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北京市2017届高三综合练习文科数学第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。
满分100分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0 1 2A =，，,集合{}2B x x =>,则A B =( )A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅ 2．已知i 是虚数单位，则i i +-221等于（ ）A ．i -B ．i -54C ．i 5354- D ．i3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．11C ．312D ．3113．若数列{}na 的前n 项和为nS ，则下列命题：（1）若数列{}na 是递增数列,则数列{}nS 也是递增数列；（2)数列{}nS 是递增数列的充要条件是数列{}na 的各项均为正数；(3）若{}na 是等差数列(公差0d ≠），则120k S SS ⋅=的充要条件是120.k a a a ⋅=（4）若{}na 是等比数列，则120(2,)k S SS k k N ⋅=≥∈的充要条件是10.n n a a ++=其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（ )A ．3B ．—6C ．10D ．15-6．已知：命题p :“1=a 是2,0≥+>xa x x 的充分必要条件”；命题q ：“02,0200>-+∈∃x x R x”．则下列命题正确的是（)A ．命题“p ∧q "是真命题B ．命题“（┐p )∧q ”是真命题C ．命题“p ∧（┐q ）"是真命题D ．命题“（┐p ）∧（┐q ）”是真命题7．若空间三条直线a 、b 、c 满足,//a b b c ⊥,则直线a c 与( ） A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．一定垂直8．函数xx y ln = 的图象大致是（ ）9．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=（ ） A ．OH B ．OG C ．FO D ．EO10．设22)1(则,3005满足约束条件,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-的最大值为（ ）A ． 80B ． 45C ． 25D ．17211．若双曲线222(0)xy a a -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是第一象限内双曲线上的点.若直线PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，且(1)m m βα=>,那么α的值是( )A ．21m π- B ．2mπC ．21m π+ D ．22m π+12．若实数t 满足f t t =-(),则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x=()与函数e xg x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ,则( ）A ．0m <B ．0m =C ．01m <<D ．1m >第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=ABA. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，，D. {}134，， 2.（1+i ）（2+i ）=A.1-iB. 1+3iC. 3+iD.3+3i 3.函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为A.4πB.2πC. πD. 2π4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a5.若a ＞1，则双曲线x y a=222-1的离心率的取值范围是A. 2+∞（，）B. 22（，）C. 2（1，）D. 12（，）6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π7.设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩。
则2z x y =+ 的最小值是A. -15B.-9C. 1 D 98.函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(-∞,-2) B. (-∞,-1) C.(1, +∞) D. (4, +∞)9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩 10.执行右面的程序框图，如果输入的a =-1，则输出的S= A.2 B.3 C.4D.511.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110 B.15 C.310D.2512.过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为 A.5 B.22 C.23 D.33二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，0∈∞时，()322=+f x x x ,则()2=f15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，学|科网其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=三、解答题：共70分。
昌平区2017年高三第二次统一练习数学试卷（文科）（满分150分，考试时间120分钟）2017.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 设全集,集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故选B.2. 已知，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，，故选D.3. 若实数满足则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】画出表示的可行域，得在直线与直线的交点，由图知，目标函数在处的最小值为，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知直线和平面，满足.则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，，由线面平行的判定定理可得，若，，与，可以是异面直线，“”是“”的充分而不必要条件，故选A......................5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序框图，；；，退出循环，输出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6. 给定函数①，②，③，④，其中既是奇函数又在区间上是增函数的是A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】D【解析】对于①，即不是奇函数又不是偶函数，不合题意；对于②，在递减，不合题意；对于③，是偶函数，不合题意；对于④，，即是奇函数，又在上递增，合题意，故选D.7. 已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】恰有两个零点，等价于与有两个交点，同一坐标系，画出与的图象，直线过时，，直线与，相切时，由图知，时，两图象有两交点，即的取值范围是，故选C.