北京市北师大二附中2020届高三第一学期期中数学试题

2020届高三数学上学期期中试题一、选择题：1、已知全集，，则（）A、 B、 C、 D、2、若函数的最小正周期为，则正数的值是（）A、 B、 C、 D、3、已知都是实数，那么“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限 D、第四象限5、函数的图像大致是（）6、若函数在上是增函数，则正数的最大值是（）A、 B、 C、 D、7、已知函数的零点，其中常数满足，，则整数的值是（）A、 B、 C、 D、8、若关于的不等式的解集中有个整数，则实数的取值范围是（）A、 B、 C、 D、9、设，则（）A、 B、 C、 D、10、设是的外心，满足，若，则面积的最大值是（）A、 B、 C、 D、二、填空题11、已知向量，则_________，若，则_________.12、已知角的终边经过点，则___________，_________.13、已知函数，则_________，若，则实数的值是_________. 14、如右图，四边形中，分别是以和为底的等腰三角形，其中，则_________，_________.15、设，曲线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是_________.16、设向量是单位向量且，则_________.17、若为实数，对任意，当时，不等式恒成立，则的最大值是_________.三、解答题：18、设，.（1）解不等式：；（2）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围.19、在中，分别为角所对的边的长.且.（1）求角的值；（2）若，求的面积.20、已知函数.（1）若不等式在上有解，求的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.21、已知平面向量，且.（1）若，平面向量满足，求的最大值；（2）若平面向量满足，，，求的取值范围.22、设，已知函数.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大值恒小于，求证：.2020届高三数学上学期期中试题一、选择题：1、已知全集，，则（）A、 B、 C、 D、2、若函数的最小正周期为，则正数的值是（）A、 B、 C、 D、3、已知都是实数，那么“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限5、函数的图像大致是（）6、若函数在上是增函数，则正数的最大值是（）A、 B、 C、 D、7、已知函数的零点，其中常数满足，，则整数的值是（）A、 B、 C、 D、8、若关于的不等式的解集中有个整数，则实数的取值范围是（）A、 B、 C、 D、9、设，则（）A、 B、 C、 D、10、设是的外心，满足，若，则面积的最大值是（）A、 B、 C、 D、二、填空题11、已知向量，则_________，若，则_________.12、已知角的终边经过点，则___________，_________.13、已知函数，则_________，若，则实数的值是_________.14、如右图，四边形中，分别是以和为底的等腰三角形，其中，则_________，_________.15、设，曲线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是_________.16、设向量是单位向量且，则_________.17、若为实数，对任意，当时，不等式恒成立，则的最大值是_________.三、解答题：18、设，.（1）解不等式：；（2）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围.19、在中，分别为角所对的边的长.且.（1）求角的值；（2）若，求的面积.20、已知函数.（1）若不等式在上有解，求的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.21、已知平面向量，且.（1）若，平面向量满足，求的最大值；（2）若平面向量满足，，，求的取值范围.22、设，已知函数.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大值恒小于，求证：.。

北京师大附中2020学年（上）高三期中考试数学（理）试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求出集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，，则，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，则复数= （）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【详解】由复数的运算，可得复数，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在极坐标系中，曲线是（）A. 过极点的直线B. 半径为2的圆C. 关于极点对称的图形D. 关于极轴对称的图形【答案】D【解析】试题分析：,表示圆心为半径为1的圆，关于极轴对称的图形，所以选D.考点：极坐标4.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件。

