x)<0 ；当 x ∈ (－ 1， 0)时， f ′ (x)>0，故 f(x)min ＝ f(－ 1)＝－ 2，则 a ≤ －2.综上所述，实数 a 的取值范围是 [－ 6，－ 2]．15． (参数范围＋存在性问题 log 2 2－ x ， 0≤x<k ，k ，)已知函数 f(x)＝若存在实数x 3－ 3x 2＋ 3， k ≤ x ≤a ，使得函数 f(x)的值域为 [ － 1， 1] ，则实数 a 的取值范围是 ________．答案： [2，1＋ 3]分析： 因为 y ＝ log 2(2－ x)在 [0， k)上是单一递减函数，当 x ＝ 0 时， y ＝ 1，当 x ＝3时，y23＝－ 1，因此 0<k ≤ 2，令 g(x)＝ x 3－ 3x 2＋ 3，则 g ′ (x)＝ 3x 2－ 6x ，令 g ′ (x)＝ 0，解得 x ＝ 0或 x ＝ 2，可得 g(x)在 (0， 2)上递减，在 (2，＋ ∞)上递加，当 x ＝ 2 时，函数获得极小值－ 1，令 x 3 －3x 2＋ 3＝ 1，解得 x ＝ 1 或 x ＝ 1＋ 3或 x ＝ 1－ 3(舍 )，因此 2≤ a ≤ 1＋ 3.12，若对随意两个不等的正实数x ，x ，16．(参数范围＋恒建立 )已知 f(x) ＝aln x ＋2x (a>0)12都有f x 1－ f x 2>2 恒建立，则 a 的取值范围是 ________．x 1－ x 2 答案： [1，＋∞ )分析： 依据对随意两个不等的正实数x 1， x 2，都有 f x 1 － f x 2 >2 恒建立，可知函数的导x －x12a数大于或等于 2，因此 f ′( x)＝ x ＋ x ≥ 2(x>0， a>0)，分别参数得 a ≥ x(2－ x)，而当 x>0 时，x(2－ x)的最大值为 1，故 a ≥1.。

会合与常用逻辑用语、不等式(2)一、选择题 (此题共 有一项为哪一项切合题目要求的12 小题，每题)5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只1． [2019 ·蒙古一模内 则(A ∪B)∩C ＝( )] 设会合A ＝ {1 ， 2， 6} ，B ＝{ －2， 2， 4} ，C ＝ { x ∈R |－ 2<x<6} ，A ．{2}B ．{1 ， 2，4}C ．{1 ， 2， 4， 6}D ． { x ∈R |－ 1≤ x ≤ 5} 答案： B分析： A ∪ B ＝ { － 2， 1， 2， 4， 6} ， ∴ (A ∪B)∩ C ＝ {1 ， 2，4} ．应选 B.2． [2019 甘·肃、宁夏、青海联考 认为( )A ． { x|x<3}B ． { x|－ 3<x<1}C ．{ x|x>－ 3}D ． { x|x<1}]设会合A ＝ { x|x 2>4} ， A ∩B ＝{ x|x<－ 2} ，则会合B 可答案： D分析：易得 A ＝ { x|x<－ 2 或 x>2} ，挨次考证各选项， 获得当 B ＝ { x|x<1} 时， A ∩ B ＝ { x|x<－2} ．应选 D.3． [2019 ·宁大连摸底辽 ] 已知 p ： a<0 ， q ： a>a 2，则 p 是 q 的 ()A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件 答案： D分析： 由 q ：a>a 2 得， 0<a<1，又 p ：a<0，因此 p 是 q 的既不充分也不用要条件．应选 D.4． [2019 郑·州市高中毕业班第一次质量展望 ]以下说法正确的选项是 () A ．“若 a>1，则 a 2>1 ”的否命题是“若 a>1，则 a 2≤ 1” B ．“若 am 2<bm 2，则 a<b ”的抗命题为真命题C ．存在 x ∈ (0，＋∞ )，使 3x >4x0 建立1 πD ．“若 sin α≠ ，则 α≠ ”是真命题26答案： D分析： 关于选项 A ，“ 若 a>1，则 a 2>1” 的否命题是 “若 a ≤ 1，则 a 2≤1” ，应选项 A 错误；关于选项 B ， “若 am 2<bm 2，则 a<b ” 的抗命题为 “若 a<b ，则 am 2 <bm 2” ，由于当m ＝ 0 时， am 2＝ bm 2，因此其抗命题为假命题，应选项B 错误；关于选项C ，由指数函数的x ∈(0 ，＋ ∞ )，都有 4x >3x ，应选项 C 错误；关于选项 1图象知，对随意的D ， “ 若 sin α≠ 2，ππ1 ” ，且其逆否命题为真命题， 因此原命题为真 则 α≠ ” 的逆否命题为 “若 α＝ ，则 sin α＝2 6 6命题，应选 D. 5． [2019 北·京西城区期中 ] 已知命题 p ：若 a>2 且 b>2，则 a ＋ b<ab.命题 q ：存在 x 0>0， 使得 (x 0 －1) ·2x 0＝ 1.则以下命题中为真命题的是()A ． p ∧ qB ． (綈 p)∧ qC ．p ∧ (綈 q)D ． (綈 p)∧ (綈 q)答案： A分析： 若 a>2 且 b>2，则 1 1 1 1 ，得 1 ＋ 1a ＋b < 且 < a <1，即ab <1，进而 a ＋b<ab ，因此命题 pa 2b 2 1 bx的图象在 (0，＋ ∞ )内有独一交点，因此方程 x 为真命题．由于直线 y ＝ x － 1 与函数 y ＝ 21 x 有正数解，即方程 (x － 1) xq 为真命题．应选 A. －1＝ 2 2·＝ 1 有正数解，因此命题 6． [2019 河·北邯郸月考 ] 若 a>b>0 且 ab ＝ 1，则以下不等式建立的是 ()1 bA ． a ＋ b <2a <log 2(a ＋ b) B. b a <log 2(a ＋ b)<a ＋12b12bC ．a ＋ b <log (a ＋ b)<2a1 bD ． log 2(a ＋ b)< a ＋ b <2a答案： B分析： 通解 ∵ a>b>0 且 ab ＝ 1，∴ a>1，0<b<1，∴ ba <1 ，log 2 (a ＋ b)>log 22 ab ＝1，又12 1 1 b 1 2 a+b >a ＋ >a ＋b ， ∴ a ＋ >log 2 (a ＋b) ，∴ a <log 2( a ＋b)<a ＋ .应选 B.b b 2 b1 b 151优解 ∵ a>b>0 且 ab ＝ 1，∴ 不如取 a ＝ 2，b ＝ 2，则 2a ＝ 8， log 2(a ＋ b)＝ log 22， a ＋b ＝b 14， ∴ 2a <log 2(a ＋b)<a ＋ b .