【方法点睛】根据零点个数求参数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.8. 已知圆的圆心为，过原点的直线与圆交于两点.若的面积为,则满足条件的直线有A. 2条B. 4条C. 8条D. 无数条【答案】B【解析】设，的面积为，可得或，时，有条，时，有条，共条，故选B.第二卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. 设，若，则______ .【答案】【解析】,,故答案为.10. 某校从高三年级中随机选取200名学生，将他们的一模数学成绩绘制成频率分布直方图（如图）. 由图中数据可知__________ .若要从成绩在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从成绩在内的学生中选取的人数应为__________ .【答案】 (1). (2).【解析】直方图中各个矩形的面积之和为，，解得，由直方图可知，身高在范围内抽取的学生人数占三个区域内总人数的，，故答案为 .11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为_____________ .【答案】【解析】由三视图可知，三棱锥直观图如图，图中为棱的中点，正四棱柱底面边长为，高为，由直观图知，最长棱长为，故答案为.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. 双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线的右焦点恰是抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为____________.【答案】 (1). (2).【解析】，渐近线方程为，，双曲线右焦点为，即，抛物线准线方程为，故答案为，.13. 某校高三年级5个班进行拔河比赛，每两个班都要比赛一场.到现在为止，1班已经比了4场，2班已经比了3场，3班已经比了2场，4班已经比了1场，则5班已经比了______场.【答案】【解析】设①②、③、④、⑤分别代表、、、、班，① 赛了场，则①是和②、③、④、⑤每人赛了场；由于④只赛了场，则一定是找①赛的；②赛了场，是和①、③、⑤赛的；③赛了场，是和①、②赛的；所以此时⑤赛了场，即是和①、②赛的，每班的比赛情况可以用如图表示：答：⑤号已经比了场，即班已经比了场，故答案为.14. 设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则_______________.【答案】【解析】一个对称中心横坐标为，一条对称轴方程为，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15. 已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2)【解析】试题分析：(Ⅰ)根据题意列出关于首项与公差的方程组，求出首项及公差，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）由(Ⅰ)可得，利用等比数列求和公式可得结果.试题解析：(Ⅰ)设等差数列的首项为，公差为.依题意有即由，解得所以.（Ⅱ）所以.因为，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列.所以.16. 学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力.学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为三由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）从测试成绩均为或 的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率． 【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)根据抽到语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为，可得，从而可得进而可得；（Ⅱ）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式及对立事件概率公式可求出至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率.试题解析：(Ⅰ)依题意可知：语言表达能力或文字组织能力为的学生共有人.所以.所以.（Ⅱ）测试成绩均为或的学生共有7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为的有2人，设为，其余5人设为则基本事件空间.所以基本事件空间总数.选出的2人语言表达能力和文字组织能力均为B的有.所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为．【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式及对立事件概率公式，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17. 在中，的角平分线与边相交于点，且.(Ⅰ)求的长及的值；（Ⅱ）求的长．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)先根据余弦定理可得，再由正弦定理可得；（Ⅱ）先根据两角和的正弦公式可得，再根据正弦定理可得的长.试题解析：(Ⅰ)因为，所以.因为，所以（Ⅱ）因为，所以，因为，所以．18. 在四棱锥中，为正三角形，平面平面，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置并证明；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）存在，证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)先证明，再根据面面垂直的性质定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）先根据面面垂直的性质定理可得平面，再根据棱锥的体积公式可得结果；（Ⅲ）为的中点时，平面，根先证明平面平面，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面,所以平面平面.（Ⅱ）取的中点,连结.因为为正三角形，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以为三棱锥的高.因为为正三角形，，所以.所以. （Ⅲ）在棱上存在点，当为的中点时，平面. 分别取的中点，连结.所以. 因为，，所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为,所以平面平面.因为平面，所以平面.19. 已知椭圆经过点，点是椭圆上在第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与直线平行？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) ，；(2)存在，.【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆经过点，可得，从而可得，；进而可得椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）假设存在点，使得直线与直线平行.