考点：本题考查充分必要充要条件；三角函数求值。

点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断。

此题为基础题型。

视频5.若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )A. 2个B. 4个C. 3个D. 多于4个【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【详解】因为偶函数满足，所以函数的周期为2，又当时，，故当时，，则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，即方程有4个根，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力6.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边经过点（，），且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意角的终边经过点（，），且，根据三角函数的定义，可知，则，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中根据三角函数的定义得到，再合理利用诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数的导数为，当时，，则函数为单调递增；当时，，则函数为单调递减，即当时，函数取得极小值，且为最小值，又由，可得函数在的值域，由函数在递增，可得的值域，由对于任意的，总存在，使得，可得，即为，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.8.已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在△内部或边界上运动，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，由可得以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则直线方程为，则直线AM方程为联立，解得：由图可知，当在线段上时，有最大值为0，当在线段上时，有最小值，设∴的范围是[，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．若AB B =，则实数m 的值是A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或2 2．命题p ：对任意x ∈R ，210x+>的否定是A ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+≤ B ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+> C ．p ⌝：不存在0x ∈R , 0210x+≤ D ．p ⌝：对任意x ∈R ，210x+≤ 3．执行如图的程序框图，则输出的T 值等于 A ．91 B ． 55 C ．54 D ．304．已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan()απ+的值是 A ．43 B. 34 C. 43- D. 34-5．函数()22x x f x -=-是A ．奇函数且在R 上是减函数B ．奇函数且在R 上是增函数C ．偶函数且在()0,+∞上是减函数D ．偶函数且在()0,+∞上是增函数6．已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列说法中错误．．的是 A ．c ∥b B ．⊥a bC ．对同一平面内的任意向量d ，都存在一对实数12,k k ，使得12k k =d b +cD ．向量c 与向量-a b 的夹角为 45︒7．若01m <<，则 A ．1132m m > B ．1122(1)(1)m m ->+C ．log (1)0m m +>D ．log (1)log (1)m m m m +>-8．同时满足以下四个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()k *∈N 的等差 数列．那么6133A A 中元素的个数是 A ．96B ．94C ．92D ．90第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知12a =，532a =，则公比q 的值是 ． 10．已知平面向量,a b 满足0=⋅a b ，2=a ，3=b ，则|a +b |= . 11．函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 12．在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且sin sin cos A B C =⋅，则B = ；若6A π=,则a c = ．13．函数2log (1),01,()2,10x x f x x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩的值域是 ．14．已知函数x a x f =)(（10<<a ），数列}{n a 满足)1(1f a =，)(1n n a f a =+，n *∈N .则2a 与3a 中，较大的是 ；302520,,a a a 的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最小值； （Ⅱ）若α为锐角，且()2f α=，求α的值．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若cos 25A =，5=bc ． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值．17．（本小题满分13分）已知数列{}n a ，{}n b 的通项n a ，n b 满足关系2n an b =，且数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-()n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分14分）已知函数2()43f x x x a =-++，a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在()-∞∞,+上至少有一个零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 在[,2]a a +上的最大值为3，求a 的值．19．（本小题满分14分）已知函数21()(3)3ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设点00(,())A x f x 为函数()f x 的图象上任意一点，若曲线()f x 在点A 处的切线的斜率恒大于3-，求m的取值范围．20．（本小题满分13分）如果项数均为n()2,n n *≥∈N 的两个数列}{},{nnb a 满足),,,2,1(n k k b ak k==-且集合1212{,,,,,,,}{1,2,3,4,,2}n n a a a b b b n =，则称数列}{},{n n b a 是一对 “n 项相关数列”．（Ⅰ）设}{},{n n b a 是一对“4项相关数列”，求1234a a a a +++和1234b b b b +++的值，并写出一对“4项相关数列” }{},{n n b a ；（Ⅱ）是否存在 “10项相关数列” }{},{n n b a ？若存在，试写出一对}{},{n n b a ；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）对于确定的n ，若存在 “n 项相关数列”，试证明符合条件的 “n 项相关数列”有偶数对．数学试卷答案（文史类）一、选择题：二、填空题： （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：15. 解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++π)14x =++．（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2=， 函数()f x 的最小值为1 ┅┅┅┅┅┅ 7分（Ⅱ）由()2f α=π)124α++=．所以πs i n (2)42α+=． 又因为π(0,)2α∈，所以ππ5π2444α<+<，所以π3π244α+=．所以π4α=． ┅┅┅┅┅┅ 13分16. 解：（Ⅰ）因为cos 25A =，所以23cos 2cos125A A =-=. 又因为0A <<π，所以4s i n 5A =. 因为5=bc ， 所以2s i n 21==∆A bc S ABC . ┅┅┅┅┅┅ 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3cos 5A =. 又因为5=bc ，6=+c b ，所以A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=20=.所以52=a . ┅┅┅┅┅┅ 13分 17. 解：（Ⅰ）当1n =时，111a S ==-；当2n ≥时，2212(1)2(1)23n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦.验证11213a =-=⨯-，所以23n a n =-()n *∈N . ┅┅┅┅ 6分 （Ⅱ）由2n an b =，得232n n b -=()n *∈N . 因为2(1)3123242n n n n b b +-+-==,所以数列{}n b 是以112b =为首项，4为公比的等比数列. 1(14)12(41),()146n n n T n *-==-∈-N . ┅┅┅┅┅┅ 13分18.解：（Ⅰ）依题意，函数()y f x =在R 上至少有一个零点即方程2()430f x x x a =-++=至少有一个实数根. 所以164(3)0a ∆=-+≥，解得1a ≤. ┅┅┅┅┅┅ 5分（Ⅱ）函数2()43f x x x a =-++图象的对称轴方程是2x =.① 当12a +≤，即1a ≤时，2max ()333y f a a a ==-+=.解得0a =或3.又1a ≤, 所以0a =.② 当12a +>，即1a >时，2max (2)13y f a a a =+=+-=解得a =.又1a >,所以12a -=.综上，0a =或12-. ┅┅┅┅┅┅ 14分 19.解：（Ⅰ） 依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，3()(3)m f x x m x '=-++2(3)3x m x m x -++=(3)()x x m x--=. ①当0m ≤时，令()0f x '>，解得3x >，所以函数()f x 在(3,)+∞上是增函数； ②当03m <<时,令()0f x '>，解得0x m <<或3x >，所以函数()f x 在(0,)m 和(3,)+∞上是增函数； ③当3m =时,2(3)()0x f x x-'=≥在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞是增函数；④当3m >时,令()0f x '>，解得03x <<或x m >，所以函数()f x 在(0,3)和(,)m +∞上是增函数. 综上所述，①当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞；②当03m <<时，函数()f x 的单调递增区间是()0,m 和()3,+∞； ③当3m =时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；④当3m >时，函数()f x 的单调递增区间是()0,3和(),m +∞. ┅┅┅┅┅┅7分 （Ⅱ）因为函数()f x 在点00(,())A x f x 处的切线的斜率大于3-，所以当()00,x ∈+∞时，0003()(3)3mf x x m x '=-++>-恒成立. 即当()00,x ∈+∞时，20030x mx m -+>恒成立.方法1：设0()h x =2003x mx m -+，函数0()h x 的对称轴方程为02m x =. （ⅰ）当0m =时，0()h x =200x >在()00,x ∈+∞时恒成立.(ⅱ) 当02m>时，即0m >时，在()00,x ∈+∞时，函数0()0h x >成立，则方程0()0h x = 的判别式2120m m ∆=-<，解得012m <<.(ⅲ)当02m<时，即0m <时，0()h x 在()0,+∞上为增函数，0()h x 的取值范围是()3,m +∞，则在()00,x ∈+∞时，函数0()0h x >不恒成立.综上所述，012m ≤<时，在函数()f x 的图象上任意一点A 处的切线的斜率恒大于3-. 方法2：由20030x mx m -+>在()00,x ∈+∞时恒成立，得()00,x ∈+∞时，200(3)m x x ->-.（ⅰ）当03x =时，200(3)m x x ->-恒成立；（ⅱ）当003x <<时，上式等价于2003x m x >-，2000()3x h x x =-，由于此时0()h x 为减函数，0()h x 的取值范围是(),0-∞，只需0m ≥；（ⅲ）当03x >时，200(3)m x x ->-上式等价于2003x m x <-，设2000()3x h x x =-，则0()h x =2000(3)6(3)93x x x -+-+-009363x x =-++-，当03x >时，0()12h x ≥（当且仅当06x =时等号成立）.则此时12m <.则在()0,+∞上，当012m ≤<时，在函数()f x 的图象上任意一点A 处的切线的斜率恒大于3-. ┅┅┅┅┅ 14分20．解：（Ⅰ）依题意，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，相加得，12341234()10a a a a b b b b +++-+++=，又1234a a a a +++123436b b b b ++++=，则123423a a a a +++=，123413b b b b +++=.“4项相关数列”}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1（不唯一） ┅┅┅ 4分参考：（“4项相关数列”共6对：}{n a ：8，5，4，6；}{n b ：7，3，1，2或}{n a ：7，3，5，8；}{n b ：6，1，2，4 或}{n a ：3，8，7，5；}{n b ：2，6，4，1 或}{n a ：2，7，6，8；}{n b ：1，5，3，4 或}{n a ：2，6，8，7；}{n b ：1，4，5，3 或}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在．理由如下：假设存在 “10项相关数列”}{},{n n b a ， 则10,,2,110102211=-=-=-b a b a b a ， 相加得55)()(10211021=+++-+++b b b a a a ．又由已知210202*********=+++=+++++++ b b b a a a ， 所以 12102652a a a +++=，显然不可能，所以假设不成立． 从而不存在 “10项相关数列”{}{},n n a b ．┅┅┅┅┅┅ 8分（Ⅲ）对于确定的n ，任取一对 “n 项相关数列”}{},{n n b a ， 令k k b n c -+=12，k k a n d -+=12),,2,1(n k =， （先证}{},{n n d c 也必为 “n 项相关数列”）因为k b a a n b n d c k k k k k k =-=-+--+=-)12()12(),,,2,1(n k = 又因为}2,,3,2,1{},,,,,,,{2121n b b b a a a n n =，很显然有})12(,,)12(,)12(,)12(,,)12(,)12{(2121n n b n b n b n a n a n a n -+-+-+-+-+-+ }2,,3,2,1{n =，所以}{},{n n d c 也必为 “n 项相关数列”． （再证数列}{n c 与}{n a 是不同的数列）假设}{n c 与}{n a 相同，则}{n c 的第二项22221c n b a =+-=，又222=-b a ，则2221b n =-，即2212n b -=，显然矛盾．从而，符合条件的“n项相关数列”有偶数对．┅┅┅┅┅┅13分2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

高三数学上学期期中质量检测试题（考试时间 120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共 110 分）两部分考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每题4 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

（ 1）已知会合 A { x Z x24}，B{ 1,2}，则 A B（A ） { 1}（B ）{ 1, 2}（C ）{ 1, 0,1, 2}（D ）{ 2, 1,0 ,1, 2}（ 2）已知( π, π) ，且 sin 3，则 tan25（A ）3（B ）443（C ）3（ D ）443（ 3）以下函数中，既是奇函数又在区间(0,1) 上单一递加的是（A ） yx 3（ B ） y sin( x) （C ） y log 2 x（ D ） y2x 2 x（ 4）对于函数 f ( x) sin x cos x 有下述三个结论：①函数 f ( x) 的最小正周期为 2π；②函数 f ( x) 的最大值为 2；③函数 f ( x) 在区间 ( π上单一递减 .2 ,π)此中，全部正确结论的序号是（A ）①②（ B ）①③（ C ）②③ （ D ）①②③（ 5）已知 ，是两个不一样的平面，直线 m ，以下命题中正确的选项是 （A ）若，则 m // （ B ）若 ，则 m （C ）若 m //，则 //（ D ）若 m，则（ 6）已知函数 f ( x) | x 2| kx 1 恰有两个零点，则实数 k 的取值范围是 （ A ） (0, 1 )（B ）( 1 , 1) （C ） (1, 2) （D ） (2 ,)22（ 7）已知 { a n }( nN * ) 为等比数列，则“ a 1 a 2 ”是“ { a n } 为递减数列”的（A ）充足而不用要条件 （ B ）必需而不充足条件（C ）充足必需条件（ D ）既不充足也不用要条件（8）设 F 1 ， F 2为椭圆 C ：x 2 y 2. 若△MF 1F291的两个焦点， M 为 C 上一点且在第二象限5为等腰三角形，则点M 的横坐标为- 1 -（A ） 3 （B ）15（C ）15（D ） 32 222（ 9）在 △ ABC 中， BAC90 ， BC2 ，点 P 在 BC 边上，且 AP (ABAC) 1，则 AP的取值范围是（A ） ( 1 ,1]（B ）[ 1 ,1]22（C ） (2,1]（D ） [2,1]22 （ 10）已知会合 A ， B 知足：（ⅰ） A B Q ， AB ；（ⅱ） x 1A ，若 x 2 Q 且 x 2x 1 ，则 x 2 A ； （ⅲ） y 1 B ，若 y 2 Q 且 y 2 y 1 ，则 y 2 B .给出以下命题：① 若会合 A 中没有最大数，则会合 B 中有最小数； ② 若会合 A 中没有最大数，则会合 B 中可能没有最小数； ③ 若会合 A 中有最大数，则会合 B 中没有最小数； ④若会合 A 中有最大数，则会合 B 中可能有最小数 .此中，全部正确结论的序号是（ A ）①③（ B ）②③ （ C ）③④ （ D ）①④第二部分（非选择题共110 分） 二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