应选 B.33 243 ，c ＝ 5e － 2，则 ( )7． [2019 广·西南宁摸底 ] 若 a ＝ e5， b ＝ e3 2A ． a>b>cB ． a>c>bC ．b>c>aD ． b>a>c 答案： Db 914 3155>1 － 2应选 D. 分析： ∵ a ＝ 8e >1， ∴ b>a ，又 a ＝3e ， c ＝ 5e <1， ∴ a>c ， ∴ b>a>c.8．[2019 福·建宁德模拟，数学抽象 ]已知全集 U ，会合 M ，N 是 U 的子集，且 N?? U M ，则必有 ()A ．M?? U NB ． M ?U NC ．?N ＝? M D ．M ＝NUU答案： A 分析：用韦恩图表示会合 U ， M ， N 的关系，如下图．由图知 M ?U N ，但要注意，由已知条件可能出现 M ＝ ? N ，故有 M?? U N ，应选 A.U9． [2018 北·京卷 ]设 a ， b ， c ，d 是非零实数，则“ ad ＝ bc ”是“ a ， b ， c ，d 成等比数列”的 ( )A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充分必需条件D ．既不充分也不用要条件 答案： B分析： a ，b ， c ，d 是非零实数，若a ＜ 0， d ＜ 0，b ＞0，c ＞ 0，且 ad ＝ bc ，则 a ，b ， c ，2020高考理科数学二轮分层特训卷：客观题专练(2)Word 版含分析d 不可等比数列 (能够假定 a ＝－ 2， d ＝－ 3， b ＝ 2，c ＝ 3)．若 a ， b ， c ， d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad ＝ bc.因此 “ ad ＝ bc ” 是 “a ， b ，c ， d 成等比数列 ” 的必需而不充分条件．应选 B.10． [2019 黑·龙江大庆期中 ]关于随意实数 x ，不等式 (a － 2)x 2－ 2(a － 2)x － 4<0 恒建立， 则实数 a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 2)B ． (－∞， 2]C ．( －2， 2)D ． (－ 2， 2] 答案： D分析：当 a ＝2 时，原不等式为－ 4<0，恒建立； 当 a ≠ 2 时，函数 y ＝ (a － 2)x 2－ 2(a － 2)x－4 是二次函数，若不等式恒建立，则a －2<0 且＝ 4(a － 2)2＋ 16(a － 2)<0，解得－ 2< a<2.综上 a 的取值范围为 (－2， 2]．应选 D.11． [2019 ·北襄阳月考湖 ]已知 f(x)＝ 3mx 2－ 2(m ＋n) x ＋ n(m ≠ 0)知足 f(0) ·f(1)>0 ，设 x 1，x 2 是方程 f(x) ＝0 的两个根，则 |x 1－ x 2|的取值范围为 ()3 2 1 4A. 3 ，3 B. ， 931 3 1 1C.3，3D. ，39 答案： A分析： ∵ f(0) f(1)>0· n nn，∴ n(m －n)>0，不等式两边同除以 m2，则 －m 2>0，即 0< <1.mm2 m ＋nn由题意得 x 1＋ x 2＝ 3m ， x 1·x 2＝3m ，4 m 2＋ n 2－mn 4 n n 4n 1 3 n1∴ |x 1 － x 2|2 ＝9m 2 ＝ 9 m 2－ m ＋ 1 ＝ 9m －2 2＋ 4 ， ∵ 0<m <1 ， ∴ 3≤ |x 1 － 24 ， ∴ 32x 2| <3 ≤ |x 1－ x 2|< .应选 A.93x ＋2y － 3≤ 0，12． [2019 ·宁大连二十四中期中辽] 已知实数 x ， y 知足 x ＋3y － 3≥ 0， z ＝ 2x ＋ y 的最y ≤1，大值为 m ，且正数 a ， b 知足 a ＋ b ＝m ，则 1＋ 4的最小值为 ()a b 3A ．9 B.24 5C.3D. 2 答案： B分析：作出可行域如图中暗影部分所示，由 z ＝ 2x ＋ y 得 y ＝－ 2x ＋ z ，作出直线 y ＝－ 2x ，并平移，由图象可知当平移后的直线经过点A(3， 0)时， z ＝ 2x ＋ y 获得最大值．把 (3， 0)代a b 14 14 a b 1入 z ＝ 2x ＋ y 得，z ＝ 2× 3＝ 6，即 m ＝ 6.则 a ＋ b ＝ 6，即 6＋ 6＝1，则a ＋ b ＝ a ＋ b 6＋6＝6＋4 4a b5 4a b 5 2 3 4a b，即 b ＝ 2a 时取等号．应选 B. ＋ ＋ ≥ ＋ 2 · ＝ ＋2× ＝ ，当且仅当 ＝6 6b 6a 6 6b 6a 6 6 2 6b 6a二、填空题 (此题共 4 小题，每题5 分，共 20 分 )13． [2019 ·徽安庆模拟安 ]已知会合 A ＝ {1 ， 2， 3} ， B ＝{3 ， 4， 5} ，则会合 A ∪ B 中元素的个数为 ________．答案： 5分析： A ∪ B ＝ {1 ，2， 3} ∪ {3 ，4， 5} ＝ {1 ，2， 3， 4， 5} ，则会合 A ∪ B 中元素的个数为 5.2x ＋ y ≤4，14． [2019 山·东烟台期中 ] 设实数 x ， y 知足 x － y ≥－1，，则 z ＝ x ＋ y 的最小值是x － 2y ≤ 2，________． 答案： －7x － y ＝－ 1，分析：依据题意作出可行域如图中暗影部分所示，联立得 A(－4，－ 3)，x － 2y ＝ 2，作出直线 y ＝－ x 并平移，由图可知，当平移后的直线过 A(－4，－ 3)时， z 有最小值， z min＝－ 7.15． [2019 山·东德州期中 ]已知命题 22＋mx p ： ? x 0∈ R ，mx 0 ＋ 1≤ 0，命题 q ： ? x ∈R ，x ＋ 1>0. 若 p ∧q 为真命题，则实数 m 的取值范围是 ____________．答案： (－ 2， 0)分析： 綈 p ：? x ∈R ，mx 2＋1>0 ，若綈 p 为真，则 m ≥0，因此 p 为真，则 m<0.若 q 为真，则 m 2－ 4<0 ，－ 2< m<2.若 p ∧ q 为真命题，则{ m|m<0} ∩ { m|－ 2<m<2} ＝ { m|－2<m<0} ，即实数 m 的取值范围是 (－ 2， 0)．16．[2019 ·南海口二中月考海 ] 在 R 上定义运算 ?：x?y ＝ x(1－ y) ，若不等式 (x － a)?(x ＋ a)<1 对随意的 x ∈R 恒建立，则实数a 的取值范围是 ____________ ．答案： －1，32 2分析： 依据题意， (x － a)?(x ＋ a)<1 可化为 x 2－ x － a 2＋a ＋ 1>0，不等式对随意的 x ∈ R恒建立的条件是 1＋ 4a 2－ 4a － 4<0 ，即 4a 2－ 4a － 3<0 ，解得－ 1 3 2 <a< ，因此实数 a 的取值范21 3 围是－2，2 .。