设，设出直线、直线的方程，求出、的坐标，根据，可得结果.试题解析：（Ⅰ）依题意设所求椭圆方程为.因为椭圆经过点，所以.所以所求椭圆的标准方程为，离心率.（Ⅱ）存在点，使得直线与直线平行.设.则，即.因为所以令则.所以.因为，所以.令则.所以.所以.若直线与直线平行，那么.因为，所以.即 .所以.所以.即.因为,所以.所以》所以.所以所以.20. 已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．【答案】(1) ；（2）当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间；（3）.【解析】试题分析：(Ⅰ) 求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令得增区间，得减区间；（Ⅲ）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为.当时，，，,．所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）因为．令，即，解得或.（1）当，即时，由，得或；由，得.所以函数的增区间为，，减区间为.（2）当，即时，由，得或；由，得.所以函数的增区间为，，减区间为.（3）当，即时，在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间.综上所述：当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间.（Ⅲ）因为对于任意，都有成立，则，等价于.令，则当时，..因为当时，，所以在上单调递增.所以.所以.所以.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.。
十、解析几何(B 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 姓名：________ 班级：________1．已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积最大时，求直线l 的方程．解：(1)∵F 1，E ，A 三点共线，∴F 1A 为圆E 的直径，∴AF 2⊥F 1F 2.由x 2＋⎝⎛⎭⎫0－122＝94，得x ＝±2， ∴c ＝2，∴|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，|AF 2|＝1，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，a ＝2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)易知点A 的坐标为(2，1)，∵MN →＝λOA →(λ≠0)，∴直线l 的斜率为22， 故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ， 联立⎩⎨⎧ y ＝22x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，由Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，得－2<m <2.|MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝12－3m 2，点A 到直线l 的距离d ＝6|m |3， ∴S △AMN ＝12|MN |·d ＝1212－3m 2×63|m | ＝22(4－m 2)m 2≤22·4－m 2＋m 22＝2， 当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时等号成立，此时直线l 的方程为y ＝22x ±2.2．(2016·辽宁东北育才学校五模)如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，|OF |＝5，过F 作OF 的垂线交椭圆于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若直线l 与上、下半椭圆分别交于点P 、Q ，与x 轴交于点M ，且|PM |＝2|MQ |，求△OPQ 的面积取得最大值时直线l 的方程．解：(1)由题意可得c ＝5，设P 0(x 0，y 0)，将x 0＝c 代入椭圆方程可得y 0＝±b 1－c 2a 2＝±b 2a ， 即有△OP 0Q 0的面积为12|P 0Q 0|·c ＝453， 即12·2b 2a ·5＝453，又a 2－b 2＝5， ∴a ＝3，b ＝2，∴该椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)设M (t,0)，且t 29<1. 设直线PQ ：x ＝my ＋t ，代入椭圆方程，可得(4m 2＋9)y 2＋8mty ＋4t 2－36＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8mt 4m 2＋9，y 1y 2＝4t 2－364m 2＋9<0，① 由|PM |＝2|MQ |，可得PM →＝2MQ →，即有－y 1＝2y 2，代入①可得，t 2＝9＋4m 21＋4m 2，即有m 2＝9－t 24t 2－4，即有1<t 2<9. 则△OPQ 的面积为S ＝12|t |·|y 1－y 2| ＝12|t |·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝6|t |·t 2－18t 2－(t 2－1)264t 2＝34－(t 2－5)2＋16， 当t 2＝5<9时，由题图可得t <0，此时m 2＝14， △OPQ 的面积取得最大值，且最大值为34×4＝3. 故所求直线方程为x ＝±12y － 5.。
核 心 八 模2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（文科）（八） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则A.2,3b c ==B.2,3b c =-=C.2,1b c =-=-D.2,1b c ==-2.已知全集,U R =集合{}{}1|,|21,x M y y x R N x x R -==∈=≥∈，则()U MC N 等于A. []2,2-B. [)2,1-C. []1,4D.[)0,1 3.若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22cos 162πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A.13 B. 13- C. 79 D.79- 4.200辆汽车通过某一公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为 A. 62,62.5 B. 65,62 C. 65,62.5 D. 62.5,62.55. ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++为零向量，且OA AB =，则CA 在BC 方向上的投影为A. 3-B. 3 6. 秦九韶是我国南北朝时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为3,2，则输出的v 值为 A. 9 B. 18C. 20D. 357.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.(1012π++B. (1112π+C. (1112π++ D.136π8. 已知函数()()2sin 2cos ,2,2f x x x x x x ππ=+∈-，则其导函数()f x '的图象大致是9.