四川省成都外国语学校2019届高三10月月考数学(理)试题

四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合1，2，，，则的元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】由题意求出A∩B={0，1，2}，由此能求出A∩B的元素个数．【详解】∵集合A={0，1，2，3}，B={x∈N|0≤x≤2}，∴A∩B={0，1，2}，∴A∩B的元素个数为3．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.命题“若都是偶数,则是偶数”的逆否命题是（）A. 若是偶数,则与不都是偶数B. 若是偶数,则与都不是偶数C. 若不是偶数,则与不都是偶数D. 若不是偶数,则与都不是偶数【答案】C【解析】试题分析：命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数考点：四种命题3.执行如图所示的程序框图输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据程序框图循环结构运算，依次代入求解即可。

【详解】根据程序框图和循环结构算法原理，计算过程如下：所以选A【点睛】本题考查了程序框图的基本结构和运算，主要是掌握循环结构在何时退出循环结构，属于基础题。

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置2024-2025学年四川省成都市高三上学期10月月考数学质量检测试卷.1. 已知集合{}1,2,4A =，2{N |20}B x x x =Î+-£，则A B =U （ ）A. {}2,1,0,1,2,4-- B. {}0,1,2,4C. {}1,2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，求得{}0,1B =，结合集合并集的概念与运算，即可求解.【详解】由不等式220x x +-£，可得(2)(1)0≤x x +-，解得21x -££，所以集合{}{N |21}0,1B x x =Î-££=，又因为{}1,2,4A =，可得{}0,1,2,4A B È=.故选：B.2. 2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（ ）A. 盛李豪的平均射击环数超过10.6B. 黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C. 盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差【答案】C 【解析】【分析】根据图表数据可直接判断选项A ，利用第80百分位数的解法直接判断选项B ，根据图表的分散程度即可判断选项C ，根据极差的求法直接判断选项D.【详解】由题知，盛李豪的射击环数只有两次是10.8环，5次10.6环，其余都是10.6环以下，所以盛李豪平均射击环数低于10.6，故A 错误；由于140.811.2´=，故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B 错误；由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C 正确；黄雨婷射击环数的极差为10.89.7 1.1-=，盛李豪的射击环数极差为10.810.30.5-=，故D 错误.故选：C3. 已知0.10.6a =，0.6log 0.3b =，0.6log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b c a >> B. a b c >>C. c b a >> D. a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由对数函数的底数小于1得到函数单调递减，判断出b ，c 的大小关系，又判断出b ，c 大于1，a 小于1，从而得出结论.【详解】由于0.6log y x =(0,)+¥单调递减，故0.60.60.6log 0.3log 0.4log 0.61b c =>=>=，又∵0.100.60.61a =<=，∴b c a >>.故选：A.4. 已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列说法正确的是（ ）A. 22ab cb > B.222a cc a+³C. ||||a b > D. 0ab bc +>【答案】C 【解析】【分析】根据已知等式可确定0,0a c ><，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.【详解】由题，0,0a c ><，取1,0,1a b c ===-，则22ab cb =，故A 错误；在2522a c c a +=-，故B 错误；0ab bc +=，故D 错误；因为22()()()0a b a b a b c a b -=+-=-->，所以22a b >，即||||a b >，故C 正确.故选：C.5. “函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R ”的一个充分不必要条件是（ ）A. [B. (C. ()-¥+¥U D. )+¥【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数的性质，先分析出对数的真数部分能取得所有的正数，然后根据二次函数与其对应二次方程的关系，求出a 的范围即可求解.【详解】因为函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R ，设222y x ax =-+，则二次函数y 需要取到一切正数，对应于方程2220x ax -+=中，0D ³，即2480a -³，解得a ³或a £，从而)+¥是“函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R ”的充分不必要条件.故选：D6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的110000大约需要经过（ ）年.（lg 20.3010»）A. 155 B. 159C. 162D. 166【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出等量关系，借助换底公式和题目给出的参考量得出结果.【详解】设氚含量变成初始量的110000大约需要经过t 年，则1211()210000t =，121log 1210000t =，即48159lg 2t =»年，故选：B.7. 若函数()y f x =的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ）A. (12)y f x =-B. 1(1)2y f x =-C. (12)y f x =--D. 1(1)2y f x =--【答案】A 【解析】【分析】根据函数定义域求出新函数定义域判断B,D;取特殊值判断C,根据函数平移伸缩变换判断A.【详解】由()y f x =的定义域为(1,)-+¥知，1(1)2y f x =-中111,42x x ->-<，不符合图2，故排除B ，D ；对于C ，当12x =时，(0)0y f =->，不满足图2，故C 错误；将函数()y f x =图关于y 轴对称，得到()y f x =-的图，向右平移1个单位得到(1)y f x =-的图，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数(12)y f x =-的图可能为图2.故选:A.8. 已知函数()11,0,2221,0.x x x f x x ì+>ï=íï-£î，则方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为（ ）A. 0 B. 3C. 6D. 9【答案】C【解析】的【分析】将方程根的问题转化为函数()y f x =和2(3)y f x =--的图象交点横坐标问题，数形结合即可判断交点个数，再根据对称性求解和即可解答.【详解】方程()(3)2f x f x +-=的根为函数()y f x =和2(3)y f x =--的图象交点横坐标，由函数()11,0,2221,0.x x x f x x ì+>ï=íï-£î得，()31,3,23232,3,x x x y f x x -ì<ï=--=íï-³î如下图所示，两函数图象共有4个交点，且因为()(3)2f x f x +-=，所以函数()y f x =与函数2(3)y f x =--的图象关于点3(,1)2中心对称，故方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为6.故选：C.二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分，.9. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f x y f x f y +=+，则（ ）A. ()00f = B. ()11f =C. ()f x 是奇函数 D. ()f x 在R 上单调递增【答案】AC 【解析】【分析】通过赋值法及特例逐项判断即可.【详解】由()()()22f x y f x f y +=+知，当0x y ==时， ()()030f f =，即()00f =，故A 正确；取()f x x =-，则()f x 满足条件()()()22f x y f x f y +=+，但()11f =-，且()f x 是在R 上单调递减，故B ，D错误；当,x t y t =-=时，()()()2f t f t f t =-+，即()()f t f t -=-，故C 正确.故选：AC.10. 已知复数12,z z 的共轭复数分别为21,z z ，则下列命题为真命题的是（ ）A. 1212z z z z +=+B. 1212z z z z ×=×C. 若120z z ->，则12z z >D. 若2221212z z z z +=+，则21210z z z z +××=【答案】ABD 【解析】分析】设出1i z a b =+，2i z c d =+，,,,R a b c d Î，结合共轭复数及模长定义与复数运算法则逐项计算可判断A 、B 、D ；举出反例可判断C.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，且,,,R a b c d Î，则1i z a b =-，2i z c d =-；对A ：12i i ()i z z a b c d a c b d +=+++=+++，12()i a c z b d z +=+-+所以12()i a c z b d z -=+++，所以1212z z z z +=+，故A 正确；对B ：12i)(i)()i (()z z a b c d ac bd bc ad ++=--+=，12i)(i)()i (()z z a b c d ac bd bc ad --=--+=，故B 正确；对C ：当1212i,2i z z =+=时，满足1210z z -=>，但不能得出12z z >，故C 错误；对D ：2121212121211221212()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z z +=++=++=+++22121212z z z z z z =+++，故11220z z z z +=，故D 正确.故选：ABD.11. 设函数()()()ln f x x a x b =++，则下面说法正确的是（ ）A. 当0,1a b ==时，函数()f x 在定义域上仅有一个零点B. 当0,0a b ==时，函数()f x 在(1,)+¥上单调递增C. 若函数()f x 存在极值点，则a b£【D. 若()0f x ³，则22a b +的最小值为12【答案】ABD 【解析】【分析】代入0,1a b ==得到()f x 解析式，结合对数运算可得A 正确；求导分析单调性可得B 正确；当a b £时求导分析，当a b >利用换元法二次求导数分析可得C 错误；由复合函数同增异减得到()f x 的单调性，再结合二次函数取值可得D 正确；【详解】对于A ，当0,1a b ==时，()ln(1)f x x x =+，由()0f x =得，0x =，函数()f x 在定义域上仅有一个零点，故A 正确；对于B ，当0a b ==时，函数()ln f x x x =，当1x >时，()ln 10f x x ¢=+>，故函数()f x 在(1,)+¥上单调递增，故B 正确；对于C ，()ln()ln()1x a a bf x x b x b x b x b+-¢=++=+++++，当a b £时，函数()f x ¢在定义域上单调递增，且当x b ®-时，()f x ¥¢®-，当x ®+¥时，()f x ¥¢®+，此时函数()f x ¢存在零点0x ，即函数()f x 在0(,)b x -上单调递减，在0(,)x +¥上单调递增，故此时函数()f x 存在极值点，当a b >时，设()ln()1a b g x x b x b-=++++，则()2212()()a b x b a g x x b x b x b -+-=-=+++¢，令()0g x ¢=，则2x a b =-，故函数()f x ¢在(,2)b a b --上单调递减，在(2,)a b -+¥上单调递增，故()()2ln()2f x f a b a b ¢³¢-=-+，故当21e b a b <<+时，函数()f x ¢存在零点，函数()f x 存在极值点，综上，当函数()f x 存在极值点时，21eb a b <<+或a b £，故C 错误；对于D ，()()ln 0x a x b ++³恒成立，当()0f x =时，x a =-或1x b =-，当且仅当两个零点重合时， 即1a b -=-，因为y x a =+为增函数，设()()1ln ln 1y x b x a =+=++，则1y 在(1,)a a ---上单调递减，在(,)a -+¥上单调递增，所以函数()f x 在(1,)a a ---上单调递减，在(,)a -+¥上单调递增，满足()()ln 0x a x b ++³， 则22212212a b b b +=-+³，当12b =时取“=”，故D 正确，故选：ABD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数2()23f x x kx =++在[1,2]上单调，则实数k 的取值范围为_____．【答案】8k £-或4k ³-【解析】【分析】运用二次函数的单调性知识，结合对称轴可解.【详解】函数2()23f x x kx =++的对称轴为04k x =-，故当24k -³或14k-£时，函数()f x 在[1,2]上单调，即8k £-或4k ³-，故答案为:8k £-或4k ³-.13.若()y f x =是定义在R 上的奇函数，()(2)f x f x =-，(1)2f =，则(1)(2)(3)(2025)f f f f +++=L ________．【答案】2【解析】【分析】根据题意，推得(4)()f x f x +=，得到()y f x =的周期为4，再求得(1),(2),(3),(4)f f f f 的值，结合周期性，即可求解.【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，故()()f x f x -=-，又因为()(2)f x f x =-，所以(2)()f x f x -=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()y f x =的周期为4，由于()y f x =为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，可得(0)0f =，(2)(0)0f f ==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，则(1)(2)(3)(2025)f f f f +++=L 506[(1)(2)(3)(4)](1)2f f f f f ´++++=.故答案为：2.14. 若过点()1,b 作曲线e x y x =的切线有且仅有两条，则b 的取值范围是______．【答案】25[0,e)e ìü-íýîþU 【解析】【分析】由题意，设切点000(,e )xx x ，利用相切性质得到关于0,b x 的关系式0200(1)e xb x x =-+，将切线条数问题转化为关于0x 的方程解的个数问题求解，再分离参数转化为函数2()(1)e x g x x x =-+的图象与直线y b =的交点个数问题，构造函数研究函数的单调性与最值，数形结合求b 的范围即可.【详解】设切点为000(,e )xx x ，()(1)e x f x x ¢=+，故切线方程为00000e (1)e ()x x y x x x x -=+-，将()1,b 代入切线方程得00000e(1)e (1)x x b x x x -=+-，0200(1)e x b x x \=-+，过点()1,b 作曲线e x y x =的切线有且仅有两条,则关于0x 的方程0200(1)e xb x x =-+有两解，可转化为直线y b =与函数2(1)e x y x x =-+的图象有两个交点.令2()(1)e x g x x x =-+，则2()(2)e (1)(2)e x x g x x x x x ¢=--=--+，当2x <-时，()0f x ¢<，()f x 在(),2¥--单调递减；当2<<1x -时，()0f x ¢>，()f x 在()2,1-单调递增；当1x >时，()0f x ¢<，()f x 在(1,+∞)单调递减；故()g x 的单调减区间(,2),(1,)-¥-+¥，增区间是(2,1)-.当x ®-¥时，()0g x ®，当x ®+¥时，()g x ®-¥，且25(1)e,(2)e g g =-=-，当y b =与()y g x =有且仅有两个交点时，25[0,e)e b ìüÎÈ-íýîþ，故答案为：25[0,e)e ìüÈ-íýîþ.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()1ln 1kxf x x -=-为奇函数．