12020届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =<，2{|log 1}B x x =<，则（ ）A ．{|1}AB x x =<U B ．{|2}A B x x =<UC ．{|1}A B x x =<ID ．{|2}A B x x =<I【答案】B【解析】{|1}A x x =<，{|02}B x x =<<，{|01}A B x x =<<I ，{|2}A B x x =<U ． 2．i 是虚数单位，4i1iz =-，则||z =（ ） A ．2 B ．22C ．4D ．42【答案】B【解析】由题意得4i 4i(1i)2i(1i)22i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，∴22||(2)222z =-+=． 故选B ．3．已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰．若该公司有工作10年以上的员工100人，工作510:年的员工400人，工作05:年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作510:年的员工代表有（ ） A ．8人 B ．16人C ．4人D ．24人【答案】B【解析】依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作510:年、工作05:年的员工人数比例为1:4:2，所以工作510:年的员工代表有428167⨯=． 4．已知向量||2=a ，||1=b ，(2)2⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．150︒【答案】B【解析】∵2(2)2422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ． 设a 与b 的夹角为θ，则1cos ||||2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．5．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的 余弦值为（ ） A ．1414B ．8314C ．1313D ．13【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠， 在11AC D Rt △中，111C D =，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===，故选A ． 6．执行下图的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i <【答案】B此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。

函数与导数 (12)1． [2019 辽·宁沈阳教课质量检测 ]已知函数 f(x)＝ (x － 1)2＋ mln x ，m ∈R . (1)当 m ＝2 时，求函数f(x) 的图象在点 (1， 0)处的切线方程；f x 2(2)若函数 f(x)有两个极值点x 1， x 2，且 x 1<x2，求 x 1 的取值范围．分析： (1)当 m ＝ 2 时， f(x)＝ (x － 1)2＋ 2ln x ， f ′ (x)＝ 2(x － 1)＋ 2，x 因此 f ′ (1)＝ 2，即切线斜率为 2， 又切点为 (1， 0)，因此切线方程为 2x － y － 2＝ 0.m2x 2－ 2x ＋ m (2)函数 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞ )， f ′ (x)＝ 2(x － 1)＋ x ＝x .由于 x 1， x 2 为函数 f(x)的两个极值点，因此 x 1， x 2 是方程 2x 2－ 2x ＋m ＝ 0 的两个不等实m根，由根与系数的关系知 x 1＋ x 2＝ 1，x 1 x 2＝2，(*)1又 x 1<x 2，因此易知 0< x 1<2<x 2<1 ， f x 2x 2－1 2 ＋mln x 2x 1 ＝ x 1，将 (*) 式代入得f x 2 x －1 2 ＋ 2x 2 1－ x 2 ln x 22222x 1 ＝1－ x 2＝ 1－ x ＋ 2x ln x .1令 g(t) ＝1－ t ＋ 2tln t ， t ∈ 2，1 ，1则 g ′ (t)＝ 2ln t ＋ 1，令 g ′ (t)＝ 0，解得 t ＝ .1 11 1 e当 t ∈ 2， e 时， g ′ (t)<0 ，g(t)在 2， e 上单一递减；当 t ∈ 1 ， 1 时， g ′ (t)>0 ，g(t)在 1， 1 上单一递加．e e1 ＝ 1－2 2 e 1 ，g 1 ，因此 g(t) min ＝ g ＝ 1－ e ， g(t)<max g 21 1 e eg 2 ＝2－ ln 2<0 ＝ g(1) ， f x 2 2 e 即x 1 的取值范围是 1－ e ， 0 .2． [2019 陕·西省高三教课质量检测 ]已知 a ∈R ，函数 f(x)＝ x 2－ aln x.(1)议论函数 f(x)的极值；(2)当 a>0 时，方程 f(x)＝ax 存在独一的实根，务实数a 的值．分析： (1)函数 f(x)＝ x 2－ aln x 的定义域为 (0，＋ ∞ )，a 2x 2－ a且 f ′ (x)＝ 2x － x ＝ x .当 a ≤0 时， f ′ (x)>0 ， f( x)在(0 ，＋ ∞ )上单一递加， f(x)无极值；当 a>0 时，若 x ∈ 0， 22a， f ′ (x)<0， f(x)单一递减；2a若 x ∈ 2 ，＋ ∞ ， f ′ (x)>0 ， f(x)单一递加，因此 f(x)有极小值 f 2a a a a，无极大值．＝ － ln2 2 2 2 综上，当 a ≤ 0 时， f(x)无极值；a a a 当 a>0 时， f(x)有极小值 2－2ln 2，无极大值．