北京师大附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|3−2x <0}，B ={x|x 2≤2x}，则A ∩B =( )A. [0,32)B. [0,32]C. (32,2)D. (32,2]2. i 是虚数单位，复数−1+3i1+2i =( )A. 1+iB. 5+5iC. −5−5iD. −1−i3. 在极坐标系中，曲线ρ=4cos(θ−5π6)关于( )．A. 直线θ=π3轴对称 B. 直线θ=5π6轴对称C. 点(2,2π3)中心对称D. 极点中心对称4. 若点(sin2π3,cos2π3)在角α的终边上，则sin2α的值为( )A. −12B. −√32C. 12D. √325. 方程cosx =lg|x|的实数根的个数是( )A. 2个B. 4个C. 6个D. 7个6. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin 23π,cos 23π)，则sin(π−α)=A. 12B. √32C. −12D. −√327. 已知函数f(x)=12(a −x)e x (a >0)，存在x ∈[0,2]，使得f(x)≥e ，则实数a 的取值范围是( )A. [3,+∞)B. [2+ln2,+∞)C. [2e,+∞)D. [2+2e ,+∞)8. 在边长为2的正方形ABCD 中，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点F 在线段AB 上运动，则FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若2(a 1+a 2)=3a 1a 2，且4S 3，3S 4，2S 5成等差数列，则S 10的值为___________．10. 已知函数f(x)={x(x +1) , x >0x(x −1) , x <0.则f(f(−1))= ______ ．11. 已知函数f(x)=sin(2x −π6)的图象C 1向左平移π4个单位得图象C 2，则C 2对应的函数g(x)的解析式为______ ．12. 已知四边形ABCD ，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为________． 13. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ的值是________．14. 若函数f(x)=x 3+x +a(x ∈R)为奇函数，则f(0)=________． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知函数f(x)=2cosx(sinx +cosx)，x ∈R ．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16. (本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N +)，公比q ∈(0,1)，且a 3+a 5=5，又a 3与a 5的等比中项为2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S11+S 22+⋯+S n n最大时，求n 的值．17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π2．(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.函数f(x)=x3−ax−1．(1)当a=8时，求函数f(x)在x=0处的切线方程．(2)讨论f(x)=x3−ax−1的单调性．19.已知函数f(x)=axln x−x22+(1−a)x+a−12(a∈R)．(1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(2)当a ⩽0时，证明：函数f(x)只有一个零点； (3)若函数f(x)的极大值等于0，求实数a 的取值范围．20. 设n ∈N ∗且n ≥2，集合S n ={(x 1,x 2…,x n )||x 1|=1，|x i+1|=2|x i |(i =1,2…,n −1)}．(Ⅰ)写出集合S 2中的所有元素；(Ⅱ)设(a 1,a 2,…a n )，(b 1,b 2,..b n )∈S n ，证明“∑a i n i=1=∑b i ni=1”的充要条件是“a i =b i (i =1,2，3，…n)”；(Ⅲ)设集合T n ={∑x i n i=1|(x 1,x 2,..x n )∈S n }，求T n 所有正数之和．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合A={x|3−2x<0}={x|x>32}，B={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|32<x≤2}=(32,2]．故选：D．解不等式求得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：A解析：解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为−1．∴−1+3i1+2i =(−1+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5+5i5=1+i．故选：A．进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为−1．本题主要考查复数代数形式的基本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数．3.答案：B解析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．解：曲线ρ=4cos(θ−5π6)，即ρ=−2√3cosθ+2sinθ，化为直角坐标方程为(x+√3)2+(y−1)2=4，∴圆心坐标为(−√3,1)，∴曲线ρ=4cos(θ−5π6)关于直线θ=5π6轴对称．4.答案：B解析：解：∵点P(sin 2π3,cos2π3)=(√32,−12)在角α的终边上， ∴|OP|=1，则sinα=−12，cosα=√32，∴sin2α=2sinαcosα=2×(−12)×√32=−√32． 故选：B ．利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα的值，再由倍角公式求sin2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，是基础题．5.答案：C解析：解：做出y =cosx 和y =lgx 的函数图象如图所示：由图象可知y =cosx 和y =lgx 的图象有3个交点， ∵y =cosx 和y =lg|x|都是偶函数， ∴y =cosx 和y =|lgx|的图象有6个交点， ∴方程cosx =lg|x|有6个根． 故选：C ．作出y =cosx 和y =lg|x|的函数图象，根据函数的对称性和交点个数得出方程解的个数． 本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．解析：本题考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，基本知识的考查.直接利用任意角的三角函数，求解即可．解：角α的终边经过点P(sin23π,cos23π)，即(√32,−12)，可得r=√(√32)2+(−12)2=1，则sinα=yr =−12．sin(π−α)=sinα=−12，故选C．7.答案：B解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式与方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．存在x∈[0,2]，使得f(x)≥e，⇔a≥(2e1−x+x)min，x∈[0,2].令g(x)=2e1−x+x，x∈[0,2].利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解：存在x∈[0,2]，使得f(x)≥e，⇔a≥(2e1−x+x)min，x∈[0,2]．令g(x)=2e1−x+x，x∈[0,2]．g′(x)=−2e1−x+1，令g′(x)=−2e1−x+1=0，解得x=ln2+1∈[0,2]，当x∈[0,ln2+1]时，g′(x)<0，当x∈[ln2+1,2]时，g′(x)>0可知：当x=ln2+1时，函数g(x)取得极小值，即最小值．∴a≥2e−ln2+ln2+1=2+ln2．∴实数a的取值范围是[2+ln2,+∞)．故选B．8.答案：B解析：解：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，C(2,2)，∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E(2,1)，∵点F 在线段AB 上运动，不妨设F(x,0)，0≤x ≤2， ∴FD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2)，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,1)， ∴FD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x(x −2)+2=x 2−2x +2=(x −1)2+1， 当x =0或2时，有最大值，最大值为2， 故选：B ．先建立坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的数量积得到FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1)2+1，根据二次函数的性质即可求出最值本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及二次函数的性质，属于基础题．9.答案：1023解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S 3，3S 4，2S 5成等差数列， ∴2×3S 4=4S 3+2S 5， ∴4(S 4−S 3)=2(S 5−S 4)， ∴4a 4=2a 5， 设公比为q ， ∴q =a 5a 4=2，∵2(a 1+a 2)=3a 1a 2， ∴2(a 1+a 1q)=3a 1a 1q ， ∴a 1=1， ∴S 10=a 1(1−q 10)1−q=1×(1−210)1−2=1023，故答案为1023．10.答案：6。