若圆22:120C x y +---=上有四个不同的点到直线:0l x y c -+=的距离为2，则c 的取值范围是A.[]2,2-B. ⎡-⎣C.()2,2-D.(-10. 已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是 ①函数()f x 的最小正周期是2π3π②函数()f x 的图象可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移个单位长度得到③函数()f x 的图象关于直线12x π=对称④函数()f x 在区间,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 A. 3 B. 2 C. 1 D. 011. 如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，,E H 分别是棱1111,A B DC 上的动点（点E 与不重合），且11//EH A D ，过EH 的动平面与棱11,BB CC 相交，交点分别为,F G ，设11122,2AB AA a B E B F a ==+=，在长方体1111ABCD A BC D -内随机选取一点，则该点取自几何体11A ABFE D DCGH -内的概率的最小值为，A.1112 B. 34 C. 1316 D. 7812. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点12,F F 为，若以12,A A 直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率为A. 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，已知点()2,1A -和坐标满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的动点(),M x y ，则目标函数z OA OM =⋅的最大值为 .14.如图，为了测量河对岸A,B 两点间的距离，观察者找到了一个点D ，从D 点可以观察到点A,C,找到一个点E ，从E 可以观察到点B,C，并测量得到一些数据：2,CD CE ==45,105,48.19,75,60D ACD ACB BCD E ∠=∠=∠=∠=∠=,则A,B 两点之间的距离为 .其中cos 48.19取近似值2.315.图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.42米后，水面宽为 米. 16.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()221,10,10x x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≤≤⎪⎩，当函数()()1122y f x k x =----（其中0k >）的零点个数取得最大值时，实数k 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a ,n S 是其前n 项和满足，()32.n n a S n n N *=+∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）记12n n T S S S =+++，求n T 的表达式.18.（本题满分12分）噪音污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：W/cm 2）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量()1,2,,10i I i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量数据.（1）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程lg D a b I =+; （2）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共受到两个声音源的影响，这两个声源的声音能量分别是1I 和2I 且10121410I I +=，已知点P 的声音能量等于声音能量分别是1I 和2I 之和，请根据（1）中的回归方程，判断P 点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由.19.（本题满分12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD是矩形，P A A B D ===点E 是PB 的中点，点E 是边BC 上的动点.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）当点E 为BC 的中点时，判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由;(3)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>其左顶点A 在圆22:16O x y +=上.（1）求椭圆W 的方程；（2）若点P 是椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点Q ，是否存在点P,使得3PQ AP=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()(),2.xxf x e ax ag x xe =+-=（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）若不等式()()f x g x >有唯一的正整数解，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
二、三角函数及解三角形(B 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 姓名：________ 班级：________1．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AD 是BC 边上的中线，记∠CAD ＝α，∠BAD ＝β.(1)求sin αsin β；(2)若tan α＝sin ∠BAC ，求BC .解：(1)∵AD 为BC 边上的中线，∴S △ACD ＝S △ABD ， ∴12AC ·AD sin α＝12AB ·AD sin β， ∴sin αsin β＝AB AC ＝2 1.(2)∵tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)，∴sin α＝sin(α＋β)cos α，∴2sin β＝sin(α＋β)cos α，∴2sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tan α，又tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)≠0，∴cos(α＋β)＝cos ∠BAC ＝12， 在△ABC 中，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝3，∴BC ＝ 3.2．已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12(x ∈R ，ω>0)．若f (x )的最小正周期为4π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：(1)∵f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. ∵T ＝2π2ω＝4π，∴ω＝14. 由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z )． (2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵sin(B ＋C )＝sin A >0，∴cos B ＝12. (或(2a －c )cos B ＝b cos C,2a cos B ＝b cos C ＋c cos B ＝a ，∴cos B ＝12) 又0<B <π，∴B ＝π3，∴0<A <2π3. ∴π6<A 2＋π6<π2， ∴f (A )∈⎝⎛⎭⎫12，1。