（1）求实数k 值；（2）若函数()()2xg x f x m =-+，且()g x 在区间[]2,3上没有零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1-（2）(,4ln 3)(8ln 2,)m Î-¥--+¥U 【解析】【分析】（1）根据奇函数定义建立方程，解得1k =±，检验即可求解；（2）利用导数研究函数的单调性可知()g x 在[2,3]上单调递减，根据零点的概念建立不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为()1ln1kxf x x -=-是奇函数，所以()()f x f x -=-， 即11ln ln ln 1111kx kx x x kx x --+=-=----， 所以1111kx x kxx +=----，故22211k x x -=-，则1k =±，当1k =时，111xx -=--显然不成立；经验证：1k =-符合题意；所以1k =-；【小问2详解】由1()ln21x x g x m x +=-+-，22()2ln 21x g x x ¢=---， 当[2,3]x Î时，()0g x ¢<，故()g x 在[2,3]上单调递减.的的故()[ln 28,ln 34]g x m m Î-+-+.因为()g x 在区间[]2,3上没有零点，所以ln 280m -+>或ln 340m -+<，解得4ln 3m <-或8ln 2m >-，即(,4ln 3)(8ln 2,)m Î-¥--+¥U .16. 已知三棱锥D ABC -，D 在平面ABC 上的射影为ABC V 的重心O ，15AC AB ==，24BC =.（1）证明：BC AD ^；（2）E 为AD 上靠近A 的三等分点，若三棱锥D ABC -的体积为432，求二面角E CO B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得AM BC ^、OD ^平面ABC ，根据线面垂直的性质可得OD BC ^，结合线面垂直的判定定理和性质即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式求得12OD =，由空间向量的线性运算求得()4,0,4OE =uuu r，结合空间向量法求解面面角即可.【小问1详解】如图所示，连结AO 并延长交BC 于M ，因为O 为△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，又因为AC AB =，所以由等腰三角形三线合一可得AM BC ^， 因为D 在平面ABC 上的射影为O ，所以OD ^平面ABC ， 又ÌBC 平面ABC ，所以OD BC ^，又,,AM OD O AM OD =ÌI 平面AMD ，所以^BC 平面AMD ， 又AD Ì平面AMD ，所以BC AD ^，【小问2详解】由（1）知AM BC ^，OD ^面ABC ，过M 作z 轴平行于OD ，则z 轴垂直于面ABC ，如图，以,MA MB 为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，在ABC V 中，15AC AB ==，24BC =由（1）知，AM BC ^，故9AM ==，得11082ABC S AM BC =×=V ， 所以三棱锥A-BCD 的体积为 1110843233ABC S OD OD ×=´´=V ，则12OD =因为O 为△ABC 的重心，故133OM AM ==，则()()()()()0,12,0,0,12,0,3,0,0,9,0,0,3,0,12C B O A D -，()()()6,0,0,6,0,12,3,12,0OA AD OC ==-=--uuu r uuu r uuu r因为E 为AD 上靠近A 的三等分点，所以()12,0,43AE AD ==-uuu r uuu r，故()14,0,43OE OA AD =+=uuu r uuu r uuu r设(),,n x y z =r 为平面ECO 的一个法向量，则4403120n OE x z n OC x y ì×=+=ïí×=--=ïîuuu r r uuu rr ，取4x =，则1,4y z =-=-，故()4,1,4n =--r，易得()0,0,1m =r是平面COB 的一个法向量， 设二面角E CO B --的平面角为q ，则q 为钝角，所以cos cos ,m n m n m n q ×=-=-==r r r rr r 所以二面角E CO B --的余弦值为 【点睛】17. 某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占%a .为减轻工作量，随机地按n 人一组分组，然后将各组n 个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这n 个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（1）若0.2,20,a n ==试估算该小区化验的总次数；（2）若0.9a =，且每人单独化验一次花费10元，n 人混合化验一次花费9n +元，求当n为何值时，每个居民化验的平均费用最少.注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当00.01p <<时，(1)1n p np -»-.【答案】（1）270 （2）10【解析】【分析】（1）设每组居民需化验的次数为X ，确定其取值，分别求概率，进而可得期望，即得；（2）设每组n 人总费用为Y 元，结合条件计算，然后表示出结合基本不等式即得.【小问1详解】设每组需要检验的次数为X ，若混合血样为阴性，则1X =，若混合血样呈阳性，则21X =， 所以20(1)(10.002)P X ==-，20(21)1(10.002)P X ==--， 所以202020()1(10.002)21[1(10.002)]2120(10.002)E X =´-+´--=-´-2120(1200.002) 1.8»-´-´=一共有300020150¸=组，故估计该小区化验的总次数是1.8150270´=.【小问2详解】设每组n 人总费用为Y 元，若混合血样呈阴性，则9Y n =+；若混合血样呈阳性，则119Y n =+，故(9)(10.009)n P Y n =+=-，(119)1(10.009)n P Y n =+=--()(9)0.991(119)(10.991)11100.9919n n n E Y n n n n =+×++×-=-´+每位居民的化验费用为()11100.99199911100.9911110(10.009)n n E Y n n n n n n n-´+==-´+»-´-+=911100.091 2.8n n -++³+=元 当且仅当90.09n n=，即10n =时取等号，故10n =时，每个居民化验的平均费用最少.18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+uuu r uuu r uuu r，且1mn =.设动点P 形成的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的标准方程；（2）过点()2,2T 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22144x y -=（2）不存在直线l 符合题意，理由见解析【解析】【分析】（1）设(),P x y ，则由OP mOA nOB =+uuu r uuu r uuu r，可得x m n =+，y m n =-，再结合1mn =，消去,m n ，即可得曲线C 的标准方程，（2）判断直线l 的斜率存在，设l ：()22y k x =-+，设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入曲线C 的方程，化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式表示出MN 的中点H 的坐标，利用弦长公式表示出MN ，表示出线段MN 的中垂线方程，求出其与与x 轴的交点坐标为4,01k Q k æöç÷+èø，而AB 的中垂线为x 轴，所以若A ，B ，M ，N 共圆，则圆心为4,01k Q k æöç÷+èø，从而由2222224MNQA QM QH HM QH ==+=+列方程求解即可.【小问1详解】设(),P x y ，则(),OP x y =uuu r，()1,1OA =uuu r ，()1,1OB =-uuu r ，因为OP mOA nOB =+uuu r uuu r uuu r，所以()()()(),1,11,1,x y m n m n m n =+-=+-，所以x m n =+，y m n =-，所以2x y m +=，2x yn -=，又122x y x y mn +-=×=，整理得22144x y -=，即曲线C 的标准方程为22144x y -=；【小问2详解】易知当l 的斜率不存在时，直线l 与曲线C 没有两个交点，所以直线l 的斜率存在，设l ：()22y k x =-+，将直线l 与曲线C 联立，得22(2)2144y k x x y =-+ìïí-=ïî，消去y ，整理得()22212(22)4880kxk k x k k ----+-=，因为()()22224(22)4148832(1)0k k kkk k D =----+-=->且210k -¹，所以1k <且1k ¹-，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1241k x x k +=+，21224881k k x x k -+=-，所以MN 的中点22,11kH k k æöç÷++èø，且1x M N =-=，将1241k x x k +=+，21224881k k x x k -+=-代入上式，整理得4MN =当0k ¹时，线段MN 的中垂线方程为1l ：12214111k y x x k k k k k æö=--+=-+ç÷+++èø，令y ＝0，解得41k x k =+，即1l 与x 轴的交点坐标为4,01k Q k æöç÷+èø，当k ＝0时，线段MN 的中垂线为y 轴，与x 轴交于原点，符合Q 点坐标，因为AB 的中垂线为x 轴，所以若A ，B ，M ，N 共圆，则圆心为4,01k Q k æöç÷+èø，所以2222224MNQA QM QH HM QH ==+=+，所以()2222281442211111(1)(1)k k k k k k k k k +-æöæöæö-+=++ç÷ç÷ç÷++++-èøèøèø，整理得32622100k k k -++=，即()22(1)3450k k k +-+=，因为1k <且1k ¹-，所以上述方程无解，即不存在直线l 符合题意.19. 在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ¢¢=+¢-+-+×××+-+×××（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数*3,N n n ³Î），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式.当00x =时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如e x 在0x =处的麦克劳林公式为：22111e 12!3!x n x x x x n =++++++L L ！，由此当0x ³时，可以非常容易得到不等式223111e 1,e 1,e 1,226x x x x x x x x x ³+³++³+++L 请利用上述公式和所学知识完成下列问题：（1）写出sin x 在0x =处的泰勒展开式.（2）若30,2x æö"Îç÷èø，sin e 1a xx >+恒成立，求a 的范围;（参考数据5ln 0.92»）（3）估计5ln3的近似值（精确到0.001）【答案】（1）1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++-L L ； （2）1a ³； （3）0.511【解析】【分析】（1）求导，根据题意写出sin x 在0x =处的泰勒展开式；（2）结合sin x 在0x =处的泰勒展开式，构造函数证明3310,,sin 26x x x x æö"Î>-ç÷èø，再令31()ln(1)6g x x x x =--+，30,2x æöÎç÷èø，求导得到函数单调性，证明出30,,()02x g x æö"Î>ç÷èø，当1a ³时，31sin sin ln(1)6a x x x x x ³>->+ ，满足要求，当1a <时，令()sin ln(1)h x a x x =-+，30,2x æöÎç÷èø，易求得(0)10h a ¢=-<，所以必存在一个区间(0,)m ，使得()h x 在(0,)m 上单调递减， 所以(0,)x m Î时，()(0)0h x h <=，不合要求，从而得到答案；（3）求出ln(1)x +和ln(1)x -的泰勒展开式，得到35122ln 2135x x xx x +=+++-L ，令14x =，估计5ln3的近似值.【小问1详解】()sin cos x x ¢=，()cos sin x x ¢=-，()sin cos x x ¢-=-，()cos sin x x ¢-=，其中cos 01,sin 00==，sin x 在0x =处的泰勒展开式为：1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++-L L ，【小问2详解】因为1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++-L L ，由sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x æö"Î>-ç÷èø，令3211()sin ,()cos 1,()sin 62f x x x x f x x x f x x x =-+¢=-+¢¢=-，()1cos f x x ¢¢¢=-，易知()0f x ¢¢¢>，所以()f x ¢¢在30,2æöç÷èø上单调递增，所以()(0)0f x f ¢¢>¢¢=，所以()f x ¢在30,2æöç÷èø上单调递增，所以()(0)0f x f ¢>¢=，所以()f x 在30,2æöç÷èø上单调递增，所以()(0)0f x f >=，再令31()ln(1)6g x x x x =--+，30,2x æöÎç÷èø，易得1(1)(2)2()1x x x g x x --+¢=+，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在31,2æöç÷èø上单调递减，而3155(0)0,ln 02162g g æö==->ç÷èø，所以30,,()02x g x æö"Î>ç÷èø恒成立，当1a ³时，31sin sin ln(1)6a x x x x x ³>->+ ，所以sin e 1a x x >+成立，当1a <时，令()sin ln(1)h x a x x =-+，30,2x æöÎç÷èø，易求得(0)10h a ¢=-<，所以必存在一个区间(0,)m ，使得()h x 在(0,)m 上单调递减， 所以(0,)x m Î时，()(0)0h x h <=，不符合题意. 综上所述，1a ³.【小问3详解】因为1154ln ln,1314+=-转化研究1ln 1x x +-的结构，23456ln(1)23456x x x x x x x +=-+-+-+L ，23456ln(1)23456x x x x x x x -=-------L ，两式相减得35122ln 2135x x x x x +=+++-L ，取1,4x =得35512121ln 2((0.5108343454=´+´+´+»L ，所以估计5ln 3的近似值为0.511（精确到0.001）.【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：()21e 12!!n x n x x x o x n +=+++++L ，()()()352122sin 13!5!21!n n n x x x x x o x n ++=-+-+-++L ，()()()24622cos 112!4!6!2!nn n x x x xx o x n =-+-++-+L ，()()()2311ln 11231n n n x x xx x o x n +++=-+-+-++L ，()2111n n x x x o x x =+++++-L ，()()()221112!nn n x nx x o x -+=+++。

