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第四章 因式分解1.因式分解一、基本知识点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解。
（1）.因式分解是恒等变形；（2）因式分解的对象是多项式；（3）结果是乘积形式；（4）分解后的每一个因式必须是整式；（5）分解到不能再分为止。
2、因式分解与整式乘法的关系：互逆过程。
（整式乘法可以验证因式分解的正确与否） 二、知识拓展与应用1、下列由左到右的变形属于因式分解的是（ ）22221(a+3)(3)9;1(1)();2x 3)(32)A a aB x x xC a b a bD y -=-+=++=++-、、、、6xy-4x+9y-6=（ 2、已知多项式x 4+2x 3－x+m 能因式分解，且有因式x+1. (1)当x=－1时，求多项式x 4+2x 3－x+m 的值。
(2)求m 的值。
3、如图4.1.1是由一个正方形和两个长方形组成的一个大矩形，根据图形，写出一个因式分解的等式。
4、证明：一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置，则原数与新数之差能被99整除。
5、多项式x 2－3x －10因式分解的结果是（ ） A 、（ｘ＋２）（ｘ－5） B 、（ｘ＋２）（ｘ+5）C 、（ｘ－２）（ｘ－5）D 、（ｘ－２）（ｘ+5）6、已知关于x 的二次三项式3x 2+mx －n=(x+3)(3x －5),求：m 、n 的值。
7、关于x 的多项式6x 2－11x+m 因式分解后有一个因式2x －3，试求m 的值。
8、试说明817－279－９１３能被４５整除。
２．提起公因式法一、基本知识点１、公因式：多项式各项中都含有的相同的因式（包括数）。
２、公因式的确定：（１）系数（第一项是负数时，提出负号）；确定数字因数；（２）找各项都有的字母；（３）各项都有的字母的最小指数。
３、提公因式法分解因式：（１）确定公因式；（２）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；（３）把多项式写成这两个因式的积的形式。
八年级下学期第四章因式分解复习测试题一、单选题1、把代数式3x3-6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（3x+y）（x-3y） B．3x（x2-2xy+y2） C．x（3x-y）2 D．3x（x-y）22、把代数式mx2-6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（）A．m（x+3）2 B．m（x+3）（x-3） C．m（x-4）2 D．m（x-3）23、分解因式a3-a的结果是（）A．a（a2-1） B．a（a-1）2 C．a（a+1）（a-1） D．（a2+a）（a-1）4、下列哪个选项可以利用平方差公式进行因式分解（）A．a2+b2 B．-a2-b2 C．-a2+b2 D．-（a2+b2）5、下列各式中能运用公式法进行因式分解的是（）A．x2+4 B．x2+2x+4 C．x2-2x D．x2-4y26、因式分解（x-1）2-9的结果是（）A．（x+8）（x+1） B．（x+2）（x-4） C．（x-2）（x+4） D．（x-10）（x+8）7、下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A．4x4-1 B． -4x2-4 C．-4x2+1 D．x2-y28、若（x+2）3-4x（x+2）=k（x+2），则k的表达式为（）A．x3-4x2-8x+8 B．x3-4x2+8 C．x2+4 D．x3-4x2+49、下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是（）A．x2-y B．x2+2x C．x2+y2 D．x2-xy+y210、若x2+mx-15=（x+3）（x+n），则m的值是（）A．-5 B．5 C．-2 D．2二、填空题(注释)11、把多项式4ax2-ay2分解因式的结果是______．12、分解因式：x2-6xy+9y2= ______．13、分解因式：（x+y）2-4（x+y）+4=______．14、分解因式：x2-4（x-1）= ______．15、若a-b=6，ab=3，则3ab2-3a2b= ______．16、若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k= ．17、若a2+b2+2c2+2ac-2bc=0，则a+b=_____．18、分解因式：3x2-18x+27=______．19、因式分解：-4x2y-6xy2+2xy= ________．20、因式分解： = ．三、解答题21、把下列多项式分解因式：(1)； (2)； (3)； (4)．22、因式分解：（1）；（2）．23、（1）已知x﹣y=2+a，y﹣z=2﹣a，且a2=7，试求x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx的值．（2）已知对多项式2x3﹣x2﹣13x+k进行因式分解时有一个因式是2x+3，试求4k2+4k+1的值．24、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=﹣4，m=3n，解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．25、你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形、整体代入，从不同方面确定解题策略，可以使问题快速得到解决．请你用整体思想把下列式子因式分解：（1）（2a﹣3b）2+6（2a﹣3b）+9；（2）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）．26、因式分解：．27、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n）则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n∴，解得：n=-7，m=-21．∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是（2x-5），求另一个因式以及k的值．28、观察等式：①9-1=2×4；②25-1=4×6；③49-1=6×8…，（1）按照这种规律写出第n个等式；（2）运用所学的知识验证你的结论．。
第四章专题：因式分解的概念及基本方法考点一：因式分解的定义指点迷津：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
例1.下列各式：32,,2,882,422222223422++--+++-x x y x b ab a y x y x x y x ，其中不能分解因式的有（）A.1个 B.2个 C.3个D.4个例2.下列式子从左到右的变化是因式分解的是（）A.aba b a 43122⋅= B.ab b a b ab a -+-=---222)(3C.)11(1xx x -=- D.22)12(144+=++x x x 考点二：因式分解的意义（恒等变形）指点迷津：因式分解是恒大变形，因此可以用整式乘法来检验。