二、函数与导数小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫sin 12<f ⎝⎛⎭⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎫sin π3>f (cos π3)C ．f (sin1)<f (cos1)D ．f ⎝⎛⎭⎫sin 32>f ⎝⎛⎭⎫cos 32 解析：由题意得f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，∵f (x )在[3,4]上是增函数，∴函数f (x )在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，∵0<cos1<sin1<1，∴选C.答案：C2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象大致是( )解析：要使函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 有意义，需满足x －1x>0，解得－1<x <0或x >1，所以排除A ，D ，当x >2时，x －1x一定大于1，所以ln ⎝⎛⎭⎫x －1x >0，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3的最小正周期是( ) A ．6π B ．5π C ．4π D ．2π解析：∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，解得a ＝13，由f (x )＝f (－x )得，b ＝0，∴y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫13x －π3， ∴最小正周期T ＝2πω＝6π.答案：A4．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图1所示，得到函数h (x )的图象如图2所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C5．对于偶函数F (x )，当x ∈[0,2)时，F (x )＝e x ＋x ，当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则F (－1)＋F (e ＋1)＝( )A ．eB ．2eC ．e ＋ln(e ＋1)D ．e ＋2解析：∵F (x )为偶函数，∴F (－1)＝F (1)＝e ＋1，∵e ＋1>2且当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于y ＝x 对称，∴e ＋1＝e x ＋1，∴x ＝1，∴F (e ＋1)＝1，∴F (－1)＋F (e ＋1)＝e ＋2.答案：D 6.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图象得，f (3)＝1，k ＝f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：B7．设a ＝e 636，b ＝e 749，c ＝e 864，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：设f (x )＝e xx 2，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，因为f ′(x )＝(x －2)e x x 3，所以当x >2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )＝e xx2在(2，＋∞)上单调递增，所以c >b >a .答案：C8．已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( )解析：∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )是奇函数，故选项B ，D 不正确，当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12<0，故选A.答案：A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)e ax (x >0)在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12ln2，＋∞B.⎣⎡⎭⎫0，12ln2 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2 解析：设y ＝2x 3＋3x 2＋1(－2≤x ≤0)， 则y ′＝6x (x ＋1)(－2≤x ≤0)， 所以－2≤x <－1时y ′>0， －1<x <0时y ′<0，所以y ＝2x 3＋3x 2＋1在[－2,0]上的最大值为2，所以函数y ＝e ax 在(0,2]上的最大值不超过2，当a >0时，y ＝e ax 以(0,2]上的最大值e 2a ≤2，所以0<a ≤12ln2，当a ＝0时，y ＝1≤2，当a <0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值小于1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2. 答案：D10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3－x )＝f (x )，⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不确定解析：通解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，∴当x >32时，f ′(x )<0， 当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴f (x 1)＝f (3－x 1)， 又x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴x 2>3－x 1.若x 1>32，则f (x 1)>f (x 2)，若x 1<32，则x 2>3－x 1>32，又f (x 1)＝f (3－x 1)>f (x 2)，所以f (x 1)>f (x 2)．优解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0， ∴当x >32时，f ′(x )<0，当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝32对称，不妨取f (x )＝－x 2＋3x ，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(3－x 1－x 2)， ∵x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x .若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝__________.