(2)令 h(x)＝f(x)－ ax ＝ x 2－ aln x －ax ，a则 h ′ (x)＝ 2x － x － a ＝2x 2－ ax － a .xa ＋a 2＋ 8a由于a>0， x>0，令h ′ (x)＝ 0，得x 0 ＝4，因此 h(x)在 (0， x 0)上单一递减，在 (x 0，＋ ∞ )上单一递加，因此 h(x)的极小值 h(x 0)＝ 0，2即 x 0－ aln x 0－ ax 0＝ 0，①2且 2x 0－ ax 0－ a ＝ 0， ② 联立 ①② 可得 2ln x 0＋ x 0－ 1＝0.令 m(x)＝2ln x ＋ x － 1，得 m ′ (x)＝2x ＋ 1>0，故 m(x)在(0 ，＋ ∞ )上单一递加．又 m(1) ＝0，因此 x 0 ＝ 1，a ＋ a 2＋ 8a即4 ＝ 1，解得 a ＝ 1.23． [2019 ·北三省四市一模东 ]已知 a ∈ R ，函数 f(x)＝ x ＋ aln x ， x ∈ (0，6) ． (1)议论 f(x)的单一性；(2)若 x ＝ 2 是 f(x)的极值点，且曲线 y ＝ f(x)在两点 P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))( x 1<x 2)处的切 线相互平行，这两条切线在 y 轴上的截距分别为 b 1，b 2 ，求 b 1－ b 2 的取值范围．分析： (1)f ′ (x)＝－ 22＋ a ＝ ax － 2 x 2 ， x ∈ (0， 6)， x x∴ 当 a ≤ 0 时， f ′ (x)<0 在 x ∈ (0， 6)上恒建立，∴ f(x)在(0 ， 6)上单一递减，无单一递加区间；当 a>0，且 2a ≥ 6，即 0<a ≤13时， f ′ (x)<0 在 x ∈ (0， 6)上恒建立，∴ f(x)在(0 ， 6)上单一递减，无单一递加区间；212 2当 a>0，且 a <6，即 a>3时，在 x ∈ 0，a 上， f ′ (x)<0，在 x ∈ a ， 6 上， f ′ (x)>0 ， ∴ f(x)在 0， 2 上单一递减，在 2 ， 6 上单一递加．a a1 12 综上，当 a ≤3时， f(x)在 (0，6)上单一递减， 无单一递加区间； 当 a>3时，f(x)在 0，a 上2单一递减，在a ， 6 上单一递加．2(2)∵ x ＝ 2 是 f(x)的极值点， ∴ 由 (1)可知 a ＝ 2， ∴ a ＝ 1.则曲线 y ＝ f(x)在 P(x 1， f(x 1))处的切线方程为y － 2 ＋ ln x 1 ＝ 2 1 (x － x 1)，x － 2＋ xx111在 Q(x 2，f(x 2)) 处的切线方程为 y －2 ＋ ln x 2 ＝ － 2 1x 2＋ x (x － x 2)，222∵ 这两条切线相互平行， ∴ － 22＋ 1＝－ 22＋ 1 ，∴ 1 ＋ 1 ＝1.x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 2∴ 1 1 1 1 1 － 1 < 1 1 1 1x ＝ － x ，又 0<x 1<x 2<6， ∴ < x x ， ∴ < x < ， ∴x 1∈(3 ， 4)．1 1 211令 x ＝ 0，则 b 1＝ 4 ＋ ln x 1－ 1，同理， b 2＝ 4 ＋ ln x 2－ 1.x x124． [2019 ·北黄石一中第二次模拟湖 ]已知函数 f(x)＝ x 3－ x 2， g(x)＝ xln x － a ＋ 5.x(1)议论 g ′ (x)的单一性；1(2)若 ? m ， n ∈ ， 2 ， f(m)－ g(n)＋ 2≤ 0 恒建立，务实数 a 的取值范围．x 2－ 2a分析： (1)g ′( x)＝ a2＋ ln x ＋1(x>0)，令 F(x)＝ g ′ (x)，则 F ′ (x)＝x 3 (x>0) ．x① 当 a ≤ 0 时， F ′ (x)>0，因此 g ′ (x)单一递加．② 当 a>0 时， g ′( x)在区间 (0， 2a)上单一递减；在区间 ( 2a ，＋ ∞ )上单一递加．1 (2)由题意得 x ∈2， 2 时， g(x)min ≥ [f(x)＋2] max 恒建立．由于 [f(x) ＋ 2]′＝ 3x 2－ 2x ＝ x(3x －2) ，1 22因此当 x ∈ 2， 3 时，函数 y ＝ f(x)＋ 2 单一递减；当 x ∈ 3， 2 时， 函数 y ＝f(x)＋ 2 单一递加．又 f 1 ＋ 2<f(2)＋ 2＝ 6，因此当 x ∈ 1， 2 ，[ f(x)＋ 2] max2 2＝ 6.11a因此 x ∈ 2， 2 时， g(x)min ≥ [f( x)＋ 2]max 恒建立，可转变为 x ∈ 2， 2 时， g(x)＝ xln x － x＋ 5≥ 6 恒建立，即 a ≤ x 2ln x －x 恒建立．设 h(x)＝ x 2ln x － x ，则 h ′ (x) ＝2xln x ＋ x － 1.1 设 φ(x)＝ h ′ (x)＝ 2xln x ＋ x － 1，当 x ∈2， 2 时， φ′ (x)＝ 2ln x ＋ 3>0，可知h ′ (x)在12， 2上单一递加，又h ′ (1)＝ 0.因此当x ∈12， 1 时， h ′ (x)<0 ， h(x)单一递减；当x ∈ [1， 2]时， h ′ (x)>0， h(x)单一递增．因此 h(x)min ＝ h(1)＝－ 1.因此实数 a 的取值范围为 (－ ∞ ，－ 1]．5． [2019 ·南洛阳市高三一致考试河 1]已知函数 f(x)＝ ln x ＋ x 2－ 2kx(k ∈ R)．2 (1)议论 f(x)的单一性；3 (2)若 f(x)有两个极值点 x 1， x 2，且 x 1<x 2，证明： f(x 2)< －2.分析： (1)f(x)＝ln x ＋1x 2－ 2kx ， x ∈ (0，＋ ∞ )，21x 2－ 2kx ＋ 1因此 f ′ (x)＝ x ＋ x －2k ＝ x， ① 当 k ≤0 时， f ′ (x)>0 ，因此 f(x)在 (0，＋ ∞ )上单一递加；② 当 k>0 时，令 t(x)＝ x 2－ 2kx ＋ 1，当 ＝ 4k 2－ 4≤0，即0<k ≤ 1 时， t(x)≥ 0 恒建立，即f ′ (x)≥ 0 恒建立， 因此f(x)在 (0，＋ ∞ )上单一递加，当 ＝ 4k 2－ 4>0，即k>1时， x 2－ 2kx ＋ 1＝ 0，则 t(x) 的两根为 k ± k 2－ 1，因此当 x ∈ (0， k －k 2－ 1)时， f ′ (x)>0，当 x ∈ (k － k 2－ 1，k ＋k 2－ 1)时， f ′( x)<0 ，当 x ∈ (k ＋ k 2－ 1，＋ ∞ )时， f ′ (x)>0 ，故当 k ∈(－∞ ， 1]时， f(x)在 (0，＋ ∞ )上单一递加；当 k ∈ (1 ，＋ ∞ )时， f(x)在 (0， k － k 2－ 1)和 (k ＋2 2k － 1， k ＋ k － 1)上单一递减．