例3.已知多项式c bx x ++2分解因式为)1)(3(+-x x ，则c b ,的值分别为（）A.3,2==c b B.3,4-=-=c b C.3,2-=-=c b D.3,4=-=c b 例4.如果二次多项式2232k kx x -+能被1-x 整除，则该多项式的另一个因式为_________.考点三：提取公因式法指点迷津：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：（1）定系数，即确定各项系数的最大公约数；（2）定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；（3）定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂。
例5.多项式92-x 与x x 32+的公因式是____________.例6.已知Rt △ABC 的面积为3，斜边长为7，两直角边长分别为b a ,，则代数式33ab b a +的值为______________.例7.（1）在因式分解2232)3(18)3(24a b xy b a y x ---时，提公因式2)3(6b a xy -，另一个因式是_________________；（2）已知13,63=-=+y x y x ，则=---32)3(4)3(24x y y x y __________.例8.利用因式分解简算：20102011201120123333--.例9.分解因式：（1）1)1(2)1(2-+-+-a a m a m ；（2）c b a c ab b a 2332320128+-.考点四：公式法（一）平方差公式指点迷津：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-，能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。
因 式 分 解【知识回顾】一、基本概念（1）因式分解； （2）分解因式二、基本因式分解的方法1、提公因式步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.2、公式法：3、分解因式的一般步骤为：（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式；（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式；（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。
4、因式分解注意三原则：（1）分解要彻底；（2）最后结果只有小括号；（3）最后结果中多项式首项系数为正。
5、分解因式技巧掌握：（1）等式左边必须是多项式； （2）分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；（4）分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
三、因式分解其它方法（1）分组分解法；（2）十字相乘法；（3）配方法；（4）拆项法；【典型例题】一、因式分解定义【例1】（x －5）（x －3）是多项式x 2－px+15分解因式的结果，则p 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．8D ．－8变式练习：(3x ＋2)(﹣x 6＋3x 5)＋(3x ＋2)(﹣2x 6＋x 5)＋(x ＋1)(3x 6﹣4x 5)与下列哪一个式子相同 ( ) A ．(3x 6﹣4x 5)(2x ＋1) B ．(3x 6﹣4x 5)(2x ＋3)C ．﹣(3x 6﹣4x 5)(2x ＋1)D ．﹣(3x 6﹣4x 5)(2x ＋3)【例2】分解因式（1），（2）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） 2222_________;2________a b a ab b -=++=_______222=+-b ab a ______2=+mn mn ______4422=++b ab aA ． a 2+1B ．a 2﹣6a +9C ． x 2+5yD ． x 2﹣5y变式练习：1、下列因式分解正确的是（ ）A ． 2x 2﹣2=2（x +1）（x ﹣1）B ． x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2C ． x 2+1=（x +1）2D ． x 2﹣x +2=x （x ﹣1）+22、若A 为一数，且A ＝25×76×114，则下列选项中所表示的数，何者是A 的因子( ) A ．24×5 B ．77×113 C ．24×74×114 D ．26×76×116【例3】分解因式（1）x 2﹣4x +3 （2）x 2+3x （x ﹣3）﹣9（3） （4）（5）二、因式分解的应用 【例1】 解方程组【例2】利用因式分解计算下列各题.(1)234×265-234×65； (2)992+198+1.22()()()2a b a b a b a +-++-122222++-+-ab b b a a 2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++⎩⎨⎧=-=-②①.12,5422y x y x【例3】计算.【例4】若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( )A.2个B.3个C.4个D.6个变式练习：已知：x =1﹣，y =1+，求x 2+y 2﹣xy ﹣2x +2y 的值。
第四章因式分解复习课教学设计学习目标1、经历梳理知识与技能、形成知识体系的过程，提高归纳总结的能力。
2、进一步巩固因式分解的概念和方法，熟练的对多项式进行因式分解，加深理解因式分解与整式乘法的互逆关系。
3、进一步加强运用因式分解解决一些数学问题，发展分析问题，解决问题的能力。
一、课前预习1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？3、分解因式常用的方法有哪些？4、制作本章的知识结构图。
设计意图：1、活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联来．起把知识进行梳理，并且培养学生的语言表达能力．2、注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．二、自主学习1、直接写出因式分解的结果????????32x211?3x?7?2bxx2?a3????2242ay?34?x3?yax31????22?14xy??x?6549y4你能从中得到什么应怎样改正？2.下列各式的因式分解是否正确？如果不正确，??启示？??232x2xx212x??4x2?x?????2cb?ab?ac??aa2??a???????2mm?3nmnm?n?????2n??mnm?mn?m????n?m?nn?mm?总结归纳因式分解的步骤和注意事项：活动目的：加深学生对因式分解概念的认识．注意事项：引导学生说出相应的理由．三、典型例题1.把下列各式因式分解：??????????423224b?b16a3?2xa2?x?282aabb??a16bx?21??2????????22a?4?4?a165?x1x?24、2利用分解因式计算和求值2100????????1001019912???2?22??22199198??1??22的值。
x求,?y2x已知3?1??xy22y2．活动目的：（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基本技能训练；（2）增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算．注意事项：前五题学生完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。