北京师大二附中2019-2020学年度高三第一学期期中数学测试题一、选择题1.已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x x =∈≥R ，则U A C B =( ) A.{}4,5B.{}3,4,5C.{}0,1,2D.{}0,1,2,32.下列命题中的假命题是( ) A.x ∀∈R ，120x -> B.*x ∀∈N ，()210x -> C.x ∃∈R ，lg 1x <D.x ∃∈R ，tan 2x =3.若复数z 满足11z i -=+，则z 的共轭复数的虚部是( ) A.i B.1 C.i - D.1-4.在ABC △中，内角C 为钝角，3sin 5C =，5AC =，AB =，则BC =( ) A.2B.3C.5D.105.若不等式11x -<成立的必要条件是14x <≤，则实数t 的取值范围是( ) A.[]2,3B.(]2,3C.[)2,3D.()2,36.在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于( )A.122n +-B.3nC.2nD.31n -7.在梯形ABCD 中，AB DC ∥，5AB AD ==，2DC =，4BC =，M 为AB 边上一点，则MD MC ⋅的最小值为( ) A.10B.12C.15D.168.函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意[]12,,x x a b ∈，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，则称()f x 在[],a b 上具有性质P ，设()f x 在[]1,3上具有性质P ，现给出如下命题：①()f x 在[]1,3上的图象是连续不断的；②()2f x 在⎡⎣上具有性质P ； ③若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[]1,3x ∈； ④对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有()()()()12341234144x x x x f f x f x f x f x +++⎛⎫⎡⎤≤+++ ⎪⎣⎦⎝⎭.其中真命题的序号是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④二、填空题9.已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60︒，则3a b -等于_________. 10.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数()23log f x x =+的图象与()g x 的图象关于__________对称，则函数()g x =___________(填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考试所有可能的情形).11.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>经过点()3,4，则该双曲线的渐近线方程是__________.12.在ABC △中，若15a =，10b =，60A =︒，则cos B =____________.13.已知抛物线22y px =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足2MN NF =，则NMF =∠________________.14.对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是函数()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：①函数()3211533212f x x x x =-+-的对称中心坐标为____________；②计算12320182019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…_______________.三、解答题15.已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的前n 项和n T .16.已知函数()()sin ,0,02f x A x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈><< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示.(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 求函数()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间.17.已知圆22:4O x y +=.(1)直线10l y +-与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ；(2)如图，设()11,M x y ，()22,P x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM ，2PM 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.18.已知函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+.(1)求,,,a b c d 的值；(2)当2x ≥-时，()()f x kg x ≤恒成立，求k 的取值范围.19.设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠.20.设数列()12:,,,2N A a a a N ≥….如果对小于()2n n N ≤≤的每个正整数k 都有k n a a <，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数列:2,2,1,1,3A --，写出()G A 的所有元素； (2)证明：若数列A 中存在n a ，使得1n a a >，则()G A ≠∅；(3)证明：若数列A 满足()112,3,,n n a a n N --≤=…，则()G A 的元素个数不小于1N a a -.。

