基于LMI的结构振动鲁棒H_控制

x= C1 = x
^
x
,A =
A B kC 2
B 2C k Ak
,B 1 =
B1 B kD 21 F1 G1
, ,
C1
D 12C k , D = D 11 , F 1 = f 1 (x , t) f 2 (C k x , t)
^
0
E
0
f1=
,E =
0
记W 1 = 得
W1
0
W 2C k
0
,W 0= W 0
^
Q F 1 Q G1 - Q E
0 - Κ I
2 1
0 0 - Κ I
Ξ
和脆弱性。 当应用一个最优控制时, 控制器的增益可 能会非常高以至于超出物理变量允许的上界 ( 例如 结构系统中的最大速率) 。 另外, 控制器的扰动也可 能导致传统方法的失效。 出于以上考虑, 本文所述结构系统振动控制包 括三个方面: 第一, 同时考虑质量矩阵、 阻尼矩阵、 刚 度矩阵和输入矩阵中的非线性不确定性, 且不要求 满足匹配条件。 特别地, 转化为一类不确定中立系统 描述来直接处理质量矩阵中的不确定性, 以避免常 用的包含在质量矩阵逆中的扰动描述。 第二, 引入不 确定控制器输入矩阵以解决控制器的脆弱性问题, 并通过调节参考输出权值矩阵以避免控制器增益饱 和。 第三, 为了避免因状态信息的缺乏而给实际应用 带来困难, 采用基于动态输出反馈的结构振动鲁棒 主动控制。
摘要: 针对含有非线性环节与外部激励干扰的结构系统, 提出了一种新型的基于 LMI 的鲁棒 H ∞ 振动主动控制算 法。首先根据建筑结构动力学原理, 建立了包含非线性不确定性的结构系统状态空间模型。然后基于动态输出反馈 和线性矩阵不等式处理方法给出了鲁棒主动控制算法, 可同时保证系统对模型参数摄动、 控制器变化及干扰激励的 鲁棒性。 在 EI Centro 地震波作用下, 对一个 4 自由度结构模型进行仿真, 验证了该方法的有效性和较强的鲁棒性。 关键词: 结构系统; H ∞控制; 非线性不确定性; 线性矩阵不等式 中图分类号: TU 311 13; P 315 13 文献标识码: A 文章编号: 1004 24523 ( 2008 ) 02 20157 205
Bu x ( t) +
, y ∈R p 为测量输出, - M- 1 状态向量 x , 控制输入 u , 外部扰动w , 被调输出 z , 各 系数矩阵以及满足的上界约束, 同式 ( 4)～ ( 6) 。 在下 文讨论中, 不失一般性地假定D 22 =0 。 设计动态输出反馈 H ∞ 控制器 u = K ( s) y ( 假定 K ( s) 严真) , 如下
¨ ‖f M ( ¨ d ( t)) ‖ ≤ ‖VMM d ( t) ‖ ‖f M (d ( t)) ‖ ≤ ‖V CC d ( t) ‖
x = A x + B 1w + B 2 u + F 1 f 1 ( x , t ) +
G 1 f 2 ( u ( t)) - E e (x , t)
z = C 1 x + D 11w + D 12 u y = C 2 x + D 21w + D 22 u
3 3
3
第 2 期
李文章, 等: 基于LMI 的结构振动鲁棒 H ∞控制
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则 闭 环 系 统 ( 9 ) 稳 定 且 满 足 ‖ z ( t ) ‖2 < ‖w ( t) ‖2。 Χ 篇幅所限省略定理证明, 可参看文献 [7] 中定理 1 的证明过程。 上述结论提供了一种主动控制稳定 性与性能分析的指标判据。 然而在矩阵不等式 ( 10 ) 中, 由于A , B 和C 依赖于未知的控制器参数, 矩阵变 量P 和控制器参数矩阵A k , B k , C k 相互耦合以非线性 的方式出现, 难以简单地直接应用线性矩阵不等式 方法处理。 这时考虑变量替换方法来处理此类矩阵 不等式, 得定理 2。 定理 2 对于给定参数 Κ 1 和Κ 2 , 如果存在对称矩 阵 R >0, Q >0 和常数矩阵A , B , C , 使得以下两个矩 阵不等式成立 R I ( 11 ) >0 I Q 5 11 A T + A 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 22 3 3 3 3 3 3 3 3
收稿日期:2007 206 225; 修订日期:2007 211 229 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 60474050 ) ; 国家留学回国人员专项基金和教育部新世纪优秀人才支持基金资 助项目
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振 动 工 程 学 报
第 21 卷