k 2－ 1，＋ ∞ )上单一递加，在(k －(2)证明： 1f(x)＝ln x ＋2x 2－ 2kx(x>0) ，1f ′ (x)＝ x ＋ x － 2k ，由 (1)知当 k ≤1 时， f(x)在(0 ，＋ ∞ )上单一递加，此时1 x 2－ 2kx ＋ 1当 k>1 时， f ′ (x)＝ ＋ x － 2k ＝ ，x xf(x)无极值， 由 f ′ (x)＝ 0，得 x 2－ 2kx ＋ 1＝ 0，＝ 4(k 2－ 1)>0 ，设 x 2－ 2kx ＋ 1＝ 0 的两根为 x 1， x 2，则 x 1＋ x 2＝ 2k ，x 1·x 2＝ 1，此中 0<x 1＝k － 22＝ k ＋2－ 1，k －1<1< x kf(x)在 (0， x )上单一递加，在 (x ， x )上单一递减，在(x ，＋ ∞)上单一递加．1122进而 f(x)有两个极值点 x 1 21 2， x，且 x <x，f(x 2)＝ ln x 2 1 2＋ 2x 2－ 2kx 2 1 2 ＝ ln x 2＋ 2x 2－ (x 1＋ x 2 )x 2＝ ln x 2 1 21 22 ＋ x2＋ 2x －x 2x1 2＝ ln x 2－ 2x 2－ 1，令 g(x)＝ ln x － 1x 2－ 1(x>1) ，2则 g ′ (x)＝1x － x<0 ，因此 g(x)在 (1，＋∞ )上单一递减，且 g(1)＝－ 3，且23 f(x 2)<－ 2.6． [2019 ·庆铜梁一中月考重 ]已知 a ∈ R ，函数 f(x)＝ ln( x ＋1) － x 2＋ ax ＋ 2. (1)若函数 f(x)在 [1，＋∞ )上为减函数，务实数a 的取值范围；(2)令 a ＝－ 1， b ∈ R ，已知函数 g( x)＝ b ＋2bx － x 2，若对随意 x 1∈( －1，＋∞ )，总存在 x 2∈ [ － 1，＋∞ )，使得 f(x 1)＝ g(x 2)建立，务实数 b 的取值范围．分析： (1)由于 f(x)＝ ln(x ＋ 1)－ x 2＋ ax ＋ 2， x ∈ (－ 1，＋ ∞ )，因此 f ′ (x)＝ 1 －2x ＋ a.x ＋ 1要使 f(x)在 [1，＋ ∞ )上为减函数，则需 f ′ (x)≤ 0 在 [1，＋ ∞ )上恒建立，1即 a ≤2x －在[1 ，＋ ∞ )上恒建立．x ＋1 易知 2x － 1在 [1，＋ ∞) 上为增函数，因此2x － 1在 [1，＋ ∞ )上的最小值为 3，所x ＋1 x ＋ 123以 a ≤ 2.3即 a 的取值范围为－ ∞ ，2 .(2)由于 a ＝－ 1，因此 f(x)＝ ln( x ＋ 1)－ x 2－ x ＋ 2，x ∈ (－ 1，＋ ∞)．f ′ (x)＝ 1－ 2x 2－ 3x － 2x － 1＝，x ＋ 1 x ＋ 1当－ 1<x<0 时， f ′ (x)>0， f(x)在( －1， 0)上单一递加，当 x>0 时， f ′ (x)<0， f(x)在 (0，＋ ∞ )上单一递减，因此 f(x)的最大值为f(0)＝ 2，因此 f(x) 的值域为 (－ ∞， 2]．若对随意 x 1∈ (－ 1，＋ ∞ )，总存在 x 2∈ [ －1，＋ ∞ )，使得 f(x 1 )＝ g(x 2)建立，则函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上的值域是 g(x)在 [－ 1，＋ ∞ )上的值域的子集．222g(x)＝－ x ＋ 2bx ＋ b ＝－ (x － b) ＋ b ＋ b ，① 当 b ≤ － 1 时，g(x)的最大值为 g(－ 1)＝－ 1－ b ，因此 g(x)在 [－ 1，＋ ∞ )上的值域为 (－∞，－ 1－ b]．由－ 1－ b ≥ 2 得 b ≤－ 3；② 当 b>－ 1 时， g(x)的最大值为 g(b)＝ b ＋ b 2，因此 g(x)在 [－ 1，＋ ∞ )上的值域为 (－ ∞ ，b ＋ b 2] ．由 b ＋ b 2≥ 2 得 b ≥ 1 或 b ≤ － 2(舍去 ) ．综上所述， b 的取值范围是 (－ ∞ ，－ 3]∪[1，＋ ∞ )．。

1.【ID:4002669】已知集合，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：集合，，，则，则，故选：A．2.【ID:4002670】若为第四象限角，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：为第四象限角，则，，则，是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，，故选：D．3.【ID:4002671】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为．志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者()A. 名B. 名C. 名D. 名【答案】B【解析】解：第二天的新订单超过份的概率为，就按份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于就按份计算，因为公司可以完成配货份订单，则至少需要志愿者为名，故选：B．4.【ID:4002672】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所．分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)．环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块．下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 块B. 块C. 块D. 块【答案】C【解析】解：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，由等差数列的性质可得，，，成等差数列，且，则，则，则三层共有扇面形石板块，故选：C．5.