北京市西城区北京师范大学附属实验中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。

每小题5分，共40分）1.已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()UA B ⋂=（ ）A. ()(),35,-∞+∞B. (](),35,-∞+∞C. (][),35,-∞+∞D. ()[),35,-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】先计算集合B ，再计算A B ，最后计算()UA B ⋂．【详解】解：{}27100B x x x =-+<{|25}B x x ∴=<<，{}37A x x =≤<{|35}AB x x ∴=<，()[)U ,35(,)AB -∞+∞∴=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题． 2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. cos y x =B. sin y x =C. ln y x =D.21y x =+【答案】A 【解析】由选项可知，,B C 项均不是偶函数，故排除,B C ，,A D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.【此处有视频，请去附件查看】3.己知函数()f x 满足(2)1f =，设()00f x y =，则“01y =”是“02x =”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义可判断“01y =”与“02x =”的关系.【详解】若02x =，则()()0021y f x f ===，故“01y =”是“02x =”的必要条件， 取()()()231f x x x =--+，若()1f x =，则2x =或3x =，故“01y =”推不出“02x =”，故“01y =”是“02x =”的不充分条件， 综上，“01y =”是“02x =”的必要不充分条件.故选B.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.4.要得到函数2log (24)y x =+的图象，只需将函数2log (2)y x =+的图象（ ） A. 向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度 C. 向上平移1个单位长度 D. 向下平移1个单位长度【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算法则先进行化简，结合函数的图象变换法则进行判断即可． 【详解】解：22222log (24)log 2(2)log 2log (2)1log (2)y x x x x =+=+=++=++，故只需将函数2log (2)y x =+的图象向上平移1个单位长度，即可得到2log (24)y x =+， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象与变换，结合对数的运算法则是解决本题的关键，属于基础题．5.已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>,以下有四个命题： ①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S > ④110S < 其中正确的序号是（ ） A. ②③ B. ②③④C. ②④D. ①③④【答案】B 【解析】∵564S S S >>，∴65600a a a +，，∴500a d ><， ∴数列{}n a 中的最大项为5S ，()()110105610502a a S a a +==+>，()111116111102a a S a +==<∴正确的序号是②③④ 故选B6.已知函数2sin()(,)y x Z ωϕωπϕπ+=+∈-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A. 3，3π-B. 3，6π-C. 2，6π D. 2，3π 【答案】D 【解析】【分析】 由图可得223T T π<<，由此求得2ω=，再由函数的周期可得点(6π，)a 在函数的图象上，然后利用对称性以及五点作图法列式求得ϕ的值． 【详解】解：由图可得223T T π<<， 即223πππωω<<， 332ω∴<<，可得2ω=， ∴函数2sin(2)y x ϕ=+． ∴22236T πππ==-，则点,6a π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数的图象上． 再根据函数图象的对称性以及五点法作图可得(0)(2)622πϕϕπ++⨯+=，解得3πϕ=，故选：D ．【点睛】本题考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，正弦函数的图象的对称性、正弦函数的周期性，五点法作图，属于中档题．7.设函数()266,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x ，使得()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）．A. 2026,33⎛⎤⎥⎝⎦ B. 2026,33⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 11,63⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 分析】分析题意，将问题转化为：方程()f x a =有三个解1x ，2x ，3x ，此时可利用数形结合思想分析123x x x ++的取值范围.【详解】设()f x a =有三个解1x ，2x ，3x ，不妨令123x x x <<，作出()f x 和y a =图象如图所示：因为()226633y x x x =-+=--顶点坐标为()3,3-，所以()3,4a ∈-；由图象可知：23,x x 关于3x =对称，所以236x x +=；令343x +=-，73x =-，令344x +=，0x =，所以17,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；所以()12311,63x x x ⎛⎫ ⎪⎝+∈⎭+. 故选D.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合的思想，难度较难.通过数形结合，可将抽象的函数零点个数或者方程根的数目转化为直观的函数图象的交点个数.常见数形结合思想的应用角度：（1）确定方程根或者函数零点数目； （2）求解参数范围； （3）求解不等式的解集； （4）研究函数的性质. 8.已知函数()e 2x f x ax =+-，其中a R ∈．若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x ⋅-⋅<-成立，则a 的取值范围是（ ）A. [1,)+∞B. [2,)+∞C. (,1]-∞D. (,2]-∞【答案】D 【解析】 【分析】 将不等式变形为：1212()()f x a f x a x x ++<恒成立，构造函数()()f x ah x x+=，转化为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立，为了求a 的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围． 【详解】解：对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，∴不等式等价为1212()()f x a f x ax x ++<成立， 令()()f x ah x x+=，则不等式等价为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立， 即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数；2()x e ax a h x x+-+=，则22()0x x xe e ah x x-+-'=在(1,)+∞上恒成立； 20x x xe e a ∴-+-；即2x x a xe e --恒成立，令()x x g x xe e =-，()0x g x xe ∴'=>；()g x ∴在(1,)+∞上增函数；()()10g x g ∴>=；20a ∴-；2a ∴．a ∴的取值范围是(,2]-∞．故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 9.已知()1sin 3πα+=-，且α是第二象限角，则sin 2α=______.【答案】42- 【解析】 【分析】根据诱导公式可以得到sin α的值，结合α为第二象限角得到cos α的值，最后利用二倍角的正弦得到要求的正弦值. 【详解】由题设有1sin 3α=，因为α是第二象限角，所以222cos 1sin 3αα=--=-， 故42sin 22sin cos αα==-. 【点睛】（1）()k k Z πα+∈与α的三角函数的关系是“函数名不变，符号看象限”； （2）α的三个三角函数值只要知道其中一个，就可以求出另外两个，求值时要关注角的终边的位置.10.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比为__________． 【答案】13【解析】【详解】2112131,(1),(1),S a S a q S a q q ==+=++由1S ，22S ，33S 成等差数列得21343S S S =+，即21114(1)3(1),a q a a q q +=+++则230,q q -=所以13q =或0q =（舍）， 故答案为13. 11.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =_________．【答案】【解析】∵3sinA＝5sinB ，∴3a＝5b.① 又∵b＋c ＝2a ，② ∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b. ∴cosC＝2222b a c ab+-＝2225733523b b b b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯＝－12. ∴C＝23π. 【此处有视频，请去附件查看】12.已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(2,1)- 【解析】 【分析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数， 并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<. 故答案为:(2,1)-【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题. 13.函数()f x 满足下列性质： （1）定义域为R ，值域为[1,)+∞． （2）图象关于2x =对称．（3）对任意1x ，2(,0)x ∈-∞，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-．请写出函数()f x 的一个解析式__________（只要写出一个即可）． 【答案】2()45f x x x =-+ 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式2()(2)1f x x =-+， 此时()f x 对称轴为2x =，开口向上，满足（2）， 因为对任意1x ，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，等价于()f x 在(,0)-∞上单调减， ∴2()(2)1f x x =-+，满足（3），又2()(2)11f x x =-+≥，满足（1），故答案为()245f x x x =-+．【点睛】本题主要考查二次函数的对称性、二次函数的单调性以及二次函数的值域，意在考查综合运用所学知识，灵活解答问题的能力，考查了转化与划归思想、数形结合思想的应用，属于难题.14.已知函数2211,2(){1ln(1),2x x x f x x x +<-=+≥-和2()44g x x x =--，若存在实数a 使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围为__________．【答案】[1,5]- 【解析】 当21x <-时,()()1111210,212,211,214212x x x x x ⎡⎤+<++≤-∴++-≤-⎢⎥++⎣⎦ 221x x +∴= ()()()[)22111,01111112121[21]4244212x x x x x +=∈-+-++++-+;当21x ≥-时,()[)1ln 1ln,()1,2x f x +≥∴∈-+∞,若存在a R ∈使()()0f a g b +=,则()2441g b b b =--≤,即2450b b --≤,解得15b -≤≤,故填[]1,5-.点睛：本题考查学生的是函数的应用问题,属于中档题目.首先求出分段函数的值域,一段根据对数函数的单调性,另外一段利用对勾函数的性质以及基本不等式和反比例的值域求得,根据题意()()0f a g b +=,即方程有解问题,从而限制b 的范围,解出不等式即可. 三、解答题（本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.已知函数()sin sin )f x x x x =-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当2(0)3x π∈，时，求()f x 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）T π=；（Ⅱ）31(,]22- 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数()f x 的解析式为1sin(2)62x π+-，由此求得()f x 的最小正周期． （Ⅱ） 因为203x π<<，根据正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）因为函数2()sin sin )cos sin f x x x x x x x =--1cos211122cos2sin(2)22262x x x x x π-=-=+-=+-， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==． （Ⅱ） 因为203x π<<，所以，32662x πππ<+<，1sin(2)16x π∴-<+，311sin(2)2622x π-<+-， 所以()f x 的取值范围是31,22⎛⎤-⎥⎝⎦． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16.在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且222a b c bc =++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1,2B C b +==，试求△ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）2.3A π=； 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用条件结合余弦定理，可求A 的大小；（Ⅱ）利用和差的三角函数求出2b c ==，再利用三角形的面积公式可得结论． 【详解】解：（Ⅰ）222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-1cos 2A ∴=-，(0,)A π∈， 23A π∴=（Ⅱ）sin sin 1B C +=，∴sin sin 13B B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴sin sincos cossin 133B B B ππ+-=，∴sincos cossin 133B B ππ+=，∴sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又B 为三角形内角，故30BC ==︒．所以2b c ==所以1sin 2ABC S bc A ∆==【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12n T <. 【答案】(1) 12n n a ，21n b n =- (2)见解析【解析】【详解】试题分析：（1）由题中所给条件得21n n a S =+，即21n n S a =-，这是前n 项和n S 与项n a 的关系，我们可以利用1n n n S S a --=把此式转化为数列的项的递推式12n n a a -=，从而知数列{}n a 是等比数列，通项易得，这样等差数列的111b a ==，437b S ==，由基本量法可求得等差数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 是由等差数列相邻两项相乘后取倒数所得，其前n 项和应该用裂项相消法求得，而当求得n T 后，所要证的不等式就显而易见成立了． （1）∵n a 是n S 和1的等差中项，∴21n n S a =- 当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，∴12n na ，21n n S =-设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d =∴1(1)221n b n n =+-⨯=- （2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ ∵*n N ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ 考点：（1）已知数列前n 项和n S 与项n a 的关系，求通项公式，等差数列、等比数列通项公式；（2）裂项相消法求和与不等式．18.已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b的取值范围．【答案】(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2) 211b e -≤【解析】【详解】分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx﹣2⇔1+1x﹣lnxx ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x﹣lnxx ，g （x ）min 即为所求的b 的值详解：（1）在区间()0,∞+上， ()11ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x a=， 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在区间1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-，即1ln 1+x b x x-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1xg x x x=+-，则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=， 易得()g x 在(20,e ⎤⎦上单调递减，在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增，所以()()22min 11g x g ee ==-，即211b e -≤.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x > 19.已知函数()2()33xf x x x e =-+的定义域为[]2,t -，设(2)f m -=，()f t n =. （Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；（Ⅱ）求证：m n <；（Ⅲ）求证：对于任意的2t >-，总存在0(2,)x t ∈-，满足()020()213x f x t e '=-，又若方程()020()213x f x t e '=-在(2,)t -上有唯一解，请确定t 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(2,0]-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导得2()(23)(33)(1)x x x f x x e x x e x x e '=-+-+=-，从而可得()f x 在(,0)-∞，(1,)+∞上递增，在(0,1)上递减，从而确定t 的取值范围；（Ⅱ）借助（Ⅰ）可知，()f x 在1x =处取得极小值e ，求出213(2)f m e e -==<，则()f x 在[2-，)+∞上的最小值为(2)f -，从而得证；（Ⅲ）化简02000()x f x x x e '=-，从而将020()2(1)3x f x t e '=-化为22002(1)3x x t -=-，令222()(1)3g x x x t =---，则证明方程222(1)03x x t ---=在(2,)t -上有解，并讨论解的个数；由二次函数的性质讨论即可．【详解】（Ⅰ）因为()2()33(23)(1)x x xf x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅， 令()0f x '>，得：1x >或0x <；令()0f x '<，得：01x << 所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减， 要使()f x 在[2,]t -为单调函数，则20t -<≤ 所以t 的取值范围为(2,0]-（Ⅱ）证：因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极小值()1f e =. 又213(2)f e e-=<，所以()f x 在[2,)-+∞的最小值为(2)f -， 从而当2t >-时，(2)()f f t -<，即m n < .（Ⅲ）证：因为()00200x f x x x e '=-，所以()0022(1)3x f x t e '=-，即为22002(1)3x x t -=-令222()(1)3g x x x t =---，从而问题转化为证明方程222()(1)03g x x x t =---=在(2,)t -上有解，并讨论解的个数，因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-， 221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-当4t >或21t -<<时，(2)()0g g t -⋅<，所以()0g x =在(2,)t -上有解，且只有一解. ②当14t <<时，(2)0g ->且()0g t >，但由于22(0)(1)03g t =--<，所以()0g x =在(2,)t -上有解，且有两解③当1t =时，由2()0g x x x =-=得：0x =或1x =，()0g x =在(2,)t -上有且只有一解； 当4t =时，由2()60g x x x =--=得：2x =-或3x =，所以()0g x =在(2,4)-上也只有一解综上所述，对任意的2t ≥-，总存在0(2,)x t ∈-，满足()0022(1)3x f x t e '=- 当方程()0022(1)3x f x t e'=-在(2,)t -上有唯一解，t 的取值范围为(2,1][4,)-⋃+∞【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于难题．20.对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}12max ,,k k b a a a =…－{}12min ,,,k a a a …()1,2,3k ∈…，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中，{}12max ,,,k a a a ，{}12min ,,,k a a a 分别表示12,,,k a a a …中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.（1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，求所有满足该条件的{}n a .【答案】（1）()1n n -（2）证明见解析（3）所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩ 【解析】 【分析】（1）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，{}12max ,,,n n a a a a =，{}121min ,,,n a a a a =，从而易得n b ； （2）利用{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≤，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≥，可证{}n b 是不减数列（即1n n b b +≤），而10b =，由此可得{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（3）首先，由已知，当1n =时，11a a =；当2n =时，221b a a =-，21a a ≥；当3n =时，()()3213132b a a a a =-+-（*），这里分析3a 与12,a a 的大小关系，31a a <，132a a a ≤<均出现矛盾，32a a ≥，结合(*)式可得32a a =，因此猜想12.1,2na n a a n =⎧=⎨≥⎩（21a a ≥），用反证法证明此结论成立，证明时假设k a 是首次不符合1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，这样题设条件变为()()221112222k k k k k k k k a a a b +---+=+（*），仿照讨论3a 的情况讨论k a ，可证明． 【详解】解：（1）由21n a n =+可得{}n a 递增数列，所以{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为()2212n n n n -⨯=-. （2）因为{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≤，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≥，所以{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++--≥所以()11,2,3,n n b b n +=≥.又因为1110b a a =-=，所以{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b . （3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=可得当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得()32133a a a a -=-， 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾；若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=的数列{}n a 是：1212,1,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=+++=++++-=+⎡⎤⎣⎦， 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+. 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件. 法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得()()221112222k k k k k k k k a a a b +---+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾；所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾. 所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，{}{}11212max ,,,min ,,,i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以()()1121,1,2,3,,kik i a a b bb k n =-+++=∑≤即()()112,1,2,3,,k k S ka b b b k n ++++=≤由()11,2,3,n n b b n +=≥可得()1,2,3,,k n b b k n =≤又10b =，所以可得()()111,2,3,k n S ka k b k +-=≤，所以()()121112021n n n n n S S S a a na b b b n b +++++++⨯++++-⎡⎤⎣⎦≤，即()()1211122n nn n n n S S S a b+-++++≤所以()()1211122n nn n n n S S S a b+-++++≤等号成立的条件是()11,2,3,,i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查学生创新意识．第（1）（2）问直接利用新概念“收缩数列”结合不等关系易得，第（3）问考查学生的从特殊到一般的思维能力，考查归纳猜想能力，题中讨论3a 与21,a a 大小关系是解题关键所在．本题属于难题．。