解析：由题意，h (x )＝mf (x )＋ng (x )＝m ·4x ＋m ＋n ·4－x ，h (－x )＝m ·4－x ＋m ＋n ·4x ，∵h (x )为偶函数，∴h (x )＝h (－x )，∴m ＝n ，∴h (x )＝m (4x ＋4－x )＋m ，∵4x ＋4－x ≥2，∴h (x )min ＝3m＝1，∴m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：2312．函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x(x ∈[－2,4])的所有零点之和为______．解析：函数y ＝2sin(πx )和函数y ＝1x －1的图象均关于点(1,0)对称，作出两个函数的图象如图所示，得函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x在[－2,4]上共有四个不同的零点，由对称性得所有零点之和为4.答案：4 13.已知f ′(x )为定义在R 上的函数f (x )的导函数，而y ＝3f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的单调递增区间是__________．解析：由y ＝3f ′(x )≥1，得f ′(x )≥0，由y ＝3f ′(x )的图象得y ＝3f ′(x )≥1的解集为(－∞，3]，即f ′(x )≥0的解集为(－∞，3]，所以y ＝f (x )的单调递增区间是(－∞，3]．答案：(－∞，3]14．曲线f (x )＝x －3x上任一点P 处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为__________．解析：通解：设点P (m ，n )，∵f ′(x )＝1＋3x2，∴曲线f (x )＝x －3x在点P 处的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m 2x －6m ， 切线与直线y ＝x 的交点为(2m,2m )，与直线x ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫0，－6m ， ∴切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12×6|m |×2|m |＝6.优解：取点P (3,2)，因为f ′(x )＝1＋3x2，所以曲线f (x )＝x －3x 在点P 处的切线方程为y ＝43x －2，切线与直线y ＝x 的交点为(6,6)，与直线x ＝0的交点为(0，－2)，所以切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝6.答案：615．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3上有一个解或者两个不相同的解．当有一解时，f ′⎝⎛⎭⎫12f ′(3)≤0，解得52≤a ≤103，经检验a ＝103时不成立，所以52≤a <103. 当有两解时，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12<a 2<3f ′⎝⎛⎭⎫12>0f ′(3)>0f ′⎝⎛⎭⎫a 2<0，解得2<a <52.综上可得a ∈⎝⎛⎭⎫2，103. 答案：⎝⎛⎭⎫2，103。
八、立体几何(B 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 姓名：________ 班级：________1．(2016·河北石家庄质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥BD .(1)求证：PB ＝PD ；(2)若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求三棱锥D －ACE 的体积．(1)证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD 且O 为BD 的中点，又∵P A ⊥BD ，P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，由于PO ⊂平面P AC ，故BD ⊥PO ，又∵BO ＝DO ，故PB ＝PD .(2)设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，则EQ ＝12CD ，且EQ ∥CD ， ∵AB ∥CD ，F 为AB 的中点，∴AF ＝12CD ，且AF ∥CD ， ∴EQ ＝AF ，且EQ ∥AF ，∴四边形AFEQ 为平行四边形，∴EF ∥AQ ，∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ，∵PD ⊂平面PCD ，∴AQ ⊥PD ，∵Q 为PD 的中点，∴AP ＝AD ＝2，由AQ ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，可得AQ ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，AQ ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∵P A ⊂平面P AD ，∴CD ⊥P A ，又∵BD ⊥P A ，BD ∩CD ＝D ，∴P A ⊥平面ABCD .在△P AC 中，E 、O 分别是PC ，AC 的中点，∴EO ∥P A ，且EO ＝12P A ， ∴EO ⊥平面ABCD ，∴V D －ACE ＝V E －ACD ＝13×12P A ×S △ACD ＝13×12×2×12×2×2＝26， 故三棱锥D －ACE 的体积为26.2.如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D 、E 分别为AB和BB ′上的动点(不包括端点)，且AD DB ＝BE EB ′＝λ. (1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；(2)当λ为何值时，三棱锥A ′－CDE 的体积最小？并求出最小体积．证明：(1)∵λ＝1，∴D 、E 分别为AB 和BB ′的中点，又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B ，∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，CD ⊥AB ，∵A ′A ⊥CD ，A ′A ∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面ABB ′A ′，∵A ′B ⊂平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ，又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE ，∵CE ⊂平面CDE ，∴A ′B ⊥CE .(2)解：设BE ＝x (0<x <6)，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由(1)可知C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 上的高，即h ＝AC 2－⎝⎛⎭⎫AB 22＝4，∴V A ′－CDE ＝V C －A ′DE ＝13(S 正方形ABB ′A ′－S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )·h ＝13⎣⎡ 36－3x －12(6－x )x ]－3(6－x )·h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0<x <6)， ∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′－CDE 取得最小值18.。