( 2) ‖f M ( d ( t)) ‖ ≤ ‖V K K d ( t) ‖ ‖f M ( d ( t)) ‖ ≤ ‖V u u ( t) ‖ 其中已知矩阵VM , V C , V K 和V u 表示相应的界。以上 非线性不确定性模型经推广, 可以涵盖含有参数不 确定 和 未 建 模 动 态 的 大 多 数 结 构 系 统。 例 如, f M (¨ d ( t)) = ∃M ¨ d ( t ) 适用于在文献 [5] 中讨论的参
W0 =
式中 x ∈R nk 为控制器的状态; A k , B k , C k 为待确定 的控制器参数矩阵。 将控制器 ( 8) 应用到系统 ( 7) 后得到的闭环系统 是 x = A x + B 1w + F 1 f 1 - E e (x , t ) ( 9) z = C 1 x + D 11w 其中
T Κ 1RW 1 T Κ W1 1 ^ ^ ^ ^
步骤 2 通过矩阵 I- RQ 奇异值分解得到满秩 矩阵 S , T。 步骤 3 通过以下的公式得到控制器参数矩阵 ^ T -1 C k = C (S )
Bk = T B Ak = T
-1 -1 ^
(A - QAR )( S T ) -1 -
^
( 13 )
式中 F 1 =
0
0
- M
- 1
^
x = A kx + B ky
^
^
0 - f
K
u = Ck x
^
( 8)
( d ( t)) - f C (d ( t)) + 0
BΞ
+ ( 3)
u ( t) +
0 f u ( u ( t))
Ξ ( t)
整理得 ¨ x + E e (x , t ) = A x + F 1 f 1 ( x , t ) + B 1w + ( 4) B 2 u + G 1 f 2 ( u ( t)) 其中 0 0 I A = ,B 1 = , - 1 - 1 - 1 M Bw - M K - M C 0 I 0 0 B2 = ,E = , - 1 - 1 , G1 = M Bu 0 M - M- 1 和 f 2 ( u ( t)) = f u ( u ( t)) , f K ( d ( t)) 0 e (x , t ) = , f , 1 ( x , t) = f M (¨ f C (d ( t)) d ( t)) 根据式 ( 2) 得到以下条件 ‖e (x , t) ‖ ≤ ‖ W 0 x ‖, ‖f 1 ( x , t ) ‖ ≤ ‖ W 1 x ‖, ( 5) ‖f 2 ( u , t) ‖ ≤ ‖ W 2u ‖ 其中
P A + A P P F1 - P E - P B1 Κ 1W 1 Κ 2A W0
T T T T
参考输出设为 ( 6) z ( t) = C 1 x ( t) + D 11w ( t) + D 12 u ( t) 式中 C 1 , D 11 为调整系统性能的权值矩阵。同样, 调 节D 12 可以限制控制器增益, 使之在物理允许的范围 内。 下文限于篇幅, 在不引起混淆的情况下, 将所有 非线性函数的自变量省略。 本研究要解决的问题是: ( ) 为系统 4 设计动态输出反馈反馈控制器, 使得闭环 系统稳定且满足: ‖z ( t) ‖2 < Χ ‖w ( t) ‖2。
0 , 根据式 ( 5 ) 可
^
‖ f ‖2 = ‖f 1 ‖2 + ‖f 2 (C k x ) ‖2 ≤
2 2 ‖ W 1x ‖ + ‖ W 2C k x ‖ = ‖ W 1 x ‖, ^
0
0
0 VM M
,W 1 =
VKK
0
V CC (x , t) ‖ ≤ ‖ W 0 x ‖ = ‖W 0 x ‖ 定 理 1 对 于 给 定 参 数 Κ 1 和 Κ 2, 如 果 存 在 Lyapunov 矩阵P >0 和控制器参数矩阵A k , B k , C k 使 得 5 =
1 问题描述
考虑如下非线性不确定性的结构系统 ¨ M d ( t) + f M ( ¨ d ( t )) + C ・ d ( t) + f C ( ・ d ( t)) + K d ( t) + f K ( d ( t)) = B u u ( t) + f u ( u ( t)) + ( 1) B w w ( t) 式中 d ( t) 为位移; u ( t) 为控制输入; w ( t) 为外部激 励干扰。M , C 和 K 分别为质量矩阵, 阻尼矩阵和刚 度矩阵。 B u 是输入矩阵, B w 为输出矩阵。 f M (¨ d ( t)) , f C (・ d ( t)) 和 f K ( d ( t )) 代表相应扰动, 满足
B K C 2R (S T ) -1 - T -1 QB 2C k
3 仿真算例
以下, 考虑一个 4 阶自由度的不确定结构模型 稳态运动的主动控制问题。 采用的标称模型参考了 文献 [2] 中研究的结构系统模型, 如图 1 所示。
F1
T 2 - Κ 1 I