2018-2019学年高2016级高三10学月统一检测数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}21|<≤-=x x A ，{}21|≤<-=x x B ，则=B A （ ▲ ） )2,1.(-A ]2,1.(-B ]2,1.[-C )2,1.[-D2. 若复数z 满足i z z 232-=+，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ▲ ）i A 21.+ i B 21.- i C 21.+- i D 21.--3. 设R y x ∈>,0，则""y x >是|"|"y x >的（ ） .A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4. 命题"01,"20300≤+-∈∃x x R x 的否定是（ ▲ ）01,.23>+-∈∀x x R x A 01,.20300<+-∈∃x x R x B 01,.20300≥+-∈∃x x R x C 01,.23≤+-∈∀x x R x D5. 已知33)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)2,4(-上为（ ▲ ）.A 增函数 .B 增函数 .C 先增后减 .D 先减后增6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ▲ )12.A 18.B 24.C 30.D7. 我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想，如图所示的框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图，若输入,6,2,110011===n k a 则输出b 的值为 ( ▲ )19.A 31.B 51.C 63.D 8. 函数)1()(<<-=b a exx f x ，则 ( ▲ ) )()(.b f a f A = )()(.b f a f B <)()(.b f a f C > )(),(.b f a f D 大小关系不能确定 9. 函数221x x ln )x (f -=的图象大致是 ( ▲ )10. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在c b a ,,三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有（ ▲ ）96.A 种 124.B 种 130.C 种 150.D 种11 . 等差数列}{n a 的公差是d ，且前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ▲ ）7.S A 8.S B 13.S C 15.S D12. 已知椭圆)b (a b y a x :C 01112122121>>=+与双曲线)b ,(a b y a x :C 001222222222>>=-有相同的焦点21F ,F ，若点P是1C 与2C 在第一象限内的交点，且2212PF F F =,设1C 与2C 的离心率分别为21e ,e ，则12e e -的取值范围是( ▲)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，31.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31.B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21.C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21.D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数x x x f sin )(2=，则过点），（4π2π2的切线方程为 ▲ ．14. 实数x ，y 满足不等式组 ，则11-+=x y Z 的最小值为 ▲ ．15. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158-22=++x y x ，若直线2-kx y =上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为 ▲16. 已知定义在R 上的偶函数)(x f 在[），∞0+上递减，若不等式)1(2≥)1-ln -()1ln -(f x ax f x ax f +++对[)3,1∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲三、解答题：共70分。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三数学10月月考试题 理一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1、已知集合(){}(){}11lg 1,042<+<-==-=x x B x x x A ，则=⋂B A （ ）A {}2,0B {}2,0,2-C {}0D {}22、若1sin 3α=，则cos 2α= （ ）A 89B 79C 79-D 89- 3、已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= （ ） A 1- B 1 C21 D 21- 4、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A 2πB 3πC 4πD 6π 5、定积分()=-⎰xxde x 12 （ ）A e 2B e +2C eD e -26、若函数()()2ln 4,2--==x x x h x x g ，则函数()()()x h x g x f -=的所有零点之和为（ ）A 0B 2C 4D 8 7、已知πα<<0，51cos sin =+αα，则=α2tan ( ) A. 43-B. 43C. 724D. 724- 8、已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 （ ） A ()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ()f x 的最小正周期为2π，最大值为49、已知函数()x f 是定义域为R 上的奇函数，且()x f 的图像关于直线1-=x 对称，当10≤≤x 时，()23x x x f -=，则()=2019f （ ）A 2-B 2C 0D 310、若函数()xxax x f 4143++=，如果()65=f ，则()=-5f （ ） A 6- B 5- C 4- D 011、若直线b ax y +=与曲线()1ln -=x x f 相切，则=+b a 2ln 2 （ ）A 4 B41C 4-D 2- 12、已知()()()x x x g ax x e x f x +-=++=-ln ,2，若对于任意0<x ，不等式()()x g x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A (]e ,∞- B (]1,+∞-e C [)+∞+,2e D (]2,+∞-e二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、求值:020sin 135cos 20cos -=_____________14、已知函数()xe xf x-=1，给出下列命题：①()x f 没有零点；②()x f 在()1,0上单调递增； ③()x f 的图象关于原点对称； ④()x f 没有极值其中正确的命题的序号是_____________ 15、若函数()32232--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x ax x f 在R 上的最小值为49，则函数()x f 的单调递减区间为_____16、已知定义域为R 的函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()x f x f 2>'，如果e f =⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则不等式()2ln x x f <的解集为_________三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17、（本小题满分12分）已知命题p ：()aa x x f 2122+-=的定义域为R ；命题q ：函数()122++=x ax x g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21上单调递减；命题r ：函数()()a kx x x h -+=2lg 的值域为R ． （I ）若命题p 是假命题，q 是真命题，求实数a 的取值范围；（II ）若“命题q 是假命题”是“命题r 为真命题”的必要不充分条件，求实数k 的取值范围．18、（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b＝2. （I ）求c ；（II ）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．19、（本小题满分12分）已知∆ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a (sin A-sin B )=(c-b )(sin C+sinB ).（I ）求角C ；（II ）若c=7，∆ABC 的面积为233，求△ABC 的周长.20、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin(5π6－2x )－2sin(x －π4)cos(x ＋3π4).（I ）求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；（II ）若x ∈[π12，π3]，且F (x )＝－4λf (x )－cos(4x －π3)的最小值是－32，求实数λ的值．21、（本小题满分12分）设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.（I）求f(x)的单调区间;（II）若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22、[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,x tαy tα=+⎧⎨=+⎩（t为参数）．（I）求C和l的直角坐标方程；（II）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数()5|||2|f x x a x=-+--．（I）当1a=时，求不等式()0f x≥的解集；（II）若()1f x≤，求a的取值范围．高三年级月考考试数学试题(理科)答案16、选择题：ABDCDC CBABCD二、填空题：13、2- 14、①④ 15、(]1,-∞- 16、 ()e ,0三、解答题 17、23、解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，得c ＝－6(舍去)或c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.19、解:(1)由a (sin A-sin B )=(c-b )(sin C+sin B )及正弦定理,得a (a-b )=(c-b )(c+b ),即a 2+b 2-c 2=ab. 所以cos C==,又C ∈(0,π),所以C=.(2)由(1)知a 2+b 2-c 2=ab ,所以(a+b )2-3ab=c 2=7.又S=21ab sin C=43ab=233,所以ab=6,所以(a+b )2=7+3ab=25,即a+b=5.所以△ABC 周长为a+b+c=5+7.20、解(1)∵f (x )＝sin5π6－2x －2sin x －π4cos x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin2x－π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2) F (x )＝－4λf (x )－cos4x －π3＝－4λsin2x －π6－1－2sin 22x －π6＝2sin 22x －π6－4λsin2x －π6－1＝2sin2x －π6－λ2－1－2λ2.∵x ∈π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2，∴0≤sin2x －π6≤1.①当λ<0时，当且仅当sin2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.21、解:(1)由f (x )=(x-1)3-ax-b ,可得f'(x )=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:(i)当a ≤0时,有f'(x )=3(x-1)2-a ≥0恒成立,所以f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞). (ii)当a>0时,令f'(x )=0,解得x=1+33a 或x=1-33a .当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化如下-∞,1- 1-,1+ 1+,+∞+所以f (x )的单调递减区间为1-,1+,单调递增区间为-∞,1-,1+,+∞.(2) 证明:因为f (x )存在极值点,所以由(1)知a>0,且x 0≠1.由题意,得f'(x 0)=3(x 0-1)2-a=0,即(x 0-1)2=3a ,进而f (x 0)=(x 0-1)3-ax 0-b=-32a x 0-3a -b.又f (3-2x 0)=(2-2x 0)3-a (3-2x 0)-b=38a (1-x 0)+2ax 0-3a-b=-32a x 0-3a -b=f (x 0),且3-2x 0≠x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0),且x 1≠x 0,因此x 1=3-2x 0, 所以x 1+2x 0=3.22、[选修4－4：坐标系与参数方程]解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，①当直线的斜率不存时，x=1．无解故舍去．②当直线的斜率存在时，利用中点坐标公式，，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．23．[选修4－5：不等式选讲]解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．。

2019届四川成都七中高三10月段测数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则（________ ） A． B．C．________ D．2. 已知，则复数（_________ ）A． B． C． D．3. 设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，该点恰好在区域的概率为（________ ）A． B． C． D．4. 若随机变量服从正态分布，则（）A．________ B． C． D．15. 已知函数，在0处的导数为27，则（________ ）A．-27 B．27________ C．-3________ D．36. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为？（________ ）A．4________ B．3.5 C．3________ D．4.57. 化简（________ ）A．1________ B． C．________ D．8. 已知在中，，，，是上的点，则到的距离的乘积的最大值为（________ ）A．3________ B．2________ C． D．99. 已知的内角所对的边分别为，若，，则角的度数为（________ ）A． B． C． D．10. 如果某射手每次射击击中目标的概率为0.74，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标儿几次（________ ）A．6________ B．7________ C．8________ D．911. 函数的定义域为，以下命题正确的是（________ ）①同一坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称；②函数的图象既关于点成中心对称，对于任意，又有，则的图象关于直线对称；③函数对于任意，满足关系式，则函数是奇函数.A．①②___________ B．①③______________ C．②③______________ D．①②③12. 定义域为的连续可导函数，若满足以下两个条件：① 的导函数没有零点，②对，都有 .则关于方程有（________ ）个解.A．2_________ B．1_________ C．0 D．以上答案均不正确二、填空题13. 已知的二项式展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则________________________ .14. 已知函数，若，则的范围是________________________ .15. 设为平面上过点的直线，的斜率等可能的取，用表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望________________________ .16. 已知三次函数，下列命题正确的是________________________ .①函数关于原点中心对称；②以，两不同的点为切点作两条互相平行的切线，分别与交于两点，则这四个点的横坐标满足关系；③以为切点，作切线与图像交于点，再以点为切点作直线与图像交于点，再以点作切点作直线与图像交于点，则点横坐标为；④若，函数图像上存在四点，使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.三、解答题17. 等差数列的前项和为，已知，为整数，且.（ 1 ）求的通项公式；（ 2 ）设，求数列的前项和的最大值.18. 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，， .（ 1 ）证明：；（ 2 ）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值的大小.19. 调查表明，高三学生的幸福感与成绩，作业量，人际关系的满意度的指标有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标的值评定高三学生的幸福感等级：若，则幸福感为一级；若，则幸福感为二级；若，则幸福感为三级. 为了了解目前某高三学生群体的幸福感情况，研究人员随机采访了该群体的10名高三学生，得到如下结果：（ 1 ）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的成绩满意度指标相同的概率；（ 2 ）从幸福感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，从幸福感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.20. 已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（ 1 ）求椭圆的标准方程；（ 2 ）已知点，和面内一点，过点任作直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，若，试求满足的关系式.21. 已知函数 .（ 1 ）当时，求函数的最大值；（ 2 ）函数与轴交于两点且，证明：.