【ID:4002673】若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，．故圆的方程为，再把点代入，求得或，故要求的圆的方程为或．故所求圆的圆心为或；故圆心到直线的距离或；故选：B．6.【ID:4002674】数列中，，，若，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由，且，取，得，，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，即．故选：C．7.【ID:4002675】右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在俯视图中对应的点为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，所以在侧视图中与点对应．故选：A．8.【ID:4002676】设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若的面积为，则的焦距的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为，分别将，代入可得，即，，则，，当且仅当时取等号，的焦距的最小值为，故选：B．9.【ID:4002677】设函数，则()A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】解：由，得．又，为奇函数；由，．可得内层函数的图象如图，在上单调递减，在上单调递增，则上单调递减．又对数式是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，在上单调递减．故选：D．10.【ID:4002678】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则到平面的距离为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，，可得：，球的表面积为，外接球的半径为：，解得，所以到平面的距离为：．故选：C．11.【ID:4002679】若，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故，故选：A．12.【ID:4002680】周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为的序列中，满足的序列是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：对于A选项：序列，，不满足足，故排除A；对于B选项：序列，不满足条件，排除；对于C选项：序列，，，，符合条件，对于D选项：序列不满足条件．故选：C．13.【ID:4002681】已知单位向量，的夹角为，与垂直，则________．【答案】【解析】解：向量，为单位向量，且，的夹角为，，又与垂直，，即，则．故答案为：．14.【ID:4002682】名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法共有________种．【答案】36【解析】解：因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有种．故答案为：．15.【ID:4002683】设复数，满足，，则________．【答案】【解析】解：复数，满足，，所以，，．得．．又，故．故答案为：．16.【ID:4002684】设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是________．①②③④【答案】①③④【解析】解：设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，：若直线平面，直线平面，则．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；由复合命题的真假可判断①为真命题，②为假命题，③为真命题，④为真命题，故真命题的序号是：①③④，故答案为：①③④，17. 中，．（1）【ID:4002685】求．【答案】【解析】，由正弦定理得：①，又由余弦定理得：②，由①②得：，又，．（2）【ID:4002686】若，求周长的最大值．【答案】【解析】由正弦定理及得，，，故，又，当，即时，的周长取最大值，为，的周长的最大值为．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，．（1）【ID:4002687】求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)．【答案】【解析】由已知得样本平均数为，，该地区这种野生动物数量的估计值为．（2）【ID:4002688】求样本的相关系数(精确到)．【答案】【解析】．（3）【ID:4002689】根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．【答案】见解析【解析】分层抽样．根据植被覆盖面积分层再随机抽样．理由：由于植被覆盖面积差异较大，即总体由差异明显的几个部分组成，分层抽样有利于保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本代表性．19. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）【ID:4002690】求的离心率．【答案】【解析】右焦点与焦点与重合，设抛物线方程为，则，抛物线方程为．在椭圆中，当时，，解得，，在抛物线中，当时，，，又，，①又，②联立①②可得：，解得或(舍去)，的离心率．（2）【ID:4002691】设是与的公共点，若，求与的标准方程．【答案】，【解析】解：由得，椭圆的离心率，，，方程为：，同时，方程为：．设，由抛物线的性质得：，，，又也在椭圆上，把代入的方程得：，即，解得或(舍去)，的标准方程为：，的标准方程为：．20. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）【ID:4002692】证明：，且平面平面．【答案】见解析【解析】解法：三棱柱，故，又矩形，为中点，为中点，．四边形为平行四边形，．四边形为矩形，．平行四边形，四边形为矩形，．在等边中，为的中点，．，平面．又，平面．