2020届高三数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别由集合求出对应范围，先求，再求即可【详解】或，，则故选：C【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题2.若点在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将点化简，得，结合同角三角函数先求出，再结合二倍角公式求出即可【详解】由故选：B【点睛】本题考查三角函数值的化简，同角三角函数的基本求法，二倍角公式的应用，属于基础题3.已知平面向量，，若，则（）A. B. 20 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据两个向量平行的坐标表示列式求得,再根据求得向量的坐标,然后求得模长.【详解】因为平面向量，，且,所以,解得,所以,所以所以.故选:A【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了求向量的模长,属于基础题.4.已知函数，则（）A. 144B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断括号内，需代入第二段表达式，得，由继续代入第一段表达式即可求解【详解】故选：C【点睛】本题考查分段函数中具体函数值的求解，对数的基本运算，对数恒等式的使用，属于基础题5.若先将函数的图象向左平移个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合函数图像平移法则求出表达式，再代值运算即可【详解】由题可知，的图象向左平移个单位后的表达式为：，再将所有横坐标伸长为原来的2倍，表达式变为：，则，故选：C【点睛】本题考查由函数图像的平移法则求平移之后的解析式及具体的函数值，属于基础题6.函数的图象可能是下面的图象( )A. B. C.D.【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可观察两个式子整体特征，一个为单倍角，一个为二倍角，则考虑先对整体求二倍角，再根据诱导公式进行合理转化即可【详解】，即，，而，则，故故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换及诱导公式的使用，熟悉单倍角与二倍角公式转化，熟练运用诱导公式是解题的关键，属于中档题8.设，为两个平面，则的充要条件是（）A. 内有一条直线与垂直B. 内有一条直线与内两条直线垂直C. 与均与同一平面垂直D. 与均与同一直线垂直【答案】A【解析】【分析】结合面面垂直的判定定理即可求解【详解】对A，符合面面垂直的判定定理描述，正确；对B，两平面斜交时，若内的直线垂直于两平面交线，而内两条直线与交线平行时，符合描述，但两平面不垂直，故错误；对C，垂直于同一平面的两平面也可能平行，故错误；对D，垂直于同一直线的两平面平行，故错误；故选：A【点睛】本题考查面面垂直的性质与判定，属于基础题9.若函数的一个极大值点为，则（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先将表达式结合二倍角公式和两角差的余弦公式化简，再采用待定系数法即可求解【详解】，因为的一个极大值点为，所以，解得，又，故，故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式和两角差的余弦公式的使用，属于基础题10.英国数学家泰勒发现了如下公式：.则下列数值更接近的是（）A. 0.91B. 0.92C. 0.93D. 0.94【答案】B【解析】【分析】根据表达式特点可写出通式，再分为奇数和偶数分类讨论即可【详解】由题知题设要求精确到0.01即可，当为奇数时，由于，，所以；当为偶数时，由于，，综上所述，故选：B【点睛】本题考查新定义的理解与使用，找出规律，学会分类讨论是解题的关键，属于中档题二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.下列结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的性质举反例可判断A；利用基本不等式可判断B；由对数函数的单调性可判断C；由基本不等式可判断D.【详解】对于A，若，则，当，时，不成立，故A错；对于B，由，则，当且仅当取等号，故B 正确；对于C，由为单调递增函数，由，则，故C 正确；对于D，由，，则，当且仅当时取等号，故D正确；故选：BCD【点睛】本题考查了基本不等式的性质、基本不等式以及对数函数的单调性，属于基础题.12.在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（）A. 直线B. 直线C. 平面D. 平面【答案】AD【解析】分析】作出正方体，由线面平行的判定定理可判断A、B；由面面平行的判定定理可判断C、D.【详解】如图由，且平面，平面，故直线与平面平行，故A正确；直线，与平面相交，故直线与平面相交，故B错误；由图，显然平面与平面相交，故C错误；由，，且，，故平面与平面平行，故D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.13.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（）A. 2B. 0C. 1D.【答案】BCD【解析】【分析】作出的图像，利用数形结合可判断满足恰有一个公共点；当时，需直线与曲线相切即可.【详解】由与恒过，如图，当时，两函数图象恰有一个公共点，当时，函数与的图象恰有一个公共点，则为的切线，且切点为，由，所以，综上所述，或.故选：BCD【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.（1）平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为______；（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，则正常人听觉的声强级范围为______.【答案】 (1). 60 (2).【解析】【分析】根据定义，代入数值，结合对数运算性质即可求解；【详解】（1）当时，；（2）当时，，当时，，则正常人听觉的声强级范围为故答案为：60；【点睛】本题考查指数与对数的基本运算，属于基础题15.已知等差数列满足：，，则数列的前2019项和等于______.【答案】0【解析】【分析】由计算出数列的通项公式，再根据新数列的周期性特点即可求解【详解】由可得，则，当时，，当时，，当时，，当时，，，通过列举发现新数列是一个周期为4的循环数列，记，为前项和，则故数列的前2019项和等于0故答案为：0【点睛】本题考查等差数列通项公式求解，周期数列前项和的求解，三角函数的周期性，属于基础题16.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，的面积，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】结合正弦定理角化边及余弦定理，可得，再由正弦定理面积公式求得，再结合余弦定理放缩即可求解【详解】由题，求得，又因为，由余弦定理及不等式性质可得：，即，化简得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理角化边，正弦的面积公式，余弦定理解三角形，不等式的基本性质，属于中档题17.已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，则三棱锥的外接球与内切球的半径比为______．【答案】【解析】【分析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解.【详解】以，，为过同一顶点的三条棱，作长方体，由，可知此长方体即为正方体.设外接圆半径为，则，设内切圆半径为，则内切圆的圆心到四个面的距离均为，由，解得所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体的内切球外接球问题、等体法求距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.在中，，分别为线段，上的点，，，，，.（1）求；（2）求的长度.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先画出大致图像，在三角形中由正弦定理可得，进而求出，结合三角形内角特点即可求解；（2）由（1）的结论可得，为等腰三角形，求出，再由相似三角形可求，对采用余弦定理即可求解；【详解】（1）在中：，所以，在中由正弦定理知：，又因为为钝角，所以.（2）因为，，所以，，又因为，，，所以，即，在中由余弦定理知：，∴.【点睛】本题考查等腰三角形性质，正弦定理，余弦定理解三角形，属于基础题19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，面面，为的中点.（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使得面？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）可作中点，连接，通过底面梯形的性质可证四边形为正方形，求出边，，通过勾股定理可证，再结合面面，面面，可证面，得到，即可得证；（2）可将问题转化，在底面找一点使得，即可求证；【详解】（1）取中点，连接，∵且，∴且，所以四边形为平行四边形，又∵，，所以四边形为正方形.在中，因为，所以，在中，因为，所以，因为，所以，，因为面，面面，面面，所以面，因为面，所以.（2）线段上存在一点，满足，即为中点时，面，证明如下：连结，∵为的中点，为中点，，又∵，所以，∵面，面，∴面.【点睛】本题考查线面垂直的性质，线线垂直的证明，由线面平行需找满足条件的点，属于中档题20.已知数列满足：，，，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）证明：数列为等差数列；（3）若数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用，由代换即可求证；（2）由（1）得，则，通过定义即可求证；（3）由题可求，由等比数列前项和公式可求，由等差数列前项和公式可求，则，结合裂项公式可求，通过放缩即可求证；【详解】（1）因为，又因为，所以是首项为1，公比2的等比数列.（2）由（1）得：，所以，所以，所以是公差为1的等差数列.（3）由（2）知：，，因为，所以，所以，所以.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的证明，等差数列，等比数列通项公式，前项和公式，裂项相消法，放缩法等的应用，综合性强，但难度不大，属于中档题21.图1是由菱形，平行四边形和矩形组成的一个平面图形，其中，，，，将其沿，折起使得与重合，如图2．（1）证明：图2中的平面平面；（2）求图2中点到平面距离；（3）求图2中二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)【解析】【分析】（1）证出、，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证出.（2）证出，由（1）可得平面，求出即可求出点到平面的距离.（3）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的夹角即可求出.【详解】（1）由题知，在中，，所以．又在矩形中，，且，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）由（1）知：平面，所以．因为菱形中的，所以为等边三角形，，所以在中，，．所以在中，，．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．又因为平面，所以点到平面距离为．（3）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，所以，，，．由（1）知平面的法向量为，设平面的法向量，因为，，由，得，取得，．所以，即二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理、点到面的距离以及用空间向量求二面角，考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题.22.已知函数.（1）求函数的极值；（2）若，求的值.【答案】（1）时，无极值；当时，极大值，无极小值；（2）1【解析】【分析】（1）先求导，得，再分为和两种情况具体讨论，进一步确定函数的极值；（2）由（1）可判断当时，不满足所求条件，当时，，则所求问题转化为：，可构造函数，得，令得，可判断在处取到最小值，且，故求得；【详解】（1）由题知：，当时，，在上单调递减，所以无极值，当时，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以在时取得极大值，综上：时，无极值；当时，有极大值，无极小值.