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（ 1 ）求曲线的普通方程，并将的方程化为极坐标方程；（ 2 ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求 .23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（ 1 ）当时，求不等式的解集；（ 2 ）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2019-2020学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1. 已知集合A={x|x2+x−2≤0, x∈R}，B={x|x=2k, k∈Z}，则A∩B等于()A.{0, 1}B.{−2, 0}C.{−1, 0}D.{−4, −2}2. 若∫(1x2+mx)dx=0，求m()A.1 3B.23C.−23D.−133. 已知a=2−13，b=log213，c=log1213，则a,b,c的大小关系为()A.b>c>aB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a4. 函数f(x)=x2−1|x|的图象大致为()A. B. C. D.5. 函数y=4x2+1x的单调增区间为()A.(0, +∞)B.(12，+∞) C.(−∞, −1) D.(−∞,−12)6. 已知下列命题：①∀x∈R，|x−1|+|x+2|>2；②函数f(x)=lg1x+x2−3的零点有2个；③x>2是x2−3x+2>0的充分不必要条件；④命题：∀x∈R，x3−x2−1≤0的否定是：∃x∈R，x3−x2−1>0．其中真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ☰n(modm)，例如10☰2(mod4)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A.13B.11C.15D.88. “φ=3π4”是函数“y =cos 2x 与函数y =sin (2x +φ)在区间[0, π4]上的单调性相同”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分与不必要条件9. 双曲线C ：x 2a 2−y 2=1(a >0)的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若|PO|=|PF|，则S △OPF 的最小值为( )A.14B.12C.1D.210. 某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有( )A.120种B.150种C.114种D.118种11. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x −2)=f(x +2)，且当x ∈[−2, 0]时，f(x)=(12)x −1，若函数g(x)=f(x)−log a (x +2)(a >1)在区间[−2, 6]内恰有三个零点，则实数a 的取值范围( )A.√43<a <2B.1<a <2C.√43<a <3D.√43<a <312. 已知函数f(x)=x 2−2x ，g(x)=ax +2(a >0)，若∀x 1∈[−1, 2]，∃x 2∈[−1, 2]，使得f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是( )A.(0,12]B.[0,3]C.(0, 3]D.[3, +∞)二、填空题(x −1)(ax +1)4的展开式中含x 3项的系数为2，则a 的值为________．已知直线x +2y tan α+1=0的斜率为18，则cos 2α+cos (3π2+2α)=________.已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的直径为________．已知函数f(x)={ln x,x ≥11e (x +2)(x −m)，x <1（m 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在点A(e, 1)处的切线与该函数图象恰好有三个公共点，则实数m 的取值范围________．三、解答题△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin (A +C)=8sin 2B 2．(1)求cos B ；(2)若a +c =6，△ABC 的面积为2，求b ．市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占领了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程，并预测该企业 2017年7月份的市场份额.(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数（单位：天）统计图.设销售产品数量为s ，经统计，当 0≤s ≤200 时，企业每天亏损约为200万元；当0≤s ≤400 时，企业平均每天收入约为400万元；当s >400 时，企业平均每天收入约为700万元.①设该企业在六月份每天收入为X ，求X 的数学期望；②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200万元的概率.附：回归直线的方程是y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑（n i=1x i −x ¯)(y i −y ¯)∑(n i=1x i −x ¯)2，a ̂=y ¯−b ̂x ¯， ∑(6i=1x i −x ¯)(y i −y ¯)=35.如图，在☰ABCD 中，∠A =30∘，AD =√3，AB =2，沿BD 将△ABD 翻折到△A ′BD 的位置，使平面 A ′BC ⊥ 平面 A ′BD .(1)求证： A ′D ⊥ 平面BCD ；(2)若在线段A ′C 上有一点M 满足A ′M →=λA ′C →，且二面角M −BD −C 的大小为60∘ ，求λ的值.已知函数 f(x)=a ln x −e x .(1)讨论f(x) 的极值点的个数；(2)若a =2，求证：f(x)<0.在极坐标系中，圆C ：ρ=4cos θ.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线l经过点M(−1,−3√3)且倾斜角为α.(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)已知直线l与圆C交于A,B，满足A为MB的中点，求α.参考答案与试题解析2019-2020学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】运用二次不等式的解法，化简集合A，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合A={x|x2+x−2≤0, x∈R}={x|−2≤x≤1, x∈R}，B={x|x=2k, k∈Z}，则A∩B={−2, 0}．故选B.2.【答案】C【考点】定积分【解析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差，由积分值为0求得m 的值．【解答】解：∵∫(10x2+mx)dx=(13x3+12mx2)|01=13+12m=0，∴m=−23．故选C.3.【答案】C【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 0<a=2−13<20=1，b=log213<log21=0，c=log1213=log23>log22=1，∴ c>a>b.故选C.4.【答案】D【考点】函数图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故排除A；∵ f(−x)=(−x)2−1|−x|=x2−1|x|=f(x)，∴ f(x)是偶函数，故排除B,C.故选D.5.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．【解答】解：∵y′=8x−1x2，令y′>0，解得：x>12，∴函数的递增区间是(12, +∞).故选B.6.【答案】D【考点】全称命题与特称命题必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用【解析】根据条件分别判断四个命题的真假即可．【解答】解：①∀x∈R，|x−1|+|x+2|≥|−2−1|=3，∴∀x∈R，|x−1|+|x+2|>2为真命题，故①正确，+x2−3的定义域为(0, +∞)，②函数f(x)=lg1x+x2−3=0得−lg x+x2−3=0，由f(x)=lg1x即lg x=x2−3，则两个函数y=lg x和y=x2−3的图象如图所示，由图象知两个函数有2个交点，即函数f(x)有2个零点，故②正确，③由x2−3x+2>0得x>2或x<1，即x>2是x2−3x+2>0的充分不必要条件，故③正确，④命题：∀x∈R，x3−x2−1≤0的否定是：∃x∈R，x3−x2−1>0．故④正确，故正确的是①②③④，共4个，故选D.7.【答案】A【考点】程序框图【解析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】解：第一步：n=9，9☰0(mod3)，执行“否”；第二步：n=10,10☰1(mod3)，执行“是” ，10☰0(mod5) ,执行”否”；第三步：n=11,11☰2(mod3) ,执行“否”；第四步；n=12,12☰0(mod3) ,执行“否”；最后：n=13,13☰1(mod3) ,执行“是”，13☰3(mod5) ,执行“是”，输出n的值，故选A.8.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断正弦函数的单调性【解析】根据二次函数的性质得到函数的对称轴结合函数的单调性求出即可．【解答】解：由题意可知，函数y=cos2x在区间[0, π4]上是单调递减的，当φ=3π4时，函数y=sin(2x+φ)=sin(2x+3π4)在区间[0, π4]上也是单调递减的，故充分性成立；当φ=2π3时，函数y=sin(2x+φ)=sin(2x+2π3)在区间[0, π4]上也是单调递减的，故必要性不成立.故选A.9.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的应用基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：双曲线C:x 2a2−y2=1(a>0)的右焦点为F(c,0)，即(√1+a2,0)，渐近线方程y=±xa,设点P(m,ma),m>0,若|PQ|=|PF|，可得m=c2=12√1+a2，则S△OPF=12|OF|⋅|y p|=12⋅√1+a2⋅√1+a22a=14(a+1a)≥14×2=12，当且仅当a=1时，上式取得等号，则S△OPF的最小值为12.故选B.10.【答案】C【考点】分类加法计数原理【解析】此题暂无解析【解答】解：将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，五种荣誉分3组：类型2，2，1；类型3，1，1.2，2，1类型:共有12C51C42−C32=12 ,则不同的分配方法有：12A33=72种方法.3，1，1类型：共有2×C32⋅A33+A33=42种方法，每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与”新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有：72+42=114种.故选C.11.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f(x−2)=f(x+2)，∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称，周期T=4，又∵当x∈[−2, 0]时，f(x)=(12)x−1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，若在区间[−2, 6]内关于x的方程f(x)−loga(x+2)=0恰有3个零点，则函数y=f(x)与y=loga(x+2)在区间[−2, 6]上有三个不同的交点，如图所示：又f(−2)=f(2)=3，则有loga (2+2)<3，且loga(6+2)>3，解得：√43<a<2，故选A.12.【答案】D【考点】函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)=x2−2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称，∴x1∈[−1, 2]时，f(x)的最小值为f(1)=−1，最大值为f(−1)=3，可得f(x1)值域为[−1, 3].又∵g(x)=ax+2(a>0)，x2∈[−1, 2]，∴g(x)为单调增函数，g(x2)值域为[g(−1), g(2)]，即g(x2)∈[2−a, 2a+2].∵∀x1∈[−1, 2]，∃x2∈[−1, 2]，使得f(x1)=g(x2)，∴{2−a≤−1，2a+2≥3⇒a≥3.故选D．二、填空题【答案】1或−12【考点】二项式定理的应用【解析】把所给的二项式展开，观察分析求得展开式中含x4项的系数，再根据此系数等于30，求得得正数a的值．【解答】解：(ax+1)4展开式的通项公式为T r+1=C4r(ax)4−r(1)r=C4r a4−r x4−r(r=0,1,2,3,4)，所以展开式中含x3项的系数为a2(C42−C41a)=6a2−4a3，由题可知，6a2−4a3=2，2a3−3a2+1=0，2a2(a−1)−(a2−1)=0，即(a−1)(2a2−a−1)=0⇒(a−1)2(2a+1)=0⇒a=1或a=−12.故答案为：1或−12.【答案】−23 17【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 直线x+2y tanα+1=0的斜率为18，∴−12tanα=18，∴tanα=−4，∴cos2α+cos(3π2+2α)=cos2α+sin2α=cos2α−sin2α+2sinαcosαcos2α+sin2α=1−tan2α+2tanα1+tan2α=1−16−8 1+16=−2317.故答案为：−2317.【答案】13【考点】球内接多面体【解析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．【解答】解：因为三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=√52+122=13，所以球的直径为：13．故答案为：13.【答案】(−3+2√2，23)∪(−∞,−3−2√2)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程根的存在性及根的个数判断【解析】利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x<1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求得a的取值范围．【解答】解：当x≥1，函数f(x)的导数，f′(x)=1x ，则f′(e)=1e，则在A(e, 1)处的切线方程为y −1=1e (x −e)，即y =1e x ． 当x ≥1时，切线和函数f(x)=ln x 有且只有一个交点，∴ 要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，如图，则当x <1时，函数f(x)=1e (x +2)(x −m)=1e x ，有两个不同的交点，即(x +2)(x −m)=x ，在x <1时，有两个不同的根，设g(x)=(x +2)(x −m)−x =x 2+(1−m)x −2m ，则满足{ Δ=(1−m)2−4⋅(−2m)>0，g(1)>0，−1−m 2<1， 即{m 2+6m +1>0，1+1−m −2m >0，m <2，∴ {m >−3+2√2或m <−3−2√2，m <23，m <2， 解得m <−3−2√2或−3+2√2<m <23，即实数m 的取值范围是(−3+2√2，23)∪(−∞,−3−2√2)． 故答案为：(−3+2√2，23)∪(−∞,−3−2√2)． 三、解答题【答案】解：(1)由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2B2， 故sin B =4(1−cos B)．上式两边平方，整理得17cos 2B −32cos B +15=0，解得cos B =1（舍去），cos B =1517．(2)由cos B =1517得sin B =817， 故S △ABC =12ac sin B =417ac ．又S △ABC =2，则ac =172．由余弦定理及a +c =6得b 2=a 2+c 2−2ac cos B=(a +c)2−2ac(1+cos B)=36−2×172×(1+1517)=4．所以b =2．【考点】二倍角的余弦公式余弦定理正弦定理【解析】本题考查倍角公式、解三角形．【解答】解：(1)由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2B 2，故sin B =4(1−cos B)．上式两边平方，整理得17cos 2B −32cos B +15=0，解得cos B =1（舍去），cos B =1517． (2)由cos B =1517得sin B =817， 故S △ABC =12ac sin B =417ac ．又S △ABC =2，则ac =172．由余弦定理及a +c =6得b 2=a 2+c 2−2ac cos B=(a +c)2−2ac(1+cos B)=36−2×172×(1+1517)=4． 所以b =2．【答案】解：(1)由题意，x ¯=1+2+3+4+5+66=3.5, y ¯=11+13+16+15+20+216=16，∑(6i=1x i −x ¯)2=17.5, b ̂=2 ， 由a ̂=y ¯−b ̂x ¯得 a ̂=16−2×3.5=9,则y ̂=2x +9.当x =7时， y ̂=2×7+9=23，所以预测该企业2017年7月的市场份额为 23%.