又平面，平面平面．解法：因为，分别为，的中点，所以．又由已知得，故．因为是正三角形，所以．又，故平面．所以平面平面．（2）【ID:4002693】设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】【解析】解法：为中心，，不妨设，则，又面面且面．．又，平行四边形，．，，交面于，，为在面上的投影，为直角梯形．，，，有．．，设与面夹角为，则，．又，则．解法：由已知得．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．连接，则四边形为平行四边形，故，．由知平面平面．作，垂足为，则，垂足为，则平面．设，则，，故，．又是平面的法向量，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．21. 已知函数．（1）【ID:4002694】讨论在区间的单调性．【答案】见解析【解析】．当时，；当时，．所以在区间，单调递增，在区间单调递减．（2）【ID:4002695】证明：．【答案】见解析【解析】，，，，则有当时，，又，即有以为周期，故可知上均有，即．（3）【ID:4002696】设，证明：．【答案】见解析【解析】，所以．22. 已知曲线，的参数方程分别为：(为参数)，：(为参数)．（1）【ID:4002697】将，的参放方程化为普通方程．【答案】：，，，：【解析】解：：，，，由的参数方程得，，则：．（2）【ID:4002698】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，的交点为．求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．【答案】【解析】解：，，，设，，满足题意，则，即，，：，即，极坐标方程为，即．23. 已知函数．（1）【ID:4002699】当时，求不等式的解集．【答案】【解析】当时，，不等式的解集为．（2）【ID:4002700】若，求的取值范围．【答案】【解析】，，当时，等号成立，，，，，．。

函数与导数 (4)一、选择题 (此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．以下说法中正确的个数是 ( )① f(x)＝x ＋1(x ∈ [－ 2， 0])的零点为 (－ 1， 0) ② f(x)＝x ＋1(x ∈ [－ 2， 0])的零点为－ 1③函数 y ＝ f(x)的零点，即 y ＝f(x)的图象与 x 轴的交点④函数 y ＝ f(x)的零点，即 y ＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 答案： B分析： 依据函数零点的定义，可知 f(x)＝ x ＋ 1(x ∈ [ － 2，0]) 的零点为－ 1； 函数 y ＝f(x)的零点，即y ＝ f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标．所以，只有说法 ②④ 正确，应选 B.x 2－ 2x ， x ≤ 0，2．[2019 济·宁高三模拟考试 ] 已知函数 f(x)＝1， x>0，1＋ x 点个数是 ()A ．0B ．1C ．2D ． 3 答案： Cx ≤ 0，x>0 ，分析： 令 f(x)＋ 3x ＝0，则或x 2－ 2x ＋3x ＝ 0 11＋ x＋ 3x ＝0， 所以函数 y ＝f(x)＋ 3x 的零点个数是 2.应选 C.3．[2019 ·徽宣城第二次调研测试安 ] 已知 a ，b ，c ，d 都是常数， ＋( x －a)( x －b)的零点为 c ， d ，则以下不等式正确的选项是()A ． a>c>d>bB ． a>d>c>bC ．c>d>a>bD ． c>a>b>d 答案： A 分析：则函数 y ＝ f(x) ＋3x 的零解得 x ＝ 0 或 x ＝－ 1，a>b ，c>d.若 f(x)＝ 2 019由题意设 g(x)＝ (x － a)( x －b)，则 f( x)＝2 019 ＋ g( x)，所以 g(x)＝ 0 的两个根是 a ，b ，由题意知 f(x) ＝0 的两根 c ，d 就是 g(x)＝－ 2 019 的两根， 画出 g(x)(张口向上 )以及直线 y ＝－ 2 019 的大概图象， 如下图， 则 g(x)的图象与直线 y ＝－ 2 019 的交点的横坐标就是 c ，d ，g( x)的图象与 x 轴的交点的横坐标就是 a ，b.又 a>b ，c>d ，且 c ，d 在区间 (b ，a)内，所以由图得，a>c>d>b ，应选 A.4． [2019 北·京西城区期中 ] 依据对某农贸市场蔬菜价钱的检查得悉，购置 2 千克甲种蔬 菜与 1 千克乙种蔬菜所需花费之和大于 8 元，而购置 4 千克甲种蔬菜与 5 千克乙种蔬菜所需 花费之和小于 22 元．设购置 2 千克甲种蔬菜所需花费为 A 元，购置 3 千克乙种蔬菜所需费 用为 B 元，则( )A ．A<B B ．A ＝ BC ．A>BD ．A ， B 大小不确立 答案： C分析： 设甲、乙两种蔬菜的价钱分别为x 元 /千克， y 元 /千克，则 2x ＋ y>8， ①A ＝4x ＋ 5y<22， ②2x ， B ＝ 3y ， ①× 22， ②× 8，整理得 12x － 18y>0，即 2x － 3y>0 ，所以 A>B.应选 C.5．[2019 四·川绵阳模拟 ] 函数 f(x)＝ 2x－2－ a 的一个零点在区间 (1，2)内，则实数 a 的取x值范围是 ( )A ．(1， 3)B ． (1， 2)C ．(0， 3)D ． (0， 2)答案： C分析： 由题意，知函数 f(x)在 (1，2)上单一递加，又函数的一个零点在区间 (1，2)内，所f 1 <0，－ a<0，解得 0<a<3，应选 C.以即f 2 >0，4－ 1－ a>0，6． [2019 ·南新乡模拟河 ] 若函数22－ (a ＋ 1)x － 4(a ＋ 5)存在同样f(x)＝ log (x ＋ a)与 g(x)＝ x的零点，则 a 的值为 ()5A ．4 或－ 2B ．4 或－ 2C ．5 或－ 2D ．6 或－ 52答案： C分析： g(x)＝ x 2－(a ＋ 1)x － 4(a ＋ 5)＝ (x ＋ 4)[x － (a ＋ 5)]，令 g(x)＝ 0，得 x ＝－ 4 或 x ＝ a＋ 5，则 f(－ 4)＝ log 2( －4＋ a)＝ 0 或 f(a ＋ 5)＝ log 2(2a ＋ 5)＝ 0，解得 a ＝ 5 或 a ＝－ 2.7． [2019 辽·宁大连模拟 ] 已知偶函数 y ＝ f(x)(x ∈R )知足 f( x)＝ x 2－ 3x(x ≥ 0)，若函数 g( x)log 2x ， x>0，＝ 1则 y ＝ f(x)－ g(x)的零点个数为 () － x ， x<0 ， A ．