（2）若恒成立，由（1）知当时，，在上单调递减，又因为，∴时，时，所以时，不存在符合题意的值，若时，由（1）知：若恒成立，只需，令，则，得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；且，因此.【点睛】本题考查利用含参导数分类讨论求极值，恒成立问题的等价转化，构造函数法求解参数取值，属于中档题23.已知自变量为的函数的极大值点为，，为自然对数的底数.（1）若，证明：有且仅有2个零点；（2）若，，，…，为任意正实数，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当时，，求导得，令，再次求导，可判断在单调递减，又，故在上单调递增；在上单调递减；求得，再判断，，结合零点存在定理判断，有且仅有2个零点；（2）对求导可得，又，故可判断，；，，在上单调递增；在上单调递减；故且，所求问题转化为，记为，观察知为等差乘以等比数列的形式，结合错位相减法化简即可求证；【详解】解：（1）由题知：，∴，令，，∴在单调递减，又∵，∴，，，，故在上单调递增；在上单调递减；所以；又因为，，所以在，上各恰有零点，即有且仅有2个零点.（2）由题知，因此，，；，，故在上单调递增；在上单调递减；因此且，∵，所以，记为，所以，，所以，所以，所以，因此，即.【点睛】本题考查利用导数证明函数零点个数，利用导数研究函数极值点，放缩法证明不等式的应用，错位相减法求数列前项和，转化与化归能力，计算能力，属于难题2020届高三数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别由集合求出对应范围，先求，再求即可【详解】或，，则故选：C【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题2.若点在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将点化简，得，结合同角三角函数先求出，再结合二倍角公式求出即可【详解】由故选：B【点睛】本题考查三角函数值的化简，同角三角函数的基本求法，二倍角公式的应用，属于基础题3.已知平面向量，，若，则（）A. B. 20 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据两个向量平行的坐标表示列式求得,再根据求得向量的坐标,然后求得模长.【详解】因为平面向量，，且,所以,解得,所以,所以所以.故选:A【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了求向量的模长,属于基础题.4.已知函数，则（）A. 144B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断括号内，需代入第二段表达式，得，由继续代入第一段表达式即可求解【详解】故选：C【点睛】本题考查分段函数中具体函数值的求解，对数的基本运算，对数恒等式的使用，属于基础题5.若先将函数的图象向左平移个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合函数图像平移法则求出表达式，再代值运算即可【详解】由题可知，的图象向左平移个单位后的表达式为：，再将所有横坐标伸长为原来的2倍，表达式变为：，则，故选：C【点睛】本题考查由函数图像的平移法则求平移之后的解析式及具体的函数值，属于基础题6.函数的图象可能是下面的图象( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可观察两个式子整体特征，一个为单倍角，一个为二倍角，则考虑先对整体求二倍角，再根据诱导公式进行合理转化即可【详解】，即，，而，则，故故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换及诱导公式的使用，熟悉单倍角与二倍角公式转化，熟练运用诱导公式是解题的关键，属于中档题8.设，为两个平面，则的充要条件是（）A. 内有一条直线与垂直B. 内有一条直线与内两条直线垂直C. 与均与同一平面垂直D. 与均与同一直线垂直【答案】A【解析】【分析】结合面面垂直的判定定理即可求解【详解】对A，符合面面垂直的判定定理描述，正确；对B，两平面斜交时，若内的直线垂直于两平面交线，而内两条直线与交线平行时，符合描述，但两平面不垂直，故错误；对C，垂直于同一平面的两平面也可能平行，故错误；对D，垂直于同一直线的两平面平行，故错误；故选：A【点睛】本题考查面面垂直的性质与判定，属于基础题9.若函数的一个极大值点为，则（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先将表达式结合二倍角公式和两角差的余弦公式化简，再采用待定系数法即可求解【详解】，因为的一个极大值点为，所以，解得，又，故，故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式和两角差的余弦公式的使用，属于基础题10.英国数学家泰勒发现了如下公式：.则下列数值更接近的是（）A. 0.91B. 0.92C. 0.93D. 0.94【答案】B【解析】【分析】根据表达式特点可写出通式，再分为奇数和偶数分类讨论即可【详解】由题知题设要求精确到0.01即可，当为奇数时，由于，，所以；当为偶数时，由于，，综上所述，故选：B【点睛】本题考查新定义的理解与使用，找出规律，学会分类讨论是解题的关键，属于中档题二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.下列结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的性质举反例可判断A；利用基本不等式可判断B；由对数函数的单调性可判断C；由基本不等式可判断D.【详解】对于A，若，则，当，时，不成立，故A错；对于B，由，则，当且仅当取等号，故B正确；对于C，由为单调递增函数，由，则，故C正确；对于D，由，，则，当且仅当时取等号，故D正确；故选：BCD【点睛】本题考查了基本不等式的性质、基本不等式以及对数函数的单调性，属于基础题.12.在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（）A. 直线B. 直线C. 平面D. 平面【答案】AD【解析】分析】作出正方体，由线面平行的判定定理可判断A、B；由面面平行的判定定理可判断C、D.【详解】如图由，且平面，平面，故直线与平面平行，故A正确；直线，与平面相交，故直线与平面相交，故B错误；由图，显然平面与平面相交，故C错误；由，，且，，故平面与平面平行，故D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.13.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（）A. 2B. 0C. 1D.【答案】BCD【解析】【分析】作出的图像，利用数形结合可判断满足恰有一个公共点；当时，需直线与曲线相切即可.【详解】由与恒过，如图，当时，两函数图象恰有一个公共点，当时，函数与的图象恰有一个公共点，则为的切线，且切点为，由，所以，综上所述，或.故选：BCD【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.（1）平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为______；（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，则正常人听觉的声强级范围为______.【答案】 (1). 60 (2).【解析】【分析】根据定义，代入数值，结合对数运算性质即可求解；【详解】（1）当时，；（2）当时，，当时，，则正常人听觉的声强级范围为故答案为：60；【点睛】本题考查指数与对数的基本运算，属于基础题15.已知等差数列满足：，，则数列的前2019项和等于______.【答案】0【解析】【分析】由计算出数列的通项公式，再根据新数列的周期性特点即可求解【详解】由可得，则，当时，，当时，，当时，，当时，，，通过列举发现新数列是一个周期为4的循环数列，记，为前项和，则故数列的前2019项和等于0故答案为：0【点睛】本题考查等差数列通项公式求解，周期数列前项和的求解，三角函数的周期性，属于基础题16.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，的面积，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】结合正弦定理角化边及余弦定理，可得，再由正弦定理面积公式求得，再结合余弦定理放缩即可求解【详解】由题，求得，又因为，由余弦定理及不等式性质可得：，即，化简得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理角化边，正弦的面积公式，余弦定理解三角形，不等式的基本性质，属于中档题17.已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，则三棱锥的外接球与内切球的半径比为______．【答案】【解析】【分析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解.【详解】以，，为过同一顶点的三条棱，作长方体，由，可知此长方体即为正方体.设外接圆半径为，则，设内切圆半径为，则内切圆的圆心到四个面的距离均为，由，解得所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体的内切球外接球问题、等体法求距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.在中，，分别为线段，上的点，，，，，.（1）求；（2）求的长度.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先画出大致图像，在三角形中由正弦定理可得，进而求出，结合三角形内角特点即可求解；（2）由（1）的结论可得，为等腰三角形，求出，再由相似三角形可求，对采用余弦定理即可求解；【详解】（1）在中：，所以，在中由正弦定理知：，又因为为钝角，所以.（2）因为，，所以，，又因为，，，所以，即，在中由余弦定理知：，∴.【点睛】本题考查等腰三角形性质，正弦定理，余弦定理解三角形，属于基础题19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，面面，为的中点.（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使得面？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）可作中点，连接，通过底面梯形的性质可证四边形为正方形，求出边，，通过勾股定理可证，再结合面面，面面，可证面，得到，即可得证；（2）可将问题转化，在底面找一点使得，即可求证；【详解】（1）取中点，连接，∵且，∴且，所以四边形为平行四边形，又∵，，所以四边形为正方形.在中，因为，所以，在中，因为，所以，因为，所以，，因为面，面面，面面，所以面，因为面，所以.（2）线段上存在一点，满足，即为中点时，面，证明如下：连结，∵为的中点，为中点，，又∵，所以，∵面，面，∴面.【点睛】本题考查线面垂直的性质，线线垂直的证明，由线面平行需找满足条件的点，属于中档题20.已知数列满足：，，，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）证明：数列为等差数列；（3）若数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用，由代换即可求证；（2）由（1）得，则，通过定义即可求证；（3）由题可求，由等比数列前项和公式可求，由等差数列前项和公式可求，则，结合裂项公式可求，通过放缩即可求证；【详解】（1）因为，又因为，所以是首项为1，公比2的等比数列.（2）由（1）得：，所以，所以，所以是公差为1的等差数列.（3）由（2）知：，，因为，所以，所以，所以.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的证明，等差数列，等比数列通项公式，前项和公式，裂项相消法，放缩法等的应用，综合性强，但难度不大，属于中档题21.图1是由菱形，平行四边形和矩形组成的一个平面图形，其中，，，，将其沿，折起使得与重合，如图2．（1）证明：图2中的平面平面；（2）求图2中点到平面距离；（3）求图2中二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)【解析】【分析】（1）证出、，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证出.（2）证出，由（1）可得平面，求出即可求出点到平面的距离.（3）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的夹角即可求出.【详解】（1）由题知，在中，，所以．又在矩形中，，且，。