解：(2)①设该企业每天亏损约为200万元为事件A ，平均每天收入约达到400万元为事件B ，平均每天收入约达到700万元为事件C ,P(A)=0.1, P(B)=0.2, P(C)=0.7故X 的分布列为所以E(X)=−200×0.1+400×0.2+700×0.7=550 （万元）.②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.P =0.23+C 32×0.72×0.1+C 32×0.72×0.2+C 32×0.22×0.7+0.73=0.876.所以该企业在未来三天总收入不低于1200万元的概率为0.876.【考点】离散型随机变量的期望与方差求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意，x ¯=1+2+3+4+5+66=3.5, y ¯=11+13+16+15+20+216=16，∑(6i=1x i −x ¯)2=17.5, b ̂=2 ， 由a ̂=y ¯−b ̂x ¯得 a ̂=16−2×3.5=9,则y ̂=2x +9.当x =7时， y ̂=2×7+9=23，所以预测该企业2017年7月的市场份额为 23%.解：(2)①设该企业每天亏损约为200万元为事件A ，平均每天收入约达到400万元为事件B ，平均每天收入约达到700万元为事件C ,P(A)=0.1, P(B)=0.2, P(C)=0.7故X 的分布列为所以E(X)=−200×0.1+400×0.2+700×0.7=550 （万元）.②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.P =0.23+C 32×0.72×0.1+C 32×0.72×0.2+C 32×0.22×0.7+0.73=0.876.所以该企业在未来三天总收入不低于1200万元的概率为0.876.【答案】解：(1)在△ABD 中，由余弦定理，可得 BD =1.∴ BD 2+AD 2=AB 2，∴ ∠ADB =90∘，∴ ∠DBC =90∘.作DF ⊥A ′B 于点F ，∵ 平面A ′BC ⊥ 平面 A ′BD ，平面 A ′BC ∩平面 A ′BD =A ′B, ∴ DF ⊥平面 A ′BC.∵ CB ⊂平面 A ′BC ，∴ DF ⊥BC .又∵ CB ⊥BD, BD ∩DF =D, ∴ CB ⊥ 平面 A ′DB ,又∵ A ′D ⊂ 平面 A ′DB, ∴ CB ⊥A ′D ，又A ′D ⊥BD, BD ∩CB =B ，∴ A ′D ⊥平面CBD .(2)由(1)知DA,DB,DA ′两两垂直，以D 为原点，以DA →方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则B(0,1,0) ，C(−√3,1,0) ，A ′(0,0,√3).设M(x,y,z)， 则由A ′M →=λA ′C →⇒{x =−√3λ，y =λ，z −√3=−√3λ⇒M(−√3λ，λ，√3−√3λ).设平面MDB 的一个法向量为 m →=(a,b,c)则由{m →⋅DB →=0，m →⋅DM →=0，⇒{b =0,−√3λa +λb +(√3−√3λ)c =0，取a =1−λ⇒c =λ⇒m →=(1−λ,0,λ).平面CBD 的一个法向量可取DA ′→=(0,0,√3)，∴ |cos DA ′→,m →|=12⇒√3λ√3⋅√λ2+(λ−1)2 =12⇒λ=−1±√32. ∵ λ∈[0,1],∴ λ=√3−12.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABD 中，由余弦定理，可得 BD =1.∴ BD 2+AD 2=AB 2，∴ ∠ADB =90∘，∴ ∠DBC =90∘.作DF ⊥A ′B 于点F ，∵ 平面A ′BC ⊥ 平面 A ′BD ，平面 A ′BC ∩平面 A ′BD =A ′B, ∴ DF ⊥平面 A ′BC.∵ CB ⊂平面 A ′BC ，∴ DF ⊥BC .又∵ CB ⊥BD, BD ∩DF =D, ∴ CB ⊥ 平面 A ′DB ,又∵ A ′D ⊂ 平面 A ′DB, ∴ CB ⊥A ′D ，又A ′D ⊥BD, BD ∩CB =B ，∴ A ′D ⊥平面CBD .(2)由(1)知DA,DB,DA ′两两垂直，以D 为原点，以DA →方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则B(0,1,0) ，C(−√3,1,0) ，A ′(0,0,√3).设M(x,y,z)， 则由A ′M →=λA ′C →⇒{x =−√3λ，y =λ，z −√3=−√3λ⇒M(−√3λ，λ，√3−√3λ).设平面MDB 的一个法向量为 m →=(a,b,c)则由{m →⋅DB →=0，m →⋅DM →=0，⇒{b =0,−√3λa +λb +(√3−√3λ)c =0，取a =1−λ⇒c =λ⇒m →=(1−λ,0,λ).平面CBD 的一个法向量可取DA ′→=(0,0,√3)，∴ |cos DA ′→,m →|=12⇒√3λ√3⋅√λ2+(λ−1)2 =12⇒λ=−1±√32. ∵ λ∈[0,1],∴ λ=√3−12.【答案】解：(1)根据题意可得，f ′(x)=a x −e x =a−xe xx (x >0)，当a ≤0时，f ′(x)<0，函数y =f(x) 是减函数，无极值点； 当a >0时，令f(x)=0 ,得a −xe x =0，即xe x =a . 又a =xe x 在(0,+∞)上存在一解，不妨设为 x 0， 所以函数 y =f(x) 在(0,x 0) 上是单调递增的，在(x 0,+∞)上是单调递减的， 所以函数 y =f(x) 有一个极大值点，无极小值点. 总之：当 a ≤0 时，无极值点；当a >0 时，函数 y =f(x) 有一个极大值点，无极小值点. (2)f(x)=2ln x −e x ,f ′(x)=2−xe xx (x >0)，由(1)可知f(x)有极大值f(x 0) ，且 x 0 满足 x 0e x 0=2①，又y =xe x 在(0,+∞)上是增函数，且 0<2<e ，所以 x 0∈(0,1).又知： f(x)max =f(x 0)=2ln x 0−e x 0，②由①可得e x 0=2x 0， 代入②得f(x)max =f(x 0)=2ln x 0−2x 0， 令g(x)=2ln x −2x ， 则g ′(x)=2x +2x 2=2(x+1)x 2>0恒成立，所以g(x)在(0,1) 上是增函数，所以 g(x 0)<g(1)=−2<0 ，即g(x 0)<0，所以f(x)<0.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据题意可得，f′(x)=ax −e x=a−xe xx(x>0)，当a≤0时，f′(x)<0，函数y=f(x)是减函数，无极值点；当a>0时，令f(x)=0 ,得a−xe x=0，即xe x=a.又a=xe x在(0,+∞)上存在一解，不妨设为x0，所以函数y=f(x)在(0,x0)上是单调递增的，在(x0,+∞)上是单调递减的，所以函数y=f(x)有一个极大值点，无极小值点.总之：当a≤0时，无极值点；当a>0时，函数y=f(x)有一个极大值点，无极小值点.(2)f(x)=2ln x−e x,f′(x)=2−xe xx(x>0)，由(1)可知f(x)有极大值f(x0)，且x0满足x0e x0=2①，又y=xe x在(0,+∞)上是增函数，且0<2<e，所以x0∈(0,1).又知：f(x)max=f(x0)=2ln x0−e x0，②由①可得e x0=2x0，代入②得f(x)max=f(x0)=2ln x0−2x0，令g(x)=2ln x−2x，则g′(x)=2x +2x2=2(x+1)x2>0恒成立，所以g(x)在(0,1)上是增函数，所以g(x0)<g(1)=−2<0，即g(x0)<0，所以f(x)<0.【答案】解：(1)由圆C：ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，因为ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，所以x2+y2=4x，即(x−2)2+y2=4.直线l：{x=−1+t cosα,y=−3√3+t sinα（t为参数，0≤α<π）.(2)设A，B对应的参数分别为t A，t B，将直线l的方程代入C并整理，得t2−6t(√3sinα+cosα)+32=0，所以t A+t B=6(√3sinα+cosα)，t A⋅t B=32.又A为MB的中点，所以t B=2t A，因此t A=2(√3sinα+cosα)=4sin(α+π6)，t B=8sin(α+π6)，所以t A⋅t B=32sin2(α+π6)=32，即sin2(α+π6)=1.因为0≤α<π，所以π6≤α+π6<7π6，从而α+π6=π2，即α=π3.【考点】直线的参数方程圆的极坐标方程直线和圆的方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由圆C：ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，因为ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，所以x2+y2=4x，即(x−2)2+y2=4.直线l：{x=−1+t cosα,y=−3√3+t sinα（t为参数，0≤α<π）.(2)设A，B对应的参数分别为t A，t B，将直线l的方程代入C并整理，得t2−6t(√3sinα+cosα)+32=0，所以t A+t B=6(√3sinα+cosα)，t A⋅t B=32.又A为MB的中点，所以t B=2t A，因此t A=2(√3sinα+cosα)=4sin(α+π6)，t B=8sin(α+π6)，所以t A⋅t B=32sin2(α+π6)=32，即sin2(α+π6)=1.因为0≤α<π，所以π6≤α+π6<7π6，从而α+π6=π2，即α=π3.。

2019-2020学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1. 设集合A={x∈N|−2<x<4}，集合B={x|x2+x−2≤0}，则A∩B=()A.{x|−2≤x<4}B.{−2,−1,0,1,2,3}C.{x|−2<x≤1}D.{0,1}2. 已知复数z满足z+z⋅i=3+i，则复数z的共轭复数为()A.1+2iB.1−2iC.2+iD.2−i3. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.π6+13B.π12+1 C.π12+13D.π4+134. 实数对(x,y)满足不等式组{x−y−2≤0，x+2y−5≥0，y−2≤0，则目标函数z=(x−1)2+y2的最小值为()A.4√55B.4 C.165D.25. 根据如图所示程序框图，当输入x为6时，输出的y=()A.1B.2C.5D.106. 在各项均为正数的等比数列{a n}中a6=3，则4a4+a8=( )A.有最小值12B.有最大值12C.有最大值9D.有最小值97. 下面命题正确的是()<1”的充分必要条件A.“a>1”是“1aB.命题“若x2<1，则x<1”的否命题是“若x≥1，则x2≥1”C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件5)，8. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，若a=f(log12b=f(log4.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系是()2A.a<b<cB.${cC.${bD.c<a<b9. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断正确的是()①平面PB1D⊥平面ACD1；②A1P//平面ACD1；]；③异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是(0,π3④三棱锥D1−APC的体积不变.A.①②B.①②④C.③④D.①④10. 关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x, y)(0<x <1, 0<y <1)；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值．那么可以估计π的值约为( ) A.mnB.n−m nC.4(n−m)nD.4m n11. 已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，当|PF||PA|取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A.√3+1 B.√2+1 C.√5+12D.√2+1212. 已知⊙C:(x −2)2+(y −2)2=2，O 为坐标原点，OT 为⊙C 的一条切线，点P 为⊙C 上一点且满足OP →=λOT →+μOC →(其中 λ≥√33,μ∈R )，若关于λ,μ的方程OP →⋅CT →=t存在两组不同的解，则实数t 的取值范围为( ) A.[√3−2,0) B.(√3−2,0) C.[√3−3,0) D.(√3−3,0)二、填空题已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点F 1(−2,0)，右焦点F 2到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为________.在(x 2−2x −3)4的展开式中，含x 6的项的系数是________.数列{a n }的首项a 1=2，且a n+1=3a n +2(n ∈N ∗)，若数列{b n }中b n =log 3(a n +1)，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S20192019=________.对于函数y=f(x)，若其定义域内存在两个不同的实数x1，x2，使得f(x i)x i=1(i=1,2)成立，则称函数f(x)具有性质G，若函数f(x)=a ln x具有性质G，则实数a的取值范围是________.三、解答题在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且满足cos Bcos C +−2a+bc=0.(1)求角C的值；(2)若b=2，AB边上的中线CD=√3，求△ACD的面积.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各个水果是否为不合格品相互独立．(1)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，求f(p)取最大值时p的值p0；(2)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用(a∈N∗)．①若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF // AB，EF⊥FB，∠BFC=90∘，BF=FC，H为BC的中点.(1)求证：AC⊥平面EDB；(2)求直线AH与平面BCE所成角的正弦值.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于√32，点P(2, √3)，Q(2, −√3)在椭圆C上，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，直线AB与直线PQ交于点M.(1)若直线AB的斜率为√36，求四边形APBQ面积的最大值；(2)当A，B运动时，满足|PA|⋅|BM|=|PB|⋅|AM|，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．已知函数f(x)=ln x+x−ax2，a∈R.(1)设g(x)=f(x)+(a−3)x，试讨论函数g(x)的单调性；(2)当a=−2时，若存在正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)+3x1x2=0，求证：x1+x2>12.已知函数f(x)=|2x−a|+|x+2a|.(1)当a=2时，解不等式f(x)≥1；(2)求函数g(x)=f(x)+f(−x)的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年四川省成都市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：已知集合A={x∈N|−2<x<4}，则A={0,1,2,3}，集合B={x|x2+x−2≤0}，则(x−1)(x+2)≤0，即−2≤x≤1，所以集合B={x|−2≤x≤1}，则A∩B={0,1}.故选D.2.【答案】C【考点】共轭复数复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵复数z满足z+z⋅i=3+i，∴z=3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−i，则复数z的共轭复数为2+i.故选C.3.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体由一个三棱锥与一个圆锥的14组成．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个三棱锥与一个圆锥的14组成．∴该几何体的体积：V=14×13×π×12×1+13×12×2×1×1=π12+13．故选C.4.【答案】C【考点】求解非线性目标函数的最值-有关距离简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：根据不等式作出可行域：则z的几何意义为点(1,0)到可行域距离的平方，据图可知该点到x+2y−5=0的距离最小，故z min=(|1−5|√1+22)2=165.故选C.5.【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=−3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，输入x=6，得x=3，满足条件x≥0，循环：x=0，满足条件x≥0，循环：x=−3，不满足条件x≥0，此时y=(−3)2+1=10,所以输出y的值为10．故选D．6.