1 B ．3C ．2D ． 4答案： B分析： 作出函数f(x) 与 g(x) 的图象，如下图，由图象可知两个函数图象有3 个不一样的交点，所以函数y ＝ f(x) －g(x)有3 个零点，应选B.8． [2019 ·西南昌二轮复习测试江 ]某地一电商 2017 年和 2018 年这两年“双十一”当日 的销售额连续增添， 此中 2017 年的增添率为 a ，2018 年的增添率为 b ，则该电商这两年“双 十一”当日销售额的均匀增添率为 ( )a ＋ bA. abB. 2C. a ＋1 b ＋1 － 1b ＋ 1 － 1 2D. a ＋ 1答案： D分析： 设该电商这两年 “双十一 ” 当日销售额的均匀增添率为 x ，则 (1＋ a)(1＋ b)＝ (1＋x)2， ∴ x ＝ 1＋ a 1＋b － 1，应选 D.9． [20193x － 1， x<1 ，山·西吕梁阶段性测试 ]函数 f(x)＝ 有两个不一样的零点，则实数2x 2－ ax ， x ≥ 1a 的取值范围是 ( )A ． (－∞， 2]B ． (－∞， 2)C ．[2，＋∞ )D ． (2，＋∞ ) 答案： C分析： 当 x<1 时，函数有一个零点 x ＝ 0；当 x ≥a ，则只要 a 1 时，令 2x 2－ ax ＝ 0 得 x ＝22 ≥1，得 a ≥ 2，应选 C.a－x(a>0 ，a ≠ 1)的两个零点是 m ， n ，10．[2019 安·徽六安一中模拟 ] 若函数 f(x) ＝|log x|－ 3则()A ． mn ＝ 1B ． mn>11 C ．mn<1D ． mn>2答案： C分析： 令 f(x)＝ 0，得 |log a x|＝ 3－x ，易知 y ＝ |log a x|与 y ＝3－x 的图象有 2 个交点．不如设m<n ，a>1，作出两个函数的图象， 如下图， ∴ 3－ m >3－n ，即－ log a m>log a n ，∴log a m ＋ log a n<0，即 log a (mn)<0 ， ∴ mn<1.应选 C.11． [2019 江·西吉安期末 ] 已知函数 x －t ， x ≥ 0， 若 f(x)有两个零点x 1，f(x)＝2 x ＋ 1 － t ， x<0，x (x >x )，则 x － x的最小值是 ()2 1212A ．1B ．23 15C.4D. 16答案： D分析：① x 1－ t ＝ 0，解得 x 1＝ t 2(t ≥ 0)．② 2(x 2＋ 1)－ t ＝ 0，解得 x 12＝ t －1(t<2)．综合 ①②21 1 15 115 得 x 1－ x 2＝ t 2 －2t ＋1＝ t － 4 2＋16(0 ≤t<2)，所以当 t ＝4时， x 1－ x 2 的值最小，是 16，应选D.12． [2019 河·北武邑中学第二次调研 2x － 1 x ≥ 0 ，]已知函数 f(x)＝若方程 f(x)＝－ xf x ＋ 1 x<0 ，＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 ( )A ． (－∞， 0)B ．[0， 1)C ．( －∞， 1)D ． [0，＋∞ ) 答案： C2x － 1 x ≥ 0 ，分析： 函数 f(x)＝的图象如下图．f x ＋ 1 x<0作出直线 l ： y ＝ a －x ，并平移直线 l ，察看可适当 a<1 时，函数 y ＝ f(x)的图象与函数 y＝－ x ＋ a 的图象有两个交点，即方程 f(x)＝－ x ＋ a 有两个不相等的实数根，则a<1，应选C.二、填空题 (此题共 4 小题，每题5分，共 20分)π在 [0， π]的零点个数为 ________．13． [2018 全·国卷 Ⅲ ]函数 f(x)＝ cos 3x ＋6答案： 3分析： 由题意可知，当 3x ＋πππ6＝ k π＋ 2(k ∈ Z)时， f(x)＝cos 3x ＋ 6 ＝ 0.∵ x ∈ [0，π]，π π 19∴ 3x ＋ ∈6 ，6π，6π 3π 5π∴ 当 3x ＋ π6取值为 2， 2 ， 2 时， f(x)＝0，π 即函数 f(x)＝ cos 3x ＋6 在 [0， π]的零点个数为 3.14．[2019 天·津联考 ] 已知 f(x)＝ x ＋3， x ≤ 1，则函数 g(x)＝ f(x) － e x的零点个数－ x 2 ＋2x ＋ 3， x>1，为____________ ．答案： 2分析：函数 g(x)＝ f(x)－e x 的零点个数即函数 y ＝f(x)与 y ＝ e x 的图象的交点个数． 作出函数图象，如图，可知两函数图象有2个交点，即函数 g(x)＝ f(x)－ e x有 2 个零点．15． [2019 广·西南宁、梧州等八市结合调研 |ln x|， x>0 ， 若函数 y ＝]已知函数 f(x)＝x ＋ 1，x ≤ 0，f(x)－ a 2 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 ____________．答案： [－ 1， 0)∪ (0， 1]|ln x|， x>0，分析： 由题意，作出函数 f(x)＝的图象，如下图．x ＋ 1，x ≤ 0由于函数y＝ f(x)－ a2有 3 个零点，所以对于x 的方程 f(x)－ a2＝ 0 有三个不等实根，即函数 f( x)的图象与直线 y＝ a2有三个交点，由图象可得0< a2≤ 1，解得－ 1≤ a<0 或 0<a≤ 1.16． [2019 湘·赣十四校联考 ]已知函数ax2＋ 2x＋ a x≤ 0 ，f(x)＝有且只有一个零点，ax－ 3 x>0则实数 a 的取值范围是 ____________ ．答案： {0} ∪ (1，＋∞ )分析：当 a>0 时，函数 y＝ ax－ 3(x>0) 必有一个零点，又－1<0，所以 a －1 2＋2 －1＋a a a2x x≤ 0 ，a<0 时，若 x>0，则 f(x) a>0，得 a>1 ；当 a＝ 0 时， f(x) ＝恰有一个零点；当－ 3 x>0无零点，若 x≤0，则 f(x)＝ ax2＋1＝ax－ 3 2x＋ a，－a>0 ， f(0) ＝a<0 ，此时， f(x)恒小于 0，所以当 a<0 时， f(x)无零点．故答案为 {0} ∪ (1，＋∞ )．。