北师大二附中2023届高三期中考试语文本试卷共11页，150 分。

考试时长150 分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请交回答题卡。

一、本大题共5小题，共18分。

阅读下面的材料，完成1-5题。

材料一“数字鸿沟”又称“信息鸿沟”，本意是数字差距或者数字分裂。

由于人们在经济地位、教育程度、生活环境等方面存在差异，当社会接入新的信息技术时，就会产生信息技术富有者与信息技术贫穷者之间的数字鸿沟。

“数字代沟”是数字鸿沟概念的一个分支，是数字鸿沟在家庭层面的表现，也是传统代沟在互联网时代的延伸。

研究数据表明，无论是对新媒体、新技术的学习和适应能力，还是对信息的甄别能力，年轻群体都领先于年长群体，两代人的“地位”在网络世界发生颠覆。

研究表明，微信作为了解数字代沟现状的一个视角，它的使用情况显示出较大的代际差异（见下表），无论是微信使用的功能类型还是功能数量，亲代与子代都有着明显不同。

研究者通过对数字代沟影响因素的分析，发现亲代年龄越大、子代受教育程度越高，数字代沟越大；子代年龄越大、亲代受教育程度越高，数字代沟越小。

亲代年龄比子代高出越多，子代受教育程度比亲代高出越多，居住地发达程度越高，数字代沟越大。

研究者还发现，家庭成员之间的关系并没有因为数字代沟的出现而恶化，微信等新媒体也带来了弥合矛盾的契机。

亲代坦然承认自己在新技术方面的不足，虚心向子代请教；子代欣喜地看到自己所具有的优势，主动向亲代传授数字知识。

年轻人对老年人进行数字文化的反哺，可以有效地缩小数字代沟，也拉近了两代人之间的关系。

数字反哺的背后，是子代指引亲代亲近数字社会的努力，子代与亲代一同消除数字话语体系中的隔阂，亲代也能感受到在数字世界中的体面与尊严，两代人形成共同的文化认同。

家庭角色与微信功能使用数交叉列表（取材于林枫、李博、朱秀凌等的相关文章）材料二2020年，随着新冠疫情的发展，网课学习、远程办公、电子行程卡、电子健康码等数字化技术成为人类与病毒周旋的重要武器。

2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）已知集合，，则的元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 7若a，b，且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.已知是等差数列的前n项和，且，，则等于A. 50B. 42C. 38D. 36函数的图象大致为A. B.C. D.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A. 84B.C.D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B.C. D.设命题p：，命题，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B. C. D.已知，，，则A. B. C. D.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. 2B.C.D. 9二、填空题（本大题共7小题）抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．已知点，，点在线段AB上，则直线AB的斜率为______；的最大值为______．若实数满足约束条件，则的最小值为______；的最小值为______．已知长方体中，，则直线与平面所成的角为______；若空间的一条直线l与直线所成的角为，则直线l与平面所成的最大角为______．已知是等比数列，且，，则______，的最大值为______已知圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为______．已知点，为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题）已知的最大值为．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若，求的值．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ求A；Ⅱ求的取值范围．如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，M为AC的中点，且．Ⅰ求二面角的大小；Ⅱ求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．已知数列的前n项和为，且满足：．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，，求数列通项公式．在平面直角坐标系中，已知，，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若过点的直线交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，相交于点，分别与y轴交于点B，C．证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；求的外接圆面积的最小值．2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）已知集合，，则的元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 7若a，b，且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.已知是等差数列的前n项和，且，，则等于A. 50B. 42C. 38D. 36函数的图象大致为A. B.C. D.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A. 84B.C.D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B.C. D.设命题p：，命题，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B. C. D.已知，，，则A. B. C. D.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. 2B.C.D. 9二、填空题（本大题共7小题）抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．已知点，，点在线段AB上，则直线AB的斜率为______；的最大值为______．若实数满足约束条件，则的最小值为______；的最小值为______．已知长方体中，，则直线与平面所成的角为______；若空间的一条直线l与直线所成的角为，则直线l与平面所成的最大角为______．已知是等比数列，且，，则______，的最大值为______已知圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为______．已知点，为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题）已知的最大值为．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若，求的值．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ求A；Ⅱ求的取值范围．如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，M为AC的中点，且．Ⅰ求二面角的大小；Ⅱ求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．已知数列的前n项和为，且满足：．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，，求数列通项公式．在平面直角坐标系中，已知，，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若过点的直线交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，相交于点，分别与y轴交于点B，C．证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；求的外接圆面积的最小值．。