【答案】A【考点】数列与不等式的综合基本不等式等比数列的通项公式【解析】由题意设出等比数列的公比，把a4、a8用a6和公比表示，然后利用基本不等式求得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，∵a6=3，∴a4=a6q2=3q2,a8=a6q2=3q2，∴4a4+a8=12q2+3q2≥2√12q2⋅3q2=12．当且仅当q=√2时上式等号成立．故4a4+a8有最小值12.故选A.7.【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用命题的否定【解析】根据充要条件的定义，逐一分析四个答案的真假，最后综合讨论结果，可得结论．【解答】解：“a>1”⇔“0<1a<1”，故“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故A错误；命题“若x2<1，则x<1”的否命题是：“若x2≥1，则x≥1”，故B错误；当“x≥2且y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，但“x2+y2≥4”时，“x≥2且y≥2”不一定成立，故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，D正确.故选D.8.【答案】B【考点】对数值大小的比较函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，则在(0,+∞)上单调递增，则a=f(log125)=f(−log25)=f(log25)，而log25>log24.1，则a>b；又∵log24.1>log24=2，20.8<21=2，则20.8<log24.1，∴c<b.故c<b<a.故选B.9.【答案】B【考点】平面与平面垂直的判定异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD1，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，①正确；连接A1B,A1C1，容易证明平面BA1C1//平面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P//平面ACD1，②正确；V三棱锥D1−APC =V三棱锥C−AD1P，因为C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变，所以三棱锥A−D1PC的体积不变，④正确；当P与线段BC1的端点重合时，A1P与AD1所成角取得最小值π3，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取得最大值π2，故A1P与A1D所成角的范围是[π3,π2]，③错误.①②④正确. 故选B . 10.【答案】 C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】500对都小于l 的正实数对(x, y)满足{0<x <10<y <1 ，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对(x, y)，满足x 2+y 2>1且{0<x <10<y <1 ，x +y >1，面积为1−π4，由此能估计π的值． 【解答】解：由题意，n 对都小于1的正实数对(x, y)满足{0<x <1,0<y <1, 面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对(x, y)， 满足cos α=x 2+y 2−122xy>0且{0<x <1,0<y <1,即x 2+y 2>1且{0<x <10<y <1，x +y >1，面积为1−π4，因为统计两数能与1构成锐角三角形三边的数对(x, y) 的个数m ， 所以mn =1−π4，所以π=4(n−m)n．故选C .11.【答案】 B【考点】 抛物线的性质 双曲线的离心率 抛物线的标准方程 抛物线的定义 直线的点斜式方程 直线的倾斜角【解析】 此题暂无解析 【解答】解：过P 作准线的垂线，垂足为N ，如图：∵点F为抛物线焦点，点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，∴F(0,1)，A(0,−1)，则由抛物线的定义可得|PF|=|PN|，=m，设|PF||PA|∴|PN|=m，|PA|设PA的倾斜角为α，则sinα=m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx−1，代入x2=4y，可得x2=4(kx−1)，即x2−4kx+4=0，∴Δ=16k2−16=0，∴k=±1，∴P(2, 1)，∴双曲线的实轴长为|PA|−|PF|=2(√2−1)，∴a=√2−1，c=1，∴双曲线的离心率为1=√2+1．√2−1故选B.12.【答案】A【考点】向量的线性运算性质及几何意义空间直线的向量参数方程向量在几何中的应用向量的共线定理根的存在性及根的个数判断【解析】此题暂无解析【解答】解：如图：OT为⊙C的切线，则OT →⋅CT →=0,易知C(2，2)，OC =2√2，r =√2， ∴ ∠COT =30∘，∠OCT =60∘， OP →⋅CT →=(λOT →+μOC →)⋅CT →=λOT →⋅CT →+μOC →⋅CT →=μOC →⋅CT →=t .∴ OC →⋅CT →=−2√2×√2×12=−2， ∴ −2μ=t .而OC →⋅OT →=−2√2×√6×√32=6，CP →=OP →−OC →=λOT →+μOC →−OC →=λOT →+(μ−1)OC →.∴ CP →2=λ2OT →2+2(μ−1)λOT →×OC →+(μ−1)2OC →2， ∴ 2=6λ2+12λ(μ−1)+8(μ−1)2， 1=3λ2+6λ(μ−1)+4(μ−1)2，∴ 3λ2+6λ(μ−1)+4(μ−1)2−1=0， ∴ Δ=36(μ−1)2−4×3×[4(μ−1)2−1] =−12(μ−1)2+12>0. 解得0<μ<2. ∵ λ≥√33时，OP →×CT →=t 存在两个不同的解，∴ 令f(λ)=3λ2+6λ(μ−1)+4(μ−1)2−1， 则{f(√33)≥0，−6(μ−1)6>√33解得{μ≤1−√32或μ≥1,μ<1−√33，故μ≤1−√32， 又0<μ<2，∴ 0<μ≤1−√32， 又−2μ=t ， ∴ √3−2≤t <0. 故选A . 二、填空题 【答案】x 23−y 2=1 【考点】双曲线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 双曲线左焦点为F 1(−2,0)，∴ c =2， 又∵ 双曲线右焦点F 2到渐近线的距离为1， 此渐近线方程为y =ba x ，F 2(2,0)， ∴ d =|2b a−0|√(ba)2+1=1，即2b a c a=1，得2b =c =2，b =1，a 2=c 2−b 2=3， 故这个双曲线的方程为：x 23−y 2=1.故答案为：x 23−y 2=1.【答案】 12【考点】二项式定理的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：在(x 2−2x −3)4的展开式中，含x 6的项为：C 43(x 2)3×(−3)1×(−2x)0+C 42(x 2)2×(−3)0×(−2x)2=4×(−3)×x 6+4×32×4×x 6 =12x 6，则含x 6的项的系数是12. 故答案为：12. 【答案】 1010 【考点】 数列递推式 等比数列【解析】此题暂无解析【解答】解：由a n+1=3a n+2变形为a n+1+1=3(a n+1)，∴数列{a n+1}是等比数列，首项为3，公比为3，∴a n+1=3n，即a n=3n−1.∴b n=log3(a n+1)=log33n−1+1=log33n=n，∴S20192019=2019(1+2019)2×2019=1010.故答案为：1010.【答案】(e,+∞)【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=a ln x(x>0)具有性质G，则f(x)x =a ln xx=1(x>0)有两个解，即f(x)=a ln x与y=x有两个交点，如图：则f′(x)=ax，令f′(x)=1，则x=a，当x=a时，a ln a=a，此时，a=e，所以当a=e时，f(x)与y=x有一个交点，由图可知当a>e时，f(x)=a ln x与y=x有两个交点., 即当a>e时，函数f(x)=a ln x具有G性质.故答案为：(e,+∞).三、解答题【答案】解：(1)∵cos Bcos C +−2a+bc=0，由正弦定理得：cos Bcos C +−2sin A+sin Bsin C=0，即cos B⋅sin C+cos C(−2sin A+sin B)=0，从而sin(B+C)−2sin A cos C=0，即sin A −2sin A cos C =0. 又△ABC 中，sin A >0， ∴ cos C =12得C =π3.(2)由CD →=12(CA →+CB →)两边平方得：3=14(22+a 2+2×2×a ×cos 60∘)， 从而a =2或a =−4(舍)，故S △ABC =12ab sin C =12×2×2×sin 60∘=√3， ∴ S △ACD =√32. 【考点】两角和与差的正弦公式 解三角形 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)∵ cos Bcos C +−2a+b c=0，由正弦定理得： cos B cos C +−2sin A+sin Bsin C=0，即cos B ⋅sin C +cos C(−2sin A +sin B)=0， 从而sin (B +C)−2sin A cos C =0， 即sin A −2sin A cos C =0. 又△ABC 中，sin A >0， ∴ cos C =12得C =π3.(2)由CD →=12(CA →+CB →)两边平方得：3=14(22+a 2+2×2×a ×cos 60∘)，从而a =2或a =−4(舍)，故S △ABC =12ab sin C =12×2×2×sin 60∘=√3，∴ S △ACD =√32. 【答案】解：(1)记10个水果中恰有2个不合格的概率为f(p)，则f(p)=C 102p 2(1−p)8，∴ f′(p)=C 102[2p(1−p)8−8p 2(1−p)7]=90p(1−p)7(1−5p)， 由f′(p)=0，得p =0.2．且当p ∈(0, 0.2)时，f′(p)>0，当p ∈(0.2, 1)时，f′(p)<0， ∴ f(p)的最大值点p 0=0.2； (2)由(1)知p =0.2．①令Y 表示余下的70个水果中的不合格数，依题意Y ∼B(70, 0.2)，X =10×1.5+aY =15+aY ．∴ E(X)=E(15+aY)=15+aE(Y)=15+a ×70×0.2=15+14a ． ②如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，=7.5，且a∈N∗，由15+14a>120，得a>10514∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布的应用【解析】（1）恰有2个不合格的概率f(p)可以根据n次独立重复试验的概率求法表示出来，转化成函数的最值，(2)(ⅰ)根据余下的水果中的不合格数服从二项分步，可以求出余下水果赔偿费用，得到X的表达式，进而得到X的期望．(ⅱ)当赔偿费用大于检验费用时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验，列出关于a的不等式，求解即可．【解答】解：(1)记10个水果中恰有2个不合格的概率为f(p)，则f(p)=C102p2(1−p)8，∴f′(p)=C102[2p(1−p)8−8p2(1−p)7]=90p(1−p)7(1−5p)，由f′(p)=0，得p=0.2．且当p∈(0, 0.2)时，f′(p)>0，当p∈(0.2, 1)时，f′(p)<0，∴f(p)的最大值点p0=0.2；(2)由(1)知p=0.2．①令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意Y∼B(70, 0.2)，X=10×1.5+aY=15+aY．∴E(X)=E(15+aY)=15+aE(Y)=15+a×70×0.2=15+14a．②如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，=7.5，且a∈N∗，由15+14a>120，得a>10514∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．【答案】(1)证明：记AC与BD的交点为G，连接EG，GH，由四边形ABCD是正方形，有AB⊥BC，又EF // AB，∴EF⊥BC，而EF⊥FB，BC∩FB=B，∴EF⊥平面BFC，则EF⊥FH．∴AB⊥FH，又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．∵AB∩BC=B，∴ FH ⊥平面ABCD ，则FH ⊥AC ．∵ GH =12AB =EF ，且EF//AB ，GH//AB ，∴ EF//GH ，则四边形EFGH 是矩形， ∴ AC ⊥EG ．又AC ⊥BD ，EG ∩BD =G ， ∴ AC ⊥平面EDB .(2)解：以GA ，GB ,GE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，A(√2,0,0),B(0,√2,0),C(−√2,0,0),H(−√22,√22,0)，F(−√22,√22,1），E(0,0,1)，∴ AH →=(−3√22,√22,0),BC→=(−√2,−√2,0),BE →=(0,−√2,1)，设平面BCE 的法向量为 n →=(x,y,z) ， 则{−√2x −√2y =0,−√2y +z =0，所以n →=(−1,1,√2)， sin θ=|cos <AH →，n →>|=√105， 即直线AH 与平面BCE 所成角的正弦值为√105. 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面垂直的判定【解析】（1）记AC 与BD 的交点为G ，连接EG ，GH ，由已知可得AB ⊥BC ，且EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ，由线面垂直的判定可得EF ⊥平面BFC ，进一步得到EF ⊥FH ．则AB ⊥FH ，再由已知可得FH ⊥BC ．则FH ⊥平面ABCD ，得到AC ⊥EG ．结合AC ⊥BD ，可得AC ⊥平面EDB ；（2）由EF ⊥FB ，∠BFC =90∘，可得BF ⊥平面CDEF ，求出BF =FC =√2．代入三棱锥体积公式可得求四面体B −DEF 的体积． 【解答】(1)证明：记AC 与BD 的交点为G ，连接EG ，GH ，由四边形ABCD 是正方形，有AB ⊥BC ， 又EF // AB ，∴ EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ，BC ∩FB =B ， ∴ EF ⊥平面BFC ，则EF ⊥FH ． ∴ AB ⊥FH ，又BF =FC ，H 为BC 的中点， ∴ FH ⊥BC ． ∵ AB ∩BC =B ，∴ FH ⊥平面ABCD ，则FH ⊥AC ．∵ GH =12AB =EF ，且EF//AB ，GH//AB ，∴ EF//GH ，则四边形EFGH 是矩形， ∴ AC ⊥EG ．又AC ⊥BD ，EG ∩BD =G ， ∴ AC ⊥平面EDB .(2)解：以GA ，GB ,GE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， A(√2,0,0),B(0,√2,0),C(−√2,0,0),H(−√22,√22,0)，F(−√22,√22,1），E(0,0,1)，∴ AH →=(−3√22,√22,0),BC →=(−√2,−√2,0),BE →=(0,−√2,1)，设平面BCE 的法向量为 n →=(x,y,z) ， 则{−√2x −√2y =0,−√2y +z =0，所以n →=(−1,1,√2)， sin θ=|cos <AH →，n →>|=√105， 即直线AH 与平面BCE 所成角的正弦值为√105. 【答案】解：(1)椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， ∵ 点P(2, √3)，Q(2, −√3)在椭圆C 上，代入方程得： ∴ 4a 2+3b 2=1，① 又∵ 离心率等于√32， ∴ ca =√32②，a 2=b 2+c 2③，联立①②③，解得： ∴ a =4，c =2√3，b =2， 可得椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =√36x +t ，联立{y =√36x +t,x 2+4y 2=16,，得x 2+√3tx +3t 2−12=0，由Δ>0，计算得出−4√33<t <4√33，∴ x 1+x 2=−√3t ，x 1x 2=3t 2−12，∴ |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√48−9t 2．∴ 四边形APBQ 面积S =12×2√3×|x 1−x 2|=√3⋅√48−9t 2， 当t =0时，S max =12．(2)∵ |PA|⋅|BM|=|PB|⋅|AM|， ∴ |PA||PB|=|AM||BM|，∴ PQ 为∠APB 的角平分线，此时k PA +k PB =0.则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ， 直线PA 的方程为：y −√3=k(x −2)， 联立{y −√3=k(x −2)，x 2+4y 2=16，化为(1+4k 2)x 2+8k(√3−2k)x +4(√3−2k)2−16=0， ∴ x 1+2=8k(2k−√3)1+4k 2，同理可得：x 2+2=−8k(−2k−√3)1+4k 2=8k(2k+√3)1+4k 2，∴ x 1+x 2=16k 2−41+4k2，x 1−x 2=−16√3k1+4k 2， k AB =y 1−y 2x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4kx 1−x 2=√36． ∴ 直线AB 的斜率为定值√36． 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线y =−2上，可得−b =−2，解得b ．又ca =√32，a 2=b 2+c 2，联立解得即可． 【解答】解：(1)椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， ∵ 点P(2, √3)，Q(2, −√3)在椭圆C 上，代入方程得： ∴ 4a 2+3b 2=1，① 又∵ 离心率等于√32，∴ ca =√32②，a 2=b 2+c 2③，联立①②③，解得： ∴ a =4，c =2√3，b =2， 可得椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =√36x +t ，联立{y =√36x +t,x 2+4y 2=16,，得x 2+√3tx +3t 2−12=0，由Δ>0，计算得出−4√33<t <4√33，∴ x 1+x 2=−√3t ，x 1x 2=3t 2−12，∴ |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√48−9t 2．∴ 四边形APBQ 面积S =12×2√3×|x 1−x 2|=√3⋅√48−9t 2， 当t =0时，S max =12．(2)∵ |PA|⋅|BM|=|PB|⋅|AM|， ∴ |PA||PB|=|AM||BM|，∴ PQ 为∠APB 的角平分线，此时k PA +k PB =0.则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ， 直线PA 的方程为：y −√3=k(x −2)， 联立{y −√3=k(x −2)，x 2+4y 2=16，化为(1+4k 2)x 2+8k(√3−2k)x +4(√3−2k)2−16=0， ∴ x 1+2=8k(2k−√3)1+4k 2，同理可得：x 2+2=−8k(−2k−√3)1+4k 2=8k(2k+√3)1+4k 2，∴ x 1+x 2=16k 2−41+4k2，x 1−x 2=−16√3k1+4k 2， k AB =y 1−y 2x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4kx 1−x 2=√36． ∴ 直线AB 的斜率为定值√36． 【答案】解：(1)∵ g(x)=f(x)+(a −3)x =ln x +x −ax 2+(a −3)x =ln x −ax 2+(a −2)x ，∴ g ′(x)=1x −2ax +(a −2) =−(ax+1)(2x−1)x (x >0).①若a ≥0，则当x ∈(0，12)时，g ′(x)>0，∴ 函数g(x)在(0，12)上单调递增；当x ∈(12，+∞)时，g ′(x)<0，函数g(x)在(12，+∞)上单调递减. ②若a <0，g ′(x)=−a(x+1a )(2x−1)x (x >0)，当a <−2时，易得函数g(x)在(0，−1a )和(12，+∞)上单调递增，在(−1a ，12)上单调递减；当a =−2时，g ′(x)≥0恒成立，∴ 函数g(x)在(0，+∞)上单调递增；当−2<a <0时，易得函数g(x)在(0，12)和(−1a ，+∞)上单调递增， 在(12，−1a )上单调递减.(2)证明：当a =−2时，f(x)=ln x +x +2x 2，∵ f(x 1)+f(x 2)+3x 1x 2=0，∴ ln x 1+x 1+2x 12+ln x 2+x 2+2x 22+3x 1x 2=0，即ln x 1x 2+2(x 12+x 22)+(x 1+x 2)+3x 1x 2=0，∴ 2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)=x 1x 2−ln x 1x 2.令 t =x 1x 2，φ(t)=t −ln t(t >0)，则φ′(t)=1−1t =t−1t (t >0)，当t ∈(0，1)时，φ′(t)<0，∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在(0，1)上单调递减；当t ∈(1，+∞)时，φ′(t)>0，∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在(1，+∞)上单调递增.∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在t =1时，取得最小值，最小值为1. ∴ 2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1，即2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)−1≥0∴ x 1+x 2≥12或x 1+x 2≤−1.∵ x 1，x 2为正实数,∴ x 1+x 2≥12.当x 1+x 2=12时，x 1x 2=1，此时不存在x 1，x 2满足条件，∴ x 1+x 2>12.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ g(x)=f(x)+(a −3)x=ln x +x −ax 2+(a −3)x=ln x −ax 2+(a −2)x ，∴ g ′(x)=1x −2ax +(a −2) =−(ax+1)(2x−1)x (x >0).①若a ≥0，则当x ∈(0，12)时，g ′(x)>0，∴ 函数g(x)在(0，12)上单调递增；当x ∈(12，+∞)时，g ′(x)<0，函数g(x)在(12，+∞)上单调递减. ②若a <0，g ′(x)=−a(x+1a )(2x−1)x (x >0)，当a <−2时，易得函数g(x)在(0，−1a )和(12，+∞)上单调递增，在(−1a ，12)上单调递减； 当a =−2时，g ′(x)≥0恒成立，∴ 函数g(x)在(0，+∞)上单调递增；当−2<a <0时，易得函数g(x)在(0，12)和(−1a ，+∞)上单调递增， 在(12，−1a )上单调递减.(2)证明：当a =−2时，f(x)=ln x +x +2x 2，∵ f(x 1)+f(x 2)+3x 1x 2=0，∴ ln x 1+x 1+2x 12+ln x 2+x 2+2x 22+3x 1x 2=0，即ln x 1x 2+2(x 12+x 22)+(x 1+x 2)+3x 1x 2=0，∴ 2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)=x 1x 2−ln x 1x 2.令 t =x 1x 2，φ(t)=t −ln t(t >0)，则φ′(t)=1−1t =t−1t (t >0)，当t ∈(0，1)时，φ′(t)<0，∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在(0，1)上单调递减；当t ∈(1，+∞)时，φ′(t)>0，∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在(1，+∞)上单调递增.∴ 函数φ(t)=t −ln t(t >0)在t =1时，取得最小值，最小值为1. ∴ 2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1，即2(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)−1≥0∴x1+x2≥12或x1+x2≤−1.∵x1，x2为正实数,∴x1+x2≥12.当x1+x2=12时，x1x2=1，此时不存在x1，x2满足条件，∴x1+x2>12.【答案】解：(1)当a=2时，|2x−2|+|x+1|≥1，x≤−1时，2−2x−x−1≥1，得x≤0，即有x≤−1，−1<x<1时，2−2x+x+1≥1，得x≤2，即有−1<x<1，x≥1时，2x−2+x+1≥1，得x≥23，即有x≥1，综上，不等式f(x)≥1的解集为R．(2)g(x)=f(x)+f(−x)=|2x−a|+|x+2a |+|−2x−a|+|−x+2a|=|2x−a|+|2x+a|+|x+2a|+|x−2a|≥|(2x−a)−(2x+a)|+|(x+2a)−(x−2a)|=|2a|+|4 a |≥2√|2a||4a|=4√2，当且仅当(2x−a)(2x+a)≤0，(x+2a )(x−2a)≤0且|2a|=|4a|时取“=”，函数g(x)的最小值为4√2．【考点】绝对值不等式绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用函数的最值及其几何意义【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g(x)的最小值即可．【解答】解：(1)当a=2时，|2x−2|+|x+1|≥1，x≤−1时，2−2x−x−1≥1，得x≤0，即有x≤−1，−1<x<1时，2−2x+x+1≥1，得x≤2，即有−1<x<1，x≥1时，2x−2+x+1≥1，得x≥23，即有x≥1，综上，不等式f(x)≥1的解集为R．(2)g(x)=f(x)+f(−x)=|2x−a|+|x+2a |+|−2x−a|+|−x+2a|=|2x−a|+|2x+a|+|x+2a|+|x−2a|≥|(2x−a)−(2x+a)|+|(x+2a)−(x−2a)|=|2a|+|4 a |≥2√|2a||4a|=4√2，当且仅当(2x−a)(2x+a)≤0，(x+2a )(x−2a)≤0且|2a|=|4a|时取“=”，函数g(x)的最小值为4√2．。

四川省成都市外国语中学2019-2020学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D略2. 设函数,则（▲ ）（A）在（0，）单调递增，其图像关于直线x=对称（B）在（0，）单调递增，其图像关于直线x=对称（C）在（0，）单调递减，其图像关于直线x=对称（D）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x=对称参考答案：D3.一个棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为A． B． C． D．参考答案：答案：A4. 设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆交l于B、D两点，若∠ABD=90°，△ABF的面积为3，则p=（）A． 1 B．C． 2 D．参考答案：B5. 函数的大致图象是参考答案：D略6. 已知复数（其中，是虚数单位），则的值为（）A． B．C．0 D．2参考答案：C7. 函数，当时，则此函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．参考答案：B8. 若命题，，则是（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：D【详解】因存在性命题的否定是全称命题,改写量词后否定结论，所以是，故应选D．9. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=，现有周长为10+2的△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．12参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：，则a：b：c=2：3：，∵△ABC周长为10+2，即a+b+c=10+2，∴a=4，b=6，c=2，所以S==6，故选：A10. 抛物线的准线方程是（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：B解析：P=，准线方程为y=，即，选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线与圆相交于，两点，是优弧上任意一点，则=___________参考答案：答案：12. 从甲、乙、丙3名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；试验法；概率与统计．【分析】用列举法求出从甲、乙、丙3人中选2人的基本本事件数以及甲被选中的基本事件数，求出对应的概率即可．【解答】解：从甲、乙、丙3名候选学生中选2名，基本事件是甲乙，甲丙，乙丙共3种，其中甲被选中的基本事件是甲乙和甲丙，共2种；所求的概率为P=．故答案为：．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．13. 已知抛物线C的参数方程为（t为参数），设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|=．参考答案：8把抛物线的参数方程化为普通方程，求出焦点F的坐标和准线方程，根据AF的斜率为，求得点A的坐标，进而求得点P的坐标，利用两点间的距离公式，求得|PF|的值．解：把抛物线C的参数方程（t为参数），消去参数化为普通方程为y2=8x．故焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，再由直线FA的斜率是﹣，可得直线FA的倾斜角为120°，设准线和x轴的交点为M，则∠AFM=60°，且MF=p=4，∴∠PAF=180°﹣120°=60°．∴AM=MF?tan60°=4，故点A（0，4），把y=4代入抛物线求得x=6，∴点P（6，4），故|PF|==8，故答案为8．为．参考答案：由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，其体积为：，下半部分是半个球，球的半径，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．15. 已知若向量与平行，则实数 .参考答案：16. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 . （用“”连接）参考答案：>>略17.如图，已知是半圆的直径，是延长线上一点，切半圆于点，于点，若，，则，。

四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合1，2，，，则的元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】解：集合1，2，，，1，，的子集个数为．故选：D．先求出集合A，B，再求出1，，由此能求出的子集个数．本题考查交集的子集个数的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题“若x，y都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是A. 若是偶数，则x与y不都是偶数B. 若是偶数，则x与y都不是偶数C. 若不是偶数，则x与y不都是偶数D. 若不是偶数，则x与y都不是偶数【答案】C【解析】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若不是偶数，则x与y不都是偶数”故选：C．若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x，y都是偶数的否定应为x与y不都是偶数．本题考查命题的逆否命题，属基础知识的考查，在写逆否命题时，注意量词的变化．3.执行如图所示的程序框图输出的结果是A. 8B. 6C. 5D. 3【答案】A【解析】解：模拟执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，不满足条件，退出循环，输出z的值为8．故选：A．模拟执行框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当时，不满足条件，退出循环，输出z的值为8．本题主要考查了程序框图和算法，依次得到每次循环x，y，x的值是解题的关键，属于基础题．4.已知，，那么为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，故选：D．由条件利用两角差的正切公式，求得的值．本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．5.设，则二项式展开式的常数项是A. 160B. 20C.D.【答案】D【解析】解：展开式的通项为令得故展开式的常数项是故选：D．利用微积分基本定理求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于0，求出常数项．本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题．6.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A. 24B. 30C. 10D. 60【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体，几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以该几何体的体积为：三棱柱三棱锥．故选：A．根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7.函数其中，的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】解：由函数的图象可得，由，可得．再根据五点法作图可得求得，故函数的解析式为由，故将的图象向左平移个单位，即可得到的图象．故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而求得函数的解析式，利用诱导公式可得，再根据函数的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，诱导公式，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．8.与圆及圆都外切的圆的圆心在A. 一个椭圆上B. 双曲线的一支上C. 一条抛物线上D. 一个圆上【答案】B【解析】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2．依题意得，，则，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：B．设动圆P的半径为r，然后根据动圆与圆及圆都外切得、，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．本题主要考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于基础题．9.如图，在正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法错误的是A. MN与垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与垂直【答案】D【解析】解：如图：连接，BD，在三角形中，，故C正确；平面ABCD，，与垂直，故A正确；，，与AC垂直，故B正确；，BD与AB成角，且，与成角，故D错误．故选：D．利用三角形中位线定理证明，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，再由异面直线所成角说明MN 与成角，则答案可求．本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，是基础题．10.设双曲线：的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：双曲线：的一个焦点为，渐近线方程为，若，可得，由F到渐近线的距离，，在直角三角形OAF中，，可得，在直角三角形OAB中，可得，由OF为的平分线可得，即，化为，由，可得，则．故选：C．设出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，由题意可得，运用点到直线的距离公式可得AF，BF，运用勾股定理和三角形的内角平分线定理，结合离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查内角平分线定理的运用，以及勾股定理的运用，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．11.定义在R上的函数满足：，且函数为奇函数给出以下3个命题：函数的周期是6；函数的图象关于点对称；函数的图象关于y轴对称其中，真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】解：由题意，，，，，的周期为6，正确；又函数为奇函数，图象关于原点对称，向左平移个单位得，所以关于点对称，正确；又是奇函数，，又，，，即，是偶函数，图象关于y轴对称，正确．综上，正确的命题序号是，共3个．故选：A．由，推导出的周期为6；由函数为奇函数，图象关于原点对称，通过左移得出关于点对称；根据是奇函数，且，得出是偶函数，图象关于y轴对称．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数图象平移与对称问题，是中档题．12.设是函数的极值点，数列中满足，，，若表示不超过x的最大整数，则A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】A【解析】解：函数的导数为，由是的极值点，可得，即，即有，设，可得，可得数列为首项为1，公比为2的等比数列，即有，则，则，，，，，故选：A．求得的导数，可得，即，结合构造等比数列，以及等比数列的定义和通项公式，对数的运算性质，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求极值点，考查数列恒等式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z满足是虚数单位，则z的虚部为______．【答案】【解析】解：由，得：．所以，z的虚部为．故答案为．把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以整理后可得复数z的虚部．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．14.麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为，则一个麻团的体积为______．【答案】【解析】解：根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等：设麻团球形半径r，可得长方体长宽，高为，长方体纸盒的表面积为，即，解得：，即，可得一个麻团的体积．故答案为：．根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等：设球形半径r，可得长方体长宽，高为，长方体纸盒的表面积为，即，即可求解r，可得一个麻团的体积．本题考查了球的问题，长方体表面积和球体积的求法属于基础题．15.若x，y满足不等式组，则目标函数的取值范围是______【答案】【解析】解：由x，y满足不等式组作出可行域如图，，联立，解得目标函数的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率加1．，．目标函数的取值范围是．故答案为：．由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率加1得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16.已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______【答案】【解析】解：，，．，，在时取得最小值．若，解可得，，则夹角的取值范围故答案为：由已知可得，，从而可得，结合二次函数的性质可求，进而可求本题主要考查了平面向量数量积的运算性质的简单应用，二次函数的性质的应用是求解本题的关键三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公比为整数的正项等比数列满足：，．求数列的通项公式；令，求数列的前n项和．【答案】解：设等比数列的公比为q，由，，，化为：，由，可得：，联立化为：，由，且q为整数，可解得，故．数列的通项公式为：．由．数列的前n项和，，，化为：．【解析】设等比数列的公比为q，由，，，化为：，由，可得：，联立解出即可得出．由利用错位相减法即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知函数．Ⅰ求函数的对称轴方程；Ⅱ将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象若a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，且，求b的值．【答案】解：Ⅰ函数，令，解得，所以函数的对称轴方程为．Ⅱ函数的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，所以函数．又中，，所以，又，所以，则由余弦定理可知，，所以．【解析】Ⅰ利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程．Ⅱ利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用余弦定理求得b的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，函数的图象变换规律，余弦定理，属于中档题．19.在直角梯形PBCD中，，，，A为PD的中点，如图将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，如图2．求证：平面ABCD；求二面角的正切值；在线段BC上是否存在点F，使平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．【答案】解法一：证明：在题图1中，由题意可知，，ABCD为正方形，所以在题图2中，，，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为，，所以平面SAB，分又平面SAB，所以，又，所以平面ABCD，分在AD上取一点O，使，连接EO．因为，所以所以平面ABCD，过O作交AC于H，连接EH，则平面EOH，所以．所以为二面角的平面角，．在中，．，即二面角的正切值为分当F为BC中点时，平面EAC，理由如下：取BC的中点F，连接DF交AC 于M，连接EM，，所以，又由题意，所以平面EAC，即当F为BC的中点时，平面分解法二：同方法一分如图，以A为原点建立直角坐标系，0，，0，，2，，2，，0，，易知平面ACD的法向为设平面EAC的法向量为y，由，所以，可取所以分所以所以即二面角的正切值为分设存在，所以平面EAC，设a，所以，由平面EAC，所以，所以，即，即1，为BC的中点分【解析】法一由题意可知，题图2中，易证，由根据直线与平面垂直的判定定理可得平面ABCD；三垂线法由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得，所以平面ABCD，过O作交AC于H，连接EH，为二面角的平面角，在中求解即可取BC中点F，所以，又由题意从而可得，所以有平面EAC法二：空间向量法同法一以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可由平面EAC，所以，利用向量数量的坐标表示，可求本题主要考查了空间直线与平面的位置关系：直线与平面平行及直线与平面平行的判定定理的运用，空角角中的二面角的平面角的作法及求解，利用向量的方法求解空间距离及空间角的方法．20.以椭圆C：的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由．【答案】解：Ⅰ依题意，得解得故椭圆C的标准方程为．Ⅱ，设，，，则由题意，可得，且，，，因为A，P，M三点共线，所以，故有，解得．同理，可得．假设存在满足题意的x轴上的定点，则有，即．因为，，所以，即，整理得，，又，，解得或．故以MN为直径的圆恒过x轴上的定点，．【解析】Ⅰ由题意可得，从而解得椭圆C的标准方程；Ⅱ易知，设，，，从而可得，且，，，从而化简可得，足题意的x轴上的定点化简可得，再结合解得．本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的判断与应用，同时考查了数形结合的思想及学生的化简运算能力，属于中档题．21.已知a，b实数，函数，函数．Ⅰ令，当时，试讨论函数在其定义域内的单调性；Ⅱ当时，令，是否存在实数b，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立？若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ根据题意，，，此时函数的定义域为，，故函数在内单调递增，在内单调递减．，，，此时函数的定义域为，令，，此时恒成立．令得，函数在，内单调递增，在，内单调递减．综上：当时，函数在，内单调递增，在，内单调递减．当时，函数在内单调递增，在内单调递减．Ⅱ当时，假设存在实数b满足条件，则在上恒成立．当时，可化为，令，，问题转化为：对任意恒成立；又，．．时，因为，故H，所以函数在时单调递减，，即，从而函数在时单调递增，故H，所以成立，满足题意；当，，因为，所以，记，则当时，，故H0'/>，所以函数在时单调递增，，从而函数在时单调递减，所以，此时不成立；所以当，恒成立时，；当时，可化为令，，问题转化为：，对任意的恒成立；又，．．时，，故H0'/>，所以函数在时单调递增，，即，从而函数在时单调递增，所以，此时成立；当时，若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时不成立；若，则，所以时，．故函数在上单调递减，，即，所以函数在时单调递减，所以，此时不成立；所以当，恒成立时，．综上所述，当，恒成立时，，从而实数b的取值集合为．【解析】Ⅰ根据题意，求出函数的解析式以及导数，分与两种情况讨论，利用导数与函数单调性的关系分析函数的单调性，综合2种情况即可得答案；Ⅱ根据题意，假设存在实数b满足条件，则在上恒成立，分情况讨论求出b的值，综合即可得答案．本题考查导数的性质以及应用，涉及含参数的导数的问题，注意对参数进行分类讨论．22.在直角坐标系xOy中，l是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度中，曲线C的极坐标方程为Ⅰ写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；Ⅱ若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求的取值范围．【答案】解：直线l的参数方程为为参数．曲线C的极坐标方程可化为．把，代入曲线C的极坐标方程可得，即．把直线l的参数方程为为参数代入圆的方程可得：．曲线C与直线相交于不同的两点M、N，，，又，．又，．，，，．的取值范围是．【解析】直线l的参数方程为为参数曲线C的极坐标方程可化为把，代入曲线C的极坐标方程即可得出．把直线l的参数方程为为参数代入圆的方程可得：由于曲线C与直线相交于不同的两点M、N，可得，可得．利用根与系数的关系，及，即可得出．本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．23.已知函数．求不等式；若函数的最小值为a，且，求的取值范围．【答案】解：由知，于是，解得，故不等式的解集为．由条件得，当且仅当时，其最小值，即．又，所以，故的取值范围为此时，．【解析】问题转化为，解出即可；求出的最小值，得到，根据基本不等式的性质求出其范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式性质，是一道中档题．。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2018-2019学年高2016级高三10学月统一检测数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}21|<≤-=x x A ，{}21|≤<-=x x B ，则=B A （ ▲ ） )2,1.(-A ]2,1.(-B ]2,1.[-C )2,1.[-D2. 若复数z 满足i z z 232-=+，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ▲ ）i A 21.+ i B 21.- i C 21.+- i D 21.--3. 设R y x ∈>,0，则""y x >是|"|"y x >的（ ） .A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4. 命题"01,"20300≤+-∈∃x x R x 的否定是（ ▲ ）01,.23>+-∈∀x x R x A 01,.20300<+-∈∃x x R x B 01,.20300≥+-∈∃x x R x C 01,.23≤+-∈∀x x R x D5. 已知33)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)2,4(-上为（ ▲ ）.A 增函数 .B 增函数 .C 先增后减 .D 先减后增6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ▲ )12.A 18.B 24.C 30.D7. 我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想，如图所示的框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图，若输入,6,2,110011===n k a 则输出b 的值为 ( ▲ )19.A 31.B 51.C 63.D 8. 函数)1()(<<-=b a e xx f x，则 ( ▲ ) )()(.b f a f A = )()(.b f a f B <)()(.b f a f C > )(),(.b f a f D 大小关系不能确定 9. 函数221x x ln )x (f -=的图象大致是 ( ▲ )10. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在c b a ,,三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有（ ▲ ）96.A 种 124.B 种 130.C 种 150.D 种11 . 等差数列}{n a 的公差是d ，且前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ▲ ）7.S A 8.S B 13.S C 15.S D12. 已知椭圆)b (a b y a x :C 01112122121>>=+与双曲线)b ,(a b y a x :C 001222222222>>=-有相同的焦点21F ,F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且2212PF F F =,设1C 与2C的离心率分别为21e ,e ，则12e e -的取值范围是( ▲ )⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，31.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31.B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21.C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21.D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数x x x f sin )(2=，则过点），（4π2π2的切线方程为 ▲ ．14. 实数x ，y 满足不等式组 ，则11-+=x y Z 的最小值为 ▲ ．15. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158-22=++x y x ，若直线2-kx y =上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为 ▲16. 已知定义在R 上的偶函数)(x f 在[），∞0+上递减，若不等式)1(2≥)1-ln -()1ln -(f x ax f x ax f +++对[)3,1∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲≥y 0≥-y x 0≥2--2y x三、解答题：共70分。